Derivada direccionaly gradiente de una función

de dos variables

Tema:Tema:

DERIVADAS DIRECCIONALES

),( yxx

y

z

u

http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml

Interpretación geométrica de

derivada direccional

Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por:

h

y)f(x, - ) huy ,hu x( f lim y)f(x, 21

0h

u

D

si el límite existe.

Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

2y1x u y)(x, f u y)(x, f y)f(x, u

D

Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).

5

2

)2,1(5

1)1,2(),(

y

xyxyxfDu

GRADIENTE

jyxfiyxfyxf yx ),(),(),(

x),( yx

),( yxf

y

z

del sen término direccional Derivada

uyxfyxfDu

),(),(

Q(3,2) a P(2,2)

dedirección laen )2,2( b)Halle

mente.geométrica

lorepreséntey )2,2( ea)Encuentr

),( Sea :Ejemplo 22

fD

f

yxyxf

u

Teorema

a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0).

b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

Corolario

a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0)

b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .