Desigualdades de Ando-Zhan y sus extensiones …massey/tesis_nancy.pdfDesigualdades de Ando-Zhan y...

Universidad Nacional del COMAHUE

Facultad de Economıa y Administracion

Departamento de Matematica

Tesis de Maestrıa

Desigualdades de Ando-Zhan y susextensiones

Nancy Kruse

- 2011 -

Director: Dr. Pedro Massey

Co-directora: Mg. Irene Mosconi

iii

A mi Padre

Indice general

1. Preliminares 11.1. Hechos basicos del Analisis matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Preorden espectral y submayorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Funciones Monotonas y Convexas de Operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Desigualdades de Ando-Zhan 152.1. Desigualdades de Ando y Zhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Una primera extension del teorema de Ando-Zhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. Ejemplos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan 253.1. Extensiones a funciones mas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Extensiones a matrices normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Desigualdades en el preorden espectral 334.1. Desigualdades en el preorden espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1. Desigualdades de Jensen en el preorden espectral . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2. Desigualdades de concavidad/convexidad en el preorden espectral . . . . . . . 36

4.2. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Desigualdades - matrices arbitrarias 415.1. Subaditividad de funciones concavas en Mn(C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2. Desigualdades de concavidad y de tipo Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

v

vi INDICE GENERAL

Agradecimientos

Mi mas sincero agradecimiento a Pedro Massey e Irene Mosconi quienes no solo aceptarondirigirme, sino ademas por su generosidad, su infinita paciencia y por el valioso tiempo que me handedicado.

vii

viii INDICE GENERAL

Introduccion

Descripcion de las motivaciones de este trabajo

Dada una funcion g : [0,∞)→ [0,∞) concava se verifican las siguientes desigualdades elemen-tales:

g(a+ b) ≤ g(a) + g(b) , a, b ≥ 0 y (1)g(z · a) ≤ z · g(a) , a ≥ 0 , z ≥ 1 . (2)

La desigualdad (1) se denomina subaditivadad de g, mientras que la desigualdad (2) la denominamossubexpansividad de g. De hecho, estas desigualdades pueden combinarse dando lugar a

g(m∑j=1

zj · aj) ≤m∑j=1

zj · g(aj) , aj ≥ 0 , zj ≥ 1 , 1 ≤ j ≤ m. (3)

Ademas, como consecuencia de la concavidad de g, se verifica que g es una funcion no decrecienteen su dominio. Ası, como consecuencia de Eq. (3), la desigualdad triangular y la monotonıa de gconcluimos que

g

∣∣∣∣∣∣m∑j=1

zj · aj

∣∣∣∣∣∣ ≤ m∑

j=1

|zj | · g(|aj |) , aj , zj ∈ C , |zj | ≥ 1 , 1 ≤ j ≤ m. (4)

De forma similar, dada una funcion f : [0,∞) → [0,∞) convexa y no decreciente con f(0) = 0 severifican las desigualdades de superaditividad y de superexpansividad

f(a+ b) ≥ f(a) + f(b) , a, b ≥ 0 y (5)f(z · a) ≥ z · f(a) , a ≥ 0 , z ≥ 1 , (6)

que podemos resumir como sigue:

f(m∑j=1

zj · aj) ≥m∑j=1

zj · f(aj) , aj ≥ 0 , zj ≥ 1 , 1 ≤ j ≤ m. (7)

De forma breve, el objeto de este trabajo es describir el desarrollo de extensiones de las de-sigualdades (4) y (7) al contexto (no conmutativo) de matrices positivas semidefinidas y matricesexpansivas, considerando distintas relaciones de (pre)orden entre estas que detallamos en lo quesigue.

Desigualdades de Ando-Zhan y sus extensiones

El primer resultado relacionado con extensiones de (5) puede encontrarse en el trabajo [8] deBhatia y Kittaneh en donde se prueba que dadas A, B matrices n × n positivas a coeficientescomplejos (notado A, B ∈Mn(C)+) se verifica

(A+B)m w � Am +Bm , m ∈ N , (8)

ix

x INDICE GENERAL

donde ≺w denota la submayorizacion. Cabe mencionar que la submayorizacion, que tendra un papelcentral en esta tesis, es un preorden en el cono de matrices positivas Mn(C)+ ıntimamente rela-cionado con familias de desigualdades con respecto a las llamadas normas unitariamente invariantes(ver la Seccion 1.2 de los Preliminares).

Poco tiempo despues, motivados por las desigualdades de Bhatia y Kittaneh, Ando y Zhanpublican el trabajo [2] en donde obtienen el siguiente resultado de subaditividad: si g : [0,∞) →[0,∞) es una funcion concava de operadores para A,B ∈Mn(C)+

g(A+B) ≺w g(A) + g(B) . (9)

Mas aun, si f : [0,∞) → [0,∞) es una funcion creciente, f(0) = 0, lımx→∞ f(x) = ∞ y cuyainversa es concava de operadores entonces

f(A+B) �w f(A) + f(B) . (10)

Las desigualdades (9) y (10) son las llamada desigualdades de Ando-Zhan (caso concavo y convexorespectivamente). Notemos que la desigualdad (8) es una consecuencia de (10) y del hecho de quelas funciones g(t) = tp, 0 < p ≤ 1, son concavas de operadores.

Es claro que (9) es una extension de (1), ası como (10) es una extension de (5). De hecho apartir de la desigualdad de de Ando-Zhan (9) y de las propiedades de las funciones monotonas deoperadores es posible obtener la siguiente extension de (3): si g : [0,∞) → [0,∞) es una funcionconcava de operadores, A,B ∈ Mn(C)+ y Z1, Z2 son matrices expansivas, i.e. tales que Z∗i Zi ≥ Ientonces

g(Z∗1 AZ1 + Z∗2 B Z2) ≺w Z∗1 g(A)Z1 + Z∗2 g(B)Z2 . (11)

Vale mencionar aquı que las desigualdades de Ando-Zhan son el resultado principal que motivalos desarrollos contenidos en esta tesis. Sin embargo, si bien la desigualdad (9) (resp. (10)) es unaextension de (1) (resp. (5)), el hecho de que g (resp. f−1) sea una funcion concava de operadoresresulta, en realidad, una hipotesis muy restrictiva. Es bien sabido que las funciones concavas deoperadores tienen una estructura rica producto de su rigidez de forma que es sencillo hallar ejemplosde funciones concavas que no son concavas de operadores. Es por esto que a lo largo de los ultimosanos varios investigadores dentro del analisis matricial han intentado desarrollar extensiones de lasdesigualdades de Ando-Zhan al caso de funciones mas generales definidas en [0,∞) a valores nonegativos. En lo que sigue describiremos tales resultados, que forman una parte substancial de estetrabajo de tesis.

Aujla y Silva obtienen en [6] un resultado clave en relacion con una extension mas general de(10) en terminos de la relacion de submayorizacion: ellos prueban que el conjunto C de funcionescrecientes y convexas f : [0,∞) → [0,∞) con f(0) = 0 para las cuales se verifica (10) es unconjunto cerrado bajo la suma, producto, composicion y lımites puntuales; en particular forma uncono cerrado bajo lımites puntuales. Hacia el final de su trabajo, se plantea de forma explıcitala conjetura que afirma que (10) se verifica para toda funcion f : [0,∞) → [0,∞) creciente yconvexa con f(0) = 0. Unos anos mas tarde, T. Kosem [18] prueba esta conjetura con un ingeniosoargumento de aproximacion a traves de funciones convexas de operadores.

Posteriormente, Bourin y Uchiyama [15] desarrollan un planteo dual para probar la correspon-diente desigualdad de subaditividad para funciones concavas con respecto a la submayorizacion.Recientemente, Bourin y Lee [13] han generalizado los resultados de [18, 15] probando las siguientesextensiones de (3), (7), (9), (10), (11): dadas {Ai}mi=1 ∈Mn(C)+ y {Zi}mi=1 ∈Mn(C) matrices ex-pansivas entonces: Si g : [0,∞)→ [0,∞) es funcion concava

g(m∑j=1

Z∗j Aj Zj) ≺wm∑j=1

Z∗j g(Aj)Zj . (12)

INDICE GENERAL xi

Si f : [0,∞)→ [0,∞) es funcion convexa creciente con f(0) = 0,

f(m∑j=1

Z∗j Aj Zj) w �m∑j=1

Z∗j f(Aj)Zj . (13)

Las desigualdades (12) y (13) son las denominadas desigualdades de Bourin-Lee y representanextensiones de las desigualdades de Ando-Zhan en el sentido anteriormente descrito.

Por otro lado, la desigualdad (4) sugiere una posible extension de las desigualdades de Bourin-Lee, considerando matrices mas generales que las matrices positivas. En este sentido, Bourin [11]obtuvo los primeros resultados con respecto a extensiones al caso de matrices normales de la de-sigualdad (12), bajo ciertas restricciones sobre la clase de funciones consideradas. Poco tiempodespues, el mismo probo en [12] que esas restricciones no eran necesarias. De esta forma se ob-tiene la siguiente extension de la desigualdad (4): si g : [0,∞) → [0,∞) es una funcion concava,{Ai}mi=1 ∈ Mn(C) son matrices normales y {Zi}mi=1 ∈ Mn(C) son matrices expansivas entonces severifica

g

∣∣∣∣∣∣m∑j=1

Z∗j Aj Zj

∣∣∣∣∣∣ ≺w m∑

j=1

Z∗j g(|Aj |)Zj . (14)

Conviene observar aquı que la extension al caso de matrices normales no es inmediata y utilizatecnicas interesantes. Por otro lado, vale aclarar que en [5] se muestra que extensiones de lasdesigualdades del trabajo [1] al caso normal no son validas, aun cuando las desigualdades de [1]estan estrechamente relacionadas con las desigualdades de Ando Zhan.

Hasta aquı hemos considerado extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan con respecto ala relacion de submayorizacion. Sin embargo, este no es el unico preorden natural entre matricespositivas. De hecho, un preorden usual es el llamado preorden espectral, relacionado con las de-sigualdades autovalor a autovalor, con respecto a ordenaciones decrecientes de los autovalores delas matrices (ver la Seccion 1.2 de los Preliminares). Este preorden es estrictamente mas fuerte queel determinado por la submayorizacion (y por lo tanto menos frecuente). Sin embargo es posibleprobar que las llamadas desigualdades de concavidad, consideradas por Bourin en [10], puedendarse en terminos de este preorden. En general, y como consecuencia de (12) (tomando m = 1), severifica que dada g : [0,∞) → [0,∞) una funcion concava, A ∈ Mn(C)+ y Z ∈ Mn(C) expansivaentonces

g(Z∗AZ) ≺w Z∗ g(A)Z . (15)

En este contexto probaremos que es posible caracterizar aquellas funciones no decrecientes g :[0,∞)→ [0,∞) para las cuales se verifican las desigualdades mas fuertes

g(Z∗AZ)- Z∗ g(A)Z , (16)

para A ∈ Mn(C)+ y Z ∈ Mn(C) expansiva arbitrarias, donde - denota el preorden espectralantes mencionado.

Hemos mencionado extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan al contexto de funcionesconcavas definidas en [0,∞) a valores no negativos y matrices normales. Es natural entonces con-siderar posibles extensiones de las desigualdades al caso de matrices arbitrarias en Mn(C). Sinembargo es posible dar ejemplos sencillos en donde las formulaciones naturales de las desigualdadesno valen. En este sentido, Uchiyama [19] ha obtenido variantes mas debiles de las desigualdadesde Ando-Zhan validas para matrices arbitrarias. Finalmente, en [14] se han probado desigualdadesrelacionadas con las desigualdades de convexidad de Bourin para el caso de matrices arbitrarias,que complementamos en el caso concavo.

xii INDICE GENERAL

Descripcion de los contenidos del trabajo

La tesis esta organizada de la siguiente forma. En el capıtulo 1 (Prelimares) fijamos las nota-ciones y terminologıa del analisis matricial utilizada a lo largo del trabajo. Describimos algunoshechos basicos del analisis matricial relacionados con el concepto de norma unitariamente invari-ante, submayorizacion, preorder espectral, y funciones concavas y convexas de operadores. Hemosincluido algunas pruebas siempre que estas sean de utilidad en terminos del uso de las tecnicasinvolucradas y el desarrollo de los conceptos relacionados.

En el capıtulo 2 (Desigualdades de Ando-Zhan) desarrollamos una prueba de las desigualdadesde Ando-Zhan siguiendo las lıneas del trabajo [19] de M. Uchiyama. La ventaja con respecto a laprueba original dada en [2] es el hecho de que prescinde de la representacion integral de las funcionesconcavas de operadores en [0,∞) a valores no negativos. Ademas probamos las primeras extensioneselementales de estas desigualdades. Hacia el final de este capıtulo presentamos algunas aplicacionesde los resultados principales de Ando-Zhan. En particular obtenemos las llamadas desigualdes noconmutativas de Clarkson como en [17].

En el capıtulo 3 (Extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan) presentamos los resultadosfundamentales de los trabajos [6, 11, 12, 13, 15, 18] que extienden las desigualdades de Ando-Zhanal caso de matrices positivas y expansivas. Finalmente probamos la extension de Bourin al caso dematrices normales y funciones concavas.

En el capıtulo 4 (Desigualdades en el preorden espectral) consideramos una caracterizacion delas funciones para las cuales se tienen desigualdades de concavidad en el preorden espectral quecomplementan los resultados de [10]. Al final de este capıtulo describimos algunas aplicaciones delos resultados previamente obtenidos.

En el capıtulo 5 (Desigualdades - matrices arbitrarias) consideramos extensiones (debiles) de lasdesigualdades de Ando-Zhan y de las desigualdades de concavidad al caso de matrices arbitrariasenMn(C). Por un lado, presentamos los resultados de Uchiyama [19] con respecto a la desigualdadde subadtividad para funciones concavas. Por otro, incluimos los resultados principales de [14] conrespecto a las desigualdades de tipo Jensen (no conmutativo) y de convexidad de Bourin. Hacia elfinal del capıtulo complementamos el resultado anterior con una desigualdad de concavidad.

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo describimos algunos de los resultados del analisis matricial que seran utilizadosa lo largo del trabajo, basados en los textos [4, 7]. Hemos incluido las pruebas de algunos de estosresultados cuando estas den muestras de las tecnicas empleadas o bien, cuando las pruebas muestrenalgunos aspectos de interes relacionados con los desarrollos posteriores de este trabajo.

El capıtulo esta organizado de la siguiente forma. Comenzamos detallando las notaciones yterminologıa utilizadas en el trabajo junto con algunas nociones basicas de matrices cuadradas acoeficientes complejos. Luego consideramos la nocion de submayorizacion, que es una herramientautil al momento de establecer desigualdades en normas unitariamente invariantes entre matrices au-toadjuntas. El capıtulo termina con el estudio de las funciones convexas de operadores y monotonasde operadores. En esta seccion mas especıfica hemos incluido pruebas de varios resultados.

1.1. Hechos basicos del Analisis matricial

Notaciones y terminologıa. A lo largo del trabajo Mn,m(C) denota el C-espacio vectorial delas matrices n×m sobre C; cuando m = n escribimosMn(C). Dada A ∈Mn(C) entonces R(A) yker(A) denotan los subespacios rango (o imagen) de A y nucleo (o kernel) de A respectivamente.Si A ∈ Mn(C), σ(A) ⊂ C denota el conjunto de todos los autovalores de A. Recordemos que siA,B ∈Mn(C) entonces vale que σ(AB) = σ(BA).

Decimos que una matriz A ∈ Mn(C) es normal si A∗A = AA∗, donde A∗ es la traspuestaconjugada de la matriz A. Un resultado basico del algebra lineal prueba que las matrices normalesA son aquellas para las cuales existe una base ortonormal de Cn de autovectores de A. DadaA ∈ Mn(C) decimos que es autoadjunta si A = A∗. Al R-espacio vectorial de todas las matricesautoadjuntas en Mn(C) lo denotamos por H(n). Si A ∈ H(n), A es normal y σ(A) ⊆ R.

Decimos que A ∈Mn(C) es semidefinida positiva (o simplemente positiva) si 〈Ax, x〉 ≥ 0 paratodo x ∈ Cn, y notamos A ≥ 0. En adelante, Mn(C)+ denota el cono de matrices positivas enMn(C). En particular, A∗A ∈Mn(C)+ para toda A ∈Mm,n(C). Se puede ver que A ∈Mn(C)+ siy solo si A ∈ H(n) y todos los autovalores son numeros reales no negativos. Dadas A y B ∈ H(n),se dice que A mayora a B en el orden usual, notado A ≤ B, si 〈Ax, x〉 ≤ 〈Bx, x〉 para todo x ∈ Cn,es decir si B −A ∈Mn(C)+. Notemos que si A ∈Mn(C)+, entonces A ≤ I si y solo si λ1(A) ≤ 1.

En lo que sigue, U(n) denota el grupo de matrices unitarias en Mn(C), esto es U(n) ={U ∈Mn(C) tal que U∗U = I}. Por otro lado, Ik(n) = {U ∈Mn,k(C) : U∗U = I} denota al con-junto de isometrıas de Ck en Cn. Dadas A,B ∈Mn(C), decimos que A es unitariamente equivalentea B, notado A ∼= B, si existe una matriz U ∈ U(n) tal que A = U∗BU. En particular, si A ∈Mn(C)es una matriz normal , A ∼= D para cierta matriz diagonal D ∈ Mn(C) cuya diagonal principalcontiene los autovalores de A contando multiplicidades.

Dada A ∈ H(n), λ(A) = (λ1(A), . . . , λn(A)) ∈ Rn denota el vector de autovalores de A, con-tando multiplicidades, y tal que sus entradas estan ordenadas en forma no creciente. Dado λ ∈ Rn

1

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES

diagλ indica la matriz diagonal

diagλ =

λ1 0. . .

0 λn

.

Dada A ∈Mn(C) denotaremos por s(A) = (s1(A), . . . , sn(A)) ∈ Rn≥0 al vector de valores singulares

de A i.e. sj(A) = λj(|A|), 1 ≤ j ≤ n, donde |A| := (A∗A)1/2 es el modulo de A (ver Seccion 1.3).Una matriz V ∈Mm,n(C) se dice contractiva si V ∗V ≤ I o equivalentemente V V ∗ ≤ I. Una matrizZ ∈Mn(C) se dice expansiva si Z∗Z ≥ I o equivalentemente Z Z∗ ≥ I.

Teorema 1.1.1 (Principio del min-max). Si A ∈ H(n), el autovalor λj(A) admite la siguientecaracterizacion variacional:

λj(A) = maxM⊂Cn , dim M=j mın {〈Ax, x〉 , x ∈M , ‖x‖ = 1 } .

�Como consecuencia del teorema anterior obtenemos los siguientes resultados:

Corolario 1.1.2 (Principio de Monotonıa de Weyl). Sean A,B ∈ H(n) tales que A ≤ B. Entonces

λj(A) ≤ λj(B) , 1 ≤ j ≤ n.

�

Dada A ∈ H(n), definimos A+ = 12(A+ |A|) y A− = 1

2(|A|−A) que se denominan parte positivay parte negativa de la matriz A, respectivamente.

Corolario 1.1.3. Sea A ∈ H(n). Entonces:

1. A+ , A− ∈Mn(C)+.

2. A = A+ −A− y |A| = A+ +A−.

3. λj(A+) = max {λj(A), 0}, 1 ≤ j ≤ n.

4. λj(A−) = λj((−A)+) = max {λj(−A), 0}, 1 ≤ j ≤ n.

