Deterministic Os 3

Modelización de sistemas deterministas.

Leo M. GonzálezEscuela Complutense Latinoamericana, Buenos Aires, Febrero

2012

Leo M. González [email protected] Modelización de sistemas deterministas.

Introducción.

Importancia de la programación en ciencias e ingeniería.

Los problemas actuales requieren modelos matemáticoscomplejos que demandan gran capacidad de cálculo.

La simulación aporta experimentos computacionales debajo coste para constrastar con los del laboratorio.


Objetivos

Impartir una metodología orientada a lasimulación de sistemas físicos.

Diseñar proyectos de software.

Construir herramientas de programación de altonivel: MATLAB.


¾Qué entendemos por Modelización Matemática?

Descripción de ciertos fenómenos de la naturalezamediante un número nito de ecuaciones.

Diferencias entre la realidad y el modelo computacional:

Pequeños efectos físicos despreciados.Aproximaciones numéricas (Procesos iterativos, errores deredondeo, etc...).Aproximaciones geométricas.A diferencia del mundo experimental la escala no es problema.


Simulación de un sistema físico.

Objetivo principal: Desarrollar un código especíco para lapredicción del comportamiento del sistema físico.

Análisis de necesidades.Denición del sistema físico. ¾Qué física quiero simular?Objetivos de la simulación. ¾Qué información quiero conseguir?

Estudio del problema.

Implementación.

Validación.


Simulación de un sistema físico. Estudio del problema

Determinación del modelo matemático.EDOs, EDPs, sistema algebraico y condiciones de contorno(BC).Hipótesis para que el sistema matemático represente a la física.Existencia y unicidad de solución.Regularidad y posibles singularidades de la solución.

Discretización espacial.Tipo de mallado(estructurado/no estructurado).Presencia de capas límite o discontinuidades (ondas dechoque).Esquema numérico (VOF,FEM,DF,espectral)

Discretización temporal: estabilidad numérica.

Coste computacional: tiempo de ejecución y memorianecesaria.


Simulación de un sistema físico. Implementación.

Elaboración de un código.

Compilación y ejecución.

Voilá!! Ya tenemos una "solución".


Simulación de un sistema físico. Validación

Representación de la solución.Presencia fuertes gradientes imprevistos, rizados, etc...Vericación de las Condiciones de Contorno.

Estimación del error: convergencia en malla y pasotemporal.

Comparación de resultados.


Simulación de un sistema físico. Análisis Computacional

Tiempos de ejecución.

Optimización del código.

Coste de memoria.


Ejemplo I: Mecánica.

Leyes de Newton.

Segunda ley: La variación temporal de la cantidad demovimiento es paralela y directamente proporcional a la fuerzaneta F e inversamente proporcional a su masa.

F =dp

dt= m · a = m · x


Ejemplo II: Electromagnetismo.

Y dijo Dios...

∇×−→E = −µ∂

−→H

∂t

∇×−→H =

−→J + ε

∂−→E

∂t

∇ ·−→D = ρ

∇ ·−→B = 0

y hubo luz.


Ejemplo III: Termodinámica

Primer Principio de la Termodinámica, sobre la conservaciónde la energía:

La energía no se crea ni se destruye.No hay comida gratuita.

Segundo Principio de la Termodinámica, sobre la entropía:En un sistema aislado, la entropía nunca decrece.El calor no puede ir de forma espontánea de un punto frío a unpunto caliente a menos que se le aplique trabajo.


Ejemplo IV: Mecánica de Fluidos.

Aplicación directa de la Mecánica.

Algunas ideas vienen de la Termodinámica.

Entensión de las leyes de Newton a un sistema complejo.


¾Cómo modelar un sistema físico?.

Leyes fundamentales (por ejemplo...):

Conservación de la masa.Conservación de momento.Conservación de energía.etc...

Información extra:

Ecuaciones de estado.condiciones de contorno.

