DETERMINACIÓN DEL CICLO DE HISTÉRESIS DEMATERIALES FERROMAGNÉTICOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA E INGENIERÍA DE MATERIALES

SEGUNDO CURSOPRÁCTICAS DE ELECTROMAGNETISMO (GITI)

CURSO 2020/21

Coordinador: José Manuel López López

Autores: Sara Lauzurica SantiagoDavid Muñoz MartínCarlos Molpeceres ÁlvarezMiguel Castro Baeza

Profesores: Sergio García MartínIgnacio Angulo RamonellAlberto Mínguez MartínezJosé Manuel López López

AVISO DE SEGURIDADLa realización de las prácticas de laboratorio de

electromagnetismo, debido a su naturaleza, implican eluso de corrientes y tensiones que conllevan riesgos delos que hay que ser conscientes con el fin de preveniraccidentes, por lo que es imprescindible adoptar las

medidas de seguridad pertinentes.

Es responsabilidad del alumno observar las medidaspreventivas y de seguridad que hay que aplicar deforma general y las específicas que se le indiquen en

cada práctica.

El alumno debe ser conocedor de que elincumplimiento de las normas establecidas por los

profesores responsables de las practicas en ellaboratorio en el que se realizan las mismas, conlleva la

expulsión del laboratorio y el suspenso de lasprácticas.

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1 | Introducción

El objetivo de esta práctica es el análisis del comportamiento no lineal de un material ferromagnéticomediante el estudio de su ciclo de histéresis.

Para ello se propone al estudiante el estudio de la fenomenología básica de un material ferromagnéticomediante la obtención de una familia de curvas de histéresis correspondientes a un material con estas ca-racterísticas. Este material conforma el núcleo de un transformador de tensión, en el que se puede variar latensión en el circuito primario para que, a través de medidas de caída de tensión en el circuito secundario,se puedan obtener los valores característicos de la inducción magnética en el material y la correspondienterelación entre H y B en el mismo que define el ciclo de histéresis.

1.1. Tipos de Materiales Magnéticos

Los materiales, según su comportamiento magnético, se suelen agrupar de manera cualitativa en compa-ración con la permeabilidad magnética del vacío µ0. Los materiales diamagnéticos son los que tienenuna µ < µ0 o lo que es lo mimso µr < 1, si se les aplica un campo ~H responden con una inducción ~B quese opone a la excitación externa. Los materiales paramagnéticos, al contrario, refuerzan el campoexterior, tiene una µ > µ0, µr > 1.

La ecuación de definición del magnetismo viene dada por 1.1.

Ec. de definición

~B = µ0

(~H + ~M

)(1.1)

donde M es la imanación del material.

Diamagnéticos y paramagnéticos pueden tener un comportamiento lineal entre los campos ~H y ~B demanera que se suele redefinir una nueva µ en la que se englobe el efecto de la magnetización ~M .

~B = µ ~H

Con medir dos puntos (H1, B1) y (H2, B2) obtendríamos el valor de µ y el material quedaría completamentecaracterizado desde el punto de vista magnético.

Los materiales ferromagnéticos se caracterizan por su fuerte comportamiento no lineal. Los materialesferromagnéticos también refuerzan al campo externo pero de una manera mucho más intensa,su permeabilidad es muy grande µ µ0 o equivalentemente µr 1. En la figura 1.1 tenéis representadosen un gráfico B −H los distintos tipos de materiales magnéticos.

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Figura 1.1: Permeabilidad magnética de los distintos tipos de material. El vacío es lineal y también se hanmostrado de este modo los diamagnéticos y paramagnéticos. También se ha representado la curva de primeraimanación de un ferromagnético que es claramente no lineal.

1.2. Conceptos Básicos

La estructura electrónica de los materiales ferromagnéticos hace que su magnetización sea solo aproxi-madamente lineal en una ventana estrecha de campo externo aplicado, presentando fuera de ese rango unavariación fuertemente no lineal en su magnetización frente al campo externo.

