DETECCÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLOS.

ESTADÍSTICAS MULTIVARIANTES

Variabilidad del proceso

Cambios en el producto, q

Factores asignables: Personal,equipos, etc, u

Variaciones ambientales, v

Cambios en los materiales, r

Proceso)v,a,r(fq ii

• En ausencia de variaciones asignables o de materias primas, si se toman muestras de q:

q(t)= ivi

• las medidas de la serie q(t) son independientes

• q(t) es un proceso estacionario N(,2) En estas condiciones se dice que el proceso está “bajo control”

En un proceso bajo control

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

frec 0,009 0,121 0,176 0,065

La media y la varianza 2

pueden estimarse mediante:

1n

)ˆq(

ˆ

n

q

ˆ

n

1t

2t

2

n

1tt

n suele ser pequeño (4 -10) para evitar la aparición de causas asignables durante ese tiempo

En un proceso en estado de control, el 99.7% de las muestras están en la región R = [-3, -3]

Estadística Univariable

• Gráficos de control: Dr. Shewart, USA 1924. Gráficos de evolución temporal de valores medios y su span, etc.

• Definen, a través de los límites de control, el estándar de funcionamiento a alcanzar

• Permiten detectar la presencia de factores asignables que desvían la producción del estándar a alcanzar

0 5 10 15 20 251.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

LIC: m - 3 /n

LSC: m + 3 /n

Estadísticas multivariables

• ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES (PCA)

• PCA determina un conjunto de vectores de carga ortogonales que pueden ser ordenados por la cantidad de variabilidad del proceso que pueden explicar.

• Si se tiene m variables y n observaciones de cada variable se construye la matriz X:

nmn2n1

2m2221

1m1211

x...xx

............

x...xx

x...xx

X

Los vectores de carga se calculan mediante la descomposición de valores singulares de:

VUX1n

1

Análisis de componentes principales I

• Lo cual es equivalente a calcular los valores y vectores propios de: A= XTX

• Con =T, una matriz que contiene los valores propios reales no negativos de A. Se eligen los “a” vectores propios de A correspondientes a los “a” valores propios más grandes y se forma P.

• La proyección de los datos observados X en este espacio de dimensión reducida es: T = XP

• Los datos originales pueden calcularse como:

TT VVXX1n

1A

TTPX

Análisis de componentes principales II

• La matriz de residuos:

• Los componentes principales son los vectores ti, i=1,...,a y cuando hay datos nuevos se calculan como: t i = xTpi.

• Detección de fallos:

– Se calcula la estadística Hostellings: T2=xTPa-2PTx

– Se compara dicha estadística con un umbral calculado como:

– Si T2 > Ta => el sistema está fuera de control, es decir hay un fallo

XXE

a)n(a,Fa)n(n

1)a(nT α

22a

Análisis de componentes principales III

– Para monitorizar los restante “m-a” variables se utiliza la estadística Q => Q = rTr, con r = (I – PPT)x

– Q también se conoce como SPE

– Cuando el sistema está bajo control Q es muy pequeña, (variaciones debido al ruido), para detectar un fallo se pone un umbral Q

• Diagnosis de fallos:

– Calcular PCA para cada clase de datos que tengamos (fallos) y aplicar la estadística T2 y Q a cada modelo PCA para decidir que fallos ha ocurrido

Análisis de componentes principales IV

• PCA dinámicos:

ntnt1nht1nhtnhtnht

1ht1ht2t2t1t1t

htht1t1ttt

uyuyuy

uyuyuy

uyuyuy

X(h)

• PCA no lineales:

• Red neuronal

Análisis de componentes principales VI

• Ejemplo (datos de Fisher), – consisten en m=4 variables y n=50 medidas de cada variable y 3 clases distintas:

Análisis de componentes principales VII

• Con los datos de la clase 1:

– Se normalizan para tener media 0 y varianza 1

– Se construye la matriz X

– Se calculan los valores y vectores propios de A

– Se eligen 2 componentes principales que explican la variabilidad del proceso en (2.075+0.986)/4*100 = 76.52%. Y se construye la matriz P

0.247000

00.69200

000.9860

0002.075

0.036-0.758-0.506-0.411-

0.1010.6390.673-0.361-

0.6950.0030.4200.584-

0.711-0.1320.3410.601-

V

Análisis de componentes principales VIII

• La matriz T=XP

• Para detectar fallo (distinguir entre las clases) se proyectan todos los datos en los componentes principales de la clase 1 (t1 y t2) => ti = xTpi

• Se calcula la región de confianza de la clase 1 con el umbral T:

50604110

67303610

42000.584-

34100.601-

..

..

.

.

P

6.64x PPΣxT T2a

T2

98600

007522

.

.a

64698600752

22

21 .

.

t

.

t

Análisis de componentes principales IX

• Detección de fallos:

– Distinguir datos entre las clases:

Discriminante de Fisher (FDA) I

• FDA es una técnica que reduce la dimensionalidad del espacio en términos de máxima separación entre clases.

