DERIVADA PUNTUAL Y

FUNCIONAL

Prof. Nicolás TríasC.E.T.P

Introducción

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:

Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

Intervalos de crecimiento / decrecimiento Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La importancia del signo de las tangentes La clave para el

estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

La importancia del signo de las tangentes• En los puntos de

máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0)

• En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a

La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”

f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2.f ´(-2)= 0 f ´(4)=0

f ´(2)=1,2 f ´(6)=-1,3

INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA

Sea f(x) una función y “ t ” la recta

secante a f(x) en los puntos

P = ( x , f(x) ) y Q = (x + h , f(x + h)), respectivamente.

Pendiente de la recta tangente a un gráfico

La razón

representa a la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. A medida que h tiende a cero, el punto Q se aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta secante está más próximo a ser recta tangente.

Pendiente de la recta tangente a un gráfico Entonces cuando h 0 la pendiente

de la recta secante se transforma en pendiente de la recta tangente en el punto P.

Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por:

mt =

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

NOTACIONES

Otras notaciones comunes para la derivada de la función f(x) son:

EJERCICIOS

Encuentre:

1. La derivada de f(x) = x3 + 2x

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 3)

3. La ecuación de la recta tangente a la curva en P

REGLAS DE DERIVACIÓN

Reglas de derivación

Derivada de la suma de funciones:

(f + g)´ (x) = f´(x) + g´(x)

Derivada de la diferencia de funciones

(f - g)´ (x) = f´(x) - g´(x)

Derivada del producto de funciones

(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)

Reglas de derivación

Derivada del cociente de funciones

f(x) ´ f ´(x).g(x) – f(x).g´(x) = g(x) ( g(x) ) 2

EJERCICIODerive la siguiente función:

REGLA DE LA CADENA

Se refiere a la derivada de funciones compuestas.Dada la función fog = f(g(x)) , la regla establece que:

(f o g(f o g )´= ( )´= (f(g(x)))´ = ff(g(x)))´ = f´(g(x)).g´(x).x´´(g(x)).g´(x).x´

EJEMPLO

Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función compuesta viene dada por y = f(g(x)),

La derivada de y con respecto a u viene dada por:

= 12 u2

La derivada de u con respecto a x viene dada por:

= 10 x

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f ´(x). Si f ´(x) es una función entonces si la derivada existe, se denota por f ´´ (x), la cual se llama segunda derivada o derivada segunda de la función f(x)En general la n-ésima derivada de una función viene dada por f n(x).

EJEMPLOEncuentre la tercera derivada de

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En que intervalos la función crece y/o

decrece.

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función f definida en algún intervalo se dice que es creciente en dicho intervalo si solo si:

f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función f definida en algún intervalo se dice que es decreciente en dicho intervalo si solo si:

f(x1) > f(x2) siempre que x1<

x2

TEOREMASea f una función continua en [a,b] y derivable en un

intervalo (a,b) se tiene que:

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

VALOR MAXIMO RELATIVO Se dice que f tiene un máximo relativo

en un punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que

VALOR MINIMO RELATIVO Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto

c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que:

PUNTOS CRITICOS

Si la función f está definida en un punto c, se dirá que c es un número critico de la función f si

f ´(c) = 0 o si f ´ no está definida en c.

OBSERVACIÓN

Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c

TEOREMA

Los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos.

FIN