DETERMINANTESMaestra en Controles Industriales

ContenidosConcepto de determinante.Propiedades de los determinantes.Menor complementario.Adjunto de un elemento.Desarrollo de un determinante por los elementos de una lnea.Rango de una matriz a partir de sus menores.

Determinante de una matriz cuadrada de dimensin 2 x 2 (orden 2)Es un nmero asociado a la matriz, que se obtiene de la forma : Ejemplo:

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 (Regla de Sarrus)Es un nmero que se obtiene sumando todos los productos de 3 factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de la siguiente forma: Son positivos los productos: Son negativos los productos:

Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4 Es un nmero que se obtiene sumando todos los productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, afectados de signo + o siguiendo un criterio relacionado con los subndices de dichos elementos. Por tanto, cuantos ms ceros haya en la matriz, ms fcil (y rpido) ser el clculo de su determinante.Es ms fcil de calcular que:

Pero, en general, calcular un determinante de este tipo utilizando la definicin sera complicado. Por tanto, utilizando las propiedades, buscaremos la forma de transformarlo en otro que sea ms sencillo de calcular.Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4

DETERMINANTES: PROPIEDADES1: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta.

2 : Si una matriz cuadrada tiene una lnea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0.

3 : Si en una matriz cuadrada se permutan dos lneas paralelas, su determinante cambia de signo.

4: Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante es cero.

DETERMINANTES: PROPIEDADES5: Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una lnea por el mismo nmero, k, su determinante queda multiplicado por ese nmero.

6: Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas proporcionales, su determinante es 0.

7: Si todos los elementos de una lnea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma:

DETERMINANTES: PROPIEDADES8: Si a una lnea de una matriz le sumamos una combinacin lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no vara.

9: Si una matriz tiene una lnea que es combinacin lineal de otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y recprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una columna) que es combinacin lineal de otras filas (columnas).

10: El determinante del producto es igual al producto de los determinantes. det (A B) = det (A) det (B)

Dada una matriz A = se definen:Menor complementario y Adjunto de un elemento

DETERMINANTES: PROPIEDADES11: Desarrollo de un determinante por los elementos de una lnea: El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una lnea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos.12: La suma de los productos de los elementos de una lnea por los respectivos adjuntos de otra paralela es igual a cero.

Desarrollo de un determinante por los elementos de una lneaSi utilizamos las propiedad 8 para crear ceros:

CLCULO DE DETERMINANTES

CLCULO DE DETERMINANTES

CLCULO DE DETERMINANTES

CLCULO DE DETERMINANTES

CLCULO DE DETERMINANTES

CLCULO DE DETERMINANTES

Rango de una matriz por menoresLa condicin necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz A, cuadrada, sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes.Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores no nulos.

Rango de una matriz por menores: Ejemplos

Rango de una matriz por menores: Ejemplos

Rango de una matriz por menores: Ejemplos

Rango de una matriz por menores: Ejemplos

Rango de una matriz por menores: Ejemplos