26-5-2016

DIAGRAMA DE BLOQUES Y FLUJO DE SEÑALES, FUNCIO DE TRANSFERENCIA Materia: Control lineal

PROFESOR: ALFREDO GONZALES FUENTEVILLA

INTEGRANTES:

GARCIA CABRERA IDELFONSO DE JESUS

NUÑEZ ACUÑA CECILIA

ROJAS RODRIGUEZ DAVID

VICENCIO MENDOZA ALEJANDRO

ESCUELA: UNIVERSIDAD VERACRUZANA CAMPUS

COATZACOALCOS

COATZACOALCOS, VERACRUZ

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CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 2

ANTECEDENTES ................................................................................................................................... 3

PROBLEMA ........................................................................................................................................ 15

OBJETIVO ........................................................................................................................................... 15

JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................................. 16

HIPÓTESIS .......................................................................................................................................... 16

METODOLOGÍA.................................................................................................................................. 16

IMPACTO AMBIENTAL ....................................................................................................................... 26

CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 26

RECOMENDACIONES ......................................................................................................................... 26

2

INTRODUCCIÓN SISTEMA DE CONTROL

Aquel en el que la salida del sistema se controla para tener un valor

especifico o cambiarlo, según lo determine la entrada del sistema.

• Lazo abierto

• Lazo cerrado

ELEMENTOS BASICOS

1. Entrada

2. Elemento de comparación

3. Controlador

4. Proceso

5. Elemento de medición

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

La Función de Transferencia de un sistema descripto mediante una

ecuación diferencial lineal, e invariante en el tiempo se define en el dominio

de Laplace, como:

“El cociente entre la Transformada de Laplace de la salida o respuesta del

sistema y la Transformada de Laplace de la entrada o función de excitación,

bajo la suposición que todas las condiciones iniciales son cero.”

Es decir es la manera de relacionar la variable de salida con la variable de

entrada de un sistema.

ANTECEDENTES

Señales

Valor de referencia: También conocida como valor de ajusto o valor

guía, entre al sistema de control el valor deseado de la variable

regulada.

3

Error: También conocida como la variación en la regulación, entrega

al regulador la diferencia entre el valor real y el valor deseado de la

variable controlada.

Señal de regulación: Es la señal que manda el regulador sobre el

dispositivo que ejecuta la acción de control.

Entrada: Señal que efectúa el cambio en el proceso.

Perturbación: Son señales no controladas, que provocan cambios en

la señal de salida.

Salida: También conocida como señal regulada o valor real, indica el

valor actual que contiene la señal que se está controlando.

Bloques

Regulador: Dispositivo mecánico, electrónico o computacional que

después de recibir la señal de comparación aumenta o disminuye la

señal de regulación.

Unidad de regulación: Dispositivo que ejecuta la acción de regulación.

Se le llama actuador.

Unidad de medición: Sensa la variable a medir y adecúa la señal de

salida. Se trata de los sensores, los transductores, el

acondicionamiento de señales y la presentación de datos.

ANTECEDENTES DIAGRAMA DE BLOQUES

La representación de los sistemas por medio de diagramas de bloques se

utiliza para describir, gráficamente, las partes de las que consta un sistema,

así como sus interconexiones.

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Las variables en el sistema son:

r(t)=Entrada de referencia

e(t)=Señal de error

v(t)= Variable regulada

m(t)=Variable manipulada

p(t)=Señal de perturbación

y(t)=Variable controlada

b(t)=Variable de retroalimentación como resultado de haber detectado la

variable controlada por medio del sensor

ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES

1. Bloques: es el elemento principal de un diagrama de bloques ya que

representa los componentes del sistema. Es el elemento que contiene

la relación entre la entrada y la salida del componente del sistema, ya

sea con un nombre o directamente la función de transferencia del

elemento.

2. Líneas: son las que representan la trayectoria de las señales y su

sentido. Indican la conexión de una variable entre diversos bloques

3. Punto de suma: representado por un circulo e indica que la salida es

igual a la suma de las dos señales que entran.

4. Punto de ramificación o de reparto: es el lugar donde la señal se

separa para seguir dos o más trayectorias.

