PRIMER CONCURSO FONDO DE INNOVACION

LEN Y ASOCIADOS INGENIEROSCONSULTORESHEINER LANGE - RENE ZEPEDAAEROTOP S.A.

REPUBLICADECHILEMINISTERIODE OBRASPUBLICASDIRECCION GENERALDEOBRASPUBLICAS

JUNIO 2001

PROYECTO:DESARROLLO Y VALIDACIONDE PROCEDIMIENTOS PARA MEJORARLA PRECISION EN LAS DETERMINACIONESALTIMETRICAS MEDIANTE GPS EN CHILE

INFORME FINAL (Nº4)VERSIÓN REVISADA

GOBIERNO DE CHILEMINISTERIO DE OBRAS PUBLICAS

DIRECCION GENERAL DE OBRAS PUBLICAS

PROYECTO CONCURSO DE INNOVACION

DESARROLLO Y VALIDACION DE PROCEDIMIENTOSPARA MEJORAR LA PRECISION DE LAS DETERMINACIONES

ALTIMETRICAS MEDIANTE GPS EN CHILE

INFORME FINAL (N° 4)

INDICE

Página

INTRODUCCION : 1

1. RESUMEN Y CONCLUSIONES 21.1 RESUMEN EJECUTIVO 21.2 RESUMEN DE LAS CONCLUSIONES 12

2. DESARROLLO DEL PROYECTO 162.1 ASPECTOS TEORICOS 162.1.1 Transporte de Coordenadas 162.1.2 Determinaciones Altimétricas 162.1.3 Modelo Geoidal EGM96 172.1.4 El Modelo EGM96 en Chile 182.1.5 Uso del Modelo EGM96 22

2.2 CARACTERISTICAS DE LA MUESTRA 232.3 DISEÑO Y DESARROLLO DEL ANALISIS ESTADISTICO 242.4 TRATAMIENTO ESTADISTICO DE LA MUESTRA 302.4.1 Aspectos Generales 302.4.2 Sub-muestras Hasta 50 km del Origen 302.4.3 Discusión sobre Líneas Largas 33

3. ANALISIS DE AREAS 353.1 DESCRIPCION DEL EJEMPLO EMPLEADO 353.2 GENERACION DE UN MODELO GEOIDAL LOCAL 373.3 GENERACION DE UN MODELO GEOIDAL LOCAL

CON MENOS PUNTOS 403.4 EFECTO DE LA TOPOGRAFIA LOCAL AL INTERIOR

DEL AREA ANALIZADA 413.5 CONCLUSIONES PARCIALES 44

4. CONCLUSIONES 454.1 IMPACTO DEL PROYECTO 454.2 CONCLUSIONES PARA LINEAS HASTA 50 km 454.3 CONCLUSIONES PARA LINEAS SUPERIORES A 50 km 484.4 CONCLUSIONES RESPECTO A AREAS 48

ANEXO 1: GRAFICOS DE ONDULACION GEOIDALANEXO 2. TABLAS DE LA BASE DE DATOS DEL PROYECTO

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GOBIERNO DE CHILEMINISTERIO DE OBRAS PUBLICAS

DIRECCION GENERAL DE OBRAS PUBLICAS

PROYECTO CONCURSO DE INNOVACION

DESARROLLO Y VALIDACION DE PROCEDIMIENTOSPARA MEJORAR LA PRECISION DE LAS DETERMINACIONES

ALTIMETRICAS MEDIANTE GPS EN CHILE

INFORME FINAL (N° 4)

INDICE

INTRODUCCION :

Corresponde en esta etapa hacer una recapitulación de los objetivos previstos por elProyecto, los procedimientos empleados para su desarrollo y los resultados alcanzados,materias que se expondrán en primer término en el Resumen y Conclusiones, para luegodetallarlas en el cuerpo del Informe. Corresponde también entregar el Manual deProcedimientos relativo a las aplicaciones prácticas derivadas de los resultados de lainvestigación, lo que se hace mediante un documento separado.

Para mantener la exposición dentro de una extensión razonable, en oportunidades el textohará referencia al Capítulo 2.300 del Volumen N° 2 del Manual de Carreteras de laDirección de Vialidad, Versión 2001 (MCDV – Vol N° 2), denominado “Ingeniería BásicaAspectos de Geodesia y Topografía”, en cuya preparación participaron LEN y Asociados,Ingenieros Consultores, H. Lange y R. Zepeda, todos miembros del equipo de esteProyecto.

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1. RESUMEN Y CONCLUSIONES

1.1 RESUMEN EJECUTIVO

El Sistema de Posicionamiento Global “GPS” opera mediante una constelaciónde 24 satélites, diseñados especialmente al efecto, los que orbitan alrededor de la tierraaproximadamente a 20.000 km de altura, emitiendo señales que se transmiten en dosfrecuencias, L1=1575,42 MHz y L2=1227,60 MHz. Estas señales están referidas alsistema geocéntrico global (mundial), con origen en el centro de masa de la Tierra,denominado Sistema de Referencia WGS-84, cuya figura analítica es el ElipsoideInternacional GRS 80. Mediante receptores cada vez más sofisticados, operando bajodiversos procedimientos (Navegación Autónoma, GPS Diferencial o DGPS y Observaciónde la Fase Portadora), se logra determinar la posición de puntos sobre la superficie de laTierra, expresadas mediante sus coordenadas geodésicas: latitud (φ), longitud (λ) y alturaelipsóidica (h) o sus equivalentes Cartesianas Planas X (Norte), Y (Este) y alturaelipsóidica (h).

Bajo el procedimiento de operación autónoma con un solo receptor, llamadotambién “navegador”, se logran precisiones nominales para X e Y, del orden ± 20 m y para“h” en el orden de ± 30 m. Estas precisiones si bien son adecuadas para efectos de lalocalización aproximada de puntos, no lo es para el desarrollo detallado de proyectos deingeniería. Operando mediante los procedimientos DGPS o de Observación de FasePortadora, con al menos dos receptores, uno sobre un punto de coordenadas conocidas y elotro sobre el punto en que se desea determinar sus Coordenadas, la precisión mejoranotablemente lográndose precisiones del orden de:

DGPS ± (0,5 m para (X,Y); ± 0,75 m para (h)Fase Portadora ± (5 mm+1 a 2 mm/km (X,Y)); ± ( 10 mm+3 a 4 mm/km) para (h)

Estas precisiones ya son compatibles con las distintas etapas de los estudios deingeniería; nivel de estudio preliminar y en algunos casos anteproyectos en el caso deemplear DGPS y prácticamente en todos los estudios definitivos o de construcción,mediante Fase Portadora. (Para mayores detalles ver Sección 2.304 “Conceptos delSistema GPS” MCDV-Vol. N° 2).

Debe hacerse presente sin embargo, que la coordenada altimétrica “h” o alturaelipsóidica, que si bien tiene un significado geodésico claro y preciso, está referida a lafigura analítica del elipsoide, cuerpo que responde sólo a las características geométricasdefinidas por los parámetros adoptados para él y en consecuencia, el desnivel ∆h entre dospuntos del terreno, no representa cabalmente la energía potencial que existe entre esos dospuntos con desnivel ∆H, siendo ∆H, para todos los aspectos prácticos, el desniveldeterminado mediante nivelación geométrica entre dichos puntos.

Ahora bien, los fenómenos físicos que ocurren sobre la superficie terrestre,están gobernados principalmente por la aceleración de gravedad g(m/s²), que si bien paramuchas aplicaciones se considera constante, es de hecho variable en función de laconcentración o déficit de masa que se produce entre distintos puntos de la superficieterrestre; corresponde entonces en las aplicaciones ingenieriles, y de hecho en toda lapráctica diaria, referir las alturas “H” y los desniveles “∆H” entre puntos a una superficie

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equipotencial (de igual valor de g), denominada Geoide, a la cual por convención se leasocia como nivel cero el correspondiente al nivel medio del mar (NMM).

Estas alturas denominadas ortométricas (H), son, para muchos efectosprácticos, las que se determinan mediante los procedimientos de nivelación geométrica,que están relacionados con la vertical del lugar en que se instala el instrumento,coincidente con la que corresponde a la plomada física y la horizontal del lugar,determinada por el nivel de burbuja, elementos que siendo muy simples respondenexactamente a la aceleración de gravedad correspondiente al lugar.

El Geoide es por lo tanto, en su concepción global, una superficie suavementeondulada, con curvatura en distintos sentidos, que no responde a una definición analítica yque sólo puede ser representada por modelos que incorporan las variaciones de “g” de unpunto a otro. En términos simples, mientras mayor sea el número de determinacionesgravimétricas disponibles, distribuidas en lo posible a distancias uniformes, mejor será elmodelo que represente el geoide.

La relación entre la altura elipsóidica (h) entregada por el método GPS y laaltura ortométrica (H), está dada por la expresión (N=h-H), en que N(m) se denominaOndulación Geoidal. En consecuencia, para aplicaciones ingenieriles, conocido el valor“h” en un punto, determinado mediante GPS, y el valor de “H” en el mismo lugar,determinado mediante nivelación geométrica de precisión o de alta precisión, estas últimasreferidas al nivel medio del mar, se determina en ese punto el valor de “N”.

Si, a partir de los datos de un mareógrafo se define la altura H=0 m,correspondiendo al mismo punto un valor de N de, por ejemplo 20m, dicho valor es en esepunto la distancia en vertical entre el elipsoide y el geoide, es decir la Ondulación Geoidalen el punto.

En Chile no existe aún un Modelo Geoidal específico para el territorio, quepermita determinar los valores de N, de allí que la determinación de la coordenadaaltimétrica mediante GPS, no ha tenido hasta ahora una aplicación práctica en proyectos deingeniería, ya que según el lugar de interés, el valor de N fluctúa entre ordenes de 20 m alo largo de la costa, llegando hasta 40 m en la alta Cordillera, para descender hasta unos 10m en la Zona de Punta Arenas (Ver Figuras 2.1.4A, B y C )

No obstante lo anterior, tres instituciones de los Estados Unidos deNorteamérica (NIMA, NASA y la Universidad de Ohio), desarrollaron un Modelo Geoidalde cobertura mundial, denominado EGM96 (Earth Gravity Model-1996), accesiblemediante Internet, que permite extraer valores de N para cualquier punto de la Tierra,ingresando las coordenadas geodésicas (λ, φ). Debe tenerse presente que dicho modelo,elaborado con las determinaciones gravimétricas disponibles en cada zona del planeta, serátanto más preciso allí donde la información es abundante y será más impreciso donde lainformación es escasa.

Todo lo expuesto precedentemente, se trata con mayor rigurosidad geodésicaen el punto 2.1 de este Informe.

Considerando la problemática expuesta, este Proyecto se propuso, según loconsignado en la Pág. 5 de la presentación al Concurso de Innovación, llamado por la

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Dirección General de Obras Públicas del MOP, en Mayo del año 2000, abordar lossiguientes aspectos:

a) Verificar el comportamiento del Modelo EGM96 en la zona central de Chile,empleando para ello, determinaciones GPS existentes, o que se ejecutarían. Para lasprimeras será condición que existan Memorias claras y completas del procedimientoempleado y que además se hayan hecho o se puedan hacer nivelaciones geométricaso trigonométricas de los puntos en que se van a comparar las cotas elipsóidicas conlas cotas ortométricas referidas al NMM.

b) Desarrollar algunos modelos locales empleando parte de la información existente yverificar su comportamiento contra el resto de los puntos disponibles o determinadosal objeto. Estos son métodos que están descritos en la bibliografía, pero sólosabemos de un caso desarrollado en Chile.

c) Además, en un contexto teórico, se procederá a explorar la posibilidad de aplicarmétodos indirectos de corrección de la coordenada altimétrica mediante afinamientoslocales al modelo EGM96. Eventualmente, en caso de obtener resultadospromisorios, ello podría dar origen a un segundo proyectos a ser financiado por elFondo de Innovación.

d) Para aquellas alternativas que entreguen resultados razonables y confiables, seexplicitarían las situaciones en que son aplicables los métodos desarrollados, laslimitaciones de cada uno de ellos y los procedimientos prácticos de aplicación(Manual de Procedimientos).

En cuanto a la Evaluación del Impacto Directo del Proyecto, se propuso en laPág. 13 y al final de la Pág. 14 de la Presentación al Concurso, considerar los siguientesindicadores:

“Evaluación de ImpactoPara evaluar el impacto ya se mencionaron los rangos de corrección que se

deben alcanzar para poder validar la determinación altimétrica mediante GPS; elloen función de la escala del plano que se está desarrollando, a saber:

Que al menos un 90% de los puntos a los que se le determine cota conGPS, debidamente corregidas mediante las ondulaciones geoidales del ModeloEGM96, tengan un error menor o igual a 1/9 de la equidistancia entre curvas denivel, es decir:

(para planos en escala 1:10.000 o menores (1,20 m) *0,55 m para planos en escala 1.5.000 o menores (0,60 m)*0,22 m para planos en escala 1:2.000 o menores (0,25 m)*0,11 m para planos en escala 1:1.000 o menores (0,11 m)*

En consecuencia estos serán los indicadores que se considerarán paradeterminar la bondad de cada uno de los métodos que se propone analizar”.

___________________________* Los textos en paréntesis y en cursiva se han agregado para ser consecuentes con los valores que figuran en la nueva edición delManual de Carreteras Capítulo 2.300 (Aspectos Geodésicos y Topográficos), Versión 2001, los que se deben considerar para el restode este Proyecto, aun cuando ya no corresponden a 1/9 de la equidistancia entre curvas de nivel para la escala considerada. Semencionan también los Planos en Escala 1:10.000 que no se consideraron inicialmente.

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En definitiva el Proyecto abordó el Análisis de 14 Líneas con determinacionesGPS y de cota Ortométrica, ya sea existentes y con todos sus antecedentes, o bien, para lascuales el equipo de Proyecto debió efectuar determinaciones complementarias.

En la Tabla 1.1.A que se presenta a continuación, se identifican los 14 Tramoso Líneas en Sentido Norte-Sur y Oeste-Este y una Línea Singular, representativa más biende un área. (Camino a Farellones)

En total ellas cubrieron 1075 km que incluían 251puntos con determinación decoordenadas GPS y de Cota Ortométrica.

En la Lámina 1.1.A se ilustra sobre una carta IGM, escala 1:1.000.000, lalocalización geográfica de dichas líneas, con indicación de los puntos considerados.