5. Si A = B − C con B,C ∈Mn(C)+ entonces

λj(A+) ≤ λj(B) y λj(A−) ≤ λj(C) , 1 ≤ j ≤ n.

Demostracion. Probamos solo el Item 5. (los demas son directos de la definicion). Como A = B−C,A ≤ B y −A ≤ C consecuentemente, por el Principio de monotonıa de Weyl,

λj(A) ≤ λj(B) y λj(−A) ≤ λj(C) , para 1 ≤ j ≤ n .

Ası, λj(A+) = max {λj(A), 0} ≤ λj(B) y λj(A−) = max {λj(−A), 0} ≤ λj(C), 1 ≤ j ≤ n.�

Dadas A, B ∈Mn(C) consideramos su suma directa dada por

A⊕B =[A 00 B

]∈M2n(C).

Notemos que si A ∈ H(n) entonces

sj(A) = λj(A⊕−A) , 1 ≤ j ≤ n. (1.1)

1.1. HECHOS BASICOS DEL ANALISIS MATRICIAL 3

Si A,B ∈ H(n), son tales que A ≤ B y −A ≤ B, notado ±A ≤ B, resulta

A⊕−A ≤ B ⊕B

con lo que, por el Principio de monotonıa de Weyl (Corolario 1.1.2), obtenemos

λj(A⊕−A) ≤ λj(B ⊕B) , 1 ≤ j ≤ 2n .

Como B ≥ 0, λj(B ⊕B) = sj(B ⊕B), 1 ≤ j ≤ 2n. Ası, de (1.1) resulta

±A ≤ B ⇒ sj(A) ≤ sj(B ⊕B) , 1 ≤ j ≤ n . (1.2)

Observacion 1.1.4. Cabe mencionar que la desigualdad ±A ≤ B no implica las desigualdades(fuertes)

sj(A) ≤ sj(B) , 1 ≤ j ≤ n .

De hecho, sean

A =[

0 11 0

]y B =

[2 00 1

2

]que verifican ±A ≤ B. Sin embargo, s(A) = {1, 1} , s(B) =

{2, 1

2

}con lo cual s2(A) > s2(B).

4

Si A ∈Mn(C) consideramos

A :=[

0 AA∗ 0

]∈ H(2n) .

Se puede ver que [4, proposicion 3.7.5] λ(A) = (s1(A), . . . , sn(A),−sn(A), . . . ,−s1(A)). Ademascomo A es normal

∣∣∣λ(A)∣∣∣ = s(A), salvo el orden. Observemos que los valores sigulares de A ⊕ A

son los valores sigulares de A contados dos veces. Se sigue entonces que

s(A) = (s(A)⊕ s(A))↓ = s(A⊕A). (1.3)

En lo que sigue consideraremos la descomposicion polar de una matriz: dada A ∈Mn(C) existeuna matriz unitaria U ∈ U(n) tal que

A = U |A|

es una descomposicion polar de A. Si A = U |A| es normal entonces |A| y U conmutan de formaque podemos escribir A = |A|

12 U |A|

12 , donde |A|

12 denota la raız cuadrada de |A|. Notemos que

cuando A es matriz autoadjunta −I ≤ U ≤ I y resulta

− |A| = − |A|12 I |A|

12 ≤ |A|

12 U |A|

12 ≤ |A|

12 I |A|

12 = |A| .

Es decir, si A = A∗ entonces vemos que

±A ≤ |A| .

A partir de las observaciones anteriores podemos obtener el siguiente resultado de [14] queusaremos en el Capıtulo 5. Vamos a considerar la siguiente notacion: dado x ∈ Rn, denotamospor x↓ al vector que se obtiene de disponer (permutar) las entradas de x de forma no creciente(decreciente).

Lema 1.1.5. Sean A,X, Y ∈Mn(C). Entonces

sj(X∗AY ) ≤ sj(X∗ |A∗|X ⊕ Y ∗ |A|Y ) , 1 ≤ j ≤ n . (1.4)


Demostracion. Consideremos las matrices

A =[

0 AA∗ 0

]∈ H(2n) y X =

[X 00 Y

].

De esta forma ±A ≤ |A| y luego ±X∗AX ≤ X∗|A|X. De la desigualdad (1.2) concluimos que

sj(X∗AX) ≤ sj(X∗|A|X ⊕ X∗|A|X) , 1 ≤ j ≤ 2n .

Por otro lado, de las definiciones de A y X tenemos que

X∗AX =[

0 X∗AY(X∗AY )∗ 0

]y X∗

∣∣∣A∣∣∣ X =[X∗ |A∗|X 0

0 Y ∗ |A|Y

].

De la igualdad (1.3) y la identidad X∗AX = ˜(X∗AY ) tenemos que para 1 ≤ j ≤ 2n se verifica

sj(X∗AX) = sj(X∗AY ⊕X∗AY ) ≤ sj([X∗ |A∗|X ⊕ Y ∗ |A|Y ] ⊕ [X∗ |A∗|X ⊕ Y ∗ |A|Y ]) .

El lema es una consecuencia de la desigualdad anterior junto con la siguiente observacion: si x =x↓ ∈ Rn, y = y↓ ∈ R2n son tales que (x⊕ x)↓j ≤ (y ⊕ y)↓j , 1 ≤ j ≤ 2n, entonces xj ≤ yj , 1 ≤ j ≤ n.

�

1.2. Preorden espectral y submayorizacion

En esta seccion consideramos el preorden espectral y la submayorizacion que son dos relacionesde preorden entre matrices autoadjuntas. Ambas relaciones se descrimen en terminos de los vectoresde autovalores de las matrices autoadjuntas. Estos preordenes son mas debiles que el orden usualentre matrices autoadjuntas y por lo tanto mas frecuentes. Por otro lado, tanto el preorden espectralcomo la submayorizacion estan relacionados con desigualdades con respecto a normas unitariamenteinvariantes, que son parte importante de este trabajo.

Preorden espectral

Comenzamos estableciendo la siguiente convencion: dados λ, µ ∈ Rn notamos λ ≤ µ siempreque λj ≤ µj , 1 ≤ j ≤ n.

Definicion 1.2.1. Si A,B ∈ H(n) decimos que A esta espectralmente mayorado por B si λ(A) ≤λ(B) (i.e. λj(A) ≤ λj(B), 1 ≤ j ≤ n) y lo notamos A- B.

4

Como consecuencia del Principio de Monotonıa de Weyl (Corolario 1.1.2) deducimos que dadosA, B ∈ H(n) entonces A- B si y solo si existe una matriz unitaria U ∈ U(n) tal que A ≤ U∗BU .De esta forma, vemos que A ≤ B implica que A- B, pero en general no vale la recıproca.

Recordemos que dado x ∈ Rn, denotamos por x↓ al vector que se obtiene de disponer (permutar)las entradas de x de forma no creciente (decreciente).

Lema 1.2.2. Si x, y ∈ Rn son tales que x ≤ y entonces x↓ ≤ y↓. En particular, si x, y, z, w ∈ Rn

son tales que x ≤ z, y ≤ w, entonces (x⊕ y)↓ ≤ (z ⊕ w)↓.

Demostracion. Notemos que la segunda parte del enunciado es una consecuencia inmediata de laprimera parte del lema. Probamos entonces la primer afirmacion, por induccion en el tamano n ≥ 1de los vectores.

Si n = 1 el enunciado es evidente. Sea n > 1 y supongamos que x↓1 = xk y y↓1 = yj . Sea u ∈ Rn

el vector que se obtiene de permutar las coordenadas k y j de y. Entonces

1.2. PREORDEN ESPECTRAL Y SUBMAYORIZACION 5

xj ≤ xk ≤ yk = uj y xk ≤ yk ≤ yj = uk

resulta x ≤ u. Sean x′, u′ ∈ R(n−1) los vectores que se obtienen de remover la k-esima coordenada dex y u respectivamente. Notemos que x′ ≤ u′ de forma que, por hipotesis de induccion, (x ′)↓ ≤ (u ′)↓.Entonces x↓ = (xk, (x ′)↓) ≤ (uk, (u ′)↓) = u↓ = y↓. �

Corolario 1.2.3. Si X, Y ∈Mn(C)+ entonces

λj(|X − Y |) ≤ λj(X ⊕ Y ) para 1 ≤ j ≤ n , (1.5)

o equivalentemente (|X − Y | ⊕ 0n)- (X ⊕ Y ).

Demostracion. Por el Corolario 1.1.3 vemos que

λj(X − Y )+ ≤ λj(X) y λj(X − Y )− ≤ λj(Y ) , 1 ≤ k ≤ n .

Por el Lema 1.2.2

(λ((X − Y )+)⊕ λ((X − Y )−))↓j ≤ (λ(X)⊕ λ(Y ))↓j , 1 ≤ j ≤ 2n .

Si definimos Z = X − Y entonces

(λ(Z+)⊕ λ(Z−))↓ = (λ(|Z| ⊕ 0))↓ ∈ R2n = λ(|Z|)⊕ 0n.

La desigualdad (1.5) es una consecuencia inmediata de los hechos anteriores.�

Submayorizacion y normas unitariamente invariantes

Recordemos que dado x ∈ Rn, denotamos por x↓ al vector que se obtiene de disponer (permutar)las entradas de x de forma no creciente (decreciente). En lo que sigue, dado x ∈ Cn notamostr(x) :=

∑nj=1 xj .

Definicion 1.2.4. Dados x, y ∈ Rn decimos que x esta submayorizado por y, notado x ≺w y, si

k∑j=1

x↓j ≤k∑j=1

y↓j , 1 ≤ k ≤ n .

Decimos que x esta mayorizado por y, notado x ≺ y, si x ≺w y y tr(x) = tr(y).4

La mayorizacion de vectores esta ıntimamente relacionada con ciertas desigualdades en terminosde funciones convexas de una variable. Recordemos que f : (a, b) → R se dice convexa si, dadosx, y ∈ (a, b) y λ ∈ [0, 1] se verifica

f(λx+ (1− λ) y) ≤ λ f(x) + (1− λ) f(y). (1.6)

Recordemos que una funcion g : (a, b)→ R se dice concava si −g es convexa.

Teorema 1.2.5. Sean x, y ∈ Rn. Entonces son equivalentes:

1. x ≺w y;

2. Para toda funcion convexa no-decreciente f : (a, b)→ R tal que a < xj , yj < b, 1 ≤ i ≤ n, severifica

k∑j=1

f(xj) ≤k∑j=1

f(yj) , 1 ≤ k ≤ n (1.7)

es decir, f(x) := (f(x1), . . . , f(xn)) ≺w f(y) := (f(y1), . . . , f(yn)).


Si suponemos que x ≺w y y ademas que∑n

i=1 xi =∑n

i=1 yi entonces (1.7) vale para cada f :(a, b)→ R convexa. �

Definicion 1.2.6. Si A,B ∈ H(n), decimos que A esta submayorizada (resp. mayorizada) por Bsi λ(A) ≺w λ(B) (resp. λ(A) ≺ λ(B)) , y lo notamos A ≺w B (resp. A ≺ B) .

4

Observacion 1.2.7. Como consecuencia de la definicion anterior vemos que dadas A, B ∈ H(n)entonces A ≺w B si

k∑j=1

λj(A) ≤k∑j=1

λj(B) , 1 ≤ k ≤ n.

De las relaciones elementales A ≤ B ⇒ λ(A) ≤ λ(B)⇒ λ(A) ≺w λ(B) concluimos que

A ≤ B ⇒ A- B ⇒ A ≺w B . (1.8)

Notamos que en general no valen las recıprocas de las implicaciones anteriores.4

De las observaciones anteriores vemos que para poder comparar una matriz autoadjunta A ∈H(n) con otras en terminos de la submayorizacion es necesario poder calcular

∑kj=1 λj(A) para

1 ≤ k ≤ n. El siguiente resultado nos brinda una caracterizacion variacional de estas cantidades.

Teorema 1.2.8 (Principio del Maximo de Ky Fan). Sea A ∈ H(n). Entonces

k∑j=1

λj(A) = maxk∑j=1

〈Axj , xj〉 , 1 ≤ k ≤ n

donde el maximo se toma sobre todas las k-uplas ortonormales {x1, . . . , xk} en Cn.

�

Observacion 1.2.9. El teorema anterior tambien se puede describir como la igualdad:

k∑j=1

λj(A) = maxU∈Ik(n)

trU∗AU , 1 ≤ k ≤ n ,

donde Ik(n) denota el espacio de isometrıas de Ck en Cn.

4

Definicion 1.2.10. Una norma ‖| · |‖ sobre Mn(C) es unitariamente invariante (nui), o simetrica,si ‖| V AU |‖ = ‖| A |‖ para toda A ∈Mn(C) y para todas U, V ∈ U(n).

4

Ejemplos 1.2.11. Como ejemplos de nui’s en Mn(C) podemos considerar:

1. Las normas de Ky-Fan ‖·‖(k) definidas por

‖A‖(k) =k∑j=1

sj(A) , 1 ≤ k ≤ n .

Notemos que en particular ‖A‖(1) = ‖A‖ es la norma espectral de A ∈ Mn(C) mientras que‖A‖(n) = tr(|A|) = ‖A‖1 es la llamada norma traza.

1.2. PREORDEN ESPECTRAL Y SUBMAYORIZACION 7

2. Las normas p-Schatten ‖ · ‖p definidas por

‖A‖p = (tr(A|p)1/p , 1 ≤ p <∞ .

Notemos que en particular, para p = 2 tenemos ‖A‖22 = tr(A∗A) =∑n

i, j=1 |aij |2, que estambien llamada norma Frobenius.

4

La familia de normas unitariamente invariantes es bien conocida y forma una clase importantede normas en el analisis matricial. La relacion entre las nui’s y la submayorizacion esta descriptaen el siguiente resultado fundamental.

Teorema 1.2.12 (Teorema de Dominacion de Ky Fan). Si A,B ∈Mn(C) son equivalentes:

1. ‖| A |‖ ≤ ‖| B |‖ para toda nui.

2. ‖A‖(k) ≤ ‖B‖(k) , 1 ≤ k ≤ n .

3. s(A) ≺w s(B).

�

Como una consecuencia de las implicaciones en (1.8) obtenemos el siguiente resultado.

Corolario 1.2.13. [4, corolario 5.3.10] Si A,B ∈ Mn(C)+ son tales que A- B entonces ‖| A |‖ ≤‖| B |‖ para toda nui. En particular, si A ≤ B entonces ‖| A |‖ ≤ ‖| B |‖ para toda nui.

�

Corolario 1.2.14. Sean A,B ∈ H(n) tales que ±A ≤ B. Entonces ‖| A |‖ ≤ ‖| B |‖ para toda nui.

Demostracion. Notemos que por hipotesis, si u ∈ Cn entonces |〈Au, u〉| ≤ 〈Bu, u〉. Sea {uj}nj=1 unabase ortonormal de autovectores de |A| (y en consecuencia de A) correspondiente a los autovaloresλj(|A|) - ordenados en forma no creciente. Entonces para 1 ≤ k ≤ n

k∑j=1

sj(A) =k∑j=1

λj(|A|) =k∑j=1

|〈Auj , uj〉| ≤k∑j=1

〈Buj , uj〉 ≤k∑j=1

sj(B) ,

donde la ultima desigualdad es por el Principio del Maximo de Ky Fan, Teorema 1.2.8. Aplicandoel Teorema de de Dominacion de Ky Fan queda probado el corolario.

�

Corolario 1.2.15. Sean A, B ∈Mn(C)+. Entonces ±(A−B) ≤ (A+B) y en particular

‖| A−B |‖ ≤ ‖| A+B |‖ .

�

Sea P = {P1, . . . , Ps} ⊂ H(n) un sistema de proyectores, es decir, PiPj = δij Pi, 1 ≤ i, j ≤ s y∑si=1 Pi = I. Se define la compresion a la diagonal por bloques inducida por P como

CP(A) :=s∑i=1

PiAPi , A ∈Mn(C).

Para el caso P = {P, I − P} se tiene que

CP(A) := PAP + (I − P )A(I − P ) ∈ H(n).

En particular si A =[B CD E

]yP =

[I 00 0

]son las representaciones 2×2 de A y P con

respecto a la descomposicion Cn = P (Cn)⊕ (I − P )(Cn) entonces CP(A) =[B 00 E

].


Proposicion 1.2.16. [4, Proposicion 5.4.9]. Sea P un sistema de proyectores en H(n). Entonces,para toda A ∈Mn(C) y toda nui ‖| · |‖ se verifica

‖| CP (A) |‖ ≤ ‖| A |‖ .

�

Lema 1.2.17. Sean A , B , X , Y ∈Mn(C)+ tales que A ≺w X y B ≺w Y . Entonces[A 00 B

]≺w

[X 00 Y

]o equivalentemente ∥∥∥∥∣∣∣∣ [ A 0

0 B

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∣∣∣∣ [ X 00 Y

] ∣∣∣∣∥∥∥∥para toda nui ‖| · |‖ .

Demostracion. Sea 1 ≤ k ≤ n fijo. Entonces,

k∑j=1

λj(A⊕B) = maxs+t=k

s∑j=1

λj(A) +t∑

j=1

λj(B)

.

De esta forma,

s∑j=1

λj(A) +t∑

j=1

λj(B) ≤s∑j=1

λj(X) +t∑

j=1

λj(Y ) ≤k∑j=1

λj(X ⊕ Y ) ,

lo que muestra que λ(A⊕B) ≺w λ(X ⊕ Y ).�

Lema 1.2.18. Sean A , B ∈Mn(C)+. Entonces[A 00 B

]≺[A+B 0

0 0

]. (1.9)

En particular, para toda nui ‖| · |‖ vale la desigualdad∥∥∥∥∣∣∣∣ [ A 00 B

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∣∣∣∣ [ A+B 00 0

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ .Demostracion. Sea T =

[A1/2 0B1/2 0

], entonces

T ∗T =[A+B 0

0 0

]y TT ∗ =

[A A1/2B1/2

B1/2A1/2 B

].

Usando que[A 00 B

]es una compresion a la diagonal por bloques de TT ∗, y que T ∗T ∼= TT ∗

para T ∈Mn(C), la Proposicion 1.2.16 implica que∥∥∥∥∣∣∣∣ [ A 00 B

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ ≤ ‖| TT ∗ |‖ = ‖| T ∗T |‖ =∥∥∥∥∣∣∣∣ [ A+B 0

0 0

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ .Para probar que en realidad vale la mayorizacion en (1.9) basta notar que ambas matrices tienenla misma traza.

�

1.3. FUNCIONES MONOTONAS Y CONVEXAS DE OPERADORES. 9

Finalizamos esta seccion con algunos resultados sobre la llamada log-submayorizacionque esuna relacion de preorden mas fuerte que la submayorizacion.

Definicion 1.2.19. Sean x, y ∈ R+n .Decimos que x esta log-submayorizado por y, notado x ≺wlog y,

si se verificak∏j=1

x↓j ≤k∏j=1

y↓j , 1 ≤ k ≤ n .

Dadas A, B ∈ Mn(C)+ decimos que A esta log-submayorizada por B, notado A ≺wlog B, siλ(A) ≺wlog λ(B).

4

Dadas A, B ∈Mn(C)+ entonces A ≺wlog B si

k∏j=1

λj(A) ≤k∏j=1

λj(B) , 1 ≤ k ≤ n . (1.10)

Proposicion 1.2.20. Si A,B ∈ H(n) son tales que ±A ≤ B, entonces |A| ≺wlog B.

Demostracion. Consideremos la identidad

C =[B AA B

]=

1√2

[I II −I

] [B +A 0

0 B −A

]1√2

[I II −I

].