⇒ Llegamos a un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales no lineal.

Evaluamos la dicultad analítica de la solución.

Asumimos el alto coste y la dicultad de los experimentos.

⇒ Solución numérica.


Ecuaciones de Navier-Stokes para una partícula uida. YDios dijo de nuevo:

Hipótesis físicas:

Fluido incompresible.

Fluido newtoniano.

Se desprecian los efectos térmicos.

∇ · v = 0

ρ∂v

∂t+ ρv · ∇v = −∇p + ρf +∇τ

f Típicas fuerzas volumétricas: gravitatorias,electromagneticas, inerciales, etc...

τ Tensor de esfuerzos viscosos.


Ejemplo 0: Problema básico de hidrostática: Regulador denivel de agua.

Se tiene una esfera de radio unidad R = 1 cuya densidad es lacuarta parte de la del agua dulce y una pileta muy grande, defondo plano, con un agujero de radio a = 0,5 unidadestapando por dicha esfera. Se empieza a llenar de agua lapileta. Estudiar el comportamiento del sistema físico.

Volumen de un casquete esférico V (z) = πRz2 − π3z3

h3 + 3(c − R)h2 + 3(c2 − 2Rc + R2

12)h + R3 = 0

Siendo c la distancia desde el fondo de la pileta hasta la parteinferior de la esfera. Resolvamos la ecuación con Matlab.fzero(@error_func , 1)


Ejercicio: Caño óptimo.

Se tiene 3 caños de longitud L = 1Km por los que va a circularagua µ/ρ = 10−6 y queremos conocer cual es el que va a darmenos caida de presión. El número de Reynolds en hidráulica esRe = ρVD/µ. Las características de las tuberías aparecen indicadasen la tabla adjunta:

1 El coeciente de fricción λ para las 3 tuberías.

2 La pérdida de carga Hrp = λ LD

v2

2gen las 3 tuberías.

Re D ε/D

104 0.2 0.005105 0.15 0.003106 0.1 0.003


Ejemplo 0: Oscilador armónico lineal y amortiguado.Forzado y resonancia.

Se tiene un oscilador armónico lineal de masa m suspendidopor un resorte de constante elástica K . La posición de iniciales x(t = 0) = 2 y la posición de equilibrio es x0 = 0

1 Aplicar las ecuaciones de Newton a dicho oscilador yllegar a una ecuación diferencial.

2 Resolver dicha ecuación diferencial con Matlab.

3 Añadir un amortiguamiento µ = 0,2 y observar elcomportamiento.

4 Añadir un forzante f = sin(Ωt) y probar que existe unafrecuencia de resonancia cuando µ = 0.


Paso 1. Transcripción de las ecuaciones.

Lo primero es descomponer la ecuación en un problema queMatlab pueda entender.

Hay que pasar de una ecuación en derivada segunda a unsistema de EDOs.

dy1

dt= y2 (1)

dy2

dt= −(K/m)y1 − (µ/m)y2 (2)

y1(0) = 2 (3)

y2(0) = 0. (4)

Añadir un forzante f = sin(Ωt).


Paso 2. Escritura del modelo en Matlab. Script vdp.m

function dydt = vdplin(t,y,m,K,mu)

%Oscilador armonico amortiguado.

%(mu=0 sin amortiguamiento)

dydt = zeros(2,1);

dydt(1) = y(2);

dydt(2) = -mu/m*y(2) - K/m*y(1); %+ sin(1*t);


Ejemplo 1: Ecuación de Van der Pol.

http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_de_van_der_Pol

Comparación con el oscilador armónico lineal y osciladoramortiguado.

mx − αx + βx3 + kx = 0.

Movimiento de una masa oscilante con amortiguamientolineal y no lineal a la vez. Adimensionalizando el problemallegamos a la ecuación:

x + x + µ(x2 − 1)x = 0

Esta ecuacion tiene la particularidad de que a medida queel parametro µ aumenta el problema se vuelve sti.