En el Anexo 2, al final de este Informe, se presenta la representación Gráficade los resultados para cada línea, con datos reducidos al origen de la Línea según seexplica a continuación y seguidamente, como respaldo, se incluyen las Tablas de DatosNuméricos que conforman la Base de Datos del Proyecto.

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TABLA 1.1.ARESUMEN DE TRAMOS INCLUIDOS EN EL PROYECTO

N° PTOS. ANTECEDENTES APORTADOS POR DETERMINACIONES GPS/ COTAGPS/COTA DATOS PROPORCIONADOS POR: SUBCONTRAT. EJECUTOR EJECUTADAS EN TERRENO PORTRAMOS DEL PROYECTO KM

MEDICIONES EL EQUIPO DEL PROYECTOA. LINEA NORTE SUR RUTA HORNILLOS – LA HERRADURA R5-N 89,6 12 ASINTOTA LTDA. HIGESA S.A. -LOS VILOS – HORNILLOS R5-N 85,9 10 DUSAN DUJISIN / SACYR (Cotas) AEROTOP EQ. PROY. (GPS)LONGOTOMA - LOS VILOS R5-N 54,6 6 SACYR (Cotas) AEROTOP EQ. PROY. (GPS)LAS CHILCAS - LONGOTOMA R5-N 82,3 8 R y Q INGENIERIA (Cotas) AEROTOP EQ. PROY. (GPS)QUILICURA - LAS CHILCAS R5-N 69,1 15 LEN Y ASOCIADOS HIGESA S.A. -PUENTE MAIPO – SAN FERNANDO R5-S 106,4 11 LEN Y ASOCIADOS HIGESA S.A. EQ. PROY. (NIVELACION)SAN FERNANDO – CAMARICO R5-S 74,0 19 LEN Y ASOCIADOS HIGESA S.A. EQ. PROY. (NIVELACION)

TOTAL A 561,9 81 B. LINEAS TRANSVERSALES RUTA LA SERENA - LA LAGUNA R41-CH 138,4 13 LEN / AXIOMA / A y S (Cotas) - EQ. PROY. (GPS)PELAMBRES-CAIMANES (Mineroducto) 91,0 16 CIA. MINERA PELAMBRES AEROTOP -VIÑA – LIMACHE F.C.(MERVAL) 44,0 20 MERVAL AEROTOP -LLAY LLAY-LOS ANDES (Pte. Rio Colorado) R-60-CH 57,8 42 R y Q INGENIERIA GEOCEN LTDA. -TRONCAL SUR (En construccion) 19,0 11 CCP INGENIERIA LTDA. GEOINGENIERIA -VALPARAISO – SANTIAGO R-68 109,0 46 SACYR AEROTOP -SAN JOSE DE MAIPO-BAÑOS MORALES G-25 41,7 9 LEN Y ASOCIADOS (Cotas) AEROTOP EQ. PROY. (GPS)

TOTAL B 500,9 157 C. LINEAS SINGULARES CAMINO FARELLONES G-21 12,0 13 LEN Y ASOCIADOS (Cotas) AEROTOP EQ. PROY. (GPS)

TOTAL C 12,0 13

TOTAL GENERAL 1074,8 251

La Dirección General de Obras Públicas y el Equipo de Proyecto (LEN y Asociados; H. Lange; R. Zepeda; AEROTOP), agradecen a las Empresas e Institucionesque proporcionaron los antecedentes usados en este Proyecto.

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Las Tablas numéricas de datos, consignan:

- N° Correlativo y Nombre del Punto- Coordenadas Geodésicas N, E, h, obtenidas con GPS mediante Observación de

Fases Portadoras y ligando el punto origen de la Línea a una estación decoordenadas conocidas y así sucesivamente. (En algunos casos en operaciónautónoma para el punto origen y el resto ligado a dicho origen).

- Cota Geométrica (≈Ortométrica del Punto)- Valor de N determinado mediante el Modelo EGM96.

Las siguientes tres columnas consignan los datos reducidos al origen, de modo que:

Ni (REAL)red = (hi – ho) – (Hi – Ho)

en que ho y Ho corresponden a los valores determinados para dichas variables en el puntoorigen (Nº1), luego

para i = 1; Ni (REAL)red = 0

Ni (EGM96)red = N(EGM96)i – N (EGM96)o , y

∆Nired = Ni (EGM96)ired – Ni (REAL)red = Discrepancia de N, reducida al origen, para lapredicción hecha por el Modelo EGM96.

En las Figuras que se presentan en el Anexo 1, se ilustra para cada Línea, elcomportamiento de estas variables en función de la distancia al origen, correspondiendo:

N(REAL)red à Curva RojaN(EGM96)red à Curva Azul ∆Nred =(N EGM 96)red –(N Real)red à Curva Verde

En lo que sigue ∆Nred = ∆N, ya que por definición todos los valores están reducidos alorigen.

En la Figura 1.1.B que se presentan a continuación, se ilustra para todas las líneasoriginales un consolidado de los resultados de ∆N en función de la distancia al origen.

Puede observarse en esta figura que la discrepancia ∆N máxima de toda la muestra es delorden +2,5 m para el Tramo Río Maipo San Fernando, a 60 km del origen de dicho tramo ydel orden –2,0 m para el Tramo San Fernando-Camarico a una distancia del orden de 72km de su origen (Ambas en la Línea correspondiente a la Ruta 5 Sur).

Es decir, el procedimiento bajo análisis, ha permitido reducir la incertidumbre en ladeterminación de la altura ortométrica H empleando determinaciones de h mediante GPSgeodésico y predicciones de N mediante el modelo EGM 96, a un rango comprendido entre+2,5 m y –2,0 m, al calcular ∆H=∆h-∆N. Este rango de discrepancia máxima es aúndemasiado importante como para validar, en el contexto de los objetivos del estudio, el usodel Modelo EGM96 a grandes distancias del origen.

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No obstante lo anterior, si se analizan las curvas hasta 20 km del origen, se puede apreciarque la discrepancia ∆N se reduce al rango comprendido entre +1,0 m y – 0,50 m que yaestá en el orden de los errores aceptables para apoyar restituciones aerofotogramétricas enescala 1:10.000 y 1:5.000, en las cuales se pueden aceptar que el 90% de los puntosapoyados no tengan errores mayores que 1,20 m y 0,60 m. Del mismo modo, si se siguereduciendo la distancia al origen pueden entrar en el rango de tolerancia aceptable lasdeterminaciones de H, basándose en los valores de h determinado mediante GPS,debidamente corregidos con los valores de ∆N obtenidos del Modelo EGM96.

Con el objeto de analizar que sucede en distancias al origen mayores que las consideradasen los tramos de la muestra, se procedió a unir las líneas que poseían puntos en común,lográndose con ello, tramos de extensión mayor. Específicamente se unieron los tramos deLas Chilcas a Hornillos (extensión de 222 km) y Puente Maipo – Camarico (extensión de180 km), con lo que finalmente se obtuvo un segundo conjunto de datos, compuesto de 6“Líneas Largas”, graficadas en la Figura 1.1.C. En ellas las discrepancias máximas de ∆Nson del orden de +3,5 m y +1,0 m, en los extremos de las líneas a) y b).

Para proceder al análisis estadísticos del conjunto de determinaciones, considerando quecomo se expone en 2.2 “Características de la Muestra”, los datos conforman una muestraaleatoria que acepta dicho tipo de análisis, se procedió a definir una variable auxiliar segúnse describe a continuación.

La variable seleccionada “p”, se definió como la pendiente que se calcula al dividir el valorde ∆N entre cada punto de una Línea y el origen de la Línea, por la distancia del punto alorigen.

Se decidió expresar ∆N en centímetros llamándolo Di (discrepancia), y Li; en kilómetros ala distancia, en consecuencia:

pi = Di/Li (cm/km)

Tras analizar este enfoque, se concluyó que al tratar la muestra de este modo, se estabaintroduciendo un factor que le restaba aleatoriedad, por cuanto todos los valores de “p” sedeterminan a partir de un origen predeterminado, en tanto que si se desplaza el origen atodos los puntos de la muestra, pues cualquiera de ellos pudo haber sido el origen, lasituación es mucho más real.

Lo anterior conlleva además un aumento considerable de los elementos “pi” que participanen el análisis pues para “n” puntos en que sólo uno de ellos es el origen se tienen (n-1)valores de p, en tanto que para los mismos “n” puntos, pero desplazando el origen sobretodos los puntos, excepto el último, se tienen n (n-1)/2 valores de p.

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FIGURA 1.1.B Resumen Consolidado de Discrepancias

∆N (*)

-2

-1

0

1

2

3

0 20 40 60 80 100 120 140

km

∆∆N (m) 1 QUILIC - LAS CHILC2 LAS CHILC - LONGOT3 LONGOT - LOS VILOS4 LOS VILOS - HORNILL5 HORNILL - HERRAD6 RIO MAIP-S FERN7 S FERN - CAMAR8 LA SERE - LAGUNA9 VALPO - STGO10 LIMACHE - VIÑA11 TRONCAL SUR12 LLAY - LOS ANDES13 SJ MAIPO - VOLCAN14 PELAMBRES

6

5

4

8

7

13

2

11

9

10

13

1214

(*) N (EGM96) - N (REAL) ; ambos reducidos al origen del tramo

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FIGURA 1.1.C Resumen Consolidado de Discrepancias (solo Líneas Largas)

TRAMOS > 80km

-1

0

1

2

3

4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

km

∆∆N (m) (*)

a) LAS CHILC - HORNILL5 HORNILL - HERRADb) PTE MAIP-CAMARI8 LA SERE - LAGUNA14 PELAMBRES9 VALPO - STGO

9

14

8

a

b

5 (*) N(EGM96) - N(REAL); ambos reducidos al origen del tramo

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Bajo este marco de referencia, en el punto 2.3 “Diseño y Desarrollo delAnálisis Estadístico”, se hicieron los cálculos estadísticos habituales, promedio, desviaciónestándar y test Chi cuadrado, concluyendo que era posible analizar la muestra como unconjunto, y para distintos rangos de distancia al origen, lo que permitió llegar a lasconclusiones que se exponen en 1.2 “Resumen de las Conclusiones”.

Paralelamente a lo anterior, en el punto 3 de este Informe se expone eltratamiento dado a 13 puntos de una Poligonal que delimita un área en la zona cordilleranade Corral Quemado a Loma del Viento (Camino a Farellones). Los casos desarrollados enforma de ejemplos, ilustran la posibilidad de crear modelos geoidales locales con pocospuntos, empleando para su desarrollo programas topográficos de uso habitual en lacreación de modelos de terreno (Trazado de Curvas de Nivel). Por medio de los mismosejemplos se demuestra que el Geoide es una superficie cuya ondulación se desarrollapaulatinamente, sin quiebres ni inflexiones bruscas, aún cuando las cotas de terrenoexperimenten variaciones considerables en cortas distancias.

1.2 RESUMEN DE LAS CONCLUSIONES

Siguiendo el orden de los cuatro objetivos definidos para el Proyecto, cabeestablecer que:

a) Se cumplió el objetivo de verificar el comportamiento del Modelo EGM96 en la ZonaCentral de Chile (La Serena-Camarico y Líneas Transversales), estableciendo laposibilidad de emplearlo para corregir las determinaciones altimétricas hechas con GPSen distancias de hasta 25 km para planos 1:10.000, y como se esperaba, en distanciasmenores para planos de mayor escala, con un límite de 1,4 km para escalas 1:1000,según se expone en la letra d),ello para un 95% de confianza, valores que se amplían a35 km y 1,6 km para el 90% de confianza considerado en el MCDV-Vol. N°2.

En términos generales, del análisis de la Figura 1.1.B se desprende que la degradacióndel modelo no es una función monótonamente creciente con la distancia, sino quepresenta máximos y mínimos que se van alternando.

El análisis de las curvas que se presentan en el Anexo I para las Líneas que generan lasdiscrepancias máximas, Río Maipo-San Fernando y San Fernando-Camarico, enconjunto con los Mapas Geoidales presentados en las Figuras 2.1.4.A, 2.1.4.B y2.1.4.C, hace pensar que el Modelo sobrestima de manera importante el valor de N, enla zona de Rancagua y después lo subestima al sur de San Fernando, lo que se podríadeber a una sobreestimación de la influencia derivada de la anomalía que figura en elmapa geoidal en el área cordillerana cercana a Sewel. Esta anomalía aparentementedeforma las “curvas de nivel” geoidal que se observan en la Figura 2.1.4.B, lo que serefleja como un ∆N positivo frente a Rancagua, para luego generar un ∆N negativo y dependiente constante entre San Fernando y Camarico. Este fenómeno llamó tanto laatención a los autores de este Informe que se procedió a remedir los puntos de la LíneaRío Maipo-San Fernando en busca de algún error cometido previamente, pero lasnuevas mediciones confirmaron la fuerte discrepancia de ∆N en el sector. Cabe hacerpresente que para todos los análisis que se hacen en este Informe, dichas Líneas que se

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estima evidencian una falla local del Modelo, se mantuvieron dentro de la Base deDatos, pues en otras zonas podrían existir otras fallas locales y por ende, correspondeque ellas queden representadas en el análisis en la misma proporción en que se dieronen la muestra.

b) Se desarrollaron Modelos Locales según se ilustra en el punto 3 del Informe, empleandopara ello un área de aproximadamente 3 km2 (300 Há), en la cual se cuenta con 12vértices para los que se determinaron coordenadas geodésicas mediante GPS, bajoobservación de Fase Portadora. Los vértices contaban con altura obtenida mediantenivelación trigonométrica cerrada, referida al NMM.

Los ejemplos ilustran la obtención de un modelo geoidal local en base a todos lospuntos medidos, el que se compara con los resultados que predice el modelo EGM96,considerándose que este último representa adecuadamente la tendencia de variación delgeoide, aunque con una degradación creciente con la distancia. Se desarrollan ejemplosde modelos locales empleando solo 4 y 5 puntos, que se contrastan con el modelo de 12puntos, obteniéndose buenos resultados en ambos casos.