De lo anterior concluimos que C ∼= (B + A) ⊕ (B − A) ∈ M2n(C)+. Entonces, por el [7, TeoremaIX.5.9] A = B

12KB

12 para alguna contraccion K. De esta forma, utilizando potencias alternadas

de la igualdad anterior vemos que

k∏j=1

sj(A) = ‖ ∧k A‖ = ‖ ∧k B12KB

12 ‖ = ‖ ∧k B

12 ∧k K ∧k B

12 ‖ ≤ ‖ ∧k B‖ =

k∏j=1

λj(B)

que prueba la relacion |A| ≺wlog B.�

1.3. Funciones Monotonas y Convexas de Operadores.

En lo que sigue vamos a considerar la clase de funciones convexas de operadores y monotonasde operadores. Estas clases de funciones tienen una estructura rica (rıgida) y son la base de losdesarrollos que vamos a considerar mas adelante.

Para comenzar consideramos el llamado calculo funcional en el caso de matrices autoajuntas.Dado I ⊆ R indicaremos HI(n) = {A ∈ H(n) : σ(A) ⊆ I}. Si f : I → R y A ∈ HI(n) definimosla evaluacion f(A) ∈ H(n), llamado el calculo funcional de A en f , como sigue: sea U ∈ U(n) talque A = U∗DU donde D = diag(λ1, . . . , λn) es la matriz diagonal con diagonal principal λ(A).Definimos

f(A) = U∗diag(f(λ1), . . . , f(λn))U ∈ H(n). (1.11)

Es claro que, por definicion, λ(f(A)) = f(λ(A))↓ := (f(λ1), . . . , f(λn))↓ ∈ Rn. En particular, sif : I → R es creciente entonces

A,B ∈ HI(n), A- B ⇒ f(A)- f(B) (1.12)

donde recordemos que A- B denota la relacion λ(A) ≤ λ(B) (ver Definicion 1.2.1).Como consecuencia de la definicion del calculo funcional, del Teorema 1.2.5 y del Teorema 1.2.12

deducimos el siguiente resultado que sera de utilidad en lo que sigue.


Teorema 1.3.1. Sean A, B ∈Mn(C) tales que |A|, |B| ∈ HI(n). Los siguientes son equivalentes:

1. ‖| A |‖ ≤ ‖| B |‖ para cada nui ‖| · |‖ ;

2. λ(f(|A|)) ≺w λ(f(|B|)) para cada f : I → R convexa creciente;

3. ‖| f(|A|) |‖ ≤ ‖| f(|B|) |‖ para cada nui ‖| · |‖ y cada f : I → [0,∞) convexa creciente.

�

En particular, si f : I → R es convexa y creciente en I entonces

A,B ∈ HI(n) , A ≺w B ⇒ f(A) ≺w f(B) . (1.13)

Mas aun, si suponemos que A ≺w B y ademas que tr(A) = tr(B) entonces se verifica f(A) ≺w f(B)para cada f : I → R convexa.

Como una aplicacion de los resultados anteriores notemos que si A,B ∈Mn(C)+ y f : [0,∞)→R es una funcion convexa con f(0) = 0 entonces, por el Lema 1.2.18 y el hecho de que tr(A⊕B) =tr(A+B ⊕ 0), concluimos que

‖| f(A)⊕ f(B) |‖ ≤ ‖| f(A+B)⊕ 0 |‖ para cada nui ‖| · |‖ . (1.14)

Definicion 1.3.2. Sea f : I → R una funcion. Decimos que f es monotona de operadores en I sipara todo n ∈ N y para todas A, B ∈ HI(n) se tiene que

A ≤ B ⇒ f(A) ≤ f(B).

4

Si f es una funcion monotona de operadores, tomando n = 1 en la Definicion 1.3.2, se ve que fes una funcion monotona en el sentido usual, pero no vale la recıproca (ver Ejemplos 1.3.5). Comoejemplos de funciones monotonas de operadores se pueden citar (ver [7, Cap. V]):

1. f(t) = a+ bt sobre todo intervalo I ⊂ R, a, b ∈ R, b ≥ 0.

2. f(t) = tr en I = [0,∞) para todo r ∈ [0, 1].

3. f(t) = −t−1 en I = (0,∞).

La suma y composicion (cuando este definida) de funciones monotonas de operadores es una funcionmonotona de operadores.

Definicion 1.3.3. Sea f : I → R una funcion. Decimos que f es convexa de operadores en I sipara todo n ∈ N, para todas A, B ∈ HI(n) y para todo 0 ≤ λ ≤ 1 se verifica

f(λA+ (1− λ)B) ≤ λ f(A) + (1− λ) f(B).

Diremos que g es una funcion concava de operadores si −g es convexa de operadores

4Si f es una funcion convexa de operadores, tomando n = 1 en la Definicion 1.3.3, se ve que f

resulta una funcion convexa en el sentido usual, pero no vale la recıproca (ver Ejemplos 1.3.5).

Observacion 1.3.4. Si f es una funcion continua, para verificar que es convexa de operadores essuficiente probar que para toda A,B ∈ HI(n) se verifica

f

(A+B

2

)≤ f(A) + f(B)

2.

4


Como ejemplos de funciones convexas de operadores se puede citar (ver [7, Cap. V]):

1. f(t) = a+ bt para todo a, b ∈ R y t ∈ R.

2. f(t) = t2 , t ∈ [0,∞).

3. f(t) = t−1 , t ∈ (0,∞).

La suma y composicion (cuando este definida) de funciones convexas de operadores, es funcionconvexa de operadores.

Ejemplos 1.3.5.

1. La funcion f(t) = t2 no es monotona de operadores, como se puede ver si tomamos

A =[

2 22 2

]y B =

[6 00 3

]⇒ B −A =

[4 −2−2 1

]≥ 0, λ(B −A) = (5, 0) .

En este caso tenemos que

A2 =[

8 88 8

], B2 =

[36 00 9

]⇒ B2−A2 =

[28 −8−8 1

], det(B2−A2) = 28−64 < 0 .

Ası, f(t) = t2 es una funcion monotona pero no es monotona de operadores en [0,∞).

2. Por otro lado la funcion convexa f(t) = t3, no es convexa de operadores. De hecho, si

A =[

1 11 1

]y B =

[1 00 6

]tenemos que

C =A3 +B3

2−(A+B

2

)3

=

[4 44 4

]+[

1 00 216

]2

−[

1 12

12

72

]=[

118

−132

−132

5218

]la cual no es una matriz positiva pues det(C) < 0.

4

Teorema 1.3.6. [7, Teorema V.2.3]. Sea 0 ∈ I ⊂ R un intervalo y sea f : I → R. Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. f es convexa de operadores sobre I y f(0) ≤ 0.

2. Para todos n, m ∈ N, para toda contraccion V ∈ Mn,m(C) y toda matriz A ∈ HI(n) severifica f(V ∗AV ) ≤ V ∗f(A)V .

3. Para todo n ∈ N, para toda proyeccion ortogonal P ∈ Mn(C) y toda matriz A ∈ HI(n) severifica f(PAP ) ≤ Pf(A)P .

Demostracion. 1.⇒ 2. Sea T =[A 00 0

]y sean L = (In−V V ∗)1/2 , M = (Im−V ∗V )1/2. Entonces

las matrices U1 , U2 definidas por

U1 =[V LM −V ∗

]y U2 =

[V −LM V ∗

]


son unitarias en Cm ⊕ Cn. Entonces

U∗1TU1 =[V ∗AV V ∗ALL∗AV L∗AL

], U∗2TU2 =

[V ∗AV −V ∗AL−L∗AV L∗AL

].

y [V ∗AV 0

0 L∗AL

]=U∗1TU1 + U∗2TU2

2.

Ası [f(V ∗AV ) 0

0 f(L∗AL)

]= f

(U∗1TU1 + U∗2TU2

2

)≤ f(U∗1TU1) + f(U∗2TU2)

2

=U∗1 f(T )U1 + U∗2 f(T )U2

2

=12

{U∗1

[f(A) 0

0 f(0)

]U1 + U∗2

[f(A) 0

0 f(0)

]U2

}≤ 1

2

{U∗1

[f(A) 0

0 0

]U1 + U∗2

[f(A) 0

0 0

]U2

}=

[V ∗f(A)V 0

0 L∗f(A)L

]entonces f(V ∗AV ) ≤ V ∗f(A)V .2.⇒ 3. Directo.

3.⇒ 1.Sean A, B ∈ HI(n) y sea 0 ≤ λ ≤ 1. Sea T =[A 00 B

], P =

[I 00 0

]y sea W la matriz

unitaria definida por [λ1/2I −(1− λ)1/2I

(1− λ)1/2I λ1/2I

].

Entonces

PW ∗TWP =[λA+ (1− λ)B 0

0 0

].

Luego [f(λA+ (1− λ)B) 0

0 f(0)

]= f(PW ∗TWP ) ≤ Pf(W ∗TW )P

= PW ∗f(T )WP =[λf(A) + (1− λ)f(B) 0

0 0

].

Ası, f es convexa de operadores y f(0) ≤ 0. �

El siguiente resultado vincula a las funciones concavas de operadores con las funciones monotonasde operadores bajo ciertas hipotesis sobre el dominio y el codominio de las funciones.

Teorema 1.3.7. Sea g : [0,∞)→ [0,∞) una funcion continua. Entonces las siguientes condicionesson equivalentes:

1. g es monotona de operadores en [0,∞);

2. g es concava de operadores en [0,∞) ;

3. Para todo n, m ∈ N, para cada contraccion V ∈Mn,m(C) y cada A ∈Mn(C)+ se tiene que

g(V ∗AV ) ≥ V ∗g(A)V .


�

Lema 1.3.8. [7, ej. V.2.7] Sea 0 ∈ I ⊂ R un intervalo y sea f : I → R, f(0) ≤ 0. Si A ∈ HI(n) yP ∈Mn(C)+ es proyeccion entonces

f(PAP ) ≤ Pf(PAP )P = P 2f(PAP ) = Pf(PAP ) .

�

Lema 1.3.9. [7, ej. V.2.8] Sea f : [0,∞)→ R una funcion continua. SiA ∈Mn(C)+ y P ∈Mn(C)+

es proyeccion entoncesf(A1/2PA1/2)A1/2P = A1/2Pf(PAP ) .

Demostracion. Comenzamos probando el enunciado para f(t) = tn, por induccion en n ≥ 1. Sif(t) = t, (A1/2PA1/2)A1/2P = A1/2P (PAP ). Suponiendo el resultado valido para f(t) = tn

entonces

(A1/2PA1/2)(A1/2PA1/2)nA1/2P = (A1/2PA1/2)(A1/2P )(PAP )n = A1/2P (PAP )n+1.

Por lo tanto para todo polinomio Q ∈ C[x] vale la igualdad:

Q(A1/2PA1/2)A1/2P = A1/2PQ(PAP ) .

La igualdad anterior se extiende a toda f : [0,∞) → R, eligiendo un polinomio Q ∈ C[x] quecoincida con f en σ(A1/2PA1/2) = σ(PAP ). �

Teorema 1.3.10. [7, Teorema V.2.9] Sea f : [0, α) → R una funcion continua . Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. f es convexa de operadores en [0, α) y f(0) ≤ 0.

2. La funcion g(t) = f(t)t es monotona de operadores en (0, α).

Demostracion. 1.⇒ 2. Sea 0 ≤ A ≤ B con A matriz invertible. Entonces B tambien es invertible yconjugando a ambos lados la desigualdad anterior porB−1/2 se tiene que (B−1/2A1/2)(A1/2B−1/2) ≤I. Ası B−1/2A1/2 es una contraccion. Por el Teorema 1.3.6 tenemos que

f(A) = f(A1/2B−1/2BB−1/2A1/2) ≤ A1/2B−1/2f(B)B−1/2A1/2.

Conjugando por A−1/2 a ambos lados en la desigualdad anterior se tiene

A−1/2f(A)A−1/2 ≤ B−1/2f(B)B−1/2.

y como toda funcion de una matriz autoadjunta conmuta con ella, resulta que

A−1f(A) ≤ B−1f(B),

entonces g es monotona de operadores.2. ⇒ 1. Si g(t) = f(t)

t es monotona de operadores sobre (0, α) entonces es sencillo verificar quef(0) ≤ 0.

Probaremos que f satisface la condicion 3. del Teorema 1.3.6. Sea P ∈ Mn(C) una proyeccionortogonal y sea A ∈ Mn(C)+ con espectro en (0, α). Entonces existe ε > 0 tal que (1 + ε)A tieneespectro en (0, α). Como P + εI ≤ (1 + ε)I, tenemos A1/2(P + εI)A1/2 ≤ (1 + ε)A. Entonces por lamonotonıa de g

A−1/2(P + εI)−1A−1/2f(A1/2(P + εI)A1/2) ≤ (1 + ε)−1A−1f((1 + ε)A).


Multiplicando ambos lados a la derecha por A1/2(P + εI) y a la izquierda por su conjugado seobtiene

A−1/2f(A1/2(P + εI)A1/2)A1/2(P + εI) ≤ (1 + ε)−1(P + εI)f((1 + ε)A)(P + εI).

Sea ε→ 0, entoncesA−1/2f(A1/2PA1/2)A1/2P ≤ Pf(A)P.

Usando el Lema 1.3.9 tenemos que Pf(PAP ) ≤ Pf(A)P , y usando la desigualdad del Lema 1.3.8se concluye que f(PAP ) ≤ Pf(A)P . �

Capıtulo 2

Desigualdades de Ando-Zhan

En [8] Bhatia y Kittaneh prueban la siguiente familia de desigualdades: dadas A, B ∈Mn(C)+

y una nui ‖| · |‖ entonces‖| Am +Bm |‖ ≤ ‖| (A+B)m |‖ , m ∈ N . (2.1)

Poco tiempo despues de la aparicion del trabajo [8] Ando y Zhan publican el trabajo [2] en dondecomplementan las desigualdades anteriores (ver Seccion 2.3) como sigue: dadas A, B ∈Mn(C)+ yuna nui ‖| · |‖ se verifica

‖| Ap +Bp |‖ ≤ ‖| (A+B)p |‖ , 1 ≤ p <∞ ; (2.2)

‖| Ap +Bp |‖ ≥ ‖| (A+B)p |‖ , 0 < p < 1 . (2.3)

Estas notables mejoras de los resultados anteriores son en realidad casos particulares de las sigu-ientes desigualdades de super/sub-aditividad con respecto a nui’s, llamadas desigualdades de Ando-Zhan (ver Teorema 2.1.5): si g, f : [0,∞)→ [0,∞) son funciones y A,B ∈Mn(C)+:

1. si g es concava de operadores entonces

‖| g(A+B) |‖ ≤ ‖| g(A) + g(B) |‖ ; (2.4)

2. si f es creciente, f(0) = 0, lımx→∞ f(x) = ∞ y la funcion inversa de f es monotona deoperadores entonces

‖| f(A+B) |‖ ≥ ‖| f(A) + f(B) |‖ . (2.5)

Notemos que la desigualdad (2.3) es una consecuencia hecho de que las funciones g(t) = tp, 0 < p ≤1, son concavas de operadores (ver los ejemplos despues de la Definicion 1.3.2 junto con el Teorema1.3.7) y de las desigualdades de Ando-Zhan. A su vez, las desigualdades de Ando-Zhan han sidouna herramienta util para el desarrollo de nuevas desigualdades dentro del analisis matricial (verla seccion 2.3).

En este capıtulo probamos las desigualdades de Ando-Zhan, siguiendo el enfoque desarrolladopor Uchiyama en [19] para obtener este resultado (otra prueba alternativa de la desigualdad deAndo-Zhan puede encontrarse en [5]). Este enfoque tiene la ventaja de no depender de la repre-sentacion integral de las funciones monotonas de operadores que actuan en [0,∞). En una segundaparte del capıtulo, desarrollamos las primeras extensiones - elementales - de la desigualdad de Ando-Zhan que son el punto de partida de los resultados del siguiente capıtulo. Finalmente, presentamosalgunas aplicaciones de las desigualdades de Ando-Zhan; en particular, siguiendo el desarrollo de[17], deduciremos las llamadas desigualdades de Clarkson no conmutativas.

15

16 CAPITULO 2. DESIGUALDADES DE ANDO-ZHAN

2.1. Desigualdades de Ando y Zhan

En esta seccion probamos el teorema de Ando-Zhan (ver Teorema 2.1.5), que trata sobre lasubaditividad y superaditividad con respecto a nui’s de ciertas clases de funciones que actuan sobre[0,∞).

Comenzamos recordando la definicion de la norma Frobenius ‖X‖2 para una matriz X = (xij) ∈Mm,n(C):

‖X‖2 = (tr(XX∗))12 = (tr(X∗X))

12 = (

m∑i=1

n∑j=1

|xij |2)12 .

La identidad anterior muestra que en el caso de matrices por bloques se tiene:

‖[X Y ]‖22 = ‖X‖22 + ‖Y ‖22 = ‖[X∗

Y ∗

]‖22 .

En lo que sigue vamos a necesitar las siguientes variantes de resultados en [2] (ver tambien [19]).

Lema 2.1.1. Dada C ∈ Mn(C)+, sea {vj}nj=1 una base ortonormal de autovectores correspondi-entes a los autovalores λj(C), 1 ≤ j ≤ n. Fijemos 1 ≤ k ≤ n y definamos la matrices U1, U2 dadaspor

U1 = (vn, . . . , vn−k+1) ∈Mn, k(C) y U2 = (vn−k, . . . , v1) ∈Mn, (n−k)(C) .

Entonces, para cada H ∈ H(n) se tienen las siguientes desigualdades:

‖HCU1‖2 ≤ ‖CHU1‖2 y ‖HCU2‖2 ≥ ‖CHU2‖2 .

Mas aun, si λn−k > λn−k+1 y definimos P como la proyeccion ortogonal sobre R(U1) entonces

1. ‖HCU1‖2 = ‖CHU1‖2 si y solo si (I − P )H P = 0.

2. ‖HCU2‖2 = ‖CHU2‖2 si y solo si P H (I − P ) = 0.

Demostracion. Argumentamos como en la prueba de [2, Lemma 2]. Si D1 = diag(λn, . . . , λn−k+1)y D2 = diag(λn−k, . . . , λ1) entonces, CU1 = U1D1 , CU2 = U2D2. Usando que ‖ · ‖2 es una nui yque la matriz W = [U1 U2] ∈Mn(C) es unitaria, tenemos

‖HCU1‖22 = ‖W ∗HU1D1‖22 = ‖[U∗1HU1D1

U∗2HU1D1

]‖22

= ‖U∗1HU1D1‖22 + ‖U∗2HU1D1‖22≤ ‖U∗1HU1D1‖22 + λ2

n−k+1 ‖U∗2HU1‖22

donde hemos usado la desigualdad

(U∗2HU1D1)(U∗2HU1D1)∗ = (U∗2HU1)D21(U∗2HU1)∗ ≤ λ2

n−k+1 (U∗2HU1)(U∗2HU1)∗ .

De manera similar

‖CHU1‖22 = ‖U∗1HC [U1 U2] ‖22 = ‖ [U∗1HU1D1 U∗1HU2D2] ‖22= ‖U∗1HU1D1‖22 + ‖U∗1HU2D2‖22≥ ‖U∗1HU1D1‖22 + λ2

n−k‖U∗2HU1‖22

Se tiene entonces‖HCU1‖22 ≤ ‖U∗1HU1D1‖22 + λ2

n−k+1 ‖U∗2HU1‖22 ,

y‖U∗1HU1D1‖22 + λ2

n−k ‖U∗2HU1‖22 ≤ ‖CHU1‖22 .