Estos materiales presentan un orden magnético característico que hace que puedan mantener la mag-netización en ausencia de campo externo (lo que define gran parte de sus aplicaciones como imanespermanentes). Este comportamiento se debe a que los momentos dipolares magnéticos de los átomos que for-man estos materiales interaccionan fuertemente con sus vecinos, formando pequeñas regiones en el espacio enlas que los dipolos magnéticos están alineados entre sí. Estas regiones se denominan dominios magnéticosy son generalmente de tamaño microscópico. A pesar de que los dipolos magnéticos atómicos están alineadosdentro de cada dominio, una sustancia ferromagnética en ausencia de campo externo tiene unamagnetización neta macroscópica nula ( ~M = 0), debido a que las direcciones de cada dominio estánorientadas al azar como se puede ver en la Fig 1.2a.

Al aplicar un campo magnético a un material ferromagnético desmagnetizado, dado que su permea-bilidad y la susceptibilidad magnética son superiores a 1, el campo en el interior del material esmayor al campo magnético aplicado. Esto se debe a que los dominios del material se orientan con el campomagnético exterior reforzándolo. Los volúmenes de los dominios van cambiando de manera que se refuerzanlos que estaban más cerca de la orientación del ~H externo y se achican los que tenían una orientación menosparecida a la de ~H (Fig 1.2b). Si el campo externo sigue aumentando llegará un momento en que la imanaciónno aumente porque todos los dipolos estarán orientados en el sentido de ~H con lo que idealmente solo habráun dominio como se ve en la Fig 1.2c.

Si ahora se retira el campo externo, los efectos del campo aplicado no desaparecen por completo. Lo quese observa es un magnetismo remanente, que es la causa de la existencia de los imanes permanentes. Estemagnetismo remanente se origina porque los momentos magnéticos dipolares de los dominios no vuelven a suorientación original, quedando mayoritariamente orientados en la dirección del campo aplicado anteriormentecomo podéis ver en la Fig 1.2d.

Esta propiedad hace que su comportamiento magnético dependa tanto del campo aplicado como de suestado concreto de magnetización previa, lo que lleva a una relación característica, propia de cada material,entre los vectores intensidad de campo magnético, ~H, e inducción magnética, ~B que se conoce como ciclode histéresis.

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(a) Sin campo externo (b) Campo ~H débil

(c) ~H intenso (saturación) (d) Al retirar ~H

Figura 1.2: Dominios magnéticos para un material ferromagnético en distintas condiciones de presencia o node campo magnético externo.

Si representamos el valor de la inducción magnética ~B frente a intensidad de campo magnético ~H usandola ecuación 1.1 obtenemos la curva o lazo de histéresis representado esquemáticamente en la Fig 1.3.

(a) Curva de primera imantación (b) Ciclo de histéresis completo

Figura 1.3: Etapas de un ciclo de histéresis.

Partiendo de una muestra no imanada, si aumentamos progresivamente la intensidad magnética desdecero, y vamos midiendo ~H, obtendremos, la curva de primera imanación representada en la Fig 1.3a.Inicialmente, cuando el campo externo ~H es de baja intensidad, la imanación macroscópica del materialempieza a crecer (y por tanto ~B) debido a que los dominios que están orientados en la dirección del campocomienzan a extenderse, a costa de los que están orientados desfavorablemente al campo, que se contraen.Esta primera fase del crecimiento se corresponde con la zona reversible mostrada en la Fig 1.3a, de modoque al eliminar el campo externo la imanación desaparece y además no se consume energía en estaetapa.

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Si, por el contrario, se sigue aumentando la excitación magnética ~H, se produce un cambio irreversibleen la orientación de los dominios, debido a la orientación brusca de los dipolos magnéticos para alinearseen la dirección del campo externo, disipando energía y haciendo el proceso irreversible, de manera quecuando eliminamos el campo ~H los dipolos rotados no vuelven a su orientación original y el materialqueda imanado permanentemente.

