2. DETERMINANTES

2.1 EL DETERMINANTE

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 

• El determinante de una matriz es un número. • Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. • Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también

por   (las barras no significan valor absoluto).

2.2 CALCULO BASICO DE DETERMINANTES DE 2x2 Y 3x3

De 2x2. Dada una matriz de orden dos  , se llama determinante de la matriz al número que se obtiene así: a11a22 - a12a21.

Se representa  det A ó A.

Ejemplo 1: = 3-(-8) = 11.

De 3x3.

Metodo de Estrella Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

Regla de Sarrus. Ahora consideremos la siguiente matriz:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera: 1) Aumentamos las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de esta matriz y asi ahora quedaran

cinco columnas.

2) Sumamos el producto de las diagonales descendientes, y restamos el producto de las diagonales ascendiente estas son:(a11x a22 a33) + (a12 x a23x a31) + (a13 x a21 xa32) – (a12 x a21 x a33) – (a11 x a23 x a32) – (a13 x a22 x a31)

2.3 Cálculo de determinantes de 4x4: método de Cofactores

Consiste en conseguir que una de las l íneas del determinante esté

formada por elementos nulos, menos uno: el  elemento base o

pivote , que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento  del determinante vale la unidad , se

elige una de las dos l íneas: la  fila o la columna , que

contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que

contenga el  mayor número posible de elementos nulos ).

2.En caso negativo:

1.  Nos fi jamos en una l ínea que contenga el  mayor

número posible de elementos nulos  y operaremos  para

que uno de loselementos de esa línea sea un 1 ó -

1  (operando con alguna l ínea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos , por

lo cual deberíamos multipl icar el determinante por dicho

elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor

común en una l ínea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el  elemento

base ,  operaremos  de modo que todos los elementos de la

fila o columna , donde se encuentre,  sean ceros .

4.Tomamos el adjunto del elemento base , con lo que

obtenemos undeterminante de orden inferior  en una unidad

al original.

 = 2(-58)

2.4 Propiedades Basicas de Determinates

 1   |A t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A t  son

iguales.

2   |A| = 0        Si:

Posee dos fi las (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fi la (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fi la (o una columna) son combinación

l ineal de las otras.

F3  = F1  + F2

 3   Un determinante triangular es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal.

 4   Si en un determinante se cambian entre sí dos fi las (o dos

columnas), su valor sólo cambia de signo.

5   Si a los elementos de una fi la (o una columna) se le suman los elementos de otra multipl icados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fi la (o una columna) la transformamos en una

combinación l ineal de las demás, el valor del determinante no

varía.

 

 6   Si se multipl ica un determinante por un número real, queda

multipl icado por dicho número cualquier f i la (o cualquier

columna), pero sólo una.

 7   Si todos los elementos de una fi la (o columna) están formados

por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma

de dos determinantes en los que las demás fi las (o columnas)

permanecen invariantes.

 8   |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los

determinantes.

2.5 Calculo de determinantes por generación de ceros (nxn)

El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del primer renglón por sus cofactores. Si A es de 3 x 3, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 Si A es de 4 x 4, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14 Si A es de n x n, |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + … + a1nA1n A estas ecuaciones se les llama expansión por cofactores de |A|.

2.6 Calculo de Matrices Inversas

El producto de una matriz por su inversa  es igual

al matriz identidad .

A · A - 1   = A - 1   · A = I

Se puede calcular la matriz inversa  por dos métodos:

1º Cálculo por determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el

caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá

inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la

que cada elemento se sustituye por su adjunto .

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de

su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la

matriz inversa de A, que denotaremos como A - 1 , seguiremos

los siguientes pasos:

1º  Construir una matriz del t ipo  M = (A | I) , es decir, A

está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad  I  en la

derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º  Utilizando el método Gauss vamos a transformar

la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora

está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado

derecho será la matriz inversa: A - 1 .

F 2   - F 1

F 3  + F 2

F 2   - F 3

F 1  + F 2

(-1) F 2

La  matriz   inversa  es:

Propiedades de la matriz inversa

(A · B) - 1  = B - 1 · A - 1

(A - 1) - 1  = A

(k · A) - 1  = k - 1 · A - 1

(A  t) - 1  = (A  - 1) t

Bibliografía:

Ing. Jazmin Morales Ramon. (2012). Definicion de una deterinante de una Matriz. 12/09/15, de Algebra Lineal Sitio web: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/26-definicion-de-determinante-de-una.html

I.B. PÍO DEL RÍO HORTEGA. (2012). Determinantes. 12/09/15, de Determinantes calculo basico Sitio web: http://carmesimatematic.webcindario.com/determinantesweb.htm

VITUROR. (2014). Propiedades de los determinantes. 12/09/15, de Vitutor Sitio web: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

DITUTOR. (2015). Determinante 4x4. 12/09/15, de Determinante de cualquier orden Sitio web: http://www.ditutor.com/determinantes/determinante_cuatro.html

DITUTOR.(2015). Matriz Inversa. 12/09/15, de Determinantes Sitio web: http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html