DEPARTAMENTO DE SEÑALES ISTEMAS Y ADIOCOMUNICACIÓN …

UNIVERSIDAD POLITEacuteCNICA DE MADRID DEPARTAMENTO DE SENtildeALES SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIOacuteN

Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacioacuten

CONTRIBUCIOacuteN EN MEacuteTODOS INVERSOS PARA LA CARACTERIZACIOacuteN

DE SISTEMAS RADIANTES

TESIS DOCTORAL

Autor Joseacute Mariacutea Diacuteaz Nafriacutea Ingeniero de Telecomunicacioacuten

Director Fernando Las Heras Andreacutes Doctor Ingeniero de Telecomunicacioacuten

2003

ldquoTodas las formas todos

los colores todas las

imaacutegenes de cada parte del

universo se contraen en un

punto (la pupila) iquestQueacute

otro punto hay tan

maravillosordquo

Leonardo Da Vinci

Cuaderno de notas

Arte sectI1b

ldquoDe un tiempo a esta parte

el infinito

se ha encogido

peligrosamente

quien iba a suponer

que segundo a segundo

cada migaja

de su pan sin limites

iba asiacute a despentildearse

como canto rodado

en el abismordquo

Mario Benedetti

Las soledades de Babel mdash El infinito

iii

Agradecimientos Cuando uno se acerca a una obra y observa en su fachada el nombre del autor es faacutecil dejarse llevar

por un grave error de interpretacioacuten Acaso puede darnos la impresioacuten de que fue aquel con las

uacutenicas fuerzas de su brazo el que levantoacute toda esa obra Cuando la eacutepoca es de marcado

individualismo como es ndashmaacutes que nunca- la que nos toca esta tendencia se ve acentuada por el

hecho de que cada uno parece terminarse en los estrechos maacutergenes de la piel que le circunscribe y

todo lo que queda fuera de semejante periacutemetro se toma por cosa ajena a no ser que esteacute ligada a la

persona en relacioacuten de pertenencia Naturalmente si nuestra interpretacioacuten de la persona como

queriacutea Ortega no terminase en tan estrechos maacutergenes sino que se extendiera sobre la

circunstancia que le rodea quedariacutea claro que cuando eacuteste rubrica la frente de su obra no estaacute

hablando soacutelo del hecho de su brazo sino del hecho de toda su persona incluido ese entorno que

le es inseparable o lo que es maacutes le es esencial Claro estaacute que la voluntad del sujeto firmante

(ahora siacute englobada en aquel periacutemetro) juega aquiacute un valor capital aunque soacutelo a la manera que el

muacutesculo es relevante en el salto y poco maacutes que un pedazo de carne magra si se le dejara solo Soacutelo

asiacute es como se puede entender la autoriacutea del trabajo que sigue a estas primeras palabras y en este

sentido los agradecimientos se tornan en una extensioacuten de la autoriacutea maacutes allaacute del contorno de mi

piel que en estricto no es mi periacutemetro ya que si un ideal cuchillo me seccionara siguiendo el cauce

de esa superficie lo que hacia dentro quedara de ser tan poco podriacutea decirse que no es nada La

obra y el agradecimiento estaacuten pues en la misma relacioacuten que la accioacuten y reaccioacuten ligadas a cualquier

acto dinaacutemico y me seriacutea tan difiacutecil dar cuenta fiel de todas las partes involucradas en la dinaacutemica

de este trabajo como al ciempieacutes bailariacuten explicar pormenorizadamente la relacioacuten de sus

movimientos Por ello maacutes que dar razoacuten del por queacute del agrado me limitareacute a hacer un repaso

escuaacutelido de la circunstancia de la que no soy sino parte Y como lo maacutes importante es referir lo que

comienza y lo que acaba me veo forzado a empezar por esos cambios radicales que han acontecido

durante este tiempo en mi circunstancia hace algo maacutes de un antildeo Rosario se marchoacute de nuestro

lado medio antildeo despueacutes aparecioacute Marcos ensanchando con sus vastos ojos nuestro horizonte Ella

nos dejoacute la enorme fuerza de su amor y en eso sigue con nosotros eacutel nos dio la ocasioacuten de

quererlo y eso nos dejoacute en las mismas puertas de un camino inagotable

iquestQueacute vida puede concebirse sin la ocasioacuten de sus padres y aun maacutes allaacute la de sus ascendientes

iexclPues que conste y quede claro que en esa ocasioacuten radican todas las demaacutes Y si ese es el horizonte

del que vengo en el que sobre todo estoy es el de Cristina ella es el feacutertil suelo del presente sobre el

iv

que veo florecer las guirnaldas del futuro Pero la farragosa espesura que ha de penetrarse para

andar los caminos que devanan la vida seriacutea infranqueable si no fuera por el brazo amigo que viene

a desbrozar la maleza en el mejor de los casos para caminarlos juntos Y aquiacute no puedo por fuerza

de concisioacuten dar cuenta de tantas y tantas manos que han hecho los caminos andados ya no soacutelo

llevaderos sino rastros formidables de memoria y mentareacute soacutelo algunos de los maacutes cercanos en el

tiempo y el espacio bajo un orden fortuito Dani Javi Luis Ana Jose Miriam Susana Mariacutea Pilar

Rafa Ramoacuten Mari Jose Rocio Fernando Aiacutena Basil Jorge Lelia Manolo Tontildeo Plamenhellip y en

fin todos aquellos que vinieron a engrosar la familia que me dio la sangre y esta misma

No obstante todo esto apenas explica el orden de circunstancia sobre el que radican los tenores

cientiacuteficos y teacutecnicos de este trabajo Al margen de todo lo que se debe a la inmensa y longeviacutesima

empresa del ldquoconocerrdquo que por aproximacioacuten debiera atribuiacutersele todo debo al menos remontarme

a la casa en la que empeceacute a desarrollar un trabajo semejante pero de la que tuve que marcharme

por ocasioacuten de las vicisitudes aquella casa fue la Technische Universitaumlt Wien Por fortuna para el

desabrigo de mis andanzas acadeacutemicas encontreacute cobijo bajo un agradable techo el del Grupo de

Radiacioacuten y en esta casa un mentor Fernando del que aprender inusitadas virtudes Y digo

inusitadas porque en el curso de los antildeos he topado a menudo con moles inamovibles de

conviccioacuten encastilladas de prestigio pero muy pocas veces la franca intencioacuten y paciencia de

discutir sinceramente las cosas hasta desgranarlas en asuntos claros y distintos ndashcomo dice el

precepto racionalista y como afortunadamente he encontrado en Fernando-

Pero debo aun resaltar un hecho que de acuerdo a la actual arena poliacutetica resulta iroacutenico Haraacute un

antildeo Basil Mohammed Al-Hadithi presentaba una tesis bajo las tejas de esta misma Universidad que

fue una auteacutentica leccioacuten de excelencia cientiacutefica Eacutel llegoacute aquiacute procedente de la Universidad de

Bagdadhellip Es un ejemplo de lo que nos llega de Irak iquestCuaacutel es el ejemplo que nosotros les

devolvemos

En fin si este trabajo valiera algo cosa que no es segura y que soacutelo podriacutea serlo en la medida que

las razones que encierra fueran lo suficientemente valientes como para luchar con otras hasta que

quedaran exhaustas entonces ya ven que la firma que lo suscribe apenas dice nada de su verdadera

autoriacutea Pero deberiacutea hacer una uacuteltima advertencia toda esa circunstancia que apenas he pincelado

encierra muchas posibilidades no realizarlas en su plena virtud siacute es cosa miacutea Es decir si de algo

puede arrogarse el firmante autor es de sus errores casi todo lo demaacutes le viene en gracia

v

Contenido

I INTRODUCCIOacuteN1

11 TRES APROXIMACIONES A NUESTRO PROBLEMA3

111 El problema electromagneacutetico inverso y el del conocimiento3

112 Nuestro meacutetodo de investigacioacuten4

113 Los liacutemites de la observacioacuten 5

12 PANORAacuteMICA DEL CAMINO DE IDA Y VUELTA8

121 Problema directo 8

122 Problema inverso 10

123 Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico11

II PROBLEMA ELECTRO-MAGNEacuteTICO DIRECTO 13

21 ECUACIOacuteN DE ONDA Y CAMPOS RADIADOS15

211 Campos debidos a fuentes eleacutectricas y magneacuteticas 17

22 TEOREMA DE UNICIDAD Y EQUIVALENCIA 20

23 FORMULACIONES DIRECTAS22

231 Fuentes reales 23

232 Fuentes equivalentes magneacuteticas24

233 Fuentes electromagneacuteticas generalizadas 25

234 Campos sobre geometriacuteas canoacutenicas25

235 Campos para un observador lejano 27

236 Representacioacuten modal30a) Modos planos 31

b) Modos ciliacutendricos 32

c) Modos esfeacutericos 33

d) Isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten modal33

24 DISCRETIZACIOacuteN DEL PROBLEMA ELECTROMAGNEacuteTICO34

241 Teorema de muestreo para el problema electromagneacutetico 35

242 Muestreo del dominio de observacioacuten y del campo observado 41Funciones de distribucioacuten en los subdominios de muestreo (interpolacioacuten)42

243 Ondas evanescentes 43

vi

244 Expresioacuten del problema discretizado502441 Dominios planos 51

245 El espacio de los campos radiados sobre el dominio de observacioacuten E 52

25 EJEMPLOS 53

251 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedro 542511 Formulacioacuten del problema55

2512 Distribucioacuten discontinua de corrientes interiores57

2513 Distribucioacuten continua (esfeacuterica) de corrientes interiores61

252 Campo radiado por una antena de agrupacioacuten de dipolos622521 Formulacioacuten del problema 63

2522 Muestreo del campo muy proacuteximo a la antena 65

2523 Proyeccioacuten sobre el espacio E 69

2524 Sobre la frecuencia espacial 74

26 SUMARIO 76

III PROBLEMA ELECTRO-MAGNEacuteTICO INVERSO 79

31 INTRODUCCIOacuteN 81

311 Acerca del problema de soacutelo observar el campo eleacutectrico83

312 Los problemas inversos 84

32 PROBLEMA INVERSO CON FASE 85

321 Proyeccioacuten ortogonal sobre el espacio E86

3211 Unicidad de solucioacuten87

3212 Solucioacuten analiacutetica 89

3213 Solucioacuten numeacuterica 90

a) Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten lineal 90

b) Reduccioacuten numeacuterica del residuo91

c) Algoritmo iterativo basado en el Teorema Global de la Convergencia93

322 Observacioacuten plana cercana y observacioacuten lejana94

323 Observacioacuten incompleta973231 Observacioacuten incompleta sobre dominios planos o lejanos100

33 PROBLEMA INVERSO SIN FASE 102

331 Unicidad de solucioacuten 1043311 Relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la fase 106

3312 Clases de ambiguumledad 108

3313 Teorema de Hoenders 109

3314 Criacutetica de algunas teoriacuteas sobre la ambiguumledad de la distribucioacuten de fase 111

3315 Unicidad de solucioacuten con dos distribuciones de campo112

3316 Extensioacuten al caso discreto113

a) Extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z113

b) Acerca de la ambiguumledad114

c) Discusioacuten de la unicidad para distribuciones de soporte finito 116

vii

3317 Extensioacuten a dominios superficiales120

3318 Extensioacuten a las distribuciones de campo en zona de Fresnel 122

a) Multiplicidad de solucioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo del campo122

b) Unicidad de solucioacuten a partir de varias distribuciones de moacutedulo del campo123

332 Soluciones al problema inverso sin fase 1253321 Procedimientos manipuladores 127

a) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de campo mediante una radiacioacuten de referencia 128

b) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de fuentes132

3322 Procedimientos observadores135

a) Proyecciones sucesivas136

b) Meacutetodos de optimizacioacuten 141

c) Solucioacuten en el espacio del cuadrado del moacutedulo 146

34 SUMARIO 147

IV VALIDACIOacuteN EXPERIMENTAL 151

41 PRUEBAS EXPERIMENTALES 153

42 ANTENA DE APERTURA CIRCULAR 154

421 Frecuencia espacial sobre los dominios de observacioacuten 155

422 Problema inverso con fase 156

423 Aumento del dominio de observacioacuten 160

424 Problema inverso sin fase 1634241 No unicidad de solucioacuten a partir de una distribucioacuten de moacutedulo164

4242 Meacutetodos cuasi-Gerchberg-Saxton 167

4243 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas171

43 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE RANURAS 176

431 Dimensioacuten del problema electromagneacutetico 1774311 Distribucioacuten de dipolos hercianos177

4312 Frecuencia espacial del campo radiado 177


433 Problema inverso sin fase 1804331 Acerca de la unicidad de solucioacuten180


44 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE DIPOLOS PARA RADAR SECUNDARIO 186

441 Siacutentesis de la distribucioacuten de campo 1864411 Justificacioacuten del dominio de medida 186

4412 Particularizacioacuten del problema directo188

4413 Siacutentesis de medidas 189

442 Comparacioacuten de meacutetodos inversos sin fase 1894421 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas (MPS-C) 192

4422 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de campo eleacutectrico (MOCA) 194

4423 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Magneacuteticas (MPS-M)197

viii

V SOBRE LA OBSERVACIOacuteN DEL CAMPO ELECTROMAGNEacuteTICO 201


52 SISTEMAS OBSERVADORES DE MEDIDA 204

53 MODELO DE SISTEMA ADAPTADO DE MEDIDA 206

531 Arquitectura baacutesica del sistema 207

532 Deteccioacuten de sentildeales de radiofrecuencia 208

533 Recepcioacuten oacuteptima de las distribuciones de campo 210

54 SISTEMA DE DIAGNOSIS PARA ANTENAS DE RADAR SECUNDARIO 214

541 Arquitectura del sistema 217

542 Circuito de deteccioacuten 218

543 Recepcioacuten oacuteptima del moacutedulo de la distribucioacuten de campo radiada por la antena SSR 226

544 Resultados del sistema de diagnosis 231

VI CONCLUSIONES Y LIacuteNEAS FUTURAS 233

61 CONCLUSIONES 235

62 LIacuteNEAS FUTURAS 236

VII BIBLIOGRAFIacuteA 239

ix

Iacutendice de ilustraciones

Figura 1-1 Procedimiento descrito por Descartes para ver directamente la imagen formada en la

retina del ojo 6

Figura 1-2 Esquema de los problemas directo e inverso 8

Figura 2-1 Modelo del sistema radiante 15

Figura 2-2 Geometriacutea del problema de radiacioacuten18

Figura 2-3 a) Problema real b) modelo del problema equivalente c) equivalente de Love d)

equivalente conductor eleacutectrico e) equivalente conductor magneacutetico 21

Figura 2-4 Problema electromagneacutetico con corrientes eleacutectricas 23

Figura 2-5 Problema electromagneacutetico con corrientes magneacuteticas 24

Figura 2-6 Geometriacutea del problema electromagneacutetico para un observador lejano 28

Figura 2-7 Interpretacioacuten geomeacutetrica de los paraacutemetros fundamentales en una observacioacuten lejana 29

Figura 2-8 Superficie de las frecuencias espaciales isomorfa con el espacio de los campos radiados 36

Figura 2-9 Dimensioacuten esencial del problema de radiacioacuten38

Figura 2-10 Interpolacioacuten mediante funciones de subdominio a) domino espacial b) dominio de la

frecuencia espacial El uso de funciones definidas soacutelo en el intervalo del subdominio

producen distorsioacuten 43

Figura 2-11 Exceso del ancho de banda espacial con respecto al nuacutemero de onda en funcioacuten de la

distancia para varios errores de truncamiento45

Figura 2-12 Moacutedulo de la dependencia radial de los modos esfeacutericos usando como argumento la

distancia radial expresada en nuacutemero de longitudes de onda46

Figura 2-13 Geometriacutea del problema de discretizacioacuten del campo generado por radiadores finitos 47

Figura 2-14 Variacioacuten del nuacutemero de muestras necesarias sobre las esferas ampliadas de radio a+δ48

Figura 2-15 Dimensioacuten esencial del problema superficial (a) y factores de sobremuestreo y de exceso

del radio para los problemas tanto superficial como curviliacuteneos (b)49

Figura 2-16 Dimensioacuten esencial para dominios curviliacuteneos (Los paraacutemetros χ y δ correspondientes son

los de la figura 2-15b) 49

Figura 2-17 a 2-25 Ejemplo de corrientes interiores a un icosaedro 54

Figura 2-16 a 2-44 Ejemplo de antena de agrupacioacuten de dipolos 57 a 76

Figura 3-1 Esquema general de proceso iterativo aplicado al problema electromagneacutetico inverso 82

Figura 3-2 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de medidas sobre parte del dominio de intereacutes 99

x



Figura 3-3 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional en dominios planos

para una observacioacuten cercana (zona de Fresnel) 101

Figura 3-4 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional para reconstruccioacuten

sobre dominios planos y observacioacuten lejana (zona de Fraunhoffer) 101

Figura 3-5 Contorno de integracioacuten para la aplicacioacuten de la formula integral de Cauchy 107

Figura 3-6 Ceros de la transformada Z de una distribucioacuten discreta de fuentes que equivale a la

extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano 115

Figura 3-7 Distribuciones correspondientes a dos ceros reciacuteprocos conjugados Su soporte es

diferente 117

Figura 3-8 Distribuciones de fuentes de orden cuatro que generan una misma distribucioacuten de moacutedulo

de campo A la izquierda se representa la distribucioacuten original a la derecha dos variantes

afectadas por factores de Blaschke (conmutacioacuten de uno o dos ceros reciacuteprocos) 118

Figura 3-9 Ejemplo de polinomios irreductibles asimeacutetrico y simeacutetrico 121

Figura 3-10 Apodizacioacuten usando una sinc en el dominio de las fuentes Su efecto es eliminar los ceros en

el dominio del campo para poder usar la transformada logariacutetmica de Hilbert 132

Figura 3-11 Algoritmo de Gerchberch-Saxton 137

Figura 3-12 Algoritmo de Misell 138

Figura 3-13 Algoritmo de Anderson generalizado 139

Figura 3-14 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas 140

Figura 3-15 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas para muacuteltiples dominios de medida 141

Figura 4-1 Geometriacutea de la antena de apertura circular y de los dominios de observacioacuten (distancias

expresadas en metros) 154

Figura 4-2 Representacioacuten graacutefica del filtrado oacuteptimo para la intensidad de campo 156

Figura 4-3 a 4-6 Problema inverso con fase 157

Figura 4-7 a 4-10 Ampliacioacuten del dominio de observacioacuten 160

Figura 4-11 a 4-24 Problema inverso sin fase 165

Figura 4-25 Geometriacutea del problema inverso para la antena de agrupacioacuten de ranuras 176



Figura 4-38 Vista frontal de la antena de agrupacioacuten de dipolos para radar secundario principales dimensiones

y detalle lateral de una columna 187

Figura 4-39 Dominio de medida de las antenas de Radar secundario 187

Figura 4-40 Formulacioacuten del problema a) mediante corrientes conductivas ndashgeometriacutea detallada de la

antenandash b) mediante corrientes equivalentes magneacuteticas ndashveacutease figura 2-28 aproximacioacuten

puntual de la columnandash 188

Figura 4-41 a 4-44 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas

(MPS-C) 192

Figura 4-45 a 4-48 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo con

formulacioacuten de corrientes conductivas (MOCA) 195

xi

Figura 5-1 Arquitectura baacutesica del sistema adaptado de medida 208

Figura 5-2 Deteccioacuten adaptada de la amplitud de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de

distribuciones de moacutedulo 209

Figura 5-3 Deteccioacuten adaptada de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de campo

complejo 210

Figura 5-4 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de

moacutedulo 212


moacutedulo 213

Figura 5-6 Observacioacuten del campo radiado por la antena SSR mientras se encuentra operativa

colocando el sistema adaptado de medida en sus inmediaciones 215

Figura 5-7 Caracteriacutesticas temporales de las sentildeales de interrogacioacuten SSR 216

Figura 5-8 Arquitectura baacutesica del sistema de diagnosis para antenas de radar secundario 217

Figura 5-9 Operacioacuten del sistema de diagnosis 218

Figura 5-10 Circuito de deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten 218

Figura 5-11 Configuracioacuten biplaca sobre fibra de vidrio del circuito de deteccioacuten 219

Figura 5-12 Caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten 219

Figura 5-13 Estructura de la antena e integracioacuten con el resto del circuito 220

Figura 5-14 Filtro de liacuteneas acopladas en microtira 220

Figura 5-15 Caracteriacutesticas experimentales del filtro de la fig 5-14 221

Figura 5-16 Caracteriacutesticas experimentales de la antena-filtro de las fig 5-13 y 5-14 221

Figura 5-17 Caracteriacutesticas teacutecnicas del Amplificador Logariacutetmico AD-8313 222

Figura 5-18 Circuito de polarizacioacuten del amplificador logariacutetmico 222

Figura 5-19 Vista en planta del circuito completo de deteccioacuten 223

Figura 5-20 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten a) barrido de potencia caracteriacutestica

logariacutetmica de transferencia b) barrido en frecuencia selectividad 224

Figura 5-21 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten Conjunto Transmisor (simulacioacuten de

pulsos SSR) ndash Bocina ndash Circuito de deteccioacuten Para varias potencias de transmisioacuten 225

Figura 5-22 Caracteriacutestica de respuesta del circuito de deteccioacuten para la amplitud del rizado y para la

amplitud estabilizada tras el rizado 225

Figura 5-23 Estructura de adquisicioacuten oacuteptima 226

Figura 5-24 a) Constelacioacuten para la decisioacuten de sentildeales vaacutelidas b) Problema equivalente 228

Figura 5-25 Constelacioacuten para la decisioacuten del nivel de los pulsos P1 228

Figura 5-26 Circuito de recepcioacuten oacuteptima y adquisicioacuten de datos 229

Figura 5-27 Dispositivos empleados para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo y esquema de

conexiones 230

Figura 5-28 Organizacioacuten de la memoria para la realizacioacuten de las operaciones del receptor oacuteptimo 231

xiii

Siacutembolos D Dominio superficial de observacioacuten (sect21)

S Superficie que engloba las fuentes de campo electromagneacutetico (sect21)

ξ η λ Se emplean para designar coordenadas curviliacuteneas generalizadas En algunos casos de dominios superficiales se emplea tambieacuten la pareja (u v)

hξ Factor de escala (o de Lame) de la coordenada curviliacutenea ξ

E H J M hellip Vectores de campo eleacutectrico magneacutetico corriente eleacutectrica corriente magneacuteticahellip En general se simbolizan con negrita las magnitudes vectoriales

f Vector que representa de forma geneacuterica las fuentes de campo electromagneacutetico ya sean estas corrientes eleacutectricas magneacuteticas o una combinacioacuten de ambas seguacuten la definicioacuten (2-37)

G TCL He hellip Funciones diaacutedica de Green de campo lejano modaleshellip Al multiplicarse por un vector el resultado es otro vector (2-29 2-23 2-37 2-43 2-50 2-57 2-60)

A A Columna de vectores y escalares respectivamente

B B Operador diaacutedico y matriz de escalares respectivamente

BT Matriz traspuesta bnm= bmn

B Matriz conjugada bnm= bnm

B+ Matriz adjunta Traspuesta de la conjugada bnm= bmn

Z R C Conjunto de los nuacutemeros enteros reales y complejos respectivamente

FFuv Transformada de Fourier unidimensional bidimensionalhellip Cuando el argumento sea una distribucioacuten discreta entonces la transformada es discreta

A~~A Transformada del campo vectorial A o del campo escalar A Dependiendo del caso la transformada seraacute unidimensional bidimensional o tridimensional y seguacuten sea el campo A continuo o discreto asiacute seraacute la trasformada

M Columna de dos elementos que agrupa los dos modos del mismo orden (2-51 2-57 2-60)

Hn(2) hn(2) Funciones ciliacutendricas y esfeacutericas de Hankel de segunda especie y orden n

χ Factor en exceso de ancho de banda espacial sobre un determinado dominio superficial respecto a 2πλ (sect241 fig 2-9 ec 2-68 2-72)

E H f hellip Representa una distribucioacuten discretizada de campo vectorial (ordenada en una columna)

T Operador diaacutedico lineal de transformacioacuten del espacio discretizado de las fuentes al espacio del campo eleacutectrico definido en (2-91)

xiv

Ψn Funcioacuten de campo que corresponde al campo eleacutectrico sobre el dominio D (discretizado) por el dipolo n-esimo de Hertz unitario de la retiacutecula de fuentes (sect244)

E Espacio vectorial definido por las funciones de campo Ψn sobre un cuerpo de escalares complejos y por un producto interno como el (2-96) o el (3-3) Su dimensioacuten corresponde con la esencial Ver sect245

EO Complemento ortogonal del espacio E

21 EE Producto interno entre dos distribuciones del espacio E Definido en (2-96) y de forma maacutes general usando la matriz de factores de ponderacioacuten π en (3-3)

E Norma de una distribucioacuten E isin E Definido en (2-97) y (3-4)

( )21 EEd Distancia entre dos distribuciones de campo E1 y E2 del espacio E Definida en (2-98) y (3-4)

( )fd Distancia entre la distribucioacuten de campo observada Em y la debida a una distribucioacuten de fuentes f Ef Definido en (3-7) ( ) ( ))( ff fmdd EE=

ζ Matriz hermeacutetica positiva que caracteriza la distancia cuadraacutetica entre distribuciones en el espacio E Definido en (3-8) y (3-9)

b Vector columna en el que cada elemento corresponde al producto interno con cada una de las funciones base Ψn del espacio E Ver (3-8) Eb sdotsdot= + πT

p Designa una direccioacuten de cambio en el espacio de las distribuciones de fuente Empleada en los procedimiento iterativos de reduccioacuten de residuo (sect321)

I Operador de iteracioacuten que representa las operaciones realizadas sobre una secuencia de datos en un ciclo completo de un proceso iterativo Ver sect3-1

M Operador que sustituye sobre una distribucioacuten de campo cualquiera las medidas que se hayan realizado sobre el dominio de observacioacuten (por ejemplo campo complejo sobre una parte del dominio completo moacutedulo del campo etc)

Rf Operador que aplica a una distribucioacuten cualquiera de fuentes un conjunto de restricciones conocidas a priori o por observacioacuten (por ejemplo subdominios con nulos de corriente igualdad de fase etc)

RE Operador que aplica a una distribucioacuten cualquiera de campo un conjunto de restricciones conocidas a priori (tiacutepicamente el ancho de banda espacial)

Pi j Operador de proyeccioacuten del campo sobre el dominio Di al campo sobre Dj

H Transformada de Hilbert (3-38)

O Representa el comportamiento asintoacutetico de la funcioacuten argumento

E(u) E(z) u isin R se utiliza para designar la coordenada del dominio de observacioacuten lejano z isin C equivale a la extensioacuten compleja de u Asiacute E(u) es la distribucioacuten de campo lejano y E(z) su extensioacuten analiacutetica

zk Uno de los ceros de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo E(z)

Bk(z) Factor de Blaschke sobre el cero k-esimo zk de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de fuentes Ver sect33 y ec (3-42)

SPS SPS Semiplano complejo Superior y Semiplano complejo Inferior

xv

f [n] Distribucioacuten discreta de fuentes (esencialmente ideacutentica a f )