Si seguimos aumentando el valor de ~H, continúa el proceso de alineamiento y extensión de los dominiosen dirección al campo alcanzando un valor máximo de Ms, conocido como imanación de saturación. Estafase se corresponde con el último tramo de la Fig 1.3a, en la que el campo ~B crece ya solamente debido a lacontribución de ~H, siguiendo la dependencia lineal de la ecuación 1.1.

Este proceso como ya hemos comentado es un proceso fuertemente no lineal, de manera que no podemosdefinir una permeabilidad magnética constante para el material. Se añade además que la relación entre~B y ~H depende de la historia del material como muestra la Fig 1.3b, donde una vez superada lazona reversible si disminuimos el valor de ~H a cero, se observa que la imanación ~M disminuye siguiendo latrayectoria de 2 a 3, que no coincide con la curva de primera imanación de 1 a 2. De hecho, la imanación dela muestra no alcanza el valor cero cuando ~H = 0, sino que tiene un valor Mr = B3

µ0llamada imanación

remanente.

Si aumentamos el valor de ~H en sentido negativo, encontramos que para un determinado valor deH = H4,denominado campo coercitivo, la inducción magnética ~B es cero porque los dominios vuelven a orientarsealeatoriamente.

Si seguimos aumentando negativamente el valor de ~H llegaremos a la situación de saturación, obteniendoel mismo valor de Ms (con signo opuesto por supuesto). Realizando la variación de ~H en sentido inverso sellega de nuevo al punto 2 obteniéndose el ciclo de histéresis que caracteriza no solo el material ferromagnéticosino el estado magnético de la muestra, ya que depende de los procesos magnéticos a los que se la hayasometido con anterioridad.

El área encerrada por dicha curva B −H es igual a la energía disipada por unidad de volumen enel proceso irreversible de imanación y desimanación al que se ha sometido la muestra, energía que se disipaen forma de calor en el núcleo ferromagnético.

2 | Montaje experimental y procedi-miento de medida

SEGURIDAD

LEED ATENTAMENTE LA HOJA DE SEGURIDAD AL INICIO DE ESTE GUION.

¡¡¡¡ANTES DE ENCENDER LA FUENTE DE ALIMENTACIÓN ES NECESARIO QUE ELPROFESOR REVISE EL MONTAJE DEL CIRCUITO!!!!

LISTADO DE MATERIAL

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Fuente de tensión variable (50 Hz).

Autotransformador de aislamiento.

Núcleo Ferromagnético (PASCO, SF-8614).

Dos bobinas:

• Circuito primario N2 = 400 (PASCO SF-8610).• Circuito secundario N2 = 200 (PASCO SF-8609).

Sensores de Voltaje.

Osciloscopio digital (PICOSCOPE 2200A).

Placa de conexión eléctrica.

Resistencias (1 Ω, 32 Ω, 2200 Ω).

Condensador (10 µF).

Cables de conexión.

2.1. Montaje experimental

El montaje experimental consta de una fuente de tensión variable y un autotransformador de aislamientoque forman un transformador de tensión variable de 220 V a 55 V. Este transformador está conectado aun núcleo de hierro con dos bobinados, primario y secundario, a su vez conectado a un circuito integradordonde se medirá la caída de tensión en el condensador del mismo como se puede observar en la Fig. 2.1.

Figura 2.1: Montaje experimental.

2.2. Procedimiento de medida

Mientras el alumno lee este guion debe notar que para hacer todos los desarrollos no aparece ni una solaµ en todo el proceso, esto es debido al comportamiento no lineal de los ferromagnéticos.

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Figura 2.2: Esquema y montaje experimental real del transformador de tensión variable y el circuito inte-grador.

