1

CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD

La Inspección y las pruebas que se le hacen a un producto no le incorporan calidad; para

agregarle calidad a un producto es necesario fabricarlo correctamente desde el principio. Para lograr

esto, es necesario que los procesos de fabricación sean estables y que funcionen de tal manera que

virtualmente todos los productos fabricados cumplan con las especificaciones. Los controles

estadísticos de procesos en línea son los medios básicos que se usan para fabricar el producto

correctamente desde el principio. El tipo más sencillo de los procedimientos de control de calidad de

procesos en línea son los Diagramas de Control.

Los tres usos fundamentales de un Diagrama de Control son:

1. Rastreo y Vigilancia de un proceso.

2. Reducción de la Variabilidad del Proceso.

3. Estimación de los Parámetros de Producto o de proceso.

2. CÓMO FUNCIONA EL DIAGRAMA DE CONTROL

2.1 Causas Fortuitas y Causas Atribuibles de la Variación de la Calidad.

En cualquier proceso de fabricación, sin importar su buen diseño o mantenimiento cuidadoso,

siempre existirá cierto grado de variabilidad inherente o natural. Esta variabilidad natural o “ruido de

fondo” es el efecto acumulativo de muchas pequeñas causas, esencialmente incontrolables. Cuando

el ruido de fondo de un proceso es relativamente pequeño, suele considerarse un nivel aceptable del

funcionamiento del proceso. En el marco del control estadístico de calidad, esta variabilidad natural

se llama a menudo “Sistema Estable de Causas Fortuitas”. Un proceso que funciona con solo causas

fortuitas de variabilidad se considera bajo control estadístico.

Otros tipos de variabilidad pueden estar presentes ocasionalmente en el resultado de un

proceso. Esta variabilidad en características claves de calidad surge por lo común de tres fuentes:

ajuste incorrecto de máquinas, errores de operario o defectos en las materias primas (o alguna

combinación de estos tres factores). Esta variabilidad es en general mayor que el ruido de fondo, y

normalmente representa un nivel inaceptable del funcionamiento del proceso. Estas fuentes de

variabilidad que no forman parte del esquema de las causas fortuitas se denominan “causas

atribuibles”. Un proceso que funciona en presencia de causas atribuibles se considera Fuera de

Control.

Es común que los procesos de fabricación funcionen adecuadamente durante periodos de

tiempo relativamente largos. Sin embargo, en algunas ocasiones se presentan causas atribuibles,

aparentemente al azar, que provocan un “cambio” hacia un estado fuera de control, en el que una

mayor proporción del producto que sale del proceso no cumple con las especificaciones. Uno de los

2

objetivos más importantes del control estadístico de procesos es detectar rápidamente la ocurrencia

de causas atribuibles o cambios en el proceso, a fin de que se pueda investigar y tomar acciones

correctivas antes de la producción de muchas piezas no conformes. El diagrama de control es una

técnica de control de procesos en línea, que se utiliza ampliamente con este propósito. También se

pueden utilizar éstos diagramas para evaluar los parámetros de un proceso de producción, y a partir

de esta información, determinar la capacidad del proceso. Finalmente, recuérdese que la meta final

del control estadístico de procesos es la eliminación de la variabilidad del proceso.

3

2.2 DIAGRAMAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

2.2.1 Introducción

Muchas características de calidad no se pueden representar en forma conveniente por

números. En tales casos, cada artículo o producto inspeccionado se clasifica como conforme o

disconforme con las especificaciones para tal característica de calidad. Las características de calidad

de este tipo se llaman “atributos”. Algunos ejemplos de características de calidad que son atributos

son: la ocurrencia de bielas deformes para motores de automóvil, la proporción de chips de

semiconductores no funcionales en una corrida de producción, etc.

2.2.2 DIAGRAMA DE CONTROL PARA LA FRACCIÓN DE DISCONFORMES

(DIAGRAMA P)

La Fracción (o Proporción) de disconformes, o Fracción Disconforme, se define como el

cociente del número de artículos disconformes en una población entre el número total de artículos

que contiene dicha población. Los artículos pueden tener varias características de calidad que el

inspector examina simultáneamente. Si no está conforme con el estándar de una o más de tales

características de calidad, se clasificará como disconforme.

Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control de la fracción o

proporción disconforme se basan en la distribución binomial. Supóngase que el proceso de

producción funciona de manera estable, de tal suerte que la probabilidad de que cualquier artículo no

esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son

independientes. Entonces cada artículo producido es una variable aleatoria Bernoulli, con parámetro

p. Si se selecciona una muestra aleatoria de n artículos del producto, y D representa el número de

artículos no conformes, entonces D tiene Distribución Binomial con parámetros n y p; es decir,

{ } ( ) ( ) x = 0, 1, 2, ……, n (2-1)

La Media y la Variancia de la variable aleatoria D son np y np(1-p), respectivamente.

La Fracción Disconforme Muestral se define como el cociente del número de artículos

disconformes D en la muestra, entre el tamaño muestral n; o sea,

(2-2)

Se puede obtener la distribución de la variable aleatoria a partir de la distribución binomial.

Además, la media y la variancia de son

(2-3)

4

Y

( )

(2-4)

Respectivamente. Veremos ahora cómo se puede aplicar esta teoría para desarrollar un

diagrama de control de la fracción no conforme. Debido a que la gráfica controla la fracción

disconforme p del proceso, se denomina también diagrama de p.

Desarrollo y Empleo del Diagrama de Control.

El desarrollo del diagrama de control de Shewhart se basa en los principios estadísticos

generales estudiados anteriormente. Si w es una estadística que mide una característica de calidad,

la media de w es 1, y si la varianza de w es 1, entonces el modelo general para el diagrama de

control de Shewhart es el siguiente:

Línea Central (2-5)

donde k es la distancia entre los límites de control y la línea central, expresada en múltiplos de la

desviación estándar de w. se acostumbra escoger k = 3.

Cuando se conoce p.

Supongamos que se conoce la verdadera fracción disconforme p en el proceso de

fabricación, o que la administración especifica un valor estándar. Entonces, a partir de (2-5), la línea

central y los límites de control del diagrama de control de la fracción disconforme serán

√ ( )

Línea Central (2-6)

√ ( )

El manejo real de este diagrama consistiría en tomar muestras subsecuentes de n unidades,

calcular la fracción muestral disconforme , y graficar la estadística en el diagrama. Mientras

quede entre los límites de control y la sucesión de puntos ubicados no exhiba un patrón sistemático,

se concluye que el proceso está bajo control, al nivel p. Si un punto queda fuera de los límites de

control, o si se observa un patrón no aleatorio entre los puntos, habrá que concluir que la fracción de

disconformes del proceso cambió hacia un nuevo nivel y que el proceso está fuera de control.

5

Cuando no se conoce p.

Cuando se desconoce la fracción no conforme p del proceso, hay que estimarla a partir de

los datos observados. El procedimiento normal es seleccionar m muestras preliminares, cada una de

tamaño n. Como regla general, m tendría que ser igual a 20 o 25. Entonces, si hay artículos no

conformes en la muestra i, se calcula la fracción disconforme en la i-ésima muestra como

i = 1, 2, …. , m

y la media de estas fracciones disconformes muestrales individuales es

∑

∑

(2-7)

La estadística estima la fracción disconforme p desconocida. La línea central y los límites

de control del diagrama de control de la fracción disconforme se calculan entonces de la manera

siguiente:

√ ( )

Línea Central = (2-8)

√ ( )

Aquí, los límites de control obtenidos en (2-8) se consideran Límites de Control de Prueba.

Permite determinar si el proceso estaba bajo control cuando se obtuvieron las m muestras iniciales.

Para probar la hipótesis de un control anterior, hay que colocar en el diagrama la fracción muestral

disconforme para cada muestra y analizar la representación resultante. Si todos los puntos ubicados

caen entre los límites de control, y no se manifiesta un comportamiento sistemático, entonces

concluiremos que el proceso estaba bajo control en el pasado, y que los límites de control de prueba

son adecuados para controlar la producción actual y futura.

Supóngase que una o más de las estadísticas se encuentran fuera de control, comparadas

con los límites de control de prueba. Es claro que si los límites de control han de tener sentido para la

producción actual o futura, deben basarse en datos de un proceso que está bajo control. Por lo tanto,

cuando se rechaza la hipótesis de un control anterior, es necesario revisar los límites de control de

prueba. Esto se hace examinando cada uno de los puntos fuera de control y buscando una causa

atribuible. Si se halla ésta, se descarta el punto, y se vuelven a calcular los límites de control de

prueba, utilizando únicamente los puntos restantes.

En algunos casos es imposible determinar una causa atribuible para un punto que cae fuera

de control. Hay dos tipos de acción que pueden tomarse. La primera es eliminar el punto, como si se

6

hubiera encontrado una causa atribuible. No existe una justificación analítica para actuar de esta

manera. La alternativa es conservar el punto (o los puntos) considerando los límites de control de

prueba adecuados para el control actual. Naturalmente, si el punto representa en realidad una

condición fuera de control, los límites resultantes serán demasiado amplios.

Si el diagrama de control se basa en un valor conocido o estándar de la fracción disconforme

p, entonces el cálculo de límites de control de prueba suele ser innecesario. Sin embargo, se debe

tener cuidado al trabajar con un valor estándar de p. Ya que en la práctica raras veces se conoce con

exactitud el verdadero valor estándar de p, normalmente se proporciona un valor estándar de p que

representa un valor deseado u objetivo para la fracción disconforme del proceso.

Ejemplo 2.1

Se envasa jugo de naranja concentrado y congelado en botes de cartón de 6 oz. Estos envases

los produce una máquina formando un tubo a partir de una pieza de cartón y aplicando después un

fondo metálico. Al inspeccionar un bote se puede determinar al llenarlo si goteará por la junta lateral

o por el fondo. Se desea elaborar un diagrama de control para vigilar la fracción de envases

disconformes producidos por esta máquina.

Para establecer el diagrama de control, se seleccionaron 30 muestras de n = 50 botes cada

media hora durante un periodo de tres turnos, en los cuales la máquina operó continuamente. Los

datos se muestran en la Tabla 2-1 a.

Tabla 2.1 a

Número de Muestra, i

Número de Disconformes, Di

Tamaño de la Muestra, ni

Fracci isco orme uestral i i i

1 12 50 0.24

2 15 50 0.3

3 8 50 0.16

4 10 50 0.2

5 4 50 0.08

6 7 50 0.14

7 16 50 0.32

8 9 50 0.18

9 14 50 0.28

10 10 50 0.2

11 5 50 0.1

12 6 50 0.12

7

13 17 50 0.34

14 12 50 0.24

15 22 50 0.44

16 8 50 0.16

17 10 50 0.2

18 5 50 0.1

19 13 50 0.26

20 11 50 0.22

21 20 50 0.4

22 18 50 0.36

23 24 50 0.48

24 15 50 0.3

25 9 50 0.18

26 12 50 0.24

27 7 50 0.14

28 13 50 0.26

29 9 50 0.18

30 6 50 0.12

∑ 347 1500 6.94

Promedio = 11.5667 50.0000 0.2313

Solución:

Para construir el diagrama de control preliminar y determinar si el proceso estaba bajo

control cuando se obtuvieron los datos, se calculan los límites de control, superior e inferior, del

diagrama.

∑ ; ∑

= 6.94 ; m = 30 ; n = 50

∑

;

;

∑

Por lo tanto, los límites de control superior e inferior son:

√ ( )

; √

( )

Línea Central = ; LC = 0.2313

√ ( )

; √

( )

0.0524

Los límites de control así obtenidos se llaman “Límites de Co trol de Prueba”.

8

En la figura 2.1a, se muestra el diagrama de control con línea central en y los

límites de control, superior e inferior, calculados anteriormente. En este diagrama se grafica la

fracción muestral disconforme para cada muestra preliminar.

Figura 2.1 a. Diagrama de Control de la fracción Disconforme para los datos de la tabla 2.1 a.

En la figura 2.1 a. se observa que los puntos correspondientes a las muestras 15 y 23, se

encuentran por arriba del límite superior de control y, por lo tanto, el proceso está fuera de control.

En consecuencia, se debe investigar para saber si hay alguna causa atribuible.