Finalmente, con objeto de ilustrar la variación de la Ondulación Geoidal ∆N, ante lavariación de la altura del terreno, se desarrolló el análisis de 2 perfiles cuasi ortogonalesy se discuten los resultados, mostrando la factibilidad de emplear el Modelo EGM96 enla predicción de ∆N en áreas de moderada extensión, aunque con gran variación dealtura. Se demuestra que la variación de ∆N es mayor en sentido oeste-este, por efectode la acumulación creciente de masa al internarse en la Cordillera de Los Andes, que enel sentido norte-sur, en que este efecto es similar para todos los puntos de la líneaanalizada. Por otra parte, la variación local del perfil del terreno se percibe en algúngrado, aunque con variaciones moderadas de ∆N.

c) La exploración de posibles métodos indirectos para corregir localmente el modeloEGM96, si bien está reflejada en alguna medida en los procedimientos descritos en a) yb), no se pudo llevar más adelante por falta de datos medidos especialmente con dichoobjeto.

En efecto, para avanzar por dicha línea de investigación, se requiere definir previamenteun conjunto de hipótesis, para luego ejecutar una serie de mediciones específicas quepermitían contrastar la realidad observada con las hipótesis previas, y de ahí obtenerconclusiones valederas.

d) En este acápite se resumirán los resultados que se obtuvieron del análisis de los datosdesarrollados en el punto 2 de este Informe, para el conjunto de las 14 líneas queconforman la muestra. La justificación de estas conclusiones se desarrolla paso a pasoen dicho numeral.

Los procedimientos para emplear los resultados de este estudio, se desarrollan en el“Manual de Procedimientos”, que se entrega como un documento separado.

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PARAMETROS DE LA MUESTRA Y DISCREPANCIA UNITARIA “d” (cm/km)PARA EL VALOR DE “N” QUE PREDICE EL MODELO EGM96

RESPECTO DE LA REALIDAD, PARA 90% Y 95% DE CONFIANZASEGUN RANGOS DEFINIDOS

Para 90% Para 95%Rango deDistancias (km) n P* (cm/km) σ (cm/km) -d cm/km +d cm/km -d cm/km +d cm/km

0 – 2 75 0,41 3,81 -5,85 6,67 -7,20 8,022 - 5 239 0,14 3,01 -4,80 5,09 -5,87 6,165 - 10 385 0,34 2,64 -4,00 4,68 -4,93 5,61

10 - 15 335 0,39 2,19 -3,22 3,99 -3,99 4,7715 - 20 304 0,44 2,04 -2,91 3,80 -3,64 4,5320 - 25 272 0,56 1,82 -2,44 3,56 -3,09 4,2125 - 30 235 0,57 1,93 -2,60 3,73 -3,29 4,4230 - 40 366 0,49 1,78 -2,44 3,41 -3,07 4,0440 - 50 252 0,25 1,65 -2,47 2,96 -3,05 3,55

En que:

n = Número de pendientes generadas por la muestra en el rango.p*cm/km = ∑ (pi/n) (Promedio de los valores de las submuestras)σcm/km = [∑ (pi – p*)2 /n – 1]1/2 (Desviación estándar de las submuestras)dcm/km = (p* ± 1,645 σ ) para 90% de Confianza.dcm/km = (p* ± 2 σ) para 95% de Confianza

Luego, para calcular la discrepancia D(cms) que se tiene a una distancia dada del puntoorigen considerado, basta con aplicar la relación:

D(cm) = d (cm/km) x L (km)

Siendo “d” la discrepancia unitaria correspondiente al rango en que está comprendido “L”

Ejemplo:

Se desea conocer la discrepancia D (cm) al predecir N con el Modelo EGM96 a 5,3 km dedistancia del punto de altura conocida (Ho).Entrando en el rango de 5 a 10 km, se lee, para:

90% de confianza d = -4,00 cm/km luego D = -4,00 (5,3) = -21,2 cmd = 4,68 cm/km D = 4,68 (5,3) = +24,8 cm

95% de confianza d = -4,93 cm/km luego D = -4,93 (5,3) = -26,1 cmd = 5,61cm/km D = 5,61 (5,3) = +29,7 cm

En consecuencia, si el objetivo es dar “cota” a un punto estereoscópico para ejecutar unarestitución aerofotogramétrica escala 1:2.000 (tolerancia al 90% = ±25 cm), se cumple conla tolerancia especificada. Pero si por alguna razón se desea trabajar con el 95% deconfianza, la mayor distancia permitida sería menor o igual que 4 km.

-15-

En efecto, si se entra en el rango de 2 a 5km, se observa que los valores de “d” son algomayores y, realizando el cálculo para 4,0km, se tiene:

D = -5,87 (4,0) = -23,5cm+6,16 (4,0) = +24,1cm

En consecuencia para un 95% de confianza se puede dar “cota” a puntos estereoscópicosdel plano en escala 1:2.000, hasta 4,0km del punto de referencia con altura conocida.

Mediante un proceso como el ilustrado se construyó la tabla que se entrega a continuación,que permite determinar las distancias máximas que se pueden emplear, según el nivel deconfianza y la escala del plano que se desea apoyar.

DISTANCIA MAXIMA PARA LA CUAL SE PUEDE EMPLEAR EL MODELOEGM96 , PARA DAR ALTURA (O COTA) A UN PUNTO ESTEREOSCOPICO,

SEGUN ESCALA DEL PLANO Y NIVEL DE CONFIANZA

Distancia Máxima (km)Escala del Plano Tolerancia (m)al 90% al 95%

1:10.000 1,20 35,0 27,01:5.000 0,60 15,8 12,51:2.000 0,25 5,3 4,01:1.000 0,11 1,6 1,4

Estas conclusiones también son válidas para dar altura mediante GPS y el Modelo EGM96,a estaciones de levantamientos distanciométricos, para la ejecución de Planos de Planta,considerando que la tolerancia es en este caso, del orden de 1/8 de la equidistancia entrecurvas de nivel, es decir; para un 90% de Confianza, se tiene:

Escala del Plano Equidistancia (m) Tolerancia (m) Distancia Máxima (km) al90%

1:10.000 10 1,250 36,51:5.000 5 0,625 16,41:2.000 2 0,250 5,31:1.000 1 0,125 1,8

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2. DESARROLLO DEL PROYECTO

2.1 ASPECTOS TEORICOS

A continuación se presenta un breve resumen de los aspectos más relevantes delTransporte de Coordenadas Mediante GPS, materias que se tratan con más detalle en elVolumen 2, Capítulo 2.300 del Manual de Carreteras de la Dirección de Vialidad, Edición2001.

2.1.1 Transporte de Coordenadas

El Sistema de Posicionamiento Global – GPS permite determinar y transportarcoordenadas, de puntos materializados sobre la superficie terrestre, referidas a la superficieanalítica que representa la Tierra, el elipsoide del sistema geodésico mundial WGS-84.

Con observación de la fase portadora, se puede determinar vectores relativos (∆X,∆Y, ∆Z) con precisión planimétrica en latitud y longitud (φ, λ) o norte y este (N, E) del ordende 0,005m + 1 a 2ppm (partes por millón de la longitud del vector), es decir 1 a 2mm/km; porejemplo, las coordenadas Norte y Este transportadas a una distancia de 1.000m, tendrán unaprecisión relativa de 6 a 7mm, lo que corresponde a una precisión relativa horizontal entre1/166.000 y 1/142.000. Por otra parte, la precisión altimétrica (h), respecto al elipsoide, esalgo menos precisa que la planimétrica, alcanzando el orden de 0,010m + 3 a 4ppm. Estasprecisiones se alcanzan empleando los procedimientos y bajo las condiciones citadas en losAspectos Normativos de las Secciones 2.304.7 y 2.312.9 del Manual de Carreteras, Versión2001.

2.1.2 Determinaciones Altimétricas

Se consideran dos superficies de referencia para la coordenada altimétrica: elELIPSOIDE y el GEOIDE. El elipsoide es la figura donde se realizan los cálculos geodésicosy donde se representan las coordenadas planimétricas, latitud y longitud o, de donde seproyectan las coordenadas planas, norte y este. Siendo el elipsoide un concepto puramenteanalítico, no tiene aplicación en la ingeniería ni en la geodesia aplicada, en consecuencia lasalturas deben referirse a la superficie definida por el Nivel Medio del Mar – NMM. Estaúltima superficie es equipotencial, lo que significa que en ella se tiene un valor de atraccióngravitacional constante. Por sus variaciones y anomalías, es una superficie que no puede serrepresentada analíticamente, por lo que se recurre a modelos que la representen. La alturavariable respecto al elipsoide se denomina ONDULACIÓN GEOIDAL y se identifica como“N”. Siendo la altura elipsóidica “h” y la altura sobre el NMM “H”, se cumple la relación:

N = h – H

En los proyectos de ingeniería las mediciones de interés son los DESNIVELES“∆H” sobre el NMM, que se presentan entre elementos sobre la superficie terrestre. Estosignifica que a partir de un punto de coordenadas y altura conocida y, a través de la diferenciade alturas (desniveles), se obtienen las alturas de los demás puntos.

17

Sean A un punto de altura HA conocida y B un punto de altura a determinar HB,entonces:

HB = HA + ∆H, con ∆H = ∆h – ∆N, según se muestra en la figura 2.1.2.

Figura 2.1.2. Relación entre Desniveles

GEOIDE ≈≈ NMM

SUPERFICIE TERRESTRE

ELIPSOIDE

A

B

∆∆H = ∆∆h - ∆∆N

HAhA

NA

HBhB

NB

LÍNEA DE LA PLOMADA

GEOIDE ≈≈ NMM

SUPERFICIE TERRESTRE

ELIPSOIDE

A

B

∆∆H = ∆∆h - ∆∆N

HAhA

NA

HBhB

NB

LÍNEA DE LA PLOMADA

Sea σN el error, o precisión, de ∆N y σh el error, o precisión, de ∆h. El error

resultante σH de ∆H será: 2N

2hH σ+σ=σ .

Consecuentemente, la precisión final del desnivel ∆∆ H depende de la precisiónde ∆∆ h (proveniente de la determinación con GPS) y de ∆∆N (dado por el modelo geoidaladoptado). De esa manera, el proyecto centra los esfuerzos en la evaluación de σσN y sucomportamiento en función de la distancia. Por otro lado, la precisión σσh, citadaanteriormente, de 0,010m + 3 a 4ppm, se logra bajo las condiciones normativas queconstan en el Volumen 2, Capítulo 2.300 del Manual de Carreteras, Versión 2001,específicamente en las Secciones 2.304 y 2.312.

2.1.3 Modelo Geoidal EGM96

El geoide es una superficie ondulada que se aproxima al NMM, tales ondulacionesson producto de la falta de homogeneidad de la masa de la Tierra y depende, principalmentede la variación de concentración de masa a través de continentes y océanos.

El modelado del geoide, en áreas extensas, es un problema matemático complejoque se resuelve puntualmente. Hoy en día existen modelos que lo representan. Un modeloglobal reciente, ampliamente difundido, es el Earth Gravity Model 1996- EGM96.

El EGM96 es un modelo geopotencial que consiste en una combinación de solucionesy datos globales, que representan la superficie equipotencial de la Tierra respecto del sistemade referencia mundial WGS-84. El modelo es el resultado de la colaboración de la AgenciaEstadounidense de Imágenes y Mapas – NIMA (National Imagery and Mapping Agency), laNASA y la Universidad de Ohio – OSU.De acuerdo a publicaciones de la NASA, Sudamérica está solo parcialmente cubierta de datos,lo que hace que este modelo deba ser usado con precaución y criterio.

18

Para la confección del EGM96, NIMA calculó anomalías de gravedad para la Tierraen una grilla de 30´x30´, lo que aproximadamente representa 55x55km en latitudes medias(Copiapó-Temuco). Finalmente se ha puesto a disposición pública mundial, una base devalores de ondulaciones geoidales en grilla de 15´x15´, aproximadamente 25x25km.Estos datos están disponibles en archivos binarios, los cuales pueden ser usados por losprogramas de procesamiento de datos GPS o en forma separada. Los datos de entrada son lascoordenadas geodésicas del punto deseado y los valores de ondulación se extraen del archivopor interpolación no lineal.

Estos datos, junto con programas de extracción automática están actualmentedisponibles en la dirección internet: http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html. En estesitio se encuentran disponibles dos clases de programas de extracción automática deondulaciones geoidales respecto al WGS-84, ambos con la misma base de datos, uno paraprocesamiento en lote (ambiente DOS) y otro para uso vía teclado, punto a punto (ambienteWindows). A continuación se presenta la ventana de presentación del programa en Windows.

2.1.4 El Modelo EGM96 en Chile

El comportamiento del modelo EGM96, que representa globalmente el geoide,debido a su resolución y escala de confección, no presenta detalles en territorio chileno. Noobstante ello, como una primera evaluación de su comportamiento en el territorio continentalde Chile, se confeccionó un mapa de ondulaciones y un modelo 3D, ambos obtenidosdirectamente del modelo EGM96, extraídos para una grilla de 6´x6´, aproximadamente10x10km. Los mapas se presentan en las figuras 2.1.4-A, B y C, respectivamente. La figuraB es una ampliación de la figura A, elaborada para permitir una mejor visualización del áreadel Proyecto.

19

FIGURA 2.1.4-A. Mapa de Curvas de Ondulaciones Geoidales EGM96

20

FIGURA 2.1.4-B. Ondulaciones Geoidales EGM96

FIGURA 2.1.4-C Imagen 3D de Ondulaciones Geoidales EGM96

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Cabe resaltar que aún cuando los datos son de uso público, esta es la primera representacióndel EGM96 obtenida para Chile, que se tenga conocimiento, posibilitando una visión másdetallada del geoide en el territorio. Un primer análisis visual muestra los grandes desnivelesque el geoide posee en Chile, probablemente producto de la influencia de atracción de masasde la Cordillera de Los Andes, por una parte y por la otra, el déficit de la masa en la Fosa delPacífico.

2.1.5 Uso del Modelo EGM96

a) Aspectos Generales

Los procedimientos empleados en el manejo de las ondulaciones provenientes delmodelo EGM96, son válidos también para cualquier otro modelo utilizado. Esto cobraráimportancia en el futuro, cuando se disponga de un modelo nacional que refleje más fielmenteel comportamiento del geoide en Chile. A continuación se presentan los principales aspectosen el manejo de ondulaciones geoidales.

b) Obtención de Valores de las Ondulaciones

Las versiones o actualizaciones de los programas de procesamiento de datos GPS,con fecha posterior a 1996, traen incorporados a los módulos de cálculo o ajuste, el archivoWW15MGH.GRD, este archivo corresponde a los datos ordenados en grilla de 15”x15”, delas ondulaciones del modelo EGM96 referidas a WGS-84. Cuando un usuario del programade procesamiento GPS decide trabajar con alturas sobre el NMM, especificando el modelo aser utilizado o el archivo a ser consultado internamente, el manejo de esos datos se realiza deforma automática dentro del mismo programa, reduciendo las alturas elipsoidales a alturassobre el NMM.