Todo esto no es un comentario baladí, el uso de medios LHI en la asignatura es tan habitual que es fácilolvidar que son solo un caso muy particular (e idealizado) de los materiales reales. El pasar de induccionesmagnéticas ~B a intensidades de campo ~H con un factor multiplicativo es algo que ya no se puede hacer enesta práctica. Esto se ha tenido muy en cuenta a la hora de diseñar el experimento.

2.2.1. Obtención y estudio del ciclo de histéresis de un núcleo de hierro macizomediante circuito integrador

Para medir punto a punto la respuesta del material frente a una excitación magnética H(t) debemosser capaces de conocer B(t) y H(t). El montaje experimental anteriormente descrito nos permite obtener elH(t) aplicado por medio de la caída de tensión que podemos medir a través de la curva que nos proporcionael osciloscopio. H(t) es proporcional a las corrientes que circulan por los circuitos primario y

Figura 2.3: Esquema circuito para el estudio del ciclo de histéresis.

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secundario mediante la relación de la Ley de Ampère

Ley de Ampère

c

~H(t) · d~l = N1I(t) (2.1)

Si la impedancia del circuito integrador conectado al secundario del transformador es muy grande, lacorriente que circula por el secundario I2(t) será despreciable, por lo que podemos aproximar esta situacióna la del vacío, considerando que sólo circula corriente por el primario del transformador, lo que permitehacer la siguiente aproximación I = I1(t)+ I2(t) ≈ I1(t). Teniendo en cuenta estas consideraciones H(t) seráproporcional I1(t). De este modo, midiendo la caída de tensión en la resistencia de 1 Ω obtendremos el valorde V1(t), y estaremos midiendo una forma de onda proporcional a H(t) mediante la relación:

H(t) = N1V1(t)lR1

(2.2)

N1 número de espiras del bobinado primario, 400 vueltas.

V1(t) caída de tensión en la resistencia R1 de la fuente.

l longitud media del toroide 0.29 m.

R1 resistencia de 1 Ω de la fuente de tensión del circuito primario.

Para determinar la inducción magnética B, se utiliza el montaje previamente descrito, con la segundabobina conectada a un circuito integrador (CI) con el que se puede relacionar la tensión medida enlos extremos del condensador del CI con la inducción magnética que fluye por el núcleo dehierro. Este circuito aparece montado en la Fig 2.1.

Para la medida de B, partimos de la relación entre esta magnitud y el flujo magnético que atraviesa unasuperficie A

Flujo magnético

Φ(t) =

~B(t) · d ~A (2.3)

Como ~B(t) en este caso concreto es uniforme y además tiene la misma dirección que el vector de superficie(aunque no siempre el mismo sentido), tendremos que Φ(t) = B(t)A, es decir, existirá una proporcionalidadentre ambas magnitudes, de modo que presentarán la misma forma de onda.

Según la Ley de Inducción de Faraday, la fuerza electromotriz inducida E que aparece en la bobinasecundaria como consecuencia del flujo magnético variable que la atraviesa es

Ley de Faraday

E(t) = −N2dΦ(t)dt = −N2A

dB(t)dt (2.4)

El circuito integrador conectado al circuito secundario tiene una resistencia R2 = 2200 Ω que es muchomayor que la reactancia que ofrece C2, por lo que podemos considerar la corriente que circula por este circuito

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como I2(t) = E(t)R2

. Y la caída de tensión a través del condensador será proporcional al campo magnético B

Condensador

V2(t) = Q(t)C2

= 1C2

I2(t)dt = 1

C2R2

E(t)dt = − N2A

C2R2

dB(t)dt dt =⇒ B(t) = C2R2V2(t)

N2A

(2.5)

Si habéis seguido el razonamiento, debería haber un signo menos en el valor del campo, sin embargoestamos más interesados en los módulos, mejor dicho en como cambian los módulos deH yB. Hay operacionesque cambian el signo como cambiar la polaridad de los cables o la orientación de las bobinas. Si hubiésemosmantenido el signo menos tendríamos un ciclo de histéresis reflejado con respecto al eje B.

N2 número de espiras del bobinado secundario, 200.

