Derivada direccional y Gradiente de una función escalar de un vector.docx
Derivada Direccional
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6. Derivada Direccional Definición: sea f : UCR n →R ( x 1 ,x 2 ,…,x n ) →Z=f ( x 1 ,x 2 ,…,x n ) Una función definida en el conjunto abierto UCR n y sea P O ∈U en un punto dado de μ. Sea μ∈R n , donde μ=( u 11 ,u 21 ,…,u n ) es un vector unitario dado. Definimos la derivada de la función f en P O , en la dirección de un vector μ, denotamos por: D μ f ( P O ) o ∂f ∂ μ ( P O ) . Como el límite: D μ f ( P O ) =lim t→ 0 f ( P O + t μ ) −f ( P O ) t ( i) Dibujo Si en ( i) hacemos f ( P O + t μ ) =F ( f ) , se tiene F ( 0 ) =f ( P O ) Luego D μ f ( P O ) =lim t→ 0 F ( f)−F ( 0 ) t =F' ( 0) , esto es D μ f ( P O ) = d dt ( f ( P O + t μ ) ) t=0 ( ii ) 6.1. Interpretación Geométrica de la Derivada Direccional Para Funciones Variables: Sea la función f : UCR 2 →R ( x,y ) →Z=f ( x,y ) Cuyo grafico Graf={( x,y,f ( x,y)) ∈R 3 /( x,y ) ∈U} CR 3 es una superficie S⊂R 3 . GRAFICO 1. Sea P O =( x o ,y o ) en punto de U y μ=( μ 1 ,μ 2 ) en un vector anterior de R 2 , entonces { p O +t μ,t∈R } es una recta contenida en el punto XY. 2. Si por dicha recta levantamos una flecha ⊥raXY, intersecta a la superficie S formándose la curva C. 3. Si por el punto ( x o ,y o ,f ( p O )) trazamos una recta tangente a la curva C entonces la pendiente de dicha tangente es la D μ f ( p O ) .
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Derivada Direccional (Ramón Chirinos)
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6. Derivada Direccional
Definicin: sea Una funcin definida en el conjunto abierto y sea en un punto dado de . Sea , donde es un vector unitario dado. Definimos la derivada de la funcin en , en la direccin de un vector , denotamos por: Como el lmite:
Dibujo
Si en hacemos , se tiene Luego , esto es 6.1. Interpretacin Geomtrica de la Derivada Direccional Para Funciones Variables:Sea la funcin Cuyo grafico es una superficie .
GRAFICO
1. Sea en punto de y en un vector anterior de , entonces es una recta contenida en el punto .2. Si por dicha recta levantamos una flecha , intersecta a la superficie S formndose la curva C.3. Si por el punto trazamos una recta tangente a la curva C entonces la pendiente de dicha tangente es la .Observacin: la derivada direccional es una generalizacin de la derivada parcial.a) Si entonces b) Si entonces
6.2. Particularmente: Dada la funcin Y el vector unitario . La derivada direccional de f en en la direccin , se define como:
7. Gradiente de una FuncinDefinicin: sea Una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto . Se define el vector Gradiente de la funcin f en el punto , denotado por se define como el vector de dado por:
Nota: es el campo vertical gradiente. Adems es el destina una vector a cada punto , esto es:
El gradiente de una funcin es un campo vectorial en en cada punto es un vector que sale de 7.1. Propiedades del Gradiente:Si la funcin , son diferenciables en U, entonces se tiene:1. 2. 3. 4. 7.2. Observacin (El Gradiente Como Direccin De Mximo Variacin)Sea la funcin que posee derivadas parciales De primer orden continuo y es el vector unitario de Sea i. El vector gradiente apunta a la direccin segn U cual la funcin f es creciente ms rpidamente.ii. Entre todas las direcciones a lo largo de las cuales la funcin f crece, la direccin de gradiente es la del creciente ms rpido, mientras que el gradiente cambiado de signo seala la direccin de mxima disminucin.En el punto , el valor mximo de la derivada direccional es , pues , entonces: desigualdad de SCHWARS.El valor mnimo de la derivada direccional es iii. El gradiente de f en es a la superficie de nivel de f que pasa por este punto.Ejemplo 1: sea , hallar la derivada de f en la direccin de SolucinAplicando la definicin tenemos:
Ejemplo 2: utilizando la definicin de determinar cuando , Solucin
