Despacho Optimo de la Generación

Flujo de Carga: Estimamos valores razonables de Pgen de las barras PV adicionalmente Pgen de la barra Slack es calculada por:

Despacho Optimo: Pgen de las barras PV e incluso de la slack se calculan tal que el costo total de la generación sea mínimo.

Función objetivo

Flujo de carga

Despacho

Min. costo

gn

iLDi PPP

1

maxmin PPP i

Costos de la generación.Límites min. y max.

ng , . . . . . 1,i i genPL

D

P

P

Datos de la red

slack slack *

gengen PP

no

FIN

ng , . . . . . 1,i i *

genP

si

slack) la va (no

i *

1-ng , . . . . . 1,igenP

Despacho Optimoo (más general)

Flujo de Carga Optimo

n

jjiijijjislack YVVP

1

)(cos||||||

Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad

El problema es minimizar la función costo:

) , . . . ,,( 21 nxxxf

Sujeta a restricciones de igualdad

k , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 ixxxg ni

Tales problemas pueden resolverse por el método de los multiplicadores de Lagrange. Se crea unafunción aumentada introduciendo un vector de k elementos :

k

iii gfL

1

Los valores de nxxx , . . . ,, 21 que minimizan f sujeto a la igualdad g son los que resuelven las siguientes ecuaciones:

0

01

ii

k

i i

ii

ii

gL

x

g

x

f

x

L

Ejemplo 7.1:

Hallar el mínimo de la función: 22),( yxyxf (cuadrado de la distancia del origen hasta x,y).

Sujeto a la restricción: 25)6()8(),( 22 yxyxg

25)6()8( 2222 yxyxL

Formamos la función de Lagrange:

025)6()8(

12)1(2 o 0)122(2

16)1(2 o 0)162(2

22

yxL

yyyy

L

xxxx

L

i

Las ecuaciones a resolver son:

En muchos problemas la solución directa no es posible por lo que las ecuaciones arriba sonresueltas iterativamente.

De las dos primeras ecuaciones, encontramos x e y:

1

8

x

1

86

y

Sustituyendo en la tercera ecuación resulta en:

0751

200

)1(

100)(

2

2

f

La que puede ser resuelta por Newton-Raphson:

)()()1(

)(

)()( )(

kkk

k

kk

y

ddf

f

CORREGIR

323 )1(

200

)1(

200

)1(

200)(

d

df

Empezando con un valor estimado de , un nuevo valor es encontrado. El proceso se repite en la dirección del gradiente decreciente hasta que f() es menor que un especificado. Este métodoes conocido como el método del gradiente.Para la función arriba el gradiente es:

Utilizar la función ‘te6ej1’ para resolver la ecuación de f(), luego calcular x e y.Hallar el mínimo o el máximo dependerá de la dirección del gradiente, ¿Para que rango deestimación inicial de hallaremos un mínimo y para cual un máximo?

Optimización de una función sujeta a restricciones de igualdad y restricciones de desigualdad

El problema es ahora minimizar la función costo:

) , . . . ,,( 21 nxxxf

Sujeta a restricciones de igualdad

k , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 ixxxg ni

Se trata de formular una extensión de los multiplicadores de Langrange a los efectos de incluirlas restricciones, este método generalizado se le conoce como condiciones necesarias de optimalidad deKuhn-Tucker. En la expresión abajo se incluye entonces un vector j de m elementos indeterminadosa los efectos de considerar las m restricciones de desigualdad:

m

jjj

k

iii ugfL

11

Y a restricciones de desigualdad

m , . . . . ,2,1 0) , . . . ,,( 21 jxxxu nj

Siendo las condiciones necesarias las siguientes:

Ejemplo:

Hallar el mínimo de la función: 22),( yxyxf (cuadrado de la distancia del origen hasta x,y)

Sujeto a la restricción: 25)6()8(),( 22 yxyxg

Y a la desigualdad: 5)( xxu

m , . . . . 1,j para 0 & 0

m , . . . . 1,j para 0

k , . . . . 1,i para 0

n , . . . . 1,i para 0

iji

ji

ii

i

u

uL

gL

x

L

Si el problema no está planteado de la misma forma los signos de los multiplicadores podríasser diferentes:

)5(25)6()8( 2222 xyxyxL

Planteando

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

0 & 0)5(

05

025)6()8(

0)122(2

0)162(2

22

x

xL

yxL

yyy

L

uxxx

L

Si

5x o 05

025)6()8(

1

6 o 0)122(2

0)162(2

22

x

yxL

yyyy

L

uxxx

L

Las ecuaciones a resolver son:

Tenemos que:

3

222

1

72)(

01661

6 o 025)6()8()(

d

df

yxfL

Resolviendo por Newton-Raphson:

5

2

5.0

x

y

0 Sabemos que de la resolución de las tres primera ecuaciones que x=4 e y=3

Lo que viola la condición de desigualdad de la cuarta ecuación, por lo tanto de la quintaecuación se debe cumplir que: 05 x

COSTO OPERATIVO DE LAS CENTRALES TERMICAS

En todos los casos prácticos el costo del generador i puede ser representado como:

2 iiiii PPC

Una característica importante es la derivada del costo respecto a la potencia activa, lo que seconoce como costo incremental:

$/h

iiii

i PP

C

2

Pi MW

i

$/MWh

Pi MW

ng

1i

2i

ng

1ii11 C . . . . iiiingt PPCCCC

Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange:

Y planteando las respectivas ecuaciones :

Despacho óptimo de las unidades de generación sin considerar pérdidas ni límites de generación.

C1

P1

C2

P2

Cng

Png

PD

Nuestra función objetivo es entonces:

Sujeta a la restricción:

ng

1iiPDP

)(1

ng

iiDt PPCL

0

0

L

P

L

i

La primera condición resulta en :

0)10(

i

t

P

C

Pero como :

i

i

i

t

ngt

dP

dC

P

C

CCCC

entonces

. . . . 11

La condición para el despacho óptimo:

1

:sgeneradore los todos Para

2 o

, ng, . . . . i

PdP

dCiii

i

i

todos los generadorestengan el mismo costoincremental

La segunda condición:

ng

1iiPDP

Método analítico de resolución:

i

iiP

2

Por un lado tenemos

Para cada generador (i=1,...,ng) se las conoce como ecuaciones de coordinación.

Tenemos que determinar el valor de , de la segunda condición:

ng

1i i

i

2

-

DP

De donde:

ng

i i

i

ng

i i

iDP

1

1

21

2

Ejemplo:

El costo total de tres plantas térmicas en $/h está dada por:

2333

2222

2111

009.08.5200

006.05.5400

004.03.5500

PPC

PPC

PPC

Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total PD es 800MW. Sin considerar pérdidas nilímites en la generación, encontrar el despacho óptimo y el costo total en $/h.

$/MWh 5.888.263

05.1443800

018.01

012.01

008.01

018.08.5

012.05.5

008.03.5

800

Sustituyendo en las ecuaciones de coordinación:

MW 400)004.0(2

3.55.81

P

MW 250)006.0(2

5.55.82

P

MW 150)009.0(2

8.55.83

P

El costo total es entonces:

$/h 5.6682)150(009.0)150(8.5200)250(006.0)250(5.5400)400(004.0)400(3.5500 222 tC

Interpretación gráfica:

P, MW

$/MWh

8.5

150 250 400

3.5004.02 11

1 PdP

dC

5.5006.02 12

2 PdP

dC

8.5009.02 13

3 PdP

dC

Ejemplo incluyendo límites en la generación:

El costo total de tres plantas térmicas en $/h está dada por:

225100

350150

450200

3

2

1

P

P

P

Donde P1, P2 y P3 están en MW. La demanda total PD es 975 MW. Los límites de generación son:

Sin considerar pérdidas, encontrar el despacho óptimo.