El análisis de los datos de la muestra 15 reveló que se utilizó una nueva remesa de materia

prima de cartón en la producción durante este lapso de media hora. El uso de nuevas remesas de

materia prima suele provocar una producción irregular, en algunas ocasiones, y es razonable pensar

que esto fue lo que sucedió aquí. Además, durante el periodo de media hora en que se obtuvo la

muestra 23, se había asignado a esta máquina un operador con poca experiencia, y esto podría

explicar la alta fracción disconforme de dicha muestra. Por lo tanto se eliminan las muestras 15 y 23,

y se determinan nuevamente la línea central y los límites de control revisados, como sigue:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930

Frac

ció

n D

isco

nfo

rme

Mu

estr

al,

pi

Número de Muestra

Diagrama de la Fracción Disconforme (Diagrama p)

pi

LIC

LC

LSC

9

√ ( )

; √

( )

Línea Central = ; LC = 0.2150

√ ( )

; √

( )

0.0407

Tabla 2.1 b Después de haber eliminado las muestras 15 y 23

Número de Muestra, i

Número de Disconformes,

Di

Tamaño de la

Muestra, ni

Fracci isco orme uestral i i i

1 12 50 0.24

2 15 50 0.3

3 8 50 0.16

4 10 50 0.2

5 4 50 0.08

6 7 50 0.14

7 16 50 0.32

8 9 50 0.18

9 14 50 0.28

10 10 50 0.2

11 5 50 0.1

12 6 50 0.12

13 17 50 0.34

14 12 50 0.24

16 8 50 0.16

17 10 50 0.2

18 5 50 0.1

19 13 50 0.26

20 11 50 0.22

21 20 50 0.4

22 18 50 0.36

24 15 50 0.3

25 9 50 0.18

26 12 50 0.24

27 7 50 0.14

28 13 50 0.26

29 9 50 0.18

30 6 50 0.12

∑ 301 1400 6.02

Promedio = 10.7500 50.0000 0.2150

10

Con los limites de control revisados, obtenidos anteriormente, se construye el diagrama de

control que se muestra en la figura 2.1 b, en la cual se observa que la fracción disconforme de la

muestra 21 (de la tabla 2.1 b) es mayor que el límite superior de control. Sin embargo, el análisis de

los datos no revela una causa atribuible o lógica, y se decide conservar este punto.

Figura 2.1 b Diagrama de control de la fracción disconforme, con limites de control revisados.

Concluimos que el proceso está bajo control al nivel p = 0.2150, y que se deben adoptar

límites de control revisados para verificar la producción actual. Sin embargo, se observa que la

fracción disconforme es demasiado grande, aún cuando el proceso está bajo control. Es decir, el

proceso funciona de manera estable, y no hay problemas anormales que no pueda controlar el

operario. Es decir, es improbable que se pueda mejorar la calidad del proceso mediante acciones al

nivel del trabajador. Por lo tanto, es necesario que la administración de la empresa intervenga, si es

que se quiere mejorar el funcionamiento del proceso y, de esta forma, reducir la fracción

disconforme de envases producidos. La administración de la empresa acepta el reto y determina que,

además de utilizar los diagramas de control para mantener la calidad de los envases, el personal de

ingeniería debe analizar el proceso para mejorar su rendimiento. Tal estudio indica que es posible

realizar varios ajustes en la máquina, los cuales deberán mejorar su funcionamiento.

Durante los tres turnos posteriores a los ajustes realizados a la máquina y a la introducción

del diagrama de control, se obtienen 24 muestras más de n = 50 observaciones cada una. En la tabla

2.2 aparecen los datos, y las fracciones muestrales no conformes se indican en el diagrama de control

de la figura 2.2 a.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Frac

ció

n M

ues

tral

Dis

con

form

e, p

i

Número de Muestra

Diagrama de la Fracción Disconforme Diagrama p

pi

LIC

LC

LSC

11

Tabla 2.2

Número de Muestra, i

Número de Disconformes,

Di

Tamaño de la

Muestra, ni

Fracci isco orme uestral i i i

1 9 50 0.18

2 6 50 0.12

3 12 50 0.24

4 5 50 0.1

5 6 50 0.12

6 4 50 0.08

7 5 50 0.1

8 3 50 0.06

9 7 50 0.14

10 6 50 0.12

11 2 50 0.04

12 4 50 0.08

13 3 50 0.06

14 6 50 0.12

15 5 50 0.1

16 4 50 0.08

17 8 50 0.16

18 5 50 0.1

19 6 50 0.12

20 7 50 0.14

21 5 50 0.1

22 6 50 0.12

23 3 50 0.06

24 4 50 0.08

∑ 131 1200 2.62

Promedio = 5.4583 50.0000 0.1092

Al examinar la figura 2.2 a, la impresión inmediata es que el proceso funciona ahora a un

nuevo nivel de calidad, que es considerablemente menor que la línea central El punto

correspondiente a la muestra 11 se encuentra por debajo del límite inferior de control. No es posible

determinar una causa atribuible para esta señal fuera de control. Las únicas razones lógicas para este

cambio ostensible en el funcionamiento del proceso son los ajustes de máquina realizados por el

personal de ingeniería y, probablemente, los operadores mismos.

12

Figura 2.2 a. Diagrama de Control de la fracción disconforme, del ejemplo 2.1, después de

hacerle ajustes a la Máquina.

Es normal observar que el funcionamiento del proceso mejora después de la introducción de

procedimientos formales de control estadístico de procesos, muchas veces porque los operadores

están más conscientes de la calidad del proceso, y el diagrama de control proporciona una

representación visual continua de su funcionamiento.

Parece lógico revisar nuevamente los límites de control, utilizando solo los datos de este

periodo más reciente de tres turnos. Los nuevos límites son:

( )

√ ( )

; √

( )

Línea Central = ; LC = 0.1092

√ ( )

; √

( )

-0.0231

Debido a que el límite inferior de control calculado es menor que cero, debemos hacer que

LIC = 0.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Frac

ció

n D

isco

nfo

rme

Mu

estr

al,

pi

Número de Muestra

Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p)

pi

LIC

LC

LSC

13

Por lo tanto, el nuevo diagrama de control tendrá únicamente límite de control superior

(Nota. En el diagrama de la figura 2.2 b, no se aplicó eso de que LIC = 0).