– Se construye la matriz X

– Se calcula la matriz de dispersión total:

– Se calcula la matriz de dispersión para cada clase:

– La matriz de dispersión dentro de la clase:

– Se calcula la matriz de dispersión entre clases:

Tn

1iiit )x)(xx(xS

ji Xx

Tjijij )x)(xx(xS

p

1jjw SS

Tp

1jjjjb )xx)(xx(nS

Discriminante de Fisher (FDA) II

• Si todo ha ido bien: St = Sb + Sw

• El primer vector de Fisher se calcula maximizando la dispersión entre clases y minimizando la dispersión dentro de la clase:

vSv

vSvmax

wT

bT

0v

• El segundo vector de Fisher se calcula cumpliendo la misma condición pero además asegurando que es ortogonal al primer vector.......

• Esto es equivalente a resolver el siguiente problema de valores y vectores propios:

Sb wk = k Sw wk

Discriminante de Fisher (FDA) III

• Donde los vectores propios wk son los vectores de Fisher y los valores propios k indican el grado de separabilidad entre clases al proyectar los datos en la dirección wk.

• Wa es la matriz formada por a= (p-1) vectores FDA (con p igual al número de clases)

• La proyección de los datos sobre este nuevo espacio es: zi = Wa

Txi

• Detección de fallos:

– Utilizar una función discriminante para cada clase de datos (fallos) que diga a que clase pertenecen los datos actuales:

gi(x) > gj(x) ij

Discriminante de Fisher (FDA) IV

• Con gi(x) = P(wi | x) => probabilidad a posteriori que los datos x pertenezcan a la clase i

• Aplicando la regla de Bayes y suponiendo que los datos están normalmente distribuidos:

ajTa

jij

Ta

1

ajTa

jajj WSW

1n

1detln

2

1)ln(p)x(xWWSW

1n

1)Wx(x

2

1(x)g

• Para introducir dinámica, se introducen datos pasados en la matriz X como se hacía con pCA

Discriminante de Fisher (FDA) V

• Ejemplo (datos de Fisher):

– Construir la matriz X con todos los datos (3 clases, 4 variables y n=50 medidas de cada variable)

– Cálculo de Sb y Sw:

– Calculo de los valores y vectores propios, 1 = 32.27, y 2=0.2776.

6.176.254.915.65

6.2527.228.1224.61

4.918.1217.0313.68

5.6524.6113.6838.96

wS

80.6186.9122.49-71.36

186.91436.6456.05-165.16

22.49-56.05-10.9819.53-

71.36165.1619.53-63.21

bS

7140

5460

3870

2050

1

.

.

.

.

w

7670

2540

5890

0090

2

.

.

.

.

w

Discriminante de Fisher (FDA) VI

– Cálculo de la proyección de los datos de cada clase sobre el espacio creado de dimensión 2: zi = Wa

Txi.

– Representación de las clases en este espacio:

Discriminante de Fisher (FDA) VI

– Calcular g1, g2 y g3 para cada clase la mayor de ellas nos dice que fallo ocurre :

– Tasa de acierto: 100% para la clase 1, 98% para la clase 2 (1 dato de 50 mal clasificado), 94% para 3

Mínimos cuadrados parciales (PLS) I

• PLS es una técnica de reducción de la dimensionalidad, maximizando la covarianza entre la matriz de predicción (X) y la matriz predicha (Y).

nmn2n1

2m2221

1m1211

x...xx

............

x...xx

x...xx

X

1000

1000

0010

0010

0001

0001

Y

n1 filas indican que hay un fallo de tipo 1

p columnas

Mínimos cuadrados parciales (PLS) II

• X = TPT + E

• Y = U QT + F

• La técnica PLS relaciona X e Y =>

• Y = TBQT+ F

• Ahora hay que calcular estos valores para asegurar que la covarianza entre X e Y sea máxima.

• Algoritmo:

– Escalar X e Y para que tengan media nula y varianza 1

– Inicializar: E0 = X, F0= Y, j=1 y uj = a una de las columnas de Fj-1

– Resolver iterativamente hasta converger:

TBU

Mínimos cuadrados parciales (PLS) III

• Si converge calcular:2

jT

1j

jT

1jj

uE

uEw

j1jj wEt

2j

T1j

jT

1jj

tF

tFq

j1jj qFu

jTj tt

jT

1jj

tEp

jTj

jTj

jtt

tub

• Hacer

• Repetir el procedimiento para j=1,2,..min(n,m)

Tjj1-jj ptEE

Tjjj1-jj ptbFF

Mínimos cuadrados parciales (PLS) IV

• Se calcula la matriz:

• La predicción de la matriz Y se calcula como:

• Detección y diagnóstico de fallos:

– Utilizando la estadística T2 y Q.

• PLS dinámico

• PLS no-lineal

0Tj

1j

Tj

1j

Tjjj FT)T(T)W(PWB2

aanto,entrenamie B2*XY

Mínimos cuadrados parciales (PLS) V

• Ejemplo:

– Se construye X con todos los datos.

– Se construye Y

– Se aplica el algoritmo dado para j=1,2 obteniendose:

580

310

58690

47220

1

.

.

.

.

w

56610

28110

58180

51450

1

.

.

.

.

p

23970

9310

03550

27320

2

.

.

.

.

w

12030

92740

05990

38670

2

.

.

.

.

p

243001802250

083036702840

204005602590

213004201710

22

...

...

...

...

B

Mínimos cuadrados parciales (PLS) VI

• Se calcula

• Se representan y1 vs y2 vs y3

aanto,entrenamie B2*XY

Mínimos cuadrados parciales (PLS) VII

• Si proyectamos los datos en sobre los vectores PLS (t1 y t2):