V2(t) caída de tensión en el condensador C2.

R2 resistencia del circuito integrador de 2200 Ω.

C2 capacidad del circuito integrador de 10 µF.

A área de la sección del núcleo de hierro de 3.61 · 10−4 m2.

3 | Medidas y resultados experimen-tales

La mejor forma de caracterizar el comportamiento de un material ferromagnético es mediante: las familiasde curvas de histéresis, los tres puntos claves del ciclo Bs, Br y Hc, y la energía disipada por unidad devolumen e := EV

V.

Para el estudio de las curvas de histéresis el alumno dispone de un sistema de adquisición de datos,mediante un osciloscopio digital Picoscope 2200A y un software de adquisición de datos PicoScope dondese representa gráficamente los valores de tensión V1(t) y V2(t) de los dos circuitos detallados en el montajeexperimental. Estos voltajes se leerán mediante el sistema de adquisición que permite una visualizacióndirecta de los mismos (configurar los valores de tensión en forma de ejes cartesianos para poder visualizarlos ciclos de histéresis como en Fig 3.1).

Mediante la representación conjunta de los mismos se obtiene el ciclo de histéresis .

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Figura 3.1: Software de adquisición de datos.

3.1. Resultados

3.1.1. Obtención de la familia de curvas de histéresis

Como se observa en el montaje, el valor del campo en el material se controla mediante el autotransfor-mador variable que alimenta la bobina del primario. El alumno puede seleccionar la corriente de entrada alprimario, I1(t), y por lo tanto la tensión en el mismo V1(t). Esta tensión genera una intensidad de campomagnético H(t) que se puede obtener a través de la relación dada por la ecuación 2.2.

El alumno debe obtener las curvas de histéresis para cinco valores de corriente de entradadistintos. Para ello se recomienda obtener los datos de tensión con el sistema de adquisición y hacer unarepresentación en Excel de los valores H y B correspondientes.

3.1.2. Obtener el valor de la imanación de saturación Ms, la imanación y lainducción remanente Mr, Br y el campo coercitivo Hc para el material

Mediante el estudio y manipulación de los datos obtenidos en las curvas de histéresis el alumno debecalcular los valores pedidos con sus incertidumbres absolutas y relativas expandidas para la confi-guración de máxima tensión de la fuente de entrada.

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3.1.3. Calcular para cada curva obtenida la energía disipada por unidad devolumen en un ciclo y la potencia por ciclo

Compare la energía por unidad de volumen y ciclo y la potencia disipada por el material en cada unade las curvas obtenidas. Póngalo en forma de tabla e indique el método empleado para la determinación delárea de la curva. En este apartado NO es necesario calcular las incertidumbres.

La longitud del circuito magnético es l = 0.29 m.

3.2. Discusión

Los resultados obtenidos deben ser discutidos y explicados, en especial si se obtienen resultados física-mente erróneos, en cuyo caso deben quedar debidamente resaltados para ayudar a la corrección. No se esperadel alumno que llegue siempre al resultado correcto pero sí que entienda los resultados que obtiene tanto siestán bien como si están mal. La discusión se puede hacer en una sección a parte o durante la presentaciónde los resultados.

4 | Cuestiones adicionales

Se espera que el alumno consulte fuentes bibliográficas para contestar algunas de las preguntas. Serecuerda al alumno que los profesores conocen la Wikipedia, y si bien es completamente lícito consultarla,no lo es copiarla. El alumno debe reescribir la información encontrada para evitar caer en el plagio, por estarazón los textos copiados supondrán pérdida de nota de la práctica.

También se recuerda a los alumnos que el profesorado sabe castellano, inglés, francés, alemán, catalán,vasco, portugués, italiano y que del mismo modo que conoce Wikipedia conoce Google Translate, así comola posibilidad de buscar los textos en el mismo Google. Advertencia hecha.

1. ¿Cuál es el origen del comportamiento no lineal de los materiales ferromagnéticos?