En la figura 2.2 b, se muestra el diagrama de control de la fracción disconforme (diagrama p),

con los nuevos límites de control. Por inspección de la figura 2.2 b, se observa que todos los puntos

de la fracción disconforme muestral están por abajo del límite de control superior revisado, por lo

cual concluimos que el proceso está bajo control a este nuevo nivel (p = 0.1092).

Figura 2.2 b. Diagrama de Control de la fracción disconforme, del ejemplo 2.1, después de

hacerle ajustes a la Máquina.

Parámetros del diagrama de Control de la Fracción Disconforme

El diagrama de control de la fracción disconforme tiene tres parámetros que hay que

especificar: el tamaño de la muestra, la frecuencia del muestreo y la amplitud de los límites de

control. En el caso ideal se tendrían que escoger estos parámetros conforme a algunos criterios

económicos. Sin embargo, también existen algunas directrices generales para seleccionar estos

parámetros.

Reglas para la selección de n.

Si hay que seleccionar una muestra del rendimiento del proceso, se tiene que seleccionar el

tamaño muestral n. Se han sugerido varias reglas para la selección de n.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Frac

ció

n D

isco

nfo

rme

Mu

estr

al,

pi

Número de Muestra

Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p)

pi

LIC

LC

LSC

14

1. Regla para tener una alta probabilidad de encontrar al menos una unidad disconforme en la

muestra.

Si p es pequeño, habrá que escoger n lo suficientemente grande para tener una alta

probabilidad de encontrar por lo menos una unidad disconforme en la muestra. De no ser así, los

límites de control podrían ser tales que la presencia de una sola unidad no conforme indicaría una

condición fuera de control. Por ejemplo, si p = 0.01 y n = 8, el límite de control superior es:

√ ( )

√

( )

Por lo tanto, si hubiera un artículo disconforme en la muestra, entonces p = 1/8 = 0.1250 es mayor

que LSC = 0.1155, y se concluiría que el proceso estaría fuera de control. En muchos casos no es

razonable concluir que el proceso está fuera de control con base en la observación de un solo artículo

disconforme.

Para evitar esto, se podría escoger n de manera que la probabilidad de hallar por lo menos un

artículo no conforme en la muestra sea al menos igual a . Por ejemplo, supóngase que p = 0.01 y que

se desea que la probabilidad de encontrar por lo menos un artículo disconforme en la muestra sea de

por lo menos 0.95. Sea D el número de unidades disconformes, y entonces se desea determinar el

valor de n de tal modo que { } . Mediante la aproximación de Poisson a la Binomial,

se halla, a partir de la tabla acumulativa de Poisson, que = np debe ser igual a 3.00. Por

consiguiente, como p = 0.01, esto implica que el tamaño de la muestra tendría que ser igual a 300.

Demostración:

{La probabilidad de al menos 1 disconforme} = 1 - {la probabilidad de cero o menos disconformes}.

Con símbolos:

{ } { }; (1)

Si { } entonces, sust. en (1): { }

Y despejando: { } = 1 - 0.95 = 0.05

Buscando en las tablas de la Distribución de Poisson acumulativa, y desplazándonos sobre el renglón

de D = 0, hasta encontrar una probabilidad lo mas cercana a 0.05 (P = 0.05), encontramos que con

( { } ), el valor de λ es igual a 3 (= 3). Nota: Este valor de λ nos da una

probabilidad lo más cercana a 0.05.

( { }) ( )

Por lo tanto, con λ = 3 y con p = 0.01, ya podemos encontrar el valor de n.

Sabemos que = np y en consecuencia,

. Sustituyendo valores tenemos que:

.

15

Por consiguiente, como p = 0.01, esto implica que el tamaño de la muestra tendría que ser

igual a 300.

2. Regla para tener una probabilidad aproximada del 50 % de detectar un cambio de alguna

cantidad especificada en el proceso.

Duncan (1974) ha sugerido que el tamaño de la muestra tendría que ser suficientemente

grande para tener una probabilidad aproximada de 50 % de detectar un cambio de alguna cantidad

especificada en el proceso. Por ejemplo, supóngase que p = 0.01, y que se desea una probabilidad de

0.50 para detectar un cambio hacia p = 0.05. Al suponer que se puede aplicar la aproximación

Normal a la Binomial, habría que elegir n de manera que el límite superior de control coincida

exactamente con la fracción no conforme en el estado bajo control. Sí es la magnitud del cambio

en el proceso, entonces n tendrá que satisfacer

√ ( )

(2.9)

Por lo tanto

(

) ( ) (2.10)

En nuestro ejemplo, p = 0.01, , y si se usan límites de tres sigmas, a partir de

(2.10) tendremos

(

) ( )( )

3. Regla para tener un límite de control inferior positivo.

Si el valor de la fracción disconforme que se va a controlar es pequeño, un criterio útil es

escoger n suficientemente grande para que el diagrama de control tenga un límite inferior de control

positivo. Se desea tener que

√ ( )

(2.11)

Esto implica que

( )

(2.12)

Por ejemplo, si p = 0.05 y se usan limites de tres sigmas, el tamaño muestral tendrá que ser

( )

( )

En consecuencia, si artículos, la gráfica de control tendrá un límite inferior de control

positivo.

16

2.2.3 Diagrama de Control . También es posible basar un diagrama de control en el número

de disconformes, en vez de la fracción no conforme. Esto se llama, a menudo, Diagrama de np.

Los parámetros del Diagrama de npson:

)1(3 pnpnpLSC

Línea Central = np (2.13)

)1(3 pnpnpLIC

Si no se dispone de un valor estándar para p , entonces se usará para estimar a p .

Nota. A manera de ejemplo, determine los límites de control y construya el Diagrama de

Control para el Número de Disconformes (Diagrama np), de los datos del ejemplo 2.1 (pag. 6).

2.2.4 Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p), con tamaño muestral

variable.

En algunas aplicaciones del diagrama de control de la fracción disconforme, la muestra es una

inspección del 100% de la producción del proceso durante algún periodo. El Diagrama de Control

tendrá un tamaño muestral variable, debido a que se podrían producir diferentes cantidades de

artículos en cada periodo. Existen varios métodos para construir y utilizar un diagrama de control de

la fracción disconforme con tamaño muestral variable.

Primer Método.

Este método consiste en determinar para cada muestra individual límites de control en base

al tamaño muestral específico. Es decir, si la i-ésima muestra es de tamaño in , entonces los límites

superior e inferior de control se calculan con inpp

p)1(

3

o en su defecto con:

ppLSC ˆˆ3 ; inpp

pLSC)1(

3

Línea Central = p (2.14)

ppLIC ˆˆ3 ; inpp

pLIC)1(

3

17

Ejemplo 2.2

Para ilustrar este método, considere los datos de la tabla 2.3 (tabla 5-4, Pagina 116,

Montgomery).

Tabla 2.3

Número de Tamaño Número de Muestra, i muestral, ni disconformidades, Di

1 100 12 2 80 8 3 80 6 4 100 9 5 110 10 6 110 12 7 100 11 8 100 16 9 90 10 10 90 6 11 110 20 12 120 15 13 120 9 14 120 8 15 110 6 16 80 8 17 80 10 18 80 7 19 90 5 20 100 8 21 100 5 22 100 8 23 100 10 24 90 6 25 90 9 ∑ 2450 234

Para las 25 muestras se calcula la fracción disconforme promedio.

0955.02450234

25

1

25

1

ii

ii

n

Dp

Por lo tanto, la Línea Central se encuentra en 0.0955 y los límites de control se obtienen con (2.14);

18

iip nn

ppppLSC

)0955.01(0955.030955.0

)1(3ˆ3 ˆ

Y

iip nn

ppppLIC

)0955.01(0955.030955.0

)1(3ˆ3 ˆ

Donde p es el estimador de la desviación estándar de la fracción muestral disconforme p.

En la tabla 2.4 aparecen los valores de los límites de control que sirven de base para la elaboración del diagrama de control de la fracción disconforme (Diagrama P), con tamaño muestral variable. A manera de ejemplo, se muestra el cálculo de los límites de control para las muestras 1 y 2.

√ ( )

; √

( )

√ ( )

; √

( )

√ ( )

; √

( )

√ ( )

; √

( )

19

Tabla 2.4 Del Ejemplo 2.2 (Tabla 5-4, página 116, Montgomery)

Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p), con Tamaño Muestral Variable

p i = Di/ ni p i = 3 ( p (1- p ni

C = p - 3 ( p (1- p ni C = p C = p 3 ( p (1- p ni

m ni Di i LIC LIC LC LSC

1 100 12 0.1200 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

2 80 8 0.1000 0.0329 0.0986 -0.0031 0.0000 0.0955 0.1941

3 80 6 0.0750 0.0329 0.0986 -0.0031 0.0000 0.0955 0.1941

4 100 9 0.0900 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

5 110 10 0.0909 0.0280 0.0841 0.0114 0.0114 0.0955 0.1796

6 110 12 0.1091 0.0280 0.0841 0.0114 0.0114 0.0955 0.1796

7 100 11 0.1100 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

8 100 16 0.1600 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

9 90 10 0.1111 0.0310 0.0929 0.0026 0.0026 0.0955 0.1885

10 90 6 0.0667 0.0310 0.0929 0.0026 0.0026 0.0955 0.1885

11 110 20 0.1818 0.0280 0.0841 0.0114 0.0114 0.0955 0.1796

12 120 15 0.1250 0.0268 0.0805 0.0150 0.0150 0.0955 0.1760

13 120 9 0.0750 0.0268 0.0805 0.0150 0.0150 0.0955 0.1760

14 120 8 0.0667 0.0268 0.0805 0.0150 0.0150 0.0955 0.1760

15 110 6 0.0545 0.0280 0.0841 0.0114 0.0114 0.0955 0.1796

16 80 8 0.1000 0.0329 0.0986 -0.0031 0.0000 0.0955 0.1941

17 80 10 0.1250 0.0329 0.0986 -0.0031 0.0000 0.0955 0.1941

18 80 7 0.0875 0.0329 0.0986 -0.0031 0.0000 0.0955 0.1941

19 90 5 0.0556 0.0310 0.0929 0.0026 0.0026 0.0955 0.1885

20 100 8 0.0800 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

20

21 100 5 0.0500 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

22 100 8 0.0800 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

23 100 10 0.1000 0.0294 0.0882 0.0073 0.0073 0.0955 0.1837

24 90 6 0.0667 0.0310 0.0929 0.0026 0.0026 0.0955 0.1885

25 90 9 0.1000 0.0310 0.0929 0.0026 0.0026 0.0955 0.1885

∑ = 2450 234 2.3805

Promedio, p = 0.0952 n = ∑ ni/m n = 98

p = 0.0955

Figura 2.3 Diagrama P, con tamaño muestral variable

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Frac

ció

n D

isco

nfo

rme

de

la M

ues

tra,

Tamaño de Muestra

Diagrama de la Fracción Disconforme (Diagrama p), con Tamaño Muestral Variable

p i

LIC

LC

LSC

21

Segundo Método.

Con este método, el Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p), para muestras de tamaño variable, se diseña con límites de control basados en un tamaño muestral promedio, lo que da como resultado un conjunto aproximado de límites de control. Para esto se supone que los futuros tamaños muestrales no serán muy diferentes de los observados antes.

Si se utiliza este método, los límites de control serán constantes. Sin embargo, si hay una variación extraordinariamente grande en el tamaño de una muestra en particular, o un punto cae cerca de los límites de control aproximados, entonces se tendrán que determinar los límites de control exactos para este punto y examinarlo respecto a su valor.

Para los datos de la Tabla 2-4, se tiene que el tamaño muestral promedio es

9825

2450

25

1

m

nn i

i

Por lo tanto, los límites de control aproximados son

1846.098

)0955.01(0955.030955.0

)1(3

npp

pLSC

Y

0064.098

)0955.01(0955.030955.0

)1(3

npp

pLIC

El diagrama de control resultante se muestra en la figura 2.4 .

Observe que p= 0.1818 para la muestra 11 se halla cerca del límite superior de control

aproximado, pero parece estar bajo control. Sin embargo, al compararlo con su límite superior de control exacto (0.1796), el punto indica una condición fuera de control. De modo similar, puntos que se encuentran fuera de los límites de control aproximados pueden estar entre sus límites de control exactos. En general, se debe tener cuidado con la interpretación de puntos cerca de límites de control aproximados.

