Determinantes
-
Upload
jordysanchez -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
description
Transcript of Determinantes
![Page 1: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/1.jpg)
DETERMINANTES
Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.
Determinantes de orden 2 y 3
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
Se llama determinante de A al número real:
Dada una matriz cuadrada de orden 3
Dada una matriz cuadrada
Se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
Con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i (s) es la signatura de la permutación)
Se llama determinante de A, al número real siguiente
![Page 2: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/2.jpg)
Cálculo De Determinantes Usando Desarrollo Por Los Elementos De Una Fila O Columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.
• El determinante de una matriz A es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
• det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila• det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima
columna
Determinante De Cualquier Orden
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
Cálculo Inmediato De Determinantes
![Page 3: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/3.jpg)
I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
Ejemplos:
II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
III. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
PROPIEDADES:
Operaciones Con Filas Y Columnas
I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número. Ejemplo.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Ejemplo.
Operaciones Con Matrices
![Page 4: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/4.jpg)
I. Al trasponer una matriz su determinante no varía.
II. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
III. Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos determinantes como sumandos haya
RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.
Definición:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).
Consecuencia
El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.
Algoritmo Para El Cálculo Del Rango De Una Matriz
![Page 5: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/5.jpg)
MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
• Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
Calculo De La Matriz Inversa Por El Método De Los Adjuntos
![Page 6: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/6.jpg)
CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUS
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.
![Page 7: Determinantes](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022082717/5695d0931a28ab9b029303f1/html5/thumbnails/7.jpg)