En los casos que se dispongan de los datos GPS procesados, o sea, las solucionesde los vectores, donde se incluye el desnivel elipsoidal, se debe recurrir a la reducción de lasalturas de forma externa, obteniendo las ondulaciones geoidales de los propios programas deprocesamiento GPS o, del programa de NIMA para extracción en lote (ver 2.1.3 de estedocumento). En este proyecto, una vez que se disponía de desniveles elipsoidales, se usó elprograma de NIMA en la validación de la muestra utilizada. Los argumentos de entrada endicho programa son latitud y longitud de los puntos, expresadas en grados decimales, creandoun archivo de salida que incluye el valor de la ondulación geoidal (en metros) para cada puntoconsiderado. Las reducciones y cálculos pueden realizarse en planillas electrónicas, porejemplo Excel.

c) Obtención de Desniveles Reducidos al NMM

Según lo expuesto en 2.1.2, el desnivel respecto del NMM entre dos puntosgenéricos A y B, está dado por:

23

∆HAB = ∆hAB – ∆NAB, donde:

∆HAB es el desnivel respecto del NMM entre los puntos A y B∆hAB es el desnivel respecto del elipsoide (WGS-84) entre los puntos A y B, obtenidomediante GPS∆NAB es la diferencia de ondulación geoidal entre los puntos A y B, obtenida delmodelo EGM96

Finalmente, la altura sobre el NMM del punto B será:

HB = HA + ∆HAB

2.2 CARACTERISTICAS DE LA MUESTRA

La muestra fue seleccionada considerando una premisa básica y 3 criterios generales.

Premisa Básica:

Con el objeto de acotar el Costo del Proyecto dentro de márgenes razonables, se usarían, engeneral, antecedentes provenientes de estudios de ingeniería ejecutados, que contarán conpuntos o vértices sobre los cuales se hubiera hecho determinaciones de las coordenadas N, E,h mediante instrumental GPS geodésico; el punto debía contar además con cota determinadageométricamente o trigonométricamente (casos excepcionales), referida al nivel medio demar. Excepcionalmente para completar líneas que parecían de interés se ejecutarían con cargoal proyecto determinaciones GPS y/o nivelaciones geométricas.

Criterios Generales

a) Cubrir una zona de Chile Central que inicialmente se extendía entre La Serena por elNorte y Talca por el Sur. Desgraciadamente al sur de Santiago las líneas transversalesprevistas o que se trataron de incorporar, tenían solo datos parciales que después de la fase devalidación, impidieron considerarlas en el estudio.

Se cubrió en consecuencia una extensión norte-sur del orden de 700 km (La Serena-Camarico), pero en sentido transversal se cubrió hasta Valparaíso-Santiago-Baños Morales, yello sólo fue posible mediante un aporte de mediciones en terreno hechas por el Equipo delProyecto, que no estaban consideradas inicialmente, y por el aporte de datos de otrasEmpresas que facilitaron la información (Ver Tabla 1.1.A).

b) Cubrir Líneas cuya dirección general fuese N-S y W-E, ello en consideración a que elmapa de ondulaciones geoidales de Chile presenta en el área analizada líneas relativamenteparalelas en sentido N-S, con distintas separaciones en sentido W-E.

En la práctica resultó, que las Líneas analizadas poseen en definitiva sectores que discurren entodas las direcciones, lo que enriqueció la representatividad de la muestra en cuanto adirecciones.

24

c) Cuidar que la distancia máxima entre puntos con coordenadas y cotas conocidas fuesedel orden de 10 km como media, es decir 5 veces más denso que los datos que emplea la grilladel Modelo EGM96 (50 x 50 km). Excepcionalmente se debió aceptar puntos distanciados delorden de hasta 20 a 25 km para mantener la continuidad de la línea.

En la práctica según se puede apreciar en los Gráficos A1.1 al A1.14 (Anexo 1), las muestrasincluyen toda la gama de distancias; desde puntos consecutivos a 0,5 km (Santiago-Valparaíso y Viña del Mar-Limache), pasando por las más frecuentes con distancias entre 6 y14 km y unas pocas entre 20 y 25 km. Ello enriquece la muestra en cuanto a su distribuciónpor distancias. Además se deja constancia que los puntos no se seleccionaron con vistas aeste proyecto, sino que respondieron a las necesidades que tuvo en mente cada Consultor quehizo el estudio que se le había encomendado.

Se hace notar que las distancias informadas se obtuvieron a partir de las coordenadas de esapareja de puntos y no a la distancia medida a lo largo del camino.

Como conclusión de lo anterior, se puede establecer, que con la limitación expuesta en a), lamuestra cumple con lo previsto en el diseño del Proyecto.

Mucho más importante aún, en relación con el análisis estadístico que se desarrollará acontinuación, es el hecho de que por la forma en que se compuso la muestra esta deberíaconstituir una muestra aleatoria, por cuanto:

§ Las Líneas o los subtramos que la componen cubren diversas direcciones y diversasdistancias de mar a cordillera, sin que ello haya sido impuesto. Respecto de lo últimoexisten líneas muy próximas a la costa (Longotoma-Hornillos) y otras centrales como (LasChilcas-Santiago y Santiago-Camarico), en tanto las líneas transversales se fueronagregando en la medida que se dispuso de datos.

§ El muestreo de puntos a lo largo de las líneas presenta una diversidad importante dedistancias entre punto y punto (0,5 km a 25 km) y la longitud total entre puntos extremoscubre desde 19 km (Troncal Sur) a 140 km (La Serena-La Laguna) con la gran mayoría,10 de las 14, que cubren entre 45 y 90 km aproximadamente.

2.3 DISEÑO Y DESARROLLO DEL ANALISIS ESTADÍSTICO

En primera instancia se concibió la idea de emplear como variable de control la pendientemedia resultante de calcular el valor medio de las pendientes calculadas a partir de ladiscrepancia “Di” (Figuras A1.1 a A1.14 del Anexo 1) expresada en centímetros, respecto delorigen de la línea, dividida por la distancia al origen a partir de las coordenadas de los puntos,expresada en km, es decir:

25

pi = Di/Li (cm/km)

siendo el promedio de las n pendientes determinadas:

y su desviación estándar:

Gráficamente lo anterior se ilustra mediante un ejemplo de cuatro puntos:

D (cm)

L (km)1

4

3

2

L 2

L3

L4+D2

-D3

+D4

D (cm)

L (km)1

4

3

2

L 2

L3

L4+D2

-D3

+D4

En consecuencia una muestra de m puntos genera m-1 pendientes pi.

El análisis de este procedimiento simple sugirió la posibilidad de ir desplazando el origen decálculo sucesivamente de 1 a 2, de 2 a 3... etc., situación que le agrega aleatoriedad a lamuestra, pues el origen pudo estar en cualquiera de dichos puntos, a la par que se incrementesignificativamente el número de pendientes que así se generan.

En efecto:

D (cm)

L (km)1

4

3

2

L 1,2

L1,3

L1,4

L3,4

L2 ,4

L2,3

D (cm)

L (km)1

4

3

2

L 1,2

L1,3

L1,4

L3,4

L2 ,4

L2,3

con lo que a cada Lji se asocia un Djicon j número del punto considerado como origeni número del punto al que se le calcula la Discrepancia respecto del punto j

En este ejemplo se calculan por lo tanto 3 pendientes a partir de j = 1 (caso idéntico alilustrado inicialmente), 2 pendientes a partir de j = 2 y 1 pendiente a partir de j = 3, es decirun total de 6 pendientes en vez de sólo 3.

)km/cm(1n

2)*p (pi −−Σ=ó

(cm/km) npi *p =

Σ=

26

Generalizando se tiene que para m puntos de la línea se tienen )(m 21m−⋅ pendientes, o sea:

m = 4 ; 4 x 3/2 = 6 pendientesm = 10 ; 10 x 9/2 = 45 pendientesm = 20 ; 20 x 19/2 = 190 pendientes...... etc.

En la Tabla 2.3.A se presenta un ejemplo de cálculo real para la Línea Los Vilos-Hornillos,considerando las determinaciones hechas sobre 10 puntos.

El primer conjunto de datos contiene la identificación de cada punto; sus coordenadas N, E; ladiscrepancia Di respecto del origen (Pto. 1 como situación inicial), expresada en cms y con susigno; la pendiente máxima y la pendiente mínima resultantes del proceso; el promedio detodas las pendientes y la Desviación Estándar del Conjunto de pendientes.

El conjunto de datos de la parte inferior de la Tabla, detalla el cálculo para j = 1, i de 2 a 9; j =2; i de 3 a 9................ j = 9, sólo respecto de i = 10

El total de pendientes resultantes es 10 x 9/2 = 45.

Bajo la columna Rangos se indican los rangos definidos que abarcan 1 cm/km, y para cadauno de ellos, la frecuencia correspondiente al número de pendientes que quedaroncomprendidas en el rango.

Vistos los resultados correspondientes a las diversas líneas, todas las que presentan curvas dedistribución similares, se decidió hacer una muestra consolidada de todas las líneasdisponibles, procesadas igual que en el ejemplo ilustrado precedentemente, para luegograficar el resultado en la Figura 2.3.A.

Para ello se procedió en primer término a “filtrar” aquellas líneas que poseen puntos cada 500m en promedio (Viña del Mar - Limache y Valparaíso-Santiago) ya que de lo contrario estasaportarían a la muestra una cantidad desproporcionada de elementos respecto de las restantes.Se estimó que eliminando puntos para que quedaran distanciados aproximadamente 2 a 3 kmuno de otro, representarían de mejor forma la situación del conjunto.

En vista que los tramos originales tienen una longitud máxima de 138 km (Tramo La Serena –La Laguna), lo que no permite realizar análisis sobre extensiones mayores, se decidió unir laslíneas que poseían puntos en común, lográndose con ello, tramos de extensión mayor.Específicamente se unieron los tramos de Las Chilcas a Hornillos (extensión de 222 km) yRío Maipo – Camarico (extensión de 180 km), con lo que finalmente se obtuvo un nuevoconjunto de datos, compuesto de 6 “Líneas Largas” (Ver Figura 1.1.C). Sometido esteconjunto de datos a los mismos procesos que el conjunto de datos originales, se graficó lanube de puntos generada en la Figura 2.3.B.

Ni NOMBRE NORTE ESTE Li [Km] Di [cm]1 PR03 6,471,655.584 263,802.339 0 0.002 PR14 6,475,925.322 262,696.555 15.1 4.41 Nº DATOS3 P245 6,484,954.862 261,914.732 19.5 13.43 MAX 3.3710 2.50 3.371 34 PR43 6,495,345.386 260,615.430 54.8 23.90 MIN -1.4596 1.50 2.5 255 PR79 6,506,843.518 258,526.498 78 35.58 PROMEDIO 1.4231 0.50 1.5 106 P279 6,517,328.572 255,812.300 95.7 46.37 D EST 0.9731 -0.50 0.5 47 PR82 6,526,418.180 253,923.525 112.2 55.65 -1.46 -0.5 38 AUX1 6,537,170.896 253,313.698 136.1 66.35 459 R104 6,547,422.494 251,484.464 120.9 76.76

10 R187 6,556,339.130 251,927.058 114.7 85.51

DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND DIST [km] PEND4.41 3.42

13.43 1.45 9.06 0.4923.90 2.29 19.53 2.03 10.47 3.3735.58 2.19 31.20 2.02 22.15 2.64 11.69 1.9946.37 2.06 41.97 1.92 32.94 2.31 22.50 1.82 10.83 1.6355.65 2.02 51.25 1.89 42.23 2.20 31.79 1.81 20.11 1.70 9.28 1.7866.35 2.05 61.96 1.95 52.92 2.20 42.46 1.91 30.77 1.89 20.00 2.02 10.77 2.2276.76 1.58 72.37 1.46 63.33 1.60 52.87 1.25 41.19 1.04 30.40 0.83 21.15 0.41 10.41 -1.4685.51 1.34 81.13 1.23 72.08 1.32 61.61 0.97 49.93 0.73 39.20 0.48 29.99 0.08 19.22 -1.11 8.93 -0.69

TOTAL

RANGO (TOTAL) RANGOS

TABLA 2.3.ATRAMO LOS VILOS - HORNILLOS

28

Figura 2.3.A Valores de las Pendientes Di/Li(cm/km) para toda la Muestra

-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

101112

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

(km)

p (cm/km)

Figura 2.3.B Valores de las Pendientes Di/Li (cm/km) para las Líneas > 50 km

-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

101112

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

(km)

p (cm/km)

29

La Figura 2.3.A insinúa que la muestra total podría tener una Distribución Normal, situaciónque se analizará en 2.4

Para la muestra total (Fig. 2.3.A) y hasta una distancia a 50 kms, se procedió a definir submuestras correspondientes a los rangos de distancia que se consignan en la Tabla 2.3.B,indicando para cada rango la frecuencia o cantidad total de pendientes (Di/Li) comprendidasen el rango, el valor promedio p* (cm/km), y la desviación estándar σ (cm/km), calculadaspara cada sub muestra.

Tabla 2.3.BParámetros de las Sub-muestras

Rango de distancias(km)

Frecuencia p* (cm/km) σ (cm/km)

0 - 2 75 0.41 ± 3.812 - 5 239 0.14 ± 3.015 - 10 385 0.34 ± 2.6410 - 15 335 0.39 ± 2.1915 - 20 304 0.44 ± 2.0420 - 25 272 0.56 ± 1.8225 - 30 235 0.57 ± 1.9330 - 40 366 0.49 ± 1.7840 - 50 252 0.25 ± 1.65

30

2.4 TRATAMIENTO ESTADISTICO DE LA MUESTRA

2.4.1 Aspectos Generales

La distribución Normal Estandarizada, también conocida como Campana de Gauss, secaracteriza por tener un promedio = 0 y un área bajo la curva, delimitada por rectas levantadasen ± 2σ igual al 95,45% del área total, y de un 90% del área para ± 1,645 σ.

