Relime Vol. 6, Nm. 3, julio, 2003pp. 163-197 Completitud y continuidad revisadas a travs de 23 siglos. Aportes a una investigacin didctica. Anala Berg1Carmen Sessa2 RESUMEN Presentamos en este artculo un anlisis histrico-epistemolgico de la nocin de completitud delconjuntodenmerosreales.Ennuestroanlisisligamosproblemasypreguntasde determinados perodos histricos, con el estado de conocimiento y las herramientas disponibles enesosmomentosyconlasdiferentesconceptualizacionesproducidas.Larelacinentre nmeros y magnitudes as como los diferentes estados de las nociones de continuidad de la rectaycompletituddelsistemanumrico,sonanalizadosenelartculoapartirdedatos histricosquesonpresentados,enmuchoscasos,consoporteenlasfuentesoriginales.Las preguntas que orientan el trabajo provienen de una reflexin didctica, y el tipo de anlisis que se realiza nos permite enunciar conclusiones que podran ser de utilidad para la enseanza. El presente estudio se inscribe en una investigacin didctica acerca de la nocin de conjunto de los nmeros reales. PALABRAS CLAVE: Nmeros reales, Anlisis epistemolgico. ABSTRACT We present in this paper an historic-epistemological analysis aboutthe notion of real numbers setcompletness. In this analysis we connect problems and questions at determined historical periods with the state of knowledge and available tools at those times and also with the different produced conceptualisations. The relationship between numbers and magnitudes as well as the differentstagesofthenotionsaboutlinecontinuityandnumericalsystemcompletnessare analyzed on the basis of specific historical data, which are presented in many cases with the original texts as support. The questions guiding this study arise from a didactic reflection. The kind of analysis performed allows us to state conclusions that would be useful for Education. This study is enclosed in a larger Math Education research about the concept of realnumbers set.KEY WORDS: Real numbers, Epistemological analysis. RESUMO Apresentamos neste artigo uma anlise histrica-epistemolgica da noo de completitude do conjunto de nmeros reais. Em nossa anlise ligamos problemas e perguntas de determinados perodos histricos, com o nvel de conhecimento e as ferramentas disponveis nesses momentos e com as diferentes conceitualizaes produzidas. A relao entre nmeros e magnitudes bem comoosdiferentesestadosdasnoesdecontinuidadedaretaecompletitudedosistema numrico, so analisados no artigo a partir de dados histricos que so apresentados, em muitos casos, com suportenas fontes originais. As perguntas que orientam o trabalho provm de uma reflexodidtica,eotipodeanlisequeserealizanospermiteenunciarconclusesque poderiam ser de utilidade para o ensino. O presente estudo se inscreve em uma investigao didtica sobre a noo de conjunto dos nmeros reais. PALABRAS CHAVES: Nmeros reais, Anlise Epistemolgica. RSUM Nousprsentonsdanscetarticleuneanalysehistorico-pistmologiquedelanotionde Fecha de Recepcin: febrero de 2003 1 Departamento de Matemtica FCEN- Universidad de Buenos Aires.2 Departamento de Matemtica y CEFIEC FCEN - Universidad de Buenos Aires. compltude de l'ensemble des nombres rels. Dans notre analyse nous mettons en rapport des problmesetdesquestionsposesdespriodeshistoriquesdterminesavecl'tatdes connaissancesetdesoutilsdisponiblescesmoments-l,ainsiqu'aveclesdiffrentes conceptualisationsproduitesl'poque.Larelationentrenombresetgrandeurainsiqueles diffrents moments du dveloppement des notions de continuit de la droite et compltude du systme numrique sont analyss dans l'article partir de donnes historiques prsentes, dans plusieurs cas, avec le concours des sources originales. Une rflexion didactique est l'origine des questions qui guident ce travail, et le type d'analyse que nous faisons nous permet d'noncer desconclusionsquipourraienttreutilesl'enseignement.Cettetudes'inscritdansune recherche didactique sur la notion d' ensemble des nombres rels MOTS CLS: Nombres rels, Analyse pistmologique.

I.Introduccin I.1 El lugar del anlisis histrico- epistemolgico en nuestra investigacin Este trabajo forma parte de un proyecto de investigacin en Didctica de la Matemtica, que tiene como objetivo estudiar la evolucin de las representaciones de los alumnos acerca de la nocin de conjunto de los nmeros reales, a lo largo de los primeros aos delacarreradeLicenciaturaenMatemticayProfesoradoenMatemtica.Nos centramosenestudiarlasevolucionesenlaconceptualizacindelanocinde completitud, propiedad que distingue a R como conjunto.Enfuncindenuestroproyectoglobal,enesteartculonosproponemosrealizarunanlisis histrico-epistemolgico de la evolucin de esta nocin. Varios investigadores en Didctica de la Matemtica han sealado la relevancia del anlisis epistemolgico para el anlisis didctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relacin entre epistemologa,matemticayeducacin(Sierpinska&Lerman,1996),hanestudiadociertos aportes especficos del conocimiento de la historia a la prctica docente (Bkouche, 1997) y han alertadoacercadelautilizaciningenuadelahistoriadelamatemticaenlaenseanza (Radford, 1997). En elanlisis que aqu presentamos ligamos problemas y preguntas de determinados perodos histricos, con el estado de conocimientos y las herramientas disponibles en esos momentos y conlasdiferentesconceptualizacionesproducidas.Creemosqueelanlisisdeeserecorrido puede ser sumamente frtil para nuestro proyecto didctico, en el sentido de ampliar nuestro repertorio de posibles cuando pensamos los hechos de la clase. Por ejemplo, quienes ensean un primer curso de Clculo seguramente observan, a la horadeensearelTeoremadeBolzano3,reaccionesdeperplejidaddelosalumnos: Paraquhacefaltahacerunteoremaparademostraralgoqueesevidente?.Al tratamiento y a la comprensin de este teorema subyacen, entre otros elementos, las nociones de funcin continua, de recta geomtrica y su continuidad, de conjunto de los nmeros reales y su completitud, y de la correspondencia entre puntos y nmeros. Sin embargo,generalmenteesasnocionesnoseponenenjuegoyelteoremapierdesu riqueza debido al hecho de que es visualizado geomtricamente y la continuidad de la recta es, para los alumnos a esa altura, un hecho natural, ya dado, que se presenta como evidente.Desde la ms temprana escolaridad, la recta ha sido el soporte natural para representar losnmeros.Cuandoserepresentanlosdistintosconjuntos(N,Z,Q)seladibuja llena, con un trazo continuo. Pensando en una intervencin didctica que contribuya a la conceptualizacin de la nocin de completitud, un elemento que parece relevante, es 3 El teorema dice que si fes una funcincontinua definida en [a, b] tal que sg f(a) sg f(b), entonces c (a,b) tal que f (c) =0 la necesidad de problematizar desde la enseanza, la evidencia grfica de la continuidad de la recta. Esimportantetenerencuentaquelaevidenciagrficadelacontinuidad de la recta acompalasproduccionesmatemticashastalasegundamitaddelsigloXIX.El anlisis histrico que presentaremos intentar dar cuenta de las diferentes maneras en que sta fue considerada hasta ese momento. Ubicamos este anlisis como insumo para una intervencin didctica a propsito de la completitud.Asimismo, pretendemos aportar a la respuesta de las preguntas siguientes : Cmo se ha jugado la correspondencia entre nmeros y puntos de una recta en diferentes perodos de la historia? Y ms generalmente, cmo ha evolucionado la relacin entre nmeros y magnitudes?Cmo era el trabajo de los matemticos en temas de anlisis, antes de que la nocin de completitud del sistema de los nmeros reales fuera enunciada? Qu condiciones hicieron necesaria la formalizacin de esta nocin? Cules fueron lasdistintasrespuestasquesedieronaesteproblema?Cmosellegaalas formulaciones actuales? No pensamos que las respuestas a estos interrogantes puedan dar satisfaccin inmediata a los requerimientos de la enseanza. Las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente si se piensa la construccin de conocimientos (en la historia y en la escuela) como una construccin social. Esta es la postura que adoptamos en nuestro trabajo.4Sin embargo, el conocimiento de los caminos de la historia, con sus marchas y contramarchas, con sus momentos de ruptura, con sus retrocesos y sus baches, es una herramienta poderosa y unpuntodepartida,enmanosdeldidacta,paraaccederamayoresnivelesdecomplejidad acerca de la naturaleza de los objetos que est estudiando.Endefinitiva,nosotrosidentificamostresdiferentesmodosdeusodidcticodelanlisis histrico-epistemolgico:permiterecuperarlacomplejidaddelosobjetosestudiadosy ensancharnuestrasconcepcionesepistemolgicas;amplalacapacidaddelinvestigadorpara interpretarlasconductasyrespuestadelosalumnos;proveedeinsumosparapensaruna problematizacin adaptada al aula. Si bien esta separacin nos resulta operativa para ubicarnos en el espacio de articulacin entre la epistemologa y la didctica, es claro que los bordes entre estos tres modos son difusos y que hay una delicada dependencia entre ellos. I.2 De que tratan las distintas secciones del artculo En las secciones II, III, IV y V nos hemos detenido