Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Análisis de Funciones 4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES...
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Depto. Matemáticas – IES Elaios
Tema: Análisis de Funciones
4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES DERIVABLES
Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,ampliando y adaptando el texto de la Editorial SM
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura.
f es creciente en a, b, c.f es decreciente en e, g, h.f presenta máximos relativos en d, j.f presenta mínimos relativos en i, k.
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Definiciones
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Resultados o propiedades que utilizaremos:
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
X
Y
[a
]b
X
Y
[a
]bx
α
x
α
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Reglas prácticas:
Sea f(x) derivable en (a , b)
Si f’(x) > 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es creciente en (a , b)
Si f’(x) < 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es decreciente en (a , b)
Si f’(x) = 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es constante en (a , b)
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.
Reglas prácticas:
Sea f(x) derivable en (a , b)
Si f’(c) = 0 , entonces en x = c hay un punto crítico, que puede ser o no un extremo relativo (máximo o mínimo).
Por ejemplo: en la gráfica hay puntos críticos en b, d, e, i
pero de ellos sólo hay extremos relativos en d, i
Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.Reglas prácticas:
Sea f(x) derivable en (a , b). Una vez localizados los puntos críticos x = c donde f’(c) = 0, se estudian los posibles extremos relativos por uno de estos dos métodos.
- Criterio de la derivada primera: Si f’(x) cambia de signo en x = c, hay un extremo relativo si pasa de + a - , la función pasa de creciente a decreciente, hay
máximo (razonamiento análogo para mínimo)
- Criterio de la derivada segunda:
Si f”(c) > 0 , hay mínimo (porque entonces f’(x) es creciente en c, pasará de – a +; luego f(x) cambiará de decreciente a creciente)
Si f”(c) < 0 , hay máximo (razonamiento análogo)f '(c) = 0
f '(c) = 0
X
Y
[a
]b
Curvatura: concavidad hacia Y+
f " > 0 función cóncava hacia Y+
X
Y
[a
]b
x1 x2
tg α1 < tg α 2 f '(x1) < f '(x2)
Las pendientes de las tangentes aumentan, f ' es creciente
x1 x2
Cuando la curva está por encima de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y+
X
Y
[a
]b
α1
α2
X
Y
[a
]bx1 x2
α1
α2
x1 x2
tg α1 > tg α2 f '(x1) > f '(x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente
f " < 0 función cóncava hacia Y-
Curvatura: concavidad hacia Y-
Cuando la curva está por debajo de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y-
Puntos de inflexión
X
Y
P(a, f(a))
f" < 0
f" > 0
f"(a) = 0
Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.
Si f”(a) = 0 y además f’’’ (a) ≠ 0 hay un punto de inflexión en x = a
en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0