2.1. DESIGUALDADES DE ANDO Y ZHAN 17

Estas dos ultimas desigualdades muestran la primer desigualdad del enunciado del lema. Un argu-mento similar prueba la segunda desigualdad del enunciado del lema.

Supongamos ahora que λn−k > λn−k+1. De los calculos anteriores deducimos que ‖HCU1‖2 =‖CHU1‖2 si y solo si ‖U∗2HU1‖22 = 0. Como P = PR(U1) = U1U

∗1 e I−P = PR(U2) = U2U

∗2 tenemos

que

‖U∗2HU1‖22 = tr(U∗2HU1)(U∗2HU1)∗ = tr(U2U∗2HU1U

∗1H)

= tr((I − P )HPH) = tr((I − P )2HPH)= tr((I − P )HPH(I − P )) = ‖(I − P )HP‖22

que prueba el ıtem 1. La equivalencia en 2. se prueba de forma similar.�

Lema 2.1.2. Sean A, B ∈Mn(C)+ y sea {uj}nj=1 una base ortonormal de autovectores de A+Bcorrespondientes a los autovalores λj(A+B) = λj , 1 ≤ j ≤ n. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es una funcionno-creciente entonces valen las siguientes desigualdades: para 1 ≤ k ≤ n

k∑j=1

〈(A1/2 f(A+B)A1/2 +B1/2 f(A+B)B1/2)uj , uj〉 ≥k∑j=1

〈(A+B) f(A+B)uj , uj〉 , (2.6)

y ademas

n∑j=1

〈(A1/2 f(A+B)A1/2 +B1/2 f(A+B)B1/2)uj , uj〉 =n∑j=1

〈(A+B) f(A+B)uj , uj〉 . (2.7)

Demostracion. Sea C = A+B ∈Mn(C)+. Entonces

(A+B) f(A+B) = C f(C) = f(C)1/2 (A+B) f(C)1/2 = f(C)1/2Af(C)1/2 + f(C)1/2B f(C)1/2

de forma que basta con probar las desigualdades (1 ≤ k ≤ n)

k∑j=1

〈A1/2 f(A+B)A1/2 uj , uj〉 ≥k∑j=1

〈f(C)1/2Af(C)1/2 uj , uj〉 (2.8)

yk∑j=1

〈B1/2 f(A+B)B1/2 uj , uj〉 ≥k∑j=1

〈f(C)1/2B f(C)1/2 uj , uj〉 . (2.9)

Para 1 ≤ j ≤ n, el vector uj coincide con un autovector vn−j+1 de f(C) correspondiente aλn−j+1(f(C)) = f(λj(A+B)), puesto que f es no-creciente. Sea

U1 = (vn, . . . , vn−k+1) = (u1, . . . , uk) .

Entonces la desigualdad (2.8) es equivalente a

tr(U∗1A1/2 f(A+B)A1/2 U1) ≥ tr(U∗1 f(C)1/2Af(C)1/2 U1) . (2.10)

Aplicando el Lema 2.1.1 a A1/2 en lugar de H concluimos que

tr(U∗1A1/2 f(A+B)A1/2 U1) = ‖f(A+B)1/2A1/2U1‖22 ≥ ‖A1/2f(A+B)1/2U1‖22

= tr(U∗1 f(C)1/2Af(C)1/2 U1) ,


que prueba (2.10). Finalmente (2.9) es una consecuencia de (2.8) intercambiando los roles de A yB. Para probar la igualdad (2.7) notemos que como {uj}nj=1 son una b.o.n. de Cn entonces

n∑j=1

〈(A1/2 f(A+B)A1/2 +B1/2 f(A+B)B1/2)uj , uj〉

= tr(A1/2 f(A+B)A1/2 +B1/2 f(A+B)B1/2)= tr(Af(A+B)) + tr(B f(A+B)) = tr((A+B) f(A+B))

=n∑j=1

〈(A+B) f(A+B)uj , uj〉 .

�

Proposicion 2.1.3. Sean A, B ∈ Mn(C)+ y sea f : [0,∞)→ [0,∞) una funcion no-creciente talque t f(t) es funcion no-decreciente en [0,∞). Entonces, para toda nui ‖| · |‖ se tiene que∥∥∥∣∣∣ A1/2f(A+B)A1/2 +B1/2f(A+B)B1/2

∣∣∣∥∥∥ ≥ ‖| (A+B) f(A+B) |‖ .

Demostracion. Sea {uj}nj=1 una base ortonormal de autovectores de A+B correspondientes a losautovalores λj(A+B) = λj , 1 ≤ j ≤ n. Entonces, como t f(t) es un funcion no-decreciente se tieneque

‖(A+B) f(A+B)‖(k) =k∑j=1

〈(A+B) f(A+B)uj , uj〉 .

Por otro lado, el Principio del maximo de Ky-Fan (Teorema 1.2.8) garantiza que

‖A1/2f(A+B)A1/2+B1/2f(A+B)B1/2‖(k) ≥k∑j=1

〈(A1/2 f(A+B)A1/2+B1/2 f(A+B)B1/2)uj , uj〉

Utilizando la desigualdad del Lema 2.1.2 vemos entonces que

‖A1/2f(A+B)A1/2 +B1/2f(A+B)B1/2‖(k) ≥ ‖(A+B) f(A+B)‖(k) .

El resultado es ahora una consecuencia del Teorema de dominacion de Ky-Fan (Teorema 1.2.12).�

Como se muestra en [19] el teorema de Ando-Zhan sobre la subaditividad de funciones monotonasde operadores puede deducirse del resultado anterior.

Observacion 2.1.4. Sean C, D ∈ Mn(C)+ tales que C ≤ D. Entonces R(C) ⊆ R(D): en efecto,si x ∈ kerD entonces

0 ≤ 〈C x, x〉 ≤ 〈Dx, x〉 = 0 ⇒ C x = 0 ,

pues C ∈Mn(C)+. Ası kerD ⊆ kerC que implica R(C) = kerC⊥ ⊆ kerD⊥ = R(D). En particular,si P denota la proyeccion al rango de D entonces PC = C.

4

Teorema 2.1.5 (Ando-Zhan [2]). Sean A, B ∈Mn(C)+ y sea ‖| · |‖ una nui.

1. Si g : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion concava de operadores entonces

‖| g(A) + g(B) |‖ ≥ ‖| g(A+B) |‖ . (2.11)

2.1. DESIGUALDADES DE ANDO Y ZHAN 19

2. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion estrictamente creciente con f(0) = 0, lımx→∞ f(x) =∞y tal que su funcion inversa es concava de operadores entonces

‖| f(A) + f(B) |‖ ≤ ‖| f(A+B) |‖ . (2.12)

Demostracion. Sean A,B ∈ Mn(C)+ y supongamos que A + B es invertible. Consideramos lasmatrices C = (A+B)−1/2A1/2 y D = (A+B)−1/2B1/2. Entonces

C C∗ = (A+B)−1/2A (A+B)−1/2 ≤ (A+B)−1/2 (A+B) (A+B)−1/2 = I

lo que muestra que C es una contraccion. Analogamente, D es una contraccion y ademas se verificaque C∗(A+B)C = A y D∗(A+B)D = B. De esta forma, por el Teorema 1.3.7 concluimos que

g(A) = g(C∗(A+B)C) ≥ C∗g(A+B)C = A1/2f(A+B)A1/2 (2.13)

g(B) = g(D∗(A+B)D) ≥ D∗g(A+B)D = B1/2f(A+B)B1/2 (2.14)

donde f(t) = g(t)t , t ∈ (0,∞). De las desigualdades (2.13) y (2.14) obtenemos que

g(A) + g(B) ≥ A1/2f(A+B)A1/2 +B1/2f(A+B)B1/2 (2.15)

La desigualdad de matrices en (2.15) junto con la Observacion 1.2.7 y el Teorema de dominacionde Ky-Fan implican que

‖| g(A) + g(B) |‖ ≥∥∥∥∣∣∣ A1/2f(A+B)A1/2 +B1/2f(A+B)B1/2

∣∣∣∥∥∥ . (2.16)

Notemos ademas que f(t) es una funcion no-creciente en (0,∞) tal que t · f(t) = g(t) resulta no-decreciente: en efecto, como −g(t) : [0,∞)→ R es una funcion convexa de operadores, −g(0) ≤ 0, elTeorema 1.3.10 implica que −f(t) = −g(t)

t es una funcion monotona de operadores y, en particular,no-decreciente. Podemos aplicar entonces la Proposicion 2.1.3 y conlcuir que∥∥∥∣∣∣ A1/2f(A+B)A1/2 +B1/2f(A+B)B1/2

∣∣∣∥∥∥ ≥ ‖| (A+B) f(A+B) |‖ = ‖| g(A+B) |‖ .

La desigualdad anterior junto con la desigualdad (2.16) prueban el ıtem 1. del enunciado en el casoen que A+B ∈Mn(C)+ es invertible.

En el caso general, la Observacion 2.1.4 muestra que R(A), R(B) ⊂ R(A + B) de forma quesi consideramos la descomposicion Cn = R(A + B) ⊕ ker(A + B) entonces tenemos las siguientesrepresentaciones como matrices 2×2:

A =[A1 00 0

], B =

[B1 00 0

], A+B =

[A1 +B1 0

0 0

],

donde A1 + B1 es invertible en R(A + B). Utilizando la primera parte de la demostracion en losbloques (1, 1) tenemos que g(A1 + B1) ≺w g(A1) + g(B1). Por otro lado, como g(0) ≤ 2 g(0) elLema 1.2.17 implica que

‖| g(A+B) |‖ =∥∥∥∥∣∣∣∣ ‖ [ g(A1 +B1) 0

0 g(0)

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∣∣∣∣ [ g(A1) + g(B1) 00 2 g(0)

] ∣∣∣∣∥∥∥∥ = ‖| g(A) + g(B) |‖ .

Para la prueba de la segunda parte del enunciado, denotemos por g a la funcion inversa de f .Entonces, por la primer parte de la prueba aplicada a f(A), f(B) ∈Mn(C)+ junto con el Teorema1.2.12 vemos que

g(f(A) + f(B)) ≺w g(f(A)) + g(f(B)) = A+B (2.17)


- en este caso las matrices involucradas son positivas semidefinidas y luego sus autovalores coincidencon sus valores singulares. Si aplicamos la funcion convexa a ambos lados en la desigualdad (2.17)entonces, por el Teorema 1.3.1, tenemos que

‖| f(A) + f(B) |‖ = ‖| f(g(f(A) + f(B))) |‖ ≤ ‖| f(A+B) |‖ .

La desigualdad (2.12) es ahora una consecuencia del Teorema 1.2.12 y del hecho de que las matricesinvolucradas son positivas semidefinidas.

�

Corolario 2.1.6. Sea f : [0,∞) → [0,∞) una funcion continua, estrictamente creciente, convexade operadores y tal que f(0) = 0, lımx→∞ f(x) =∞. Entonces, para toda A,B ∈ Mn(C)+ y todanui ‖| · |‖ se tiene que

‖| f(A) + f(B) |‖ ≤ ‖| f(A+B) |‖ .

Demostracion. Sabemos que una funcion f : [0,∞)→ [0,∞) con f(0) = 0 es convexa de operadoressi y solo si f(t)/t es monotona de operadores. Entonces podemos asumir que f(t) = t g(t) siendog(t) monotona de operadores. Ası, por los resultados de [1] la funcion inversa de f(t) = t g(t) esmonotona de operadores. Aplicando la segunda parte del Teorema 2.1.5 se completa la prueba.

�

2.2. Una primera extension del teorema de Ando-Zhan

En esta seccion presentamos una primera extension de las desigualdades de subaditividad deAndo y Zhan (ver Proposicion 2.2.2). Esta extension tiene relacion con las matrices expansivas, esdecir aquellas Z ∈Mn(C) tales que Z∗Z ≥ I. Vale aclarar que en los siguientes capıtulos vamos adesarrollar extensiones de los resultados de esta seccion al caso de funciones concavas y convexasno negativas mas generales (no necesariamente de operadores).

Comenzamos considerando el siguiente resultado preliminar.

Proposicion 2.2.1. Sea A ∈Mn(C)+, Z ∈Mn(C) tal que Z∗Z ≥ I.

1. Si f : [0,∞)→ [0,∞) una funcion convexa de operadores con f(0) = 0 entonces

f(Z∗AZ) ≥ Z∗f(A)Z . (2.18)

2. Si g : [0,∞)→ [0,∞) una funcion concava de operadores. Entonces

g(Z∗AZ) ≤ Z∗g(A)Z . (2.19)

Demostracion. Notemos que como Z∗Z ≥ I, λj(Z∗Z) ≥ 1 1 ≤ j ≤ n, entonces det(Z∗Z) 6= 0 y porlo tanto Z es invertible. Multiplicando la desigualdad Z∗Z ≥ I a la izquierda por (Z−1)∗ = (Z∗)−1

y a la derecha por Z−1, tenemos que (Z−1)∗Z−1 ≤ I, es decir Z−1 es una contraccion.Sea B ∈Mn(C)+ dada por B = Z∗AZ. Por el Teorema 1.3.6

f(Z−1∗BZ−1) ≤ Z−1∗f(B)Z−1 ,

luegoZ∗f(Z−1∗BZ−1)Z ≤ f(B) .

La desigualdad anterior, junto con la identidad A = Z−1∗BZ−1 muestran la desigualdad (2.18). Ladesigualdad (2.19) se prueba con argumentos similares a los anteriores.

�

2.3. EJEMPLOS Y APLICACIONES 21

El Teorema 2.1.5 se puede ampliar para matrices positivas y matrices expansivas como semuestra en la siguiente proposicion.

Proposicion 2.2.2. Sean A,B ∈ Mn(C)+, Z1, Z2 ∈ Mn(C) matrices expansivas y sea ‖| · |‖ unanui.

1. Si g : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion concava de operadores entonces

‖| g(Z∗1AZ1 + Z∗2BZ2) |‖ ≤ ‖| Z∗1g(A)Z1 + Z∗2g(B)Z2 |‖ . (2.20)

2. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion estrictamente creciente con f(0) = 0, lımx→∞ f(x) =∞y tal que su funcion inversa es concava de operadores entonces

‖| Z∗1f(A)Z1 + Z∗2f(B)Z2 |‖ ≤ ‖| f(Z∗1AZ1 + Z∗2BZ2) |‖ . (2.21)

Demostracion. Para probar el ıtem 1. notemos que por el Teorema 2.1.5 y por la Proposicion 2.2.1tenemos que

‖| g(Z∗1AZ1 + Z∗2BZ2) |‖ ≤ ‖| g(Z∗1AZ1) + g(Z∗2AZ2) |‖

yg(Z∗1AZ1) + g(Z∗2AZ2) ≤ Z∗1g(A)Z1 + Z∗2g(B)Z2.

La ultima desigualdad en el orden usual de matrices autoadjuntas implica que

‖| g(Z∗1AZ1) + g(Z∗2AZ2) |‖ ≤ ‖| Z∗1g(A)Z1 + Z∗2g(B)Z2 |‖

de lo que se deduce la desigualdad (2.20).Para probar la segunda parte del enunciado, denotemos por g a la funcion inversa de f . Reem-

plazando A y B por f(A) y f(B) respectivamente en (2.20) tenemos la siguiente relacion entrematrices positivas

g(Z∗1f(A)Z1 + Z∗2f(B)Z2) ≺w Z∗1AZ1 + Z∗2BZ2 .

Si evaluamos f en cada miembro de la relacion anterior entonces, como f es una funcion convexay creciente, los teoremas 1.3.1 y 1.2.12 implican la desigualdad (2.21).

�

2.3. Ejemplos y Aplicaciones

Comencemos deduciendo las desigualdades (2.2) y (2.3) de la introduccion al capıtulo quegeneralizan las desigualdades de Bhatia y Kittaneh (2.1). De hecho, notemos que como la funcionf(t) = tp en [0,∞) es monotona de operadores para 0 ≤ p ≤ 1 y la funcion inversa de f(t) = tp esmonotona de operadores para 1 ≤ p <∞ el Teorema 2.1.5 muestra que

‖| Ap +Bp |‖ ≥ ‖| (A+B)p |‖ 0 < p ≤ 1 ,

y‖| Ap +Bp |‖ ≤ ‖| (A+B)p |‖ 1 ≤ p <∞ ,

para toda A,B ∈Mn(C)+ y para toda nui ‖| · |‖ .De hecho, podemos deducir un resultado mas general de la Proposicion 2.2.2. En efecto, si

{Ai}mi=1 ∈Mn(C)+ y {Zi}mi=1 ∈Mn(C) son expansivas entonces, argumentando como en el parrafoanterior deducimos que ∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i ApiZi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

(Z∗i AiZi)p

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ 0 < p ≤ 1 ,


y ∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i ApiZi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

(Z∗i AiZi)p

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ 1 ≤ p <∞ ,

para toda nui ‖| · |‖Otro ejemplo de interes lo provee la funcion f(t) = et − 1 en [0,∞). En este caso, la funcion

inversa de f esta dada por f−1(t) = log(t+1) en [0,∞) que es monotona de operadores. Ası, dadasA, B ∈Mn(C)+ y ‖| · |‖ una nui el Teorema 2.1.5 implica que

‖| log(A+ I) + log(B + I) |‖ ≥ ‖| log(A+B + I) |‖

y ∥∥∣∣ eA + eB∣∣∥∥ ≤ ∥∥∣∣ eA+B + I

∣∣∥∥ .En lo que sigue desarrollamos unos de los resultados principales del trabajo [17] a partir de lo

cual deducimos las versiones no conmutativas de las desigualdades de Clarkson.Comenzamos con el siguiente resultado preliminar.

Lema 2.3.1. Sea 0 ∈ I ⊂ R un intervalo real, A ∈ H(n) tal que σ(A) ⊂ I y x ∈ Cn con ‖x‖ ≤ 1.

1. Si g : I → R es una funcion concava con g(0) ≥ 0 entonces

〈g(A)x, x〉 ≤ g(〈Ax, x〉) .

2. Si f : I → R es una funcion convexa con f(0) ≤ 0 entonces

〈f(A)x, x〉 ≥ f(〈Ax, x〉) .

Demostracion. Probamos el primer caso pues el segundo se deduce con un argumento analogo.Sea {ei}ni=1 una bon de Cn tal que Aei = λi ei, 1 ≤ i ≤ n. Entonces x =

∑ni=1 αi ei tal que

α =∑n

i=1 |αi|2 ≤ 1. Sea β = 1− α ≥ 0 de forma que∑n

i=1 |αi|2 + β = 1. Entonces

g(〈Ax, x〉) = g(n∑i=1

|αi|2λi) = g(n∑i=1

|αi|2λi + β · 0) ≥n∑i=1

|αi|2g(λi) + β · g(0) (2.22)

donde hemos utilizado la concavidad de g para los coeficientes (|α1|2, . . . , |α1|2, β) (positivos y quesuman 1). Como g(0) ≥ 0 entonces, por la Eq. (2.22) vemos que

g(〈Ax, x〉) ≥n∑i=1

|αi|2g(λi) = 〈g(A)x, x〉 .

�

Teorema 2.3.2. Sean A,B ∈Mn(C) y sea ‖| · |‖ nui.

