DETERMINACIÓN ÓPTIMA DE LAS FUNCIONES HIDRÁULICAS DE

UN SUELO ARENOSO: 1. CURVA DE RETENCIÓN DEL AGUA.

Martínez Salazar, Enrique (1) p, Moral García, F. J. (1), Marcos Hernández, Alfonso

(1), Cuadros Blázquez, Francisco (2), López Rodríguez, Fernando (1).

1 Departamento de Expresión Gráfica. Área de Proyectos de Ingeniería.

2 Departamento de Física. Escuela de Ingenierías Industriales. Universidad de

Extremadura. Avda. de Elvas S/N 06071 Badajoz. España.

Email:fjmoral@unex.es

RESUMEN

En este trabajo se analiza el ajuste de las funciones de Brooks y Corey (1964) y Van

Genuchten (1980) frente al modelo propuesto por Rossi y Nimmo (1994), con el fin

de caracterizar las curvas de retención del agua del suelo arenoso objeto de estudio.

Se comprueba como éste último se adapta más precisamente a los datos

experimentales, en particular el denominado modelo de unión. A pesar de la

generalización en el uso de los modelos de Brooks y Corey y Van Genuchten

(Fuentes et al., 1992), a veces dan lugar a diversos errores, como fallos en la

convergencia de diversos parámetros o valores poco parecidos a los reales (en este

caso la humedad en saturación). Por ello, resulta conveniente la utilización

alternativa de funciones como la de Rossi y Nimmo (1994), las cuales caracterizan a

las curvas de retención desde una humedad nula hasta saturación.

ABSTRACT

In this work, it is analysed the Brooks and Corey (1964) and Van Genuchten (1980)

models in contrast to the Rossi and Nimmo (1994) model, to characterize the

retention curves of the studied sandy soil. It is shown the best fitting of the last one to

the experimental data. Despite the wide use of the Brooks and Corey and Van

Genuchten models (Fuentes et al., 1992), sometimes they produce mistakes, like the

parameters convergence or no real values. Due to this, it is advisable to use

alternative functions, like the Rossi and Nimmo (1994) one, to characterize the

retention curves from the driest conditions until saturation.

2035

1. INTRODUCCIÓN

Para conocer el movimiento del agua y el transporte de solutos a través de un suelo

subsaturado, es necesario determinar, mediante una función analítica lo más sencilla

posible, la relación entre el contenido de humedad volumétrica del suelo, θ (L3 L-3), y

la componente matricial del potencial del agua en el mismo, h (L). Las medidas de

campo o de laboratorio nos proporcionan una serie de datos puntuales distribuidos,

en muchos casos, muy heterogéneamente. Es necesario determinar una relación

analítica continua que se ajuste lo mejor posible a los datos experimentales.

Usualmente se elige una función matemática a la cual se ajustan, mediante un

análisis de regresión, los parámetros que correspondan (Bruce y Luxmoore, 1986).

De las funciones existentes en la literatura, son destacables las propuestas por

Brooks y Corey (1964), King (1965), Brutsaert (1966), Farrel y Larson (1972), Van

Genuchten (1980), Haverkamp y Vauclin (1981) y Haverkamp y Parlange (1986).

Además existen otras muchas con formas muy variadas. Las funciones propuestas

por Brooks y Corey (1964) y Van Genuchten (1980) son las más empleadas y las

que, con cierta generalidad, se aplican en los diversos trabajos donde es necesario

el conocimiento de las curvas características del suelo. Ambas muestran buenos

ajustes para contenidos de humedad medios o altos, pero con frecuencia dan

resultados pobres al tratar con valores bajos. Esto puede suponer que, para el

estudio del movimiento del agua o el transporte de sustancias contaminantes en

regiones áridas, o en épocas de estiaje, sea necesario recurrir a representaciones

más exactas de las curvas características del suelo. Con este fin, Rossi y Nimmo

(1994) desarrollaron unas funciones basadas en la ecuación de Brooks y Corey,

modelizando estas curvas en todo el intervalo de humedad, o sea, desde el

contenido de humedad nulo hasta saturación.

En este trabajo, además del modelo de Rossi y Nimmo (1994), se analiza el posible

uso de los modelos de Brooks y Corey (1964) y Van Genuchten (1980) para

determinar las funciones que mejor definen a las curvas de retención del agua en el

suelo estudiado.