F(z) Transformada Z de f [n] extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten discreta de campo lejano

f [n] F(z) En el caso superficial sect3317 n isin Z2 y z isin C 2 Particularizando z = (ejθ1 e jθ2) = (uv) se obtienen las coordenadas del dominio de observacioacuten lejano (sect235)

F k ( z ) Cada uno de los polinomios irreductibles que constituyen F(z) Ver sect3317

)(zkF(

Polinomio simeacutetrico del F k ( z ) )1()( lowastminus lowast= zzz Nkk FF

(

)( fξ Funcional definido para la minimizacioacuten del error entre las medidas de campo y los valores correspondientes a una distribucioacuten de fuentes f sect3321b

ξ(t ) Sentildeal baacutesica que por recurrencia constituye la sentildealizacioacuten del sistema radiante bajo estudio Asiacute la sentildealizacioacuten seraacute sum minus

k

kTt )(ξ

Referencias Para referenciar partes del texto o bibliografiacutea externa se ha utilizado una simbologiacutea que de

acuerdo a los haacutebitos arraigados en la documentacioacuten cientiacutefica seraacuten faacutecilmente descifrables No

obstante puesto que no hay un uacutenico modo consensuado de referencia y ciertos detalles pudieran

llevar a confusioacuten la tabla siguiente recoge unos ejemplos que clarificaraacuten la simbologiacutea utilizada

Tanto las ecuaciones como las figuras y tablas se han numerado en cada capiacutetulo y en

consecuencia para designarlas se antecede el nuacutemero del capiacutetulo La bibliografiacutea se ha optado por

ordenarla alfabeacuteticamente de modo que sean maacutes faacutecilmente identificables los autores por esta

razoacuten los nuacutemeros que designan la literatura no seguiraacuten en el texto un orden creciente Obseacutervese

ademaacutes que en las referencias bibliograacuteficas se utilizan dos signos de puntuacioacuten lsquocomarsquo y lsquopunto y

comarsquo La coma se emplea para separar el nuacutemero que identifica su posicioacuten en la lista bibliograacutefica

de alguacuten tipo de designacioacuten interna (pej ecuacioacuten capiacutetulo liacutenea) faacutecilmente identificable cuando

se tiene delante la pieza literaria en cuestioacuten Por otra parte el punto y coma se emplea para separar

diferentes referencias bibliograacuteficas

(2-3) Hace alusioacuten a la ecuacioacuten 3 del tema 2 designada asiacute en su margen derecha

sect2341 Hace alusioacuten al apartado ldquo2341 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedrordquo

fig 3-1 Hace alusioacuten a la figura 1 del tema 3

[5-7 20 60] Referencias bibliograacuteficas 5 6 7 20 y 60

[34 p20] Referencia bibliograacutefica ndeg 34 paacutegina 20

[6 sect2 3 ec2] Referencia bibliograacutefica ndeg 6 (apartado 2) y referencia ndeg 3 (ecuacioacuten 2)

xvii

Resumen El objeto esencial de la tesis consiste en investigar las posibilidades de identificacioacuten de fuentes

electromagneacuteticas a partir de la observacioacuten del campo que estas generan Para ello la investigacioacuten

se divide en tres grandes partes en primer lugar el problema directo es decir la descripcioacuten del campo

a partir de unas fuentes supuestamente conocidas buscando una formulacioacuten que facilite su

inversioacuten en segundo lugar el problema inverso o la buacutesqueda de las posibilidades y limitaciones en la

identificacioacuten de las distribuciones de fuentes que han generado un campo supuestamente

conocido a veces sobre un dominio no cerrado y a veces sin informacioacuten de fase y finalmente una

indagacioacuten sobre las posibilidades de la observacioacuten del campo donde se propone una teacutecnica aplicable

a los sistemas de radiocomunicacioacuten

En el capiacutetulo de introduccioacuten se empieza haciendo tres aproximaciones a nuestro problema

ponieacutendolo en relacioacuten con el ldquoproblema del conocimientordquo poniendo luego en perspectiva

nuestro meacutetodo intelectual y por uacuteltimo buscando por viacutea intuitiva en el ldquoproblema de la visioacuten

humanardquo los resultados a los que luego se llega con rigor Hechas estas aproximaciones se resume

en una segunda parte el contenido de toda la investigacioacuten

En el capiacutetulo del problema electromagneacutetico directo se busca primero una formulacioacuten diaacutedica del campo

en funcioacuten de las distribuciones de fuentes cuya relacioacuten con la formulacioacuten modal se investiga A

continuacioacuten se indaga la dimensioacuten esencial del problema electromagneacutetico encontraacutendose un

conjunto de teoremas que da pie a su discretizacioacuten en teacuterminos de un espacio vectorial cuyas

caracteriacutesticas facilitaraacuten la inversioacuten del problema Se termina presentando un par de ejemplos que

ilustran alguno de los resultados alcanzados

En el capiacutetulo del problema electromagneacutetico inverso una vez establecidas las limitaciones esenciales del

problema inverso es decir lo maacuteximo que podemos llegar a conocer se investigan las posibilidades

de identificacioacuten de las distribuciones de corriente 1deg) cuando se conoce el campo sobre dominios

que engloban completamente las fuentes 2deg) cuando los dominios no llegan a englobarlas y 3deg) el

caso maacutes delicado de carecer de informacioacuten de fase Es a este problema al que se dedica mayor

extensioacuten y se llega a resultados que contradicen ciertas teoriacuteas que aunque durante muchos antildeos se

han tomado por vaacutelidas la praacutectica no les da la razoacuten Se concluye comparando traduciendo y

generalizando dentro de la gramaacutetica de nuestro problema un amplio abanico de soluciones que han

aflorado en distintas disciplinas

xviii

En el capiacutetulo de validacioacuten experimental se consideran tres casos de estudio sobre los que se ensayan

los meacutetodos inversos propuestos y se ilustra alguno de los resultados teoacutericos alcanzados en los

capiacutetulos anteriores

El penuacuteltimo capiacutetulo dedicado a la observacioacuten del campo se comparan primero de acuerdo a sus

limitaciones los meacutetodos disponibles para la medicioacuten de los sistemas radiantes y se propone una

solucioacuten tecnoloacutegica que saca partido de la sentildealizacioacuten para conocer el campo que el sistema

radiante engendra en sus inmediaciones La arquitectura general propuesta se ejemplifica para el

caso de un medidor de antenas de Radar Secundario cuyas caracteriacutesticas virtudes y limitaciones se

discuten

Un uacuteltimo capiacutetulo de conclusiones hace recuento de los principales resultados obtenidos y se sugiere

una serie de liacuteneas de investigacioacuten cuya profundizacioacuten pudiera aportar interesantes resultados

I INTRODUCCIOacuteN

ldquoTodo el meacutetodo consiste en el orden y

disposicioacuten de aquellas cosas a las que se

ha de dirigir la mirada de la mente a fin de

que descubramos alguna verdad Y la

observaremos exactamente si reducimos

gradualmente las proposiciones

complicadas y oscuras a otras simples y si

despueacutes intentamos ascender por los

mismos grados desde la intuicioacuten de las

maacutes simples hasta el conocimiento de todas

las demaacutesrdquo

Reneacute Descartes Regla V de ldquoReglas

para la direccioacuten del espiacuteriturdquo

Introduccioacuten 3

11 TRES APROXIMACIONES A NUESTRO PROBLEMA

111 El problema electromagneacutetico inverso y el del conocimiento

En realidad el problema que nos ocupa mucho tiene que ver con la perpetua dificultad del hombre

de descubrir la realidad que hay detraacutes de nuestras sensaciones es decir de hacernos ideas de las

cosas a partir de los fenoacutemenos En la historia se han vivido momentos de exceso en los que se ha

pretendido que toda la realidad se encuentra anclada en la costa de las sensaciones esa fue la actitud

de los sofistas de la Grecia claacutesica el naturalismo de Campanella en el renacimiento o bien el de

Hobbes y Condillac en plena modernidad por no hablar de los abusos del presente Pero tambieacuten

se ha dado el exceso contrario y a menudo coetaacuteneo de suponer la realidad en la costa contraria o

sea la afirmacioacuten de que las sensaciones son mero engantildeo y que no habiendo maacutes realidad que la de

las ideas eacutestas se las han de apantildear solas para descubrirla Acaso la posicioacuten maacutes radical haya sido la

de Parmeacutenides para el que ldquolo que cabe concebir y lo que cabe que sea son una y la misma cosardquo

[15] pero esta es tambieacuten la actitud de Platoacuten y la de los modernos Descartes Spinoza o Hegel Sin

embargo en el racionalismo moderno como es el de estos uacuteltimos y sobre el que se sigue

sustentando el andamiaje casi entero de las ciencias en realidad se admite la validez de ambas costas

y el problema que se suscita es maacutes bien el de la navegacioacuten entre ambas

Obseacutervese que en el problema del conocimiento ya sea eacuteste el particular de descubrir las fuentes de

un campo electromagneacutetico observado o el maacutes general de delatar las realidades que originaron los

fenoacutemenos hay tres actores fundamentales las ideas de las cosas las sensaciones procedentes de

eacutestas y las cosas mismas La modernidad supone que si de algo puede tenerse radical seguridad es de

que las ideas con independencia de su calidad estaacuten ahiacute Por tanto si ademaacutes damos creacutedito a las

cosas dada la contingencia de las sensaciones lo mejor que podemos hacer es organizar con

cuidado las ideas que nos hagamos sobre eacutestas de modo que no pudiendo estar ordenadas de otra

forma podamos emplear los fenoacutemenos para asiacute conocer la realidad que hay detraacutes

Sin embargo superado el racionalismo en la deacutecada de 1930 sabemos ahora que no estaacute en nuestras

manos tener absoluto control de todos nuestros constructos cientiacuteficos (y si pretendemos

quedarnos con los que siacute son evidentes entonces a penas podremos dar cuenta del mundo1) Y

sabemos ademaacutes en parte gracias a Heissenberg que por muy perfeccionados que esteacuten nuestros

instrumentos de observacioacuten estos soacutelo podraacuten proveernos una idea aproximada de las cosas y lo

que es maacutes las habremos modificado con muestra meticulosa mirada No obstante a pesar de estas

objeciones que podemos llamar postmodernas tambieacuten tomamos por cierto que no son sino las

cosas las responsables de los fenoacutemenos y asentimos con Spinoza que ldquola idea de un modo

1 Esto es lo que en sus uacuteltimas consecuencias viene a decir nos el Teorema de Goumldel [57 51]

4 Capiacutetulo I

cualquiera con que el cuerpo humano es afectado por los cuerpos exteriores debe implicar la

naturaleza del cuerpo humano y a la vez la naturaleza del cuerpo exteriorrdquo [150 216] En

consecuencia es menester ante todo que conozcamos en detalle la naturaleza de nuestros

instrumentos de observacioacuten para asiacute distinguir lo que se debe al instrumento y lo que se debe al

objeto Es decir aunque ya no podamos arropar la misma pretensioacuten con que Wittgenstein

aseguraba que ldquolas proposiciones loacutegicas describen (o representan) el armazoacuten del mundordquo [164

6124] al menos podremos aspirar a un cierto conocimiento de la realidad aunque sepamos que eacuteste

no sea definitivo y que en uacuteltima instancia la realidad sea irreductible a sus noticias

En suma sabemos que nuestras observaciones son debidas a la realidad que ademaacutes por nuestra

calidad de observadores pertenecemos tambieacuten a la realidad observada que la observacioacuten depende

de coacutemo sean nuestros oacuterganos de observacioacuten y que finalmente habraacute ciertas noticias de aquella

que o bien no llegaraacuten hasta nosotros o bien no sepamos representarlas Pero aun asiacute las ideas

que nos hagamos de las cosas a partir de las observaciones tendraacuten bastante en comuacuten con eacutestas y

dependeraacuten estrictamente de nuestra capacidad de prefiguracioacuten Es decir ndashsiguiendo a Ortegandash

debemos ldquoformarnos ideas de las cosasrdquo eacutestas nos serviraacuten de andamiaje para ordenar la

observacioacuten Pero al fin ldquopara de verdad conocer es preciso restar todo eso que se ha pensado

cayendo en la cuenta que la realidad es siempre maacutes o menos distinta de lo pensadordquo [127]

112 Nuestro meacutetodo de investigacioacuten

ldquoIndiferente me es por donde comenzar ya que de nuevo alliacute de vuelta llegareacuterdquo Parmeacutenides

Atendiendo al sentido original de fenoacutemeno (fainomeacutene) que para el griego significaba aparecer

revelarse darse a conocer resulta pues que las mantildeas que empleemos para conocer las fuentes

electromagneacuteticas responsables de un cierto campo observado podraacuten considerarse como una

suerte de fenomenologiacutea Sin embargo eacutesta tendraacute que fundarse en la prefiguracioacuten que podamos

hacernos de las causas Es decir bien a partir de los fenoacutemenos o bien a partir de otra certidumbre

debemos figurarnos el mecanismo de causacioacuten y una vez conseguido eacuteste podraacuten interpretarse los

fenoacutemenos observados Dicho en otros teacuterminos debemos entender el lenguaje en el que se

expresan los fenoacutemenos para saber lo que eacutestos nos dicen (lenguaje que Galileo o Newton no

dudariacutean en asegurar que es matemaacutetico) En nuestro caso no vamos a poner en tela de juicio el

mecanismo de causacioacuten y daremos por vaacutelida la teoriacutea maxweliana que siguiendo nuestro siacutemil

constituiraacute la gramaacutetica de los fenoacutemenos electromagneacuteticos

En consecuencia teniendo en cuenta ese punto de partida la solucioacuten a nuestro problema requeriraacute

primero considerar el camino directo empleando naturalmente la gramaacutetica maxweliana e

investigando las relaciones de biunivocidad entre fuentes y campo asiacute como una expresioacuten acorde a

la naturaleza finita de la observacioacuten tanto en el orden geomeacutetrico como en el de la precisioacuten (sect2)

Una vez recorrido el camino que de las fuentes va al campo el opuesto seraacute una consecuencia de

Introduccioacuten 5

aquel siempre que las caracteriacutesticas de la observacioacuten sean suficientes para garantizar su

invertibilidad Asiacute pues nuestra indagacioacuten se centraraacute aquiacute en las condiciones de unicidad y a tenor

de las dificultades que puedan aparecer en las estrategias para evitarlas (sect3) Recorridos los caminos

teoacutericos la prueba de su validez consistiraacute en aplicarlos a casos concretos ya que como advertiacutea

Aristoacuteteles ldquolas acciones y las producciones todas se refieren a lo individual el meacutedico no cura al

hombre sino a Calias a Soacutecrates o a cualquier otro de los que de este modo se nombranrdquo [10 981a]

Probada la capacidad de las soluciones teoacutericas y teniendo en cuenta que nuestras pretensiones de

conocimiento de las fuentes no son absolutas sino que en general estaacuten supeditadas a alguacuten fin

praacutectico que a su vez determina los objetivos de conocimiento de aquellas entonces la observacioacuten

del campo tendraacute en consecuencia un cierto objetivo de precisioacuten Seraacute atendiendo a eacuteste como se

aborde finalmente el problema de la observacioacuten del campo electromagneacutetico donde

principalmente se describiraacute un meacutetodo original consistente en el aprovechamiento de las sentildeales

determiniacutesticas emitidas bajo operacioacuten de los sistemas de radiocomunicacioacuten

A partir de este bosquejo general del meacutetodo para la resolucioacuten del problema inverso puede

percibirse un cierto componente cartesiano pues parte de la certidumbre de la teoriacutea maxweliana e

intentaraacute avanzar de modo que los pasos sean lo suficientemente claros y evidentes Sin embargo

tambieacuten supone la seguridad de que la comprensioacuten de la realidad es parcial y que incluso la

voluntad de conocimiento tampoco es absoluta Y puesto que estas incertidumbres son

incorporadas en los problemas asiacute directo como inverso el meacutetodo seguido podraacute tambieacuten

considerarse postmoderno

113 Los liacutemites de la observacioacuten

ldquoPreferimos la visioacuten a todas las demaacutes sensaciones La razoacuten estriba en que eacutesta es la que

mejor nos da a conocer los objetos y nos descubre entre ellos gran nuacutemero de diferenciasrdquo

Aristoacuteteles Metafiacutesica 980a

Ya se ha sentildealado antes el parentesco entre el problema electromagneacutetico inverso y el maacutes general

del conocimiento pero maacutes estrecho aun es su relacioacuten con el problema de la visioacuten en relacioacuten con

los objetos observados Estrictamente se trata del mismo problema aunque este uacuteltimo sea un caso

maacutes restringido y aparezca de forma natural sin necesidad de mediacioacuten Su consideracioacuten nos

permitiraacute vislumbrar ciertas cuestiones que luego se veraacuten en detalle y que en consecuencia nos

proveeraacuten una primera intuicioacuten de las dificultades del problema inverso dejaacutendonos asiacute en mejores

condiciones para su ulterior estudio

En el problema de identificar los objetos a partir de la mirada los objetos reflejan la luz a tenor de

sus peculiaridades superficiales formaacutendose frente de ondas a su alrededor en los que estaacute impliacutecita

la forma de los objetos Procedente de unas partes del objeto llega maacutes intensidad que de otras y su

fase tambieacuten variacutea Ademaacutes para cada frecuencia las relaciones pueden ser diferentes lo cual

6 Capiacutetulo I

confiere a nuestras imaacutegenes sus cualidades cromaacuteticas cuestioacuten en la que no entraremos ya que

como se veraacute maacutes adelante el planteamiento de nuestro problema seraacute esencialmente

monocromaacutetico Podriacuteamos decir que el ojo al remedar el mecanismo de la propagacioacuten desde eacuteste

hasta el objeto pero proyectando el resultado sobre la esfera retiniana realiza parte del problema

inverso Sin embargo varias son las dificultades con que esta operacioacuten se topa para identificar

correctamente los objetos mirados

La primera limitacioacuten que se presenta en el

problema de la visioacuten es que de las cualidades

de los objetos soacutelo nos llegan sus caracteres

superficiales Esto hace que nuestra visioacuten del

mundo esteacute constituida por objetos compactos

limitados por niacutetidas superficies a pesar de que

como demostrara Rutherford lo que

predomine incluso sobre lo maacutes soacutelido sea el

vaciacuteo Como se veraacute maacutes adelante esto se debe

a una limitacioacuten esencial del problema de

radiacioacuten si nos preguntamos coacutemo seraacute el

campo electromagneacutetico sobre todo el espacio

que circunda unas fuentes la primera impresioacuten

es que se trata de un problema tridimensional

sin embargo una consideracioacuten maacutes detallada

delata que una de las dimensiones no es libre y

que por tanto el problema es en esencia

superficial Es decir nos bastaraacute con describir el

campo sobre una superficie que englobe a las

fuentes Sobre el resto del espacio la

distribucioacuten de campo podraacute expresarse en

funcioacuten de la primera La ecuacioacuten de

Helmholtz nos muestra que las frecuencias

espaciales no pueden distribuirse de cualquier

manera y dejando de lado las ondas evanescentes se veraacute que eacutestas tienen una distribucioacuten esfeacuterica

(en el espacio de las frecuencias espaciales) El principio de Huygens nos dice la misma cosa si

conocemos un frente de ondas el campo sobre el resto del espacio estaraacute impliacutecito en la

combinacioacuten de ondas esfeacutericas a partir de dicho frente En el caso oacuteptico esta peculiaridad es

tambieacuten evidente pues no nos importa donde encontrarnos para que la imagen que finalmente se

forma en la retina sea una reconstruccioacuten fiel de la luz reflejada por el propio objeto Basta con que

la oacuteptica se reajuste a cada distancia para que al fin la imagen sea niacutetida del mismo modo que en el

Figura 11 Procedimiento descrito por

Descartes en Dioacuteptrica para representar la imagen

formada en la retina del ojo

Introduccioacuten 7

problema matemaacutetico habraacute que reajustar las funciones para que eacutestas relacionen las distribuciones

superficiales que nos interesen Los teoremas de unicidad y equivalencia reflejan esta constitucioacuten

superficial del problema electromagneacutetico espacial

Resignados pues a adquirir mediante la observacioacuten las cualidades superficiales de los objetos

topamos aun con otra limitacioacuten si deseamos saber coacutemo se observaraacuten los objetos desde cualquier

punto no podemos quedarnos quietos (aunque el ojo implique en siacute una adquisicioacuten superficial) y

que habremos de circunscribir completamente el objeto para poder dar por resuelto el problema El

escorzo depende tanto del objeto como de la posicioacuten del observador pero si consiguieacuteramos

obtener tantos escorzos como orientaciones posibles el conocimiento que eacutestas nos aportan acabaraacute

siendo objetivo Esto es lo que nos dice el teorema de unicidad seguacuten el cual cuando soacutelo

contemos con un cierto aacutengulo de observacioacuten la solucioacuten al problema electromagneacutetico no seraacute

uacutenica No obstante si para las frecuencias en uso la difraccioacuten no es demasiado importante la

observacioacuten parcial podraacute proveernos un conocimiento parcial de las fuentes en lo que puede

llamarse sus superficies visibles

Una nueva dificultad reside en que la retina es incapaz de diferenciar las fases de la distribucioacuten de

luz con lo que habraacute parte del contenido informacional de la radiacioacuten que la retina no podraacute

reproducir por siacute sola El efecto es evidente si miramos el mundo con un solo ojo y no nos

movemos esta visioacuten no diferiraacute mucho de la que nos proporciona una fotografiacutea Coacutemo se las

apantildea nuestra fisiologiacutea para recuperar esa informacioacuten que conteniacutea la fase y que confeririacutea a la

imagen un aspecto volumeacutetrico es algo bien conocido Nos basta mirar con los dos ojos Esto que

se veraacute viacutea matemaacutetica es la solucioacuten al problema inverso sin fase cuando soacutelo se recurre a lo que

denominaremos meacutetodos observadores

En lo que respecta a los detalles que puedan llegar a adquirirse del objeto surge una uacuteltima

dificultad Sabemos que estos dependen de la longitud de onda que en el caso de la visioacuten es

extremadamente pequentildea en lo que se refiere a las necesidades de nuestra observacioacuten cotidiana

Sin embargo cuando pretenden descubrirse detalles microscoacutepicos (por debajo del microacutemetro) la

experiencia nos demuestra que debemos recurrir a longitudes de onda maacutes pequentildeas Estrictamente

puede probarse que incluso geometriacuteas pequentildeas respecto a la longitud de onda tienen influencia

en la distribucioacuten de campo que circunda el objeto no obstante puede decirse que el proceso de

radiacioacuten va eliminando esas variaciones menudas de modo que a una cierta distancia eacutestas son

indistinguibles

En suma se han visto por viacutea analoacutegica cuaacuteles son las cuatro limitaciones esenciales a la

identificacioacuten de las fuentes que originaron una distribucioacuten de campo observada

1ordm) Soacutelo podraacuten asegurarse sus cualidades superficiales

2ordm) Un conocimiento completo de sus caracteriacutesticas superficiales requiere una observacioacuten sobre

todos los posibles aacutengulos de visioacuten (es decir sobre una superficie que englobe las fuentes)

8 Capiacutetulo I

3ordm) Los detalles que puedan llegar a conocerse estaacuten en funcioacuten de la longitud de onda La

naturaleza de la propagacioacuten impide que los detalles por debajo de un cierto umbral lleguen

hasta el observador

4ordm) La reconstruccioacuten de las funciones completas de onda cuando se carezca de sensibilidad

respecto a la fase de la radiacioacuten puede lograrse mediante la observacioacuten sobre dos superficies

12 PANORAacuteMICA DEL CAMINO DE IDA Y VUELTA

Seguacuten se argumentoacute al principio (sect112) nuestro procedimiento a grandes rasgos consistiraacute

primero en la prefiguracioacuten del camino directo seguido de la resolucioacuten del problema inverso y

terminando en el problema teacutecnico de la observacioacuten para que eacutesta satisfaga los objetivos de

identificacioacuten de las fuentes Pero adelantemos en primera aproximacioacuten lo que despueacutes veremos

en detalle

Figura 1-2 Esquema de los problemas directo e inverso

En la figura 1-2 se esquematizan los dos problemas Si se conoce con suficiente detalle las

corrientes y cargas sobre un determinado volumen tenemos la certeza de que las leyes de Maxwell

nos permitiraacuten determinar las distribuciones de campo electromagneacutetico alliacute donde queramos

Cuando podemos admitir la linealidad del medio entonces las relaciones que vinculan las

distribuciones de corriente y de campo seraacuten lineales Esto constituye una garantiacutea fundamental de

unicidad para el problema inverso que no obstante y en virtud del principio de Huygens (o el de

equivalencia de Schelkunoff) asegura una relacioacuten uacutenica entre distribuciones superficiales de

corriente y campo (limitacioacuten ya sentildealada en sect113) Un problema maacutes espinoso seraacute el de cuaacutenta

informacioacuten es menester cuando no se dispone de las distribuciones de fase

121 Problema directo

En el caso de poder caracterizar en detalle un sistema radiante tanto eleacutectrica como

geomeacutetricamente incluyendo el entorno electromagneacutetico las leyes de Maxwell nos permiten

S

ε 2 micro 2

qe qm

J

M D

ε 1 micro 1

x

y

z

x

Problema directo

Leyes de Maxwell

Problema inverso

Principio de Huygens-Schelkunoff

S

D y

z

ET

ε 1 micro 1

Introduccioacuten 9

predecir con exactitud los campos electromagneacuteticos generados en cualquier punto de ese entorno