22

Tabla 2.5 Ejemplo 2.2 Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p), con Tamaño Muestral Promedio

p i = Di/ ni p i = 3 ( p (1- p n

C = p - 3 ( p (1- p n C = p C = p 3 ( p (1- p n

m ni Di i LIC LIC LC LSC 1 100 12 0.1200 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 2 80 8 0.1000 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 3 80 6 0.0750 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 4 100 9 0.0900 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 5 110 10 0.0909 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 6 110 12 0.1091 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 7 100 11 0.1100 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 8 100 16 0.1600 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 9 90 10 0.1111 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 10 90 6 0.0667 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 11 110 20 0.1818 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 12 120 15 0.1250 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 13 120 9 0.0750 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 14 120 8 0.0667 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 15 110 6 0.0545 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 16 80 8 0.1000 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 17 80 10 0.1250 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 18 80 7 0.0875 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 19 90 5 0.0556 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 20 100 8 0.0800 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 21 100 5 0.0500 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 22 100 8 0.0800 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846

23

23 100 10 0.1000 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 24 90 6 0.0667 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 25 90 9 0.1000 0.0297 0.0891 0.0064 0.0064 0.0955 0.1846 ∑ = 2450 234 2.3805

Promedio, p = 0.0952 n = ∑ ni/m n = 98

p = 0.0955102

Figura 2.4 Diagrama p, con Tamaño Muestral Promedio.

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

0.2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Frac

ció

n D

isco

nfo

rme

de

la M

ues

tra,

Número de Muestra

Diagrama de Control de la Fracción Disconforme (Diagrama p), con tamaño muestral Promedio

p i

LIC

LC

LSC

24

2.2.5 Función Característica de Operación

La función característica de operación (CO) del diagrama de control de la fracción no

conforme, es una representación gráfica de la probabilidad de aceptar incorrectamente la

hipótesis de un control estadístico (es decir, un error tipo o error β contra la fracción

disconforme del proceso. La curva CO proporciona una medida de sensibilidad del diagrama de

control; o sea, su capacidad para detectar un cambio en la fracción disconforme del proceso

respecto al valor nominal p hacia algún otro valor p. a probabilidad de error tipo (error β

para el diagrama de control de la fracción no conforme se puede calcular a partir de

{ } { }

{ } { } (2.15)

Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error β, definido en la

ecuación (2.15), se puede obtener a partir de la distribución binomial acumulativa.

En la Tabla 2-6 se ilustran los cálculos necesarios con objeto de generar la curva CO para el

diagrama de control de la fracción disconforme con los parámetros n = 50, LIC = 0.0303 y

LSC=0.3697. Al aplicar estos parámetros, con la ecuación (2.15) se obtiene

β = P { D < (50 ( 0.3697 ⁄ p} - P { D ≤ (50 ( 0.0303 ⁄ p}

β = P { D < 18.49 ⁄ p} - P { D ≤ 1.52 ⁄ p}

Sin embargo, como D tiene que ser entero, encontramos que β = P { D ≤ 18 ⁄ p} - P { D ≤ 2 ⁄ p}

Tabla 2-6. Cálculos para el trazo de la curva CO para un diagrama de control de la fracción disconforme, con n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697

p P { D ≤ 18 ⁄ p} P { D ≤ 2 ⁄ p} β = P { D ≤ 18 ⁄ p} - P { D ≤ 2 ⁄ p}

0.01 1.0000 0.9862 0.0138 0.03 1.0000 0.8108 0.1892 0.05 1.0000 0.5405 0.4595 0.10 1.0000 0.1117 0.8883 0.15 0.9999 0.0142 0.9857 0.20 0.9975 0.0013 0.9962 0.25 0.9713 0.0001 0.9712 0.30 0.8594 0.0000 0.8594 0.35 0.6216 0.0000 0.6216 0.40 0.3356 0.0000 0.3356 0.45 0.1273 0.0000 0.1273 0.50 0.0325 0.0000 0.0325 0.55 0.0053 0.0000 0.0053

25

En la figura 2.5 se muestra la gráfica de la Curva CO.

Figura 2.5 Curva Característica de Operación.

2.2.6 DIAGRAMA DE CONTROL DE DISCONFORMIDADES (O DEFECTOS)

Un artículo Disconforme o No Conforme es un producto que no satisface una o más de las

especificaciones para tal producto. Cada punto específico en el que no se satisface una

especificación resulta ser un defecto o disconformidad. Por consiguiente, un artículo disconforme

tendrá por lo menos una disconformidad. Sin embargo, dependiendo de su naturaleza y de su

gravedad, es muy factible que un artículo posea varias disconformidades y, de todos modos, no

sea clasificado como disconforme. Por ejemplo, suponga que se fabrican computadoras

personales. Cada unidad podría tener uno o más desperfectos menores en el acabado de la caja, y

debido a que no afectan seriamente su funcionamiento se podría clasificarla como conforme. Sin

embargo, al tener demasiados desperfectos se tendría que clasificar la computadora personal

como no conforme, ya que aquellos serían evidentes para el consumidor, y podrían afectar la

venta de la unidad. Hay muchos casos prácticos en los que es preferible trabajar directamente con

el número de defectos o disconformidades, en vez de hacerlo con la fracción no conforme.

Algunos ejemplos son la cantidad de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoducto, el número de

remaches rotos en un ala de un avión, la cantidad de defectos funcionales en un dispositivo lógico

electrónico, etc.

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.01 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55

Erro

r t

ipo

II

(Err

or β

)

Fracción Disconforme, p

Curva Caracteristica de Operación (Curva CO)

β

26

Es posible desarrollar diagramas de control para el número total de disconformidades en

una unidad, o bien para el número promedio de defectos por unidad. Para estos diagramas se

supone normalmente que la ocurrencia de disconformidades en muestras de tamaño constante se

puede modelar bien con una distribución de Poisson. Por esto suele requerirse que el número de

oportunidades o lugares potenciales para las disconformidades sea infinitamente grande, y que la

probabilidad de ocurrencia de una disconformidad en cualquier lugar sea pequeña y constante.

Además, la unidad de inspección tiene que ser la misma para cada muestra. Es decir, cada unidad

de inspección tiene que representar un “área de oportunidad” idéntica para la ocurrencia de

disconformidades.