1. Si f : [0,∞) → [0,∞) es una funcion creciente tal que f(0) = 0 y lımx→∞ f(x) = ∞ y lafuncion inversa de g(t) = f(

√t) es monotona de operadores, entonces

2 ‖| f(|A|) + f(|B|) |‖ ≤ ‖| f(|A+B|) + f(|A−B|) |‖ ≤ 12‖| f(2 |A|) + f(2 |B|) |‖ . (2.23)

2. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es tal que g(t) = f(√t) es funcion monotona de operadores, entonces

12‖| f(2 |A|) + f(2 |B|) |‖ ≤ ‖| f(|A+B|) + f(|A−B|) |‖ ≤ 2 ‖| f(|A|) + f(|B|) |‖ . (2.24)


Demostracion. Para probar el ıtem 1, notemos que g es una funcion creciente y como g−1 es funcionmonotona de operadores, por el Teorema 1.3.7 g−1 es funcion concava. Entonces g es funcion convexade forma que, por el lema 2.3.1, para todo vector x ∈ Cn se tiene

〈(f(|A+B|) + f(|A−B|)) x, x〉 = 〈g(|A+B|2)x, x〉+ 〈g(|A−B|2)x, x〉

≥ g(〈|A+B|2 x, x〉

)+ g

(〈|A−B|2)x, x〉

)≥ 2 · g

(12

[〈|A+B|2 x, x〉 + 〈|A−B|2 x, x〉])

= 2 · g(〈(|A|2 + |B|2)x, x〉

),

donde la primer desigualdad es consecuencia del Lema 2.3.1 y la segunda desigualdad es por con-vexidad de g. Como g es una funcion creciente λj(g(|A|2+|B|2)) = g(λj(|A|2+|B|2)). Consideremos{uj}nj=1 una b.o.n. de Cn tal que (|A|2 + |B|2)uj = λj(|A|2 + |B|2)uj , 1 ≤ j ≤ n. La desigualdadanterior muestra que en este caso, para 1 ≤ k ≤ n se tiene

k∑j=1

〈(f(|A+B|) + f(|A−B|)) uj , uj〉 ≥ 2 ·k∑j=1

g(〈(|A|2 + |B|2)uj , uj〉

)= ‖2 · g(|A2|+ |B2|)‖(k) .

Ası, por el Principio del Maximo de Ky Fan (Teorema 1.2.8)

‖f(|A+B|) + f(|A−B|)‖(k) ≥ ‖2 · g(|A|2 + |B|2)‖(k)

y por el Teorema de Dominacion de Ky Fan

‖| f (|A+B|) + f (|A−B|) |‖ ≥ 2∥∥∥∣∣∣ g (|A|2 + |B|2

) ∣∣∣∥∥∥≥ 2

∥∥∥∣∣∣ g (|A|2)+ g(|B|2

) ∣∣∣∥∥∥= 2 ‖| f (|A|) + f (|B|) |‖ ,

en donde hemos utilizado la desigualdad de subaditividad de Ando-Zhan (Teorema 2.1.5). Estoprueba la primer desigualdad de (2.23). La segunda desigualdad de (2.23) se sigue reemplazandoA y B en la primera desigualdad por A+B y A−B respectivamente. La prueba para el segundoıtem es similar.

�

Observacion 2.3.3. Aplicando el ıtem 1 del Teorema 2.3.2 a f(t) = tp para 2 ≤ p < ∞ y elıtem 2 de este teorema a f(t) = tp para 0 < p ≤ 2 tenemos las siguientes desigualdades: paraA,B ∈Mn(C)

2 ‖| |A|p + |B|p |‖ ≤ ‖| |A+B|p + |A−B|p |‖ ≤ 2p−1 ‖| |A|p + |B|p |‖ 2 ≤ p <∞ (2.25)

2p−1 ‖| |A|p + |B|p |‖ ≤ ‖| |A+B|p + |A−B|p |‖ ≤ 2 ‖| |A|p + |B|p |‖ 0 ≤ p ≤ 2. (2.26)

Tomando la norma Traza en (2.25) y en (2.26) tenemos la desigualdades de Clarkson

2(‖A‖pp + ‖B‖pp

)≤ ‖A+B‖pp + ‖A−B‖pp ≤ 2p−1

(‖A‖pp + ‖B‖pp

)2 ≤ p <∞. (2.27)

2p−1(‖A‖pp + ‖B‖pp

)≤ ‖A+B‖pp + ‖A−B‖pp ≤ 2

(‖A‖pp + ‖B‖pp

)0 < p ≤ 2. (2.28)

donde ‖ · ‖p denota

‖A‖pp :=n∑j=1

spj (A) = tr(|A|p) 0 < p <∞.


Es bien sabido que ‖ · ‖p es una norma en Mn(C) para 1 ≤ p, denominada norma p-Schatten.Las desigualdades (2.27) y (2.28) describen propiedades geometricas de los espacios normados(Mn(C), ‖ · ‖p) - tipo de convexidad de sus esferas - que son de interes y tienen consecuencias enla teorıa de “mejor aproximacion” de estos espacios.

4

Capıtulo 3

Extensiones de las desigualdades deAndo-Zhan

La prueba de las desigualdades de Ando-Zhan que hemos presentado en el capıtulo anteriorusa de forma explıcita la estructura especial de las funciones concavas de operadores. Sin embargo,es natural preguntarse si la superaditividad (respectivamente subaditividad) con respecto a nui’sque hemos probado sigue valiendo para el caso mas general de una funcion convexa crecientef : [0,∞) → [0,∞) con f(0) = 0 (respectivamente de una funcion concava g : [0,∞) → [0,∞)).Esta problema aparece planteado en el trabajo [6, Conjetura 2.19] en donde Aujla y Silva pruebanun hecho clave: el conjunto C de funciones crecientes y convexas f : [0,∞) → [0,∞) con f(0) = 0para las cuales se verifican la desigualdades

‖| f(A+B) |‖ ≥ ‖| f(A) + f(B) |‖

para toda nui ‖| · |‖ es un conjunto cerrado bajo la suma, producto, composicion y lımites puntuales;en particular forma un cono cerrado bajo lımites puntuales.

Unos anos mas tarde, T. Kosem [18] prueba esta conjetura con un ingenioso argumento deaproximacion a traves de funciones convexas de operadores. Posteriormente, Bourin y Uchiyama[15] desarrollan un planteo dual para probar la correspondiente desigualdad de subaditividad parafunciones concavas con respecto a nui’s. Recientemente, Bourin y Lee [13] han probado que lasdesigualdades de la Proposicion 2.2.2 tambien son validas para funciones concavas y convexas nonegativas definidas en [0,∞).

Por otro lado, una posible extension de las desigualdades de Bourin-Lee (que a su vez extiendenlas desigualdades de Ando-Zhan) surge de considerar matrices mas generales que las matricespositivas. En este sentido, Bourin [11] obtuvo los primeros resultados con respecto a extensionesal caso de matrices normales de las desigualdades de Bourin-Lee, bajo ciertas restricciones sobrela clase de funciones consideradas. Poco tiempo despues, se probo que esas restricciones no erannecesarias [12]. Conviene observar aquı que la extension al caso de matrices normales no es inmediatay utiliza tecnicas interesantes. Por otro lado, se muestra en [5] que extensiones de las desigualdadesdel trabajo [1] al caso normal no son validas, aun cuando estas desigualdades estan estrechamenterelacionadas con las desigualdades de Ando-Zhan.

En este capıtulo presentamos los resultados fundamentales de los trabajos [6, 11, 12, 13, 15,18] en relacion a las extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan en los sentidos mencionadosanteriormente.

25

26 CAPITULO 3. EXTENSIONES DE LAS DESIGUALDADES DE ANDO-ZHAN

3.1. Extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan a funcionesmas generales

Comenzamos esta seccion con el siguiente resultado de Bourin y Lee [13] que generaliza laconjetura de superaditividad para funciones convexas de [6]. Este resultado es una extension deıtem 2 de la Proposicion 2.2.2 al caso de funciones convexas mas generales.

Aunque de forma tal vez indirecta, la tecnica desarrollada en [13] para probar este resultado (quereproducimos mas abajo) hace recordar el metodo de aproximacion original de Kosem desarrolladoen [18].

En lo que sigue usamos los siguientes hechos elementales: si f, g : [0,∞)→ [0,∞) son tales queg es concava y f es convexa con f(0) = 0 entonces tanto f como g son funciones no-decrecientes.Mas aun, en este caso f resulta continua y g es continua en (0,∞).

Proposicion 3.1.1. Sean {Ai}mi=1 ∈ Mn(C)+, {Zi}mi=1 ∈ Mn(C) matrices expansivas y sea ‖| · |‖una nui. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion convexa con f(0) = 0, entonces vale la desigualdad∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ f(

m∑i=1

Z∗i AiZi

) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i f(Ai)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Demostracion. Hacemos la prueba en el caso m = 2. El caso general se deduce con argumentossimilares. Sea C el conjunto de todas las funciones convexas f : [0,∞) → [0,∞), f(0) = 0, quesatisfacen la desigualdad de arriba para toda nui ‖| · |‖ . Veamos que C es un cono convexo. A tal fin,sean A1, A2 ∈Mn(C)+ y Z1, Z2 ∈Mn(C) como en el enunciado y sean f1, f2 ∈ C. Entonces

‖Z∗1 (f1 + f2)(A1)Z1 + Z∗2 (f1 + f2)(A2)Z2‖(k) ≤

‖Z∗1f1(A1)Z1 + Z∗2f1(A2)Z2‖(k) + ‖Z∗1f2(A1)Z1 + Z∗2f2(A2)Z2‖(k) ≤

‖f1(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)‖(k) + ‖f2(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)‖(k) =

‖(f1 + f2)(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)‖(k) ,

donde hemos utilizado la desigualdad triangular, la hipotesis sobre las funciones f1 y f2 y finalmentela definicion de las normas Ky-Fan. Como consecuencia de los hechos anteriores y el Teorema 1.2.12- y teniendo en cuenta que las matrices consideradas son semidefinidas positivas - concluimos quef1 + f2 ∈ C. Es sencillo verificar que C es cerrada bajo multiplicacion por escalares no negativos loque implica que C es un cono. Mas aun, C es cerrado bajo convergencia puntual, por las propiedadesdel calculo funcional en matrices.

Para probar que C coincide con la clase de funciones convexas f : [0,∞)→ [0,∞) con f(0) = 0,observamos que una tal funcion se puede aproximar puntualmente a traves de una combinacionlineal a coeficientes positivos de funciones angulo de la forma

γ(t) =12

(|t− a|+ t− a) = (t− a)+ , a > 0 .

Ası, para probar la proposicion, basta probar que γ ∈ C. Consideramos la funcion hr : [0,∞) →[0,∞) para r > 0 dada por

hr(t) =12

(√(t− a)2 + r + t−

√a2 + r

).

Entonces su funcion inversa, dada por

t− r/22t+

√a2 + r − a

+√a2 + r + a

2

3.1. EXTENSIONES A FUNCIONES MAS GENERALES 27

es concava de operadores, puesto que 1/t es convexa de operadores sobre [0,∞). Cuando r →0+ , hr(t) converge a γ(t) para cada t ≥ 0. Por la segunda parte del Teorema 2.2.2 vemos que cadahr ∈ C de forma que, por los hechos anteriores, γ ∈ C. �

Parece natural plantear si vale una extension del ıtem 1 de la Proposicion 2.2.2 en el caso de unafuncion concava. Como muestra la siguiente proposicion, la respuesta en este caso es afirmativa.Mas aun, este resultado admite una extension al caso de matrices normales, que desarrollaremosen la siguiente seccion.

Proposicion 3.1.2. Sean {Ai}mi=1 ∈ Mn(C)+, {Zi}mi=1 ∈ Mn(C) matrices expansivas y sea ‖| · |‖una nui. Si g : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion concava, entonces vale la desigualdad∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(

m∑i=1

Z∗i AiZi

) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i g(Ai)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Demostracion. Por un lado, notemos que es suficiente verificar el resultado para las normas Ky Fan‖ · ‖(k), 1 ≤ k ≤ n. Por otro lado, basta probar el resultado bajo la hipotesis adicional g(0) = 0. Enefecto, supongamos que el resultado es cierto bajo esta hipotesis y sea g : [0,∞)→ [0,∞) concavaarbitraria. En este caso definimos h(t) = g(t)−g(0) de forma que h : [0,∞)→ [0,∞) es una funcionconcava con h(0) = 0. Por hipotesis, para cada norma Ky Fan con 1 ≤ k ≤ n, se tiene∥∥∥∥∥g(

m∑i=1

Z∗i Ai Zi

)∥∥∥∥∥(k)

= k · g(0) +

∥∥∥∥∥h(

m∑i=1

Z∗i Ai Zi

)∥∥∥∥∥(k)

≤ m · k · g(0) +

∥∥∥∥∥m∑i=1

Z∗i h(Ai)Zi

∥∥∥∥∥(k)

≤

∥∥∥∥∥m∑i=1

Z∗i [h(Ai) + g(0) · I]Zi

∥∥∥∥∥(k)

=

∥∥∥∥∥m∑i=1

Z∗i g(Ai)Zi

∥∥∥∥∥(k)

,

en donde hemos usado el hecho de que∑m

i=1 g(0)Z∗i Zi ≥ m · g(0) · I y el principio de monotonıade Weyl (ver Corolario 1.1.2). Entonces ‖g (

∑mi=1 Z

∗i Ai Zi)‖(k) ≤ ‖

∑mi=1 Z

∗i g(Ai)Zi‖(k), 1 ≤ k ≤ n

y el resultado se verifica para g. De esta forma, asumimos que g(0) = 0.En lo que sigue, hacemos la prueba en el caso m = 2. El caso general se deduce con argumentos

similares. Sea U = [u1, . . . , uk] ∈Mn,k(C) cuyas columnas son un conjunto ortonormal de autovec-tores correspondientes a los autovalores λ1(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2) ≥ . . . ≥ λk(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2).Entonces como g es necesariamente no decreciente

‖g(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)‖(k) =k∑j=1

λj(g(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)) = tr [U∗g(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)U ] .

Por el principio del Maximo de Ky Fan se tiene la desigualdad

tr [U∗(Z∗1g(A1)Z1 + Z∗2g(A2)Z2)U ] ≤ ‖| Z∗1g(A1)Z1 + Z∗2g(A2)Z2 |‖ (k) .

Como consecuencia de las desigualdades anteriores vemos que basta con probar que

tr [U∗g(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)U ] ≤ tr [U∗(Z∗1g(A1)Z1 + Z∗2g(A2)Z2)U ] ,

que resulta equivalente a probar

tr [U∗f(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)U ] ≥ tr [U∗(Z∗1f(A1)Z1 + Z∗2f(A2)Z2)U ] , (3.1)

para toda funcion convexa −g = f : [0,∞) → (−∞, 0] decreciente, con f(0) = 0. Tales funcionesse pueden aproximar por funciones del tipo

f(t) = λ t+ h(t)


para un escalar λ < 0 y alguna funcion convexa h : [0,∞) → [0,∞), con h(0) = 0. Usando lapropiedad de linealidad de la traza se ve que basta con verificar (3.1) para h(t).

Como h es no decreciente entonces uj es tambien autovector correspondiente a λj(h(Z∗1A1 Z1 +Z∗2A2 Z2)), 1 ≤ j ≤ k. Entonces,

tr [U∗h(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)U ] =k∑j=1

λj(h(Z∗1A1 Z1 + Z∗2A2 Z2)) . (3.2)

Por la Proposicion 3.1.1 aplicada a la funcion h vemos que

k∑j=1

λj(h(Z∗1 A1 Z1 + Z∗2 A2 Z2)) ≥k∑j=1

λj(Z∗1 h(A1)Z1 + Z∗2 h(A2)Z2) , 1 ≤ k ≤ n . (3.3)

Por el Principio del maximo de Ky Fan vemos que se tiene la desigualdad

k∑j=1

λj(Z∗1 h(A)Z1 + Z∗2 h(B)Z2) ≥ tr [U∗ (Z∗1 h(A)Z1 + Z∗2 h(B)Z2)U ] . (3.4)

La desigualdad (3.1) para la funcion h es una consecuencia inmediata de las desigualdades (3.2),(3.3) y (3.4).

�

El siguiente resultado combina las dos proposiciones anteriores.

Teorema 3.1.3. Sean {Ai}mi=1 ∈ Mn(C)+, {Zi}mi=1 ∈ Mn(C) matrices expansivas y sea ‖| · |‖ unanui.

1. Si g : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion concava, entonces vale la desigualdad∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ g(

m∑i=1

Z∗i AiZi

) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i g(Ai)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

2. Si f : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion convexa con f(0) = 0, entonces vale la desigualdad∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ f

(m∑i=1

Z∗i AiZi

) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i f(Ai)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

�

Como un corolario inmediato del Teorema 3.1.3 obtenemos el resultado principal del trabajo[10] de J.C. Bourin que denominaremos desigualdad de concavidad.

Corolario 3.1.4 (Desigualdad de concavidad). Sean g : [0,∞) → [0,∞) una funcion concava,A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) expansiva. Entonces para toda nui ‖| · |‖

‖| g(Z∗AZ) |‖ ≤ ‖| Z∗g(A)Z |‖ .

�

El Corolario 3.1.4 establece, a traves del Teorema 1.2.12, la relacion g(Z∗AZ) ≺w Z∗g(A)Zdonde g : [0,∞) → [0,∞) es funcion concava y A, Z ∈ Mn(C) son tales que A ∈ Mn(C)+ y Z esexpansiva. Cabe remarcar aquı que el siguiente capıtulo esta dedicado al estudio de esta desigualdadcon respecto al preorden espectral.

3.2. EXTENSIONES A MATRICES NORMALES 29

3.2. Extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan a matricesnormales

Dada la funcion concava g : [0,∞)→ [0,∞), matrices arbitrarias {Ai}mi=1 ⊂Mn(C) y matricesexpansivas {Zi}mi=1 ⊂Mn(C) es natural considerar la siguiente posible extension de la desigualdaddel ıtem 1. del Teorema 3.1.3:∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i g(|Ai|)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ (3.5)

para una nui ‖| · |‖ arbitraria. Como veremos al comienzo del Capıtulo 5 esta desigualdad no esvalida en esta generalidad. Sin embargo, en lo que sigue probamos que la desigualdad (3.5) escierta si nos restringimos a la clase de matrices normales.

Por otro lado, vale aclarar que la extension analoga del ıtem 2. del Teorema 3.1.3∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ f

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≥

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i f(|Ai|)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

para una funcion convexa f : [0,∞)→ [0,∞), con f(0) = 0, no es valida - aun si nos restringimosal caso de matrices autoadjuntas. En efecto, basta considerar m = 2, A1 ∈ Mn(C)+, A2 = −A1

y Z1 = Z2 = I. Con estas elecciones, se debiera cumplir que 0 = ‖| f(0) |‖ ≥ 2 ‖| f(A1) |‖ que esevidentemente falsa en general.

Comenzamos a desarrollar la prueba de la desigualdad (3.5) en el caso en que Ai ∈ Mn(C) esmatriz normal, 1 ≤ i ≤ m. Para ello, primero probamos el siguiente argumento de reduccion.

Lema 3.2.1 (Reduccion al caso autoadjunto). Sea g : [0,∞)→ [0,∞) una funcion concava tal quepara {Ai}mi=1 ⊂ H(n) y {Zi}mi=1 ⊂Mn(C) matrices expansivas se verifica

g

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i AiZi

∣∣∣∣∣)≺w

m∑i=1

Z∗i g(|Ai|)Zi . (3.6)

Entonces, la relacion en (3.6) sigue siendo valida en el caso mas general de {Ai}mi=1 ⊂ Mn(C)matrices normales.