Las discrepancias con respecto a la realidad (haciendo caso omiso de las discontinuidades cuaacutenticas)

se deben por una parte a nuestra incapacidad para caracterizar exactamente el entorno que por su

naturaleza dinaacutemica e impredecible es para el observador una variable estocaacutestica y por otra parte a

las dificultades de resolucioacuten analiacutetica de las leyes de Maxwell en entornos no homogeacuteneos o

geometriacuteas complejas Por fortuna para cada problema se pueden recurrir a aproximaciones que

reduzcan este error hasta liacutemites razonables para que las predicciones acerca de la radiacioacuten (que en

esencia nunca dejaraacute de ser estocaacutestica) sean lo suficientemente exactas sin perder su practicidad A

esto llamamos problema electromagneacutetico directo

Partiendo de las relaciones de Maxwell se llega a las bien conocidas ecuaciones de onda que

dependiendo de si consideramos o no el espacio ocupado por las fuentes eacutestas tomaraacuten la forma de

la ecuacioacuten de DrsquoAlambert o la de Helmholtz Si se considera la primera las soluciones podraacuten

expresarse en teacuterminos de las famosas funciones de Green que particularizado al problema

electromagneacutetico corresponderaacuten a unas funciones diaacutedicas Esta formulacioacuten facilitaraacute la ulterior

expresioacuten matricial de las distribuciones de campo En caso de considerar la ecuacioacuten de Helmholtz

sus soluciones pueden expresarse en teacuterminos de funciones modales2 Ambas expresiones la de

funciones de Green y modales son muy utilizadas y teniendo en cuenta su nuacutecleo comuacuten parece

claro que podraacuten expresar lo mismo no obstante se probaraacute que estas dos comulaciones son

matemaacuteticamente isomorfas (en el espacio exterior a las fuentes) pudiendo expresarse de una

forma muy similar en teacuterminos de funciones diaacutedicas entre las que se determinaraacuten los oportunos

operadores de proyeccioacuten

Una vez acometida la dificultad de la formulacioacuten del campo en teacuterminos de funciones diaacutedicas se

consideraraacute el problema de la frecuencia espacial de las distribuciones de campo observables y de

las distribuciones de corriente reconstruibles Una consecuencia directa de este estudio seraacute la

discretizacioacuten oacuteptima del problema electromagneacutetico que finalmente nos permitiraacute llegar a una

formulacioacuten de la radiacioacuten procedente de un volumen dado en teacuterminos de un espacio vectorial de

dimensioacuten miacutenima que hemos convenido en llamar espacio E Este espacio tiene la peculiaridad de

poder expresar (hasta una precisioacuten prefijada) todas las distribuciones de campo generadas sobre un

dominio de observacioacuten por cualquier distribucioacuten de corrientes englobada por una determinada

superficie Cada una de las coordenadas de este espacio representa una componente de corriente de

unos dipolos ideales de Hertz estrateacutegicamente situados sobre la superficie que engloba las

verdaderas fuentes

2 Aunque eacutestas a menudo se deriven por comodidad de las funciones de Green

10 Capiacutetulo I

122 Problema inverso

Mientras que podriacutea parecer que en la formulacioacuten del problema directo en teacuterminos de un espacio

vectorial E se suelten amarras respecto a la realidad electromagneacutetica en verdad lo que se hace no

es sino facilitar el camino de vuelta ya que en el fondo se intenta que este espacio englobe de la

forma maacutes ajustada posible el conjunto de las distribuciones de campo pertenecientes a cualquier

conjunto de corrientes acotado por una superficie Ajustar al maacuteximo la dimensioacuten matemaacutetica del

problema directo equivale a un intento extremo de quitar el maacuteximo de paja en la descripcioacuten del

campo y asiacute poder encontrar la relacioacuten biuniacutevoca que liga las distribuciones de campo y de

fuentes el grano de nuestro problema

Como se observaraacute en su momento siempre que se defina sobre el espacio E un producto interno

compatible con la desigualdad triangular la solucioacuten es uacutenica aunque su solucioacuten directa a veces

pueda ser compleja y sea menester recurrir a meacutetodos numeacutericos Esta solucioacuten corresponderaacute con

la uacutenica del teorema de unicidad si la observacioacuten cumple con sus condiciones De lo contrario

tambieacuten podremos aproximarnos a esa solucioacuten aunque en general agregando informacioacuten

adicional Se expondraacute un procedimiento general para incorporar esta informacioacuten extra mediante

un proceso iterativo y en virtud del teorema global de la convergencia se observaraacute que eacutesta tiende

a la solucioacuten siempre que las aplicaciones de iteracioacuten cumplan ciertas propiedades Uno de los

casos de incompletitud del teorema de unicidad que se contemplaraacute es el de un aacutengulo de

observacioacuten insuficiente pero al que se dedicaraacute principal eacutenfasis es al de ausencia de las

distribuciones de fase Para la solucioacuten del problema sin fase hay una propiedad esencial de las

distribuciones de campo sobre la cual se sustenta toda su discusioacuten se trata de la extensibilidad

analiacutetica de las distribuciones Esta peculiaridad hace que exista una consistencia entre las

distribuciones de moacutedulo y fase de manera que en algunos casos el conocimiento de una de ellas es

soacutelo compatible con una de las otras y que a su vez puede determinarse No obstante en general

existe una ambiguumledad que impide reconstruir la distribucioacuten compleja a partir de soacutelo valores de

moacutedulo

En 1975 Hoenders llegoacute a un teorema del cual parece desprenderse que la solucioacuten al problema sin

fase es uacutenico si se antildeade una miacutenima informacioacuten de las fuentes (o del objeto) Las principales

revisiones al problema de la reconstruccioacuten de fase como son las de Ferwerda Taylor Hurt o

Anderson y Sali secundan esta consideracioacuten teoacuterica aunque en todos los casos se constate su

impracticidad Se probaraacute aquiacute la inviabilidad de llegar a las conclusiones de Hoenders y no por

incorreccioacuten del teorema sino porque a partir de eacuteste no pueden seguirse tales consecuencias De

hecho el teorema como se veraacute a penas permite sacar conclusiones en el caso continuo mientras

que al analizar el problema en su formulacioacuten discretizada se observa que las condiciones de

unicidad son distintas y ahora siacute compatibles con la praacutectica que como se adelantoacute en la

Introduccioacuten 11

aproximacioacuten intuitiva del caso visual (sect113) implican el conocimiento del campo sobre dos

superficies

Finalmente y teniendo en cuenta las condiciones de unicidad del problema sin fase los meacutetodos

inversos se clasifican en manipuladores cuando se modifican las distribuciones de campo y observadores

cuando se pliegan a la condicioacuten de recabar informacioacuten de moacutedulo sobre dos superficies Los

meacutetodos empleados en muy diversas disciplinas que van desde la microscopiacutea a la astrologiacutea

(pasando por la cristalografiacutea oacuteptica reconstruccioacuten de imaacutegenes metrologiacutea) han sido

formuladas en los teacuterminos de nuestro universo de discurso y en especial los meacutetodos observadores

se han generalizado en parte gracias a la formulacioacuten directa para poder adaptarse a cualquier

geometriacutea y poder incorporar todas aquellas informaciones que faciliten la solucioacuten de nuestro

problema En la validacioacuten experimental de meacutetodos inversos seraacuten precisamente los

procedimientos observadores lo que se tengan en cuenta

123 Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico

La observacioacuten real como se argumentoacute al principio (sect111) estaraacute siempre lastrada por una

inevitable cantidad de ruido y por el resto de limitaciones esenciales a tenor de los instrumentos

reales de observacioacuten No obstante las exigencias de observacioacuten podraacuten rebajarse de acuerdo con

los objetivos de identificacioacuten de las fuentes En funcioacuten de estos la observacioacuten habraacute de

controlarse con maacutes o menos artificios Se presta especial atencioacuten al caso en el que el nuacutemero de

artificios para controlar el entorno de medida sea miacutenimo siguiendo la liacutenea de procedimientos

observadores ahondada en los meacutetodos inversos

La solucioacuten que se propone se hace especialmente atractiva para la observacioacuten de las grandes

antenas de los sistemas de radiocomunicacioacuten en los que resulta inconveniente interrumpir su

operacioacuten El sistema de observacioacuten propuesto que hemos llamado sistema adaptado de medida

consiste esencialmente en emplear las sentildeales determiniacutesticas que emite el sistema radiante en sus

condiciones de operacioacuten y construir un receptor oacuteptimo para eacutestas recurriendo a la teoriacutea de

Kotelrsquonikov Se plantea un modelo general de sistema y se ejemplifica en la construccioacuten de un

sistema de diagnosis para antenas de radar secundario problema que a su vez ha servido para

ilustrar un gran nuacutemero de cuestiones teoacutericas tanto del problema directo y su discretizacioacuten como

en la comparacioacuten de los meacutetodos inversos

II PROLEMA ELECTRO-

MAGNEacuteTICO DIRECTO

ldquoFaraday visualizaba liacuteneas de fuerza

que atravesaban todo el espacio donde

los matemaacuteticos soacutelo veiacutean centros de

fuerzas que actuaban a distancia

Faraday veiacutea un medio donde ellos

uacutenicamente veiacutean distancia

Faraday buscaba la fuente de los

fenoacutemenos a partir acciones reales que

transcurriacutean en el medio mientras que

aquellos quedaron satisfechos de

haberla encontrado en el poder de

accioacuten a distancia presente en los

fluidos eleacutectricosrdquo

JCMaxwell ldquoA Treatise on electricity

and magnetismrdquo

Problema electromagneacutetico directo 15

21 ECUACIOacuteN DE ONDA Y CAMPOS RADIADOS

Puesto que nuestro propoacutesito es el de la descripcioacuten de los sistemas radiantes (ya sea en el camino

de ida o en el de vuelta) reduciremos nuestro universo teoacuterico al de un conjunto de fuentes

electromagneacuteticas concentradas en una determinada zona del espacio (circunscritas por una

superficie S) Obviamente la caracterizacioacuten exacta de un problema electromagneacutetico real auacuten bajo

la oacuteptica de nuestra reduccioacuten debiera considerar todas las peculiaridades electromagneacuteticas del

entorno que seguacuten hemos admitido carece de fuentes Sin embargo esto puede llegar a complicar

sobremanera el problema y de hecho maacutes que caracterizar el sistema radiante estariacuteamos

vinculaacutendolo inexorablemente a un entorno especiacutefico ya que la inclusioacuten de detalles no tendriacutea fin

y con ello tampoco la solucioacuten Asiacute pues para poder evaluar la naturaleza de la radiacioacuten del

conjunto de fuentes bajo estudio con independencia del ambiente especiacutefico en el que se

encuentra y con el fin de llegar a una solucioacuten praacutectica asumiremos que estas fuentes se encuentran

inmersas en un espacio isotroacutepico y homogeacuteneo como ilustra la figura 2-1 (donde D simboliza una

regioacuten arbitraria del espacio en la que queremos conocer los campos electromagneacuteticos) No

obstante ya que a menudo es necesario dar cuenta de ciertos entornos especiacuteficos la caracterizacioacuten

de estos puede lograrse reduciendo el problema real al propuesto mediante la aplicacioacuten de

aproximaciones y teoremas electromagneacuteticos Como es bien sabido no se tiene aun noticia de

cargas magneacuteticas y por tanto un sistema radiante estaraacute esencialmente constituido por cargas y

corrientes eleacutectricas sin embargo el recurso a los teoremas de equivalencia nos obliga a considerar

unos entes que no responden a la realidad electromagneacutetica y que por tanto son ideales Se trata de

las densidades de carga y corriente magneacutetica que nos permiten representar complejos problemas

reales por medio de otros maacutes sencillos y equivalentes en una regioacuten del espacio Asiacute pues el

modelo que esquematiza la figura 2-1 tiene un campo de aplicacioacuten que depende de las

herramientas de equivalencia y aproximacioacuten electromagneacutetica que podamos poner en juego sin

violar los requisitos de precisioacuten que para cada problema se tengan

Figura 2-1 Modelo del sistema radiante

De acuerdo a esta descripcioacuten del problema electromagneacutetico las leyes de Maxwell ampliadas con

los teacuterminos de las corrientes ideales nos describen las relaciones que deben mantenerse entre las

entidades electromagneacuteticas para cualquier punto del espacio que en el caso de estar constituido

S

ε1 micro1

qe qm

J

M D

ε2 micro2

x

y

z

16 Capiacutetulo II

por medios isotroacutepicos y homogeacuteneos podemos reducir al uso exclusivo de las intensidades de

campo eleacutectrico y magneacutetico matizadas por la permitividad ε y la permeabilidad micro (complejas)

m

e

qq

t

t

=sdotnabla=sdotnabla

partpart

+=timesnabla

partpart

minusminus=timesnabla

B

D

DJH

BME

(2-1)

m

e

qq

t

t

=sdotnablasdot=sdotnablasdot

partpart

+=timesnabla

partpart


H

E

EJH

HME

microε

ε

micro

(2-2)

a las que hay que antildeadir las ecuaciones de continuidad

0

0

=part

part+sdotnabla

=partpart

+sdotnabla

tqtq

m

e

M

J

(2-3)

Aplicando a las ecuaciones de Maxwell primeras (2-2ab) el rotacional y haciendo simples

operaciones de sustitucioacuten con (2-2) y (2-3) se llega a las conocidas ecuaciones de onda

e

e

qt

qt

nabla+part

part+timesminusnabla=

partpart

minusnabla

nabla+partpart

+timesnabla=partpart

minusnabla

microεmicroε

εmicromicroε

1

1

22

22

MJ

tH

H

JM

tE

E

2

2 (2-4)

que alliacute donde las cargas y corrientes esteacuten prefijadas se convierten en ecuaciones de DrsquoAlambert y

que para regiones exteriores exentas de cargas equivalen a las ecuaciones vectoriales de Helmholtz

(o ecuaciones homogeacuteneas de onda)

0

0

22

22

=partpart

minusnabla

=partpart

minusnabla

2

2

tH

H

tE

E

microε

microε (2-5)

Teniendo en cuenta que en virtud del teorema de Fourier cualquier variacioacuten temporal de las

corrientes puede expresarse como combinacioacuten lineal de corrientes armoacutenicas de aquiacute en adelante

reduciremos las relaciones de Maxwell y las de onda a las de los campos armoacutenicos eleacutectrico y

magneacutetico y cuando hablemos de radiacioacuten electromagneacutetica consideraremos que eacutesta es

monocromaacutetica o que su ancho de banda es lo suficientemente pequentildeo como para poder admitir

tal aproximacioacuten

m

e

qqjj


+=timesnablaminusminus=timesnabla

B

E

EJH

HME

microε

ϖεϖmicro

(2-6)0

022

22

=+nabla

=+nabla

HH

EE

β

β (2-7)

donde microεωβ = es la constante de propagacioacuten o nuacutemero de onda

Si se resuelve la ecuacioacuten de onda (2-7) para las geometriacuteas canoacutenicas (rectangular ciliacutendrica y

esfeacuterica) obtenemos las configuraciones de campo que pudieran observarse en dominios que se


plieguen a tales geometriacuteas Sin embargo mientras que para el caso plano la solucioacuten es bastante

directa (mediante ecuaciones diferenciales independientes para cada componente del campo y

separables para cada coordenada que conducen a funciones armoacutenicas) en el caso ciliacutendrico y

esfeacuterico la solucioacuten es maacutes compleja [12] No obstante puesto que nuestro problema no es el de

encontrar todas las distribuciones de campo electromagneacutetico vaacutelidas sobre un determinado

dominio de observacioacuten D sino exclusivamente las causadas por las fuentes contenidas en S

busquemos pues tales campos

211 Campos debidos a fuentes eleacutectricas y magneacuteticas

Para simplificar nuestro estudio nos interesa discernir los campos debidos a fuentes soacutelo eleacutectricas o

soacutelo magneacuteticas cuyos efectos pueden separarse recurriendo a los potenciales vectores Estos

vectores auxiliares A y F podemos definirlos en virtud de la naturaleza solenoidal de los flujos

magneacutetico y eleacutectrico en las zonas libres de carga (leyes de Maxwell 3ordf y 4ordf) como

0si 1=timesnabla= mqAH A micro

(2-8) 0si 1=timesnablaminus= eF qFE

ε (2-9)

Donde los subiacutendices A y F indican los campos debidos a los potenciales A y F respectivamente El

desarrollo para llegar a la ecuacioacuten de onda de los potenciales vector y la ulterior definicioacuten de los

campos es bien conocida Se aplica la primera ley de Maxwell a los campos debidos al potencial A ndash

considerando nulas las corrientes magneacuteticasndash

AHE AA timesnablaminus=minus=timesnabla ϖωmicro jj rArr 0=+timesnabla AE A ωj rArr ej φω minusnabla=+ AE A (2-10)

Donde se ha podido definir un potencial escalar eleacutectrico arbitrario φe gracias a que el campo vectorial

entre llaves es irrotacional Aplicando el rotacional a (2-8) utilizando la 2ordf ley de Maxwell y (2-10c)

AjJEjJAA A2 εmicroϖφϖεmicromicroϖεmicromicro 2)( +nablaminus=+=nablaminussdotnablanabla e (2-11)

es decir

)(22eϖmicroεφmicroβ jAJAA +sdotnablanabla+minus=+nabla (2-12)

Mientras que en (2-8) definimos el rotacional de A seguacuten el teorema de Helmholtz tenemos aun

libertad para la definicioacuten de su divergencia

eϖmicroεφjA minus=sdotnabla rArr JAA microβ minus=+nabla 22 (2-13)

Donde la primera ecuacioacuten es la conocida como condicioacuten de Lorenz y la segunda la buscada

ecuacioacuten de onda del potencial vector A Si a partir de esta ecuacioacuten determinamos el potencial A

desde eacuteste podremos encontrar los campos soacutelo debidos a las corrientes eleacutectricas usando (2-8)

para HA y (2-10c) y (2-13a) para EA

)(1AAE A sdotnablanablaminusminus=

ϖmicroεω jj (2-14)

18 Capiacutetulo II

En virtud de la simetriacutea de las ecuaciones de Maxwell es inmediato encontrar que el potencial

vector F deberaacute satisfacer la ecuacioacuten de onda

MFF εβ minus=+nabla 22 (2-15)

y que los campos soacutelo debidos a las corrientes magneacuteticas pueden determinarse usando (2-9b) y

)(1FFH sdotnablanablaminusminus=

ϖmicroεω jjF

(2-16)

Consideremos ahora que para nuestro estudio las corrientes estaacuten concentradas en una regioacuten del

espacio (figura 2-1) La ecuacioacuten de onda para los potenciales vectores seraacute

primeminus

=+nabla

primeminus

=+nabla

SS

SS

defuera 0 de dentro )(

defuera 0 de dentro)(

22

22

rMFF

rJAA

εβ

microβ

(2-17)

Aprovechando la linealidad de estas relaciones pueden tratarse de forma independiente cada

elemento infinitesimal de corriente para despueacutes aplicar superposicioacuten Para la consideracioacuten de

cada elemento diferencial de corriente puede recurrirse a la funcioacuten de Green que da solucioacuten a

)()()( 22 rrrr primeminusminus=prime+nabla δβ G (2-18)

y que de forma general podemos expresar como

)(4)(

)(

rrrr

rr

minus=prime

minusminus

ReG

Rj

π

β (2-19)

donde R =|r-rrsquo| es la distancia entre los puntos definidos por r y rrsquo es decir entre el punto de

observacioacuten r y un punto de las fuentes rrsquo En la figura 2-2 se representa la geometriacutea de nuestro

problema

Figura 2-2 Geometriacutea del problema de radiacioacuten

Sumando en fin las contribuciones infinitesimales de cada punto de corriente los potenciales

vectores debidos a las distribuciones de corrientes J y M pueden expresarse (extendiendo el

dominio de integracioacuten a todo el espacio) como el resultado de una convolucioacuten tridimensional

S

J

M

R=r-rrsquo

rrrsquo

z

x y


)()()(

)(4

)()()(

)()()(

)(4

)()()(

)(

)(

rrMrr

rMrrrMrF

rrJrr

rJrrrJrA

rr

rr

GvdRevdG

GvdRevdG

Rj

VV

Rj

VV

lowast=primeminus

sdotprime=primeprimeminussdotprime=

lowast=primeminus


minusminus

primeprime

minusminus

primeprime

intintintintintint

intintintintintint

επεε

microπmicromicro

β

β

(2-20)

Donde en virtud de la propiedad de la convolucioacuten [126] de las transformadas de Fourier resulta

evidente al hacer la transformada tridimensional en (2-20) (empleando por ejemplo las

coordenadas cartesianas extendidas a todo el espacio) que las transformadas de A(xyz) J(xyz) y

G(xyz) (o bien de F M y G) estaacuten relacionadas por un producto simple

)(~)(~)(~)(~)(~)(~

rrMrF

rrJrA

G

G

sdot=

sdot=

ε

micro (2-21)

Siendo X~ la transformada de Fourier tridimensional de X(xyz)1 No obstante si las corrientes

estuvieran distribuidas superficial o linealmente entonces podriacutean definirse un par de coordenadas

(ξ η) o una uacutenica ξ respectivamente sobre las que podriacutea identificarse todos los puntos del

dominio de corrientes de modo que las integrales volumeacutetricas en (2-20) se convertiriacutean en

superficiales En caso de poder parametrizar el dominio de medida D con esas mismas

coordenadas entonces las convoluciones y las transformadas de Fourier seriacutean ahora

bidimensionales o lineales referidas a las inversas de esas coordenadas sobre las cuales se

verificariacutean las relaciones (2-21) ndashacaso matizada por factores de escala-

Una vez definidos los potenciales vectores A y F puede recurrirse a las expresiones (2-9) (2-14) y

(2-16) para finalmente identificar las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico

AFAFFH

FAFAAE

timesnabla+

nablanabla

+minus=timesnabla+sdotnablanablaminusminus=

timesnablaminus

nablanabla

+minus=timesnablaminussdotnablanablaminusminus=

microβω

microϖmicroεω

εβω

εϖmicroεω

111)(1

111)(1

2

2

jjj

jjj (2-22)

Como veremos este procedimiento de caracterizacioacuten directa nos permite simplificar la formulacioacuten

cuando nuestro problema solo se atenga a corrientes reales es decir eleacutectricas o soacutelo a corrientes

ideales magneacuteticas para lo cual es menester el recurso de los teoremas de equivalencia

1 que estaraacute referida a las magnitudes 1x 1y 1z o bien βx=2πλx βy=2πλy βz=2πλz Noacutetese que en

el hemiespacio exterior a las fuentes deberaacute cumplirse por exigencia de la ecuacioacuten de Helmholtz que

β 2=βx2+βy

2+βz2 (es decir las frecuencias espaciales estaacuten contenidas en la superficie de una esfera de radio

constante) Por tanto en la regioacuten homogeacutenea la representacioacuten espectral es en esencia bidimensional y asiacute el

conocimiento superficial (con tal de que esta superficie recorra por completo dos coordenadas) nos permitiraacute

colegir el campo en todo el espacio homogeacuteneo

20 Capiacutetulo II

22 TEOREMA DE UNICIDAD Y EQUIVALENCIA

Supongamos que una vez identificados los campos sobre un dominio de observacioacuten fueran varias

las configuraciones de campo posible en el resto del espacio esto implicariacutea que en vano

intentariacuteamos la caracterizacioacuten del sistema radiante a partir de tales observaciones Sin embargo la

naturaleza del campo electromagneacutetico nos permite asegurar en ciertas condiciones la unicidad de

solucioacuten Estas condiciones y su demostracioacuten son bien conocidas se suponen dos soluciones se

aplican las ecuaciones de Maxwell y se llega a una relacioacuten integral en la que se hace evidente que si

el medio tiene peacuterdidas (por pequentildeas que eacutestas sean) y conocemos alguno de los campos

tangenciales en toda una superficie cerrada la diferencia entre ambas soluciones (tanto en el interior

como en el exterior) ha de ser nula Es decir ldquoun campo electromagneacutetico generado por una

distribucioacuten cualquiera de fuentes es uacutenico en una regioacuten limitada por una frontera cuando se

especifica sobre toda la frontera los campos tangenciales bien eleacutectricos ET bien magneacuteticos HT o

en una parte los eleacutectricos y en la otra los magneacuteticosrdquo

Si ahora consideramos los campos producidos por un determinado conjunto de fuentes haciendo

caso omiso a los que tienen otras causas es evidente seguacuten el principio de unicidad que bastariacutea

con identificar sobre una superficie cualquiera que englobe a tales fuentes los campos tangenciales

(eleacutectricos o magneacuteticos) causados por eacutestas para a partir de eacutestos poder colegir los campos en el

resto del espacio Si contemplamos los campos sobre las superficies como los efectos ondulatorios

de las fuentes podemos interpretarlos como un frente de ondas Pues bien podemos olvidarnos de

lo que habiacutea al otro lado de la superficie y usando las condiciones de frontera suponer cada uno de

los puntos como nuevas fuentes electromagneacuteticas generadoras de ondas esfeacutericas y que en su

combinacioacuten deparan los campos efectivos debidos a las fuentes interiores Eacuteste es en esencia el

principio que Huyggens formulara en 1678 en su Traiteacute de la Lumiegravere [71] aunque derivado aquiacute

desde la teoriacutea maxweliana como hizo Schelkunoff en 1936 [144] Seguacuten este uacuteltimo el teorema de

equivalencia superficial garantiza que ldquoel campo exterior a una superficie que englobe las fuentes puede

obtenerse colocando sobre dicha superficie corrientes eleacutectricas y magneacuteticas apropiadas que

satisfagan las condiciones de contornordquo Asiacute pues si el campo generado por las corrientes

encerradas es E1 H1 y admitimos para el interior un campo arbitrario E H entonces las

corrientes superficiales eleacutectricas y magneacuteticas que nos aseguren en el exterior el campo original

deben ser

Js= timesn (H1-H) Ms=- timesn (E1-E) (2-23)

Donde n representa un vector unitario normal a la superficie S Si las corrientes se eligen de modo

que el campo en el interior sea nulo se obtiene el conocido equivalente de Love

Js= timesn H1 Ms=- timesn E1 (2-24)


Que en caso de elegir un medio interior con las mismas caracteriacutestica electromagneacuteticas que el

exterior nos permite transmuta el problema originalmente heterogeacuteneo en otro homogeacuteneo y

equivalente sobre el que podremos aplicar las soluciones integrales (2-20) para medios

homogeacuteneos

Si por otra parte sustituimos el interior por un conductor eleacutectrico perfecto los campos interiores

seraacuten necesariamente nulos y puesto que una corriente eleacutectrica sobre una superficie conductora

eleacutectrica no produce campos podemos entonces considerarla nula2 obteniendo asiacute el equivalente

conductor eleacutectrico

Js= timesn H1=0 Ms=- timesn E1 (2-25)

Que reduce el problema equivalente a la consideracioacuten de un uacutenico tipo de corrientes De forma

anaacuteloga se define el equivalente conductor magneacutetico como aquel en el que el volumen interior es un

conductor magneacutetico sobre el que podemos considerar nulas las corriente magneacuteticas y atender

exclusivamente a las eleacutectricas La figura 2-3 ilustra el problema real y los equivalentes descritos

Figura 2-3 a) Problema real b) modelo del problema equivalente c) equivalente de Love d) equivalente

conductor eleacutectrico e) equivalente conductor magneacutetico

2 Como aproximacioacuten intuitiva suele decirse que las corrientes eleacutectricas se cortocircuitan y asiacute podriacutea

entenderse en una aplicacioacuten directa de la oacuteptica-fiacutesica Pero de forma estricta y a tenor del teorema de

reciprocidad como hace Harrington (veacutease [60 sect38]) puede demostrarse que los campos provocados por

una corriente eleacutectrica sobre un conductor eleacutectrico perfecto son nulos Obseacutervese por otra parte que el

cumplimiento de (2-25b) es suficiente para la satisfaccioacuten del teorema de unicidad

Js=0

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

Conductor

eleacutectrico

d)

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn H1

Ms=0

0 0

Conductor

magneacutetico

e)

S

E1 H1

ε2 micro2

J1

M1

E1 H1

a)

ε1 micro1

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn (H1-H)

Ms=- timesn (E1-E)

E H

b)

ε2 micro2

Js= timesn H1

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

c)

ε1 micro1

22 Capiacutetulo II

En virtud de estos equivalentes (especialmente los dos uacuteltimos) podemos reducir a conveniencia

cualquier fuente de radiacioacuten por compleja que sea a un conjunto de corrientes eleacutectricas o

magneacuteticas sobre una superficie que la englobe y utilizar las formulaciones descritas en sect212