en diferentes momentos de la historia de la matemtica,previosalaformalizacindelconceptodeconjuntodenmerosreales.Hemos puesto la mira en ciertos desarrollos que interpretamos relacionados, implcita o explcitamente, con las nociones que hoy denominamos completitud del dominio numrico y continuidad de la recta. En la seccin VI analizamos las ideas principales de dos construcciones clsicas de R, producidas en la segunda mitad del S XIX. En la seccin VII nos ocupamos de la presentacin axiomticallevadaacaboacomienzosdelsigloXX.Finalmente,enlaseccinVIII presentamos nuestras conclusiones. II. Los Elementos de Euclides II.1. ciertos aspectos de la continuidad son implcitamente atribuidos a la recta y otros son tratados en detalle. ElLibroIdelosElementosdeEuclidescontiene47proposicionesreferidasala 4 Para una reflexin crtica sobre las relaciones entre filognesis y ontognesis se recomienda la lectura del artculo de L. Radford, anteriormente citado. geometra plana. Muchas de ellas aparecen bajo la forma de una construccin que es requeridaenelenunciadoycuyoprocedimientodetrazadoseincluyeenla demostracin. Esas construcciones se apoyan, paso a paso,tanto en las definiciones, postuladosynocionescomunesqueencabezaneltratadocomoenlasproposiciones anteriores.Enalgunoscasos,sonutilizadosparaesasconstruccioneslospuntosde interseccin de rectas con crculos y de crculos con crculos.Por ejemplo, en la proposicin 1 del libro I, donde se demanda la construccin de un tringuloequilterosobreunarecta(segmento)dadaAB,seutilizaelpuntode interseccin de dos crculos previamente construidos. Euclides explicita y justifica en esta demostracincada paso meticulosamente a partir de las definiciones, postulados o nociones comunes que preceden a la proposicin, salvo la existencia de un punto comn entreamboscrculos.Esmsqueunameraomisindelajustificacindeesta existencia: la misma no podra haber sido justificada a partir de lo que le precede5. Este es un hecho notable, sealado por todos los estudiosos de Euclides e interpretado con diferentes matices, segn la postura del historiador. Ejemplos parecidos encontramos en la proposicin 12 del libro I donde se construye una recta perpendicular a otra recta dada por un punto exterior a ella utilizando el punto que queda determinado por la interseccin de la recta con un crculo, o en la proposicin 22 tambindellibroIdondeseutilizaelpuntodeinterseccindedoscrculosenla construccin de un tringulo dados sus tres lados. Por qu Euclides da por sentado la existenciadeinterseccionessinplantearselanecesidaddeningnpostuladoquelo justifique? NotemosquelamencinalocontinuoenlosElementosapareceyaenelsegundo postulado: prolongar continuamente una recta finita en lnea recta. Pareciera que hay unsentidodeesetrminocompartidoentreEuclidesyloslectores,quequizssea cercanoalusocotidianodelapalabra.Lasinterseccionesdecrculosyrectas,bajo ciertascondiciones,puedenbienserconsideradascomoinnecesariasdejustificar, habida cuenta de este sentido comn de la palabra continuo, que se considera desde los postulados como atributo de las rectas o al menos de sus extensiones, sentido que probablemente se apoye en una cierta materialidad de la representacin.Sinembargo,alolargodelostrecelibrosEuclideshacealcontinuoobjetodeun tratamiento muy complejo. Es cuidadoso en demostrar y sealar muchos atributos de la recta -como ser la existencia del cuarto proporcional o de segmentos inconmensurables- que guardan una estrecha relacin con la continuidad. Son propiedades de las cuales es difcil tener una intuicin apoyndose en la representacin grfica o material de la recta.Para Maurice Caveing (Caveing, 1988) la ausencia en los Elementos de una explicitacin de la continuidad de la recta no debera interpretarse como que el continuo era para los griegos un dato de base, una abstraccin de lo emprico simplemente. l ha buscado hacer caer esa hiptesis mediante un ensayo que muestra la complejidad que se abre en el tratamiento del continuo tanto en los Elementos de Euclides como en la Fsica de Aristteles. Ha sostenido que esta omisin no puede simplemente tomarse como una ingenua utilizacin intuitiva del principio de continuidad, ya que el uso que hace Euclides de la nocin de recta involucra varios principios: orden denso de los puntos de la recta, orden total entre magnitudes de la misma especie, la existencia de la cuarta proporcional y de la n-sima parte; ...lejos de venir dados de entrada en una intuicin nica y primitiva, estos principios se manifiestan a travs del anlisis regresivo de los requisitos de diversos procedimientos operatorios (Caveing, op.cit. p.30). Caveing sostiene que en la elaboracin de lo que es la esencia de la recta hay elementos que 5 Para poder justificar la existencia del punto de corte sera necesario un postulado que explicitase la continuidad de la recta, al estilo del muy posteriormente aparecido postulado de Dedekind ( ver VI.1). La utilizacin del principio de continuidad de Dedekind para demostrar la existencia de estas intersecciones puede verse en la versin delos Elementos con notas de T. Heath, pg. 237 y 238 volumen I. provienen del estudio de relaciones entre magnitudes. Desde su punto de vista, la esencia de la recta se revel en el intento de medir un segmento con otro, cuando ambos son inconmensurables. El carcter ilimitado del proceso, ... revela la existencia, en el seno mismo de la finitud del segmento, de una infinitud que, an concebida como potencial, no puede pertenecer ms que a un objeto ideal que resulta definido en tanto que tal por ese propio proceso (Caveing, op.cit. p.31). No existe de antemano una intuicin racional que permita acceder a estas propiedades. Es un producto elaborado de la meditacin ontolgica y de la conceptualizacin matemtica (Caveing, op.cit. p.41). Ciertamente, la nocin de recta de Euclides no queda atrapada por la formulacin de los postulados, axiomas y nociones comunes, sino que se configura por todas las cuestiones inherentes a la recta que son tenidas en cuenta a travs de los XIII libros. Es posible hacer esta consideracin para las nociones que aparecen en toda obra matemtica. Ms an, podramos decir que los axiomas son, de algn modo, producto de los teoremas: hay un corpus terico de objetos, relaciones y propiedades que se quiere organizar y presentar, y se buscan axiomas, compatibles y minimales, que permitan la construccin de todo el corpus. En lo que resta de esta seccin analizamos en detalle algunos aspectos del tratamiento de la recta en los Elementos y finalizamos en II.4, con una reflexin sobre el atributo de la continuidad que retoma con matices las afirmaciones de Caveing. II.2 El tratamiento que reciban los nmeros y las magnitudes. Para los griegos slo tenan estatuto de nmero los nmeros enteros positivos. Los nmeros racionales no existan como tales, pero s se consideraban las razones entre nmeros enteros. Estas razones representaban la relacin entre dos longitudes, o ms generalmente magnitudes, que admiten una unidad de medida comn. Se cree que los pitagricos posean una teora de proporcionesparalasrazonesentrenmerosenteros,quepermitacompararlas.Estateora aparece formulada en los Elementos en el libro VII, a partir de la siguiente definicin (Euclides, libro VII, definicin 20): (Cuatro) nmeros son proporcionales cuando el primero es el mismo mltiplo,lamismaparteolasmismaspartesdelsegundoqueeltercerodelcuarto."Esto es, con una notacin ms moderna, decir que a,b,cyd son proporcionales si, cada vez que se tengan enterosm y ntales que ma=nb, resulta ser mc=nd.Observemos que, al tratarse de nmeros (naturales), siempre existirn infinitos pares de enteros m y n que cumplan ma = nb.En cuanto a las magnitudes, se consideraban razones solamente entre magnitudes de la misma especie (longitudes con longitudes, reas con reas), mientras que las proporciones o cuaternas proporcionales, estaban constituidas por dos razones, pudiendo ser cada una de ellas constituida por magnitudes de diferente especie. Las razones entre magnitudes configuraban objetos que podan ser comparados entre s, pero no se definan operaciones entre ellos (las razones no se sumaban ni se multiplicaban).En el libro X, teorema 5, Euclides explicita que si dos segmentos tienen una medida comn, su raznesigualalaraznqueguardanentresdosnmeros(ytambinlarecproca) estableciendoconellolosalcancesyloslmitesdelonumricoparaeltratamientodelas magnitudes.Elreconocimientoporpartedelosgriegosdelaexistenciademagnitudes inconmensurables (esto es, el encuentro de magnitudes que no podan medirse ambas mediante una medida comn6) fue el motor para la construccin de una teora general de proporciones que incluyera las razones entre estas magnitudes. Esta teora permiti el tratamiento de nuevos problemas,comolasemejanzadefiguras,planteandolainteraccinentrelonumricoylas magnitudes de un modo mas fino.Secreequeestateorageneraldeproporciones,queincluyearazonesentresegmentos inconmensurables y que aparece en el libro V de los Elementos se debe a Eudoxo, del siglo IV a.C.7. La definicin que aparece en el libro V, definicin 5 es: Se dice que (cuatro) magnitudes 6 Como es sabido, es un conocimiento que posean los Pitagricos en el siglo V a. C., y que era celosamente guardado, ante la perturbacin que podra producir. 