Descripción de estrategias algebraicas en un problema

con funciones

Autoras: Mayte Juan

Marcela CifuentesMartha FerreroLiliana Siñeriz

Objetivos:

Describir algunas estrategias utilizadas por los estudiantes para resolver una tarea de comparación de funciones en las que se revelen características de “razonamiento algebraico” según el marco teórico del Algebra Temprana.

Con estrategias nos referimos al uso de calculadoras, gráficos, tablas, planteo de fórmulas, formas de conteo.Analizar la articulación (o falta de ella) entre distintas representaciones utilizadas por los estudiantes en la resolución de la tarea.

Indagar en las concepciones de los estudiantes acerca de la continuidad de las variables involucradas en el problema dado.

Contenidos• Representaciones (tabla, gráfico, fórmula)• Intersección y comparación de funciones• Función• Continuidad • Tipos de variable (Conjuntos Numéricos)• Crecimiento de funciones• Imagen de un elemento• Imagen de un intervalo• Preimagen de un elemento

Participantes :

29 estudiantes de quinto año del CEM 46 de San Carlos de Bariloche

Dos encuentros, uno en el marco de una clase, con todos los estudiantes, y una posterior entrevista a cuatro alumnos seleccionados luego de la intervención en el aula.

En clase

Una entrevista

Diseño del encuentro en clase:Organizamos la actividad en tres partes . Cada una de estas partes consta de una instancia de trabajo grupal seguida de una puesta en común de lo trabajado. Se entregó en forma escrita a cada alumno el material para trabajar en cada instancia.

Diseño de la entrevista: Para la entrevista se seleccionaron 4 estudiantes, en base a su participación y producción durante el encuentro aulico. Armamos un guión de preguntas basadas en la posterior lectura de la producción de estos alumnos.

EN CLASE

La abuela de Matías le ofrece que elija entre dos opciones:Darle $ 5 por semana. Darle la primera semana $1; la segunda semana $ 2; la tercera semana $ 3 y así sucesivamente.

3. ¿Hay algún momento en el cual es lo mismo elegir cualquiera de las opciones?

Actividades

Primera parte:

1. ¿Cuánto dinero acumulará con cada uno de las opciones en 5 semanas? ¿Y en 10 semanas?

2. ¿Qué opción le conviene a Matías? Mostrar que esa elección es la mejor.

¡Ojo! El problema trae sus complicaciones:

-Hay 4 funciones actuando: los incrementos (más implícitamente) y los montos acumulados (sobre las que se pide la explicitación)

-Las segundas coinciden en la semana 9. Las primeras en la semana 5.

-Los incrementos son: constante y lineal (importe proporcional al tiempo transcurrido)

-Los montos acumulados son (en correspondencia respectiva con los anteriores): lineal (monto proporcional al tiempo transcurrido) y cuadrático

Teoría de las situaciones

Vergnaud

5. ¿Cuál es la ganancia de Matías entre la tercera y séptima semana? ¿Y entre la semana 12 y la 16?

Segunda parte:

4. ¿Cuánto tiempo le llevará con cada trato juntar $ 100? Explica tu respuesta.

6. Representa gráficamente la relación entre el tiempo y el monto acumulado en cada uno de los tratos.

Variables en la investigación:

Tercera Parte

Matías piensa en una contrapropuesta para su abuela, no sabemos cuál es esa propuesta, lo que sí sabemos es que en algún momento, la suma de dinero recibido por Matías coincide en las tres propuestas, y también encontramos algunas anotaciones que realizó Matías con su propuesta en mente:

7. ¿En qué semana te parece que coinciden las posibles sumas recibidas en las tres propuestas?8. Podrías estimar cuánto dinero recibiría Matías con su propuesta en la semana 20? Explica por qué.9. ¿Te parece que esta última propuesta es más ventajosa para Matías? Explica por qué.