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ÁLGEBRA DE BLOQUES

Los diagramas de bloques de sistemas de control complicados se pueden

simplificar usando una serie de teoremas de transformación mostrados a

continuación:

6

SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE:

Simplificación de diagramas 1 entrada - 1 salida

Simplificación de diagramas X entradas - 1 salida

Simplificación de diagramas X entradas - X salidas

SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS 1 ENTRADA - 1 SALIDA

*Objetivo: la reducción de un diagrama de bloques más complejo a uno más

sencillo (obtención de la FT general del sistema).

Numerar los puntos de suma y ramificaciones

Aplicación teorema 1 y 2

7

Reducción entre puntos 2-3 y 3-6

Aplicación teorema 1 y 3

Reducción entre puntos 2-3 y 1-6

Aplicación teorema 3

Función de transferencia

SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS X ENTRADA - 1 SALIDA

Cuando hay varias entradas se trata cada una de ellas en forma

independiente (similitud con superposición) y la salida total es la suma de

todas las entradas individuales.

Se iguala la entrada W=0, y se resuelve el sistema para U

Aplicación teorema 1 para C, E, Q

Aplicación de teorema 3

8

Se iguala la entrada U=0, y se resuelve el sistema para w

Aplicación teorema 1 para C, E, M

Aplicación de teorema 3

Finalmente el diagrama será la suma de las dos respuestas individuales:

SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS X ENTRADA - X SALIDA

Primero se determina una de las salidas ignorando las otras y a su vez para

cada salida se hallara la respuesta por entrada.

9

=

=

Por lo tanto, se puede formular una serie de pasos generales para la

resolución de los diagramas de bloque:

1. Combinar todos los bloques en cascada, usando la transformación 1.

2. Combinar todos los bloques en paralelo, usando la transformación 2.

3. Eliminar todos los pasos menores de realimentación usando la

transformación 4.

4. Desplazar los puntos de suma hacia la izquierda, y los puntos de toma

hacia la derecha del lazo principal, usando las transformaciones 6, 7,

8 y 9.

5. Repetir los pasos de 1 a 4 hasta que se logre la forma canónica para

una entrada particular.

Repetir los pasos para cada entrada según sea necesaria o para cada salida

si así se requiere.

REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑALES (MÉTODO DE

MASON)

• La finalidad de representar un sistema de control en DFS o DB no sólo

es proveer una representación gráfica de las relaciones entre variables

y subsistemas procedentes de un conjunto de ecuaciones; también

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debe hacer posible obtener una función de transferencia equivalente

(en forma de función racional formada por un único numerador y un

único denominador) a la que por su importancia se le llamará función

de transferencia de lazo cerrado y que está representada por T(s).

• Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado T(s) de un

sistema, se empleará el método de Mason y posteriormente la

simplificación de bloques por medio del álgebra correspondiente.

• El método de Mason es un procedimiento mediante el cual es posible

determinar funciones de transferencia de lazo cerrado T(s) de sistemas

SISO, pero también puede aplicarse a sistemas MIMO para obtener

las correspondientes funciones de transferencia de lazo cerrado Tij(s).

El procedimiento de Mason se define con la ecuación 4.4

Donde:

𝑃𝑖 = ganancia de la trayectoria i considerada

∆ = determinante

∆𝑖 = cofactor asociado a la trayectoria i

𝑇(𝑠) = función de transferencia de lazo cerrado

• Para lograr utilizar la ecuación 4.4 a un determinado DFS, o bien, a

un DB (sin ser convertido a DFS), a continuación se definen los

siguientes términos, que se aplicarán simultáneamente al DFS

mostrado en la fi gura 4.3.

• Trayectoria:

Una trayectoria es cualquier recorrido unidireccional que va desde la

entrada hasta la salida; al recorrerla, no es posible pasar por un

mismo nodo más de una vez. El número y el orden asignados a cada

trayectoria son arbitrarios.

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• Ganancia de trayectoria Pi

Es el producto de las funciones de transferencia individuales que

forman cada trayectoria. Para el caso considerado se tienen tres

ganancias de trayectoria:

La ganancia P1 de la trayectoria 1 es:

• La ganancia P2 de la trayectoria 2 es:

• La ganancia P3 de la trayectoria 3 es:

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• Ciclo:

Un ciclo es todo recorrido unidireccional cerrado que empieza y

termina en el mismo nodo, de manera tal que al recorrerse no es

posible pasar por un mismo nodo más de una vez. El número dado a

cada ciclo es arbitrario.