2. MATERIALES Y MÉTODOS

2.1 Determinación de los datos experimentales.

Con el fin de determinar una serie de pares de valores de humedad volumétrica y

succión, puntos de la curva de retención de agua, se adoptaron dos técnicas, una

2036

para potenciales bajos y otra para potenciales altos. Previamente se prepararon

diversas muestras de suelo, introducidas en anillos de latón de 5 cm de diámetro y

39.3 cm3 de capacidad. En la base de los anillos se dispone una telilla con un

tamaño de poro pequeño, capaz de dejar pasar al agua pero no al suelo,

permitiendo que la saturación del mismo se realice por capilaridad.

El suelo proviene del Parque Natural de Doñana, concretamente de la zona de El

Abalario. Es un suelo texturalmente arenoso, clasificable como xeropsamment típico,

franco-grueso, silicio y térmico (Soil Conservation Service, 1975).

Para potenciales bajos (-10, -20, -30 y -50 cm), se usó el sistema de las copas de

succión de Haines (Klute, 1986, cap. 26.1; Stolte , 1997; cap. 8). En esta técnica,

válida para succiones comprendidas entre 5 y 150 cm, se utiliza un recipiente

cerámico poroso, dentro del cual se sitúa un papel de filtro y una capa de arena de

tamaño de poro homogéneo de un centímetro de espesor, con el fin de asegurar un

buen contacto hidráulico con el suelo. Sobre estas arenas se sitúan las muestras

saturadas, sometiéndolas durante 24 horas a las succiones antes indicadas,

procediéndose con posterioridad a la determinación de la humedad del suelo.

Para potenciales altos (-200, -1000 y -3000 cm) se empleó un extractor de presión o

placa de Richards (Klute, 1986, cap. 26.1; Stolte , 1997; cap. 9). Las muestras de

suelo saturadas se sitúan sobre una placa cerámica de poros muy finos,

previamente saturada, la cual se somete durante 24 horas a las succiones indicadas.

Con la metodología anterior se obtuvieron varios puntos de la curva principal de

desecación. Sin embargo, para conseguir datos de la curva principal de

humedecimiento se empleó una técnica diferente. Consiste en la instalación de

tensiómetros en una serie de muestras de suelo situadas en recipientes cilíndricos

de 25 cm de diámetro. Partiendo de muestras completamente secas, se procedió a

un humedecimiento progresivo de las mismas, determinándose las humedades

mediante métodos gravimétricos y las succiones con la lectura de las variaciones de

cota en el nivel del agua en los tensiómetros. Se utilizaron tres muestras de suelo,

instalando en cada una de ellas un tensiómetro en el centro de las mismas.

2.2 Modelos de Brooks y Corey y Van Genuchten.

Generalmente se asume que éstos, especialmente el de Van Genuchten con la

condición de Burdine, dan como resultado los mejores modelos posibles, ajustados a

los datos obtenidos mediante la experimentación (Fuentes et al., 1992).

2037

Brooks y Corey (1964) proponen la función:

Shh

er

s r

o=

−−

=

θ θθ θ

λ

ho< h (1)

Se = 1 0 ≤ ≤h ho

(2)

siendo Se el grado de saturación, θs el contenido de humedad en saturación, θr el

contenido de humedad residual, ho es el potencial de entrada del aire y λ es un

índice del suelo que adopta valores positivos, pequeños para los suelos arcillosos y

mayores para los arenosos.

Van Genuchten (1980) sugiere el uso de:

( )[ ]Se

hn m=

+

1

1 α

(3)

siendo α (L-1) el inverso del potencial de entrada del aire. Los otros parámetros, n y

m, están relacionados de tal forma que:

mcn

= −1 (4)

Si se considera el modelo de capilaridad de Mualem (1976) se tiene que c=1,

tomándose n>1. Se tiene c=2, con n>2, si, por el contrario, consideramos la teoría de

capilaridad propuesta por Burdine (1953).

Se utilizó el programa RETC (Van Genuchten et al., 1991) para la realización de los

ajustes a los modelos propuestos.

2.3 Modelo de unión de Rossi y Nimmo.

En los modelos tradicionales no se suele permitir que el contenido de humedad sea

cero, lo cual no es muy realista desde un punto de vista físico (Nimmo, 1991), o sólo

permiten que sea nulo para una succión infinita. En la práctica se admite que este

contenido de humedad nulo se alcanza para un valor finito de la succión, obtenido al

secar la muestra objeto de estudio en una estufa a 100º-110ºC. Ross et al. (1991)

propusieron una corrección de la ecuación de Brooks y Corey que permite hacer θ =

0 para un valor finito de la succión, hd. Este potencial dependerá de la temperatura,

la presión y la humedad en la cual el suelo se seca, por lo que, al carecer de un

procedimiento normalizado, puede estar sujeto a distintas condiciones para

2038

diferentes laboratorios. Sin embargo, Ross et al. (1991), demuestran que un valor

razonablemente aproximado es hd = 107 cm. Esta corrección mejora el ajuste de la

curva de retención en el intervalo de humedad más bajo.