Entrevistas

Valeria y

Damián

Belén y

Sonia

Cuando les pedimos fórmulas para las funciones

Cuando les preguntamos por los valores intermedios

¿Por qué es novedoso o sorprendente un enfoque en AT?• Hay numerosas investigaciones que han mostrado que

alumnos de escuela media y secundaria tienen dificultades al:– Entender al signo de igualdad como una operación

unidireccional.– Enfocarse en llegar a respuestas específicas.– No reconocer la ley conmutativa ni la distributiva.– No usar símbolos matemáticos para expresar

relaciones entre cantidades.– No entender el uso de letras como números

generalizados o como variables.– Tener muchas dificultades operando con incógnitas.– No comprender que las transformaciones

equivalentes a ambos lados de una ecuación no alteran su veracidad

Enseñanza y aprendizaje de álgebra temprana Prof. Bárbara M. BrizuelaTufts University Department of Education

Mathematics, Science, Technology, and Engineering EducationViernes 13 de marzo Second Handbook – Carraher&Schliemann

Entienden al signo de igualdad como una operación unidireccional.

Se enfocan en llegar a respuestas específicas.

Un ejemplo que coincide con la bibliografía consultada:

Un ejemplo que muestra que son capaces de generalizar:

No reconocen la ley conmutativa ni la distributiva.

En el grupo de Sonia y Belén, para hacer el cálculo del monto en la opción (b) para la semana 9, sumaron “juntando de a diez”

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Simplificaron el cálculo pero no se dieron cuenta de generalizar para hallar la famosa fórmula!!!!

Evidencia en positivo de que manejan propiedad conmutativa

No usan símbolos matemáticos para expresar relaciones entre cantidades.

Variables tipificadas para la respuesta 1:

1) Se destaca el importe y puede que también la asociación con las semanas transcurridas, pero no se identifica estrategia usada (24/29)

2) Se muestran los resultados en tabla (3/29)

3) Se identifica una notación operacional (2/29)

(Se muestra el proceso)

Variables tipificadas respuesta 2

1) Precisa (11/29)

2) Imprecisa (18/29)

Variables tipificadas de la respuesta 3

1) Coincidencia de los montos acumulados en la semana 9 (20/29)

2) Coincidencia de los montos en la semana 9 y de los importes en la semana 5 (6/29)

4) No contesta (2/29)

3) Contesta NO (1/29)

Tipo multiplicativo (a)No explica (b)

Tipo multiplicativo-aditivo (a)Tabla (b)

Planteo (a)Usa resultado de 10 sem (b)

Divide (a)Usa resultado de 10 sem, no

para en 14 sem (b)

(a) Generaliza, multiplicando(b) No explica

(a) No explica(b) Suma incrementos!!!

(a) Realiza diferencia(b) No hace

Las únicas que graficaron las dos funciones en los

mismos ejes

Primer intento (a) y (b): “a

mano alzada”Segundo intento

(a): cambia escala

Cambia las escalas

Gráficos prolijos

Anticipaciones “Primera entrega”

Los alumnos podrían:

1) Utilizar calculadora, hacer el producto para la opción (a), hacer una tabla para la opción (b)

2) Elegir un único trato como la mejor opción para Matías.La idea es que cada alumno (o grupo) justifique su elección en el momento de hacer la puesta en común.

3) Buscar dónde coinciden las funciones, utilizando lo hecho para responder 1). Hacer gráficos de ambos tratos y ver que se cortan en el punto (9,45).

Fundamentación y Anticipaciones “Segunda entrega”

Los alumnos podrían:

4) La pusimos porque, revisando bibliografía, encontramos que los alumnos tenían dificultades en buscar la preimagen de un valor dado de la variable dependiente. Y nos salió buenísimo!!!!!

Usar la calculadora

Realizar 100:5 o x.5=100 para el trato (a)

Utilizar resultados anteriores para el acumulado del trato (b) [RECURSIVIDAD]

Buscar en el gráfico realizado la abscisa correspondiente a la ordenada 100.

5) En intervalos constantes se observan diferencias evidentes en el crecimiento lineal y cuadrático.

Probablemente algunos alumnos tomen en cuenta los extremos de los intervalos en cuestión y otros no los tengan en cuenta para calcular el dinero ganado por Matías.

6) La pusimos para reforzar la idea de que grafiquen, si no lo habían hecho todavía.

Todos los gráficos iban a tratar las variables como continuas.

En búsqueda de la fórmula

Belén

Sonia

Valeria

Producciones en la entrevista cuando se profundiza en la

continuidad de las variables

FIN