7 El hecho de que la nueva teora aparezca en los Elementos dos libros antes que aquella que se aplica a segmentos con medida comn, es una marca indudable de que gran parte del material que aparece en el estn en la misma razn la primera con la segunda y la tercera con la cuarta, cuando al tomar cualquierequimltiplodelaprimeraylaterceraycualquierequimltiplodelasegundayla cuarta, el mltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, segn que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta. En una notacin moderna, esta definicin establece que la razn a:b es igual a la razn c:d si al multiplicar a y c por cualquier entero m y b y d por cualquier entero n, se tiene que: si ma < nb entonces mc < nd; si ma = nb entonces mc = nd; y si ma > nb entonces mc > nd. Por otro lado, si aceptramos comparar razones entre magnitudes con razones entre nmeros, la condicin de igualdad en la definicin de Euclides podra reescribirse del siguiente modo: cada vez que m:n >a:b resulta que m:n>c:d (anlogamente en los otros casos). Nuestros conocimientos actuales, que incluyen considerar las razones entre nmeros como nmeros, nos permiten reinterpretar esta definicin afirmando que a:b y c:d definen la misma razn si resultan ser cotas del mismo conjunto de nmeros racionales.Estateorapermitialosmatemticoshacerprogresosimportantesengeometrayotorg fundamentos lgicos para el tratamiento de razones entre magnitudes inconmensurables aunque no se utilizasen nmeros para la expresin de esas razones (algunos autores eligen por ello el trmino de inexpresables para estas razones).Analicemosdesdeelpuntodevistaactuallarelacinentreinconmensurabilidade irracionalidad. Al comparar las longitudes a y b de dos segmentos que notaremos A y B, pueden ocurrir tres cosas:El segmento Acabe una cantidad entera n de veces en el segmento B,en ese caso podemos expresar la longitud b tomando como unidad de medida la longitud ay decir que b = n.a. Recprocamente, si se tiene esta igualdad para algn natural n, entonces el segmento A mide a B, y su medida es n (cabe una cantidad entera n de veces).Si ningn mltiplo entero de A es igual a B, puede ocurrir que se pueda dividir A en m partes iguales, para cierto m, de modo tal que el segmento A/m quepa exactamente n veces en el segmento B. En ese caso resulta que b = n/m . a.Tanto en este caso como en el primero, hemos encontrado una medida comn para ambos segmentos y por ello se dice que son conmensurables. Si asignramos el nmero 1 a un segmento cualquiera sobre la recta, a cada segmento conmensurable con l correspondera un racional m/n. Hayunaterceraposibilidadyesqueningunadivisinenpartesigualesdel segmento A sirva para medir a B. En ese caso se dice que A y B son inconmensurables. La inconmensurabilidad es entonces un atributo posible de aplicar a un par de segmentos, ynoaunosolo.Esunacaractersticadelarelacinqueguardanentresciertos segmentos.Atodosegmentonoconmensurableconelsegmentoconsideradocomo unidad, corresponde un nmero irracional. Varios autores e historiadores de la matemtica acuerdan en que la teora de proporciones del Libro V no sienta las bases de un sistema numrico. Exponemos aqu algunos elementos que, desde nuestro punto de vista, pueden sustentar esta postura. A pesar de que Euclides nunca defini la nocin de magnitud, ni su igualdad ni su equivalencia, encontramos en los Elementos un tratamiento fino de las magnitudes geomtricas. Problemas como construirsobreunsegmento,unrectnguloigualaotrodado(se refiere a igual en rea),opartirunsegmentodadoendos,paraobtenerunrectnguloigual(enrea)aun cuadradodado,se resuelven por construcciones y aplicacin de propiedades geomtricas. Se comparan magnitudes, pero no se miden, no se asocia un nmero a un rea o a una longitud, porque no se determina una unidad. Por otro lado, la comparacin entre razones de magnitudes da por resultado propiedades de las figuras que hoy convertimos en numricas. Por ejemplo, despusdellibroVencontramoslostringulosenlamismabandasonentrescomosus bases, los crculos son uno a otro como el cuadrado sobre sus radios. Son propiedades que cristalizaron en el tiempo en frmulas para hallar la medida del rea de esos objetos. libro es una recopilacin, reorganizacin y sistematizacin de muchos conocimientos que se haban ido produciendo a lo largo de varios siglos. Encuantoalasoperacionesrealizablesentremagnitudes,lasumatieneunsignificado geomtrico: es la magnitud asociada a una figura o segmento que resulta de la unin de las dos dadas. Tambin es considerada geomtricamente la multiplicacin y divisin de una magnitud porunnmeronatural8.Elproductodedosmagnitudessloaparececuandosetratade longitudes, considerndolo como el rectngulo comprendido por los dos segmentos. Es lo que haceEuclidesapartirdellibroII.Laigualdada/b=c/dparaa,b,cydlongitudessehace equivalente a a.d=c.b, tratada entonces como una igualdad de reas de dos rectngulos. EnellibroVIsemuestranconstruccionesquefueroninterpretadasposteriormenteylo continansiendo-comolasolucinaciertasecuacionescuadrticas:seconstruye geomtricamente el segmento x, solucin de las ecuaciones x(x-a)=b, y x(x+a)=b, para b un rea dada y a una longitud dada. El tratamiento de los problemas cuadrticos se remonta a la poca de los babilonios, un ejemplo clsico es el problema Aad la superficie y el lado de mi cuadrado,yesoesque hoy podra escribirse x2+x=3/4, problema cuyo enunciado detenta una cierta libertad para adicionar magnitudes de distinta especie. Durante bastante tiempo se leyentrminosnumricoslassolucionesqueellosdabanaestetipodeproblemas. Interpretacionesmsrecientes(Hyrup,1985citadopor.Radfordylmismo,enRadford, 1996)restituyenuncorazngeomtricoalosmtodosbabilnicos.Porejemplo,parael problema clsico citado anteriormente, el algoritmo babilnico que comienza partiendo el uno en y , es interpretado geomtricamente como la consideracin de dos rectngulos de lados yx,queseacomodanparacompletaruncuadrado(verRadford,1996).Conesta interpretacin, el uno estara siendo considerado como longitud. Esta consideracin de unidad de longitud, necesaria para poder interpretar como reas las sumasde reas con longitudes, es diferente del tratamiento que hace Euclides en los Elementos.Otramanerade considerar la suma de reas y longitudes es la que propone Ren Descartes (1596-1650) diecinueve siglos despus, ubicando en una lnea longitudes y reas, posibilitando as la realizacin deoperaciones entremultiplicaciones de cualquier grado (longitudes, reas, volmenes, etc.). Hemos querido mostrar en parte la compleja relacin que estableci Euclides entre nmeros y magnitudes va el tratamiento que hace de estas ltimas en distintos libros de los Elementos . II.3 El papel de la geometra en la matemtica griega El hecho de no poder expresar numricamente las razones entre magnitudes inconmensurables signific para la matemtica griega una cierta tensin entre el desarrollo de la aritmtica y el desarrollo de la geometra. La utilizacin de los nmeros entraba en el mbito de la aritmtica y allsetratabasiempredefenmenosdiscretos,mientrasquelageometraseocupabade magnitudes continuas. Como hemos visto, la teora de las proporciones del libro V estableca un complejo nexo entre ambas entidades. La geometra se constituy as en el dominio natural de validacin del trabajo con magnitudes continuas. De hecho sta sigui siendo la situacin hasta los siglos XVII y XVIII y recin en el siglo XIX comenz a dudarse de la rigurosidad de los argumentos basados en consideraciones geomtricas. II.4 Una reflexin final sobre el atributo de la continuidad El estudio que hemos realizado sobre el tratamiento que hace Euclides en los Elementos, nos ha permitidoidentificaraspectosbastantediferenciadosenlaspropiedadesdelarectaqueson todos relativos a la continuidad: Estnporunladoaquellaspropiedadescomolainterseccindecrculosy/orectasque puedenconsiderarsecomonaturalesdesdeunsentidocercanoalusocotidianodela palabra continuo . Ese atributo de la recta puede ser inherente a una imagen mental de ella, 8 La divisin de un segmento en n partes iguales, recibi un tratamiento particular (Libro VI, Teorema 9), apoyado en el Teorema de Thales. que se apoye en representaciones grficas u otro tipo de representacin material. Euclides considera implcitamente estas propiedades como propiedades de la recta. Hayunsegundogrupodepropiedades,queenlosElementosestnrepresentadaspor ejemplo, por la existencia del segmento cuarto proporcional, la existencia de magnitudes inconmensurablesyeldispositivodelLibroVparatratarconlasrazonesdedichas magnitudes.Estaspropiedades,quesehacenvisiblesapartirdeunaproblematizacin, requierenunamatemticafinaylapuestaenmarchademtodoscomoelprincipiode exhausin para comparar y calcular reas. Euclides se hace cargo plenamente de ellas en los Elementos y es muy cuidadoso en su tratamiento. El segundo grupo de propiedades y sus formas de tratamiento en los