$/MWh 16.9

018.01

012.01

008.01

018.08.5

012.05.5

008.03.5

975

2333

2222

2111

009.08.5200

006.05.5400

004.03.5500

PPC

PPC

PPC

MW 483)004.0(2

3.516.91

P

MW 305)006.0(2

5.516.92

P

MW 187)009.0(2

8.516.93

P

P1 viola el ímite de Pmax, por lo que la “pego” al tope de 450MW y redespacho las otras dos

$/MWh 4.9

018.01

012.01

018.08.5

012.05.5

525

MW 325)006.0(2

5.54.92

P

MW 200)009.0(2

8.54.93

P

P, MW

$/MWh

9.16

187 305 483

3.5004.02 11

1 PdP

dC5.5006.02 12

2 PdP

dC

8.5009.02 13

3 PdP

dC

450

8.9

325

9.4

200

$/h 8228)187(009.0)187(8.5200)305(006.0)305(5.5400)483(004.0)483(3.5500 222 tC

El costo total sin considerar las restricción de P3:

Con la restricción:

$/h 8236)200(009.0)200(8.5200)325(006.0)325(5.5400)450(004.0)450(3.5500 222 tC

Despacho Económico Optimo Incluyendo Restricciones en la Generación y Pérdidas

Como ya hemos visto, en todoos los casos prácticos el costo del generador i puede ser representado como:

2 iiiii PPC

Por lo tanto, la función aminimizar(función objetivo) es:

ng

iiiii

ng

iit PPCC

1

2

1

Sujeta a la restricción de igualdad:

LD

ng

ii PPP

1

Y a las desigualdades:

ng , . . . . ,1 )()( iPPP maxiimini

ng

iminiimini

ng

imaxiimaxi

ng

iiLDt PPPPPPPCL

1)()(

1)()(

1

Usando los multiplicadores de Lagrange y los terminos adicionales para incluir las desigualdades:

Queda entendido que:)()(

)()(

cuando 0

y cuando 0

maxiimaxi

miniimini

PP

PP

o sea, si las restricciones de desiguladad no son violadas los correpondientes terminos no existen.

Una práctica común para incluir el efecto de las pérdidas de la transmisión es expresar laspérdidas totales de la transmisión como una función cuadrática de las potencias de las unidadesgeneradoras, cuya forma más general es:

001

01 1

BPBPBPP i

ng

ii

ng

ij

ng

jijiL

Se la conoce como la fórmula de Kron, y los coeficientes B son llamados coeficientes de pérdidas ocoeficientes-B, más adelante se presenta la obtención de los mismos.

Los valores de ng., . . . . 1,i iP que minimizan L son los que anulan las derivadas parciales:

0

0

0

0

)()(

)()(

miniimini

maxiimaxi

i

PPL

PPL

L

P

L

La primera condición, y resolviendo el problema sin considerar en primera instancia las restrccionesde desigualdad: resulta en:

010

i

L

i

t

P

P

P

C

como:

i

i

i

tngt dP

dC

P

CCCCC

entonces . . . . 11

la condición resulta en:

ng, . . . . . . 1,i

i

L

i

i

P

P

dP

dC

Incremental de perdidas de transmisión

Incremental del costo de generación

“Se activan” cuando alguna o algunas restricciones sonvioladas en uno o varios generadores:

Es común reordenarla como:

ng, . . . . . . 1,i 1

1

i

i

i

L dP

dC

PP

Factor de penalidad del generador i

o ng, . . . . . . 1,i i

ii dP

dCL

ij

ng

jij

i

L BPBP

P0

1

2

El incremental de las pérdidas de transmisión vale:

Además sabemos que:

iiii

i PdP

dC 2

Sustituyendo respectivamente en la expresión arriba

ij

ng

jijiii BPBP 0

1

22

iij

ng

ijj

ijiiii

i BPBPBP 0

1

12

1)(

Reordenando los término de la siguinete forma:

Extendiendo la ecuación arriba a todas las plantas resulta en el siguiente sistemalinear de ecuaciones representado en su forma matricial:

ngng

ng

ngngng

ngng

ng

ng

B

B

B

P

P

P

BBB

BBB

BBB

0

202

101

1

1

21

2222

21

112111

1

.

.

1

1

2

1

.

.

..

...

...

..

O en su forma abreviada: DPE .