En la Figura 2.4.A se ilustra el histograma de la muestra total considerando rangos para(Di/Li), de 1 cm/km; el gráfico insinúa que los datos de la muestra total se comporta comouna distribución normal, ya que el promedio “p*” es cercano a cero y las áreas a cada lado de“p*” son similares.

2.4.2 Sub-Muestras Hasta 50 km del Origen

Para verificar el comportamiento de las sub-muestras, con datos hasta 50 km del origen, seaplicó el Test Estadístico Chi Cuadrado, con el objeto de probar la hipótesis de normalidad.Se definieron 6 clases (K=6) y como parámetros se consideraron la media y la desviaciónestándar (S=2), se tienen así 3 Grados de Libertad (υ), resultante de la relación (υ=K-S-1).Con ello, para un 95% de confianza y con 3 Grados de Libertad, el valor teórico de Chi-Cuadrado corresponde a: χ2

3:95% = 7,815.

Al efectuar la comparación de las frecuencias observadas con las teóricas, sólo 2 de las 9 sub-muestras pasaron el test de Chi Cuadrado, indicando para estas dos que no se puede rechazarla hipótesis de distribución normal al 95% de confianza.

No obstante lo anterior, con el objeto de verificar empíricamente el comportamiento de lasdiscrepancias extremas dentro de cada rango de distancias, se procedió a calcular con losdatos de los parámetros de cada sub-muestra, que figuran en la Tabla 2.3.B (p* y σ), loslímites (p* +1,645 σ) y (p* +2σ), que se denominaron Discrepancia Unitaria “±d (cm/km)”.

TABLA 2.4.AVALORES DE LA DISCREPANCIA UNITARIA “d” (cm/km) PARA LOS

DIFERENTES RANGOS DE DISTANCIAp* ±1,645σ p* ±2σRango de

Distancias (km) n P* (cm/km) σ (cm/km)-d cm/km +d cm/km -d cm/km +d cm/km

0 – 2 75 0,41 3,81 -5,85 6,67 -7,20 8,022 - 5 239 0,14 3,01 -4,80 5,09 -5,87 6,165 - 10 385 0,34 2,64 -4,00 4,68 -4,93 5,61

10 - 15 335 0,39 2,19 -3,22 3,99 -3,99 4,7715 - 20 304 0,44 2,04 -2,91 3,80 -3,64 4,5320 - 25 272 0,56 1,82 -2,44 3,56 -3,09 4,2125 - 30 235 0,57 1,93 -2,60 3,73 -3,29 4,4230 - 40 366 0,49 1,78 -2,44 3,41 -3,07 4,0440 - 50 252 0,25 1,65 -2,47 2,96 -3,05 3,55

Aplicando estos valores de ±d en el centro de los rangos de distancia, se trazaron las curvasenvolventes a la nube de puntos, según se ilustra en la Figura 2.4.B.

31

Figura 2.4.A Distribución de Frecuencia de la Muestra Total

0

100

200

300

400

500

600

10.7

10.09.08.07.06.05.04.03.02.01.00.0-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

-5.0

-6.0

-7.0

-8.0

-9.0

-9.9

Nº DE DATOS = 2.859PROMEDIO = 0,38 cm/km

DESV ESTANDAR = 2,13 cm/km

Figura 2.4.B Valores de las Pendientes (cm/km) por Rangos con Envolventes (95% y 90%)

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0

límites al 95% de confianzalímites al 90% de confianza

km

p (cm/km)

2 5 10 15 20 25 30. 40 50

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0

límites al 95% de confianzalímites al 90% de confianza

km

p (cm/km)

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.00.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 30.0 32.5 35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0

límites al 95% de confianzalímites al 90% de confianzalímites al 95% de confianzalímites al 90% de confianza

km

p (cm/km)

2 5 10 15 20 25 30. 40 502 5 10 15 20 25 30. 40 50

32

Como complemento de lo anterior se determinó la cantidad de puntos que caen fuera de cadacurva envolvente, resultado que se presenta en la Tabla 2.4.B., en la que se calcula elporcentaje respecto del total de puntos de cada sub-muestra.

TABLA 2.4.BNúmero de Puntos Fuera de las Curvas Envolventes

Para 90% de Confianza Para 95% de ConfianzaRango Dist. km n p*+1,645 σ p*-1,645 σ Total % p* + 2σ p* - 2σ Total %

0 – 2 75 3 4 7 9,3 1 2 3 4,02 – 5 239 8 12 20 8,4 2 5 7 2,95 – 10 385 9 13 22 5,7 4 4 8 2,1

10 – 15 335 5 12 17 5,1 0 7 7 2,115 – 20 304 7 15 22 7,2 3 6 9 3,020 – 25 272 3 24 27 9,9 1 4 5 1,825 – 30 235 3 18 21 8,9 2 2 4 1,730 – 40 366 6 35 41 11,2 5 9 14 3,840 - 50 252 4 22 26 10,3 4 10 14 5,6

Los resultados de la Tabla 2.4.B muestran que para la envolvente al 90%, sólo los rangos 30-40 km y 40-50 km, superan levemente el 10%, e incluso en dichos rangos, varios de lospuntos que superan la envolvente están prácticamente sobre ella; en tanto que para laenvolvente al 95%, solo el rango 40-50 km supera muy levemente el 5%, también con variospuntos en la envolvente.

En consecuencia, si bien el Test Chi Cuadrado rechazó la hipótesis de normalidad en 7 de los9 casos, posiblemente por la forma que adopta la distribución empírica (Histograma de laMuestra), al interior de los límites p* ± x σ, fuera de dichos límites se cumplen lascondiciones en cuanto al número de puntos que los exceden (Valores máximos de “pi” paracada sub muestra)

A partir de lo anteriormente expuesto, al calcular la discrepancia D (cm) con que predice elmodelo EGM96 el valor de N, a una distancia L (km) del punto de elevación Ho conocida,mediante los valores de la Tabla 2.4.A y las expresiones:

Dcm = (p* ± 1,645) x L para un 90% de ConfianzaDcm = (p* ± 2σ) x L para un 95% de Confianza,

siendo p* y σ los del rango correspondiente, estadísticamente, se está por el lado de laseguridad, ya que en la mayoría de los casos menos de un 10% de los puntos cae fuera delrango para p* ± 1,645σ y menos de un 5% de los puntos cae fuera del rango p* ± 2σ, sinimportar lo que sucede en cuanto a la distribución de los valores de “D” al interior de dichoslímites.

Visto lo anterior se concluye, que dentro del área del proyecto, al emplear las expresionesprecedentes, el error o discrepancia en que se incurre al predecir ∆N mediante el ModeloEGM96, será menor o igual que el calculado, en un 90% o en un 95% de los casos, según elNivel de Confianza considerado.

En el Acápite 4.2 “Conclusiones para líneas Hasta 50 km”, se presentan las Figuras 4.2.A y Ben que se grafican los valores Dcm en función de L(km) para un 90% y un 95% de Confianza.

33

2.4.3 Discusión Sobre Líneas Largas.

Del análisis de los datos presentados en la Figura 2.3.B, se percibe un comportamientodiferente al visto precedentemente, en los rangos superiores a 50 km. Se procedió enconsecuencia a analizar por separado las 6 “Líneas Largas” para distancias al puntoconsiderado como origen comprendidas entre 50 y 150 km. De ello resulta el Gráfico 2.4.C.

En virtud de que los valores de la pendiente “p”, para estos rangos, muestran límitesrelativamente bien definidos, se adoptaron los siguientes límites empíricos.

TABLA 2.4.CSUB-MUESTRA DE LINEAS ENTRE 50 Y 150 KM

Nº total de puntos 707Nº de ptos fuera de límites –3>p>+3cm/km 18% de ptos fuera de límites –3>p>+3cm/km 2.5%

Valor mínimo -4,27 cm/kmValor máximo 4,67 cm/km

Por consiguiente, se concluyó que, para longitudes de líneas entre 50 y 150 km, el 97,5% dela muestra de pendientes está contenida entre dos rectas de valores –3,0 y 3,0 cm/km, trazadoenvolvente que se incluye en el Gráfico 2.4.C

Figura 2.4.C Valores de las Pendientes (cm/km) para Líneas entre 50 y 150 km

-6.0

-5.5

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

p (cm/km)

km-6.0

-5.5

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 15050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

p (cm/km)

km

34

Lo anterior indica que para distancias al origen comprendidas entre 50 y 150 km, ladiscrepancia “D” con que el Modelo EGM96, predice el valor de N, en la zona del proyecto,queda dada por la expresión:

Dcm = ±3 (cm/km) ⋅L (km)

El rango así definido incluye el 97,5% de los puntos de la Muestra de Líneas Largas. Masaún, para distancias al origen superiores a 80 km, quedan incluidos el 100% de los puntos,según se aprecia en la Figura 2.4.C.

La aplicación de estos resultados para distancias entre 50 y 150 km, en zonas en que no secuenta con Puntos de Nivelación (IGM), resulta del hecho que la predicción mediante elModelo EGM96, da resultados normalmente más cercanos a la realidad, que si se extrae unacota de una carta sistemática, por ejemplo 1:50.000.

35

3. ANALISIS DE AREAS

3.1 DESCRIPCION DEL EJEMPLO EMPLEADO

Para ilustrar los fenómenos locales asociados al Geoide, se aprovecharán los antecedentescorrespondientes a una Poligonal Topográfica ejecutada con teodolito y distanciómetro, en lazona de Corral Quemado-Loma del Viento, del Camino a Farellones (LEN y Asociados 1989)de la cual perduran los vértices monumentados en hormigón para ese trabajo, a los cuales se lesdio cota trigonométrica en circuito cerrado y compensado como parte de aquel trabajo. En esteProyecto se midieron coordenadas geodésicas mediante GPS (Diciembre 2000) ligando todo eltrabajo a la Estación Activa GPS (SANT) de Referencia de la Red Mundial IGS existente enPeldehue, datos que están disponibles vía Internet en: http:\\www.cddisa.gsfc.nasa.gov.

La Figura 3.1.A que se presenta a continuación, ilustra la zona en que se emplaza la poligonal ysus alrededores, todo en terreno montañoso con fuertes desniveles W-E y N-S, si se considerapara esta última dirección un perfil entre el Estero Manzanito y el Río Molina.

La poligonal consta de 12 vértices DV-1 a DV-12 a los que se agregó un vértice adicional (EST1) en Diciembre del 2000. El desnivel total de la Poligonal es:

DV-1 Loma del Viento 2.211,25 m.s.n.m.DV-8 Corral Quemado 1.372,63 m.s.n.m.

∆H = 832,62 m

El que se da en una longitud DV1-DV8 de ∼ 3.550 m.

En consecuencia, la pendiente media del terreno expresada en cm/km, para usar las mismasunidades que se están usando para la ondulación geoidal, es de 83.862cm/3,55km, o bien,23.482cm/km, es decir 23,48% como se expresa habitualmente la pendiente del terreno.

Para el mismo tramo la variación geoidal determinada fue de :

DV-1 N real (h elipsoidica – H msnm) = 31,58 mDV-8 N real (h elipsoidica – H msnm) = 31,13 m

∆N = 0,45 m

lo que equivale a 45 cm/3,55 km = 12,7 cm/km

Es decir, para este caso particular a una variación de cota del terreno de 832,62 m, lecorresponde una variación geoidal de 0,45 m, o sea, la variación de la cota de terreno esaproximadamente 1.860 veces mayor que la variación de N en el mismo tramo.

36

37

3.2 GENERACION DE UN MODELO GEOIDAL LOCAL

A continuación se ilustra el procedimiento para generar un Modelo Geoidal Local, usando 11vértices de la poligonal (se excluye DV-08 que por ser un punto extremo de la Poligonaldistorsiona parcialmente esa zona del modelo) y se agrega la EST 1 que es interior al resto).

Con las Coordenadas Norte, Este y con el N real de cada punto, usando un programa paragenerar modelos de terreno, es decir planos de curvas de nivel, se genera el Modelo que sepresenta en la Figura 3.2.A. Nótese que las curvas que conforman el modelo entregan unavariación de 42 cm, los 3 cm que faltan para la variación de 45 cm vista anteriormente losaportaba el DV-08 que no se consideró en este cálculo.

El modelo generado permite calcular el Valor de N en cualquier punto al interior de la figuradelimitada por los Vértices externos DV-01, DV-04, DV-07, DV-09; basta solo introducir lascoordenadas del punto para obtener el valor de N, o bien, leer gráficamente del plano.

En la Figura 3.2.B se ilustran las ondulaciones geoidales obtenidas a partir del Modelo EGM96,corregidas según el valor del N real del vértice DV-11, también con curvas cada 1 cm.Analizando el plano se observa que al avanzar hacia el borde DV-02; DV-04, el modelo prediceun N de 31,52 m, es decir 11 cm menor que en el Modelo Local Real, algo similar ocurre haciael borde DV-07, DV-09. Este efecto se refleja en el hecho que las rectas cada 1 cm están másespaciadas. Lo anterior muestra que el modelo EGM predice en esa zona con una discrepanciapor defecto.

Obviamente en DV-11, la discrepancia es nula, por cuanto los datos del Modelo EGM96 fueroncalibrados con el valor del N real que corresponde a dicho punto.

Dado que en este caso los bordes DV-02; DV-04 y DV-07; DV-09 distan aproximadamente 1,5km del DV-11, la discrepancia unitaria, resultante es de:

D (cm/km) = 11 cm/1,5 km = 7,33 cm/km

Que es el del orden de los valores calculados para “d” en el rango de 0-2,0 km, en el análisis delas 14 Líneas (Ver Tabla 2.4.A).

38FIGURA 3.2.A

373500 374000 374500 375000 375500 376000 376500

6308500

6309000

6309500

6310000

DV01

DV02

DV03

DV04

DV05

DV06

DV07

DV09

DV10

DV11

DV12

EST1

MODELO LOCAL

FIGURA 3.2.B

373500 374000 374500 375000 375500 376000 376500

6308500

6309000

6309500

6310000

DV01

DV02

DV03

DV04

DV05

DV06

DV07

DV09

DV10

DV11

DV12

EST1

MODELO EGM96 REDUCIDO AL DV11

39

La Figura 3.2.C obtenida por diferencia entre ambos modelos: (Real Local) – (EGM 96),muestra las discrepancias entre ambos, para cualquier punto del área.