Elementos, tuvieron una saludable evolucin en la matemtica. Podramos ubicar por ejemplo al principio de exhausin enlosorgenesdelclculoinfinitesimal.Eselcuestionamientodelanaturalidaddelprimer grupo de propiedades lo que dio la posibilidad de enfrentarse con el problema de la completitud veintids siglos despus. II.El intermediario rabe y la Europa Medieval III.1 El surgimiento del lgebra y su relacin con la geometra Una buena parte del desarrollo de la matemtica ha seguido la tradicin de la matemtica griega, en la cual, como vimos anteriormente, las magnitudes continuas fueron consideradas en el seno lageometra.Desdenuestropuntodevista,estehechonecesariamenteligaelprocesode configuracin de un dominio numrico completo con la geometra. Es por esta razn que nos interesa ahora focalizar nuestra atencin en la evolucin de la relacin entre la geometra y el lgebra, herramienta esta ltima que comienza a construirse para la resolucin de problemas numricos.Comenzaremos comentando brevemente algunos rasgos del desarrollo del lgebra de los rabes. Al-Khowrizm, alrededor del ao 825 de nuestra era, en su libro Al-jabr wal muqbala (fuente de la palabra lgebra) se ocup de la resolucin de ecuaciones cuadrticas. Esta obra posee un niveldedesarrolloimportanteencuantoalasnotacionesylasistematizacindeciertos procedimientos algebraicos. Para la resolucin de una ecuacin se efectuaba primeramente un tratamiento algebraico completando cuadrados y se daba luego una demostracin de la validez de lo obtenido va una construccin geomtrica9. Una lectura posible de este hecho es que la resolucinalgebraicaeravistacomoinsuficienteparacompletarlasolucindelproblema. Probablementelanuevaherramientaalgebraica notenaunestatutocomoparaseraceptada comoinstrumentodevalidacininterna.Lageometra,porsuparte,constituaundominio slido y aceptado para la validacin.EldesarrollodellgebraenEuropa,duranteelsigloXVIypartedelsigloXVIIsigui apoyndoseenlossignificadosgeomtricos,continuandolatradicindelosrabes.Por ejemplo, Franois Vite (1540-1603) daba sentido a una ecuacin como x3 + 3ax = b diciendo que x3 es de especie voluminosa, y por lo tanto 3a deba ser plana y b un slido. Esta situacin empez a revertirse a partir de los trabajos de Rafael Bombelli (1526-1572) y Descartes:unpasoimportantefuerepresentara2ya3comosegmentoslinealesynocomo cuadrados o cubos. El desarrollo de la geometra analtica trajo como consecuencia modificar la relacinentrelageometrayellgebra.Hastaesemomento,lageometraparecaser considerada como necesaria para validar los resultados que se pudieran obtener por el clculo algebraicoqueseestabadesarrollando.ElplandeDescartesfuebienotro:transformarlos problemasgeomtricosenotrosalgebraicos-valarepresentacindepuntosconparesde nmeros-yresolvernumricamentelasecuacionesobtenidas.Podramosdecirque anteriormente se modelizaban los problemas algebraicos va la geometra, mientras que la idea de Descartes fue utilizar el lgebra como una herramienta para resolver y validar problemas geomtricos. 9 Hay un ejemplo completo de esta doble resolucin en (Kline, 1994), volumen 1, pag 261.

III.2 Ala hora de encontrar races En el libro de Zariski (Zariski, 1926, nota 10) se muestra como Girolamo Cardano (1501-1576) hace uso implcitamente de la idea de completitud para examinar las races positivas de una ecuacin cbica que con nuestra notacin se escribe x3 +q =px2 (p>0, q>0). Segn el relato de Zariski, Cardano asume que hay un nmero positivo N de modo tal que si x=N se tiene que x3 +q px2 (Cardano observa por ejemplo que (p+q)3+q>p(p+q)2 ), l deduce entonces que existen dos races positivas, una entre 0 y N y otra entre N y algn valor grande de x. Qu conjunto numrico est usando ac Cardano? Qu propiedades de ese conjunto permiten fundamentarlaexistenciade unaraz?Loquevemosesunuso implcitodeloquehoy se conocecomoelteoremadeBolzano,queseapoyaaparentementeenunaintuicinde completitud del dominio numrico. Zariski muestra como Cardano hace uso de esta ideano solamente para reconocer la existencia de races en las cbicas, sino tambin para fundamentar un clculo aproximado de una raz de una ecuacin cbica de la forma f(x)=k 10. Damos una interpretacin geomtrica de la regla que utiliz Cardano: a partir de los dos datos (a,f(a)) y (a+1,f(a+1)), se aproxima el arco de curva que pasa por esos dos puntos con el segmento de recta que los une. Eso permite encontrar el nmero que corresponde a la abscisa del punto de interseccin entre el segmento de recta y la recta y=k, nmero al que se toma como primera aproximacin de la raz. Reiterando el procedimiento pero ahora con el nmero obtenido y uno de los dos anteriores, se obtiene una aproximacin de la raz cada vez mejor. Zariski muestra tambin que hay indicios de que Bombelli examin el argumento de Cardano para la existencia de races y ofreci una justificacin en la que se apela a la continuidad del movimiento, utilizando un dibujo. Veamos ese argumento, expresado en el lenguaje de nuestros das (Cf. (Zariski, op.cit. p.260-261). Para asegurar la existencia de una solucin a la ecuacin que escribimos x3 = px + q, con p>0, q>0, se dibujan dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto B, en una de ellas se marca elsegmento AB, que se considera como unidad, y en la otra se marca el segmento HB de longitud q/p, medida en relacin a la unidad. Sobre esta ltima se marca el punto D, a una distancia arbitraria del punto B. A continuacin se traza por D, la perpendicular a AD,hasta encontrar el punto E de interseccin con la recta que contiene a AB, y se determina el punto K, que es la interseccin de la paralela a HB que pasa por E y la paralela a BE que pasa por H. H K ABCE D Finalmente se obtiene el punto C, que es la interseccin de la recta que contiene AB con la recta quecontieneaDK.Apartirdelasemejanzaentrelostringulos BDCyHDKysiendolas longitudes de los segmentos HK y BE iguales, se obtiene la siguiente relacin entre longitudes: HDBEBDBC= ().Porotroladoapartirdelasrelacionesquepuedenestablecerseentrelas alturas y los lados de un tringulo rectngulo, tenemos para el tringulo ADE: BEBDBDAB= , de donde BE =1y por lo tanto BE =2. Volviendo a () se tiene que 10 Una explicacin del procedimiento de Cardano se encuentra en (Zariski, op. cit. p.257) pq ppqHDBE BDBC +=+== 3 2. CitamostextualmenteaZariski:haciendovariarconcontinuidadde0a,haciendo entonces recorrer al punto D la semirrecta BD, el segmento BC vara con continuidad de 0 a . Setendrportantounvalorde0porelqueresultaBC=p,conloquese tendr 1030=+ q p , esto es, 03 = 0 p+q (Zariski, op.cit. p.261, traduccin libre).La idea de que al variar , la longitud del segmento BC vara de 0 a infinito tomando todos los valores, en particular el valor p, es una utilizacin implcita de la continuidad de la recta y de la completitud del dominio numrico. Hay adems una idea subyacente de continuidad funcional: al mover una variable con continuidad, la otra se mueve del mismo modo. Probablemente, la utilizacindelosgrficosenlosqueBombelliapoyasurazonamiento,nodalugarala problematizacin de la existencia del valor 0. La aplicacin de esta idea, precursora si se quiere del teorema de los valores intermedios, aparece muy utilizada por los matemticos a partir de los trabajos de Cardano y Bombelli (por ejemplo, Simn Stevin (1548-1620) y Vite hicieron uso de este principio para el clculo aproximado de races).

III.3 Los nmeros irracionales y su estatuto epistemolgico La aceptacin de los nmeros irracionales como nmeros, es una instancia necesaria parapoderconsiderarlacompletitudcomounproblemaatratar.Enestepargrafo vemossomeramentecmohaidoevolucionandoestacuestinentrelossiglosIXy comienzos del XVII. Al-Khowrizm utiliz magnitudes irracionales, a las que ha llamado gidr asamm (raz muda o ciega)11. En los comienzos del siglo X naca una nueva concepcin de nmero. Una seal de esto es el empleo de la misma palabra (adad) para todos los nmeros (al-adad al muntiqa para losracionalesyal-adadal-summaparalosirracionales).Progresivamentelosnmeros irracionalessefuerontornandocompletamenteunobjetodellgebraydelaaritmtica(cf. Dahan-Dalmedico et alp.101) En el ao 1077 Omar Al-Khayym retom la teora de proporciones expuesta por Euclides en el libro V. Si bien no la rechaz, aconsej la utilizacin del mtodo de las fracciones continuas para comparar razones entre segmentos inconmensurables e intent establecer una equivalencia lgica entre ambas teoras. Al-Khayymse pregunt tambin por la naturaleza de las razones y su relacin con los nmeros: sin resolver definitivamente la cuestin, consider que cualquier razn,constituidaonoporsegmentosconmensurables,debapoderexpresarsecomoun nmero. Su postura permaneci sin difusin por casi cinco siglos: fue publicada en Europa en el ao 1594 en idioma rabe, y en una traduccin latina en 1657. Mientras tanto en Europa hallamos posiciones encontradas sobre la naturaleza de los nmeros irracionales.AsMichaelStifel(1486-1567)ensuobraArithmeticaIntegradice:[...]por consiguiente, de la misma forma que un nmero infinito no es un nmero, un nmero irracional no es un nmero verdadero, sino que yace