La ganancia L2 del segundo ciclo es:

La ganancia L3 del tercer ciclo es:

La ganancia L4 del cuarto ciclo es:

• Determinante ∆

Para evaluar el determinante del DFS respectivo es necesario el

siguiente concepto: dos ciclos se tocan entre sí cuando éstos tienen

en común un mismo nodo; en caso contrario, se dice que los ciclos no

se tocan entre sí. De acuerdo con lo anterior, el determinante de un

DFS se define como:

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• ∆ = 1 − (suma de las ganancias de todos los ciclos) + (suma de los

productos de las ganancias de todas las combinaciones de dos ciclos

que no se toquen entre sí) − (suma de los productos de las ganancias

de todas las combinaciones de tres ciclos que no se toquen entre sí) +

…

El determinante del DFS bajo estudio es:

• Y sustituyendo los valores:

• Cofactor ∆i

Se considera que un ciclo y una trayectoria se tocan entre sí cuando

ambos tienen en común un mismo nodo. Este concepto se utiliza para

definir el cofactor asociado a cada trayectoria (habrá tantos cofactores

como trayectorias).

El cofactor de una trayectoria es el determinante del DFS formado por

la supresión de todos los ciclos que toquen a la trayectoria bajo

consideración.

Por lo anterior, el cofactor ∆i asociado a la trayectoria i es:

• ∆i = 1 − (suma de las ganancias de todos los ciclos que no tocan la

trayectoria considerada) + (suma de los productos de las ganancias de

todas las combinaciones de dos ciclos que no toquen a la trayectoria

considerada y que no se toquen entre sí) − (suma de los productos de

las ganancias de todas las combinaciones de tres ciclos que no toquen

a la trayectoria considerada y que no se toquen entre sí) + …

14

15

PROBLEMA En la realidad establecer modelos para sistemas es complicado, ya que es

el resultado de enlazar algunos subsistemas o elementos pertenecientes al

proceso, cada uno de los cuales tiene su propia función de transferencia

representados en el dominio de S.

Los diagramas de bloques se pueden usar para representar cada uno de

estos subsistemas y, el agrupamiento del arreglo enlazado, es decir el

modelo del proceso completo.

Pero conseguir la respuesta global de un grupo de subsistemas cuando se

trata de un proceso muy complejo resultara en un proceso de resolución

muy tardado o tedioso.

¿Cómo se podría resolver de manera efectiva y rápida estos

sistemas?

OBJETIVO Presentar el procedimiento del uso de Matlab para la obtención de la

función de transferencia de un grupo de subsistemas agrupados.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Visualizar teoría necesaria para lectura de bloques en sistemas de

control

Realizar la resolución del procedimiento

Realizar paso a paso la obtención de la función de transferencia

mediante Matlab

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JUSTIFICACIÓN

Se elaborará una metodología para la correcta resolución de sistemas de

control mediante algebra de bloques, logrando así una reducción

considerable de tiempo que podría ser aplicado por los estudiantes para el

análisis de los métodos de evaluación de estabilidad y respuesta de los

sistemas. se empleará el software matemático necesario por lo que se

mostrará la manera de interpretar el flujo de las señales en los sistemas de

control para poder plasmar así de manera correcta en la lógica del programa

el funcionamiento del sistema.

HIPÓTESIS

Una manera de resolver el álgebra de bloques de sistemas de control

retroalimentados es mediante la implementación de lógica programable de

Matlab, a su vez es posible el análisis de la respuesta del sistema si así se

desea mediante una función complementaria llamada Simulink

METODOLOGÍA Matlab es una herramienta de software matemático la cual es utilizado para

investigación y para resolver problemas prácticos de ingeniería y

matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y

procesamiento de señales.

Como se mencionó, un diagrama de bloques representa sistemas físicos

gráficamente. Esta representación puede realizarse a partir de dos tipos de

datos:

o Cuando se conocen los elementos que conforman el sistema de

control, su conexión, así como las funciones de transferencia de sus

elementos.

o Cuando se conocen las funciones de transferencia de los elementos

sin conocer la interconexión entre ellos. En este caso se deberá

realizar primero un diagrama preliminar, luego se deberán identificar

los componentes y finalmente volver a dibujar el diagrama en forma

ordenada.