FIGURA 3.2.C

DIFERENCIA MODELO LOCAL - EGM96

373500 374000 374500 375000 375500 376000 376500

6308500

6309000

6309500

6310000

DV01

DV02

DV03

DV04

DV05

DV06

DV07

DV09

DV10

DV11

DV12

EST1

Nótese que al haber elegido el punto DV-11, localizado aproximadamente en el centro del área,se logra reducir las discrepancias extremas en sentido W-E y que la discrepancia en sentido N-S,son mucho menores que en sentido W-E.

403.3 GENERACION DE UN MODELO GEOIDAL LOCAL CON MENOS PUNTOS

Análogamente al primer caso de modelo local, se confeccionó un modelo a partir de los datos desólo 4 puntos; dos en cada extremo del área en sentido W-E cuya superficie se muestra enFigura 3.3.A. Este modelo es en su configuración muy similar de la Figura 3.2.A, lo quesignifica que no existe pérdida de precisión apreciable al considerarse sólo los 4 puntosmencionados. Para este modelo local queda claro que el aumento del número de puntosnivelados trigonométricamente al interior de la poligonal, no mejora sustancialmente laprecisión final. En forma práctica, es posible dar cota a 7 puntos de la Poligonal y a la EST 1mediante GPS, habiendo nivelado trigonométricamente solo los 4 vértices exteriores, y el errormáximo será del orden de 3 a 5 cm, respecto de haberlos nivelado todos. Todo ello en elentendido que dichos vértices tienen por objeto servir de estaciones para un levantamiento opara dar coordenadas y cotas a una restitución aerofotogramétrica, pudiendo en esos casos servirpara levantar planos en escala 1:1000, como mayor escala y sobradamente para escalas 1:2000 ymenores.

Figura 3.3.A Modelo Local con 4 Puntos

373500 374000 374500 375000 375500 376000 376500

6308500

6309000

6309500

6310000

DV01

DV02

DV03

DV04

DV05

DV06

DV07

DV09

DV10

DV11

DV12

EST1

La figura 3.3.B presenta el resultado del mismo Modelo Local pero agregando un quinto puntoal interior de los cuatro iniciales (DV-11), se concluye que dicho punto adicional mejora algo laprecisión del Modelo, pues reduce las diferencias respecto de 3.2.A al rango de 1 a 3 cm.

Figura 3.3.B Modelo Local con 5 Puntos

373500 374000 374500 375000 375500 376000 376500

6308500

6309000

6309500

6310000

DV01

DV02

DV03

DV04

DV05

DV06

DV07

DV09

DV10

DV11

DV12

EST1

41

3.4 EFECTO DE LA TOPOGRAFIA LOCAL AL INTERIOR DEL AREA ANALIZADA

Si bien el Modelo Geoidal Real presentado en la Figura 3.2.A, y siguientes, está indicando quelos desniveles locales del terreno prácticamente no influyen en la variación de N, se ha queridoreforzar este concepto mostrando 2 Perfiles del terreno y su variación geoidal asociada.

En el Plano 3.1.A, el recuadro más obscuro delimita el área que se amplía a escala 1:10.000 enla Figura 3.4.A, proveniente de una restitución aerofotogramétrica efectuada por AEROTOP porencargo de Len y Asociados en 1989, todo ello bajo contrato con la Dirección de Vialidad.

En dicho plano se destacan dos perfiles; NW-SE el primero y aproximadamente W-E elsegundo, los que se intersectan sobre la EST1, levantada al objeto en Dic. 2000.Sobre dichoplano se leyeron distancias y cotas de terreno a partir del extremo NW y W respectivamente, lasque se presentan en la Figura 3.4.B, con línea gruesa. Bajo dicha línea se presenta una segundaque muestra la ondulación geoidal a lo largo del respectivo perfil, apoyándose en los valoresdeterminados en Vértices contenidos o muy próximos al perfil; o en un par de vértices quepermiten interpolar.

El perfil NW-SE (Figura 3.4.B) presenta una variación de cota del orden de 750 m y unavariación geoidal máxima de 8 cm; el cambio de pendiente insinúa el efecto de la profundaquebrada del Río Molina hacia la cual desciende el perfil al prolongarse más allá de los 2.500m(Ver línea fina punteadas en Figura 3.1.A).

El Perfil W-E (Figura 3.4.C) presenta una variación de cota del terreno de 600 m asociada a unavariación geoidal de 17 cms. Como el Perfil W-E sigue internándose en la cordillera lapendiente geoidal según este perfil es mayor que la del perfil anterior.

Finalmente, si se analiza el Modelo Geoidal Local, (Figura 3.2.A) se verifica que los desnivelesparciales del terreno, creados por quebradas menores solo alteran muy levemente el paralelismode las curvas geoidales, lo que de influir, lo hace muy levemente, tal vez como máximo unos 10mm.

43FIGURA 3.4.BPERFIL NW-SE

FIGURA 3.4.CPERFIL W-E

Escala de los Perfiles:Perfil del Terreno: En Horizontal Arbitraria

En Vertical ∼ 1:10.000Ondulación Geoidal: En Vertical ∼

NW – SE : 1 cm del plano ~ 5 cm para NW – E : 1 cm del plano ~ 10 cm para N

1500

1750

2000

2250

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

km

altu

ra s

obre

al N

MM

31.50

31.55

31.60

ondu

laci

ónge

oida

l

1500

1750

2000

2250

0 500 1000 1500 2000

km

altu

ra s

obre

al N

MM

ondu

laci

ón g

eoid

al

31.45

31.55

31.65

44

3.5 CONCLUSIONES PARCIALES

a) La utilización directa del modelo EGM96 en el transporte de alturas sobre el NMM, a partirde desniveles elipsoidales, acarrea en este caso una degradación del orden de 7,3 cm/kmrespecto del Modelo real, valor en el orden del encontrado para los tramos linealesconsiderados en el proyecto para el mismo rango de distancia (0-2 km).

b) Manteniendo precisiones compatibles con la nivelación trigonométrica, es posible obtenerresultados similares, modelando un geoide local apoyado en puntos nivelados en losextremos del área considerada, determinados mediante GPS y el Modelo EGM96 con apoyoen un solo punto (DV-11), para luego modelar la variación de N según lo ilustradoprecedentemente.

La ventaja reside en que una nivelación trigonométrica ejecutada rigurosamente para los 13puntos involucrados puede tomar 4 ó 5 días de trabajo como mínimo, y que lasdeterminaciones con GPS de los cuatro puntos se pueden ejecutar en una mañana de trabajo.En ambos casos se debe contar en el área con al menos 1 punto con cota geométrica otrigonométrica que sirva de apoyo, por ejemplo en DV-11, bajándolo trigonométricamentedesde el “Cerro del Medio”, como se hizo en el trabajo original de 1989, y adicionalmenteun desnivel trigonométrico, por ejemplo, entre DV-11 y DV-02, para determinar la variacióngeoidal real del área.

El trabajo para referenciar planimétricamente la Poligonal mediante topografía tradicional,requiere de al menos dos vértices de un Sistema de Coordenadas de Orden Superior,intervisibles en el área, los que suelen estar en las cumbres más altas y bastante alejadas. En1989 se debió subir al Vértice IGM Cerro del Medio (Ver Fig. 3.1.A) y al vértice Canoitas,localizado fuera del área de dicho plano, trabajo que requirió 2 días, en tanto que hoy endía, mediante GPS, la referenciación planimétrica se puede lograr respecto de una estaciónremota como se hizo en Diciembre del 2000, sin requerir de trabajos que insuman tiempo yque en algunas oportunidades resultan riesgosos para el personal y los equipos.

c) Por último, y quizás uno de los objetivos principales de este Análisis de Areas, es que sedemuestra la afirmación inicial de que la variación del geoide en tramos de longitudmoderada, es pequeña respecto de las grandes variaciones locales de cota, y que ella seproduce de manera paulatina sin cambios bruscos de la pendiente.

d) De todo lo expuesto precedentemente y del análisis de las Figuras 2.1.4.A, B y C sedesprende que el geoide es una superficie ondulada de contornos curvos, sin vértices olíneas de quiebre, que representen cambios bruscos de pendiente, y las situaciones extremascomo el “cerro geoidal” que figura en la imagen 3D (Figura 2.1.4.C) frente a Rancagua,constituyen casos muy especiales, cuya real influencia hacia el valle central en el grado queallí figura, merece al menos una duda razonable, según la evidencia parcial detectada en laLínea Puente Maipo-San Fernando.

45

4. CONCLUSIONES

4.1 IMPACTO DEL PROYECTO

La relevancia del Proyecto para obras de ingeniería, está dada por el aumento deaplicabilidad y oportunidad de uso de determinaciones altimétricas mediante GPS,considerando la predicción de las ondulaciones geoidales mediante el modelo EGM96.

Para evaluar el impacto se validó la determinación altimétrica de acuerdo a los valoresque figuran en la nueva edición del Manual de Carreteras Capítulo 2.300 (AspectosGeodésicos y Topográficos), Versión 2001, en que al menos un 90% de los puntos a losque se le determine cota con GPS, debidamente corregidas mediante las ondulacionesgeoidales que predice el Modelo EGM96, tengan un error menor o igual que elindicado a continuación:

Puntos Estaciones de Esteroscópicos Levantamientos

1,20 m para planos en escala 1:10.000 o menores 1,250,60 m para planos en escala 1.5.000 o menores 0,6250,25 m para planos en escala 1:2.000 o menores 0,250,11 m para planos en escala 1:1.000 o menores 0,125

Durante el desarrollo del presente Proyecto, se verificó el comportamiento del ModeloEGM96, para datos validados mediante 14 Líneas con determinaciones GPS y de cotaOrtométrica, cubriendo 1075km que incluyen 251 puntos, entre La Serena (IV Región) y lascercanías de Talca (VII Región). Finalmente se concluye que puede ser empleado paracorregir las determinaciones altimétricas hechas con GPS en distancias de hasta 35 km paraplanos 1:10.000, y como se esperaba, en distancias menores para planos de mayor escala,con un límite de 1,6 km para escalas 1:1000, todo ello al 90% de Confianza y de 27 km y 1,4km al 95% de Confianza, según se detalla en la Tabla 4.2.1.

4.2 CONCLUSIONES PARA LINEAS HASTA 50 km

Del desarrollo y tratamiento de los datos, para líneas con extensión hasta 50 km se calculó,para el área del proyecto, el valor de la Discrepancia Unitaria “d (cm/km)” para losdiferentes rangos de distancia al origen de coordenadas conocidas, con que el ModeloEGM96 predice el valor de N, datos que se presentaron en la Tabla 2.4.A para un 90% y un95% de Confianza.

La Discrepancia Total “D”, en función de la distancia al origen de coordenadas y cotaconocida queda entonces dada por:

D = ±d (cm/km) ⋅ L (km)

con “d” según el rango en que cae el valor de “L” (Tabla 2.4.A) y el nivel de Confianza quese desea emplear.

En las Figuras 4.2.A y B se grafican los Valores de D(cm) en función de L(km) y el Nivel deConfianza seleccionado.

46

Figura 4.2.ADiscrepancia “D” (cm) Calculado para 90% y 95% de ConfianzaUsando el Modelo EGM96, a Diferentes Rangos de Distancia.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

distancia (km)

D (cm)

95% confianza

90% confianzaPolinómica (95% confianza)

Polinómica (90% confianza)

Figura 4.2.BDiscrepancia “D” (cm) Calculado Para 90% y 95% de ConfianzaUsando el Modelo Geoidal EGM96, a Diferentes Rangos de Distancia

40

60

80

100

120

140

160

180

200

10 15 20 25 30 35 40 45 50

distancia (km)

D (cm)

95% confianza90% confianzaPolinómica (95% confianza)Polinómica (90% confianza)

Las curvas en los gráficos están trazadas como aquellas de mejor ajuste respecto de losvalores de “d x L”, siendo L el valor medio de cada rango y “d” el valor positivo que figuraen la Tabla 2.4.A para 90 y 95% de Confianza. Nótese que al seleccionar el valor positivode “d”, se obtiene el D máximo, en valor absoluto, pues p* es siempre positivo, por lo cual alseleccionar “-d” se tendrá siempre un error menor en términos absolutos.

Los valores para D leídos en los gráficos son bastante representativos de los resultadosobtenidos; un cálculo más exacto al interior del rango, se puede hacer empleandodirectamente los valores de “d” consignados en la Tabla 2.4.A. Sin embargo, los valores dela Tabla, elaborados con el valor medio del rango de distancia, presentan una discontinuidaden las fronteras de cada rango, problema que queda solucionado en las Figuras precedentes,que en la práctica interpolan entre dichos valores suavizando la discontinuidad.

47

De lo anterior se dedujo la distancia máxima para la cual se pueden emplear procedimientosGPS geodésicos y estimaciones de la Ondulación Geoidal “N” mediante el Modelo EGM96,para determinar altura (o cota) de puntos estereoscópicos, según escala del plano y nivel deconfianza:

TABLA 4.2.1

Distancia Máxima (km)Escala del Plano Tolerancia (m)al 90% al 95%

1:10.000 1,20 35,0 27,01:5.000 0,60 15,8 12,51:2.000 0,25 5,3 4,01:1.000 0,11 1,6 1,4

Ampliando estas conclusiones a estaciones para levantamientos distanciométricos de Planosde Planta, considerando que la tolerancia, es del orden de 1/8 de la equidistancia entre curvasde nivel, y con un 90% de confianza, se tiene:

TABLA 4.2.2

Escala del Plano Equidistancia (m) Tolerancia (m) Distancia Máxima (km) al 90%1:10.000 10 1,250 36,51:5.000 5 0,625 16,41:2.000 2 0,250 5,31:1.000 1 0,125 1,8

48

4.3 CONCLUSIONES PARA LINEAS SUPERIORES A 50 km

Los resultados obtenidos, indican que, para líneas de longitudes entre 50 y 150 km, el 97,5%de la muestra está contenida entre los límites de –3,0 y +3,0 cm/km, equivalentes a±3m/100km.

La aplicación concreta de lo anterior es el uso del Modelo EGM96 y GPS para el transportede alturas de puntos de control altimétrico en zonas muy apartadas. En estos casos,generalmente resulta ser más confiable determinar las cotas mediante GPS y ModeloEGM96 en vez de extraerlas de la cartografía sistemática existente.