oculto en una nube de infinitud" (Citado por Kline, 1994, p.337). Por otro lado Stevin, como lo seala Waldegg (Waldegg, 1996) hace un tratamiento del nmero ligndolo a la cantidad sin que se produzca oposicin entre lo discreto y lo continuo, buscando 11 En el siglo XII ese trmino fue traducido al latn como surdus y hasta el siglo XVIII los nmeros irracionales eran llamados tambin nmeros sordos. reconstruir el concepto de nmero a partir del establecimiento de un isomorfismo operatorio entre nmeros y cantidades, aceptando que se puede operar con los nmeros del mismo modo que se manipularan las cantidades en general. La definicin que da Stevin de nmero es El nmeroesaquelloporlocualseexpresalacantidaddecadacosay a continuacin, y en maysculaseneloriginal,diceQUEELNMERONOESUNACANTIDAD DISCONTINUA, negando la discretitud del nmero como una caracterstica de su naturaleza. Buena parte de su trabajo se orient a mostrar que el dominio de los nmeros es homogneo en el sentido de que los nmeros se independizan de sus orgenes y es posible operar con ellos sin referirsealascantidadesdedondesurgieron.lintentquesereconocieraalosnmeros irracionalescomoverdaderosnmeros,ysemanifestencontradelautilizacindelos trminos irracional e inexpresable. IV. El desarrollo del clculo, sobre qu sistema numrico? El desarrollo del clculo en los siglos XVII y XVIII estuvo vinculado principalmente a cuatro problemas (cf. Katz, 1998, Kline, 1994). El primero consista en obtener, dada una frmula de distancia en funcin del tiempo, la velocidad y la aceleracin en cada instante; recprocamente, dada la frmula que describe la aceleracin, obtener la velocidad en cada instante y la distancia recorrida. El segundo problema era encontrar tangentes a una curva. Este problema provena por unladodelanecesidaddeconocerlasnormalesalascurvasparalaconfeccindelentes pticas; por otro lado, interesaba la tangente en tanto representaba la direccin del movimiento de un cuerpo mvil. El tercer problema era hallar los valores mximos y mnimos de ciertas funciones. Este problema tambin provena de necesidades prcticas. Por ejemplo, se buscaba el nguloquemaximizaraelrecorridodeunabalalanzadaporuncan,tambinlasalturas mximas alcanzadas por proyectiles lanzados a distintos ngulos. Con relacin al estudio de los movimientos planetarios, interesaba conocer la mxima y mnima distancia de un planeta al sol. El cuarto problema era la obtencin de volmenes acotados por superficies, reas acotadas por curvas, longitudes de curvas y centros de gravedad. Este problema provena fundamentalmente delintersenelmovimientodelosplanetas,enelclculodedistanciasrecorridasyenla atraccin gravitatoria. La naturaleza de estos cuatro problemas, desde nuestro punto de vista, condiciona la percepcinde la problemtica de lacompletitud en este perodo. Todos son problemasen los cuales la matemticaactacomoherramientademodelizacin;sebuscabacalcularunaalturaouna distancia cuya existencia est dada en el fenmeno que se estaba estudiando: escapaba a esta problemtica el cuestionamiento sobre la naturaleza del nmero buscado. Es la existencia de solucin en el modelo matemtico lo que hace necesaria la completitud del sistema numrico con el que se trabaja, pero no es ese el problema que estaba en juego en este perodo. Hay razones de otro orden que hacen que la cuestin de la completitud no sea considerada en losprimerosdesarrollosdelClculo:enlamatemticagriega,pocascurvashabanestado definidas por movimientos (tal es el caso de la cuadratriz y la espiral de Arqumedes) y no se las considerabadentrodelamatemticapropiamentedicha.EnelsigloXVIIlasituacinera diferente, la nocin de curva que prevaleca en ese momento era la de lugar geomtricodeun puntomvil12. Pensamos que este modo de definir a las curvas les imprime necesariamente la continuidad que les da el movimiento. Isaac Newton (1642-1727) explicita estas ideas enla introduccin de su Tratadosobrelacuadraturadelascurvas: Enestetrabajoconsiderolas magnitudesmatemticasconstituidasnoporpartesarbitrariamentepequeas,sino engendradas por un movimiento continuo. Las lneas no se engendran mediante suma de partes, sinoporelmovimientocontinuodepuntos,lassuperficies,porelmovimientodelneas,los 12 Por ejemplo Galileo consider la parbola como el lugar geomtrico que describe un punto que modeliza la trayectoria de un proyectil. Tambin se defini en este perodo la cicloide como el lugar geomtrico que describe un punto fijo de una rueda que gira. Para ampliar este punto se sugiere la lectura de (De Gandt, 1988) slidos por el movimiento de superficies, los ngulos por la rotacin de sus lados, los tiempos, por el flujo continuo, y as en otros casos semejantes. Para tener una idea del modo de trabajo de Newton presentamos como ejemplo el lema 7 de los Principia en donde se trata de probar que el arco ACB, la tangente AD y la cuerda AB son iguales en el lmite para una figura como la siguiente: ADd C c B b Se supone que ACB es el arco de una curva dada, el punto A est fijo igual que la tangente AD. El punto B recorre el arco acercndose a A y trae consigo a la cuerda AB. El punto d se fija sobre la tangente y, para cada posicin de B, se determina el punto b de modo que BD sea paralelo a bd, y se considera un arco Acb de manera que resulte semejante al arco ACB. Leemosenlademostracin:PorquemientrasqueelpuntoBseacercaalpuntoA, supongamos siempre que AB y AD son prolongados hasta puntos b y d lejanos y que bd ha sido trazadoparaleloalasecanteBD,yqueelarcoAcbseasiempresemejantealarcoACB. CuandolospuntosAyBsealcanzan,envirtuddellemaprecedente,elngulodAbse desvanecer, en consecuencia las rectas Ab y Ad, que son siempre finitas, y el arco intermedio Acb, coincidirn, y en consecuencia sern iguales(De Gant, 1990, p.170). El tratamiento es de tipo geomtrico pues interviene la interpretacin de figuras y la consideracin de relaciones de proporcionalidad. Sin embargo traspasa los lmites de la geometra clsica, dado que, por una parte se incluye el movimiento en los razonamientos y por otra parte, se estudia la evolucin de las relaciones de proporcionalidad cuando algunos elementos de la figura tienden a posiciones lmites o son infinitamente pequeos. La curva ACB que es recorrida cuando B se acerca al punto A hereda necesariamente la continuidad que le imprime el movimiento. En cuanto a Gottfried Leibniz (1646-1716), su consideracin de los infinitsimos se ubica entre la formalidad y la interpretacin geomtrica. Como Newton, l tiende a considerar las razones de infinitsimos, ms que los infinitsimos mismos. Leibniz es consciente de que estos objetos, agregados a los nmeros usuales, no se pueden comparar con ellos: un nmero y un infinitsimo guardan entre s una relacin como la de una recta y un punto (no se le agrega nada a una recta siseleagregaunpunto):infinitsimosynmerossonelementosderdenesdiferentes. Podramospensarqueagregarlosinfinitsimosalconjuntodenmerosracionalesesuna manera de rellenarlo aunque el conjunto numrico as extendido con infinitsimos pierde su propiedad de arquimedianidad13. Las razones entre magnitudes en juego en estos tratamientos tempranos del clculo, no siempre son expresables por cocientes de nmeros enteros. La precisin en la definicin de la nocin de lmite de estos cocientes queda as sujeta a la clarificacin del concepto de nmero real. V. Comienzos del siglo XIX: los trabajos de Bolzano y Cauchy en el plan de aritmetizacin del anlsis. V.1 Las exigencias de rigor 13 Un conjunto ordenado es arquimediano si para todo par de elementos a n 0 N, n0 =n0( ) tal que si n > no, p>0 se tiene que |xn+p -xn|bobienba o bienb0,yb>0sondosnmeroscualesquiera,siemprees posiblesumaraasmismounasuficientecantidaddevecescomoparaquelasumaresulte mayor que b. Simblicamente a+ a+ + a> b IV2.(AxiomadeCompletitud)Noesposibleadjuntaralsistemadelosnmerosalguna coleccindeobjetosdemaneraquelacoleccinresultantesigasatisfaciendolosaxiomas anteriores,dichoenpocaspalabras,losnmerosformanunacoleccindeobjetosqueno puede ampliarse sin que deje de cumplirse alguno de los axiomas precedentes.Con una denominacin actual, podemos decir que con estos axiomas Hilbert define al conjunto Rcomouncuerpoordenadoarquimedianomaximal.Haymuchoscuerposordenados arquimedianos,porejemplo,Qconelordenusualesunodeellos,ocualquierextensin algebraica Q(n)24. Estos cuerpos no son maximales en el sentido del axioma de completitud enunciado por Hilbert (ambos estn contenidos estrictamente en R). partir de Q, ser necesario la formalizacin de N, cosa que realiza Giuseppe Peano (1858-1932). 23 Los axiomas de continuidad de la recta son:V,1 (Axioma de la medida o axioma de Arqumedes) Si AB y CD son segmentos cualesquiera entonces existe un nmero n tal que n segmentos CD construidos contiguamente desde A a lo largo de la direccin desde A hasta B, pasarn al punto B V,2 (Axioma de la completitud de la recta) Es imposible extender en un conjunto de puntos a la recta con sus relaciones de orden y congruencia de modo que se preserven las relaciones existentes entre los elementos del conjunto original y las propiedades fundamentales del orden y la congruencia de la recta que se siguen de los axiomas I, II, III y V,1. 