Para ambos casos el siguiente paso será su reducción para obtener la

función de transferencia de ser necesario.

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Los comandos necesarios para la resolución de nuestros problemas serán:

n1=...; d1=...; ...;

Definición de las funciones de transferencia de cada

bloque, n1 corresponde al numerador del bloque 1 y

d1 a su denominador, n2 y d2 para el bloque 2,…,etc.

nblocks=...;

Numero total de bloques en el diagrama.

blkbuild

Construir matrices de estado.

q=[......];

Definir interconexión de bloques.

input=....;

Bloque de entrada.

output=....;

Bloque de salida.

Connect Calcula el modelo del sistema en el espacio de

estados. Ss2tf Transforma función de variables de estado en

función de transferencia en s. minreal Elimina los polos y los ceros comunes. printsys Muestra el sistema.

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Ejemplos:

Código de Matlab:

n1=1;d1=1; n2=3;d2=1; n3=[1 0];d3=[1 1]; n4=2;d4=1; n5=30;d5=1; n6=1;d6=[1 0]; n7=1;d7=[1 0]; n8=6;d8=1; n9=25;d9=[1 1]; nblocks=9; blkbuild input=1; output=6; q=[2 1 -8;3 2 -9;4 3 -7;5 4 0;6 5 0;9 4 0;7 6 0;8 6 0]; [a,b,c,d]= connect(a,b,c,d,q,input,output); [num,den]=ss2tf(a,b,c,d); [num,den]=minreal(num,den); printsys(num,den)

180 s^3 + 180 s^2

f.t. -------------------------------------

s^4 + 1132 s^3 + 1141 s^2 + 120 s + 60

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Motor de CD controlado por corriente de armadura que proporciona

torque a una carga.

Para obtener el modelo matemático del motor de CD se considerarán tres

etapas: la primera consta de un circuito R-L (circuito de campo), a

continuación, un torque en el eje y posteriormente un sistema mecánico de

rotación con carga acoplada. El voltaje de entrada Vc(t) se aplica a las

terminales de campo.

Primero se necesitan tener las funciones en el dominio de (s) de cada etapa

del sistema

Circuito de campo (circuito R-L):

Torque en el eje y rotación de la carga:

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Código de Matlab:

n1=1;d1=1; n2=0.01;d2=[0.5 1];

n3=1;d3=[0.08 0.2]; n4=1;d4=[1 0]; n5=[0.01];d45=[1];

nblocks=5; blkbuild input=1; output=4;

q=[2 1 -5;3 2 0;4 3 0;5 3 0]; [a,b,c,d]= connect(a,b,c,d,q,input,output); [num,den]=ss2tf(a,b,c,d);

[num,den]=minreal(num,den); printsys(num,den)

0.25

f.t. ------------------------

s^3 + 4.5 s^2 + 5.0025 s

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Problemas:

Encontrar la relación dinámica entre el caudal de entrada qi y el caudal de

salida qo, para el tanque mostrado en la Fig. 23:

qi = caudal de entrada.

qo = caudal de salida.

q = caudal neto dentro del tanque.

ho = altura del líquido dentro del tanque.

R = resistencia de la válvula.

En este ejemplo se considerarán las condiciones iniciales de las variables,

asumiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, con lo que:

qii= caudal inicial de entrada.

qoi= caudal inicial de salida.

hoi= altura inicial del líquido dentro del tanque.

Como se ha considerado que el sistema está en equilibrio tenemos que:

qoi= qii

qi= caudal inicial dentro del tanque es =0.

Hoi= altura inicial dentro del tanque es constante.

Se va a considerar el efecto que se produce en qo cuando se produce un

cambio en el caudal de entrada qi.

Las ecuaciones simultáneas que describen la dinámica del sistema son:

Despejando la Ec. (36) la variable que nos queda:

Reemplazando la Ec. (37) en la Ec. (39), obtenemos:

22

Ahora reemplazamos la Ec (38) en la Ec (40) y nos queda:

Agrupando los términos de la Ec. (41) que tienen qo obtenemos:

De esta manera la Ec. (42) es el modelo matemático que se está buscando,

por último se reacomodan las variables para así obtener la relación entre la

variable de entrada y la variable de salida de la siguiente manera:

En donde T es la constante de tiempo, y FT es la Función de Transferencia

pedida.