2.2.6.1 Procedimientos con tamaño muestral constante.

Considérese la ocurrencia de no conformidades en una unidad de inspección del producto. En la

mayoría de los casos, la unidad de inspección será una sola unidad del producto, aunque no

necesariamente siempre es así. La unidad de inspección es sencillamente una entidad apropiada

para registrar los defectos. Podría ser un grupo de 5 artículos, 10 artículos, etcétera. Supongamos

que los defectos o disconformidades ocurren en esta unidad de inspección según una distribución

de Poisson; es decir,

!

)(xce

xPxc

x = 0, 1, 2, …. !

)(x

exP

x

c c2 2

Donde x representa el número de disconformidades y c > 0 es el parámetro de la distribución

de Poisson. abemos que la media (μ y la variancia ( 2) de la distribución de Poisson son ambas

iguales al parámetro c. Por lo tanto, un diagrama de control de no conformidades con límites de

tres sigmas se caracterizaría por

ccLSC 3

Línea cCentral (2.16)

ccLIC 3

Suponiendo que se dispone de un valor estándar para .c Si estos cálculos dan un valor negativo

para el LIC, entonces tómese LIC = 0.

27

Si no se da un valor estándar para c, entonces se podrá estimar a c como la media

observada del número de disconformidades en una muestra preliminar de unidades de

inspección, digamos c . En este caso, el diagrama de control tendrá los parámetros

ccLSC 3

Línea cCentral (2.17)

ccLSC 3

Los límites de control obtenidos con la ecuación (2.17) se deben de considerar como

“ ímites de Control de Prueba” cuando no se dispone de un valor estándar, y es necesario

examinar las muestras preliminares para detectar una posible falta de control. El diagrama de

control de disconformidades se llama a veces Diagrama de c.

Ejemplo 2.3 (Pagina 124, Montgomery).

En la tabla 2-7 se presenta el número de disconformidades observadas en 26 muestras

sucesivas, cada una con 100 tarjetas de circuitos impresos. Obsérvese que se definió

convenientemente la unidad de inspección como 100 circuitos.

Tabla 2-7 Datos para el número de disconformidades en muestras de 100 circuitos impresos. Número de Número de Número de Número de Muestra, i Disconformidades, ci muestra, i disconformidades, ci 1 21 14 19 2 24 15 10 3 16 16 17 4 12 17 13 5 15 18 22 6 5 19 18 7 28 20 39 8 20 21 30 9 31 22 24 10 25 23 16 11 20 24 19 12 24 25 17 13 16 26 15

28

Solución:

Ya que las 26 muestras contienen un total de 516 disconformidades, se estima a “c” por

85.1926516

26

1

m

cc i

i

Por lo tanto, utilizando la ecuación (2.17), los límites de control de prueba son

22.3385.19385.193 ccLSC

Linea 85.19cCentral

48.685.19385.193 ccLIC

En la figura 2-6 se muestra el diagrama de control. Aquí se grafica el número de disconformidades

observadas de las muestras preliminares.

Figura 2-6 Diagrama de Control de Disconformidades o Diagrama C. (Límites de Control

de Prueba).

En el diagrama de la figura 2-6 se observa que dos puntos caen fuera de los límites de control, que

son los puntos que corresponden a las muestras 6 y 20. La investigación de la muestra 6 reveló

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Nú

mer

o d

e D

isco

nfo

rmid

ade

s, D

i

Número de Muestra

Diagrama de Control de Disconformidades

Di

LIC

c

LSC

29

que un inspector nuevo había examinado las tarjetas de dicha muestra y no reconoció varios tipos

de disconformidades que podrían haber estado presentes. Además, el número demasiado grande

de disconformidades en la muestra 20 se debió a un problema en el control de la temperatura en

la máquina de soldar en onda, el cual se resolvió inmediatamente. Por lo tanto, parece razonable

excluir estas dos muestras y revisar los límites de control de prueba. Ahora se calcula c tomando

en cuenta únicamente los datos de las 24 muestras que quedan, obteniendo el siguiente valor

67.1924472

24

1

m

cc i

i

Por lo tanto, los límites de control revisados son

97.3267.19367.193 ccLSC

Linea 67.19cCentral

37.667.19367.193 ccLIC

Estos serán los valores estándares para verificar la producción del próximo periodo.

En la figura 2-9 se muestra el diagrama de control de disconformidades, con límites de control

revisados.

Figura 2.7 Diagrama de Control de Disconformidades o Diagrama C. (Límites de

control Revisados)

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26

Nú

mer

o d

e D

isco

nfo

rmid

ades

, Di

Tamaño de Muestra

Diagrama de Control de Disconformidades

Di

LIC

c

LSC

30

2.2.7 Selección del tamaño muestral: Diagrama de u.

El ejemplo 2-3 ilustra un diagrama de control de disconformidades de con tamaño

muestral exactamente igual a una unidad de inspección. Se escoge dicha unidad por su sencillez

operacional o por su facilidad para obtener los datos. Sin embargo, no hay ninguna razón para

restringir el tamaño muestral a una unidad de inspección. En realidad, muchas veces es preferible

utilizar varias unidades de inspección en la muestra, aumentando así el área de oportunidad para

la ocurrencia de disconformidades. Por otro lado, factores económicos podrían influir en la

determinación del tamaño de la muestra.

Supóngase que decidimos basar el diagrama de control en un tamaño muestral de n

unidades de inspección. Nótese que n no necesariamente tiene que ser entero. Para ilustrar esto,

supóngase que en el ejemplo 2-3 se hubiera especificado un tamaño de los subgrupos igual a

n=2.5 unidades de inspección. Entonces el tamaño muestral sería (2.5)(100)=250 tarjetas. Existen

dos enfoques generales para construir la gráfica revisada, una vez elegido el tamaño muestral.

