Determinantes
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DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.Determinante de A se puede escribir de dos formas:
A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real)
Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para evitar la confusión.
Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y 11aA y
definimos la determinante de A como 11aA .
Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2de modo que
2221
1211
aa
aaA es una matriz cuadrada de segundo orden.
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
2221
1211
aa
aaA A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )
Ejemplo:
Encuentre A si 58383241314
23
A
EJERCICIO I
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1) 12
31
A
2) 35
13
A
3) 46
23B
4) qp
nmC
MENOR Y COFACTOR
MENOR
multiplicar multiplicar
RESTAR
multiplicar multiplicar
RESTAR
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden 2nn , el menor Mij se definecomo el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y lacolumna j-ésima de A.Asi, para
Para hallar el menor M11:a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi
b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)
c) Tercero hallamos el determinante
Hallar los menores M12, M22 y M32
COFACTOR
1
2
2 3
4
751
6A =
1
2
2 3
4
751
6M11 =
1
2
2 3
4
751
6M11 =75
64
1
2
2 3
4
751
6M11 = 23028657475
64
1
2
2 3
4
751
6M12 = 8614617271
62
1
2
2 3
4
751
6M22 = 437137171
31
1
2
2 3
4
751
6M32 = 066326162
31
El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por
ijjiij MA
1 El cofactor nos da como resultado es el signo del
menor.
Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores
MENOR COFACTOR
M11 = -2 22121211 211
ijji
ij MA
M12 = 8 88181811 321
ijji
ij MA
M22 = 4 44141411 422
ijji
ij MA
M32 = 0 0011 23
ijji
ij MA
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
EJERCICIO II
Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.
1) 20
13A 2)
01
53
B
3) 41
23
C 4)
423
210
412
D
5) 031
242
523
D
DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3
Definición: el determinante de A de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por sucofactor, luego se suman todos los resultados para hallar A . A éste proceso se leconoce como expandir A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquierfila o columna.
Teorema de expansión de determinantes:El determinante de una matriz A de orden 2nn puede evaluarse multiplicando cadaentrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productosresultantes.
Ejemplo:
Hallar el determinante de A
321
542
356
A
Primero hallamos los cofactores de la primera fila
Cofactor de 11A 616166 211
Cofactor de 12A 515155 321
Cofactor de 13A 313133 431
Luego hallamos los menores de la primera fila
32
54 M
321
542
356
11A
31
52 M
321
542
356
12A
21
42 M
321
542
356
13A
Ahora lo colocamos como la definición
131312121111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A
21
423
31
525
32
546
321
542
356
A
Ahora operamos
412231532525346
7755132
03115226
Teorema sobre una fila o columna de cerosSi todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces
.0A
Ejemplo:Calcule el determinante de
523
405
301
A
2215420045
312
53
310
53
450A
523
405
301
A
Ejemplo 2:Calcule el determinante de:
6251
0032
4010
3001
A
Desarrollamos A
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segundacolumna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos eldeterminante por la segunda columna.
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columnatiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinantepor la tercera columna.
43
43332313
4343333323231313
2
2000
A
AAAA
AaAaAaAaA
6251
0032
4010
3001
A
032
410
301
22 43A
32
103
02
400
03
411122 34
43A
12626122301212
EJERCICIOS
Hallar el determinante de la matriz dada.
1)
136
524
213
A 2)
043
310
201
A 3)
324
613
152
A
4)
543
010
053
A 5)
214
401
372
A 6)
032
011
123
A
7)
112
043
152
A 8)
602
723
145
A 9)
214
401
372
A
Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43
así