A continuación, se mostrará el mismo ejemplo que se resolvió con

sustitución de ecuaciones simultáneas solo que ahora se resolverá con

Diagrama en Bloques.

qi = caudal de entrada.

qo = caudal de salida.

q = caudal neto dentro del tanque.

ho = altura del líquido dentro del tanque.

R = resistencia de la válvula.

Las ecuaciones de este tanque son:

23

Diagrama en Bloques:

Reduciendo el Diagrama en Bloques nos queda:

Aplicando la fórmula para obtener la Función de Transferencia se obtiene:

Como se puede observar, se llega a la misma función de transferencia que

se obtuvo con el método de sustitución de ecuaciones simultáneas.

Ahora se resolverá por Diagrama de flujo de señal (MÉTODO DE MASON)

• Al igual que el método de diagramas en bloques, hay que disponer de

todas las ecuaciones que modelan los diferentes elementos de nuestro

sistema. Luego las ecuaciones diferenciales se transforman en

algebraicas, utilizando el operador D, o aplicando transforma de

Laplace (se reemplaza directamente el operador D por la variable

compleja S), y el conjunto de ecuaciones algebraicas así obtenidas, se

lo representa en un Diagrama de Flujo Señal.

El diagrama de Flujo de este sistema es el siguiente:

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Se encuentra la FT usando la Formula de Mason:

Para el siguiente conjunto de ecuaciones transformadas, obtenga su

respectivo DFS y posteriormente su función de transferencia de lazo cerrado

T(s) utilizando el método de Mason.

Donde

𝑅1(s) es una entrada inicial.

𝑋1(s) , 𝑋2(s) y 𝑋3(s) son salidas y/o

entradas intermedias.

𝑌1(s) es la salida.

Solución:

La figura muestra el DFS del conjunto de ecuaciones bajo consideración.

Para obtener la función de transferencia de lazo cerrado T(s), al aplicar el

método de Mason se definen la ganancia de trayectoria, P1, la ganancia de

ciclos (L1, L2 y L3), el determinante ∆ y el cofactor ∆1.

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Ganancia de trayectorias P1:

Ganancia de ciclos:

Determinante ∆:

El cofactor ∆1 asociado a la trayectoria P1 es:

Al conocer todos los términos de la ecuación:

Se procede a obtener la función de transferencia de lazo cerrado T(s):

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IMPACTO AMBIENTAL Toda acción humana crea un impacto ambiental en el medio ambiente que

nos rodea.

Lo ideal seria que nosotros como sociedad responsable y sustentable

reduzcamos en su máxima expresión la contaminación generada por los

procesos.

Una manera segura, eficaz y controlable de los procesos es mediante los

sistemas de control, a través de ellos seremos capaces de predecir

comportamientos en el tiempo del proceso en condiciones adversas tanto de

valores mínimos como de valores máximos.

Evitando así al menos en la parte operacional las fallas producidas en los

sistemas y evitando de esta manera accidentes o desastres que podrían

afectar a lo mas importante que son las vidas del personal vinculado a los

procesos y también al medio ambiente en el cual se encuentra, ya que como

se sabe el ser humano cuenta con procesos en los cuales utiliza medios

como pueden ser recursos acuíferos, aire, mares, explotación de recursos

minerales , procesos químicos, etc.

CONCLUSIÓN Mediante los diagramas de bloque y diagramas de flujo de señales nos es

posible representar de manera grafica los diferentes componentes de un

sistema y además nos permite visualizar su relación así como su conjunto.

En su aplicación junto con MatLab nos permite encontrar de una manera

mas rápida la función general de transferencia del sistema y así poder

emplear tiempo en el análisis de estabilidad por los diferentes métodos,

respuesta del sistema, etc.

RECOMENDACIONES Una manera de mejorar la resolución de sistemas de control es el modelado

de sistemas reales. Corresponde a una habilidad que resulta de suma

importancia para los estudiantes ya que brinda la posibilidad de formar a

partir de las ecuaciones diferenciales que rigen a nuestros subsistemas el

diagrama de bloques que lo describe.

Por otra parte conocer y realizar la respuesta de los sistemas ante diferentes

señales en la entrada, nos brindara el comportamiento en el tiempo que

presentara la señal de salida.