Finalmente aunque hayamos considerado los campos generados por radiadores independientes de

forma separada podemos aplicar el principio de superposicioacuten y simplemente sumar las contribuciones

particulares para encontrar el campo debido al conjunto de radiadores Lo cual podemos hacerlo en

virtud de que nos referimos a fenoacutemenos macroscoacutepicos en los que las leyes de Maxwell son

aplicables siendo asiacute lineal ndashcomo se ha vistondash la relacioacuten entre fuentes y campos

23 FORMULACIONES DIRECTAS

Recurriendo por tanto a los teoremas de equivalencia podemos expresar el problema

electromagneacutetico en teacuterminos de corrientes solamente eleacutectricas o solamente magneacuteticas Cuando

nos refiramos a corrientes exclusivamente eleacutectricas las denominaremos fuentes reales aunque eacutestas

puedan ser tanto verdaderas entidades fiacutesicas como entidades ficticias si se hubiera recurrido al

equivalente conductor magneacutetico (fig2-3e) En estos dos casos los campos eleacutectricos estaraacuten

referidos respectivamente a uno soacutelo de los potenciales vectores ndashsimplificando (2-22)-

FE

AE

M

J

timesnablaminus=

nablanabla

+minus=

ε

βω

1

1 2j (2-26)

Supondremos por tanto que todo el problema electromagneacutetico directo lo habremos podido

reducir a un conjunto finito de fuentes ya sean reales o equivalentes inmersas en un espacio

homogeacuteneo e isotroacutepico Reduccioacuten que generalmente implica el recurso a los equivalentes antes

descritos y a menudo a aproximaciones como la oacuteptica-fiacutesica [12] Ahora nos falta investigar coacutemo

seraacuten los campos electromagneacuteticos debidos a tales fuentes estudio que restringiremos no

obstante al de los campos eleacutectricos ya que las relaciones (2-6a) nos permiten colegir los

magneacuteticos a partir de los primeros y porque generalmente son aquellos a los que cintildeen las medidas


231 Fuentes reales3

Si hemos podido reducir la descripcioacuten del sistema radiante al de un conjunto finito de corrientes

distribuidas dentro del volumen circunscrito por S entonces nuestro problema inicial representado

en la fig2-1 se habraacute simplificado al representado en la figura 2-4

Figura 2-4 Problema electromagneacutetico con corrientes eleacutectricas

Utilizando las expresiones 2-26 y 2-20

vdR

ejvdGjRj

VV

primeminus

sdotprime

nablanabla

+=primeprimeminussdotprime

nablanabla

+minus=minusminus

primeprimeintintintintintint )(4

)(1)()(1)(

22 rrrJrrrJE

rr

J πβωmicro

βωmicro

β (2-27)

donde haciendo operaciones vectoriales (teniendo en cuenta que el operador diferencial nabla se refiere

a los puntos del dominio de observacioacuten y por tanto nabla J =0) podemos llegar a la expresioacuten

vdJJJ

zzRGRGyyzzRGxxzzRGzzyyRGyyRGRGxxyyRGzzxxRGyyxxRGxxRGRG

EEE

Vz

y

x

zJ

yJ

xJ

primesdot

primeprimeprime

sdot

primeminus+primeminusprimeminusprimeminusprimeminus

primeminusprimeminusprimeminus+primeminusprimeminus

primeminusprimeminusprimeminusprimeminusprimeminus+=

intintintprime )(

)()(

))(()())()(())()(())()(())(()())()(())()(())()(())(()(

22122

22

212

222

21

r

r

r

siendo RjeR

RRjjG βββ

πβωmicro minus+minusminus

minus=primeminus 3

22

211

4)( rr Rje

RRβRjj

G ββπβωmicro minusminus+

minus=primeminus 5

22

2233

4)( rr

(2-28)

Expresioacuten que podemos reducir en teacuterminos de la funcioacuten de Green diaacutedica GJ que

corresponderiacutea al factor diaacutedico o tensorial del integrando

3 Se hace aquiacute referencia a corrientes reales por mero contrapunto con las magneacuteticas que por el momento

gozan soacutelo de una existencia ideal aunque praacutectica a merced de los principios de equivalencia Lo cual no

impide que en muchos casos cuando se hable de corrientes eleacutectricas estas sean tambieacuten ideales

procediendo al igualan de las magneacuteticas de la aplicacioacuten de los principios de equivalencia

S J

D x

y

z

24 Capiacutetulo II

[ ])()()()()( con )()( 21 rrrrIrrGrJrrGE J primeminussdotprimeminus+sdot=primeminusprimeprimesdotprimeminus= intintintprime

TJ

VJ RGRGvd (2-29)

Donde I denota la matriz identidad y el superiacutendice T la operacioacuten de transposicioacuten Extendiendo

el dominio de integracioacuten Vrsquo en (2-29) nos permite referir el campo eleacutectrico debido a fuentes

reales en teacuterminos de la convolucioacuten entre las corrientes y la funcioacuten diaacutedica de Green que en el

dominio de la transformada de Fourier generalizada se convierte en un producto

)()( rJrGE J lowast= J en el dominio transformado )(~)(~~ rJrGE J sdot= J (2-30)

232 Fuentes equivalentes magneacuteticas

En el supuesto de que el problema electromagneacutetico lo hayamos podido reducir a un conjunto de

corrientes magneacuteticas eacutestas estaraacuten en general acomodadas a alguna geometriacutea superficial ya que

habraacuten resultado de la aplicacioacuten del equivalente superficial eleacutectrico (ec 2-25 fig 2-3d) De esta

forma el problema original se habraacute simplificado al que representa la figura 2-5 cuya aplicabilidad

es a pesar de tratarse de un problema virtual maacutes general que en el caso anterior

Figura 2-5 Problema electromagneacutetico con corrientes magneacuteticas


sdR

esdGRj

SSM prime

minus

sdotprimetimesnabla=primeprimeminussdotprimetimesminusnabla=minusminus

primeintintintint )(4

)()()()(

rrrMrrrME

rr

π

β (2-31)

donde haciendo operaciones vectoriales (y teniendo en cuenta que nablaxM =0 ya que igual que antes

el operador de Hamilton se refiere a los puntos de observacioacuten) se llega faacutecilmente a la expresioacuten

sdMMM

xxyyxxzz

yyzzRGsdRG

E

EE

Sz

y

x

SzM

yM

xM

primesdot

primeprimeprime

sdot

primeminusminusprimeminus

primeminusprimeminusminus

primeminusminusprimeminussdot=primetimesprimeminussdot=

intintintintprimeprime )(

)()(

0)()()(0)()()(0

)()()()( 33

r

r

r

rMrr

siendo RjeR

RjG ββ

πminus+

=primeminus 331

41)( rr

(2-32)

S

D x

y

z

M


Expresioacuten que anaacutelogamente a la 2-28 podemos reducirla en teacuterminos de la funcioacuten diaacutedica de

Green GM



primeminusminusprimeminussdot=primeminusprimeprimesdotprimeminus= intintint

prime 0)()()(0)()()(0

)()( con )()( 3

xxyyxxzz

yyzzRGvd M

VMM rrGrMrrGE

(2-33)

Que al igual que anteriormente nos permite referir el campo eleacutectrico debido ahora a fuentes

equivalentes magneacuteticas en teacuterminos de la convolucioacuten entre las corrientes magneacuteticas y la funcioacuten

diaacutedica de Green o del producto en el dominio transformado

)()( rMrGE lowast= MM en el dominio transformado )(~)(~~ rMrGE sdot= MM (2-34)

233 Fuentes electromagneacuteticas generalizadas

Esta descripcioacuten del campo eleacutectrico tanto el causado por corrientes eleacutectricas (2-29 y 2-30) como

el debido a fuentes magneacuteticas equivalentes (2-31 y 2-32) puede sintetizarse en una expresioacuten

referida a fuentes geneacutericas y a una funcioacuten diaacutedica de Green generalizada

)()( vdV

primeprimesdotprimeminus= intintintprime

rrrGE f (2-35)

)()( rrGE flowast= en el dominio transformado )(~)(~~ rrGE fsdot= (2-36)

Donde en cada caso tomaraacute las expresiones que correspondan a la descripcioacuten de las fuentes y que

en el supuesto de que esta fuera mixta (a la vez eleacutectricas y magneacuteticas) la funcioacuten diaacutedica y las

fuentes podraacuten formarse por yuxtaposicioacuten

[ ] [ ][ ]

==

M

JrGGG )( fMJ (2-37)

234 Campos sobre geometriacuteas canoacutenicas

Supongamos que tanto el dominio en el que se extienden las fuentes S como el de medida D fuera

rectangular y paralelo Se pueden elegir unas coordenadas cartesianas en las que tales dominios sean de

coordenada z constante zf para las fuentes y zo para el dominio de observacioacuten Con estas

consideraciones podemos rescribir las relaciones (2-33) y (2-34)

)()()()()( yxyxydxdyxzzyyxxzyx zfoo ff lowast∆=primeprimesdotprimeprimesdotminusprimeminusprimeminus= int intinfin

infinminus

infin

infinminus

GGE (2-38)

26 Capiacutetulo II

f~)(~)()()()(~ sdotminus==== fozxyzyxzxyo zzyxyxyxzooo

GEEEE FFFFF (2-39)

Y en consecuencia

f~)(~)(~)( 10

1 sdotminus== fo-

xy-

xyo zzzz GEE FF (2-40)

En caso de que el dominio de observacioacuten se atenga a una geometriacutea ciliacutendrica de modo que

podamos referirlo a una superficie de distancia radial constante ρo entonces el campo eleacutectrico

ϕρϕρϕρϕρ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕρ

ϕρρϕρϕρϕρϕρϕρ

primesdotprime=primesdot=primesdotprime=primesdot=

primeprimeprimeminusprime

sdotprimeminusprimeminusprimeminussdot

minus=

primeprimeprimeprimesdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintintisin

sin sin cos cos con

1000cossin0sincos

)(1000cossin0sincos

)( donde

)()()()(

yyxx

zzyyxxz

zdddzzzz

o

Vzoo

GG

GE f

(2-41)

A partir de estas expresiones sin embargo la formulacioacuten en teacuterminos de una convolucioacuten y a

continuacioacuten espectral se encuentra con la dificultad de expresar G en teacuterminos de ρminusρrsquo φminusφrsquo

Si por otra parte el dominio de observacioacuten fuera esfeacuterico podriacutean definirse unas coordenadas

esfeacutericas en las que este dominio quede definido por un valor constante de la coordenada radial

entonces el campo eleacutectrico

cos sinsin cossin con

0sincos

cossincossinsinsincoscoscossin

)( 0cossin

sinsincoscoscoscossinsincossin

)( donde

cos)()()()(

θϕϑϕϑθθ

ϕϕθϕθϕϕθϕθ

ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθϕθ

ϕθϑϕθϕθϕθϕθϕθ

rzryrx

zyxr

ddrdrrrrrVr

oo

=sdot==

primeprimeprimeprimeprimeprimeminusprimeprime

sdotsdot

minusminus=

primeprimeprimesdotprimesdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintintisin

GG

GE f

(2-42)

Que al igual que en el caso anterior presenta la dificultad de expresarse en teacuterminos convolucionales

y espectrales

Por uacuteltimo si referimos nuestro problema electromagneacutetico a unas coordenadas curviliacuteneas generalizadas

(ξ η λ) entonces el campo eleacutectrico sobre una superficie ξo podraacute expresarse como


y )( )()( con

111

111

111

)(

111

111

111

)( donde

)(

)()()()(

321

321

321

321

333

222

111

)(

primepartpart

=primepart

part=

primepartpart

====

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

sdotsdot

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

=

primeprimeprimeprimeprimeprimepart

partsdotprimeprimeprimesdotprimeprimeprime= intintint

isinprimeprimeprime

ληξληξληξληξ

ληξ

ληξ

ληξ

λλλ

ηηη

ξξξ

ληξ

ληξληξ

ληξληξληξληξληξ

rrr

GG

GE

hhhzzyyxx

zh

zh

zh

yh

yh

yh

xh

xh

xh

zyx

zh

zh

zh

yh

yh

xh

xh

xh

xh

dddzyx

Voo f

(2-43)

De igual forma que en los casos anteriores si el dominio de las fuentes se restringe a una superficie

en que una de las coordenadas curviliacuteneas se hace constante entonces la integral seraacute de superficie

las fuentes tendraacuten soacutelo dos componentes el jacobiano seraacute respecto a las dos coordenadas libres

asiacute como la matriz de transformacioacuten y los factores de Lame (o escala)

235 Campos para un observador lejano

En campo lejano la distancia del observador al origen de coordenadas es incomparablemente mayor

que la de los puntos maacutes alejados del sistema radiante (|r|raquo|rrsquo|) y en consecuencia la posicioacuten del

observador respecto a las fuentes R es muy parecida a la posicioacuten absoluta del observador r De

esta manera la magnitud estricta de R soacutelo merece ser tenida en cuenta cuando actuacutea como

argumento de funciones armoacutenicas es decir en los teacuterminos exponenciales de argumento

imaginario y en el resto de los casos puede aproximarse por r (de forma estricta se puede decir que

tiende asintoacuteticamente a r) En general cuando nos encontramos en campo lejano puede

considerarse que los vectores R y r son paralelos como ilustra la figura 2-6 y en consecuencia su

diferencia dependeraacute esencialmente del aacutengulo ψ Es decir para cada aacutengulo de observacioacuten la

contribucioacuten relativa de cada uno de los puntos de las fuentes depende de su distancia a un plano

perpendicular a la direccioacuten de observacioacuten o lo que es lo mismo a la proyeccioacuten de rrsquo sobre r Por

tanto una aproximacioacuten razonable para la distancia entre el observador y la fuente seraacute

R cong r-rrsquo middotr r (2-44)

Y por tanto los potenciales vectores (2-20) podraacuten expresarse como

)(44

4

)(44

4

cos

cos

ϕθπε

πε

πε

ϕθπmicro

πmicro

πmicro

βψβ

ββ

βψβ

ββ

LMMF

NJJA

sdot=primesdotsdotcong=


minusminus

minusminus

minusminus

minusminus

intintintint

intintintint

resde

reds

Re

resde

reds

Re

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

(2-45)

28 Capiacutetulo II

Con lo que el campo queda esencialmente expresado en teacuterminos de las funciones vectoriales de

campo lejano N y L que pueden a su vez escribirse como

sdesde

sdesde

S

rj

SS

rjS

S

rj

SS

rjS

primesdot=primesdot=


intintintint

intintintintprime

minusminus

primeminusminus

cos

cos

)(

)(

rr

rr

MML

JJN

βψβ

βψβ

ϕθ

ϕθ (2-46)

Figura 2-6 Geometriacutea del problema electromagneacutetico para un observador lejano

Supongamos que las fuentes ocupan un dominio plano y hagamos que coincidan con z=0 tal y

como ilustra la figura Es trivial que en tales casos

ϕθϕθϕθϕθ

sinsinˆcossinˆˆ

ˆsinsinˆcossinsdotprime+sdotsdotprime=

primesdot

sdotprime+sdotprime=primesdot+sdot=

yxxryyxx

yrxr rrr

r (2-47)

Llamando u = sinθ middotcosϕ v = sinθ middotcosϕ las funciones de campo lejano se pueden expresar en

teacuterminos de transformadas de Fourier

SSyx

vyuxj

S

SSyx

vyuxj

S

yxdydxevu

yxdydxevu

MMMLL

JJJNN

~)()()(

~)()()(

)(

)(

==sdot==

==sdot==

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

int int

int int

F

F

β

β

ϕθ

ϕθ (2-48)

Donde las variables u v ndashcomo puede observarse en la figurandash corresponden a las coordenadas x y

respectivamente de la proyeccioacuten de los puntos de observacioacuten idealmente situados en una esfera

de radio unidad sobre su plano tangente ndashy paralelo a la superficie de las fuentesndash

ψ

R

r rrsquo

z

x y


Figura 2-7 Interpretacioacuten geomeacutetrica de los paraacutemetros fundamentales en una observacioacuten lejana

Para determinar los campos electromagneacuteticos basta recurrir a las expresiones (2-22) o (2-26) y

quedarse con los teacuterminos asintoacuteticamente dominantes que son todos los que tienen una

dependencia con (1r) de orden 1 pudieacutendose ademaacutes despreciar la componente radial en

comparacioacuten con las tangenciales Despreciando entonces en (2-22) todos los teacuterminos de orden

superior y obviando la componente radial se llega a los siguientes comportamientos asintoacuteticos

congsdotminuscong

timessdot=timessdotminuscongtimesnabla=

timessdotminus=timessdotcongtimesnablaminus=

congsdotminuscong

)0 (con

ˆ1ˆ1

ˆˆ1

)0 (con

rM

JJ

MM

rJ

Hj

j

j

Ej

FH

ErArAH

HrFrFE

AE

ϖηη

ϖmicro

ηϖηε

ϖ (2-49)

Usando las expresiones anteriores (que excluyen las componentes radiales) y aplicando la matriz de

transformacioacuten de coordenadas a las funciones de campo lejano (cuya direccioacuten depende de la de