Demostracion. Sean {Ai}mi=1 ⊂ Mn(C) matrices normales. Consideramos la siguiente variante del“truco 2×2” (ver los comentarios despues de la Observacion 1.1.4). Definimos

Zi =[Zi 00 Zi

]∈M2n(C) , Ai =

[0 AiA∗i 0

]∈ H(2n) , 1 ≤ i ≤ m.

Entonces es sencillo verificar que Zi es matriz expansiva y que∣∣∣Ai∣∣∣ =[|Ai| 0

0 |A∗i |

]=[|Ai| 0

0 |Ai|

]por ser Ai matrices normales, 1 ≤ i ≤ m. Por otro lado, se tienen las relaciones

Z∗i

∣∣∣Ai∣∣∣ Zi =[Z∗i |Ai| Zi 0

0 Z∗i |Ai| Zi

]y Z∗i Ai Zi =

[0 Z∗i AiZi

Z∗i A∗iZi 0

].

De esta forma, usando la estructura de bloques y el hecho de que |C| y |C∗| son conjugados unitariospara toda C ∈Mn(C) vemos que

m∑i=1

Z∗i Ai Zi =[

0∑m

i=1 Z∗i Ai Zi∑m

i=1 Z∗i A∗i Zi 0

],

30 CAPITULO 3. EXTENSIONES DE LAS DESIGUALDADES DE ANDO-ZHAN∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣ =[|∑m

i=1 Z∗i Ai Zi| 0

0∣∣(∑m

i=1 Z∗i Ai Zi)

∗∣∣ ] ∼= [ |∑mi=1 Z

∗i Ai Zi| 0

0 |∑m

i=1 Z∗i Ai Zi|

].

Como Ai ∈ H(2n) son matrices autoadjuntas podemos aplicar la hipotesis y concluir que

g

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣)≺w

m∑i=1

Z∗i g(∣∣∣Ai∣∣∣) Zi .

Utilizando la estructura de bloques para el calculo funcional y las observaciones previas tenemos[g (|∑m

i=1 Z∗i Ai Zi|) 0

0 g (|∑m

i=1 Z∗i Ai Zi|)

]≺w

[ ∑mi=1 Z

∗i g (|Ai|) Zi 0

0∑m

i=1 Z∗i g (|Ai|) Zi

].

De lo anterior obtenemos la relacion en (3.6) para las matrices normales {Ai}mi=1, ya que si x, y ∈ Rn

son tales que (x, x) ≺w (y, y) ∈ R2n entonces x ≺w y. �

Teorema 3.2.2. Sean {Ai}mi=1 ∈Mn(C) matrices normales, {Zi}mi=1 ∈Mn(C) matrices expansivasy g : [0,∞)→ [0,∞) una funcion concava. Entonces para toda nui∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i AiZi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i g(|Ai|)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Demostracion. Por el Lema 3.2.1 y el Teorema 1.2.12, basta probar la desigualdad en el caso enque Ai ∈ H(n), 1 ≤ i ≤ m. Notemos ademas que, con un argumento analogo al de la prueba de laProposicion 3.1.2, basta probar el resultado bajo la hipotesis adicional g(0) = 0.

Usando la descomposicion en parte positiva y parte negativa Ai = Ai+ −Ai− tenemos

m∑i=1

Z∗i AiZi =m∑i=1

Z∗i Ai+Zi −m∑i=1

Z∗i Ai−Zi,

con Z∗i Ai+Zi, Z∗i Ai−Zi ∈ Mn(C)+, 1 ≤ i ≤ m. De la desigualdad (1.5) del Corolario 1.2.3 con-

cluimos que

λ

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i AiZi

∣∣∣∣∣⊕ 0n

)≤ λ

((m∑i=1

Z∗i Ai+Zi

)⊕

(m∑i=1

Z∗i Ai−Zi

)).

Como g es no decreciente y g(0) = 0 entonces vale la siguiente desigualdad en el preorden espectral

g

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i AiZi

∣∣∣∣∣)⊕ 0n- g

(m∑i=1

Z∗i Ai+Zi

)⊕ g

(m∑i=1

Z∗i Ai−Zi

). (3.7)

Por el Teorema 3.1.3 junto con el Teorema 1.2.12 tenemos que

g

(m∑i=1

Z∗i Ai+Zi

)≺w

m∑i=1

Z∗i g(Ai+)Zi y g(m∑i=1

Z∗i Ai−Zi) ≺wm∑i=1

Z∗i g(Ai−)Zi .

Por el Lema 1.2.17 concluimos que

g

(m∑i=1

Z∗i Ai+Zi

)⊕ g

(m∑i=1

Z∗i Ai−Zi

)≺w

m∑i=1

Z∗i g(Ai+)Zi ⊕m∑i=1

Z∗i g(Ai−)Zi

y por el Lema 1.2.18 se tiene

g

(m∑i=1

Z∗i Ai+Zi

)⊕ g

(m∑i=1

Z∗i Ai−Zi

)≺w

m∑i=1

Z∗i g(Ai+)Zi +m∑i=1

Z∗i g(Ai−)Zi ⊕ 0n

3.2. EXTENSIONES A MATRICES NORMALES 31

De esta ultima relacion de submayorizacion y de (3.7) vemos que se tiene que

g

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Z∗i AiZi

∣∣∣∣∣)≺w

m∑i=1

Z∗i g(Ai+)Zi + Z∗i g(Ai−)Zi =m∑i=1

Z∗i g(|Ai|)Zi .

El resultado es ahora una consecuencia de la relacion de submayorizacion anterior y del Teorema1.2.12.

�

Observacion 3.2.3. Como consecuencia del resultado anterior obtenemos una extension al casonormal de las desigualdades 2.3 de Ando y Zhan [2] como sigue: si A, B ∈ Mn(C) son matricesnormales y 0 ≤ p ≤ 1 entonces

‖| |A+B|p |‖ ≤ ‖| |A|p + |B|p |‖

para toda nui ‖| · |‖ .Otra consecuencia inmediata de la desigualdad anterior es la siguiente: si X ∈ Mn(C) y X =

A+ iB es la descomposicion en parte real e imaginaria de X, es decir A,B ∈ H(n) estan dadas por

A =X +X∗

2B =

X −X∗

2i

entonces, si g : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion concava se tiene que

‖| g(|X|) |‖ ≤ ‖| g(|A|) + g(|B|) |‖

para toda nui ‖| · |‖ . 4

En las siguientes aplicaciones del Teorema 3.2.2 consideramos el caso especial Zi = I para1 ≤ i ≤ m.

Corolario 3.2.4. Sea A = [Ai,j ]mi, j=1 una matriz en bloques con entradas normales y sea g :

[0,∞)→ [0,∞) una funcion concava. Entonces para toda nui,

‖| g(|A|) |‖ ≤

∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣

m∑i, j=1

g(|Ai,j |)

∣∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥ .

Demostracion. Hacemos la prueba para una particion en cuatro bloques. El caso de m2 bloquesadmite una prueba similar. Sea

A =[S RT Q

]y A =

[0 A

A∗ 0

].

Entonces ∣∣∣A∣∣∣ =[|A∗| 0

0 |A|

]∼=[|A| 00 |A|

].

Por otro lado A = S + R donde

S =

0 0 S 00 0 0 QS∗ 0 0 00 Q∗ 0 0

y R =

0 0 0 R0 0 T 00 T ∗ 0 0R∗ 0 0 0

son autoadjuntas. Entonces por el Teorema 3.2.2 se sigue que∥∥∥∣∣∣ g (∣∣∣A∣∣∣) ∣∣∣∥∥∥ ≤ ∥∥∥∣∣∣ g (∣∣∣S∣∣∣)+ g

(∣∣∣R∣∣∣) ∣∣∣∥∥∥


para toda nui. Esto es

g(∣∣∣A∣∣∣) ≺w

g(|S∗|) + g(|R∗|) 0 0 0

0 g(|T ∗|) + g(|Q∗|) 0 00 0 g(|S|) + g(|R|) 00 0 0 g(|R|) + g(|Q|)

. (3.8)

Por el Lema 1.2.18 deducimos las siguientes relaciones:[g(|S∗|) + g(|R∗|) 0

0 g(|T ∗|) + g(|Q∗|)

]≺[g(|S∗|) + g(|R∗|) + g(|T ∗|) + g(|Q∗|) 0

0 0

][g(|S|) + g(|R|) 0

0 g(|T |) + g(|Q|)

]≺[g(|S|) + g(|R|) + g(|T |) + g(|Q|) 0

0 0

]Aplicando el Lema 1.2.17 concluimos que

g(∣∣∣A∣∣∣) ≺w [ g(|S∗|) + g(|R∗|) + g(|T ∗|) + g(|Q∗|) 0

0 g(|S|) + g(|R|) + g(|R|) + g(|Q|)

].

Por la normalidad de S, T,Q,R, tenemos la relacion

g(|A|) ≺w g(|S|) + g(|T |) + g(|R|) + g(|Q|) ,

en donde hemos utilizado que si x, y ∈ Rn son tales que (x, x) ≺w (y, y) ∈ R2n entonces x ≺w y.Esta ultima relacion de submayorizacion es equivalente a la desigualdad en normas del enunciado,para toda nui.

�

Corolario 3.2.5. Sea A = [Ai,j ]mi, j=1 una matriz autoadjunta particionada en bloques del mismo

tamano y sea g : [0,∞)→ [0,∞) una funcion concava. Entonces para toda nui

‖| g(|A|) |‖ ≤

∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣∣

m∑i, j=1

g(|Ai,j |)

∣∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥ .

Demostracion. En la prueba del Corolario 3.2.4 se muestra que para una matriz por bloques delmismo tamano A = [Ai,j ] se tiene

g(∣∣∣A∣∣∣) =

[g(|A∗|) 0

0 g(|A|)

]≺w

[ ∑i, j g

(∣∣∣A∗i,j∣∣∣) 00

∑i, j g(|Ai,j |)

].

Como A es autoadjunta se tiene que A∗i,j = Aj,i para 1 ≤ i, j ≤ m. A partir de esto se deduce queg(|A|) ≺w

∑i, j g(|Ai,j |) como antes, lo que prueba el corolario.

�

Capıtulo 4

Desigualdades de concavidad en elpreorden espectral

En el trabajo [10] Bourin obtuvo la siguiente desigualdad (ver Corolario 3.1.4): si g : [0,∞)→[0,∞) es una funcion concava, A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) es expansiva entonces

‖| g(Z∗AZ) |‖ ≤ ‖| Z∗g(A)Z |‖ (4.1)

para toda nui ‖| · |‖ . El Teorema 1.2.12 indica que la desigualdad en (4.1) es equivalente a la relacionde submayorizacion g(Z∗AZ) ≺w Z∗g(A)Z. Un problema natural es determinar que condicionesdebe satisfacer una funcion no decreciente g : [0,∞) → [0,∞) para que valgan las desigualdadesmas fuertes

λj(g(Z∗AZ)) ≤ λj(Z∗ g(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n , (4.2)

para toda matriz A ∈ Mn(C)+ y Z ∈ Mn(C) expansiva. Es sencillo dar ejemplos de funcionesconcavas g en donde estas desigualdades en el preorden espectral - es decir, autovalor a autovalor- no son ciertas (ver Seccion 4.2). En este capıtulo obtenemos una caracterizacion de las funcionesg para las cuales valen las desigualdades en el preorden espectral (4.2) (ver Teorema 4.1.5).

Comenzamos el capıtulo probando algunos resultados basicos relacionados con la desigualdad deJensen (con respecto al preorden espectral) para matrices positivas y funciones convexas y concavasmonotonas. Como consecuencia de estos resultados obtenemos la caracterizacion de las funcionespara las cuales valen las desigualdades en (4.2). Terminamos el capıtulo con una serie de ejemplosy aplicaciones de los resultados previos.

4.1. Desigualdades de concavidad/convexidad en el preorden es-pectral

Sean f, g : [0,∞) → [0,∞) tales que f es convexa de operadores con f(0) = 0 y g es concavade operadores. Sea A ∈ Mn(C)+, Z ∈ Mn(C) una matriz expansiva y definamos V = Z−1,B = Z∗AZ. Entonces V ∈ Mn(C) es matriz contractiva, B ∈ Mn(C)+ y de los Teoremas 1.3.6, y1.3.7 tenemos las siguientes desigualdades

V ∗g(B)V ≤ g(V ∗B V ) y f(V ∗B V ) ≤ V ∗f(B)V .

En este caso podemos revertir las desigualdades de matrices anteriores y obtener (notemos queV ∗BV = A)

g(Z∗AZ) ≤ Z∗ g(A)Z y Z∗ f(A)Z ≤ f(Z∗AZ) .

En particular, por el Teorema de monotonıa de Weyl, valen las desigualdades de autovalores

λ(g(Z∗AZ)) ≤ λ(Z∗ g(A)Z) y λ(Z∗ f(A)Z) ≤ λ(f(Z∗AZ)) . (4.3)

33

34 CAPITULO 4. DESIGUALDADES EN EL PREORDEN ESPECTRAL

Las desigualdades (4.3) implican a su vez las relaciones de submayorizacion

λ(g(Z∗AZ)) ≺w λ(Z∗ g(A)Z) y λ(Z∗ f(A)Z) ≺w λ(f(Z∗AZ)) ,

que en particular prueban (4.1) en el caso especial de funciones concavas de operadores.

Una pregunta natural es si las desigualdades (4.3) valen para funciones concavas y convexasarbitrarias. El siguiente ejemplo muestra que este no es el caso.

Ejemplo 4.1.1. Consideremos las matrices A positiva y Z expansiva dadas por

A =[

54 00 3

4

]y Z =

[2 11 2

].

Tomando la funcion concava g(x) = 1− (1− x)+ se tiene que

λ2(g(Z∗AZ)) = 0, 93 > 0,85 = λ2(Z∗g(A)Z)).

4

Como consecuencia de los resultados de este capıtulo, se puede ver que las desigualdades deautovalores (4.3) tambien fallan en el caso de una funcion convexa f : [0,∞) → [0,∞), f(0) = 0,arbitraria (ver Ejemplo 4.2.3).

4.1.1. Desigualdades de Jensen en el preorden espectral

En lo que sigue desarrollamos algunos resultados necesarios para la caracterizacion de aquellasfunciones para las cuales valen las desigualdades en el preorden espectral (4.2) (ver Teorema 4.1.5).

Observacion 4.1.2. Sea I ⊂ R un intervalo real con 0 ∈ I y sea A ∈ H(n) tal que σ(A) ⊂ I. SiV ∈ Mn(C) es una contraccion entonces σ(V ∗AV ) ⊂ I. En efecto, si por ejemplo I = [a, b] cona ≤ 0 ≤ b entonces σ(A) ⊂ I implica que

a I ≤ A ≤ b I ⇒ a I ≤ a V ∗V ≤ V ∗AV ≤ b V ∗V ≤ b I .

Los otros casos se tratan de la misma forma.4

Proposicion 4.1.3. Sea 0 ∈ I ⊂ R un intervalo, A ∈ HI(n) y sea V una contraccion.

1. Si g : I → R es una funcion concava no decreciente con g(0) ≥ 0 entonces

λj(g(V ∗AV )) ≥ λj(V ∗g(A)V ) , 1 ≤ j ≤ n .

2. Si f : I → R es una funcion convexa no decreciente con f(0) ≤ 0 entonces

λj(f(V ∗AV )) ≤ λj(V ∗f(A)V ) , 1 ≤ j ≤ n .

Demostracion. Probamos el primer caso pues el segundo se deduce con un argumento analogo.Como g es no decreciente, para toda A ∈ HI(n)

λj(g(A)) = g(λj(A)) , 1 ≤ j ≤ n .

Recordemos que los autovalores λj(A) admiten la siguiente caraterizacion (ver Teorema 1.1.1)

λj(A) = maxM⊂Cn , dimM=j mın {〈Ax, x〉 , x ∈M , ‖x‖ = 1} .

4.1. DESIGUALDADES EN EL PREORDEN ESPECTRAL 35

Entonces,

λj(g(A)) = g(λj(A)) = g(maxM⊂Cn , dimM=j mın {〈Ax, x〉 , x ∈M , ‖x‖ = 1})= maxM⊂Cn , dimM=j mın {g (〈Ax, x〉) , x ∈M , ‖x‖ = 1} .

Por un lado, para g(V ∗AV ) (que esta bien definida por la Observacion 4.1.2) tenemos

λj [g(V ∗AV )] = maxdimM=jmın {g (〈V ∗AV x, x〉) , ‖x‖ = 1 x ∈M} , (4.4)

mientras que para V ∗g(A)V vale que

λj(V ∗g(A)V ) = maxdimM=jmın {〈V ∗g(A)V x, x〉 , ‖x‖ = 1 x ∈M} . (4.5)

Sea x ∈ Cn, ‖x‖ = 1 de forma que ‖V x‖ ≤ 1. Si aplicamos el Lema 2.3.1 al vector V x entonces

g(〈V ∗AV x, x〉) = g(〈AV x, V x〉) ≥ 〈g(A)V x, V x〉 = 〈V ∗g(A)V x, x〉 .

El resultado es una consecuencia de este ultimo hecho, junto con las ecuaciones (4.4) y (4.5).�

El siguiente Corolario sera utilizado en la prueba del Teorema 4.1.5.

Corolario 4.1.4. Sea 0 ∈ I ⊂ R un intervalo y sean f, g : I → R funciones continuas y nodecrecientes.

1. Si g(0) ≥ 0 entonces g es una funcion concava si y solo si

tr[g(V ∗AV )] ≥ tr[V ∗ g(A)V ] (4.6)

vale para toda A ∈ HI(n) y V ∈Mn(C) contractiva.

2. Si f(0) ≤ 0 entonces f es una funcion convexa si y solo si

tr[f(V ∗AV )] ≤ tr[V ∗ f(A)V ] (4.7)

vale para toda A ∈ HI(n) y V ∈Mn(C) contractiva.

Demostracion. Probamos el primer caso pues el segundo se deduce con un argumento analogo.Supongamos que vale la condicion (4.6) para toda A ∈ HI(n) y toda contraccion V . Consideramoslas matrices

A =[x 00 y

]y V =

[1/√

2 01/√

2 0

]donde x, y ∈ I son escalares. Entonces A ∈ HI(2) y V ∈M2(C) es contractiva. Entonces

tr[g(V ∗AV )] = g(x+ y

2) + g(0)

y

tr[(V ∗g(A)V )] =g(x) + g(y)

2+ g(0) .

De lo anterior se deduce que g es una funcion concava en I. La recıproca es una consecuencia directade la Proposicion 4.1.3.

�


4.1.2. Desigualdades de concavidad/convexidad en el preorden espectral

El siguiente es el resultado principal del capıtulo. En su enunciado utilizamos la siguientenotacion: dada una funcion f : [0,∞) → [0,∞) continua, no-decreciente y no nula definimostf ∈ [0,∞) dado por f−1(0) = [0, tf ] si f−1(0) 6= ∅ o tf = 0 si f−1(0) = ∅. Mas aun, usamos laconvencion 1/0 =∞.

Teorema 4.1.5. Sean f, g : [0,∞)→ [0,∞) funciones continuas, no decrecientes y no nulas.

1. Las desigualdadesλj(g(Z∗AZ)) ≤ λj(Z∗ g(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n (4.8)

valen para toda matriz A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) expansiva si y solo si tg = 0 y la funcionhg : (0,∞)→ (0,∞) dada por hg(x) = 1

g( 1x)

es concava.

2. Supongamos que lımx→∞ f(x) =∞. Las desigualdades

λj(f(Z∗AZ)) ≥ λj(Z∗ f(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n (4.9)

valen para toda matriz A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) expansiva si y solo si hf : (0, 1tf

)→ (0,∞)

dada por hf (x) = 1f( 1

x)

es una funcion convexa.