En la práctica se resuelve: P=E \ D

De la segunda condición: LD

ng

ii PPP

1

Siendo: ).(2

2)1( 0

iii

ijjijii

i B

PBB

P

Sustituyedo, nos queda: LD

ng

i iii

ijjijii

PPB

PBB

1

0

).(2

2)1(

o: LD PPf )(

La resolvemos por Newton-Raphson, siendo entonces (0) la estimación inicial y (0) lapequeña desviación de la solución correcta tenemos:

LD PPf )( )0()0(

Expandiendo en series de Taylor hasta el término de primer orden:

)0()0()0(

)0( )()( LD PP

d

dff

o:

)0(

)0(

)0(

)0()0(

)

)(

ddP

P

ddf

P

i

finaemente: )0()0()1(

Y se repite el proceso hasta que: )(kP Es menor que un dado valor de precisión especificado.

ng

i iii

ijjijiiiiiing

i

i

B

PBBBP

12)0(

)0(0

1

)0(

).(2

2)1(

ng

iiLD PPP

1

)0()0(

00)0(

10

1

)0(

1

)0()0( BPBPBPP i

ng

ii

ng

ij

ng

jijiL

A partir de la segunda iteración los valores de P de las distintas unidades generadores se obtienendel sistema de ecuaciones lineares que resuelve la primera condición: P=E \ D

Una vez que converge se verifica si alguna máquina viola alguno de sus límites de generación, siesto es así, la o las unidades correspondientes pasan a generar un valor igual al límite que correspondiente, y se vuelve a entrar en el algoritmo de Newton-Raphson, siendo entonces los valoresde generación de estas máquinas parámetros dados y ya no incognitas.

Funciones matalb desarrolladas:

despacho.m - función principal donde se implementa el algoritmo presentado.

op2dat.m - función del estilo de red2.mat, desde donde se lee un archivo ascii con los datos de ls costos de las máquinas y sus límites operativos y se guardan en variables a ser usadas por las demás funciones.

costogen.m - cálculo del costo total de la generación.

costoB.m - se calcula los coeficientes B d la fórmula de Kron para el cálculo de las pérdidas en un sustema de transmisión..

daledes.m - rutina para corrida “facil” de la aplicación y realiza el procesos iterarativo flujo de carga despacho óptimo.

function[]=daledes(archivo,archivo2)

[N,pN,Barras]=red2mat(archivo);[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);global SbZbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus);[costo,mwlimites]=opt2dat(archivo2,N,pN,Barras);lambda=7;Pgg=Pg(pN(2,1):pN(3,1));[costototal]=costogen(Pgg,costo)[Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);while dpslack>0.001, [mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(Nopt,pN); [B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus); [Nopt,dpslack,lambda,Pgg,PL]=despacho(Pd,Pg,costo,B,B0,B00,pN,N,mwlimites,lambda);endtabbar[costototal]=costogen(Pgg,costo)save ejemplo5b.dat Nopt lambda PL Pgg -append

Si interesa salvar las variables hay que cambiar a mano el nombre del archivo

Ejemplo

Dado la red abajo, con los valores estimados de despacho de potencia reactiva, determinar el despacho óptimo.

V1=1.060°

|V2|=1.045

|V3|=1.03

30 MW

40 MW

1

2

3 4

520 MW10 MVar

20 MW15 MVar

50 MW30 MVar

60 MW40 MVar

0.08+j0.24

0.02+j0.06

0.04+j0.12

0.06+j0.180.06+j0.18

0.08+j0.24

0.01+j0.03

% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050

% DATOS PARA DESPACHO OPTIMO DE LA GENERACION% archivo: ejemplo5b % % BARRA C1 C2 C3 Pmin PmaxSlack 200 7.0 0.008 10 85Gen_1 180 6.3 0.009 10 80Gen_2 140 6.8 0.007 10 70

Coeficientes de la funcióncosto de la generación y límitesoperativos de los generadores

» daledes('ejemplo5b.m','ejemplo5b_opt.m')Flujo de carga no optimo Máximo error en la potencia = 0.058002 No. de Iteraciones = 4

Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -3.248 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -4.406 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -1.782 20.0 10.0 40.0 39.4 0.0 Gen_2 1.030 -2.664 20.0 15.0 30.0 23.3 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 83.0 7.3 0.0 Total 150.0 95.0 153.0 70.0 0.0

costototal =

1.6332e+003

Flujo de carga optimo Máximo error en la potencia = 0.0593484 No. de Iteraciones = 4

Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.019 -1.199 50.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 0.990 -2.717 60.0 40.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.045 -0.270 20.0 10.0 69.8 28.3 0.0 Gen_2 1.030 -0.481 20.0 15.0 59.1 13.2 0.0 Slack 1.060 0.000 0.0 0.0 23.2 25.9 0.0 Total 150.0 95.0 152.1 67.3 0.0

costototal =

1.5973e+003

Método de Kron para obtenerlas perdidas del sistema en función de la potencia activa del parque generador:

[3]

:tenemos para oresolviend ,

:que sabemos Además

[2]

:sistema del totales perdidas las da barras las todas en potencias las de sumatoria La

[1]

:por dada es barra la en inyectada total potencia La

1

*

1

*

*

busbusbusbusbus

busbusbusbus

busT

bus

n

iiiLL

iiiii

IZIYV

VVYI

IVIVjQP

IVjQPS

i

Matriz impedancia

.impedancia matriz la de elementos los de imaginaria e real partes las y Siendo

[10] )(2

1

[9] )(2

1

:sigue como imaginario e real scomponente sus en

separadasser pueden perdidas las entonces real, es [8] de paréntesis del dentro cantidad La

[8] )(2

1

:como reescritaser puede [7] , es esto simétrica, es impedancia matriz la Como

[7]

:indexada notación usando expresadaser puede [6] expresión La

[6]

:valen totales perdidas las entonces , tanto lopor simétrica es

[5]

][

:[2] en [3] doSustituyen

1 1

**

1 1

**

1 1

**

1 1

*

*

*

*

ijij

n

i

n

jijjiijL

n

i

n

jijjiijL

n

i

n

jijjiijLL

jiij

n

i

n

jjijiLL

busbusTbusLL

busT

busbus

busbusTT

bus

busT

busbusLL

XR

IIIIXQ

IIIIRP

IIIIZjQP

ZZ

IZIjQP

IZIjQP

ZZZ

IZI

IIZjQP

[19] V

:tenemos cero, valiendo

corrientes demas las todas con n, barra la de saliente corriente la como definida es Si

[18] donde ,

V

:tenemos [17], en [14] doSustituyen

[17] V

:generación de corriente y carga de corriente de terminos en reescritaser puede [16] carga, con

barras de número definido ya el es y Sl),(PV generación de barras de numero el es Si

[16] . . . . V

:en resulta [3] ecuación la de línea última la oexpandiend slack, la es barra que Suponiendo

[15]

[14] , . . . . ,2,1

:total corriente la

de compleja constante fracción una comoexpresar puede se barra cada en corriente La

. entonces slack

yPV como PQ, barras tantoser pueden estas carga, con barras de total número el es Donde

[13] . . . . . . . . . . . . .

:carga de corrientes las todas de total suma la definimos generada, potencia

la de función en sistema del perdidas las para general formula unaobtener de forma De

[12]

:matricial forma la en O

[11]

:como expresadasser pueden real potencia de perdidas las , siendo ,Nuevamente

0n

0

11

11n

11n

2211n

21

*

1 1

*

IZ

I

ZlTTIIZ

ZlIIZ

IZIZ

nng

IZIZIZ

n

I

Il

nkIlI

SlPVPQn

n

IIII

IRIP

IRIP

RR

nn

n

knkkDgi

ng

ini

n

knkkDgi

ng

ini

Lk

n

knkgi

ng

ini

nnnnn

D

Lkk

DkLk

DLnLL

busijTbusL

n

i

n

jjijiL

jiij

[23] WW . . . WW

:tenemos sumatoria la oexpandiend y , WDefiniendo

[22]

:escribir podemos , Siendo

[21]

:tenemos [14], en doSustituyen

[20] 11

:tenemos para oresolviend y [18] en [19] doSustituyen

0nng2211

i

01

01

011

IlIlIlIlIIT

Z

IZT

lIZ

T

lII

III

IZT

lIZ

T

lI

I

IZT

IZT

I

I

kgnkgkgkgKK

ni

nnk

gi

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ini

kgKK

LKgKK

nnk

gi

ng

ini

kLK

D

ngi

ng

iniD

D

[25] ]][[][

:abreviada forma En

[24]

1

1

1

1

.....