Para conseguir un modelo realista, desde un punto de vista físico, y para evitar

problemas en los cálculos numéricos, éste tiene que venir representado por una

función continua y con, al menos, la primera derivada también continua. Rossi y

Nimmo (1994) proponen dos modelos, basados en la función de Brooks y Corey,

pero con valor nulo en el contenido de humedad residual. Esto es equivalente a

considerar una función potencial, para valores de la componente matricial del

potencial del agua en el suelo mayores que el de entrada de aire. Se puede expresar

de la forma:

θθ

λ

s

ohh

=

ho< h

(5)

θθs

= 1 0 ≤ ≤h ho

(6)

A partir de las expresiones (5) y (6), Rossi y Nimmo (1994) realizan una serie de

modificaciones. La primera consiste en adoptar una corrección cerca de saturación,

reemplazando el extremo “abrupto” por una curva parabólica. Esta corrección fué

propuesta por Hutson y Cass (1987). El resultado es una función con dos partes

unidas de forma “suave”, con los mismos parámetros que la ecuación original. Una

segunda modificación de (5) consiste en adoptar la corrección propuesta por Ross et

al. (1991) para el extremo seco de la curva de retención. Consiste en asumir θ = 0

para un valor finito de la succión, hd = 107 cm. La tercera, y principal, modificación

consiste en proponer una aproximación logarítmica en el intervalo seco de la curva

de retención. Existe, en definitiva, dos tendencias distintas para ser representadas

en el modelo propuesto por Rossi y Nimmo (1994): una función potencial para

contenidos de humedad medios y altos, donde el mecanismo de retención capilar es

dominante en el suelo, y una función logarítmica con bajos contenidos de humedad,

predominando el efecto de adsorción.

El modelo de estos autores se bifurca a su vez en sendas formas de combinar las

funciones potencial y logarítmica. Así determinan lo que denominan modelo de suma

y modelo de unión. El primero considera las dos funciones representadas en una

misma expresión, mientras el segundo, considera que estos componentes

2039

funcionales se unen en un punto en común. Ambos dan lugar a distintas expresiones

matemáticas y a una cantidad diferente de parámetros para ajustar a los datos

experimentales. De los parámetros que resultan en cualquiera de los modelos

analíticos, algunos pueden determinarse a partir de medidas previas que se hayan

efectuado, mientras que otros tienen que ser estimados con el uso de los datos

experimentales. En particular, θs y hd son considerados conocidos, y no parámetros

a determinar con el ajuste que se proponga.

El modelo de suma da lugar a cinco parámetros, los cuales, al ser aplicadas las

condiciones de continuidad, son reducidos a tres. Estos se estimarán mediante el

ajuste a los datos experimentales. Sin embargo, en nuestro trabajo se empleó el

modelo de unión. Las expresiones que se proponen en éste son:

θθθ

Is a

chh

= = −

1

2

0 ≤ <h hi (7)

θθθ

λ

IIs

ahh

= =

h h hi j≤ <

(8)

θθθ

αIIIs

dhh

= =

ln h h hj d≤ <

(9)

combinando las funciones potenciales y logarítmicas mediante un punto de unión. Es

una función definida por partes. Se tienen seis parámetros, los cuales se reducen a

cuatro cuando se aplican las condiciones de continuidad de la función y de sus

primeras derivadas en los puntos de unión:

θ θI i II ih h( ) ( )= ∂θ∂

∂θ∂

Ii

IIi

hh

hh( ) ( )=

(10)

θ θII j III jh h( ) ( )= ∂θ∂

∂θ∂

IIj

IIIj

hh

hh( ) ( )=

(11)

Los cuatro parámetros, c, hi, hj y α, se determinan como funciones analíticas de los

otros dos restantes, ha y λ.

