Luis Alejandro Quispe AmadorIng. Sistemas Electrnicos ParalelS3944-6

DERIVADA DIRECCIONALEn elanlisis matemtico, laderivada direccionalde una funcin multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la funcin en la direccin de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

FUNCIONES ESCALARES REALESLa derivada direccional de una funcinsobre un vector unitarioes la funcin definida por este lmite:

Si la funcin es diferenciable, puede ser escrita en trmino de su gradiente

donde "" denota elproducto escalaro producto punto entre vectores.

DEMOSTRACIONEl caso ms sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supngase que se tiene unafuncin diferenciable. La derivada direccional segn la direccin de un vector unitariosera:

El primero de estos lmites puede calcularse mediante el cambiolo cual lleva, por ser diferenciable la funcin1f, a:

Procediendo anlogamente para el otro lmite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con elproducto escalardel gradiente por el vector:

CAMPOS VECTORIALESEl concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones deen, del tipo:

En este caso la derivada direccional de modo idntico a como se haca con funciones de una variable:

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales segn todas las direcciones no implica necesariamente que una funcin sea diferenciable. Si la funcin es diferenciable resulta que la aplicacin:

Es lineal y se cumple adems es expresable en trminos deljacobiano:

FUNCIONALESLaderivada funcional, definida como derivada de Gteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.

INTERPRETACION GEOMTRICA DE LA DERIVADA DIRECCIONALEn primer lugar dibujamos las graficas de la funcin de dos variables z= f(x,y), para visualizar la superficie sobre la que trabajamos . en este caso particular trabajaremos con la funcin z= x^2 + y^2, cuya grafica determina un PARABOLOIDE ELIPTICO.

A continuacin realizamos las secciones de la grfica con los planos XZ e YZque pasan por el punto (x0, y0, 0), para obtener las curvas espaciales sobre lagrfica, cuyas pendientes vienen dadas por las derivadas parciales en (x0, y0).En este caso trabajaremos sobre el punto (1,0).

Anlogamente obtendremos las secciones con el resto de planos perpendiculares al plano XY que pasan por (1, 0, 0), determinados por lasdistintas direcciones unitarias alrededor de dicho punto. Estos planos estnGenerados por los vectores (ux, uy,0 ) y (0,0,1).

Las curvas contenidas en la superficie que resultan de esta interseccin sonllamadas curvas coordenadas en la direccin u= (ux, uy). Del mismo modo queen el caso anterior, las curvas coordenadas en una determinada direccin u secaracterizan por tener como pendiente la derivada direccional en dichadireccin.