Demostracion. Comenzamos probando el ıtem 1. Supongamos que valen las desigualdades (4.8). Eneste caso, tomando n = 1 se verifica que g(z2 a) ≤ z2 g(a) para todo z ≥ 1 y a ≥ 0. Si suponemosque existe a > 0 tal que g(a) = 0 entonces lo anterior indica que g es identidamente nula. Enconsecuencia, tg = 0.

Notemos que por hipotesis hg es una funcion no decreciente y no negativa de forma que existehg(0) := lımx→0+ hg(x) ≥ 0. Ası, podemos considerar hg : [0,∞) → [0,∞) que resulta continua yno-decreciente.

Sean A, V ∈Mn(C) invertibles tales que A ∈Mn(C)+ y V es contractiva. De las desigualdades(4.8) se deduce que existe una matriz unitaria U tal que

g(V −1A−1V −1∗) ≤ UV −1g(A−1)V −1∗U∗ .

Tomando inversas en la desigualdad anterior concluimos que

hg(V ∗AV ) ≥ UV ∗hg(A)V U∗

y en particular se tiene que tr[hg(V ∗AV )] ≥ tr[V ∗ hg(A)V ] para el caso en queA y V son invertibles.En el caso en que la contraccion V ∈ Mn(C) o A ∈ Mn(C)+ no sean invertibles sean W la

isometrıa parcial con espacio inicial kerV y espacio final kerV ∗ y P el proyector ortogonal sobreel nucleo de A. En este caso consideramos las matrices Vε = V + εW y Aε = A + εP , para ε > 0.Con estas definiciones es sencillo verificar que Vε y Aε son invertibles y tales que

Vεε→0+

−−−→ V , Aεε→0+

−−−→ A.

De hecho, notemos que

V ∗ε Vε = (V ∗ + εW ∗) (V + εW ) = V ∗V + ε2PkerV = V ∗V + ε2Pker(V ∗V ) ,

ya que V ∗W = 0 (R(W ) = kerV ∗), W ∗V = 0, que se obtiene de adjuntar la igualdad anteriory dado que kerV = kerV ∗V . De lo anterior se ve que V ∗ε Vε es una matriz positiva invertible y‖V ∗ε Vε‖ ≤ 1 siempre que 0 < ε ≤ 1; entonces Vε es una contraccion invertible (0 < ε ≤ 1). Ademas

4.1. DESIGUALDADES EN EL PREORDEN ESPECTRAL 37

Aε ∈ Mn(C)+ es claramente invertible y tal que ‖Aε‖ = ‖A‖ siempre que 0 < ε ≤ ‖A‖. Entonces,podemos utilizar el caso anterior junto con la continuidad de hg y verificar

tr[hg(V ∗AV )] = lımε→0+

tr[hg(V ∗ε Aε Vε)] ≥ lımε→0+

tr[V ∗ε hg(Aε)Vε] = tr[V ∗ hg(A)V ] .

Por el Corolario 4.1.4 hg(x) es una funcion concava en [0,∞) (y en particular en (0,∞).Para la recıproca supongamos que A es invertible. Si hg : (0, 1

tg)→ (0,∞) es concava entonces

la funcion extendida hg : [0,∞)→ [0,∞) tambien resulta concava. Si Z es expansiva, entonces dela Proposicion 4.1.3 (notemos que hg(0) ≥ 0) tenemos que

hg(Z−1A−1Z−1∗) ≥ U∗Z−1hg(A−1)Z−1∗U

para alguna matriz unitaria U . Tomando la inversa usual de matrices concluimos que

g(Z∗AZ) ≤ U∗Z∗g(A)Z U ⇒ λj(g(Z∗AZ)) ≤ λj(Z∗g(A)Z), 1 ≤ j ≤ n .

Si A no es invertible, consideramos nuevamente la matriz invertible Aε = A+ εP , para ε > 0 dondeP denota el proyector ortogonal sobre el nucleo de A. En este caso tenemos que

λj (g(Z∗AZ)) = lımε→0+

λj (g(Z∗AεZ)) ≤ lımε→0+

λj(Z∗g(Aε)Z) = λj(Z∗g(A)Z).

Ahora consideramos la prueba del ıtem 2. Notemos que por hipotesis hf es una funcion nodecreciente no negativa y sea hf (0) := lımx→0+ hf (x) = 0. Entonces hf : [0, 1

tf) → [0,∞) resulta

continua y no decreciente. Sean A, V ∈ Mn(C) inversibles, A ∈ Mn(C)+ con espectro contenidoen (0, 1

tf) y V contractiva.

Supongamos que valen las desigualdades (4.9) entonces existe una matriz unitaria U tal que

f(V −1A−1V −1∗) ≥ UV −1f(A−1)V −1∗U∗ .

Tomando inversas en la desigualdad anterior concluimos que

hf (V ∗AV ) ≤ UV ∗hf (A)V U∗

y en particular se tiene queTr[hf (V ∗AV )] ≤ Tr[V ∗ hf (A)V ]

para el caso en que A y V son inversibles. En el caso en que V o A no sean inversibles consideramoscomo en la prueba del ıtem 1, las matrices Vε = V + εW donde W denota la isometrıa parcial conespacio inicial kerV y espacio final kerV ∗ y Aε = A+ εP , para ε > 0 donde P denota el proyector

ortogonal sobre el nucleo de A. Ası Vε y Aε son inversibles y tales que Vεε→0+

−−−→ V , Aεε→0+

−−−→ A.Entonces, por el caso anterior y la continuidad de hf

Tr[hf (V ∗AV )] = lımε→0+ Tr[hf (V ∗ε AεVε)]≤ lımε→0+ Tr[V ∗ε hf (Aε)Vε] = Tr[V ∗ hf (A)V ] .

Por el Corolario 4.1.4 hf (x) es una funcion convexa en [0, 1tf

) (y en particular en (0, 1tf

).

Para la recıproca supongamos que A es inversible y ‖A−1‖ < 1tf

. Si hf : (0, 1tf

) → (0,∞)

es convexa y no decreciente entonces la funcion extendida hf : [0, 1tf

) → [0,∞) tambien resultaconvexa y no decreciente. Si Z es expansiva, entonces (notemos que hf (0) = 0) por la Proposicion4.1.3 tenemos que

hf (Z−1A−1Z−1∗) ≤ U∗Z−1hf (A−1)Z−1∗U


para alguna matriz unitaria U . Tomando la inversa usual de matrices concluimos que

f(Z∗AZ) ≥ U∗Z∗f(A)Z U ⇒ λj(f(Z∗AZ)) ≥ λj(Z∗f(A)Z), 1 ≤ j ≤ n .

Si por el contrario ‖A−1‖ ≥ 1tf

, entonces sea S =Span{v1, . . . , vk} con

Avj = λj(A)vj , 1 ≤ j ≤ n , λk(A) > tf ≥ λk+1(A) .

Sea P = PS . Si consideramos Cn = S ⊕ S⊥ entonces

AP =(A 00 0

)⇒ ‖A−1‖ < 1

tf, f(PA) = f(A) = f(A)P.

Si Z ∈Mn(C) es una expansion entonces ZZ∗ ≥ I entonces P (ZZ∗)P ≥ P . En particular

• λj(Z∗PZ) = λj(P (ZZ∗)P ) ≥ 1 para 1 ≤ j ≤ dim(S) y

• λj(Z∗PZ) = λj(P (ZZ∗)P ) = 0 para dim(S) + 1 ≤ j ≤ n.

Puesto que dimR(Z∗PZ) = dim(S), sea U ∈ U(n) tal que U(R(P )) = R(Z∗PZ). Entonces

R(U∗(Z∗PZ)U) = R(P ) y U∗(Z∗PZ)U ≥ P

Ademas U(R(P )⊥) = U(R(P ))⊥ = R(Z∗PZ)⊥ = ker(Z∗PZ) = ker(PZ), luego PZU |S⊥ = 0i.e.

PZU =(Z 00 0

)que muestra que Z∗Z ≥ IS ,

dado que (PZU)∗(PZU) ≥ P . Si aplicamos el caso anterior a la matriz positiva A (‖A−1‖ < t−1f )

y la expansion Z actuando en S obtenemos

λj(f(Z∗(AP )Z)) = λj(f [(U∗Z∗P )A (P Z U)])

= λj((f(Z∗AZ) 0

0 0

)) ≥ λj(

(Z∗f(A)Z 0

0 0

))

= λj(U∗Z∗f(A)Z U) = λj(Z∗f(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n ,

donde hemos usado que f(PA) = f(A) = f(A)P = P f(A)P . Finalmente, como A ≥ AP entonces

λj(f(Z∗AZ)) ≥ λj(f(Z∗(AP )Z)) ≥ λj(Z∗f(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n ,

por monotonıa de Weyl y del hecho de que f es no-decreciente.Si A no es inversible, consideramos la matriz inversible Aε = A+εP , para ε > 0 donde P denota

el proyector ortogonal sobre el nucleo de A, y tenemos

λj (f(Z∗AZ)) = lımε→0+

λj (f(Z∗AεZ)) ≥ lımε→0+

λj(Z∗f(Aε)Z) = λj(Z∗f(A)Z).

�

4.2. Ejemplos y aplicaciones

A continuacion damos una prueba sencilla del Lema 3.4 en [9].

Corolario 4.2.1 (Lema 3.4 [9]). Sean A, Z ∈ Mn(C) tales que A es positiva y Z es expansiva ysea β ∈ R≥0. Entonces

λj((Z∗AZ − β I)+) ≥ λj(Z∗(A− β I)+ Z) , 1 ≤ j ≤ n ,

donde x+ denota la funcion “parte positiva” de x ∈ R.


Demostracion. Para probar el lema calculamos la funcion hf (x) : (0, 1β ) → (0,∞) asociada a

f(x) = (x − β)+ (como en el Teorema 4.1.5). En este caso se tiene que lımx→∞ f(x) = ∞ yhf (x) = x

1−βx , x ∈ (0, 1β ) que es una funcion convexa de forma que el corolario es una consecuencia

del ıtem 2 del Teorema 4.1.5.�

Los siguientes ejemplos muestran otras consecuencias del Teorema 4.1.5.

Ejemplo 4.2.2. Consideremos la funcion concava g : [0,∞)→ [0,∞) dada por

g(x) = α− (α− β x)+

para α, β > 0. Si hg(x) = 1/g(1/x) entonces

hg(x) =1α

si 0 < x ≤ β

αy hg(x) =

x

βsi

β

α≤ x

que es una funcion convexa (y no concava). Esto muestra que hay familias de funciones concavaspara las cuales no valen las desigualdades

λj(g(Z∗AZ)) ≤ λj(Z∗ g(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n .

Sin embargo, como g es concava, valen las desigualdades (4.1) para toda nui. Por el teorema dedominacion de Ky-Fan, estas desigualdades son equivalentes a la submayorizacion λ(g(Z∗AZ)) ≺wλ(Z∗g(A)Z) es decir,

k∑i=1

λi(g(Z∗AZ)) ≤k∑i=1

λi(Z∗g(A)Z) , 1 ≤ k ≤ n ,

para A, Z ∈Mn(C) con A positiva y Z expansiva arbitrarias.Si suponemos que ademas valen las desigualdades (4.9) (ya que hg es una funcion convexa)

entonces deducimos que λ(g(Z∗AZ)) = λ(Z∗g(A)Z), para A y Z como antes, hecho que es falso.Esto muestra que la hipotesis lımx→∞ f(x) = ∞ no puede removerse en el ıtem 2 en el Teorema4.1.5 (notemos que en nuestro caso, si bien hg es convexa se tiene que lımx→∞ g(x) = α).

4

El siguiente ejemplo muestra que las desigualdades en preorden espectral no son validas paratoda funcion convexa creciente.

Ejemplo 4.2.3. Consideremos la funcion convexa f : [0,∞)→ [0,∞) dada por

f(x) = 1 + (x− 2)+ .

En este caso lımx→∞ f(x) =∞. Si hf (x) = 1/f(1/x) entonces

hf (x) =x

1− xsi 0 ≤ x ≤ 1

2y hf (x) = 1 si

12≤ x

que es una funcion no convexa y no concava. Por el Teorema 4.1.5 vemos que las desigualdades

λj(f(Z∗AZ)) ≥ λj(Z∗f(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n ,

no valen para toda funcion convexa creciente.4


Observacion 4.2.4. Si f : [0,∞) → [0,∞) con f(0) = 0 es tal que la funcion asociada hf esconvexa es natural considerar el caso en el que se verifica la desigualdad de matrices

f(Z∗AZ) ≥ Z∗f(A)Z , (4.10)

para toda matriz A positiva y Z expansiva. Es evidente que en este caso valen las desigualdades

λj(f(Z∗AZ)) ≥ λj(Z∗ f(A)Z) , 1 ≤ j ≤ n .

Pero si vale la desigualdad (4.10) se obtiene la desigualdad f(V ∗AV ) ≤ V ∗f(A)V para toda matrizA positiva y V contractiva, lo que implica que f es convexa de operadores por el Teorema 1.3.6.

4

De hecho, se puede probar el siguiente resultado relacionado con la observacion anterior.

Proposicion 4.2.5. [9, proposicion 3.11] Sea f : [0,∞)→ [0,∞) una funcion uno a uno continuacon f(0) = 0 y f(∞) =∞. Entonces f(t) es convexa de operadores si y solo si la funcion asociadahf (t) = 1

f( 1t)

es convexa de operadores.

Demostracion. Supongamos primero que f(t) es convexa de operadores. Sean A ∈ Mn(C)+, V ∈Mn(C) con ‖V ‖ ≤ 1, y asumamos que A y V son invertibles. Si B = (V ∗AV )−1 ∈ Mn(C)+

entonces, como V es contractiva, el Teorema 1.3.6 muestra que

f(V B V ∗) ≤ V f(B)V ∗ ⇒ (f(V B V ∗))−1 ≥ (V ∗)−1(f(B))−1V −1

La desigualdad anterior es equivalente a

(f(B))−1 ≤ V ∗(f(V B V ∗))−1V ⇒ (f [(V ∗AV )−1])−1 ≤ V ∗(f(A−1)−1V .

Luego se cumple que h(0) = 0 yhf (V AV ∗) ≤ V hf (A)V ∗

es decir hf es convexa de operadores por el Teorema 1.3.6.Si A o V no son invertibles argumentamos como el la prueba del Teorema 4.1.5. De hecho,

consideramos las matrices Vε = V + εW donde W denota la isometrıa parcial con espacio inicialkerV y espacio final kerV ∗ para ε > 0 y Aε = A+ εP , donde P denota el proyector ortogonal sobreel nucleo de A. entonces Vε y Aε son invertibles y Vε → V , Aε → A cuando ε → 0+. Usando lacontinuidad de hf se verifica que

hf (V ∗AV ) ≤ V ∗hf (A)V

Recıprocamente, si h(t) = 1f( 1

t)

entonces h(0) = 0, h(∞) = ∞ continua uno a uno sobre [0,∞) y

de la primera parte 1h( 1

t)

= f(t) es convexa de operadores.�

En siguiente ejemplo muestra una funcion f en donde vale la desigualdad en el preorden espectralque no es convexa de operadores.

Ejemplo 4.2.6. Sea f : [0,∞)→ [0,∞) dada por f(x) = x3. Hemos visto que f no es convexa deoperadores. Ası, por el Teorema 1.3.6 y la Observacion 4.2.4, la desigualdad de matrices (4.10) novale para para toda matriz A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) expansiva; pero hf (x) = x3 lo cual muestraque, sin embargo, valen las desigualdades

λj((Z∗AZ)3) ≥ λj(Z∗A3Z) , 1 ≤ j ≤ n ,

para toda matriz A ∈Mn(C)+ y Z ∈Mn(C) expansiva.4

Capıtulo 5

Desigualdades de concavidad yconvexidad para matrices arbitrarias

En el capıtulo 3 hemos probado extensiones de las desigualdades de Ando-Zhan al contextode funciones concavas definidas en [0,∞) a valores no negativos y matrices normales. Es naturalconsiderar posibles extensiones de las desigualdades al caso de matrices arbitrarias en Mn(C). Sinembargo es posible dar ejemplos sencillos en donde las formulaciones naturales de las desigualdadesno valen.

En este capıtulo desarrollamos variantes mas debiles de las desigualdades de Ando-Zhan validaspara matrices arbitrarias. Ademas incluimos una desigualdad de tipo Jensen no conmutativa (ver laObservacion 5.2.3 para mas detalles sobre la terminologıa) valida para matrices arbitrarias. De estaforma concluimos la descripcion de los resultados relacionados con las desigualdades anteriores.

El capıtulo esta organizado como sigue. Comenzamos con una serie de ejemplos que muestranque las versiones de las desigualdades de Ando-Zhan para matrices normales no son ciertas paramatrices arbitrarias enMn(C). Luego indicamos algunos resultados mas debiles que siguen valiendoen este contexto general, obtenidos por Uchiyama en [19]. A continuacion describimos algunos delos resultados principales obtenidos en el trabajo reciente de Bourin, Hirzallah y Kittaneh [14]para funciones convexas. Hemos incluidos versiones similares correspondientes al caso concavo quecomplementan los resultados de [14].

5.1. Subaditividad de funciones concavas en Mn(C)

Dada la funcion concava g : [0,∞) → [0,∞), matrices normales {Ai}mi=1 ⊂ Mn(C) y matricesexpansivas {Zi}mi=1 ⊂ Mn(C) el Teorema 3.2.2 establece la siguiente extension de la desigualdaddel ıtem 1. del Teorema 3.1.3:∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i g(|Ai|)Zi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ (5.1)

para una nui ‖| · |‖ .Una cuestion natural es establecer si la desigualdad en (5.1) es valida para matrices {Ai}mi=1 ⊂

Mn(C) arbitrarias. Los siguientes ejemplos muestran que este no es el caso.

Ejemplo 5.1.1. Existen funciones g : [0,∞)→ [0,∞) concavas para las cuales la desigualdad

‖| g(|A+B|) |‖ ≤ ‖| g(|A|) + g(|B|) |‖ (5.2)

no vale en el caso general de matrices A, B ∈Mn(C). En efecto, sean

A =[

1 01 0

], B =

[0 10 1

]41

42 CAPITULO 5. DESIGUALDADES - MATRICES ARBITRARIAS

y g : [0,∞)→ [0,∞) dada por g(t) = 2− (2− t)+, que es una funcion concava.

Entonces |A| =[ √

2 00 0

], |B| =

[0 00√

2

]y |A+B| =

[2 22 2

] 12

= U∗[

2 00 0

]U, donde U

es una matriz unitaria.

g(|A|) = |A| , g(|B|) = |B| , g(|A+B|) = |A+B|

luego2 = ‖g(|A+B|)‖(1) > ‖g(|A|) + g(|B|)‖(1) =

√2.

Por lo tanto no vale la desigualdad (5.2). 4

Ejemplo 5.1.2. Existen funciones g : [0,∞)→ [0,∞) concavas y Z matrices expansivas tales quela desigualdad

‖| g(|Z∗AZ|) |‖ ≤ ‖| Z∗g(|A|)Z |‖ (5.3)

no vale en el caso general A, B ∈Mn(C). En efecto, sean

A =[

1 01 0

]y Z =

[2 11 2

].

Entonces |A| =[ √

2 00 0

]. Si consideremos f(t) = t tenemos que

|Z∗AZ| =[

72 3636 18

] 12

= U

[ √90 00 0

]U∗,

y

Z∗ |A|Z =[

4√

2 2√

22√

2√

2

]= U

[5√

2 00 0

]U∗ .