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Una vez que se consiguieron los datos experimentales, se intentaron ajustar los dos

modelos propuestos por Rossi y Nimmo (1994). En nuestro caso, al tratar de

2040

encontrar los parámetros del modelo de suma, se produjo una situación tal que

algunos de ellos mostraban unos valores imposibles desde un punto de vista físico,

tanto en la curva de desecación como en la de humedecimiento. Por ello, se

abandonó este primer intento de modelización. Cuando se utilizó el modelo de unión,

los resultados fueron muy distintos. Los parámetros determinados eran totalmente

coherentes, con unos ajustes cuyos R2 fueron 0.93 y 0.98 para las curvas de

desecación y humedecimiento respectivamente, además de valores del estadístico F

muy elevados en ambos casos, con niveles de significación inferiores a 0.0001. En

la tabla 1 se muestran los valores obtenidos para cada uno de los parámetros y para

ambas curvas. Como se indicó con anterioridad, son conocidos previamente θs y hd,

siendo estos 0.3532 cm3cm-3 y 107 cm. En la figura 1 se representan las curvas

principales de retención, una vez determinados los parámetros de la función del

modelo, así como los puntos obtenidos de forma experimental.

Tabla 1. Parámetros determinados con el ajuste de los datos experimentales al

modelo de unión (Rossi y Nimmo, 1994).

c α λ hi (cm) hj (cm) ha (cm)

Humedecimient

o

0.157 7.95 × 10-

7

1.082 12.694 39.694 × 105 8.513

Desecación 0.087 8 × 10-4 0.538 13.378 15.584 × 105 8.591

0.05 0.15 0.25 0.350.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Humedad Volumétrica (cm3 / cm3 )

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

1E+6

1E+7

Pot

enci

al M

atric

ial (

cm)

Curvas de retención (desecación)

Rossi y Nimmo

Copas de succión y Placa de Richards

0.05 0.15 0.25 0.350.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Humedad Volumétrica (cm3 / cm3 )

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

1E+6

1E+7

Pote

ncia

l Mat

ricia

l (cm

)

Curvas de retención (humedecimiento)

Rossi y Nimmo

Tensiómetros

Figura 1. Curvas de retención obtenidas según el modelo de unión (Rossi y Nimmo,

1994).

2041

Deducidas la curvas principales de retención, será posible, mediante la fusión de

ambas en un mismo gráfico (figura 2), determinar el ciclo de histéresis propio del

suelo objeto de estudio. Entre las curvas principales se encontrarán todas aquellas

que resulten al aplicarse episodios sucesivos de desecación y humedecimiento en el

suelo.

0.05 0.15 0.25 0.350.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Humedad Volumétrica (cm3 / cm3 )

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

1E+6

1E+7P

oten

cial

Mat

ricia

l (cm

)Curvas de RetenciónCiclo de Histéresis

Desecación

Humedecimiento

Figura 2. Ciclo de histéresis obtenido a partir del modelo de unión (Rossi y

Nimmo, 1994).

Cuando se emplea el programa RETC, aunque se conozca el contenido de humedad

en saturación del suelo (θs = 0.3532 cm3 cm-3), no debe usarse para el proceso de

optimización de los parámetros existentes en los modelos, ya que, según se indica

en el manual del programa, si se incluyera en la base de datos de los puntos

conocidos, las curvas de retención estarían forzadas a pasar por este punto

necesariamente y ello supondría que el ajuste al resto de los datos experimentales

no sería tan aproximado como realmente debiera. Por esto, se prescinde de θs, con

lo cual una primera desventaja de estos modelos radica en que el valor estimado de

la humedad en saturación puede estar bastante alejado del real.

En la tabla 2 se muestran los valores estimados de cada uno de los parámetros y

para cada modelo, así como los parámetros característicos de los ajustes. Se

asumió que el contenido de humedad residual, θr, era nulo en todos los casos. Como

2042

se observa en esta tabla, los valores estimados de θs para los modelos de Van

Genuchten son muy superiores al real, lo cual da lugar a unas importantes

alteraciones en los intervalos más húmedos de las curvas de retención, según se

aprecia en la figura 3. En la estimación conseguida con el modelo de Brooks y

Corey, se obtiene un θs menor al real. Denotar que el parámetro λ, del modelo de

Brooks y Corey, se obtiene a partir de n, ya que están relacionados de la forma: λ =

n-1. Este último modelo, con el mayor R2 de todos los analizados, por la propia

función que lo rige, es incapaz de detectar el punto de inflexión que caracteriza a la

curva de retención en el intervalo más húmedo de la misma, dando lugar a una

función totalmente cóncava. Además, a pesar de contar con un alto R2, es el que

peor se ajusta a los datos del intervalo de la curva con mayores valores de la

componente matricial del potencial, por lo cual el valor del estadístico F es el más

reducido.

Tabla 2. Parámetros estimados con el programa RETC, para los distintos

modelos, y parámetros característicos de los ajustes a los datos experimentales.

