Diagramas de Venn -...

Diagramas de Venn

María Manzano

USAL

Febrero 2010

María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 1 / 22

Diagramas de VennDiagrama Hoja de Trébol

A

B

C

5 2

8

U

6

13 4

7

Figura: Hoja de trébol


Diagramas de VennÁreas del diagrama

¿Pertenece a a A, pertenece a a B, pertenece a a C?

Área 1si, si, siA\B\C

Área 2si, si, no(A\B)�C

Área 3si, no, si(A\C)�B

Área 4no, si, si(B\C)�A

Área 5si, no, noA� (B[C)

Área 6no, si, noB� (A[C)

Área 7no, no, siC� (A[B)

Área 8no, no, no� (A[B[C)


Diagramas de VennConvenciones

1 Sombrearemos en el diagrama las zonas vacías.2 Usaremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementosen una zona.

3 Las zonas de las que carecemos de información permanecerán sinsombras ni cruces.


Diagramas de VennSintaxis

La representación diagramática utiliza cuatro objetos básicos

1 Rectángulo2 Curva cerrada3 Sombreado4 Cruces

Como objetos auxiliares:5 Líneas, para unir las cruces6 Para nombrar las curvas y el rectángulo se usarán letras.


Diagramas de VennRepresentar zonas vacías

Para expresar en el diagrama que Q � P sombrearemos en el diagrama elárea Q�P.

Q P

U

Figura: Q � P


Diagramas de VennRepresentar existencia elementos

Para indicar en el diagrama que � (P\Q) 6= ∅ pondremos una pequeñamarca en todas aquellas zonas que constituyen � (P\Q) y uniremosestas marcas entre sí

Q P

U

Figura: � (P\Q) 6= ∅


Diagramas de VennSuperposición de diagramas

U

P Q

U

P

U

&P QQ


Diagramas de VennConsistencia e inconsistencia

Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completotodo sombreado. Consistente en el resto de los casos.

P

U

Q P

U

Q P

U

Q

P 6= ∅ P � Q P �� QEl resultado �nal es el siguiente:

P

U

Q

Diagrama �nal


Diagramas de VennModelos que satisfacen diagramas

En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos deldiagrama de la �gura Q � P.

1 U = f1, 2, 3g P = f1, 2g Q = f2g2 U = f1, 2, 3g P = ∅ Q = ∅3 U = fn j n es un número natural} P = fn j n es un número par}Q = fn j n es múltiplo de cuatrog

4 U = fx j x es un paísg P = fx j x es un país mediterráneogQ = fEspaña, Italiag


Diagramas de VennRazonamientos con diagramas I

Hipótesis 1 J\R 6= ∅Hipótesis 2 E\ J = ∅Conclusión (J\R)\ � E 6= ∅

J

R

U

E

J

R

E

U J

R

U

E

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

J

R

U

E

Diagrama �nal

Diagrama Inconsistente FRazonamiento Correcto F


Diagramas de VennRazonamientos con diagramas II

Hipótesis 1 L � FHipótesis 2 L\ � C 6= ∅Conclusión C\ � F 6= ∅

L

F

U

C

L

F

U

C

L

F

U

C


L

F

U

C

Diagrama �nal

Diagrama Consistente FRazonamiento Incorrecto F


Diagramas de VennContraejemplo

Puesto que el diagrama �nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especi�caciones del mismo.

U = fa, b, cg F = fa, b, cg C = fa, bg L = fa, cg

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:

fa, cg = L � F = fa, b, cgfa, cg \ fcg = fcg 6= ∅ L\ � C 6= ∅)

Pero la conclusión C\ � F 6= ∅ falla, pues:

fα, bg \∅ = ∅


Diagramas de VennHallar conclusión

Los casos son tres:

1 El diagrama de las hipótesis sólo contiene áreas sombreadas. En estecaso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puedeser una conclusión.

2 El diagrama de las hipótesis contiene sombreado y cruces:

1 Es inconsistente.2 Es consistente. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadasestá sombreada y puede ser una conclusión. También lo es cualquierade los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazadoque una los entrelazados existentes (si hay más de uno).

3 El diagrama de las hipótesis sólo contiene cruces entrelazadas. Seráconclusión cualquiera de los entrelazados tomado completo e inclusoun nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay másde uno).


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro I

� HIPÓTESIS 1 Todos los piratas enrolados en La Española saben de laexistencia de un tesoro.

P � T� HIPÓTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obradesinteresadamente.

T �� D� CONCLUSIÓN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero novan enrolados en La Española.

D\ � P 6= ∅


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro II

P

T

U

D

P

T

U

D

P

T

U

D


P

T

U

D

Diagrama �nal

DiagramaConsistente FInconsistente �

RazonamientoCorrecto �Incorrecto F


Diagramas de VennLa Isla del Tesoro III

Puesto que el diagrama �nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especi�caciones del mismo.

U = f1, 2g P = D = ∅ T = f1g

Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:

∅ = P � T = f1g f1g = T �� D = f1, 2g

Pero la conclusión D\ � P 6= ∅ falla, pues:

∅\ � P = ∅


Diagramas de VennHallar conclusión: Sólo sombreado

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: Sólo contiene áreas sombreadas


Diagramas de VennHallar conclusión: cruces y sombreado

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: Áreas sombreadas y cruces entrelazadasMaría Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 19 / 22

Diagramas de VennHallar conclusión: sólo cruces

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

A

B

U

C

Figura: Sólo contiene cruces entrelazadasMaría Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 20 / 22

Diagramas de VennLewis Carroll: Hipótesis

HIPÓTESIS 1 Algunas ostras (O) son silenciosas (S).

O\ S 6= ∅

HIPÓTESIS 2 Las criaturas silenciosas no son divertidas (D).

S �� D

Mediante diagramas de Venn buscamos conclusión al argumento:

O

S

U

D

O

S

U

D

O

S

U

D

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Superposición de hipótesis


Diagramas de VennLewis Carroll: conclusión

De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estándar; esto es,la que relaciona a los conjuntos O y D.

O

S

U

D

O\ � D 6= ∅

Expresada en español diría:

Algunas ostras no son divertidas.


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