De las ecuaciones anteriores vemos que

λ1(|Z∗AZ|) =√

90 > 5√

2 = λ1(Z∗ |A|Z) .

4

Sin embargo es posible dar un resultado positivo en este contexto, que resulta mas debil quelos que hemos considerado hasta ahora.

Teorema 5.1.3. Sea g : [0,∞) → [0,∞) una funcion concava y {Ai}mi=1 ⊂ Mn(C) matricesarbitrarias. Entonces ∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Ai

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

m∑i=1

‖| g(|Ai|) |‖ , (5.4)

para toda ‖| · |‖ nui.

Demostracion. Consideramos la siguiente desigualdad de R.C. Thompson asociada con la de-sigualdad triangular ([7, Pagina 74]) que es bien conocida en el contexto del analisis matricial:si {Ai}mi=1 ∈Mn(C) entonces existen matrices unitarias {Ui}mi=1 ⊂ U(n) tales que∣∣∣∣∣

m∑i=1

Ai

∣∣∣∣∣ ≤m∑i=1

U∗i |Ai|Ui .

5.2. DESIGUALDADES DE CONCAVIDAD Y DE TIPO JENSEN 43

Por el principio de monotonıa de Weyl y por el hecho de que g es una funcion no decrecienteconcluimos la siguiente desigualdad (en el preorden espectral)

g

(∣∣∣∣∣m∑i=1

Ai

∣∣∣∣∣)- g

(m∑i=1

U∗i |Ai|Ui

).

Si utilizamos el hecho de que la desigualdad anterior implica una relacion de submayorizacion, juntocon el ıtem 1 del Teorema 3.1.3 vemos que∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Ai

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ g(

m∑i=1

U∗i |Ai|Ui

) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

g(U∗i |Ai|Ui)

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

U∗i g(|Ai|)Ui

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

m∑i=1

‖| g(|Ai|) |‖ .

�

Observacion 5.1.4. Sea g : [0,∞) → [0,∞) una funcion concava y {Ai}mi=1 ⊂ Mn(C) matricesarbitrarias y {Zi}mi=1 ∈ Mn(C) matrices expansivas. El resultado anterior (aplicado a las matricesZ∗i Ai Zi) garantiza ∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ g(∣∣∣∣∣

m∑i=1

Z∗i Ai Zi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

m∑i=1

‖| g(|Z∗i Ai Zi|) |‖ .

Sin embargo, el Ejemplo 5.1.2 indica que la desigualdad anterior no se puede mejorar (en el sentidodel Teorema 3.1.3) con la comparacion (termino a termino) de las cantidades ‖| g(|Z∗i Ai Zi|) |‖ y‖| Z∗i g(|Ai|)Zi |‖ , 1 ≤ i ≤ m .

5.2. Desigualdades de concavidad y de tipo Jensen

En esta seccion probamos el Teorema 5.2.4 que establece una desigualdad que puede considerarseuna extension no conmutativa de la desigualdad escalar de Jensen (ver la Observacion 5.2.3 para masdetalles sobre la terminologıa). Luego probamos el Teorema 5.2.6 que es el resultado principal delTrabajo [14] sobre funciones convexas. Finalizamos la seccion con el Teorema 5.2.8 que complementaal anterior, para el caso de funciones concavas (que se basa parcialmente en los desarrollos delCapıtulo 4). Los resultados anteriores se ejemplifican considerando funciones del tipo h(x) = xp,0 < p.

Comenzamos probando los siguientes resultados preliminares que aparecen en [14].

Lema 5.2.1. Sean A,B ∈ H(n) tal que ±A ≤ B y f : [0,∞) → [0,∞) una funcion creciente talque h(t) = f(et) sea convexa . Entonces vale la desigualdad

‖| f(|A|) |‖ ≤ ‖| f(B) |‖ ,

para toda nui.

Demostracion. Hacia el final de la seccion 1.2 hemos probado que si ±A ≤ B, entonces |A| ≺wlog B.Ası

k∑j=1

log(λj(|A|)) ≤k∑j=1

log(λj(B)) , 1 ≤ k ≤ n .

Como h(t) = f(et) es una funcion convexa y creciente las desigualdades anteriores implicanf(|A|) ≺w f(B). En efecto, por hipotesis log(λ(|A|)) ≺w log(λ(B)) con lo que

f(λ(A)) = h(log[λ(|A|)]) ≺w h(log[λ(B)]) = f(λ(B)) .


El lema es ahora una consecuencia inmediata de 1.2.12.�

Lema 5.2.2. Sea f : [0,∞) → [0,∞) una funcion creciente tal que f(et) una funcion convexa. Siconsideramos matrices A ∈Mn(C) y X, Y ∈Mn, p(C) entonces

‖| f(|X∗AY |)⊕ f(|X∗AY |) |‖ ≤ ‖| f(X∗ |A∗|X)⊕ f(Y ∗ |A|Y ) |‖

para toda nui ‖| · |‖ .

Demostracion. Sean

A =[

0 AA∗ 0

]∈M2n(C) y X =

[X 00 Y

]∈M2n, 2p(C).

Luego se verifica que∣∣∣X∗AX∣∣∣ =[|X∗AY | 0

0 |(X∗AY )∗|

]y X∗

∣∣∣A∣∣∣ X =[X∗ |A∗|X 0

0 Y ∗ |A|Y

].

Como ±X∗A∗X ≤ X∗∣∣∣A∣∣∣ X, por el Lema 5.2.1 vemos que

∥∥∥∣∣∣ f(∣∣∣X∗AX∣∣∣) ∣∣∣∥∥∥ ≤ ∥∥∥∣∣∣ f(X∗

∣∣∣A∣∣∣ X)∣∣∣∥∥∥ . Por

lo tanto‖| f(|X∗AY | ⊕ |(X∗AY )∗|) |‖ ≤ ‖| f(X∗ |A∗|X ⊕ Y ∗ |A|Y ) |‖ .

El lema es una consecuencia de la desigualdad anterior y el hecho de que X∗AY y (X∗AY )∗ tienenlos mismos valores singulares.

�

Observacion 5.2.3. Dada una funcion convexa f : (a, b) → R entonces la desigualdad de Jensenestablece que dados {xj}mj=1 ⊂ [0, 1] tales que

∑mj=1 xj = 1 y dados {ai}mi=1 ⊂ (a, b) entonces vale

la desigualdad

f(m∑i=1

xi ai) ≤m∑i=1

xi f(ai) ,

conocida como desigualdad (escalar) de Jensen. En este contexto los coeficientes {xj}mj=1 son de-nominados coeficientes para una combinacion convexa.

La desigualdad (escalar) de Jensen tiene diferentes extensiones al caso de operadores autoad-juntos. De hecho, las extensiones se describen formalmente mediante la siguiente desigualdad: da-dos {Xj}mj=1 ⊂ Mn(C) tales que

∑mj=1X

∗j Xj = I y {Aj}mj=1 ∈ H(n) tales que σ(Aj) ⊂ (a, b),

1 ≤ j ≤ m, entonces

f(m∑j=1

X∗j Aj Xj) ∝m∑j=1

X∗j f(Aj)Xj (5.5)

donde ∝ denota algun (pre)-orden entre matrices autoadjuntas e.g. submayorizacion, preordenespectral, orden usual (ver [3] y sus referencias para mas detalles). Las desigualdades como en(5.5) son denominadas de tipo no-conmutativo; las matrices {X∗i (·)Xi}mi=1 son el analogo (noconmutativo) de los coeficientes para una combinacion convexa.

4

Teorema 5.2.4 (Desigualdad de tipo Jensen no conmutativa). Sea f : [0,∞)→ [0,∞) una funcionconvexa y creciente. Consideremos las matrices Ai ∈Mn(C) y Xi, Yi ∈Mn,p, 1 ≤ i ≤ m, tales que∑m

i=1X∗iXi =

∑mi=1 Y

∗i Yi = I. Entonces para toda nui ‖| · |‖ vale la desigualdad∥∥∥∥∥

∣∣∣∣∣ f(∣∣∣∣∣

m∑i=1

X∗i AiYi

∣∣∣∣∣)⊕ f

(∣∣∣∣∣m∑i=1

X∗i AiYi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

X∗i f(|A∗i |)Xi ⊕m∑i=1

Y ∗i f(|Ai|)Yi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .


Demostracion. Notemos que con un argumento similar al descrito al comienzo de la prueba de laProposicion 3.1.2, basado en el hecho de que

∑mi=1X

∗iXi =

∑mi=1 Y

∗i Yi = I, basta probar el teorema

bajo la hipotesis adicional f(0) = 0. Asumimos entonces que f(0) = 0.Consideremos las matrices

A =

A1 0. . .

0 Am

∈Mn·m(C) , X =

X1...Xm

∈Mn·m, p(C) y Y =

Y1...Ym

∈Mn·m, p(C) .

Por hipotesis tenemos que

X∗X =m∑i=1

X∗iXi = I , Y ∗Y =m∑i=1

Y ∗i Yi = I y X∗AY =m∑i=1

X∗i Ai Yi .

En particular X, Y son contracciones. Como consecuencia del Lema 5.2.2 concluimos que

‖| f(|X∗AY |)⊕ f(|X∗AY |) |‖ ≤ ‖| f(X∗ |A∗|X)⊕ f(Y ∗ |A|Y ) |‖ . (5.6)

Por otro lado, como X, Y con contracciones, la Proposicion 4.1.3 implica que

λ(f(X∗ |A∗|X)) ≤ λ(X∗ f(|A∗|)X) y λ(f(Y ∗ |A∗|Y )) ≤ λ(Y ∗ f(|A∗|)Y ) .

Las desigualdades anteriores y el Lema 1.2.2 implican que

λ(f(X∗ |A∗|X)⊕ f(Y ∗ |A|Y )) ≤ λ(X∗ f(|A∗|)X ⊕ Y ∗ f(|A|)Y )

que a su vez permite verificar la desigualdad

‖| f(X∗ |A∗|X)⊕ f(Y ∗ |A|Y ) |‖ ≤ ‖| X∗ f(|A∗|)X ⊕ Y ∗ f(|A|)Y |‖ . (5.7)

De las desigualdades (5.6) y (5.7) concluimos que

‖| f(|X∗AY |)⊕ f(|X∗AY |) |‖ ≤ ‖| X∗ f(|A∗|)X ⊕ Y ∗ f(|A|)Y |‖ .

El resultado es una consecuencia directa de la desigualdad anterior y las definiciones de las matricesA, X, Y , junto con el hecho elemental de que |A| = ⊕mi=1|Ai|. �

Corolario 5.2.5. Sea f : [0,∞)→ [0,∞) una funcion convexa creciente. Consideremos las matricesAi ∈Mn(C) ,Xi ∈Mn,p, 1 ≤ i ≤ m, tales que Ai es normal, 1 ≤ i ≤ m y

∑mi=1X

∗iXi = I. Entonces

para toda nui ‖| · |‖ vale la desigualdad∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣ f

(∣∣∣∣∣m∑i=1

X∗i AiXi

∣∣∣∣∣) ∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣

m∑i=1

X∗i f(|Ai|)Xi

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥ .

Demostracion. Sean

Z = f

(∣∣∣∣∣m∑i=1

X∗i AiXi

∣∣∣∣∣)

y W =m∑i=1

X∗i f(|Ai|)Xi =m∑i=1

X∗i f(|A∗i |)Xi .

Con estas notaciones el Teorema de Dominacion de Ky-Fan junto con el Teorema 5.2.4 imlicanλ(Z ⊕ Z) ≺w λ(W ⊕W ) que equivale a λ(Z)⊕ λ(Z) ≺w λ(W )⊕ λ(W ). Pero esta ultima relaciones en realidad equivalente a la relacion mas simple λ(Z) ≺w λ(W ) que prueba el corolario.

�

A continuacion probamos el resultado principal de [14, Teorema 2.1].


Teorema 5.2.6. Sea f : [0,∞)→ R una funcion convexa creciente tal que f(0) ≤ 0. Si A, V1, V2 ∈Mn(C) son tales que V1, V2 son contracciones entonces

λj(f(|V ∗1 AV2|)) ≤ λj(V ∗1 f(|A∗|)V1 ⊕ V ∗2 f(|A|)V2) , 1 ≤ j ≤ n .

Demostracion. Aplicando el Lema 1.1.5 obtenemos la desigualdad

λj(|V ∗1 AV2|) = sj(V ∗1 AV2) ≤ sj(V ∗1 |A∗|V1 ⊕ V2 |A|V2) 1 ≤ j ≤ n .

Usando el hecho de que f es una funcion creciente concluimos que

f(λj(|V ∗1 AV2|)) ≤ f(λj(V ∗1 |A∗|V1 ⊕ V ∗2 |A|V2)) , 1 ≤ j ≤ n . (5.8)

Como f es funcion creciente f(λj(C)) = λj(f(C)) para toda C ∈ H(n): ası, si 1 ≤ j ≤ n,

λj(f(|V ∗1 AV2|)) ≤ λj(f(V ∗1 |A∗|V1 ⊕ V ∗2 |A|V2)) = λj(f(V ∗1 |A∗|V1)⊕ f(V ∗2 |A|V2)). (5.9)

Por la Proposicion 4.1.3, ıtem 2. concluimos que

λj(f(V ∗i |A∗|Vi)) ≤ λj(V ∗i f(|A∗|)Vi) , 1 ≤ j ≤ n , i = 1, 2 .

Por el Lema 1.2.2, podemos afirmar que

λj(f(V ∗1 |A∗|V1)⊕ f(V ∗2 |A|V2)) ≤ λj(V ∗1 f(|A∗|)V1 ⊕ V ∗2 f(|A|)V2) , 1 ≤ j ≤ 2n .

que junto con la desigualdad (5.9) prueban el teorema. �

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata del Teorema 5.2.6 y el Teorema de Domi-nacion de Ky Fan.

Corolario 5.2.7. Sea f : [0,∞) → [0,∞) una funcion convexa creciente tal que f(0) = 0. SiA, V1, V2 ∈Mn(C) son tales que V1, V2 son contracciones entonces,

‖| f(|V ∗1 AV2|)⊕ 0 |‖ ≤ ‖| V ∗1 f(|A∗|)V1 ⊕ V ∗2 f(|A|)V2 |‖ ,

para toda nui ‖| · |‖ .�

El siguiente resultado complementa el Teorema 5.2.6 en el caso de funciones concavas y matricesexpansivas.

Teorema 5.2.8. Sean A, Z1, Z2 ∈Mn(C) tales que Z1, Z2 son expansivas. Sea g : [0,∞)→ [0,∞)funcion no decreciente.

1. Si g es concava entonces para toda nui ‖| · |‖ se tiene que

‖| g(|Z∗1 AZ2|)⊕ 0 |‖ ≤ ‖| Z∗1 g(|A∗|)Z1 ⊕ Z∗2 g(|A|)Z2 |‖ . (5.10)

2. Si la funcion hg asociada a g como en el Teorema 4.1.5 es concava entonces se tiene que

λj(g(|Z∗1 AZ2|)) ≤ λj(Z∗1 g(|A∗|)Z1 ⊕ Z∗2 g(|A|)Z2) , 1 ≤ j ≤ n . (5.11)


Demostracion. Probamos primero el ıtem 1. Utilizando la desigualdad (1.4) junto con el hecho deque g es funcion creciente deducimos que

g(λj(|Z∗1AZ2|)) ≤ g(λj(Z∗1 |A∗|Z1 ⊕ Z∗2 |A|Z2)) , 1 ≤ j ≤ n . (5.12)

Usando que g(λj(C)) = λj(g(C)) para toda C ∈ H(n) junto con la desigualdad (5.12) vemos que

g(|Z∗1AZ2|) ≺w g(Z∗1 |A∗|Z1 ⊕ Z∗2 |A|Z2) = g(Z∗1 |A∗|Z1)⊕ g(Z∗2 |A|Z2) . (5.13)

Por otro lado, el Corolario 3.1.4 implica las desigualdades

g(Z∗1 |A∗|Z1) ≺w Z∗1g(|A∗|)Z1 y g(Z∗2 |A|Z2) ≺w Z∗2g(|A|)Z2 . (5.14)

Por Lema 1.2.17 y las relaciones de submayorizacion (5.13) y (5.14) concluimos que

g(|Z∗1AZ2|) ≺w g(Z∗1 |A∗|Z1)⊕ g(Z∗2 |A|Z2) ≺w Z∗1 g(|A∗|)Z1 ⊕ Z∗2 g(|A|)Z2.

Finalmente, la transitividad de la relacion de submayorizacion junto con el teorema de dominacionde Ky-Fan implican la desigualdad (5.10) para toda nui ‖| · |‖ .

Para la prueba del ıtem 2, notemos la desigualdad (5.12) es equivalente a

λj(g(|Z∗1AZ2|)) ≤ λj(g(Z∗1 |A∗|Z1)⊕ g(Z∗2 |A|Z2)) , 1 ≤ j ≤ n . (5.15)

Bajo las hipotesis del ıtem 2, el Teorema 4.1.5 implica que para

λj(g(Z∗1 |A∗|Z1)) ≤ λj(Z∗1g(|A∗|)Z1) y λj(g(Z∗2 |A|Z2)) ≤ λj(Z∗2g(|A|)Z2) , 1 ≤ j ≤ n . (5.16)

Del Lema 1.2.2 concluimos que

λj(g(Z∗1 |A∗|Z1)⊕ g(Z∗2 |A|Z2)) ≤ λj(Z∗1 g(|A∗|)Z1 ⊕ Z∗2 g(|A|)Z2) , (5.17)

que junto con (5.15) demuestran las desigualdades (5.11).�

Ejemplos 5.2.9. Consideramos las potencias p-esimas segun casos:

1. Sean A, V1, V2 ∈Mn(C) tales que V1, V2 son contracciones. Como la funcion f(t) = tp, p ≥ 1,es creciente y convexa, el Teorema 5.2.6 implica

λj(|V ∗1 AV2|p) ≤ λj(V ∗1 |A∗|p V1 ⊕ V ∗2 |A|

p V2) , 1 ≤ j ≤ n .

Como f es creciente y las matrices involucradas son semidefinidas positivas,

0 ≤ λj(|V ∗1 AV2|) ≤ λj((V ∗1 |A∗|p V1)1/p ⊕ (V ∗2 |A|

p V2)1/p) , 1 ≤ j ≤ n .

Lo anterior es equivalente a que exista U ∈ U(2n) tal que[|V ∗1 AV2| 0

0 0

]≤ U∗

[V ∗1 |A∗|

p V1 00 V ∗2 |A|

p V2

]1/p

U .

2. Sean A, Z1, Z2 ∈Mn(C) tales que Z1, Z2 son matrices expansivas. Como la funcion tenemosg(t) = tp, 0 < p ≤ 1, es concava creciente y tal que hg(t) = tp es concava creciente el Teorema 5.2.8implica

λj(|Z∗1AZ2|p) ≤ λj(Z∗1 |A∗|p Z1 ⊕ Z∗2 |A|

p Z2) , 1 ≤ j ≤ n .Como g es creciente y las matrices involucradas son semidefinidas positivas,

0 ≤ λj(|Z∗1AZ2|) ≤ λj((Z∗1 |A∗|p Z1)1/p ⊕ (Z∗2 |A|

p Z2)1/p) , 1 ≤ j ≤ n .

Lo anterior es equivalente a que exista W ∈ U(2n) tal que[|Z∗1 AZ2| 0

0 0

]≤W ∗

[Z∗1 |A∗|

p Z1 00 Z∗2 |A|

p Z2

]1/p

W .

4

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