las fuentes) se llega sencillamente a la expresioacuten

η

ϕθϕθϕηϕηϕϕϕθηϕθη

πβηϖ

β

ϕ

ϑ

ErHTE

FrA

times=sdot=

sdot

minusminussdot

minus=times+minus=

minus

ˆ y ~

~~~~

sincoscoscoscossincossinsincoscoscos

4 )ˆ(

fCL

y

x

y

xrj

MMJJ

rejj

EE

(2-50)

Es decir en campo lejano las expresiones integrales se reducen a un simple producto del espectro

plano de las fuentes por una funcioacuten diaacutedicas Aunque la integracioacuten sigue en realidad presente en

la transformada de Fourier de las fuentes

rrsquo

r

ϕ θ J

M

x

y

z

uv

Dominio

lejano de

observacioacuten

1

1

ϕ

Plano de

las fuentes Plano

tangente a la

esfera de radio unidad

30 Capiacutetulo II

236 Representacioacuten modal

A menudo resulta conveniente la descripcioacuten del campo con independencia de las fuentes Si esta

descripcioacuten se hace en teacuterminos de funciones de distribucioacuten ortogonales sobre determinados

dominios isocoordenados que a su vez permitan la transposicioacuten al resto del espacio (o al

hemiespacio limitado por uno de tales dominios por ejemplo el de medida) entonces este

conjunto de funciones define eficazmente ndashmediante combinacioacuten lineal- el grupo completo de las

distribuciones de campo vaacutelidas sobre todo un hemiespacio Si sobre ese grupo que en general seraacute

infinito numerable se define una norma meacutetrica (por ejemplo la distancia cuadraacutetica media de las

distribuciones de campo extendidas a todo el dominio) esto constituye un espacio de Hilbert sobre

el que estaacuten definidos todas las distribuciones de campo vaacutelidas y que nos permitiraacute la

determinacioacuten oacuteptima (aunque no uacutenica) de distribuciones de campo medidas sobre el grupo de

distribuciones vaacutelidas Esta forma de proyeccioacuten de distribuciones de campo medidas sobre el

grupo de distribuciones vaacutelidas puede considerarse como una forma de minimizacioacuten oacuteptima del

error (medido en teacuterminos de la norma meacutetrica elegida) que en general seraacute equivalente a la

proyeccioacuten sobre cualquier grupo de funciones vaacutelidas descrito en teacuterminos de cualquier otra

eleccioacuten de funciones ortogonales

Tal definicioacuten sin embargo no es trivial ndashsalvo acaso en geometriacuteas cartesianas- para cualquier tipo

de dominios isocoordenados4 No obstante para las geometriacuteas canoacutenicas (rectangular ciliacutendrica y

esfeacuterica) bien por medio de resolucioacuten directa de la ecuacioacuten de onda (2-7) o mediante recurso

indirecto de la funcioacuten de Green y los potenciales vectores se han encontrado soluciones a este

problema a menudo referida como expansioacuten de ondas planas ciliacutendricas o esfeacutericas que en

general permiten reconocer los campos tangenciales sobre un dominio isocoordenado

perteneciente a todo el hemiespacio exento de singularidades5 La utilizacioacuten de esta descripcioacuten

requiere la identificacioacuten de los modos mediante la aplicacioacuten de las propiedades de ortogonalidad

sobre una superficie en la que se conocen los campos lo que corresponde a la proyeccioacuten antes

citada Si esta superficie encierra completamente a las fuentes en virtud del teorema de unicidad el

4 De hecho como proboacute Eisenhart [40] la ecuacioacuten de Helmholtz escalar es separable en 11 sistemas

coordenados diferentes mientras que para la ecuacioacuten vectorial soacutelo se han encontrado soluciones completas

en 6 sistemas coordenados (los 3 canoacutenicos y otros 3 de escasa utilidad praacutectica cilindro eliacuteptico y paraboacutelico

y sistema esfeacuterico en coordenadas coacutenicas [168]) Aunque posiblemente la primera exposicioacuten acabada de la

expansioacuten modal fuera la de Stratton [151] ya se habiacutea abordado el problema para geometriacuteas concretas

como fue el caso de Hansen para el problema esfeacuterico [59]

5 Es decir alliacute donde son aplicables las ecuaciones de Helmholtz (2-7) Noacutetese que este hemiespacio es

necesariamente ideal aunque legiacutetimo para el intento de identificacioacuten de la radiacioacuten con independencia del

entorno


campo exterior a eacutesta quedaraacute asiacute biuniacutevocamente identificado y eacuteste habraacute de ser ideacutentico al

generado por las corrientes equivalentes sobre dicha superficie

a) Modos planos

En caso de que el dominio de observacioacuten D sea una superficie plana de coordenada z constante el

campo eleacutectrico podraacute describirse como [151 60 168]

zjyxPxyyx

yjxjzjyxP

y

xT

zyxz eddeeeEE ββββ ββββββ

πsdot=sdot=

= minus

infin

infinminus

infin

infinminusint int )()(

)2(1 1

2 MME F

con 2222zyx ββββ ++=

(2-51)

Y por tanto

)()()()()(~ )( 222

zfezz yxPyxPzj

yxPTxyTyx ββββββ βββ sdot=sdot== minusminus

MMEE F (2-52)

Donde MP son los denominados modos planos del campo que a su vez corresponden con el espectro

espacial sobre la superficie z=0 (y que en consecuencia es a menudo referido como espectro de

ondas planas) y fP la funcioacuten de proyeccioacuten de los modos a una superficie arbitraria de coordenada z

constante A partir de (2-52) es inmediato que si conocemos los campos tangenciales sobre un

plano z=zo pueden determinarse los modos

)()(~)( 1OyxPoTyx zfz ββββ minussdot= EM (2-53)

Noacutetese que en virtud de la unicidad de solucioacuten en el hemiespacio homogeacuteneo (2-34) y (2-53)

deberaacuten ser ideacutenticos

POyxPfooT zfzzz MIGE sdotsdot=minus= )(~)(~)(~ ββf (2-54)

Que muestra la equivalencia entre el espacio de las fuentes y el de los modos planos y que por

tanto podraacuten referirse mediante un operador de proyeccioacuten (a partir de 2-54)

PfMPOyxPz zf MPMG sdot=sdotsdot

= minus

minus

∆ )(~~ 1

ββf (2-55)

En el caso de que las fuentes sean magneacuteticas el operador de proyeccioacuten seraacute (seguacuten 2-32 ndash

restringida a las componentes x yndash y 2-38)

minusprime=

minus

∆sdot∆=

=

minus

∆minus 0110

)(0110

)(~)(

)(~3

1

yxPzzyx

OyxPOyxPzfM f

Gzf

zf ββββ

ββββGP (2-56)

32 Capiacutetulo II

Lo que pone en evidencia ya no solo el isomorfismo entre los modos planos y las corrientes

magneacuteticas sino en este caso una relacioacuten directa (aunque cruzada y matizada por un factor de

escala) debida a la correspondencia entre el principio de Huygens y el de equivalencia6

b) Modos ciliacutendricos

Si el dominio de observacioacuten fuera ciliacutendrico entonces el campo eleacutectrico puede expresarse

anaacutelogamente al caso plano en teacuterminos de unos modos ciliacutendricos MC [151 60]

)()()()(21

)()(

)(0

)()(

)()(

21)(

1

)2(2

)2()2(

)2()2(

zCzzjjn

nzC

zjjn

z

z

n

n

nzn

nzn

z

nndeenn

deenbna

H

HnH

HjHjn

EEE

z

z

z

βρββρπ

βββ

ρβββ

ρββρ

βρ

ρβρ

ρβββ

ρβρ

πϕρ

ϕβϕ

βϕ

ρρ

ρρ

ρρ

ϕ

ρ

MHMH

E

sdot=sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

minus

minus

part

partpart

partminus

=

=

minusinfin

minusinfin=

infin

infinminus

infin

minusinfin=

infin

infinminus

sum int

sum int

F

con 222zβββ ρ +=

(2-57)

siendo Hn(2)(x) las funciones de Hankel de segunda especie de orden n y la transformada

bidimensional de Fourier (sobre las coordenadas ϕ y z) debe interpretarse ahora como la

transformada sobre z y los coeficientes del desarrollo en serie de las funciones perioacutedicas en ϕ

sum int

int intinfin=

minusinfin=

infin

infinminus

minusminusminusminusminusminus∆

infin

infinminus

minusminus∆

===

===

n

nz

zjjnzzzz

zjjnzzz

deezXnXnXzX

dzdeezXzXzXnX

z

z

βϕπ

ββϕ

ϕϕπ

ϕϕβ

βϕϕϕ

πβϕ

ϕϕ

)(21)(~)(~)(

)(21)()()(~

1111

2

0

FFFF

FFFF (2-58)

Con lo cual si se conoce el campo eleacutectrico sobre una superficie ciliacutendrica ρ=ρo

[ ] )(~)(

)()()(~

1OOC

Cz nz

ρρ

ρβϕρ ρϕ

EHM

MHEEminus=

sdot== F

donde [H]-1 admite varias definiciones por ejemplo

minus

minussdot

minus 2131

2232

22313221 001

HHHH

HHHH

(2-59)

Puesto que comuacutenmente se conoce el campo tangencial es decir Eϕ y Ez la condicioacuten (2-59)

concerniraacute solo a tales componentes para las cuales se puede concretar la funcioacuten diaacutedica H para

solamente las componentes tangenciales en cuyo caso seraacute cuadrada y por tanto con inversa uacutenica

6 Noacutetese que la relacioacuten cruzada que muestra la matriz de proyeccioacuten (2-56) se debe a la identidad entre las

corrientes magneacuteticas equivalentes y el producto vectorial entre la normal a la superficie de las corrientes y el

campo eleacutectrico sobre eacutesta (de acuerdo con el principio de equivalencia sect22)


Como puede observarse en (2-57) ahora existe una relacioacuten directa entre la componente vertical del

campo y los modos b(nβz) que en consecuencia nos permite identificarlos como modos verticales

eleacutectricos

c) Modos esfeacutericos

Finalmente cuando el dominio de observacioacuten sea esfeacuterico el campo puede expresarse en teacuterminos

de sus modos esfeacutericos Me como puede derivarse a partir de expresiones similares [151 60 58 59]

)()(

)()(

sin)(

)(1)()(

)()(1

sin)(

)(

)()()1(

0

)()()(

1

1

)2()2(0

)2()2(0

)2(

mnmnr

mnbmna

jmYrrh

drd

rY

rh

Yrrh

drd

rYm

rh

Yrhr

nn

rErErE

en

n

nme

n

n

nm

nmn

nmn

nmn

nmn

nmnr

MH sdot=

sdot

partpart

partpartsdot

+

=

sum sum

sum sum

infin

= minus=

infin

= minus=

ϕϑ

ϑϕϑ

βθ

ϕϑββη

θϕϑ

βϑ

ϕϑββη

ϕϑβ

ϕϑϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

donde )(cos)()(

412)( θ

πϕθ ϕ m

njm

nm PemnmnnY sdot

+minus+

=

(2-60)

siendo hn(2)(x) las funciones esfeacutericas de Hankel de segunda especie y Pnm(x) los polinomios

asociados de Legendre Como puede observarse los modos a(nm) no producen componente radial

se denominan asiacute modos transversales eleacutectricos (TE) mientras que los b(nm) son los transversales

magneacuteticos (TM) Si se conoce el campo tangencial sobre una esfera de radio ro los modos podraacuten

determinarse gracias a la ortogonalidad de las funciones esfeacutericas usando soacutelo la parte tangencial

(inferior) de la funcioacuten diaacutedica en (2-60) que podemos denotar por HeT [168]

ϕϑπ π

ϕ

ϑ ddrErE

rO

OOeTe sdot

= int int minus

0

2

0

1

)()(

)]([HM (2-61)

d) Isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten modal

Seguacuten se demostroacute en sect236a para una geometriacutea plana los espacios representados por los modos

y por las corrientes superficiales son isomorfos y en ese caso se determinoacute el operador de

proyeccioacuten entre ambos espacios No obstante a tenor del principio de equivalencia superficial

(sect22) ese resultado puede generalizarse a toda la representacioacuten modal En efecto las

representaciones modales (2-51) (2-57) (2-60) nos permiten determinar el campo en todo el

espacio homogeacuteneo y asiacute conocer el campo tangencial en una superficie tan proacutexima a las fuentes

como queramos Si eacutestas las hemos circunscrito por medio de una superficie plana ciliacutendrica o

esfeacuterica respectivamente podemos proyectar los modos hasta esta superficie y aplicando aquiacute las

equivalencias (2-24) o (2-25) encontrar la relacioacuten entre modos y corrientes (generalizando las

expresiones modales y usando 2-6a)

34 Capiacutetulo II

sumforall

sdot==times TEmodos

ˆTESSTSn MHEM

[ ] ( )[ ]sumforall

sdottimesnabla=timesnabla==timesminus TMmodos

ˆTTMSTSSTS

jjn MHEHJ

βηβη

(2-62)

(donde los subiacutendices S representa la particularizacioacuten sobre la superficie de corrientes T la

particularizacioacuten en las componentes tangenciales TE y TM los modos tangenciales eleacutectricos y

magneacuteticos respectivamente) Para el caso plano se determinoacute en (2-55) y (2-56) para el ciliacutendrico se

puede aplicar el equivalente conductor eleacutectrico e identificar los modos verticales b(nβz) con el

espectro de campo en z y eacuteste con el espectro de las corrientes en ϕ Las corrientes en z seraacuten

iguales (aunque opuestas) al campo superficial en ϕ que a su vez estaacute linealmente relacionado con

los dos modos

minus=minus=

==

)(

)(~~

)(~~

z

z

SCSz

zSbzCSz

nbna

EM

nbHEM

β

β

β

ϕϕ

ϕ

H

(2-63)

Finalmente para una geometriacutea esfeacuterica basta considerar las expresiones (2-62) en las que puede

observarse que el campo eleacutectrico debido a las corrientes magneacuteticas es necesariamente tangencial a

la superficie de las corrientes y por consiguiente soacutelo puede estar descrito por los modos TE

Anaacutelogamente las corrientes eleacutectricas estaraacuten directamente ligadas con los modos TM

sdot==times sum sum

infin

= minus= 0)(

)(ˆ1

mnamnrn

Sn

n

nmeSTS ϕϑHEM

[ ] sum suminfin

= minus=

sdottimesnabla=timesnabla==timesminus

1 )(0

)(ˆn

n

nm SeTSSTS mnb

mnrjjn ϕϑβηβη

HEHJ

(2-64)

En suma las expresiones (2-55) (2-63) y (2-64) representan la proyeccioacuten entre el espacio de las

fuentes electromagneacuteticas y el de los modos para cada una de las geometriacuteas canoacutenicas Y

determinada la proyeccioacuten lineal entre estos queda pues probado el isomorfismo entre ambas

representaciones

24 DISCRETIZACIOacuteN DEL PROBLEMA ELECTROMAGNEacuteTICO

Llegados a este punto podriacuteamos admitir que se haya resuelto el problema de la determinacioacuten del

campo radiado por un conjunto de fuentes adaptaacutendolo al conocimiento que de eacutestas tengamos y a

las geometriacuteas que resulten maacutes convenientes a cada problema en particular para lo cual se ha

llegado a expresiones diversas que podemos compendiarlas en


sumsumforallforall

sdot=sdot=modos los fuentes las

MHGE f (2-65)

Donde la suma debe entenderse en la mayor parte de los casos (por ejemplo 2-33 2-51) como una

suma de elementos infinitesimales es decir una integral o en otros (por ejemplo 2-60 y

parcialmente en 2-57) como una suma de infinitos teacuterminos Por supuesto que ndashseguacuten se ha

probado- el problema de conocer el campo en todo el espacio es tridimensional y hemos

conseguido reducirlo a soacutelo dos dimensiones lo cual puede sentirse como un alivio pero siendo las

dos dimensiones restantes infinito numerables poco nos importa esperar a recabar datos que sean

infinitos en dos o en tres dimensiones nunca acabaremos y el que hemos llamado problema directo

quedariacutea perpetuamente pendiente de solucioacuten7 La dificultad podriacutea ser del mismo orden que la de

pretender dar cuenta hasta el maacutes iacutenfimo detalle del sistema radiante y de su entorno Obviamente

siempre podemos recurrir al uso de meacutetodos numeacutericos para aproximar las integrales y para truncar

las series atendiendo a sus caracteriacutesticas de convergencia y asiacute minimizar el error Sin embargo es

posible demostrar que el problema acotado en los teacuterminos descritos en sect21 ndashque en uacuteltima

instancia no es sino una idealizacioacuten de cualquier problema realndash tiene una dimensioacuten esencial que

es finita y determinable

241 Teorema de muestreo para el problema electromagneacutetico

Aunque resulta evidente que un nuacutemero finito de datos ha de ser suficiente para la caracterizacioacuten

de la radiacioacuten debida a un conjunto acotado de fuentes varios autores (por ejemplo [18 21 22]

[74 75]) han probado que puede limitarse el error tanto como se quiera usando un nuacutemero miacutenimo

de datos Sin embargo las demostraciones hacen uso de expresiones asintoacuteticas y aproximaciones

que no son del todo necesarias si se recurre a la ecuacioacuten de Helmholtz y al teorema de muestreo

(propuesto por Whittaker [162] como parte de la teoriacutea de interpolacioacuten y ampliamente utilizado

desde Nyquist [125] y Shannon [146]) con lo que puede llegarse a una prueba sencilla de la dimensioacuten

esencial del problema de radiacioacuten

La ecuacioacuten de Helmoltz (2-7) como ya se ha hecho notar anteriormente impone una restriccioacuten

esencial a las tres frecuencias espaciales

2222zyx ββββ ++= (2-66)

7 En el mejor de los casos la descripcioacuten en teacuterminos de modos esfeacutericos requiere un nuacutemero de coeficientes

infinito pero entero para la dimensioacuten θ y un nuacutemero infinito pero natural para la dimensioacuten ϕ

36 Capiacutetulo II

Lo que en el espacio βx βy βz supone que los uacutenicos puntos vaacutelidos es decir representativos del

problema homogeacuteneo expreso en la ecuacioacuten de Helmholtz corresponden a una esfera8 de radio

β (representada en la figura 2-8)

Figura 2-8 Superficie de las frecuencias espaciales isomorfa con el espacio de los campos radiados

Obviamente los puntos de esa esfera no representa el espacio completo de soluciones de la

ecuacioacuten de Helmholtz para ello debieacuteramos considerar valores imaginarios en las variables βi es

decir ondas que no se propagan y que por tanto son evanescentes Si prescindimos de una de las

variables βi por ejemplo βz entonces las ondas radiadas estaraacuten representadas por el circulo

sombreado de la fig2-8 y las ondas evanescentes corresponderaacuten a puntos exteriores del plano para las

cuales la constante de propagacioacuten es imaginaria y por tanto presentan un perfil de decaimiento en

la direccioacuten z Estas soluciones seguacuten hemos precisado nuestro problema sect21 representaraacuten

campos que a unas pocas longitudes de ondas de las fuentes podraacuten haberse atenuado tanto que

resulten invisibles y en consecuencia la zona sombreada de la figura 2-8 se denomina espectro visible

que es el que en esencia atantildee al problema de radiacioacuten

Prescindamos por el momento de las ondas evanescentes y consideremos que a nuestro problema

conciernen soacutelo los campos radiados y que por tanto la transformada de Fourier bidimensional

sobre cualquier dominio de medida y para cualquier direccioacuten estaacute estrictamente limitada en banda

8 Noacutetese que esta restriccioacuten hace que al aplicar al campo eleacutectrico la trasformada de Fourier tridimensional

(que puede obtenerse aplicando secuencialmente la unidimensional para cada una de las direcciones

ortogonales siguiendo un orden arbitrario) si por ejemplo se ha hecho primero para las direcciones x y (y

nos limitamos a los campos que se propagan hacia zgt0 es decir βzgt0) entonces eacutesta soacutelo estaraacute valuada en

βz =(β 2 minus βx2 minus βy

2 )frac12 Es decir

)()()(~)()( 222yxzyxyxjzjxyzjxyz MEzyxEzyxE ββββδββββ minusminusminussdot=== FFFF

expresioacuten que es evidente si nos desplazamos a traveacutes de la liacutenea punteada de la figura 2-6 y a partir de eacutesta

zjyxyxzyxzyxj

yxe)βM(β)βM(βz)β(βE sdotminusminusminusminus sdot=minusminusminussdot=222

)(~ 2221 βββββββδF

De donde la formulacioacuten de modos planos (2-52) se deriva directamente

βx βy

βz β


Teorema 1 La miacutenima distancia entre intensidades de campo radiado independientes es λ2

De acuerdo con (2-66) resulta evidente que el valor maacuteximo de la frecuencia espacial en cualquiera

de las direcciones espaciales es β lo cual implica a tenor del teorema de muestreo [146 126] que la

miacutenima distancia entre valores independientes del campo es estrictamente πβ = λ2 tal y como se

habiacutea afirmado

Esta distancia por estar referida a cualquier direccioacuten espacial puede generalizarse a la separacioacuten

miacutenima independiente en cualquier coordenada curviliacutenea

ξξ

λξξhh

rr

rmiacuten 21

=sdot∆=partpart

sdot∆=∆ (2-67)

siendo hξ el factor de Lame (o escala) para la coordenada en cuestioacuten Si sobre una superficie

admitimos una cierta proporcioacuten de modos evanescentes entonces el ancho de banda espacial en

cualquier direccioacuten perteneciente a dicha superficie tendraacute un cierto exceso que denotaremos por

χgt1 Una adecuada eleccioacuten de este factor (como se veraacute maacutes adelante en sect243) nos permitiraacute

aproximar tanto como se desee los campos sobre la superficie mediante la discretizacioacuten de su

distribucioacuten a una frecuencia 2βχ Diremos entonces que la frecuencia espacial de los campos sobre

la superficie es βχ y las muestras ortogonales deberaacuten distanciarse

χλξ

ξhmiacuten 2=∆ (2-68)

Teorema 2 El maacuteximo nuacutemero de intensidades de corriente independientes inscritas en una esfera

de radio a y generadoras de campos radiados es 16π(aχλ)2 Eacutesta es la dimensioacuten esencial del

problema de radiacioacuten

Consideremos ahora que todos los radiadores estaacuten contenidos en el interior de una esfera de radio

a Seguacuten el principio de equivalencia si conocemos los campos sobre esa superficie podemos

determinar una distribucioacuten superficial de corrientes equivalentes que genere el mismo campo sobre

todo el espacio Seguacuten nos vayamos aproximando a los radiadores eacutestas se iraacuten pareciendo cada vez

maacutes a las corrientes verdaderas Invirtiendo aquiacute el teorema de muestreo ndashgracias al principio de

dualidad- resulta inmediato que ldquolos campos sobre la esfera de radio ardquo no soacutelo estaraacuten limitados

en banda sino que ademaacutes la miacutenima separacioacuten entre frecuencias espaciales independientes

necesarias para su descripcioacuten seraacute πa (fig 29)

38 Capiacutetulo II

Figura 2-9 Dimensioacuten esencial del problema de radiacioacuten

Estando limitada la distancia entre puntos independientes u ortogonales el tamantildeo miacutenimo de

elementos ortogonales de superficie seraacute (λ2χ)2 y puesto que la superficie de corrientes

equivalentes es de aacuterea limitada podemos entonces establecer la dimensioacuten esencial del problema

En el dominio frecuencial podemos hacer lo mismo ya que la frecuencia estaacute limitada por βχ y

existe una separacioacuten miacutenima entre frecuencias ortogonales en cuyo caso los resultados deben ser

coherentes como se muestra en la figura 2-9 Asiacute pues podemos establecer que la dimensioacuten esencial

del problema de radiacioacuten es N=16π(aχλ)2 Tal y como se habiacutea afirmado

Teorema 3 La maacutexima distancia entre intensidades de campo independientes radiadas desde un

conjunto cualquiera de corrientes inscrito en una esfera de radio a cuyo centro se encuentra a una

distancia d es λd2aχ

Consideremos la descripcioacuten del campo en teacuterminos de los modos esfeacutericos (2-60) Si nos

acercamos hasta la esfera de radio a para determinar los campos sobre esa superficie y tomamos N

muestras equiespaciadas (prefiltradas para evitar la contaminacioacuten de los modos evanescentes9)

9 Lo cual podriacutea hacerse sobremuestreando (respecto a λ2) filtrando las muestras obtenidas y finalmente

diezmandolas Olvideacutemonos de la dificultad de tomar sobre una esfera N muestras equiespaciadas

rArr teorema de muestreo

aii

πβ =∆forall nteindependie

min

βχβ =forall ii

max χ

λ2

minnteindependie

=∆forall ii

u

auii=

forallmax

lArr teorema de muestreo

βx βy

βz β

Espacio de la frecuencia

J

x y

z a

J

J

Espacio fiacutesico

( ) 22

164sortogonale

sfrecuenciaN

==

deg

λχπ

πβχπ a

a

22

162

4sortogonale

puntosN

==

deg

λχπ

χλπ aa


entonces habremos recabado toda la informacioacuten que se requiere para determinar de forma univoca

los campos radiados (o con una aproximacioacuten tan ajustada como se desee) La posicioacuten de cada uno

de esos puntos dependeraacute exclusivamente de las posiciones angulares (θ ϕ) ya que toda la

informacioacuten referente a las variaciones radiales estaacute contenida en las funciones esfeacutericas de Hankel

y por tanto a los coeficientes modales soacutelo les conciernen variaciones angulares Seguacuten el teorema

1 ndashecuacioacuten 2-68ndash la separacioacuten angular entre muestras ortogonales debe ser ∆θ = λ2rχ en

elevacioacuten y ∆ϕ = λ(2rχ sinθ) en acimut (o en caso de regularizar las muestras ∆ϕ = λ2rχ ) Es

decir la maacutexima frecuencia angular que puede esperarse sobre la esfera de radio a seraacute βrχ = βaχ y

puesto que la frecuencia angular maacutexima de un modo esfeacuterico de orden [nm] es n2π -tanto en

elevacioacuten como en acimut- habraacute un nuacutemero entero de modos que ofrezcan una definicioacuten exacta

de los campos Al truncarse la serie de modos esfeacutericos las condiciones integrales de ortogonalidad

(2-54) se pueden traducir a series

ne=ne

=∆∆sdot∆∆sum sum= minus= ji

jimrmnr

N

nje

n

nmie 0

0)()(

1 ϕθϕθ HH (2-69)

Con lo cual el sistema

sdot=

sdot=

sum sum

sum sum

= minus=

= minus=

1

11111

)()(

)()(

N

nmn

n

nmNNomneNNo

N

nmn

n

nmomneo

Mrr

Mrr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HE

HE

M (2-70)

tiene solucioacuten uacutenica si

0)()()(

)()(

111

11111

ne= o

oNeNNoe

oNeoe

rfrr

rr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HH

HH

L

MOM

L

(2-71)

Como puede verse en (2-60) considerando soacutelo las componentes tangenciales y en virtud de las

propiedades de las funciones esfeacutericas de Hankel (siempre definidas y distintas de cero para rgt0)

una modificacioacuten de la distancia se traduce en la multiplicacioacuten por una constante compleja en toda

una columna del determinante (2-71) Por tanto si eligiendo adecuadamente la posicioacuten de las

muestras a una determinada distancia existe una solucioacuten uacutenica a (2-70) entonces la habraacute tambieacuten

a cualquier otra distancia siempre que se considere el mismo nuacutemero de puntos y las mismas

posiciones angulares

En suma si nos separamos una distancia arbitraria d respecto al centro de nuevo necesitamos el

mismo nuacutemero de muestras de campo y eacutestas deberaacuten tomarse con ideacutenticas separaciones

40 Capiacutetulo II

angulares Esto nos ofrece una respuesta clara a la pregunta iquestCuaacutel es la separacioacuten miacutenima entre

muestras ortogonales cuando nos encontramos a una determinada distancia Supongamos que

hacemos un recorrido circular (en un plano cualquiera) sobre la esfera de radio a Seguacuten lo anterior

necesitaremos Nl =2πaχ(λ2)=4πaχλ muestras Si nos separamos a una circunferencia de radio

mayor seguiremos necesitando el mismo nuacutemero de muestras Nl =2πd∆ y por tanto

χλad

2indepmin =∆ (2-72)

Que es lo que arriba habiacuteamos afirmado

Dicho de otra manera el ancho de banda espacial de la distribucioacuten del campo sobre un determinado

dominio de observacioacuten seraacute βaχd Resultado que es equivalente al de Bucci [18 21 22] aunque

eacuteste lo refiera a coordenadas normalizadas respecto a la distancia miacutenima y por tanto diga que el

ancho de banda espacial es βaχ

Si solamente usamos estas muestras para obtener el campo sobre el resto del dominio tenemos dos

alternativas 1) interpolar usando funciones armoacutenicas que en caso de tratarse de una esfera habraacuten

de ser precisamente armoacutenicos esfeacutericos o bien 2) hacerlo de forma indirecta considerando una

distribucioacuten regular de muestras y suponiendo en un primer momento que el campo consiste en

una sucesioacuten de deltas de Dirac para despueacutes filtrarlas a la frecuencia βaχd

Observemos que una de las consecuencias de esta separacioacuten miacutenima entre muestras

independientes es que a distancias alejadas el miacutenimo ancho del loacutebulo principal de una antena

dependeraacute de su dimensioacuten maacutexima D = 2a Asumiendo que en el liacutemite no sea necesario exceso

de ancho de banda (χ=1)

Ddad λθλ 2arctan

22nulos entremiacutema Distancia nulos entremiacutema Distancia

minindepmin cong=rArr==∆ (2-73)

Resultado que es bien conocido en la teoriacutea de antenas pero al que comuacutenmente se llega por muy

distinto camino (pej [123 sect49])10

10 Si bien este resultado netamente convalidado por los resultados experimentales y teacutecnicos ha intentado a

menudo rebatirse teoacutericamente desde el marco de las ldquoantenas de supergananciardquo debe tenerse en cuenta que

eacutestas se fundan en extrapolaciones hechas sobre el ciacuterculo transformado de Schelkunoff ndasho transformaciones

equivalentesndash y eacuteste a su vez se basa en la proyeccioacuten asintoacutetica de campo lejano Sin embargo iquestcuaacutendo se

alcanza estrictamente dicho comportamiento demasiado lejos para poder correlar alliacute distancias y aacutengulos

Quizaacute no sin motivo la realidad se niega a dar asiento a estas antenas ideales


242 Muestreo del dominio de observacioacuten y del campo observado

Supongamos que describimos analiacuteticamente el dominio de observacioacuten D como r(u) si es

curviliacuteneo o r(uv) si es superficial (siendo r la posicioacuten desde el origen que ademaacutes coincide con el

de la esfera que circunscribe las fuentes) Para tener sobre este dominio el miacutenimo nuacutemero de

muestras que permita la descripcioacuten completa del campo radiado el muestreo deberaacute ser ortogonal

de acuerdo a las prescripciones de los teoremas anteriores Este muestreo se traduce en una

discretizacioacuten del dominio de observacioacuten de modo que seguacuten (2-72) para el caso curviliacuteneo

χλξ

ξξξ

ξ ξ ahr

2)(

=partpart

∆=∆rArr∆

partpart

=∆r

rrr (2-74)

y para el caso superficial suponiendo que las coordenadas ξ η son ortogonales

=∆

=∆

rArr∆partpart

+∆partpart

=∆

χληξ

η

χληξ

ξ