4.4 CONCLUSIONES RESPECTO A AREAS

Del desarrollo de un Modelo Geoidal Local en un área de aproximadamente 3 km2, con 12vértices con coordenadas geodésicas mediante GPS y nivelación trigonométrica referida alNMM, se concluye que el modelo EGM96 representa adecuadamente la tendencia devariación del geoide, a pesar de tratarse de una zona en que el terreno presenta grandesdesniveles, tanto en el sentido W-E como en el N-S.

La aplicación del modelo EGM96 en el transporte de alturas sobre el NMM, a partir dedesniveles elipsoidales, presentó en este caso una degradación del orden de 7,3 cm/kmrespecto del Modelo real, valor similar al encontrado en los tramos lineales del proyecto parael rango de distancias correspondiente (0-2 km), en el que para un 90% de Confianza seregistra una discrepancia máxima de 6,67 cm/km y para un 95% de Confianza de 8,02cm/km.

ANEXO 1

GRÁFICOS DE ONDULACIÓN GEOIDAL

FIGURA A1.1

HORNILLOS - LA HERRADURA

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.2

LOS VILOS - HORNILLOS

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

distancia (km)

(m) N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.3

LONGOTOMA - LOS VILOS

-2

-1

0

0 10 20 30 40 50 60

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.4

LAS CHILCAS - LONGOTOMA

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.5

QUILICURA - LAS CHILCAS

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50 60 70

distancia (km)

(m)N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.6

RIO MAIPO - SAN FERNANDO

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

distancia (km)

(m) N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.7

SAN FERNANDO - CAMARICO

-4

-3

-2

-1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.8

LA SERENA - LAGUNA

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 20 40 60 80 100 120 140

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.9

PELAMBRES

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.10

LIMACHE - VIÑA

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

distancia (m)

(m)

N (EGM)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.11

LLAY LLAY - LOS ANDES

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50 60

distancia (km)

(m) N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.12

TRONCAL SUR

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.13

RUTA 68 VALPARAISO - SANTIAGO

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

distancia (km)

(m) N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.14

SAN JOSÉ DE MAIPO - BAÑOS MORALES

-1

0

1

2

0 10 20 30 40

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

FIGURA A1.15

LAS CHILCAS - HORNILLOS

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

distancia (km)

(m)

N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96)N - (REAL)

FIGURA A1.16

RIO MAIPO - CAMARICO

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 25 50 75 100 125 150 175 200

distancia (km)

(m)N (EGM96)

N (REAL)

N (EGM96) - N (REAL)

ANEXO 2

TABLAS DE LA BASE DE DATOS DEL PROYECTO

TABLA A2.1HORNILLOS - LA HERRADURA Origen de la Línea : Hornillos

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 E-6 6564370.33 251309.99 325.28 299.46 23.84 0.00 0.00 0.002 E-17 6572199.08 247789.49 131.68 106.40 23.27 -0.54 -0.57 -0.033 E-31 6585597.91 252012.35 338.62 312.66 24.01 0.14 0.17 0.034 E-41 6593441.53 256422.39 259.06 232.65 24.74 0.58 0.90 0.325 E-98 6601945.93 258719.66 119.76 93.15 25.13 0.79 1.29 0.506 E-108 6612200.31 260588.83 246.33 219.36 25.46 1.15 1.62 0.477 E-114 6620075.95 261433.23 221.26 194.01 25.63 1.43 1.79 0.368 E-116 6623159.35 261944.33 216.04 188.69 25.72 1.52 1.88 0.369 E-122 6631023.76 264349.32 156.38 128.82 26.15 1.74 2.32 0.58

10 E-129 6639818.02 266541.74 153.46 125.93 26.56 1.71 2.72 1.0111 E-133 6644531.26 268511.12 162.85 135.05 26.90 1.97 3.07 1.0912 E-136 6649708.29 269680.61 148.66 120.78 27.11 2.06 3.27 1.21

TABLA A2.2LOS VILOS - HORNILLOS Origen de la Línea : Los Vilos

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 PR03 6471655.58 263802.34 19.09 14.58 23.20 0.00 0.00 0.002 PR14 6475925.32 262696.56 110.78 106.48 23.14 -0.21 -0.06 0.153 P245 6484954.86 261914.73 49.15 44.76 23.28 -0.11 0.08 0.204 PR43 6495345.39 260615.43 108.76 104.54 23.46 -0.28 0.27 0.555 PR79 6506843.52 258526.50 71.72 67.63 23.55 -0.42 0.36 0.786 P279 6517328.57 255812.30 168.14 164.33 23.46 -0.70 0.26 0.967 PR82 6526418.18 253923.53 141.52 137.91 23.42 -0.90 0.22 1.128 AUX1 6537170.90 253313.70 258.61 255.00 23.66 -0.90 0.46 1.369 R104 6547422.49 251484.46 350.39 346.76 23.53 -0.88 0.33 1.21

10 R187 6556339.13 251927.06 326.97 323.09 23.72 -0.63 0.52 1.15

TABLA A2.3LONGOTOMA - LOS VILOS Origen de la Línea : Longotoma

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 PR03_0 6413273.92 276863.35 37.47 32.20 23.95 0.00 0.00 0.002 PR28 6421502.54 268663.55 82.33 77.95 22.91 -0.89 -1.04 -0.153 PR53 6432237.16 263511.09 71.17 67.32 22.29 -1.41 -1.66 -0.254 PR73 6441436.02 264275.44 33.92 29.77 22.58 -1.12 -1.37 -0.265 PR95 6451909.56 262764.14 40.71 36.79 22.50 -1.35 -1.45 -0.106 R119 6462939.72 265195.01 131.34 126.52 23.15 -0.45 -0.79 -0.34

TABLA A2.4LAS CHILCAS - LONGOTOMA Origen de la Línea : Las Chilcas

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 PR01 6360835.28 327883.84 646.74 635.87 27.45 0.00 0.00 0.002 PR39 6364426.29 310476.14 380.82 371.47 26.47 -1.53 -0.98 0.553 PR56 6364524.97 302314.61 296.08 287.62 25.86 -2.42 -1.59 0.834 PR91 6378857.25 293354.01 236.85 229.02 25.38 -3.05 -2.06 0.995 R116 6389799.69 290019.25 549.24 541.52 25.29 -3.16 -2.16 1.006 R138 6397793.42 287366.07 121.08 114.08 25.12 -3.88 -2.33 1.557 PS18 6405814.98 285338.71 73.56 66.97 24.99 -4.29 -2.46 1.838 PR03_0 6413273.92 276863.35 37.47 32.20 23.95 -5.61 -3.50 2.11

TABLA A2.5QUILICURA - LAS CHILCAS Origen de la Línea : Quilicura

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(trig.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 COLORADO 6303799.98 338549.44 720.28 720.46 26.39 0.00 0.00 0.002 RENCA 6304124.03 340916.91 902.74 902.74 26.54 0.17 0.15 -0.023 V1 6308576.84 342663.84 604.33 604.14 26.74 0.37 0.36 -0.014 V2 6312126.56 340897.14 551.20 551.07 26.71 0.31 0.33 0.025 V3 6315579.56 338438.24 495.10 495.21 26.66 0.07 0.27 0.206 V4 6317447.54 337686.10 500.76 500.70 26.66 0.23 0.28 0.047 V5 6323214.92 336156.76 589.39 589.13 26.73 0.44 0.34 -0.108 V6 6328284.05 333430.87 710.61 710.05 26.71 0.74 0.33 -0.419 V7 6335207.47 330292.91 599.70 598.83 26.75 1.05 0.36 -0.6810 V8 6341461.76 324816.93 741.43 740.88 26.66 0.73 0.27 -0.4511 V9 6345620.10 323046.66 759.89 759.13 26.69 0.94 0.30 -0.6312 V10 6350402.35 328562.24 833.47 832.40 27.12 1.25 0.74 -0.5113 V11 6357443.86 330463.08 766.96 765.79 27.46 1.35 1.08 -0.2714 V12 6358950.07 329565.47 773.78 772.43 27.46 1.53 1.07 -0.4515 V13 6361555.92 327631.80 698.67 697.30 27.44 1.55 1.05 -0.49

TABLA A2.6RIO MAIPO - SAN FERNANDO Origen de la Línea : Puente Río Maipo

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 GPN1 6270131.01 340508.56 521.99 519.50 26.30 0.00 0.00 0.002 GPN2 6261270.80 338548.79 431.99 430.07 26.27 -0.59 -0.03 0.553 GPN5 6250357.19 339247.61 383.84 381.85 26.58 -0.51 0.27 0.784 GPN9 6230612.52 342483.97 496.44 494.35 27.60 -0.41 1.30 1.715 GPN10 6223159.04 340903.73 470.47 469.13 27.69 -1.15 1.39 2.546 GPN11 6221673.72 340563.88 476.86 475.54 27.70 -1.19 1.40 2.597 GPN12 6214832.27 338253.22 518.29 517.05 27.63 -1.26 1.33 2.588 GPN13 6213935.65 337717.07 511.74 510.50 27.58 -1.26 1.28 2.559 GPN14 6205454.09 332833.39 424.59 423.33 27.13 -1.25 0.83 2.08

10 GPN18 6185719.14 326050.18 270.17 269.32 26.40 -1.65 0.10 1.7611 GPS1 6169123.54 318393.09 350.88 350.31 25.37 -1.93 -0.94 1.00

TABLA A2.7SAN FERNANDO - CAMARICO Origen de la Línea : San Fernando

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 GPS3 6162174.79 317112.91 356.95 356.53 25.15 0.00 0.00 0.002 GPS4 6157701.31 314463.21 318.99 318.73 24.82 -0.17 -0.33 -0.163 GPS7 6151634.95 313130.92 283.90 283.80 24.62 -0.33 -0.53 -0.204 GPS9 6145474.56 311489.46 285.54 285.50 24.40 -0.38 -0.75 -0.375 GPS10 6142008.41 307209.57 302.08 302.20 23.98 -0.54 -1.17 -0.636 GPS12 6137110.62 303005.32 294.11 294.35 23.60 -0.67 -1.55 -0.877 GPS13 6136512.29 302918.72 295.38 295.61 23.59 -0.66 -1.56 -0.908 GPS14 6132923.46 301966.99 260.88 261.16 23.49 -0.71 -1.66 -0.959 GPS15 6132120.01 301501.89 255.20 255.50 23.45 -0.73 -1.70 -0.9710 GPS16 6128637.25 299712.42 242.45 242.79 23.31 -0.77 -1.84 -1.0711 GPS19 6124653.03 295864.09 205.44 205.90 23.03 -0.89 -2.12 -1.2312 GPS20 6120422.23 294206.13 217.58 218.06 22.91 -0.91 -2.24 -1.3313 GPS21 6119754.92 293120.62 216.21 216.72 22.84 -0.94 -2.31 -1.3714 GPS22 6116310.61 290090.46 216.31 216.84 22.65 -0.96 -2.50 -1.5415 GPS23 6115149.04 289366.52 216.24 216.78 22.61 -0.96 -2.54 -1.5816 GPS24 6110221.44 286290.05 229.45 230.02 22.42 -1.00 -2.73 -1.7317 GPS25 6109640.75 285524.11 229.69 230.27 22.38 -1.01 -2.77 -1.7618 GPS26 6106025.01 282936.63 220.15 220.77 22.24 -1.05 -2.91 -1.8519 GPS28 6100206.50 279962.71 182.79 183.50 22.07 -1.14 -3.08 -1.94

TABLA A2.8LA SERENA - LA LAGUNA Origen de la Línea : La Serena

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 N5D2 6689407.98 283512.30 84.47 53.55 29.15 0.00 0.00 0.002 D23E 6680602.68 308301.09 360.78 326.97 32.75 2.89 3.60 0.713 P002 6680282.06 320205.94 468.27 433.34 34.17 4.01 5.02 1.014 00P9 6677654.99 325007.44 531.50 496.33 34.67 4.25 5.52 1.275 D47E 6676156.09 334779.67 645.70 609.94 35.56 4.84 6.41 1.576 D51E 6677144.41 341127.12 718.81 682.48 36.08 5.41 6.93 1.527 D63E 6684206.99 351130.54 891.59 854.42 36.77 6.25 7.62 1.378 PR37 6697500.15 362212.53 1185.88 1147.72 37.34 7.24 8.19 0.959 PR09 6694860.83 369498.16 1318.37 1279.84 37.52 7.61 8.37 0.7610 PR33 6686605.14 376477.10 1551.46 1512.72 37.46 7.82 8.31 0.4911 PR57 6684359.46 384207.74 1812.66 1773.87 37.36 7.88 8.21 0.3312 112E 6680164.02 394983.08 2204.12 2165.38 36.98 7.82 7.83 0.0013 N118 6669614.63 396418.76 2536.66 2497.40 36.63 8.34 7.48 -0.86

TABLA A2.9PELAMBRES - CAIMANES Origen de la Línea : Caimanes

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 TM46 783 748 27.45 0.00 0.00 0.002 TM48 745 709 27.41 0.23 -0.04 -0.283 TM38 1018 981 28.94 1.57 1.49 -0.084 TM-A20 1154 1116 29.39 1.98 1.93 -0.055 TM34 1148 1111 29.64 2.06 2.19 0.136 PV4 905 868 30.36 2.47 2.91 0.447 TM28 1139 1101 30.67 2.82 3.22 0.408 TM21 997 958 31.58 3.42 4.13 0.719 TM16 1002 963 32.31 4.01 4.86 0.8510 TM15 1063 1023 32.48 4.10 5.02 0.9311 TM10 1184 1144 32.85 4.41 5.39 0.9812 TM8 1329 1289 33.09 4.68 5.64 0.9613 TM5 1558 1517 33.23 4.99 5.78 0.7914 TM4 1803 1762 33.50 5.47 6.04 0.5715 TM3 1976 1936 33.41 5.42 5.96 0.5416 TM2 1779 1738 33.61 5.66 6.16 0.50

Las Coordenadas Norte, Este no se consignan en este caso por petición del propietario de los datos.