.....

I

I

I

I

.

.

I

I

:matricial forma en O

0

1

2

3

123

11112131

22122232

33132333

22122232

11112131

n

-1n

2-n

3-n

2

1

gbus

gn

ng

ng

ng

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ICI

I

I

I

I

I

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PQ

PV+Sl

PV+Sl 1

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n

n

n

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l

l

l

l

l

l

WWWWW

C

1

1

1

1

.....

.....

1000

0100

0010

0001

.....

.....

0000

0000

C1

01000

00100

00010

00001

C2

:matrices siguientes las de producto

el como [24] expresión la de matriz laobtener nalcomputacio vista de punto del econvenient Es

123

11112131

22122232

33132333

22122232

11112131

1

2

3

2

1

123

C=C1 * C2

PV+Sl+1

PV+Sl+1

PQ

PV+Sl

*

*

**

*

**

**

1

Donde

[28]

o

[27]

1

:es generada corriente la , barra la en compleja potencia la es Si

[26]

] [

:[12] en [25] de doSustituyen

i

gi

gi

i

giigi

gii

gi

gi

i

gigi

i

gigi

gi

gbusTT

g

gbusT

gL

bus

V

P

Qj

PI

PV

P

Qj

V

jQP

V

SI

iS

ICRCI

ICRICP

I

[36]

12/2/2/2/

2/

2/

2/

2/

]1 [P

:[33] en ][ doSustituyen

[35]

2/2/2/2/

2/

2/

2/

2/

][

:sigue como daparticiona es ][

[34] ][ Donde

[33] ][ P

:real parte su de

obtenidas son real potencia de perdidas las compleja, es arriba ecuación la de resultante matriz La

[32]

][P

:[26] en [31] de ][ doSustituyen

[31]

:abrviada forma en O

[30]

10000

0000

0000

0000

0000

:en resulta [28], de columnavector al Agregando

n

-1n

2-n

3-n

00,01,02,03,0

,0,1,2,3,

1,0,11,12,13,1

2,0,21,22,23,2

3,0,31,32,33,3

n -1n 2-n 3-n L

00,01,02,03,0

,0,1,2,3,

1,0,11,12,13,1

2,0,21,22,23,2

3,0,31,32,33,3

**

*L

***

***T L

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0

g

g

g

g

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n

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P

P

P

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BBBBB

BBBBB

BBBBB

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H

BBBBB

BBBBB

BBBBB

BBBBB

BBBBB

H

H

CRCH

PHP

PCRCP

PCRCP

I

PI

P

P

P

P

II

I

I

I

I

I

[37] ] [

] [P

O

00

n ,0

-1n ,0

2-n ,0

3-n ,0

n -1n 2-n 3-n

n

-1n

2-n

3-n

,1,2,3,

,11,12,13,1

,21,22,23,2

,31,32,33,3

n -1n 2-n 3-n L

B

B

B

B

B

PPPP

P

P

P

P

BBBB

BBBB

BBBB

BBBB

PPPP

gggg

g

g

g

g

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gggg

Los coeficientes B son en valores pu, cuando la potencia está expresada en MW, los coeficientes B valen:

Bij= Bij pu/Sb, Boi= Boi , B00= B00 pu*Sb

Donde Sb son los MVA Base

Función coefB:

Esta función calcula los coeficientes de perdidads B, dada una red con su respectivoflujo de carga.