ηη

ξξ

η

ξ

ahr

ahr

2)(

2)(

rrr (2-75)

Valores que en general dependeraacuten de la posicioacuten pero que en caso de desearse un muestreo

regular ndashes decir (∆u ∆v) = ctendash sobre todo el dominio de observacioacuten entonces deberaacute elegirse el

valor miacutenimo de los periodos de muestreo (2-74) y (2-75) En suma el dominio podraacute expresarse

matricialmente en el caso curviliacuteneo

=

==

equivrArr

∆+=

∆+=

minusminus )(

)()(

22

11

11

122

1

MMMMM ξ

ξξ

ξξξ

ξξξξ

rr

rr

rr

MMD (2-76)

y en el caso superficial

)( con

21

22221

11211

11

112

1

11

112

1

mnmn

MMMM

M

M

MMMMMM

vξ

ηηη

ηηηη

ξξξ

ξξξξ

ηξξξ

η

η

ηηηξξξ

rr

rrr

rrr

rrr

=

equivrArr

∆+=

∆+=

∆+=

∆+=

minusminusminusminus L

MOMM

L

L

MMD (2-77)

Y en consecuencia el campo eleacutectrico sobre el dominio de observacioacuten podraacute igualmente

expresarse de forma matricial

En el caso curviliacuteneo

=

)(

)( 1

MrE

rE

E M en el superficial

=)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rErE

rErE

E

K

MOM

K (2-78)

42 Capiacutetulo II

En el caso de las fuentes (ya sean corrientes reales o equivalentes magneacuteticas) seguacuten se ha

justificado en el apartado anterior el muestreo oacuteptimo corresponde a una distancia euclidea entre

muestras de λ2 Por tanto los periodos oacuteptimos de muestreo sobre el dominio de las fuentes en

coordenadas curviliacuteneas seraacuten ∆ξrsquo = λ2hξrsquo ∆ηrsquo = λ2hηrsquo y a partir de estos puede llegarse a

expresiones matriciales anaacutelogas a la (2-76) (2-77) ndashantildeadiendo tildes para denotar las fuentes-

Dependiendo de si las fuentes se extienden sobre un dominio lineal o sobre un dominio plano


prime

prime

=)(

)( 1

Mr

r

f

f

f M en el superficial

primeprime

primeprime

=

primeprimeprime

prime

)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rr

rr

ff

fff

K

MOM

K (2-79)

Funciones de distribucioacuten en los subdominios de muestreo (interpolacioacuten)

Elegida la discretizacioacuten oacuteptima de las corrientes y los campos podriacuteamos preguntarnos por las

funciones base que mejor caracterizan estas entidades en su aproximacioacuten al problema continuo

Supongamos que sobre cada subdominio de muestreo ya sean de corrientes o de campos las

muestras son representativas de alguacuten tipo de distribucioacuten por ejemplo cuadrada prod(uv) triangular

Λ(uv) cosenoidal cap(uv) como muestra la figura 2-10

summinus

minus=N

NnSDn uufuu )()()( EE (2-80)

En cualquiera de estos casos es evidente que se produce una desviacioacuten con respecto a la verdadera

distribucioacuten Si las funciones de interpolacioacuten fueran cuadradas la diferencia con respecto al caso

real es especialmente patente por las discontinuidades entre subdominios Sin embargo si

consideramos la limitacioacuten espectral arriba descrita la eliminacioacuten de las frecuencias superiores

traeriacutea consigo la supresioacuten de tales discontinuidades pero se mantendriacutea una cierta cantidad de

distorsioacuten que se hace patente en el dominio frecuencial como ilustra la figura 2-10b Esta

conclusioacuten puede en realidad extenderse a cualquier funcioacuten de subdominio definida soacutelo en el

espacio del subdominio La uacutenica manera de evitar esta distorsioacuten seriacutea por medio de funciones

cuyo espectro sea plano en el ancho de banda espacial de las corrientes o del campo por ejemplo

mediante pulsos ideales de Nyquist Eacutesta es precisamente la opcioacuten que propone Bucci en sus series

de muestreo [18 21 22]

summinus minus

minus=

N

N nu

nun uu

uuuu

)()(sin

)()(max

max

ββ

EE (2-81)




producen distorsioacuten

De acuerdo a las conclusiones llegadas en sect241 podemos considerar que con independencia del

ancho de banda de la distribucioacuten de fuentes electromagneacuteticas el fenoacutemeno de radiacioacuten limita el

ancho de banda Es decir en virtud de (2-21) podemos considerar que la funcioacuten de Green sobre

un determinado dominio se comporta como un filtro de ancho de banda β Frecuencias espaciales

superiores en la distribucioacuten de fuentes generan uacutenicamente ondas evanescentes que soacutelo pueden

percibirse en las inmediaciones de las fuentes Por tanto la utilizacioacuten de deltas de Dirac para la

caracterizacioacuten de las fuentes electromagneacuteticas sobre subdominios permite una caracterizacioacuten no

distorsiva de las fuentes En efecto supongamos que la figura 2-10a representa una distribucioacuten

lineal de corrientes y que el trazo continuo de la fig2-10b su espectro espacial Si discretizamos la

distribucioacuten espacial y consideramos deltas de Dirac como funciones de distribucioacuten dentro de los

subdominios entonces su espectro seraacute perioacutedico como ilustra el trazo discontinuo de la fig2-10b

En este caso el espectro para frecuencias inferiores a la mitad de la de muestreo es ideacutentico al del

caso continuo y por tanto en virtud de la limitacioacuten espectral del proceso de radiacioacuten ldquolos campos

radiados debidos a la distribucioacuten continua de corrientes y a la distribucioacuten discreta con deltas de

Dirac son ideacutenticos siempre que la separacioacuten entre eacutestas sea λ2χ o menosrdquo Es decir aunando

este resultado con el teorema de equivalencia se puede asegurar que ldquoel campo radiado desde un conjunto

de fuentes cualquiera circunscrito por una cierta superficie es ideacutentico al que genera una agrupacioacuten finita de dipolos de

Hertz (eleacutectricos y magneacuteticos) debidamente distribuidos sobre dicha superficie y cuyas corrientes satisfagan las

condiciones de contorno (pej 2-24)rdquo Sin embargo esto implica que las muestras del campo sobre la

superficie de corrientes equivalentes deben tomarse lo suficientemente proacuteximas para evitar que el

muestreo de modos evanescentes en la proximidad de las fuentes reales con alto contenido

frecuencial produzcan aliasing

243 Ondas evanescentes

Volvamos al problema de las ondas evanescentes Como deciacuteamos antes eacutestas pueden eliminarse

mediante un filtrado previo al muestreo oacuteptimo descrito en sect241 forzando que FuvE=0 para

(βu2+ βv2)ltβ2 Sin embargo podemos considerar las ondas evanescentes y entonces admitir un

mayor ancho de banda para los campos sobre las coordenadas libres de un determinado dominio de

u βu Um

2πUm

π Um

Distorsioacuten

44 Capiacutetulo II

observacioacuten De hecho seguacuten nos aproximemos a las fuentes eacutestas iraacuten cobrando mayor

importancia cuya consecuencia inmediata es un aumento del ancho de banda del campo observado

y asiacute una reduccioacuten de la distancia entre valores independientes Sobre una superficie en la que se

aplicara el principio de equivalencia esto se traduciriacutea en un aumento de la resolucioacuten de corrientes

necesaria para su biuniacutevoca representacioacuten respecto al campo generado Sin embargo los campos

que esta distribucioacuten engendra tienen un alcance limitado Podriacuteamos en definitiva hablar de una

resolucioacuten maacutexima de corrientes ldquogeneradora biuniacutevocardquo de los campos sobre un determinado

dominio de observacioacuten con un error de relacioacuten11 tan pequentildeo como se quiera

En efecto supongamos una onda evanescente con constante de atenuacioacuten αrsquo sobre un dominio

cuya distancia miacutenima a las fuentes sea Rmin Debido al decaimiento exponencial es inmediato que

de estas ondas respecto al valor que teniacutean junto a las fuentes quedaraacute menos que e-αrsquoRmin Podemos

tomar este valor como representativo del error cometido al limitarnos a considerar las ondas

evanescentes con α le αrsquo es decir del error de truncamiento de los modos evanescentes12 Por

tanto

=prime

εα 1ln1

minR (2-82)

Y para considerar estas ondas deberaacute aumentarse el ancho de banda en un factor χ Usando por

ejemplo coordenadas cartesianas

1 )-(1 )( 22z

222222 minus=rArr=rArr=+ χβαχβββχββ zyx (2-83)

Usando (2-82) y (2-83) podemos referir χ a la cota de error ε

[ ] [ ] 2

min

22

min 21ln

11ln

1

+=

sdot

+=RR

λπ

εβ

εχ (2-84)

Y si particularizamos para Rmin=nλ

11 llamando error de relacioacuten a la diferencia entre el campo efectivo sobre el dominio de observacioacuten y el debido

a la distribucioacuten de corrientes limitada en banda o discretizada

12 Obseacutervese que este valor puede considerarse en realidad como una cota del error de truncamiento de los

modos evanescentes En efecto supoacutengase que asintoacuteticamente existe una distribucioacuten homogeacutenea de tales

modos (de acuerdo a la ecuacioacuten de Helmholtz las soluciones se situacutean ahora en el espacio β1 β2 α3 sobre

un hiperboloide de una hoja) La energiacutea total de los modos evanescentes seraacute proporcional a

min0

2

21

min

RdeE R

eva == intinfin

minus αα y la parte correspondiente de los modos truncados min

22

2

minmin

RedeE

RR

trunc

α

α

α αprimeminusinfin

prime

minus == int

En consecuencia el valor cuadraacutetico medio del error de truncamiento εcong(EtruncEeva)frac12=endashαrsquoRmin


[ ] 2

21ln

1

sdot+=

nπε

χ (2-85)

Puesto que normalmente el dominio de observacioacuten excluye la zona reactiva la distancia miacutenima a

las fuentes seraacute ahora Rmin=062D3λfrac12 [88] ndashdonde D es la dimensioacuten maacutexima del sistema

radiantendash que nos ofrece otra interesante particularizacioacuten de (2-84) representada en la fig 2-11b

[ ] 32

9631ln

1

+le

Dλε

χ (2-86)

En la figura 2-11a se representa graacuteficamente la ecuacioacuten (2-85) donde puede observarse coacutemo al

distanciarse unas pocas longitudes de onda el ancho de banda sobre el dominio de observacioacuten

tiende raacutepidamente al nuacutemero de onda Si por ejemplo la distancia es mayor de 20λ entonces el

ancho de banda espacial sobre el dominio de observacioacuten soacutelo deberiacutea aumentar un 036 respecto

al nuacutemero de onda para un error inferior a 10-6 En suma podemos reducir arbitrariamente el error

de truncamiento de los modos evanescentes aumentando en un pequentildeo factor la frecuencia de

muestreo (o lo que es lo mismo disminuyendo la distancia entre muestras 2-74 2-75)

Figura 2-11 Exceso del ancho de banda espacial con respecto al nuacutemero de onda en funcioacuten de la distancia

para varios errores de truncamiento

Si bien esto nos proporciona un criterio acerca de la separacioacuten entre muestras ortogonales del

campo observado a una determinada distancia en realidad no estamos considerando el tamantildeo del

sistema radiante y en consecuencia obtenemos un factor de exceso con respecto a la separacioacuten en

λ2 Pero en realidad nuestro teorema segundo y tercero de muestreo (sect241) iban

considerablemente maacutes lejos reduciendo la dimensioacuten de la distribucioacuten de campo a un nuacutemero

finito que supone a su vez una separacioacuten entre muestras ortogonales del campo distante superior

a λ2 Alliacute se deciacutea que la dimensioacuten esencial del problema era N =16π(aχλ)2 y que en

a) Exceso de AB a una distancia nλ b) Maacuteximo exceso de AB para minr notin Zreactiva

46 Capiacutetulo II

consecuencia la separacioacuten entre muestras ortogonales habriacutea de ser λd2aχ Pero quedoacute sin

precisar el valor de ese factor de exceso Una combinacioacuten del criterio obtenido anteriormente para

el exceso respecto a β (2-84) y el comportamiento de las funciones de Hankel nos proveeraacuten una

pauta para determinar el exceso respecto a βad Recueacuterdese que fueron precisamente estas

funciones las que nos otorgaron la evidencia de la distancia miacutenima entre muestras ortogonales

sancionando asiacute el tercer teorema de muestreo

Figura 2-12 Moacutedulo de la dependencia radial de los modos esfeacutericos usando como argumento la distancia

radial expresada en nuacutemero de longitudes de onda

En la figura 2-12 se representa el moacutedulo de la funcioacuten de dependencia de los modos esfeacutericos que

como puede verse en la expresioacuten modal (2-60) depende esencialmente de las funciones esfeacutericas de

Hankel (directamente para los modos TE y dependiente de su derivada para los modos TM) Esta

figura nos permite observar varias caracteriacutesticas relevantes Por una parte para ambos modos se

pueden observar dos comportamientos asintoacuteticos (para valores pequentildeos y grandes del

argumento) que convergen cuando la distancia radial es λ4(13) Ademaacutes a partir de λ la relacioacuten

entre funciones de orden diferente es constante y todos los modos presentan una declive de 10

dBdecada En definitiva esto nos permite considerar que a partir de λ4 todos los modos tienen

un mismo peso relativo Es decir si caracterizamos el campo usando un miacutenimo nuacutemero de

muestras sobre una esfera de radio mayor que λ4 entonces la caracterizacioacuten a cualquier otra

13 Es precisamente a partir de este valor donde las funciones de Bessel de orden mitad a un impar y con

teacuterminos cosenoidales y asiacute con discontinuidad en el origen se regularizan con respecto a las que tienen

teacuterminos senoidales ndashsin discontinuidad-

12

3

4

5

6

7

8

9

12

3

4

5

6

7

8

9

λ4 λ4


distancia seraacute sobre las mismas posiciones angulares (si a una distancia los ordenes superiores a uno

dado son superfluos lo seraacuten tambieacuten a cualquier otra distancia)

Consideremos que en un caso extremo haya una equidistribucioacuten de modos evanescentes sobre la

superficie de una esfera es evidente que a una cierta distancia parte de esos modos han disminuido

tanto que podriacuteamos depreciarlos Supongamos usando (2-84) que puede considerarse que el

campo sobre los puntos situados a esa distancia (que a su vez forman una esfera) tiene una ancho

de banda espacial βχ (con un error tan pequentildeo como se quiera) Entonces la discretizacioacuten del

campo con dicho ancho de banda puede hacerse con un nuacutemero finito de muestras A cualquier

otra distancia seguacuten hemos probado antes nos bastaraacute ese mismo nuacutemero de muestras para una

descripcioacuten eficaz del campo y el resto seraacuten superfluas Existe una distancia (o una esfera ampliada

representada en la figura 2-13) en la que se requiere un nuacutemero miacutenimo de muestras para una

determinada cota de error que la podemos tomar como dimensioacuten esencial del problema espacial

En suma un criterio juicioso para establecer el exceso de ancho de banda que necesitamos tanto

sobre la superficie de las fuentes como sobre cualquier dominio de observacioacuten que rodee a las

fuentes consistiriacutea en

1) Si la esfera miacutenima que contiene las fuentes es de radio a considerar una esfera ampliada de

radio a+δ

2) Sobre la esfera ampliada determinar el exceso de ancho de banda para el mencionado error

maacuteximo de truncamiento de modos evanescentes usando la expresioacuten (2-84) A ese exceso le

corresponde un nuacutemero de puntos de muestreo (teorema 2)

prime+prime+prime=

+

=2

22

22

min 2ln1)(16min

)()(16min

δπεδπ

λδχδπ

δδaaN (2-87)

Donde arsquo y δrsquo representan los valores a y δ normalizados a la longitud de onda

3) Minimizar el nuacutemero de muestras necesarias tomando δ como variable independiente

Figura 2-13 Geometriacutea del problema de discretizacioacuten del campo generado por radiadores finitos

La relacioacuten N(δrsquo) de la ecuacioacuten (2-87) se trata de un polinomio en δrsquo cuya derivada presenta una

raiacutez real positiva que corresponde con el miacutenimo que nos interesa Dicho miacutenimo representado en

la figura 2-14 para varios tamantildeos del sistema radiante y una cota de error de 10-2 depende

δ a

Propagacioacuten de modos evanescentesEsfera

ampliada

Objetoradiante

48 Capiacutetulo II

exclusivamente de la cota superior de error y del tamantildeo eleacutectrico del radiador Si bien para

radiadores grandes la dimensioacuten obtenida es muy elevada debe tenerse en cuenta que se trata de la

caracterizacioacuten sobre dominios superficiales que engloban completamente las fuentes En muchos

casos en los que se trabaja con grandes radiadores y la distribucioacuten de corrientes es separable en las

dos dimensiones del domino el problema de su caracterizacioacuten sobre dominios superficiales puede

separase en dos dominios unidimensionales En ciertos contextos basta la caracterizacioacuten sobre un

uacutenico dominio unidimensional En todas estas situaciones podraacute hablarse de la dimensioacuten esencial

del problema electromagneacutetico para dominios curviliacuteneos (unidimensionales)

sup min

2

curv min min2ln1)(4min

)()(4min Na

aN sdot=

prime+prime+prime=

+

= πδπεδπ

λδχδπ

δδδ (2-88)

Que como es evidente presenta un miacutenimo para el mismo valor del argumento que en el caso

bidimensional (2-87) aunque guardando una relacioacuten cuadraacutetica entre sus valores En la figura 2-

15a se representa la dimensioacuten del problema superficial respecto al tamantildeo del radiador usando la

cota de error como paraacutemetro Los valores correspondientes del factor de exceso del ancho de

banda χ y del exceso del radio miacutenimo δ se encuentran en la figura 2-15b que es vaacutelida para

dominios curviliacuteneo y superficiales Finalmente en la figura 2-16 se representa la dimensioacuten esencial

del problema curviliacuteneo para un mayor rango de tamantildeos del radiador (la relacioacuten 2-88 permite

relacionar el problema en una y dos dimensiones)

Figura 2-14 Variacioacuten del nuacutemero de muestras necesarias sobre las esferas ampliadas de radio a+δ

Si bien estos resultados parecen especialmente juiciosos para la discretizacioacuten del campo observado

para la discretizacioacuten en el dominio de las fuentes parece razonable plegarse a su estructura Por

ejemplo en el caso de estructuras planas esto supondraacute una reduccioacuten importante del nuacutemero de

a = 18 a = frac14

a = frac12

a = 1

a = 2

a = 8

a = 4


muestras sobre el dominio de las fuentes En estas circunstancias podraacuten usarse los resultados

obtenidos para los factores de exceso sobre el dominio de las fuentes mientras que los resultados

de la dimensioacuten esencial seguiraacuten sieacutendonos uacutetiles para el dominio del campo

Figura 2-15 Dimensioacuten esencial del problema superficial (a) y factores de sobremuestreo y de exceso del

radio para los problemas tanto superficial como curviliacuteneos (b)

Figura 2-16 Dimensioacuten esencial para dominios curviliacuteneos (Los paraacutemetros χ y δ correspondientes son los

de la figura 2-15b)

ndashndash errormax 10-5





δλ

a) Dimensioacuten esencial del problema superficial

b) Factor de sobremuestreo χ sobre la esfera ampliada de radio α+δ






50 Capiacutetulo II

244 Expresioacuten del problema discretizado

Seguacuten se establecioacute en sect242 podemos discretizar el dominio de las fuentes y el de los campos

utilizando un conjunto finito de valores de tal forma que entre estos exista una relacioacuten biuniacutevoca

En virtud del teorema de muestreo sect241 y teniendo en cuenta la discutida conveniencia (sect242) de

la representacioacuten de las fuentes en teacuterminos de deltas de Dirac la expresioacuten (2-33) puede reducirse

a una suma de un nuacutemero finito de teacuterminos (N fuentes)

sum

sumintintint sum

= prime

prime

primeprime

primeprime

=prime

ge

=

primeprimeprimeprime

sdot

primeprimeprimeprimeprimeprimeprimeprime

=

=sdotprimeminus=

primeprimeminusprimeprimeminus=

N

n nn

nn

nnnnnn

nnnn

N

nnn

V

N

nnn

GGGG

EE

vd

1

1

Desencial

1

)()(

)()()()(

)()(

)()()()(

ηξηξ

ηξηξηξηξηξηξηξηξ

ηξηξ

δ

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff

ff rrGrrrrGrE (2-89)

Expresioacuten que se ha concretado para las componentes tangenciales a las superficies D y S (noacutetese

que aquiacute y en (2-43) los sistemas coordenados para el dominio de observacioacuten ξηλ y para el de

las fuentes ξrsquoηrsquoλrsquo pueden ser diferentes y asiacute adaptarse cada uno de ellos a sus respectivas

geometriacuteas) Teniendo ahora en cuenta la discretizacioacuten del dominio de observacioacuten (en M puntos)

la anterior expresioacuten funcional puede reducirse a una expresioacuten numeacuterico-matricial



=

primeprime

primeprime

primeprime

primeprime

sdot

=

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

)()(

)()(donde

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

11

111111

11

11

11

11

NNMMUUMMUU

NNUUUU

VU

NN

NN

MM

MM

vuvuGvuvuG

vuvuGvuvuGG

GG

GG

E

EE

E

L

MOM

L

M

M

M

M

ηξ

ηξηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

ηξ

η

η

ξ

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

η

ξ

ξ

f

ff

f

(2-90)

Donde el operador diaacutedico que resulta de la discretizacioacuten de la funcioacuten diaacutedica de Green (2-28) y

(2-32) puede interpretarse como operador lineal de transformacioacuten del espacio de las fuentes al espacio

del campo

[ ][ ]

[ ][ ]

=

=

=

sdot=

prime

prime

primeprime

primeprime

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff

fT

fT

donde

GG

GG

EE

E

E

(2-91)

En algunos casos cada componente direccional del campo esta referido a una uacutenica componente de

las fuentes (por ejemplo cuando eacutestas son magneacuteticas y el dominio de observacioacuten es plano) en

cuyo caso la expresioacuten diaacutedica (2-91) se reduce a una expresioacuten matricial


Utilizando elementos vectoriales para las matrices podemos expresar (2-91) como

ff

ff sdot=equiv

sdot

=sdot=

sum=

TE

E

E

11

1

11

1

1

NNM

N

M

N

nn

M

MM

L

O

L

MM

Ψ

Ψ

Ψ

ΨΨ (2-92)

Expresioacuten que en caso de poderse desligar las componentes direccionales se reduce a una relacioacuten

escalar E = T sdot f Como veremos esta expresioacuten nos permitiraacute la definicioacuten de un espacio vectorial

n-dimensional meacutetrico y normado en el que queden representadas todas las posibles soluciones de

los campos radiados sobre el dominio de observacioacuten

2441 Dominios planos

Supongamos que asiacute el dominio de las fuentes como el de observacioacuten sean planos Hagamos

coincidir por simplicidad operativa ambos dominios con planos de z constante y que las

coordenadas de discretizacioacuten sean para los dos dominios ideacutenticas Entonces la expresioacuten (2-90)

podraacute simplificarse

sdot

minusminusminusminus

minusminusminusminusminusminusminusminus

=)(

)(

)()(

)()()()(

11

11

221212

111111

NNNNNNNN

NN

NN

yx

yx

yyxxyyxx

yyxxyyxxyyxxyyxx

f

f

M

L

LOM

L

L

GG

GG

GG

E (2-93)

Si en lugar de emplear expresiones matriciales utilizamos expresiones secuenciales se observa

claramente que la expresioacuten (2-90) se trata de una convolucioacuten de secuencias discretas cuyo

correlato en el dominio transformado es el producto de las secuencias transformadas [126]

ff

ff

~~][][

)(][)(][][1 11

sdot=lowast=

sdotminusminus=sdotminusminus= sumsumsum= ==

OO

Nx

nmn

Ny

mmininn

N

ppipi

IDFTmnmn

yxyyxxyxyyxxmn

ΨΨ

GGE (2-94)

Donde ahora las transformadas deben entenderse en teacuterminos de transformadas discretas de

Fourier ndashque se definen para el caso bidimensional como en (2-39)ndash y Ψo la funcioacuten de Green en el

origen del plano de observacioacuten (o lo que es lo mismo el campo eleacutectrico generado por un dipolo

de Herz en el origen)

Cuando finalmente el dominio de observacioacuten sea lejano entonces es evidente a partir de (2-50)

sdot=

sdot=

][~][~][~][~

][][

][

mnMmnMmnJmnJ

mnEmnE

DFTmn

y

x

y

x

CLCL TTEθ

θf (2-95)

52 Capiacutetulo II

Donde TCL es un operador diaacutedico (definido en 2-50) entre magnitudes vectoriales y no entre

entidades matriciales como lo es T

Cuando el tamantildeo del radiador es elevado si eacuteste es plano y el dominio de observacioacuten es

igualmente plano o bien se encuentra en la zona de Faunhoffer entonces las expresiones (2-94) y

(2-95) pueden reducir considerablemente el coste operativo de (2-92) No sin razoacuten esta teacutecnica

numeacuterica a la que se volveraacute maacutes adelante especialmente aprovechando las ventajas de las

transformadas raacutepidas ha sido puesta innumerablemente en praacutectica desde los antildeos 70 [142 168]

245 El espacio de campos radiados sobre el dominio de observacioacuten E

Si la discretizacioacuten expresada en (2-90) ha sido efectiva podemos aquiacute interpretar los vectores Ψn

ndashque a su vez constituyen el operador lineal Tndash como una base de un espacio vectorial E ndashde

campos radiados sobre el dominio de observacioacuten Dndash definido sobre un cuerpo de escalares

complejos y cuya dimensioacuten seraacute la dimensioacuten esencial N (sect241) A partir de esta base podriacutea definirse

un conjunto ortogonal sobre el que cada distribucioacuten de campo quedara oacuteptimamente

representado

En virtud de las conclusiones alcanzadas en sect241 y sect242 y la presente formulacioacuten podemos

establecer el siguiente corolario

Corolario Si las funciones de campo Ψn corresponden a los campos eleacutectricos sobre D engendrados

por una distribucioacuten de dipolos de Hertz de corriente unitaria sobre una superficie S

adecuadamente distanciados entonces el espacio generado por la base Ψ es el de todos los

posibles campos electromagneacuteticos radiados sobre D por cualquier distribucioacuten de corrientes

superficial o interior a S

Si la distancia entre los mencionados dipolos de Hertz unitarios es menor que λ2 ndashen un factor χminus

y se separan una distancia adecuada de las fuentes reales entonces el espacio generado por la base

Ψ aproxima todos los posibles campos radiados a partir de esa distancia cometiendo un error de

truncamiento tan pequentildeo como se desee Tanto la distancia a las fuentes como el error dependen

del exceso de ancho de banda χ considerado en sect243

Nos seraacute de especial utilidad hacer que el espacio vectorial E sea meacutetrico y normado Para ello nos

basta concretar sobre dicho espacio un producto interno que se defina por medio de una forma

sesquilineal hermiacutetica sobre C cuya forma hermiacutetica asociada sea positiva14

14 Es decir el espacio E seraacute ahora en virtud de este producto interno prehilbertiano complejo y puede

considerarse hilbertiano de dimensioacuten finita gracias a su separabilidad y completitud [106 29] Aunque el


C 1

212121 isin=sdot= sum=

lowastlowastM

mmm

T EEEEEE (2-96)

Donde el superiacutendice T representa la matriz transpuesta y el complejo conjugado Este producto

interno (definido a su vez en teacuterminos del producto escalar entre vectores E que en algunos casos

podraacute reducirse a un producto entre entidades escalares) permite a su vez definir una norma y una

distancia

( )

( ) 2121

21

111

21

21

- d

EEEE

EEEEEEE

=

realisin

=sdot== sum

=

lowastlowastM

mmm

T

(2-97)

(2-98)

La norma cuadraacutetica es de hecho proporcional a la potencia electromagneacutetica que atraviesa la

superficie D y por tanto con independencia de su geometriacutea y extensioacuten seraacute finita siempre que lo

sean las fuentes es decir los coeficientes de excitacioacuten de los dipolos de Hertz que en el espacio E

juegan el papel de las coordenadas sobre la base Ψ

Obseacutervese que al aumentar el nuacutemero de muestras M sobre el dominio de observacioacuten no se

modifica la dimensioacuten del espacio E pero aumenta la distancia entre los vectores independientes

Ψn y su norma Caracteriacutestica que como se veraacute maacutes adelante seraacute de suma importancia para el

problema electromagneacutetico inverso

25 EJEMPLOS

Para ilustrar alguna de las conclusiones a las que se ha llegado consideremos un par de ejemplos

teoacutericos En primer lugar supondremos una distribucioacuten arbitraria de corrientes interior a una

esfera de reducido diaacutemetro eleacutectrico que podamos discretizarla por medio de los veacutertices de un

poliedro regular para que las distancias entre los dipolos de Hertz sean constantes En este caso el

reducido tamantildeo del objeto radiante no nos permite usar la teoriacutea de imaacutegenes y por tanto es

menester contar con corrientes eleacutectricas y magneacuteticas sobre la superficie que rodea las fuentes En

segundo lugar consideraremos una antena real cuya geometriacutea y corrientes nos son conocidas y

cuyo tamantildeo siacute nos permite el recurso a la teoriacutea de imaacutegenes y en consecuencia limitarnos al uso

de corrientes magneacuteticas

producto interno aquiacute definido convierte el espacio E en eucliacutedeo maacutes adelante ndashen sect32ndash se veraacute una

definicioacuten maacutes general seguacuten la cual el espacio E ya no puede considerarse eucliacutedeo aunque si hilbertiano

54 Capiacutetulo II

251 Corrientes sobre los veacutertices de un icosaedro

Con objeto de maximizar la dimensioacuten del problema haremos que el cuerpo platoacutenico en cuestioacuten

sea un icosaedro como ilustra la figura 2-10 Seguacuten las conclusiones a que se ha llegado los campos