24 Llamamos Q(n) al cuerpo generado por los elementos de la forma a+bn, con a, b Q. En cuanto a la arquimedianidad, esta es una propiedad que es necesario incluir como axioma en la formulacin de Hilbert, mientras que, en las construcciones hechas por Cantor y Dedekind esunapropiedadqueverificanlosconstructos.Unaexplicacindeestehechoesqueenlas construccionessehatomadocomopuntodepartidaalconjuntodelosracionales-quees arquimedianoconelordenusual-ysehaestablecidounordenparalosnuevosnmeros extendiendo al de los racionales, de manera tal que se conserva esta propiedad: en ninguna de las dos construcciones aparecen elementos nuevos mayores que todos los elementos de Q ni elementospositivosmenoresquetodoracionalpositivo.Enlapresentacinaxiomticade Hilbert, en cambio, en la que se define a los reales como un conjunto de objetos que satisfacen ciertas propiedades, es necesario explicitar la arquimedianidad pues no se desprende de los otros grupos de axiomas. VII. 2 Mtodo axiomtico versus mtodo gentico, segn Hilbert. Actualmente,enalgunoscursosytextosenlosquesepresentaaxiomticamenteaR25,las construcciones hechas por Dedekind y Cantor juegan un papel definido: se vuelven modelos para demostrar la consistencia de ese grupo de axiomas (consistencia que en definitiva, descansa en la consistencia de Q). Sin embargo, a fines del siglo XIX, la va constructiva no era vista comoproveedorademodelosdelasdefinicionesdadasaxiomticamente.Hilbertreflexiona especficamente sobre la relacin entre estas dos vas en (Hilbert, 1899), antes de enunciar los axiomas: Cuando damos un vistazo en la literatura a los muchos trabajos sobre la aritmtica y sobre los principios de la geometra y los comparamos entre s, nos damos cuenta que aparecen analogas o comparaciones, o elementos que tienen en comn los distintos objetos y no solo eso, sino tambin analogas en los mtodos de la investigacin. Primero veamos la forma y el mtodo con el que se introducen las definiciones, cmo aparecen los nmeros. A partir de la definicin del nmero 1, uno piensa normalmente en el proceso de contaralospositivosracionales2,3,4,etc.,despussepiensaenlasustraccinypor consiguiente en los nmeros negativos. Luego se define ms adelante una fraccin como un par denmeros,yunnmerorealsepiensacomounasucesinfundamentalderacionales indefinida. Podemos nombrar a este mtodo de introduccin a los nmeros como mtodo gentico, porque aparece la forma ms general de los nmeros reales, a travs de sucesivas extensiones de cosas ms fciles.(Hilbert (1899) p.180, traduccin libre) Hilbert se refiere aqu a una gnesis posible, que no necesariamente responde al orden en el que se ha ido definiendo cada conjunto numrico en la matemtica. En distintos momentos de la historia, la extensin del conjunto numrico en uso, se produce -no sin una importante tensin- a partir de las limitaciones que el mismo plantea para resolver algn problema26. Los racionales, por ejemplo, fueron definidos antes que los enteros negativos y estos ltimos comenzaron a ser considerados casi al mismo tiempo que los nmeros imaginarios, cuando se trataba de resolver la ecuacin cbica. Es posible pensar a esa gnesis propuesta por Hilbert como una gnesis que responde al problema de extender o generalizar; sin embargo, sta es una problemtica que no perteneca al universo de trabajo de los matemticos de los siglos anteriores27. 25 Los axiomas con los que se define a R en la actualidad son algo diferentes de los que introdujo Hilbert.26 Reconocemos tambin condicionamientos que operan en el sentido inverso al que hemos identificado en este prrafo: la concepcin que se hacen los matemticos, en una poca dada, de la nocin de nmero [...] determina los lmites de sus prcticas aritmtico - algebraicas (Dahan-Dalmedico & Peiffer ( 1986),p. 101).27 Algunas presentaciones escolares sostienen la necesidad de cierre de las operaciones como una justificacin de la creacin de los diferentes conjuntos numricos. Esto plantea un problema didctico:cmo hacer vivir en el aula la necesidad del cierre de una operacin, y que esto genere la tensin suficiente como para provocar la extensin de dominios numricos? En el caso de los nmeros reales, adems, a partir de la necesidad de que las operaciones cierren, es posible atrapar a algunos nmeros irracionales pero no a todo el conjunto R. Encuantoalmtododetrabajoengeometra,Hilbertafirma:Esmuydistintocuandose trabaja en geometra. All uno toma la existencia de ciertos elementos con los que empieza, por ejemplo empieza con tres sistemas de cosas, los puntos las rectas y los planos y a partir de esos elementosunovaconstruyendoelrestodeloselementossiguiendoelmodelodeEuclidesa partirdeciertosaxiomas,comolosaxiomasdeconexin(ocomposicin),deorden,de congruenciaydecontinuidadponiendoesosaxiomasunosconotrosyrelacionndolos.Es necesario en ese caso fijarse que no haya contradiccin y que est todo completo en el sentido de que debe ser probado que usando esos axiomas no se llega a contradiccin y ms aun que el sistemadeaxiomasqueunotienepruebetodoslosteoremasgeomtricosqueunoconoce. Queremos llamar a este mtodo de investigacin el mtodo axiomtico. (Hilbert, 1899, p.180-181, traduccin libre) Y establece: Nospreguntamossirealmenteelmtodogenticoeselmsadecuadoparael estudio de los nmeros y el mtodo axiomtico para el estudio de la geometra. [...]. Mi opinin eslasiguiente:Apesardelaltovalorpedaggicoyheursticodelmtodogentico,parala presentacindefinitivayfinalylatotalseguridadlgicadelcontenidodenuestro conocimiento,merecepreferenciaelmtodoaxiomtico.(Hilbert,1899,p.181,traduccin libre).Enelincisosiguienteestudiamosdesdeotronguloelpapeldelmtodoaxiomticoenel trabajo matemtico28. VII.3 Producir y comunicar Nos proponemos hacer una reflexin que reposa sobre la consideracin de dos tipos diferentes deestadosdelossaberesmatemticos:elsabercomoproductodelaactividaddel matemtico,yelsaberorganizadoparalacomunicacin29.Ubicamosalmtodoaxiomtico vinculado a los dos estados mencionados.Si pensamos en la produccin de conocimiento matemtico, nos resulta til separar dos aspectos diferentes del trabajo: por un lado, el enunciado de conjeturas yteoremas y por otro la actividad de validacin de los mismos. Desde nuestro punto de vista, resulta limitado el aporte del mtodo axiomticoparallegaralenunciadodeteoremasponiendoesosaxiomasunosconotrosy relacionndolos,porsimplecombinatoriadeductiva.Almenosnoparecequeseramuy relevante una teora constituida mayormente por teoremas de este tipo. Hay una componente fuerte en el trabajo matemtico que no se deja atrapar por la actividad de deducir lgicamente. Es para la demostracin de los teoremas enunciados, que la deduccin lgica adquiere toda su potencia:enopinindeHilbert-opininqueenciertosentidorigilosdestinosdela matemtica en el siglo XX- el mtodo axiomtico es el ms seguro desde el punto de vista de la validacin. Es por esto que ubicamos a la axiomtica inmersa en el proceso de produccin de saberes.Ahorabien,esnecesariorelativizarestaseparacinentreenunciarconjeturasy validarlaspuestoqueenlosprocesosdedemostracinseproducenmuchasveces 28 Con el nombre de trabajo matemtico nos referimos aqu al tipo de trabajo clsico llevado adelante por la comunidad acadmica de los matemticos tericos de la segunda mitad del siglo XX.Nuestra reflexinno abarcara al trabajo ms actual de demostracin de teoremas va la computadora. 29 Dentro de la comunicacin de los saberes, distinguimos como diferentes la comunicacin a otros miembros de la comunidad matemtica ms ligada a la produccin de los saberes - y la comunicacin inscripta en un proyecto de enseanza y aprendizaje. Por ejemplo, reconocemos como prcticas diferentes la escritura de un artculo y la de un libro de texto, por su diferente grado de explicitacin y de contextualizacin, entre otras cosas. Un artculo, a diferencia de un libro de texto, se dirige a un pblico de especialistas que conoce el entorno del tema que se trata. La mencin al trabajo de otros matemticos se constituye en una exigencia de la escritura de un paper, mientras que estas referencias no necesariamente se incluyen en la presentacin de un tema en un libro de texto. Por otro lado, dentro de la comunicacin inscripta en un proyecto de enseanza y aprendizaje es muy distinto si se trata de una primera presentacin de un tema o si se trata de un resumen o una puesta al da como punto de partida para comenzar con nuevos temas. La problemtica de la comunicacin de los saberes ha ocupado la atencin tanto de matemticos (cf. Thurston, 1994, seccin 3) como de numerosos especialistas en didctica de matemtica, (cf. por ejemplo Chevallard, 1985). modificaciones en las formulaciones iniciales como producto del conocimiento que aporta la mismademostracin.Ejemplosdeestasmodificacionessonlasrestriccionesaldominiode validez de la afirmacin, o el agregado de hiptesis adicionales.Siahorapensamosenlacomunicacindelossaberes,elmtodoaxiomticoadquiere protagonismo en tanto los saberes que se axiomatizan son saberes ya producidos