El primer enfoque es simplemente redefinir una nueva unidad de inspección, que es igual

a n veces la unidad de inspección anterior. En este caso, la línea central de la nueva gráfica de

control es cn , y los límites de control se localizan en cncn 3 , donde ces el número medio

observado de no conformidades de la unidad de inspección original. Supóngase que en el ejemplo

2-3, después de revisar los límites de control de prueba, se hubiera decidido usar un tamaño

muestral de n=2.5 unidades de inspección. Entonces

Línea Central = cn = (2.5)(19.67) = 49.18

22.7018.49318.493 cncnLSC

14.2818.49318.493 cncnLIC

El segundo enfoque implica elaborar un diagrama de control en base al promedio de

disconformidades por unidad de inspección. Si encontramos un total de cdisconformidades en

una muestra de n unidades de inspección, entonces el número promedio de no conformidades por

unidad de inspección será

nc

u

Nótese que u es una variable aleatoria de Poisson, ya que es una combinación lineal de n

variables aleatorias independientes de Poisson. Por consiguiente, los parámetros del diagrama de

control son

31

nu

uLSC 3

Linea uCentral

nu

uLIC 3

Donde u representa el número promedio observado de no conformidades por unidad en un

conjunto preliminar de datos. Los límites de control, obtenidos a partir de la ecuación anterior, se

considerarían límites de control de prueba. Esta gráfica se denomina diagrama de control de

disconformidades por unidad, o diagrama u .

Ejemplo 2-4

Un fabricante de computadoras personales desea establecer un diagrama de control de

disconformidades por unidad en la línea de montaje final. Se seleccionan como tamaño muestral

cinco computadoras. Los datos respecto al número de no conformidades en 20 muestras, de cinco

computadoras cada una, aparecen en la tabla 2-8. A partir de estos datos estimaríamos el número

medio de no conformidades por unidad:

93.12060.38

20

1

m

uu

m

ii

Por lo tanto, los parámetros de la gráfica de control son

79.3593.1

393.13 nu

uLSC

Línea 93.1uCentral

07.0593.1

393.13 nu

uLIC

El diagrama de control de disconformidades por unidad (Diagrama de U) se muestra en la Figura

2.10. Los datos preliminares no presentan una falta de control estadístico; por lo tanto, se

adoptarían los límites de control de prueba para el control actual. Una vez más nótese que el

número medio de disconformidades por unidad es demasiado alto, aunque el proceso se

encuentre bajo control. La administración debe emprender acciones para mejorar el proceso.

32

Tabla 2-8 Datos del número de disconformidades en computadoras personales

para el ejemplo 2-4.

Número de

Muestra, i Tamaño

muestral, n

Número total de disconformida-

des, c

Número de disconformidades por unidad, u=c/n

Muestra i N c U LIC LC LSC

1 5 10 2.0 0.07 1.93 3.79

2 5 12 2.4 0.07 1.93 3.79

3 5 8 1.6 0.07 1.93 3.79

4 5 14 2.8 0.07 1.93 3.79

5 5 10 2.0 0.07 1.93 3.79

6 5 16 3.2 0.07 1.93 3.79

7 5 11 2.2 0.07 1.93 3.79

8 5 7 1.4 0.07 1.93 3.79

9 5 10 2.0 0.07 1.93 3.79

10 5 15 3.0 0.07 1.93 3.79

11 5 9 1.8 0.07 1.93 3.79

12 5 5 1.0 0.07 1.93 3.79

13 5 7 1.4 0.07 1.93 3.79

14 5 11 2.2 0.07 1.93 3.79

15 5 12 2.4 0.07 1.93 3.79

16 5 6 1.2 0.07 1.93 3.79

17 5 8 1.6 0.07 1.93 3.79

18 5 10 2.0 0.07 1.93 3.79

19 5 7 1.4 0.07 1.93 3.79

20 5 5 1.0 0.07 1.93 3.79

Total: 100 193 38.6

33

Figura 2-8 Diagrama de u

2.2.8 Procedimientos con Tamaño Muestral Variable

Ocasionalmente se construyen diagramas de control de disconformidades realizando una

inspección al 100 % del producto. Al hacer uso de este método de muestreo, el número de

unidades de inspección en una muestra normalmente no será constante. La inspección de rollos

de tela o de papel lleva también a una situación en la que el tamaño muestral varia, porque no

todos los rollos tienen la misma longitud o anchura. Si se usa un diagrama de control de

disconformidades (Diagrama c) en esta situación, la línea central y los límites de control variarán

con el tamaño de la muestra. Podría ser difícil interpretar esta gráfica de control. El procedimiento

correcto es utilizar un diagrama de control de control de no conformidades por unidad (Diagrama

de u). Éste tendrá una línea central constante; sin embargo, los límites de control variarán en

forma inversamente proporcional al tamaño n del subgrupo.

Ejemplo 2-5

En una fábrica de acabados de tejidos, se inspeccionan telas teñidas para detectar los

defectos en 50 metros cuadrados. Los datos para 10 rollos de tela se presentan en la tabla 2-9.

Utilizaremos estos datos para elaborar una gráfica de control de disconformidades por unidad. La

línea central de la gráfica debe ser el número medio de no conformidades por unidad de

inspección; es decir, el promedio del número de no conformidades por 50 metros cuadrados. Esto

se calcula de la manera siguiente:

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Dis

con

form

idad

es

po

r U

nid

ad, u

Número de muestra

Diagrama de Control de Disconformidades por unidad

u

LIC

LC

LSC

34

42.15.107

153

1

1

m

ii

m

ii

n

cu

Tabla 2-9 Ocurrencia de disconformidades en telas teñidas, del ejemplo 2.5

Número de Rollo, i

cantidad de metros cuadrados

Número Total de Disconformidades, c

Núm. de Unid. de inspección por rollo, n

Número de disconformidades por unidad de inspección, u

Limite Inferior de Control

Línea Central

Limite Superior de Control

muestra, i m2 c n u LIC LC LSC

1 500 14 10.0 1.40 0.291 1.423 2.555

2 400 12 8.0 1.50 0.158 1.423 2.689

3 650 20 13.0 1.54 0.431 1.423 2.416

4 500 11 10.0 1.10 0.291 1.423 2.555

5 475 7 9.5 0.74 0.262 1.423 2.584

6 500 10 10.0 1.00 0.291 1.423 2.555

7 600 21 12.0 1.75 0.390 1.423 2.456

8 525 16 10.5 1.52 0.319 1.423 2.528

9 600 19 12.0 1.58 0.390 1.423 2.456

10 625 23 12.50 1.84 0.411 1.423 2.436

Total: 5375 153 107.5 13.97

Figura 2.9 Diagrama de Control de Disconformidades por Unidad, con tamaño muestral

variable.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dis

con

form

idad

es

po

r u

nid

ad, u

Número del Rollo

Diagrama de Control de disconformidades por unidad