engendrados por las corrientes tangenciales sobre los veacutertices del icosaedro deberiacutean representar

cualquier distribucioacuten de corrientes interior a la esfera que eacuteste discretiza Para probarlo elegiremos

una distribucioacuten de corrientes eleacutectricas arbitraria e interior a la esfera para la que se probaraacuten

distintas excitaciones Desde el punto de vista de la frecuencia espacial el peor caso consistiraacute en

hacer que las corrientes interiores presenten variaciones espaciales lo maacutes abruptas posibles es

decir que queden descritas por medio de deltas de Dirac siguiendo una distribucioacuten irregular

Seguacuten estas condiciones los modos evanescentes sobre la superficie de la esfera seraacuten importantes y

para satisfacer las condiciones del teorema de equivalencia el tamantildeo entre los veacutertices del icosaedro

deberaacute ser menor que λ2 Noacutetese que en un caso real las distribuciones de corrientes no pueden

variar tan raacutepidamente y por tanto este ejemplo teoacuterico estaacute peor condicionado para la

discretizacioacuten que cualquier caso real

Figura 2-17 Geometriacutea del problema de corrientes interiores a una esfera discretizada por un icosaedro

Si la distribucioacuten de campos generada por cada componente superficial de corriente en cada veacutertice

del icosaedro no puede determinarse mediante combinacioacuten lineal de las restantes es entonces

evidente que la dimensioacuten del espacio E generado por las fuentes superficiales sobre los veacutertices del

icosaedro seraacute 4 x 12 = 48 Cuando la distancia entre los veacutertices sea eleacutectricamente demasiado

pequentildea los campos que generan las corrientes en los veacutertices dejaraacuten de ser independientes y

entonces la dimensioacuten del espacio E seraacute menor que 48

De acuerdo al teorema de muestreo expuesto la distancia entre los dipolos de Hertz debe ser

λ(2χ) donde χ corresponde con el exceso de ancho de banda necesario para dar cuenta de los

modos evanescentes El teorema de equivalencia nos asegura que si una distribucioacuten superficial de

Jϕ Mϕ

Jθ Mθ

z

x y

a


corrientes verifica por ejemplo las relaciones del equivalente de Love (2-24) entonces el campo

electromagneacutetico generado por tal distribucioacuten seraacute ideacutentico en todo el hemiespacio exterior Y si

esta distribucioacuten (de campos o corrientes sobre la superficie que engloba las fuentes) estaacute limitada

espacialmente en banda entonces es muestreable

Supondremos que la distancia entre los veacutertices del icosaedro es constante e igual a 5 cm La esfera

que lo circunscribe seraacute de un poco menos de 10 cm de diaacutemetro (95106 cm) Y escalaremos su

tamantildeo eleacutectrico mediante la variacioacuten de el nuacutemero de onda β (o lo que es lo mismo mediante la

variacioacuten de λ) Es obvio que si muestreamos a λ2 perderemos todas las componentes

evanescentes sobre la superficie esfeacuterica y en consecuencia habraacute una cierta discrepancia entre los

campos generados por las corrientes Ji y los representados en el espacio E generado a su vez por las

corrientes sobre los veacutertices del icosaedro Consideraremos dos distribuciones interiores a una

esfera que circunscribe el icosaedro a) una constituida por una decena de dipolos de Hertz de

posicioacuten rirsquo con corrientes reales Ji b) otra correspondiente a una distribucioacuten continua de

corrientes sobre una esfera de 3 cm de diaacutemetro

a) Para la distribucioacuten discontinua de corrientes cuyos resultados se muestran a continuacioacuten la posicioacuten

de cada dipolo de Herz y su intensidad de corriente vienen dados por

r rsquo= (0 0 0) (04 0 0) (-03 0 02) (0 03 0) (0 -04 0)

(0 0 03) (0 0 -03) (02 02 02) (-02 -02-02) (02 -01 02)

J = (1 1 0) (1 0 1) (0 2 1) (0 -1 -2) (1 0 1)

(2 0 -1) (0 0 2) (0 3 1) (1 -2 2) (-1 1 -1)

b) La distribucioacuten continua de corrientes se ha simulado por medio de la discretizacioacuten en 80 puntos de la

esfera de 3 cm de diametro siendo la funcioacuten de distribucioacuten de corriente

J=[sin(2πsdot5x0015) sin(2πsdoty0015) sin(2πsdot25sdotz0015)] (x y z) isin Esfera(empty=003)

2511 Formulacioacuten del problema

En ambos casos a partir de la distribucioacuten interior de corrientes se determinan los campos

tangenciales sobre un dominio esfeacuterico de observacioacuten (ver figura 2-18) usando la formulacioacuten

directa descrita en sect231 sect233 y sect244 Seguacuten las expresiones (2-28) (2-42) y (2-90)

56 Capiacutetulo II

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

zJzyJzxJz

zJyyJyxJy

zJxyJxxJx

MM

MMMMMJ

zyxJ

zN

z

yN

y

xN

x

zJyJxJ

zJyJxJ

M

M

GGG

GGG

GGG

J

JJ

JJ

J

GGG

GGG

E

EE

E

0cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

donde

11

11111

interior

interior

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕϕ

θθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

MM

MMM

M

M

M

M

M

T

T J

(2-99)

donde GJ estaacute definido en (2-28)

Por otra parte el espacio E generado por las fuentes superficiales sobre los veacutertices del icosaedro

se determina por medio de otro operador lineal Ticosaedro que se define a partir de las expresiones (2-

28) (2-32) (2-37) (2-42) y (2-90)

[ ][ ][ ][ ]

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

primeminus

primeminus

primeprime

primeprime

sdot

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime



0

0

sin

sincos

cos

sincos

sincossin

sin

coscos

coscos

cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

1

111

111

11

11111

tetraedro1

1

T

N

T

N

T

NN

T

N

T

NN

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

MM

MMMMM

MMJJ

MMJJ

M

M

GGG

GGG

GGG

GG

GG

MMJJ

GGGG

GGGG

E

EE

E

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕθ

ϕθϕ

ϕ

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕθϕ

ϕθθθ

ϕθ

θ

θ

κ

θ

ϕϕθϕϕϕθϕ

ϕθθθϕθθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

M

MM

MM

MM

MMM

M

M

fT

En definitiva

sdotsdotexistrArr

sdot

sdot

=

tetrint

tetraedro

interior

min ϕθϕθ

ϕθϕ

θfTTf

fT

T

f zyxJ

zyxJ

dEE

J

J

Asiacute una vez determinado el campo de las corrientes interiores sobre el dominio de observacioacuten

esfeacuterico eacuteste se proyecta sobre el espacio E generado por las fuentes sobre el icosaedro que puede

interpretarse como la determinacioacuten de las coordenadas J M es decir el valor de corrientes que

mejor aproxima en E la distribucioacuten de campo debida a las corrientes interiores A partir de esas

(2-100)

(2-101)


fuentes sobre el icosaedro se determina el campo sobre un dominio circular a mayor distancia sobre

el plano θ =π2

Figura 2-18 Dominios de observacioacuten de los campos generados por las corrientes interiores al icosaedro

2512 Distribucioacuten discontinua de corrientes interiores

Como deciacuteamos la separacioacuten en λ2 entre los veacutertices del icosaedro no puede dar cuenta de los

modos evanescentes sobre la superficie que discretiza y por tanto en este caso se acusaraacute una

cierta distancia entre la distribucioacuten de campo debido a las corrientes interiores y su proyeccioacuten

sobre E Seguacuten el teorema de muestreo es menester tomar muestras cada λ(2χ) donde χ es el

factor de exceso de ancho de banda de la distribucioacuten de corrientes superficiales respecto al nuacutemero

de onda Como es de esperar ndashseguacuten puede verse en la tabla 21ndash el error decrece siguiendo una ley

exponencial (sect243) pero llega un momento en el cual los vectores que definen el espacio E dejan

de ser independientes A partir de este punto podemos considerar que el espacio E es completo

respecto a las distribuciones de campo debidas a las corrientes interiores Esto ocurre cuando χgt6

χ 1 15 2 3 4 5 6 7 ε () 8 27 12 04 02 016 01 008

Tabla 2-1 Evolucioacuten del error de proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda de la distribucioacuten de

corrientes superficiales

Las figuras 2-20 a 2-24 muestran los resultados de la proyeccioacuten para los 4 primeros casos de la

tabla Aunque estos resultados corresponden a la proyeccioacuten de la distribucioacuten de corrientes arriba

descrita la modificacioacuten de las corrientes o en general el uso de otras relaciones de distribuciones

interiores deparan resultados similares especialmente respecto al error de proyeccioacuten y con

independencia del nuacutemero de fuentes interiores La figura 2-19 representa graacuteficamente la evolucioacuten

z

x y

a

Dominio de observacioacuten esfeacuterico

Dominio circular de

observacioacuten

ϕ

Eϕ

Eθ

58 Capiacutetulo II

del error de proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda en la distribucioacuten superficial de

corrientes

Figura 2-19 Evolucioacuten del error de proyeccioacuten () respecto al exceso de ancho de banda χ

Figura 2-20 Distancia entre veacutertices del icosaedro λ2 (λ=01 m χ=1) Distribucioacuten discontinua de

corrientes En azul campos generados por las corrientes interiores en rojo proyeccioacuten sobre

E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten esfeacuterico (de radio 10 λ) 8




E Error de aproximacioacuten sobre todo el dominio de observacioacuten (de radio 10 λ) 27




60 Capiacutetulo II








Para el caso en el que la distancia entre los veacutertices del icosaedro es λ6 (χ=3) las fuentes

equivalentes a la proyeccioacuten del campo observado sobre el espacio E son

|Jθi| faseJθi |Jϕi| faseJϕi |Mθi| faseMθi |Mϕi| faseMϕi 02854 1514084 02622 354673 5122 -41051 2843 1581056 02387 551468 04136 124194 1656 -121080 1837 1420822 01785 1292902 02812 -1661806 1833 278639 2018 1563744 05568 189388 03783 -193341 8534 1736861 1844 1731480 02174 1711978 01955 -1437597 2055 -102752 0296 1078093 01545 -1567106 01267 1156684 3337 -207290 4553 1671279 05129 06790 01652 -33185 2819 78062 0877 03273 14516 51981 02569 -248274 3562 1644472 2763 10300 04628 445945 04869 29460 3588 1708250 5803 64004 00802 1789812 01886 793212 5793 -69263 7213 93034 04806 -61400 03054 186601 1516 -1421747 9402 33982 03095 -1179710 03087 -1710026 0460 -801502 2929 -147413

Tabla 22

Para comparar la contribucioacuten que supone cada conjunto de corrientes puede determinarse la

energiacutea de cada distribucioacuten escalando las corrientes eleacutectricas o las magneacuteticas mediante la

impedancia intriacutenseca del vaciacuteo Asiacute se observa que la energiacutea asociada a cada una de las

distribuciones es

EJθ = 702 EJϕ = 390 EMθ = 1379 EMϕ = 2244

Como puede apreciarse el peso de las corrientes magneacuteticas es mayor que el de las eleacutectricas De

hecho cuando el tamantildeo de la fuente es eleacutectricamente mayor la teoriacutea de imaacutegenes es aplicable y

entonces es suficiente ndashcomo se veraacute en el ejemplo siguientendash el recurso exclusivo a las corrientes

magneacuteticas para la generacioacuten del espacio E

2513 Distribucioacuten continua (esfeacuterica) de corrientes interiores

Finalmente en la figura 2-25 se recogen los resultados de la distribucioacuten continua de corrientes

sobre la esfera de 3 cm diaacutemetro y cuya funcioacuten de distribucioacuten de corrientes se describioacute

anteriormente De nuevo se observan unos resultados acordes con la dependencia del error de

proyeccioacuten respecto al exceso de ancho de banda de la tabla 2-1 (figura 2-24)

62 Capiacutetulo II

Figura 2-25 Distribucioacuten continua de corrientes sobre una esfera de 3 cm de diaacutemetro Distancia entre

veacutertices del icosaedro λ4 (χ=2) Error de proyeccioacuten sobre el dominio de observacioacuten

esfeacuterico (de radio 15 λ) 1

252 Campo radiado por una antena de agrupacioacuten de dipolos

Para este ejemplo vamos a considerar un tipo concreto de antena utilizada en los sistemas de Radar

Secundario (Secondary Surveillance Radar SSR) [27 28] cuya geometriacutea y dimensiones estaacuten

representadas en la figura 2-26 Desde esta antena se emiten pulsos a 1030 MHz con una duracioacuten

de aproximadamente un microsegundo y que por tanto su ancho de banda es lo suficientemente

pequentildeo como para considerar que la radiacioacuten es monocromaacutetica La antena consiste baacutesicamente

en una agrupacioacuten de 10x33 dipolos verticales que se ordenan en 33 columnas cuyas caracteriacutesticas

geomeacutetricas y eleacutectricas son ideacutenticas La alimentacioacuten de la antena se realiza mediante una red que

distribuye a cada columna una determinada intensidad de corriente seguida de otra red de

distribucioacuten perteneciente a cada columna e ideacutentica a la de las otras columnas que hace llegar la

intensidad deseada a cada dipolo Por tanto la distribucioacuten de corrientes es separable es decir la

corriente de un dipolo cualquiera [ i j ] puede determinarse como el producto de dos distribuciones

discretas

][][][ jfifjiI columnafila sdot= (2-102)

Con lo cual todas las filas o todas las columnas entre si tienen una misma relacioacuten de excitaciones

como puede observarse en la figura 2-26b Esto tiene como consecuencia que la observacioacuten del

campo sobre un dominio horizontal experimente variaciones debidas casi exclusivamente al


diagrama horizontal de excitaciones y en los dominios verticales a la distribucioacuten vertical de

corrientes

Figura 2-26 Geometriacutea y diagrama de excitacioacuten con fase constante de los dipolos de la antena SSR


Puesto que se conoce la distribucioacuten de corrientes en el sistema radiante puede recurrirse a la

formulacioacuten directa basada en corrientes reales sect231 y a partir de eacutesta determinar los campos sobre

los dominios de intereacutes Seguacuten se justificoacute en sect242 una buena aproximacioacuten del problema real

consiste en considerar que los dipolos son puntuales lo cual nos permite reducir la formulacioacuten

integral a la formulacioacuten discreta (2-90)

1

yJ

yN

y

yJ

yJ

JJ

J

G

G

EE

sdot=

sdot

=

prime

prime

TM

η

ξ

η

ξ (2-103)

proporcionando unos resultados ideacutenticos para cualquier dominio de observacioacuten que no se

encuentre en la extricta vecindad de la antena (es decir donde prevalezca una considerable

proporcioacuten de modos evanescentes) De acuerdo con sect245 una determinada distribucioacuten de

corrientes tangenciales a una superficie plana que recubra frontalmente la antena generaraacute el mismo

campo que la conocida distribucioacuten interior Para comprobar esta identidad de distribuciones

espaciales podemos limitar nuestra observacioacuten en virtud de la separabilidad de las excitaciones

horizontal y vertical a dos dominios lineales de observacioacuten uno horizontal y otro vertical ndash

representados en la figura 2-27ndash Si en ambos dominios las distribuciones de campo son ideacutenticas

podemos concluir que lo seraacuten en cualquier dominio superficial (especialmente exterior al de los

dominios lineales de observacioacuten pero que en realidad puede extenderse interiormente hasta una

cierta distancia de la antena)

155 m8 m

a) Geometriacutea de la antena b) Diagrama de excitacioacuten de los dipolos

64 Capiacutetulo II

Figura 2-27 Dominios de observacioacuten del campo radiado por la antena de Radar Secundario

Podriacuteamos tratar de aplicar el teorema de equivalencia muestreando el campo generado por la

antena sobre la superficie plana que la recubre para despueacutes comparar sobre los dos dominios de

observacioacuten el campo engendrado por las corrientes originales y por la distribucioacuten de corrientes

equivalentes magneacuteticas que resulte de aplicar las condiciones de contorno (2-25) a las muestras

tangenciales del campo Puesto que en este caso la superfie de corrientes equivalentes es plana se

puede recurrir al equivalente conductor (2-25) que nos permite reducir las fuentes equivalentes a

solamente las magneacuteticas y mediante aplicacioacuten de la teoriacutea de imaacutegenes convertir el problema

inhomogeacuteneo con un hemiespacio conductor en su equivalente homogeacuteneo vaacutelido para todo el

hemiespacio vaciacuteo como ilustra la figura 2-28

Figura 2-28 Aplicacioacuten del principio de equivalencia y de la teoriacutea de imaacutegenes para la reduccioacuten del

problema equivalente

Para determinar el campo sobre el dominio horizontal a partir de las corrientes eleacutectricas interiores

podemos recurrir a las expresiones (2-28) (2-42) y (2-90) ndashobseacutervese que aunque el dominio

horizontal puede considerarse como un corte de un dominio ciliacutendrico en este caso la relacioacuten

entre las coordenadas cartesianas y las ciliacutendricas como se observa en la fig2-27 no es la usual pero

Ex

y

z

x

Dominio

vertical de

observacioacuten

Dominio

horizontal de

observacioacuten

ϕ Ey

Eϕ

Ey

My

Mx

MT=n x ET

JT=0

a) Problema real

ET

HT MT=n x ET

JT=n x HT

b) Teorema de equivalencia c) Equivalente conductor

MT=2(n x ET)

c) Teoriacutea de imagenes


cuya relacioacuten se obtiene inmediatamente a partir de (2-41) mediante un simple intercambio de las

variables cartesianas

sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

prime

prime

prime

yJy

yJx

yJz

MMJyJ

yN

y

yJy

yJ

yM

y

M

G

G

G

I

JJ

J

G

G

E

EE

E

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MMM

M

M

TT

(2-104)

Donde GJ estaacute definido en (2-28) A partir de las corrientes equivalentes magneacuteticas el campo que

eacutestas generan sobre el mismo dominio podraacute determinarse mediante

sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

primeprime

prime

prime

0

0

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

1

xMy

yMx

yMzxMz

MMMyM

yN

y

xN

x

yMy

yM

yM

y

M

G

G

GG

I

J

M

M

M

M

G

G

E

EE

E

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MM

M

M

M

M

TT

(2-105)

Donde GM estaacute definido en (2-32)

2522 Muestreo del campo muy proacuteximo a la antena

Los campos eleacutectricos tangenciales generados por la distribucioacuten de dipolos de Herz en la misma

posicioacuten que los dipolos reales sobre un plano muy proacuteximo a la antena (a 1cm cong λ30) se ilustran

en las figuras 2-29 a 2-31 Debido al alto contenido de modos evanescentes la frecuencia espacial

de estos campos es considerablemente elevada y asiacute un muestreo a cualquier frecuencia practicable

estaraacute afectado por el solapamiento de las frecuencias superiores a la mitad de la de muestreo

(aliasing) Esto tiene como consecuencia que parte de la energiacutea de la distribucioacuten quedaraacute perdida y

otra falseada por la contaminacioacuten de las altas frecuencias En estas figuras puede observarse este

fenoacutemeno a medida que aumenta la frecuencia de muestreo horizontal y vertical (χh representa el

aumento de frecuencia de muestreo horizontal respecto a λ2 y χv el aumento correspondiente a la

frecuencia de muestreo vertical) Seguacuten se aumenta la frecuencia de muestreo se observa que van

apareciendo especialmente en el campo horizontal nuevas componentes antes invisibles de tal

forma que inclusive la distribucioacuten espacial y cantidad de energiacutea van variando apreciablemente No

obstante seguacuten se observoacute en sect243 los modos evanescentes decaen raacutepidamente y en

consecuencia puede preverse una disminucioacuten importante del contenido frecuencial si nos

distanciamos por ejemplo λ2 La figura 2-32 presenta los resultados de muestrear el campo

tangencial aproximadamente a esa distancia y como puede observarse en relacioacuten a 2-31 el

contenido frecuencial ha disminuido considerablemente

66 Capiacutetulo II

Figura 2-29 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR

obtenidos mediante muestreo con χh=1rsquo195 χv=1rsquo916 (95 x 29 puntos)






Figura 2-32 Campos eleacutectricos tangenciales sobre la superficie que recubre frontalmente la antena SSR y

distanciada λ2 obtenidos mediante muestreo con χh=4rsquo78 χv=7rsquo66 (377 x 113 puntos) Puede

apreciarse respecto a los campos a 1cm (de la figura 2-31) una disminucioacuten de las altas

frecuencias espaciales

Si a partir de estas distribuciones de campo aplicamos las condiciones de contorno para determinar

una distribucioacuten discreta de corrientes equivalentes y con eacutestas determinamos las distribuciones de

campo que generan en los dominios de observacioacuten antes citados se obtienen los resultados de las

figuras 2-33 y 2-34 En estas figuras se comparan las distribuciones de campo que proceden tanto

de las corrientes interiores (azul) como de las equivalentes (rojo) En cuanto al campo vertical soacutelo

68 Capiacutetulo II

debido a las corrientes magneacuteticas horizontales (y asiacute al campo eleacutectrico vertical sobre el plano de

corrientes equivalentes) puede apreciarse un considerable parecido que solamente se desviacutea de la

distribucioacuten original cuando la antena empieza a verse de canto Sin embargo el campo horizontal

debido en buena medida a las corrientes magneacuteticas verticales sufre una notable diferencia que se

mantiene incluso cuando se aumenta la frecuencia espacial Debe tenerse en cuenta que las

frecuencias de muestreo se han elegido de tal manera que las muestras coincidan frontalmente con

los dipolos reales (las frecuencias de muestreo superiores son el doble y el cuaacutedruple de la

frecuencia primera) por esta razoacuten incluso a la frecuencia de muestreo maacutes baja se obtiene una

buena aproximacioacuten de la componente horizontal de las corrientes magneacuteticas que es en definitiva

la que tiene un mayor efecto en los campos radiados cosa que no ocurre con la componente

vertical Asiacute la diferencia entre las figuras 2-33 y 2-34 no es muy notable en lo que respecta a su

parecido con la verdadera distribucioacuten de campo ya que en ambos casos el efecto del aliasing es

muy importante y falsea la verdadera distribucioacuten de corrientes tangenciales (para las corrientes

magneacuteticas correspondientes al muestreo de las figuras 2-31 y 2-32 se obtienen resultados que aun

siendo diferentes al igual que los de las figuras 2-33 y 2-34 no consiguen aproximar adecuadamente

el campo horizontal) En suma si no fuera por la evidencia analiacutetica del teorema de equivalencia y

porque ademaacutes puede verificarse con numerosos ejemplos podriacuteamos ponerlo en duda a tenor de

estos resultados que no obstante se explican ndashcomo se ha hechondash desde el punto de vista de las

frecuencias espaciales y de sus consecuencias en el muestreo

Figura 2-33 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m engendrado por la antena SSR

(azul) y por las corrientes equivalentes (rojo) obtenidas mediante muestreo con χh=1rsquo195

χv=1rsquo916




χv=3rsquo832

2523 Proyeccioacuten sobre el espacio E

Las diferencias antes observadas que de hecho ya se habiacutean anunciado desde un punto de vista

teoacuterico en sect242 no debiera invalidar la conclusioacuten alcanzada en sect245 seguacuten la cual una

agrupacioacuten de dipolos de Herz homogeacuteneamente distribuidos a distancias λ2χ sobre una

superficie que recubra las fuentes puede engendrar todas las posibles distribuciones de campo

debidas a cualquier agrupacioacuten interior de corrientes Si esto es cierto entonces debiera poderse

encontrar proyecciones adecuadas de las distribuciones de campo generadas por la antena SSR

sobre el espacio E engendrado por los mencionados dipolos hercianos que en nuestro caso ndashver

figura 2-28ndash se reduce a dipolos de corrientes magneacuteticas con componentes horizontal y vertical

Seguacuten el teorema de muestreo si distribuimos los dipolos equivalentes a distancias superiores a λ2

el campo que estos generan no puede dar cuenta de todas las distribuciones debidas a las corrientes

interiores Este es el caso de hacer coincidir los dipolos equivalentes justo en frente de los dipolos

reales (que corresponde a un submuestreo horizontal de 0rsquo6 y aproximadamente un muestreo

vertical a λ2 χv =0rsquo958) A tenor de la separabilidad de las excitaciones horizontal y vertical se

pueden buscar de forma separada las distribuciones horizontal y vertical de corrientes por medio de

la proyeccioacuten del campo radiado sobre el dominio de observacioacuten horizontal y vertical

respectivamente Para el caso en el que la separacioacuten horizontal sea igual que la de los dipolos de la

antena el teorema de muestreo nos augura una considerable diferencia entre la distribucioacuten

horizontal de campo original y la proyectada sobre el espacio E correspondiente Mientras que si

puede esperarse una buena aproximacioacuten en la distribucioacuten vertical del campo Las figuras 2-35 y 2-

36 corroboran estas dos previsiones No obstante la distribucioacuten de corrientes magneacuteticas sobre la

70 Capiacutetulo II

retiacutecula rectangular correspondiente a la proyeccioacuten de las distribuciones de campo horizontal y

vertical sobre el espacio E ndashrepresentada en la figura 2-37ndash presenta un considerable parecido con

la verdadera distribucioacuten de corrientes de la figura 2-26b Puede observarse donde termina la antena

y en caso de que nuestro intereacutes residiera en buscar fallos en alguno de sus elementos podriacutean llegar

a detectarse


(azul) y por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con la

misma separacioacuten que los dipolos de la antena (h=0rsquo5975) Error cuadraacutetico medio para

Ey=6rsquo7 para Ex=10rsquo7

Figura 2-36 Comparacioacuten del campo observado verticalmente a 30 m generado por la antena (azul) y por

las corrientes magneacuteticas de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con la misma


separacioacuten que los dipolos de la antena (χv=0rsquo958) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo74

para Ex =11rsquo5

Figura 2-37 Corrientes magneacuteticas correspondientes a la proyeccioacuten de las distribuciones horizontal y

vertical de los campos eleacutectricos generados por la antena sobre el espacio E (generado por una

retiacutecula plana de 38x14 dipolos de Hertz con la misma separacioacuten que los dipolos de la antena

χh=0rsquo5975 χv=0rsquo958)

Si aumentamos la frecuencia de muestreo el error va disminuyendo especialmente cuando se

sobrepasa la frecuencia en que la separacioacuten entre muestras es λ2 y al igual que ocurriacutea en el

ejemplo del icosaedro se alcanza un umbral a partir del cual los vectores que definen el espacio E

dejan de ser independientes Cuando el factor de sobremuestreo horizontal es 1rsquo1 se llega a una

excelente aproximacioacuten en la distribucioacuten horizontal del campo como puede contemplarse en la

figura 2-38 Para la distribucioacuten vertical se alcanza un buen resultado cuando el sobremuestreo es

1rsquo5 seguacuten se observa en la figura 2-39 La dependencia del error de proyeccioacuten con respecto al

factor de sobremuestreo se ha recogido en la figura 2-40 En la evolucioacuten del error sobre el

dominio horizontal se observa un primer decrecimiento raacutepido hasta el punto en el que la posicioacuten

de los dipolos equivalentes y reales coincide despueacutes se estabiliza y cuando se supera el umbral de

la separacioacuten a λ2 se observa un importante declive que se prolonga hasta que se alcanza el liacutemite

de los errores numeacutericos A partir de aquiacute el operador de proyeccioacuten tiende a hacerse singular y para

χ gt118 ya no puede asegurarse la independencia de los vectores Ψ de E Para el dominio

vertical ocurre algo semejante pero la aproximada coincidencia del punto de inflexioacuten en λ2 con el

caso en el que la posicioacuten de los dipolos equivalentes y reales se iguala puede confundir estas dos

tendencias En un principio se experimenta una reduccioacuten del error hasta que se alcanza el caso de

la coincidencia espacial que de hecho corresponde con un miacutenimo local y despueacutes de superar el

muestreo a λ2 se experimenta nuevamente una reduccioacuten que se prolonga (con menor pendiente

que en el caso horizontal) hasta alcanzar el liacutemite de los errores numeacutericos La dependencia de los

errores sobre las componentes horizontales del campo tiene el mismo cariz aunque inevitablemente

se topa antes con los errores numeacutericos ya que su energiacutea con respecto al campo horizontal es

varios ordenes de magnitud inferior

72 Capiacutetulo II

Figura 2-38 Comparacioacuten del campo observado horizontalmente a 30 m generado por la antena SSR (azul)

y por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con

separacioacuten horizontal λ2χh (χh=1rsquo1) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo019 para Eϕ

=0rsquo22

Figura 2-39 Comparacioacuten del campo observado verticalmente a 30 m generado por la antena SSR (azul) y

por las corrientes equivalentes de los dipolos de Hertz (rojo) sobre una retiacutecula con separacioacuten

vertical λ2χv (χv=1rsquo5) Error cuadraacutetico medio para Ey =0rsquo0164 para Ex =0rsquo46


Figura 2-40 Dependencia del error de proyeccioacuten con respecto al factor de sobremuestreo (azul para la

componente horizontal Mx verde para la componente vertical My)