conformados porobjetos,propiedadesyrelacionesentreestosobjetos-quesereorganizanparasu exposicin. Hilbert aade al final de los axiomas que definen a R que reconocemos a partir de estolaconcordanciadenuestrosistemaconelconocidodelosnmerosreales de donde se puede inferir que l est pensando que sus lectores ya conocen el sistema de los nmeros reales. Una nueva prueba de que se trata de una reorganizacin de saberes que ya se tienen, que el lector tiene tanto como Hilbert.Hasta aqu hemos distinguido dos estados de los saberes matemticos ligados a la produccin y la comunicacin respectivamente. Si bien esta distincin nos ha resultado frtil para entender demaneramsfinaelpapeldelmtodoaxiomtico,esfrtiltambinponerendudala posibilidad de separar estos estados: a la hora de comunicar los saberes, se produce un proceso deorganizacinquenecesariamentemodificalossaberesproducidos.Elpapeldela axiomatizacinpuedeserentoncesmejorcomprendidosiseaceptaromperconelesquema primero se produce conocimiento y luego se comunica. VII.4 Cuando los axiomas aparecen en los textos: el final de este relato LaopinindeHilbertdelaconvenienciadelmtodoaxiomticoparalapresentacinfinal tarda ms de medio siglo en ser tenida en cuenta en los libros de texto. Hasta los aos 70, la mayor parte de los textos asumen el conjunto de los nmeros racionales como bien definido y, respondiendoarequerimientosqueprovienendelageometra,establecenlanecesidadde incorporarnmerosirracionales.Dependiendodelosautores,enalgunoscasossehaceuna construccin al estilo de Dedekind - por ejemplo el texto deG. Hardy (Hardy, 1958)-y en otros una construccin con encaje de intervalos racionales -por ejemplo en el texto de Richard Courant (Courant, 1971)-. Recin a partir de los aos 60, R comienza a ser presentado axiomticamente en los textos de anlisis. Los axiomas no difieren mayormente de los propuestos por Hilbert en lo que se refiere a las propiedades de cuerpo ordenado, pero s son diferentes en cuanto a la presentacin de la completitud.Enlamayoradelostextosconsultadoslacompletitudseenunciamedianteel axioma de supremo, recuperando explcitamente una propiedad del dominio numrico que haba sidoidentificadaporBolzanoensutratamientodelteoremadelvalormedio.Sonejemplos emblemticoseltextodeMichaelSpivak30(Spivak,1977)yeldeTomApostol(Apostol, 1995). VIII. Reflexiones finales Hasta aqu llega nuestra re-construccin del proceso histrico de construccin de la nocin de conjuntodenmerosreales.Enestareconstruccin-subjetivaynecesariamenteprovisoria- hemos intercalado la explicitacin de ciertas reflexiones, que aportan en el sentido de los usos didcticos que mencionbamos en la introduccin.Para concluir con este trabajo quisiramos aqu incluir otras reflexiones, algunas de ellas son enunciadas no tanto por su originalidad, sino por que hemos podido identificarlas a partir del ejemplo que representa esta construccin particular.En el pargrafo anterior hemos analizado el papel del mtodo axiomtico desde el punto de vista de las distintas componentes del trabajo del matemtico. Nos interesa ahora tomar el punto de vista de la enseanza. Los alumnos que llegan a un primer curso de clculoenlauniversidadhantenidopreviamentecontactoconalgunosnmeros irracionales, pero no se han enfrentado a la problemtica de la completitud, propiedad 30 El tratamiento que hace Spivak es bien interesante pues en su presentacin se muestran razones que hacen necesario incluir la completitud, en la versin dada por el axioma del supremo. queselespresentaentonces,porprimeravez,comounaxioma.Culessonlos alcances de una tal presentacin?Pararesponderenparteestapregunta,citamosaGuyBrousseau:Lapresentacin axiomticaesunapresentacinclsicadelamatemtica.Ademsdelasvirtudes cientficasqueseleconocen,parecemaravillosamenteadaptadaparalaenseanza. Permiteacadainstantedefinirlosobjetosqueseestudianconlaayudadenociones introducidas precedentemente, y as organizar la adquisicin de nuevos conocimientos conlaayudadeadquisicionesanteriores.Aseguraentoncesalestudianteyasu profesor un instrumento para ordenar su actividad y acumular en un mnimo de tiempo unmximodesaberesbastanteprximosalsabersabio.Evidentemente,debe completarseconejemplosyproblemascuyasolucinexigesuempleo.Peroesta presentacinborracompletamentelahistoriadelossaberes,esdecir,lasucesinde dificultadesypreguntasquehanprovocadolaaparicindeconceptosfundamentales, suusoparaplantearnuevosproblemas,lainjerenciadetcnicasypreguntasnacidas delosprogresosenotrossectores,elrechazodealgunospuntosdevistaencontrados falsosoburdosylasinnumerablesdiscusionesalrespecto.Encubreelverdadero funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y de describir fielmente desde el exterior, para colocar en su lugar, una gnesis ficticia ( Brousseau (1986), p.1). Todo el recorrido que se ha hecho en este trabajo puede servir para ilustrar la intrincada red de dificultadesypreguntas a la cual la presentacin axiomtica de R no permite acceder. Elconocimientodeestaredcontribuyeaunacomprensinmsprofundadel significado de la completitud31. Pero es claro que no es factible hacer presente toda esta historia en los primeros aprendizajes de este tema. La eleccin de la presentacin axiomtica en la enseanza universitaria de clculo, obedece sin duda a la necesidad de contar enunciados claros que sirvan como base del trabajo matemtico quesepretendedesarrollar.Yseguramenteunapresentacinigualmenteslidapero constructiva(a la Dedekind o a la Cantor) no seraadecuada para el inicio de los estudiantes en el clculo.RetomandolasobjecionesdeBrousseau,nosotrosidentificamosunproblemaenla presentacin axiomtica de R en la enseanza: se lleva a cabo antes del despliegue de relaciones ypropiedadesentreobjetosquesonlosquesedeseabanrecuperarapartirdeesa axiomatizacin. Si se presentara parte de la teora, de los resultados con los que se espera contar parael trabajo y luego los axiomas como los necesarios puntos de partida de este conjunto de teoremas, se podracomprender mejor el papel que cumple el axioma en la teora, la teora misma como teora axiomtica, y ms transversalmente, se puede empezar a comprender lo que es una teora axiomtica y como es su funcionamiento en el trabajo matemtico.Otra reflexin frtil para pensar la enseanza que se nos ha hecho visible apartir de este estudio esqueunamismaafirmacinmatemtica,cambiasuestatutoysusentidoendiferentes momentosdelahistoria,enrelacincondiferentesproyectos. Por ejemplo, hasta el inicio del siglo XIX,la propiedad de completitud tuvo un carcter instrumental, de modo tal que pareca ser verificada naturalmente por el conjunto numrico con el que se estaba trabajando, sin ser explcitamenteenunciada.Cauchy,Bolzanoysuscontemporneos,produjeronestas explicitaciones, otorgndole un cierto estatuto de objeto a la nocin de completitud, aunque no solucionaron el problema de su fundamentacin. Recin a fines del siglo XIX, la completitud es vista como un atributo que se busca que posea el conjunto que s esta construyendo. Finalmente cobra el carcter de axioma, con la finalidad de definir un conjunto. La identificacin de esta cuestin nos abre un interrogante -que ser abordado en nuestra investigacin didctica- acerca delestatuto,quetienelacompletitudparaelalumnoenlosdiferentesmomentosdesu formacin.Hayotrofenmenoquenosinteresasealar:larelacinmodelomatemtico-situacin 31 Comprensin sin lugar a dudas til para el didacta, para el matemtico, para el docente y para quien se est formando en la disciplina. modelizadapuederepresentarparaeltrabajomatemticotantounpuntodeapoyocomoun obstculo. Un punto de apoyo en tanto los conocimientos del fenmenomodelizado pueden actuar como completacin del trabajo que se hace en el modelo matemtico, como control de los resultados obtenidos o como fuente de conjeturas. Pero completar o controlar el trabajo va las propiedades del fenmeno modelizado, hace que se requiera menos trabajo matemtico y puede opacar la visualizacin de las eventuales sutilezas del modelo. En los desarrollos tempranos del clculo,elhechodetrabajarconproblemasdelarealidadnopermitiproblematizarla naturaleza de los nmeros que se obtenan como solucin. La pregunta sobre la completitud del dominio numrico est ligada a la existencia de solucin en el modelo matemtico, y no en el problemaquesemodeliza.Abordarelproblemadelacompletitudenlaenseanzahace necesario pensar en un escenario descontextualizado. Por otro lado la nocin de nmero real no se atrapa a partir de problemas que involucren instrumentos de medicin o la lectura de datos queprovengandefenmenosfsicos.Paraestassituacioneslosnmerosracionalesson suficientes. No es posiblemostrar la inconmensurabilidad de dos magnitudes o la irracionalidad de la medida de una magnituda partir datos provenientes de instrumentos de medicin. En relacin con la validacin es sabido quealolargodelahistoriadelamatemtica,los elementosyargumentosqueseconsideransuficientesparavalidareltrabajo,estnsujetosa modificaciones. En nuestro estudio hemos podido identificar estas modificaciones: mientras que para Bombelli, las representaciones grficas constituan un marco de validacin