Paso 1. Transcripción de las ecuaciones.

Lo primero es descomponer la ecuación en un problema queMatlab pueda entender.

Hay que pasar de una ecuación en derivada segunda a unsistema de EDOs.

dy1

dt= y2 (5)

dy2

dt= µy2(1− y21 )− y1 (6)

y1(0) = 2 (7)

y2(0) = 0. (8)

Estudiaremos los problemas para µ = 1(no sti) o µ = 1000(sti)


Paso 2. Concepto de estabilidad de un sistema de EDOs.

Discretización en tiempo.

Métodos implícitos (Euler,RK) y explícitos(sistemas lineales ono lineales).

Stiness.

http://www.mathworks.es/company/newsletters/news_

notes/clevescorner/may03_cleve.html


http://www.mathworks.es/company/newsletters/news_notes/clevescorner/may03_cleve.html

http://www.mathworks.es/company/newsletters/news_notes/clevescorner/may03_cleve.html

Paso 3. Escritura del modelo en Matlab. Script vdp.m

function dydt = vdp(t,y,mu)

%VDP1 Evaluate the van der Pol ODEs

%

dydt = zeros(2,1);

dydt(1) = y(2);

dydt(2) = mu*(1-y(1)*y(1))*y(2) - y(1);

%Otra forma + compacta de programarlo

%dydt = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];


Caso No Sti µ = 1.

>> [tout,xout]=ode45(@vdp,[0 20],[2 0]);

>> plot(tout,xout(:,1));

Esquemas de paso variable.

Apreciamos que el paso de integración disminuye según lacurvatura de la solución.


Otras posibilidades de integración.


Caso Sti.µ = 1000 t ∈ [0, 3000]

Gradientes elevados en la solucion el paso de integracion de unesquema explicito se va haciendo tan pequeño que su avancees demasiado corto.

Esquemas explícitos eternos.

Presencia de puntos con alto gradiente.

%This script solves the VanderPol oscillator

%for a variable mu value.

mu=1;

vdpmu = @(t,x) vdp(t,x,mu);

[tout,xout]=ode45(vdpmu,[0 20],[2 0]); %No stiff

%[tout,xout]=ode23s(vdpmu,[0 3000],[2 0]); %Stiff

plot(tout,xout(:,1));


Ejercicio: Caída por un plano inclinado.

Una partícula parte del reposo descendiendo sobre un planoinclinado empujada por su propio peso. El ángulo que forma elplano inclinado con la horizontal θ cambia con el tiempo con unavelocidad constante ω, siendo θ(t = 0) = 0. La partícula seencuentra en el origen en el instante inicial r(t = 0) = 0.Planteando el problema en coordenadas polares con origen en elcentro de giro. g = 10 m/s2

1 Escribir la ecuación diferencial de movimiento.

2 Hallar la velocidad de rotación ω para que la partícula llegue ar = 0,5 en t = 1.


Ejemplo 2: Inestabilidades y caos.

Presencia de no linealidad.

Mayor complejidad.

Posible presencia de caos.

Ejercicio. Programar una función Rikitake.m que nos devuelva enun vector xdot(1:3,1) las derivadas de x1, x2, x3


Ejercicio. Atractor de Lorentz

1 Resolver el sistema hasta t = 50 con la condición inicial(x , y , z) = (1, 1, 1).

2 Hallar el estado de (x , y , z) cuando t = 20.

3 Hallar el estado de (x , y , z) cuando t = 30.

4 Repetir los apartados anteriores con una nueva condicióninicial (x , y , z) = (1,0001, 1,0001, 1,0001)

5 Dibujar la solución para la primera condición inicial en ungráco 3D para b = 28 y b = 99,96.


Ejercicio: Cuando me bebo el feca con chele.