θs α n Nivel de

significación

Grado

s

liberta

d

F R2

Brooks y Corey

(desecación)

0.317 0.061 1.005 0.0103 36 6.57 0.96

Van Genuchten-

Burdine

(desecación)

0.463 0.176 2.558 0.0023 36 30.51 0.91

Van Genuchten-

Mualem

(desecación)

0.463 0.142 2.134 0.0023 36 30.50 0.91

Van Genuchten-

Burdine

(humedecimiento)

0.484 0.179 3.012 0.0001 28 70.27 0.87

Van Genuchten-

Mualem

(humedecimiento)

0.473 0.142 2.134 0.0001 28 70.27 0.87

2043

En la figura 3 se muestran las curvas obtenidas al considerar los modelos de Brooks

y Corey y Van Genuchten, éste último tanto con la condición de Burdine como con la

de Mualem. Si bien en todos ellos se obtienen unos ajustes considerables, es

evidente que en los extremos húmedos de las curvas, al considerar unos potenciales

matriciales mayores, éstas se prolongan excesivamente, alcanzándose valores de θs

mucho mayores que 0.4 cm3cm-3, como ya se indicó anteriormente. En esa misma

figura se señala, mediante unos círculos con línea discontinua, la zona de la curva

que se extiende más allá de la θs conocida.

También se comprobó como sería el ajuste de los modelos si, a pesar de la

recomendación de no incluir el valor real de la humedad en saturación, añadimos

ésta a nuestra base de datos. Se produjo una serie de problemas relacionados con

la convergencia de algunos de los parámetros y además, los ajustes a los valores

experimentales fueron poco precisos, descendiendo el R2 hasta valores inferiores a

0.65 y el estadístico F hasta valores no significativos para una probabilidad de 0.05.

Abandonada la idea de la inclusión de θs como dato experimental, se realizó el

ajuste de los modelos propuestos a los valores determinados con las copas de

succión y la placa de Richards, para el caso de la curva principal de desecación, y a

los obtenidos con tensiómetros para la de humedecimiento. Para conseguir la

convergencia de los parámetros hacia unos valores únicos, se ejecutó el programa

con diferentes estimaciones iniciales de los mismos, con el fin de asegurar que el

programa converge hacia el mismo mínimo global de la función objetivo. Esto es

importante en la mayoría de los casos en los que sólo se puede disponer de un

conjunto de datos distribuidos irregularmente, o que abarcan un intervalo pequeño

de la humedad o del potencial matricial.

2044

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Humedad Volumétrica (cm3/ cm3)

1E-1

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

1E+6P

oten

cial

Mat

ricia

l (cm

)

Curvas de retención (desecación)

Copas de succión y Placa de Richards

Brooks y Corey

Van Genuchten-Burdine

Van Genuchten-Mualem

HumedadSaturación

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Humedad Volumétrica (cm3/ cm3)

1E-1

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

Pot

enci

al M

atric

ial (

cm)

Curvas de retención (humedecimiento)

Tensiómetros

Van Genuchten-Burdine

Van Genuchten-Mualem

HumedadSaturación

Figura 3. Curvas de retención obtenidas con los modelos de Brooks y Corey y Van

Genuchten (con las condiciones de Mualem y Burdine), mediante el uso

del programa RETC.

4. CONCLUSIONES

Analizados los modelos recomendados en la literatura, los cuales consiguen los

mejores ajustes a los datos experimentales en la mayor parte de los casos (Fuentes

et al., 1992), como son los de Brooks y Corey (1964) y Van Genuchten (1980), se ha

comprobado que, para el suelo arenoso del Parque Natural de Doñana los

resultados no fueron satisfactorios. Como las curvas obtenidas con estos modelos

mostraban una serie de inexactitudes, fallos en la convergencia de algunos

parámetros y unos valores poco parecidos a lo observado en la realidad, se

desecharon todas ellas.

Sin embargo, la utilización del modelo de unión propuesto por Rossi y Nimmo (1994)

produjo unas curvas cuyos ajustes a los datos experimentales eran muy notables y

con unos parámetros físicos coherentes, por lo que se adoptaron como las mejores

aproximaciones a las curvas de retención del agua en el suelo.

5. REFERENCIAS

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Van Genuchten, M.T., Leij, F.J., y Yates, S.R. 1991. The RETC code for quantifying

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California.

CORRESPONDENCIA

Marcos Hernández, Alfonso

Departamento de Expresión Gráfica. Área de Proyectos de Ingeniería.

Escuela de Ingenierías Industriales. Universidad de Extremadura. Avda. de Elvas

S/N 06071 Badajoz. España.

2047