suficientemente robusto,laconstruccindeDedekindtienesuorigenenquelosargumentosbasadosen representacionesgrficasgeomtricaseranvistosensupocacomoinsuficientes.La presentacin axiomtica, por su parte, es vista como la ms adecuada -aun para la presentacin en los libros de texto-respondiendo a las exigencias de formalizacin del siglo XX. Slo bajo cierto valor de la variable validacin fue posible problematizar la existencia de ciertos nmeros (supremosolmitesdesucesionesofunciones)yporlotantoenfrentarelproblemadela completitud.LaconstruccindeRfinalmentesecompletainmersaenunaproblemticade fundamentacin.Es posible pensar que tambin para los alumnos, los argumentos considerados como suficientes para la validacin, se van modificando en el proceso mismo de construccin del conocimiento. Los trayectos implicados en la validacin de afirmaciones, ms all de constituir una instancia en la cual se justifica o formaliza aquello que ya se sabe, son un motor para obtener nuevos conocimientos sobre los objetos y las relaciones que se conocen. Es un fenmeno que ha sido muy estudiado por la didctica y que ha llevado a la incorporacin de una fase de validacin en eldiseodedispositivosdeaprendizaje.Elestudiohistricoquehemospresentadopermite recorrer estos trayectos en la gnesis histrica de la nocin de completitud. Pensando en la nocin de conjunto de nmeros reales, nos parece que enfrentar al alumno con la problemticadelacompletitud-estoes,hacervivirenlaclasetantolanecesidaddela completitud del sistema numrico como el hecho de que esta propiedad no se deduce de otras conocidas- requiere que se haya instalado en el aula la necesidad de fundamentacin, lo cual supone un recorrido anterior, una cierta madurez matemtica, haber salido del plano de lo evidente y un cambio en el tipo de racionalidad. Decamos en la introduccin que este trabajo forma parte de un proyecto de investigacin en Didctica de la Matemtica. Podemos afirmar que el anlisis que hemos realizado nos permite entender la existencia de varios estados en la evolucin de estas nociones, y consecuentemente entender la existencia de varios tipos de equilibrios cognitivos posibles. Esta ampliacin de los posibles servir de marcopara interpretar el espectro de las diferentes prcticas que enfrentan los alumnos en una determinada institucin trminos de niveles de conceptualizacin32 de estas nociones.Estasltimascuestiones,objetodenuestrotrabajoactual,requerirndeunnuevo artculo para ser expuestas. 32 En el sentido de Robert, 1998 BIBLIOGRAFA APOSTOL,T.(1995).Calculus.EditorialRevert.[Edicinoriginal:Apostol,Tom(1967) CALCULUS,One-VariableCalculus,whithanIntroductiontoLinearAlgebraBlaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts, USA] ARTIGUE,M.(1990).Epistmologieetdidactique.RecherchesenDidactiquedes Mathmatiques, 10 (2/3), 241-286. ARTIGUE,M.(1992).Theimportanceandlimitsofepistemologicalworkindidactics. Proceedingsofthe16thAnnualMeetingofthePsychologyofMathematicsEducation16, Durham, vol. 3, 195-216. ARTIGUE,M.(1995).Theroleofepistemologyintheanalysisofteaching/learning relationshipsin mathematics education.Plenary Lecture, CMESG, Proceedings, 7-21. BKOUCHE,R.(1997).pistemologie,histoireetenseignementdemathmatiques.Forthe Learning of Mathematics, 17, (1), 34-42. BROUSSEAU, G. (1993) Fundamentos y Mtodos de la Didctica de la Matemtica. Trabajos deMatemtica,SerieB,FacultaddeMatemtica,AstronomayFsica,Universidad NacionaldeCrdoba,Argentina19/93Trad.DilmaFregonayFacundoOrtega.[Versin original: Brousseau, Guy (1986). Fondements et Mthodes de la Didactique des Mathmatiques. Recherches en Didactique des Mathmatiques, 7, (2), 33-115] CANTOR,G.(1871).UeberdieAusdehnungeinesSatzesausderTheorieder trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen V, 123-132.Traducido al francs en Acta Mathematica 2, 336-348CANTOR,G.(1883).Ueberunendliche,linearePunktmannichfaltigkeiten.Mathematische Annalen XXI, 545-586. CAUCHY, A-L. (1994) Curso de Anlisis, Coleccin MATHEMA, Facultad de Ciencias de la UNAM, Mxico. CAVEING,M.(1988).Algunasobservacionessobreeltratoquerecibeelcontinuoenlos Elementos de Euclides y en la Fsica de Aristteles.En Tusquets, eds. Pensarlamatemtica. Cuadernos nfimos 114, 2a.ed. Serie metatemas 4, dirigida por J orge Wagensberg, Seminario de Filosofa y Matemtica de la cole Normale Suprieure de Paris, dirigido por J . Dieudonn, M. Loi y R. Thom 17-41, Barcelona, Espaa. CHEVALLARD, Y. (1985). La transposition didactique. La Pense Sauvage, Grenoble, France.COURANT, R. & J OHN, F. (1971). Introduccin al Clculo y al Anlisis Matemtico. Editorial Limusa-Wiley. Mxico.DAHAN-DALMEDICO, A. & PEIFFER, J . (1986). Une histoire des mathmatiques. Routes et ddales. ditions du Seuil, Paris. DEDEKIND,J .W.Richard(1872).StetigkeitundirrationaleZahlen.Vielweg&Sohn Braunschweig. Hemos utilizado una versin en espaol: 1978 Lacontinuidadylosnmeros irracionales, comunicacin interna n 61 editada por el Dto. de Matemticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Mxico, 2a. ed. Mxico.DE GANDT, F. (1990). El estilo matemtico de los Principia de Newton. Mathesis 6, (2), 163-189.DEGANDT,F.(1988).MatemticasyrealidadfsicaenelsigloXVII(delavelocidadde Galileo a las fluxiones de Newton) En Tusquets, eds. Pensar la matemtica. Cuadernos nfimos 114, 2a.ed. Serie metatemas 4. Barcelona, Espaa,. DHOMBRES, J . (1978). Nombre, mesure et continu. Epistemologie et histoire. Cedic/Nathan. DUGAC,P.(1976).RichardDedekindetlesfondementsdesmathmatiques.Collectionde TravauxdelAcadmieinternationaledHistoiredesSciencesn24.Paris,Libraire Philosophique J . Vrin. EUCLIDES ( S IV AC ) Elementos.The thirteen Books of Euclids Elements with introduction and commentary by Sir Thomas Heath. Sin fecha. New York: Dover.FICHANT, M. y PCHEUX M. (1975). Sobre la historia de las ciencias. Buenos Aires: Siglo 21 Argentina Editores. [Versin original : M. Fichant y M. Pcheux (1969). Surlhistoiredes Sciences. Paris: Franois Maspero.]. FOLTA, J . (1981). Life and scientific endeavour of Bernard Bolzano. En On theoccasionofthebicentennialofBernardBolzano.(pp.11-31)Societyofczechoslovak mathematicians and physicists. HARDY,G.H.(1958).Acourseofpuremathematics.Cambridge.UniversityPress.Tenth edition. HILBERT,D.(1899).berdenZahlbegriff.JahresberichtderDeutschenMathematiker-Vereinigung 8, 180-184. HILBERT,D.(1971).FoundationsofGeometrySecondEdition,translatedfromtheTenth Edition, revised and enlarged by Dr Paul Bernays. The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois.J ARNK, V. (1981). Bernard Bolzano and the foundations of mathematical analysis. En On the occasionofthebicentennialofBernardBolzano(pp.33-42)Societyofczechoslovak mathematicians and physicists. KATZ, V. (1998). A history of mathematics, an introduction. Addison-Wesley KLINE,M.(1994).ElpensamientomatemticodelaAntigedadanuestrosdas.Madrid: Alianza Editorial.RADFORD, L. (1996). The Roles of Geometry and Arithmetic in the Development of Algebra: HistoricalremarksfromaDidacticPerspective.EnN.Bednarzetal.(eds)Approachesto Algebra, 39-53, Kluwer Academic Publishers. Printed in Netherlands. RADFORD,L.(1997).OnPsycology,HistoricalEpistemology,andtheTheachingof Mathematics:TowardsaSocio-CulturalHistoryofMathematics.FortheLearningof Mathematics. 17, (1),26 32. RADFORD, L.(2001).The Historical origins of algebraic thinking. En R. Sutherland et al. eds.,PerpectivesonschoolAlgebra,13-36,KluwerAcademicPublishers.Printedin Netherlands. ROBERT, A.(1998). Outils danalyse des contenus mathmatiques enseigner au lyce et a luniversit. Recherches en Didactique des Mathmatiques 18 (2) 139-190. SIERPINSKA, A.(1995). La comprhension en Mathmatiques, De Boeck Universit.SIERPINSKA, A. & LERMAN, S. (1996) Epistemology of mathematics and of mathematics education. En Bishop et al. (eds) International Handbook of Mathematics Education (827-876). Dordrecht, HL: Kluwer, Academic Publishers. Printed in Netherlands. SPIVAK, M. (1977). Calculus. Editorial Revert, S.A., Espaa.STROYAN,K.D.&LUXEMBURG,W.A.J .(1976).IntroductiontotheTheoryof infinitesimals. Academic Press. THURSTON,W.(1994).Onproofandprogressinmathematics.AmericanMathematical Society 30, (2), 161-177.VAN ROOSTELAR, B. (1962). Bolzanos Theory of Real Numbers. ArchiveforHistoryof Exact Sciences, 2, 168-180. WALDEGG, G. (1996). La contribucin de Simon Stevin a la construccin del concepto de nmero.Educacin Matemtica 8, (2), 5-17 ZARISKI,O.(1926).Essenzaesignificatodeinumeri.Continuitenumeriirrazionali, traduccin al italiano con notas y comentarios del libro de R. Dedekind. Roma: Casa Editrice Alberto Stock. Anala BergDepartamento de Matemtica . Facultad de Ciencias Exactas y Naturales-Universidad de Buenos Aires. Ciudad Universitaria. CP 1428. Buenos Aires-.Argentina. Fax: (54) 011 4576 3335 E-mail : aberge@dm.uba.ar. Carmen Sessa Centro de Formacin en Enseanza de las Ciencias (CEFIEC) y Departamento de Matemtica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales-Universidad de Buenos Aires. Ciudad Universitaria. CP 1428. Buenos Aires.-Argentina. Fax: (54) 011 4576 3335 E-mail : pirata@dm.uba.ar.