Nos queremos tomar un café con leche que obtendremos apartir de Vc = 80cm3 de café a Tc = 90o y Va = 10cm3 deleche a Ta = 20o(temperatura ambiente).

Estoy ansioso, PERO NO me quiero quemar y por lo tanto nome beberé el café por encima de Ts = 60o.

Debo echar la leche inmediatamente o esperar?

Si debo esperar cuanto tiempo debo hacerlo?

Supondremos que un líquido en reposo se enfría a partir de laley dT

dt= −0,001(T − Ta). Ley de enfriamiento de Newton

La temperatura de la mezcla Tm = TaVa+TcVc

Va+Vc


Ejercicio: Nos suicidamos.

Nos queremos suicidar y para ello nos tiramos desde el EmpireState Buiding.(H=381 m)

La aceleración de la gravedad g = 9,8m/s2 y nuestra masacorporal es m = 80Kg

A qué velocidad llego al suelo?. Pintar posición y velocidad enfunción del tiempo.

Que pasa si considero el uido(aire) que me rodea. Conceptode Drag.Fdrag = cv2 y c = 0,2

Que pasa si me pongo un paracaidas. c = 2,7

Repetir los apartados anteriores si en vez de tirarme desde elEmpire State Buiding lo hago desde un avión situado aH = 2000 metros.


Ejercicio: La pelota bota/pica.

Lanzamos una pelota desde una altura H = 8m y unavelocidad horizontal v = 1m/s

La aceleración de la gravedad g = 9,8m/s2.

Modelar la pérdida de energía causada por el bote contra elsuelo.

Pintar posición de la pelota en función del tiempo.

Generalizar el problema para un tiro parabólico.

Añadir Drag al problema.


Ejercicio: Jupiter y el Sol.

Ley de Atracción universal de Newton.−→F = G m1m2

r2. G = 6,67× 10−11Nm2/Kg2

Escribir una función que modele esta fuerza a partir de laposición del centro de 2 astros y su masa.

Masa de Sol Ms = 2× 1030 Kg y los datos de Jupiter enWikipedia.

Cuantos días tarda Jupiter en dar una vuelta alrededor del Sol?

Añadir Drag al problema.


Ejercicios.

Modelo de Lotka-Voltera. pag 116 [Downey]. Interaccionesentre especies.

Baseball pag 132 [Downey].

Mpemba eect

3 bodies.


Resolución de la ecuación de Laplace en un dominiounidimensional 1D.

Una barra de material aislante de longitud L = ndx se encuentra encontacto con dos fuentes de temperatura constante en susextremos, el extremos izquierdo se halla a temperatura T1 = 100 yel extremo derecho a T2 = 200. Sea n el número de puntosempleados para la discretización equiespaciada y dx la distanciaentre nodos. Hallar mediante el uso de un esquemas en diferenciasnitas:

Deducir la ecuación que describe el fenómeno en el casoestacionario.

La distribución de temperaturas del material.

λρ∂T

∂t= −∂Q

∂x(Conservación de la energía.)

Q = −k ∂T∂x

(Ley de Fourier de la conducción.)


Problemas espacio temporales en 1D.

Ecuación del calor. ∂T∂t = α∂2T∂x2


Resolución de la ecuación de Laplace en un dominiobidimensional 2D.

Laplaciano como fenómeno de difusión. Ej: Fluidos (tuberíacuadrada, circular), Transmisión de calor. Electromagnetismo.

Esquemas de diferencias nitas.

Geometrías complejas. pdetool

http://www.colorado.edu/geography/class_homepages/

geog_4023_s07/labs/html/PDE_lab.html


http://www.colorado.edu/geography/class_homepages/geog_4023_s07/labs/html/PDE_lab.html

http://www.colorado.edu/geography/class_homepages/geog_4023_s07/labs/html/PDE_lab.html

Ecuación de Helmholtz.

Ecuación de Helmholtz

Problemas de autovalores.

Cavidad acústica cerrada


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