2. ¿Qué es una pared de Bloch? Físicamente ¿qué implica que existan?

3. ¿Qué diferencias hay entre un material ferromagnético “blando” y un material ferromag-nético “duro”?

4. ¿Cuál de los anteriores elegiría para fabricar el núcleo de un transformador? ¿por qué?

5. ¿Cuál de los anteriores elegiría para construir un micrófono? ¿por qué?

6. Si un material ferromagnético mantiene magnetización remanente en ausencia de campomagnético defina dos métodos diferentes para desmagnetizar un material ferromagnéticopreviamente magnetizado.

7. ¿Qué recomendaría el alumno para mejorar la incertidumbre de los datos obtenidos?

8. Estimar un valor de µr (sin incertidumbre) en la configuración de saturación para el 100%de tensión ¿Tiene sentido obtener una µr en otro punto? ¿Por qué?

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5 | Ley de propagación de incertidum-bres

Si el resultado de una medida y viene dado en función de una serie de variables independientes xi

y = f(x1, x2, · · · , xn)

la incertidumbre típica de y viene dada por la siguiente expresión:

uy =

√√√√ n∑i=1

(∂f

∂xi

)2· u2

xi(5.1)

Siendo uxi la incertidumbre típica de xi.

5.1. Incertidumbre típica e incertidumbre expandida

La incertidumbre típica se puede equiparar en la mayor parte de los casos a una desviación típicaestadística, se denomina con u.

La relación entre la incertidumbre típica y la expandida es U = k · u. Siendo k el denominado factorde cobertura, que para una probabilidad del 95% tiene un valor de 2. Este valor de k = 2 es el que se usaen la mayor parte de los casos.

5.2. Incertidumbre de H(t)

Aplicando la ley de propagación de incertidumbres a H(t) resulta:

H(t) = N1V1(t)lR1

uH(t) =

√(∂H(t)∂V1

)2u2

V1+(∂H(t)∂l

)2u2

l +(∂H(t)∂R1

)2u2

R1

uH(t) =

√(N1

lR1

)2u2

V1+(−N1V1

l2R1

)2u2

l +(−N1V1

lR21

)2u2

R1(5.2)

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uV1 = 0.01 V uR1 = 0.1 Ω ul = 0.01 m

5.3. Incertidumbre de B(t)

Aplicando la ley de propagación de incertidumbres a B(t) resulta:

B(t) = R2C2V2(t)N2A

uH(t) =

√(∂B(t)∂V2

)2u2

V2+(∂B(t)∂R2

)2u2

R2+(∂B(t)∂C2

)2u2

C2+(∂B(t)∂A

)2u2

A

uB(t) =

√(R2C2

N2A

)2u2

V2+(V2(t)C2

N2A

)2u2

R2+(V2(t)R2

N2A

)2u2

C2+(−V2(t)R2C2

N2A2

)2u2

A (5.3)

uV2 = 0.01 V uR2 = 0.1 Ω uC2 = 0.5 µF uA = 0.05 · 10−5 m2

5.4. Incertidumbre de M(t)

Aplicando la ley de propagación de incertidumbres a M(t) resulta:

M(t) = B(t)µ0−H(t)

uM(t) =

√(∂M(t)∂B(t)

)2u2

B(t) +(∂M(t)∂H(t)

)2u2

H(t)

uM(t) =

√(1µ0

)2u2

B(t) + u2H(t) (5.4)

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Bibliografía

[1] Hysteresis Loops of a Ferromagnet. Yaakov Kraftmakher. The Physics Teacher 43, 439 (2005); doi:10.1119/1.2060641

[2] R.P. Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands, The Feynman. Lectures on Physics, Vol. II (Addison-Wesley,Reading, MA, 1964), Chap. 37.

[3] Fundamentos de la Teoría Electromagnética. Reitz, J. R.; Milford, F. J. y Christy, R. W. EditorialAddison-Wesley Iberoamericana, 1996.

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