Argumentos de entrada:• Matriz pN puntera de la matriz N.• Resultado del flujo de carga:.• Matriz Zbus, inversa de Ybus

Argumentos de salída:• Coeficientes de perdidas B.• Perdidas totales en MW.

function[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)

global Sb;V=mv.*exp(j*deg2rad(an)); % Tensión compleja.Il=-1/Sb*(Pd-j*Qd)./conj(V); % Corrientes de carga en todas las barras.ID= sum(Il); % Sumatoria de las corrientes (ec. [13]).l=Il/ID; % Fracción de la corriente total (vector ec. [15]).sl=pN(3,1); % Ubicación de la barra slack.T=Zbus(sl,:)*l; % Cálculo de T (ec.[18]).nB=sl; % Número total de Barras.fPQ=pN(1,2); % Número de barras PQ.iPV=pN(2,1); % Ubicación inicio de las barras PV.ng=nB-fPQ; % Número total de barras de generación (Slack+PV).W(1:ng) = Zbus(sl,iPV:sl)/T; % Cálculo de w (arriba ec. [23], definiendo ...).C1gg=eye(ng,ng); % Sub matrices que se concatenan para armar C1.C1g=[zeros(fPQ, ng);C1gg];C1=[C1g,l]; % C1C2gD=[C1gg;-W]; % Sub matrices que se concatenan para armar C2.C2D=zeros(ng,1);CnD=[C2D;-W(ng)];C2=[C2gD,CnD]; % C2C=C1*C2; % Cal=(1-j*((Qg(iPV:sl)+Qsh(iPV:sl))./Pg(iPV:sl)))./conj(V(iPV:sl)); % Elementosal=al.'; % para armar la matriz alpha (ec. [28]).alp=[al, -V(sl)/Zbus(sl,sl)]; % Útimo elemento de la diagonal de la matriz alpha.alpha=diag(alp); % Obtención de la matriz alpha (segun ec. [30]).H = real(alpha*conj(C)'*real(Zbus)*conj(C)*conj(alpha)); % Cálculo de H (ec. [34]).B=H(1:ng,1:ng); % Partición de la matriz H conforme ecuación [36].B0=2*H(ng+1,1:ng);B00=H(ng+1,ng+1);PL = Pg(iPV:sl)'*(B/Sb)*Pg(iPV:sl)+B0*Pg(iPV:sl)+B00*Sb; % Perdidas totales (ec.[36]) % convirtiendo los valores pu de los coeficiente B.

1

Comentarios:

1 -

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n

n

n

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l

l

l

l

l

l

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1

1

1

1

.....

.....

1000

0100

0010

0001

.....

.....

0000

0000

C1

01000

00100

00010

00001

C2

123

11112131

22122232

33132333

22122232

11112131

1

2

3

2

1

123C1g

C1gg

C2gD C2D

CnD

Ejemplo

Dado la red abajo, calcular los coficientes B y las perdidas totales de la red.

V1=1.060°

|V2|=1.045

|V3|=1.03

30 MW

40 MW

1

2

3 4

520 MW10 MVar

20 MW15 MVar

50 MW30 MVar

60 MW40 MVar

0.08+j0.24

0.02+j0.06

0.04+j0.12

0.06+j0.180.06+j0.18

0.08+j0.24

0.01+j0.03

% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVArSL 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0PV 2 1.045 20 10 40 30 10 50 0PV 3 1.03 20 15 30 10 10 40 0PQ 4 1.00 50 30 0 0 0 0 0PQ 5 1.00 60 40 0 0 0 0 0%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea 1 2 0.02 0.06 0.060Linea 1 3 0.08 0.24 0.050Linea 2 3 0.06 0.18 0.040Linea 2 4 0.06 0.18 0.040Linea 2 5 0.04 0.12 0.030Linea 3 4 0.01 0.03 0.020Linea 4 5 0.08 0.24 0.050

clear[N,pN]=red2mat('ejemplo5b.m');[mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,maxerror,iter,Y]=flunrdr(N,pN);Zbus=full(inv(Y));[B,B0,B00,PL]=coefB(pN,mv,an,Pd,Qd,Pg,Qg,Qsh,Zbus)

B =

0.0228 0.0017 0.0093 0.0017 0.0179 0.0028 0.0093 0.0028 0.0218

B0 =

0.0031 0.0015 0.0003

B00 =

3.0523e-004

PL =

3.0525

Las perdidas totales de la red son de 3.0525 MW