TABLA A2.10VIÑA - LIMACHE Origen de la Línea : Valparaiso

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 LV89 6341438.26 254635.47 2.28 4.05 20.94 0.00 0.00 0.002 LV84 6341246.31 256719.66 3.68 5.21 21.25 0.23 0.31 0.083 LV81 6342119.19 257879.73 5.60 7.03 21.40 0.34 0.46 0.124 LV76 6343061.57 259827.27 6.47 7.66 21.65 0.58 0.71 0.135 LV71 6342792.36 262258.87 6.84 7.74 21.98 0.87 1.04 0.186 LV66 6341532.77 264311.60 14.46 15.15 22.27 1.07 1.33 0.267 LV62 6340352.44 265950.25 24.82 25.24 22.49 1.34 1.56 0.228 LV58 6339548.46 267739.17 41.61 41.88 22.72 1.50 1.79 0.299 LV52 6341731.99 268899.99 81.57 81.65 22.83 1.69 1.89 0.2010 LV47 6341148.09 271171.91 101.77 101.72 23.09 1.81 2.16 0.3411 LV42 6341713.59 273392.41 109.69 109.51 23.33 1.95 2.39 0.4312 LV37 6341271.09 275843.27 120.79 120.31 23.58 2.24 2.65 0.4013 LV32 6341553.14 278283.09 140.49 139.85 23.82 2.41 2.88 0.4714 LV27 6342177.86 280612.25 158.82 157.99 24.03 2.60 3.09 0.4915 LV22 6344573.80 280222.31 122.85 122.10 23.98 2.52 3.04 0.5216 LV17 6346996.74 280570.27 88.20 87.36 24.00 2.60 3.06 0.4617 LV12 6347992.44 282480.26 75.23 74.25 24.17 2.74 3.23 0.4918 LV07 6348502.56 284939.24 72.99 71.75 24.39 3.01 3.45 0.4419 LV03 6348055.26 286870.29 88.44 86.99 24.55 3.22 3.61 0.3920 LV00 6349723.49 286530.38 111.00 109.52 24.52 3.25 3.58 0.34

TABLA A2.11LLAYLLAY - LOS ANDES Origen de la Línea : Llayllay

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 MAP28 6364462.91 314336.58 407.96 382.98 27.08 0.00 0.00 0.002 MAP27 6365215.44 314578.48 404.30 379.29 27.10 0.03 0.02 -0.013 MAP26 6365625.86 314900.24 414.88 389.89 27.12 0.01 0.04 0.034 MAP25 6365841.22 315034.38 410.68 385.64 27.13 0.06 0.05 0.005 MAP23 6367378.72 315263.07 423.22 398.10 27.15 0.14 0.07 -0.076 MAP21 6368622.27 317265.21 444.82 419.56 27.30 0.28 0.22 -0.067 MAP20 6368908.79 321376.24 478.87 453.43 27.59 0.46 0.51 0.058 MAP19 6368919.52 322202.27 487.43 461.94 27.65 0.50 0.57 0.079 SAN2 6369635.65 323607.69 501.41 475.79 27.74 0.63 0.66 0.04

10 PAN1 6371928.20 327057.27 535.29 509.43 27.96 0.88 0.89 0.0111 COLU2 6374178.84 330126.21 570.35 544.38 28.15 0.99 1.08 0.0912 COLU1 6374646.04 330829.67 578.50 552.50 28.19 1.03 1.12 0.0913 MAP18 6376353.73 334143.17 621.12 594.94 28.38 1.20 1.31 0.1014 MAP17 6376048.50 335112.67 630.89 604.68 28.44 1.23 1.37 0.1415 MAP16 6375225.83 336337.69 644.85 618.63 28.52 1.24 1.44 0.2016 MAP15 6374598.92 336807.76 653.09 626.89 28.55 1.22 1.48 0.2617 T1B31 6373395.54 337736.65 667.76 641.57 28.61 1.20 1.54 0.3418 MAP14 6372792.73 338671.60 682.20 656.01 28.67 1.21 1.59 0.3819 MAP13 6372588.43 339338.48 689.27 663.05 28.71 1.24 1.63 0.3920 MAP12 6373252.69 340285.71 697.66 671.38 28.76 1.29 1.68 0.3921 MAP11 6372999.08 340944.55 705.99 679.70 28.79 1.31 1.72 0.4122 TAM1 6373271.33 342537.43 720.62 694.29 28.88 1.35 1.80 0.4523 T1B21L 6373238.40 343237.51 727.05 700.72 28.91 1.35 1.84 0.4824 MIRA2 6372417.50 344772.67 749.59 723.19 29.00 1.41 1.93 0.5225 MIRA1 6372107.54 345268.77 757.45 731.05 29.03 1.42 1.95 0.5426 T1B16 6371985.73 345462.62 761.11 734.71 29.04 1.41 1.97 0.5527 T1B10 6370340.05 347946.83 802.83 776.38 29.19 1.47 2.11 0.6428 T1B5 6368922.75 349767.88 838.15 811.66 29.30 1.51 2.22 0.7129 MAP9 6367424.18 350968.70 843.49 816.85 29.37 1.66 2.30 0.6430 T1A6 6366259.21 351918.87 907.94 881.33 29.44 1.63 2.36 0.7331 T1A11 6367190.78 353190.21 884.60 857.87 29.49 1.74 2.42 0.6732 T1A12 6367099.49 353611.52 889.55 862.81 29.52 1.76 2.44 0.6833 MAP6 6366246.78 354481.23 917.01 890.12 29.57 1.91 2.50 0.5934 MAP8 6366610.09 354863.70 905.73 878.83 29.59 1.92 2.51 0.6035 MAP7 6366349.20 355084.02 909.94 883.02 29.60 1.94 2.53 0.5936 MAP5 6365871.61 355218.63 921.08 894.15 29.62 1.95 2.54 0.5937 KM60 6365677.56 355903.35 928.79 901.86 29.66 1.95 2.58 0.6338 MAP4 6364508.80 357962.92 964.10 936.90 29.78 2.22 2.71 0.4939 MAP3 6364296.62 358469.15 977.39 950.15 29.81 2.25 2.74 0.4840 MAP2 6363501.01 359729.89 996.24 968.89 29.89 2.37 2.82 0.4541 MAP1 6363414.06 360399.97 1007.21 979.81 29.93 2.42 2.86 0.4442 KM00 6363660.97 361197.55 1014.28 986.87 29.97 2.43 2.90 0.47

TABLA A2.12TRONCAL SUR Origen de la Línea : Valparaiso

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 TR33 6342132.26 264728.40 44.72 46.45 22.28 0.00 0.00 0.002 TR30 6341111.85 266033.37 46.51 48.09 22.49 0.15 0.21 0.063 TR28 6340318.68 267239.43 25.74 27.20 22.65 0.27 0.37 0.104 TR24 6339320.80 268540.04 19.80 21.18 22.79 0.35 0.51 0.165 TR18 6339453.80 270521.01 185.93 187.22 22.97 0.43 0.69 0.266 TR16 6339281.92 272650.28 182.58 183.69 23.18 0.62 0.89 0.287 TR14 6339248.48 274661.26 183.60 184.50 23.36 0.82 1.08 0.268 TR10 6339098.60 277099.91 186.87 187.52 23.59 1.08 1.31 0.239 TR7 6338942.15 278979.74 188.60 189.14 23.77 1.19 1.48 0.2910 TR-4 6339545.99 280781.60 221.93 222.27 23.93 1.38 1.64 0.2611 TR-0 6340467.29 281970.98 178.43 178.68 24.03 1.47 1.75 0.28

TABLA A2.13VALPARAISO - SANTIAGO Origen de la Línea : Valparaiso

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 PR-211 6340235.47 257249.43 7.43 10.23 21.35 0.00 0.00 0.002 PR-208 6340340.60 258536.33 95.40 98.07 21.53 0.13 0.18 0.053 PR-204 6338744.59 259234.58 146.50 149.00 21.66 0.30 0.31 0.024 PR-199 6337105.13 261137.08 184.25 186.50 21.96 0.54 0.61 0.075 PR-192 6334199.51 261928.49 349.27 351.31 22.13 0.76 0.78 0.026 PR-187 6331928.83 261196.92 339.29 341.41 22.09 0.68 0.74 0.067 PR-181 6329031.19 261902.40 361.37 363.39 22.25 0.77 0.90 0.138 PR-176 6327796.79 264058.87 349.67 351.52 22.54 0.95 1.19 0.259 PR-171 6326541.15 266248.20 349.20 350.84 22.82 1.16 1.47 0.3110 PR-166 6324440.34 267864.56 370.89 372.38 23.04 1.30 1.69 0.3911 PR-161 6322424.54 269641.85 337.80 339.25 23.27 1.35 1.92 0.5712 PR-157 6320508.07 270698.66 343.26 344.60 23.41 1.45 2.06 0.6113 PR-152 6318561.39 272490.95 264.71 266.02 23.61 1.49 2.26 0.7714 PR-147 6316451.47 273674.03 281.26 282.45 23.75 1.61 2.40 0.7915 PR-143 6314532.35 274389.57 318.41 319.53 23.84 1.68 2.49 0.8116 PR-140 6313271.86 275211.81 257.37 258.47 23.92 1.70 2.57 0.8717 PR-136 6311674.03 276491.46 261.03 262.04 24.04 1.80 2.69 0.8918 PR-131 6309781.58 278083.74 264.01 264.82 24.17 1.99 2.82 0.8219 PR-126 6308648.16 280340.47 272.65 273.36 24.32 2.08 2.97 0.8820 PR-121 6307518.74 282555.78 285.12 285.70 24.45 2.21 3.10 0.8821 PR-116 6306285.51 284975.72 305.37 305.79 24.57 2.38 3.22 0.8422 PR-111 6305078.32 287361.89 343.06 343.29 24.68 2.57 3.33 0.7623 PR-108 6304214.14 288650.95 411.75 411.85 24.73 2.70 3.38 0.6824 PR-104 6303364.45 290665.97 422.42 422.49 24.80 2.73 3.45 0.7225 PR-99 6302667.69 293075.85 307.01 307.09 24.88 2.72 3.53 0.8126 PR-94 6301978.19 295547.32 236.27 236.31 24.96 2.76 3.61 0.8527 PR-89 6301623.91 297965.23 209.53 209.45 25.02 2.88 3.67 0.7928 PR-85 6301206.66 300053.22 198.20 198.11 25.06 2.89 3.71 0.8229 PR-81 6301695.34 302156.50 192.03 191.81 25.11 3.02 3.76 0.7430 PR-76 6302639.28 304552.22 189.29 188.91 25.17 3.19 3.82 0.6331 PR-71 6302046.14 307157.17 189.53 188.99 25.21 3.34 3.86 0.5232 PR-66 6300985.79 309536.73 179.51 178.96 25.25 3.35 3.90 0.5533 PR-61 6299169.86 311462.51 195.88 195.29 25.26 3.39 3.91 0.5234 PR-56 6298566.70 313854.22 269.44 268.67 25.31 3.57 3.96 0.3935 PR-52 6298167.89 315913.54 377.27 376.33 25.36 3.74 4.01 0.2736 PR-48 6296586.95 317382.69 479.80 478.85 25.37 3.74 4.02 0.2837 PR-41 6296644.71 320755.98 530.89 529.77 25.48 3.92 4.13 0.2138 PR-36 6296688.57 323130.52 492.76 491.64 25.56 3.92 4.21 0.2839 PR-31 6297519.00 325630.62 465.90 464.81 25.66 3.89 4.31 0.4140 PR-26 6298290.24 327941.20 463.98 462.79 25.76 3.99 4.41 0.4241 PR-22 6299008.47 330065.62 465.18 463.94 25.86 4.04 4.51 0.4742 PR-18 6298815.17 332228.07 468.03 466.77 25.96 4.05 4.61 0.5643 PR-13 6298291.37 334636.29 480.36 478.99 26.07 4.17 4.72 0.5544 PR-08 6297804.53 336981.90 477.27 475.92 26.19 4.15 4.84 0.6945 PR-04 6297373.67 339024.43 487.76 486.31 26.30 4.25 4.95 0.7046 PR-00 6296943.01 341002.39 499.35 497.80 26.42 4.35 5.07 0.72

TABLA A2.14SAN JOSE DE MAIPO - BAÑOS MORALES Origen de la Línea : San José de Maipo

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(geom.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 8E31 6276926.13 374585.05 990.874 960.904 29.255 0.00 0.00 0.002 GPS0 6267228.15 377865.96 1137.18 1106.84 29.68 0.37 0.43 0.063 GPS1 6264718.82 381436.36 1184.39 1153.75 30.02 0.67 0.77 0.104 GPS2 6261530.29 384625.28 1276.21 1245.41 30.44 0.83 1.19 0.365 GPS3 6258376.86 387840.09 1344.75 1313.77 30.67 1.02 1.42 0.406 GPS4 6257557.00 392393.00 1462.34 1431.06 30.80 1.31 1.54 0.237 GPS5 6256435.86 396840.81 1690.05 1658.51 30.93 1.58 1.67 0.108 GPS6 6256300.09 401157.23 1841.56 1809.82 31.01 1.77 1.75 -0.029 GPS7 6257537.18 405510.82 2255.29 2223.32 31.02 2.00 1.77 -0.23

TABLA A2.15FARRELLONES Origen : Loma del Viento

N°correl. Nombre Norte Este h(elip.) h(trig.) N(EGM96) N(real)reduc. N(egm)reduc. dif.(Negm-Nreal)1 DV01 6308159.90 376547.97 2242.83 2211.25 29.40 0.00 0.00 0.002 DV02 6309053.97 376426.11 2017.16 1985.52 29.41 0.06 0.01 -0.053 DV03 6309804.59 375411.82 1855.69 1824.14 29.34 -0.03 -0.06 -0.024 DV04 6310435.97 375864.39 1789.42 1757.78 29.39 0.06 -0.01 -0.075 DV05 6309915.15 374971.86 1695.83 1664.38 29.31 -0.14 -0.09 0.046 DV06 6309520.74 374146.03 1624.32 1592.98 29.23 -0.25 -0.17 0.087 DV07 6309892.33 373230.01 1437.26 1406.04 29.17 -0.36 -0.23 0.138 DV08 6309343.97 373131.51 1403.76 1372.63 29.15 -0.45 -0.25 0.209 DV09 6309060.03 373561.04 1507.75 1476.55 29.18 -0.38 -0.22 0.1610 DV10 6309248.69 373890.91 1612.77 1581.51 29.21 -0.32 -0.19 0.1311 DV11 6309418.70 374864.14 1867.73 1836.31 29.29 -0.17 -0.11 0.0612 DV12 6308668.39 375844.77 2088.41 2056.88 29.35 -0.05 -0.05 0.0013 EST1 6308990.26 376052.26 1962.92 1931.32 29.37 0.02 -0.02 -0.04