Las distribuciones de corriente magneacutetica correspondientes a la proyeccioacuten del campo radiado por

la antena sobre el espacio E para una retiacutecula con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958 pueden observarse en la

figura 2-40 y para una retiacutecula con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958 en la figura 2-41 En ambos casos puede

intuirse la posicioacuten horizontal de los dipolos reales y soacutelo en el primero la distribucioacuten vertical de

excitaciones (no su posicioacuten ya que esto requeririacutea una precisioacuten de entorno a λ4 y para tal

separacioacuten los campos generados por los correspondientes dipolos de Hertz no son

independientes) Aunque en la figura 2-41 no pueda distinguirse la distribucioacuten vertical de

excitaciones debe sentildealarse que la posicioacuten de los dipolos equivalentes y reales no coincide en

ninguacuten caso y solamente dos se encuentran a una relativa proximidad



retiacutecula plana de 70 x 14 dipolos de Hertz con χh=1rsquo1 χv=0rsquo958) En las figuras 2-38 y 2-36 se

representan las distribuciones de campo debidas a este conjunto de corrientes sobre los

dominios horizontal y vertical respectivamente

a) Distribucioacuten horizontal a) Distribucioacuten vertical

74 Capiacutetulo II






2524 Sobre la frecuencia espacial

En lo que respecta al ancho de banda de la distribucioacuten del campo eleacutectrico sobre el dominio de

medida el teorema 3 de muestreo (sect241) nos asegura que la miacutenima distancia entre intensidades de

campo independientes y observadas a una distancia d de las fuentes es λd2aχ donde ahora χ

dependeraacute de los modos evanescentes en el dominio de observacioacuten y del exceso de muestreo sobre

la superficie que recubra las fuentes Asiacute en caso de prescindir por completo de los modos

evanescentes sobre el dominio de observacioacuten (cosa que de hecho estaacute justificada a nuestra

distancia de observacioacuten 100λ seguacuten los resultados de la figura 2-9a) para el dominio horizontal χ

habraacute de ser 1rsquo1 y para el dominio vertical 1rsquo5 Por tanto la distancia angular a la que deben

separarse en un muestreo oacuteptimo las muestras horizontales seraacute ndashusando 275ndash

deg==sdot

===∆

deg==sdot

===∆

947 rad13805141

2913022

8961 rad016550118

2913022)2sin(

vv

hh

aarr

aarr

χλ

χλθ

χλ

χπλϕ

Con lo cual puesto que el rango angular de observacioacuten es 180deg se requeriraacuten horizontalmente 96

puntos y verticalmente 24

Cuando se muestrea al doble de estos requerimientos se obtienen los resultados recogidos en las

figuras 2-38 2-39 y 2-42 Usando exclusivamente el citado nuacutemero de muestras miacutenimas se obtiene

una distribucioacuten de corrientes que es praacutecticamente ideacutentica a la de la figura 2-42 con un ligero


aumento en los valores maacuteximos de las corrientes verticales que son las maacutes expuestas a los errores

numeacutericos como se justificoacute anteriormente Si llamamos error cuadraacutetico medio al de la

aproximacioacuten con respecto a la distribucioacuten de corrientes de la figura 2-42 (normalizando ambas a

sus respectivos valores maacuteximos) se obtiene para el muestreo citado un error en las corrientes

horizontales de 0rsquo03 y 0rsquo01 para las verticales Cuando se reduce la frecuencia de muestreo en un

10 entonces el error asciende a 0rsquo1 para las corrientes horizontales y a 1rsquo2 para las verticales

observaacutendose ahora ndashen la figura 2-43ndash una notable diferencia cualitativa en la distribucioacuten de

corrientes Submuestreando al 18 el error pasa a ser 06 y 0rsquo7 respectivamente siendo ahora

radical la disparidad cualitativa en las distribuciones espaciales (figura 2-44) Esta draacutestica variacioacuten

del error en el entorno del mencionado muestreo corrobora la existencia de un muestreo oacuteptimo

Figura 2-43 Distribucioacuten de corrientes sobre la misma retiacutecula de dipolos equivalentes de la figura 2-42

pero obtenidas mediante un submuestreo al 10 del campo observado

76 Capiacutetulo II



26 SUMARIO

Recapitulemos antes de empezar el camino de vuelta el itinerario seguido desde el planteamiento

del problema hasta el punto al que hemos llegado Primeramente acotamos nuestro problema al de

un conjunto de fuentes monocromaacuteticas circunscritas por una cierta superficie y rodeadas de un

espacio homogeacuteneo (sect21)

Utilizando las leyes de Maxwell (sect21) se llegoacute primero a las ecuaciones vectoriales de Helmholtz que deben

satisfacer los campos en el hemiespacio exterior a las fuentes y una vez definidos los potenciales

vectores(sect211) se alcanzaron las ecuaciones de DrsquoAlambert aplicables a todo el espacio incluidas las

fuentes Desde aquiacute se pudo derivar la solucioacuten general externa e interna en teacuterminos de las

funciones de Green

De acuerdo con el teorema de unicidad (sect22) se recordoacute que el campo exterior a una superficie cerrada

es uacutenico si sobre eacutesta se especifica alguno de los campos eleacutectrico o magneacutetico tangenciales y que

en teacuterminos del teorema de equivalencia se traduce a que una distribucioacuten superficial de corrientes

sobre una superficie cerrada genera un campo electromagneacutetico uacutenico en su exterior La conjuncioacuten

de estos teoremas reduce el problema electromagneacutetico en apariencia tridimensional ndashde las

corrientes distribuidas en un volumen y del campo en cualquier punto del espacio exteriorndash a un

problema en esencia bidimensional ndashdistribucioacuten superficial de corrientes y camposndash Esta

consecuencia se hizo notar al introducir la relacioacuten entre las transformadas de Fourier del campo la

funcioacuten de Green y las fuentes unida a la restriccioacuten sobre las frecuencias espaciales impuesta por la

ecuacioacuten de Helmholtz


A continuacioacuten (sect23) se particularizoacute la expresioacuten general para el caso de corrientes reales

ndasheleacutectricasndash (sect231) y para el de corrientes equivalentes magneacuteticas (sect232) que despueacutes se integroacute

en una formulacioacuten compacta para cualquier tipo de fuentes electromagneacuteticas (sect233) Se

especificoacute la solucioacuten sobre geometriacuteas canoacutenicas (sect234) y se generalizoacute para cualquier eleccioacuten de

coordenadas curviliacuteneas

Se revisaron las formulaciones modales (sect236) y se proboacute el isomorfismo sobre el hemiespacio

homogeacuteneo de eacutestas con la formulacioacuten en teacuterminos de fuentes electromagneacuteticas para lo que se

encontraron operadores de proyeccioacuten

Finalmente se discretizoacute el problema electromagneacutetico (sect24) en principio continuo y se demostroacute

que su dimensioacuten es finita y determinable (sect241) dependiendo exclusivamente del aacuterea de la

superficie que engloba las fuentes y de la frecuencia A partir de este resultado se establecieron las

distancias entre valores ortogonales tanto del campo sobre cualquier dominio de observacioacuten como

de las fuentes sobre la superficie que las engloba Se proboacute que una distribucioacuten superficial de

corrientes cualquiera puede representarse por medio de una agrupacioacuten de dipolos de Hertz

debidamente distribuidos (sect242) La distancia entre valores ortogonales del campo se matizoacute para

tener en cuenta las ondas evanescentes (sect243) en teacuterminos del ancho de banda observable sobre un

determinado dominio precisaacutendose eacuteste para un error de truncamiento tan pequentildeo como se desee

Finalmente se formuloacute el problema electromagneacutetico discretizado (sect244) en teacuterminos de un

conjunto finito de funciones de campo que a su vez constituyen una base generadora de todos los

campos electromagneacuteticos radiados por cualquier distribucioacuten de corrientes superficial o interior a

una superficie dada

III PROBLEMA ELECTRO-

MAGNEacuteTICO INVERSO

ldquoEl camino

hacia arriba

y el camino

hacia abajo

es uno y el

mismordquo

Heraacuteklitos

de Efesos

ldquoόδός άνω καί κάτο

microία καί ώυτήrdquo

Problema electromagneacutetico inverso 81

31 INTRODUCCIOacuteN

Una vez recorrido con detalle el camino que va desde las fuentes hasta el campo electromagneacutetico

sobre un dominio arbitrario de observacioacuten nos encontramos en mejores condiciones para

emprender el camino de vuelta Es decir conociendo el campo descubrir las fuentes que lo

ocasionaron De hecho el uacuteltimo de nuestros pasos en la resolucioacuten del problema directo es de

capital importancia para nuestro regreso el campo eleacutectrico sobre el dominio de intereacutes D quedoacute

expresado en teacuterminos de un espacio vectorial E sobre un cuerpo de nuacutemeros complejos

directamente vinculado con las fuentes (sect245) Si se define una base adecuada Ψ entonces las

coordenadas sobre dicho espacio constituyen las intensidades de corriente sobre la superficie de las

fuentes Aunque en realidad la distribucioacuten de corrientes que se obtendriacutea de esta manera seriacutea

discreta en virtud de la limitacioacuten espectral de dicha distribucioacuten (sect241) y de acuerdo al teorema

de muestreo podriacutea interpolarse a partir de eacutesta una distribucioacuten continua (sect242) En tales

teacuterminos el problema inverso parece trivial incluso en presencia de ruido Supongamos que nuestro

conocimiento del campo sobre el dominio de observacioacuten procede de medidas Es evidente que

junto con el propio campo apareceraacute inevitablemente una cierta cantidad de ruido que podemos

intentar reducirla pero nunca eliminarla Esta componente estocaacutestica no perteneceraacute al espacio

vectorial de distribuciones de campo vaacutelidas sobre el dominio de medida de modo que al antildeadirse

al campo radiado desde las fuentes que por definicioacuten pertenece al espacio E haraacute que la

distribucioacuten medida quede ahora estrictamente fuera de dicho espacio No obstante extendiendo la

meacutetrica del espacio E (2-81 y 2-82) a las distribuciones medidas podemos hablar de distancias entre

distribuciones de campo pertenezcan o no a tal espacio Esta distancia nos permitiraacute encontrar una

proyeccioacuten oacuteptima de acuerdo a una meacutetrica elegida (si la distancia es una forma cuadraacutetica

entonces esta proyeccioacuten seraacute miacutenimo cuadraacutetica y el error podremos referirlo en teacuterminos de una

cierta potencia de ruido)

Pero el problema puede aun complicarse maacutes cuando las frecuencias son altas la determinacioacuten de

la fase del campo se hace progresivamente maacutes difiacutecil y en general en muchos casos topamos con

la limitacioacuten tecnoloacutegica o praacutectica de soacutelo poder conocer el moacutedulo del campo Esta limitacioacuten es mucho

maacutes severa que la del ruido ya que extendiendo nuevamente la meacutetrica de E a la distribucioacuten

medida la distancia de eacutesta a cualquier elemento de E es considerablemente mayor No obstante

existen ciertas caracteriacutesticas analiacuteticas de las distribuciones de campo que pueden facilitarnos la

recuperacioacuten de la informacioacuten de fase En general para eliminar las posibles incertidumbres ndash

como demostroacute Hoenders en 1975 [65]ndash nos es menester saber algo maacutes acerca de las fuentes o

recabar informacioacuten sobre varias superficies

En algunas ocasiones podraacute tambieacuten ocurrir que sobre todo el dominio de observacioacuten soacutelo se haya

medido una parte Nuevamente nos ocurre que la distribucioacuten medida y las distribuciones vaacutelidas

82 Capiacutetulo III

del espacio E se encuentran a una cierta distancia Tambieacuten en este caso podemos utilizar

informacioacuten adicional para reconstruir las distribucioacuten de campo sobre la parte del dominio en que

la desconociacuteamos

En los casos en que nos falte alguna informacioacuten sobre la distribucioacuten de campos en todo el

dominio D podremos recurrir a procedimientos iterativos [143] en los que se utilice de forma secuencial

la informacioacuten que se conozca acerca de las fuentes y de la distribucioacuten de campo Este proceder

nos permitiraacute encontrar las funciones de distribucioacuten que perteneciendo al espacio E mejor se

adapten a nuestro conocimiento del campo y de las fuentes Ya hemos denominado T al operador

lineal que liga las fuentes con los campos podemos representar mediante T ndash 1 a su operador

inverso Llamemos ahora RE y Rf a los operadores que imponen restricciones sobre la distribucioacuten

del campo y sobre las fuentes respectivamente De modo que En=REEn-1 cumple las condiciones

de nuestro conocimiento adicional sobre la distribucioacuten del campo (por ejemplo un determinado

ancho de banda) y fn=Rffn-1 las condiciones de nuestro conocimiento sobre las fuentes (por

ejemplo un soporte finito) Si por otra parte llamamos M al operador que sustituye sobre una

distribucioacuten de campo cualquiera la informacioacuten que se haya medido (por ejemplo el moacutedulo sobre

todo el dominio de observacioacuten el campo complejo sobre soacutelo una parte etc) entonces la

distribucioacuten En= M En-1 contiene la informacioacuten medida siendo ideacutentica a En-1 en todo aquello

de lo que no se disponga de medidas es ideacutentico a En-1 Recurriendo pues a estos operadores

(inverso de la aplicacioacuten f rarr E T ndash 1 los de aplicacioacuten de restricciones RE y Rf y el de imposicioacuten

de medidas M) la ecuacioacuten baacutesica del procedimiento iterativo tendraacute la forma

11

1 minusminus == nE-

fnn EEE MRTRTI (3-1)

Donde I simboliza el operador de iteracioacuten Obviamente el esquema iterativo deberaacute empezar

desde alguna hipoacutetesis inicial y requiere de alguacuten criterio de convergencia para que concluya como

por ejemplo que la distancia entre las distribuciones En y En-1 sea inferior a una cierto valor que

podremos tratar como error de prediccioacuten La figura 3-1 ilustra este esquema

Figura 3-1 Esquema general de proceso iterativo aplicado al problema electromagneacutetico inverso

M E k

REE k f k

R f f k E k+1T

T -1

dE k E k-1ltε

E 0

E K f K


311 Acerca del problema de soacutelo observar el campo eleacutectrico

Desde que se hizo mencioacuten del teorema de unicidad electromagneacutetico (sect22) el discurso se ha

restringido a referirnos al campo eleacutectrico Seguacuten aquel teorema soacutelo existe una solucioacuten al

problema electromagneacutetico externo al volumen de las fuentes si se conoce sobre una superficie que

las englobe el campo tangencial (ya sea eleacutectrico magneacutetico o una mezcla de ambos) Por esta razoacuten

limitamos entonces nuestra descripcioacuten a la del campo eleacutectrico Abordar la del campo magneacutetico

es directo a partir de la obtenida para el eleacutectrico habida cuenta la identidad formal de las

expresiones de ambos campos (2-22) en relacioacuten a las fuentes (aunque el papel de las corrientes

eleacutectricas y magneacuteticas esteacute cruzada) Usando dicha semejanza es faacutecil demostrar que si el campo

eleacutectrico lo describimos como

sd primeprimesdotprimeminus+primesdotprimeminus= intint )()()()( rMrrGrJrrGE βα (3-2a)

entonces el magneacutetico tendraacute la siguiente forma

sd primeprimesdotprimeminus+primesdotprimeminusminus= intint )()(1)()( 2 rMrrGrJrrGH αβ η (3-2b)

Discretizando el problema continuo que estas relaciones representan a la manera descrita en sect244

se llegariacutea a que tanto para el campo eleacutectrico como para el magneacutetico se requieren las mismas

funciones base Ψn (obtenidas a partir de la discretizacioacuten de G α y G β) Con lo cual asumiendo

que la dimensioacuten del problema electromagneacutetico sea N eacuteste seraacute el nuacutemero de funciones

elementales que necesitaremos para su descripcioacuten ya estemos hablando del campo eleacutectrico o del

magneacutetico Si a partir de dichas funciones la descripcioacuten del campo es completa (en el sentido de

que el espacio que eacutestas engendran incluye todas las posibles distribuciones de campo que pudiera

generar cualquier distribucioacuten de corrientes interior a S) entonces con soacutelo la observacioacuten del

campo eleacutectrico ndasho soacutelo la del magneacuteticondash seriacutea suficiente para poder colegir la distribucioacuten de

corrientes superficiales Pero iquestcoacutemo elegir las funciones Ψn Teniendo en cuenta la aplicabilidad

general de los principios de equivalencia y la restringida de la teoriacutea de imaacutegenes podemos

considerar tres posibilidades

1) En virtud del equivalente conductor eleacutectrico situar N dipolos elementales de Hertz de

corriente magneacutetica sobre la superficie que engloba las fuentes y aplicar a continuacioacuten la

teoriacutea de imaacutegenes Se tratariacutea por tanto de la aproximacioacuten de oacuteptica fiacutesica discretizada

2) Situar N2 dipolos elementales de Hertz que a la vez contengan corrientes eleacutectricas y

magneacuteticas con el doble de separacioacuten que en el caso anterior

3) Situar N2 dipolos elementales de Hertz de corriente eleacutectrica y N2 de corriente magneacutetica

intercaladas


La primera de las soluciones es evidente que seraacute tanto mejor cuanto mayor sea el tamantildeo eleacutectrico

del radiador De las dos uacuteltimas alternativas la maacutes juiciosa parece ser la tercera ya que cuando la

distancia de observacioacuten aumenta las distribuciones de campo de los elementos puntuales de

corriente eleacutectrica y magneacutetica tienden a igualarse (aunque su relacioacuten direccional sea cruzada como

se observaraacute en sect322) de modo que en zonas alejadas las correspondientes funciones Ψn iriacutean

hacieacutendose cada vez menos independientes (en el ejemplo del icosaedro sect251 se recurrioacute a la

solucioacuten segunda debido a su peculiaridad geomeacutetrica pero gracias a la ausencia de ruido la estricta

independencia fue alliacute suficiente para obtener resultados satisfactorios)

En lo sucesivo seguiremos refirieacutendonos fundamentalmente a la observacioacuten del campo eleacutectrico

aunque puntualmente hagamos tambieacuten alusioacuten a la del magneacutetico ndashen el problema inverso sin

fasendash No obstante de acuerdo con la mencionada identidad formal (2-22) y (3-2) la expresioacuten del

problema en teacuterminos del campo magneacutetico es directa a partir de la articulada en teacuterminos del

eleacutectrico Por otra parte puede faacutecilmente demostrarse ndashusando las formulaciones modalesndash que

para las geometriacuteas canoacutenicas existe una relacioacuten diaacutedica directa entre las distribuciones de campo

eleacutectrico y magneacutetico

312 Los problemas inversos

Al pluralizar el problema inverso pretende hacerse hincapieacute en la diferencia que plantea el disponer

de la informacioacuten completa de la distribucioacuten de campo eleacutectrico (es decir que eacutesta contenga fase y

que se extienda con suficiente nuacutemero de muestras sobre un dominio que circunscriba las fuentes)

o bien que de alguna manera la informacioacuten sea incompleta De entre los tipos de incompletitud

posible deben destacarse dos 1deg que la medida sobre el dominio D sea parcial que referiremos

como observacioacuten incompleta 2deg que carezcamos que informacioacuten de fase No obstante el estudio que

se presenta a continuacioacuten sobre el problema inverso quedaraacute dividido bajo la maacutes severa de las

condiciones contar o no con informacioacuten de fase Asiacute el problema de la observacioacuten incompleta se

abordaraacute dentro del problema con fase una vez analizado el caso de la informacioacuten completa

Tanto para el problema inverso con fase como para aquel en el que se carece de fase se comenzaraacute

estudiando la unicidad de solucioacuten para despueacutes investigar la manera de llegar a ella No obstante

mientras que en el caso con fase la prueba de unicidad es sencilla para el caso sin fase dicho estudio

ocupa una buena porcioacuten de este capiacutetulo y como el lector una vez recorrido el hilo de esas

paacuteginas podriacutea llegar a la conclusioacuten de que quizaacute lo dicho en cuarto lugar podriacutea haberse dicho

primero y en general cambiar el orden y el estilo me veo forzado a dar razoacuten de ambos El principal

motivo para ese orden se debe a que el anaacutelisis usual del problema de unicidad conduce

directamente a un callejoacuten sin salida en el que se ha permanecido durante mucho tiempo aunque

seguacuten una confusa interpretacioacuten se creyera estar fuera Este camino se ha querido recorrer ya que

de hecho se obtienen importantes consecuencias pero con intencioacuten se ha llegado hasta el


mencionado embrollo para despueacutes intentar a tenor de las soluciones praacutecticas planteadas y

usadas un nuevo enfoque que nos permita salir del atolladero1

En lo que respecta a las soluciones para el problema inverso con informacioacuten completa primero se

ha buscado la solucioacuten directa con indiferencia del coste operativo y despueacutes se ha planteado la

manera de reducir eacuteste mediante procedimientos numeacutericos considerando aparte el caso de

observacioacuten plana y de la observacioacuten lejana a tenor de su sencillez operativa y por la especificidad

de sus problemas Consideracioacuten que da paso al problema de la observacioacuten incompleta Por

uacuteltimo las soluciones al problema sin fase se han estudiado seguacuten una categorizacioacuten propia que

discierne entre meacutetodos manipuladores de la distribucioacuten de campo y meacutetodos exclusivamente

observadores Intentando integrar la mayor parte de los meacutetodos planteados en diversas disciplinas

dentro del marco de nuestro discurso con lo que se obtiene una perspectiva coherente que facilita

en algunos casos su criacutetica y en otros llegar a meacutetodos maacutes generales

32 PROBLEMA INVERSO CON FASE

Cuando se introdujo el espacio vectorial E (sect245) de las distribuciones de campo sobre los

dominios de observacioacuten se hizo notar que eacuteste estaba definido sobre un cuerpo de escalares

complejos es decir tanto las coordenadas sobre la base Ψn (que no es sino la distribucioacuten

discretizada de corrientes que engloba las fuentes reales) como la distribucioacuten de campos sobre el

dominio de observacioacuten se pueden entender como dos arreglos de nuacutemeros complejos En

principio seguacuten las conclusiones alcanzadas en el estudio del problema directo el espacio generado

por los dipolos de Hertz ndashde dimensioacuten finitandash si estaacuten debidamente distanciados es completo con

respecto al conjunto de distribuciones de campos debidas a cualquier conjunto interior de

corrientes ndashque es un conjunto infinito numerable de dimensioacuten infinitandash Entonces el problema

de determinar las corrientes discretizadas sobre la superficie que engloba las fuentes se reduce a

encontrar la proyeccioacuten de la distribucioacuten medida del campo complejo sobre el denominado

espacio E para lo cual la definicioacuten del producto interno ndashcomo entontes se hizo notarndash es ahora

de capital importancia Este producto nos permite introducir una norma y una distancia y si cumple

unas ciertas condiciones entonces el problema de encontrar la proyeccioacuten tiene solucioacuten uacutenica

Si al formular el problema directo teniacuteamos licencia para hablar de una distancia praacutecticamente nula

entre el campo observado y el generado por una determinada distribucioacuten de corrientes sobre los

dipolos de Hertz de la superficie S discretizada ahora al hablar de campo medido tendremos que

1 Creo que esta manera de exponer el problema que no sigue el cauce ordinario de inferencia deductiva se

encuentra maacutes proacutexima a la verdadera investigacioacuten en la que se aborda el problema desde una cierta

perspectiva despueacutes se observan los errores se ensaya una nuevo punto de vista y asiacute sucesivamente


admitir una distancia irreductible ya que estrictamente no hay manera de eliminar por completo el

ruido y eacuteste siempre presentaraacute una cierta cantidad en nuestro espacio Aquiacute de nuevo observamos

el beneficio de reducir al maacuteximo la dimensioacuten de nuestro problema directo la proyeccioacuten del ruido

seraacute tanto maacutes pequentildea Por otra parte se revela el intereacutes de tener un mayor nuacutemero de muestras

sobre el espacio de observacioacuten aumenta la distancia entre las distribuciones de campo vaacutelidas No

obstante llegaraacute un momento a partir del cual el aumento de muestras de la distribucioacuten de intereacutes

y ruidosas resultaraacute igualmente redundante aumentando por igual la energiacutea de ambas sin obtener

por tanto provecho

321 Proyeccioacuten ortogonal sobre el espacio E

Seguacuten se argumentoacute al referirnos a la descripcioacuten modal (sect236) y a las formulaciones directas en

general las posibles distribuciones de campo sobre un determinado dominio de observacioacuten

constituyen un espacio de Hilbert que podemos llamar H dentro del cual se encuentra el espacio E

que a su vez es un conjunto cerrado Eacuteste es pues un subespacio de H que aproxima de forma

oacuteptima todas las posibles distribuciones de campo generadas por cualquier conjunto de corrientes

interiores a una superficie dada S Si llamamos EO al complemento ortogonal de E entonces H =

EO oplus E y de acuerdo con el teorema de la proyeccioacuten ortogonal existiraacute una proyeccioacuten uacutenica de los

elementos de H sobre E siempre que sobre eacuteste uacuteltimo se haya definido un producto interno en

base a una forma sesquilineal hermiacutetica cuyas formas hermiacuteticas asociadas sean positivas [106

p127] Una manera de generalizar la definicioacuten del producto interno dada en (2-84) es por medio

de unos factores arbitrarios de ponderacioacuten πm que habraacuten de ser reales y positivos que

modifiquen el peso relativo ndashen la meacutetrica del espacio Endash de los campos en cada uno de los puntos

de observacioacuten

mm

M

mmmm ππππ forall+isinsdot=sdot=sdot

sdot= realisinsum

=

lowast++ con diag )(1

21212121 CEEEEEEEE (3-3)

Donde la matriz diagonal de los factores de ponderacioacuten para simplificar la notacioacuten la

representaremos en adelante por medio de la matriz π A partir de esta definicioacuten la norma

generalizada de un elemento del espacio E y la distancia entre dos de sus elementos seraacute

( )

( ) +

+

=

lowast+

realisin=

realisin

=sdotsdot== sum

- d

2121

21

111

21

21

EEEE

EEEEEEEM

mmmmππ

(3-4a)

(3-4b)


Gracias a la mencionada definicioacuten del producto interno la distancia entre una distribucioacuten de

campo determinada y cualquier otra es una forma hermiacutetica positiva2 que por tanto tiene un solo

miacutenimo Cuando la distribucioacuten en cuestioacuten pertenece al espacio E entonces tal miacutenimo supone

una distancia nula Sin embargo cuando el producto interno se extiende a distribuciones exteriores

al espacio E entonces el miacutenimo puede suponer una cierta separacioacuten que puede interpretarse en

teacuterminos de una distancia ortogonal al dicho espacio y que a su vez pertenece a su complemento

ortogonal EO A esa distancia existe una uacutenica distribucioacuten perteneciente al espacio E que

corresponde con la denominada proyeccioacuten ortogonal y cuya unicidad de solucioacuten depende

exclusivamente de la definicioacuten del producto interno [124 sect58 106 p127]

3211 Unicidad de solucioacuten

Llamemos Em al campo medido sobre el dominio de observacioacuten y Ef al generado por las corrientes

f sobre los dipolos de Hertz que engloban las fuentes y supongamos que la extensioacuten y

discretizacioacuten de ambos dominios sea adecuada siendo el nuacutemero de puntos del dominio de

observacioacuten M mayor o igual que el nuacutemero de dipolos de Hertz N

Teorema 1 Existe una uacutenica distribucioacuten de campo Efopt del espacio E asociada a una distribucioacuten

de corrientes f opt que presente miacutenima distancia a la distribucioacuten medida Em

Es evidente que la distancia entre la distribucioacuten de campo medida y una cualquiera del espacio E

es una funcioacuten de las fuentes f

( ) ( ) ( ) 21)(-)(-)(-)()( fffff fm

Tfmfmfmdd EEEEEEEE sdotsdot=== π (3-5)

Y la distancia cuadraacutetica seraacute una forma hermiacutetica pura

( ) ( )ffmffmmm

fmfmd

EEEEEEEE

EEEE

sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminussdotsdot=

sdotsdot=++++

+

πππππ

)(

--)(2 f

(3-6)

Considerando que Ef = T middot f Ef +

= f +middot T +

fTTfTffTf sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdot+sdotsdotsdotminussdotsdot= ++++++ ππππ )()(2mmmmd EEEE (3-7)

Llamando a

2 El equivalente sobre cuerpos de nuacutemeros reales seriacutea una forma cuadraacutetica positiva que intuitivamente

puede interpretarse como un paraboloide n-dimensional con un solo miacutenimo


=sdotsdot=rArr

isin=sdotsdot

isin=sdotsdot

realisin=sdotsdot+

+

++

+

mN

m

m

NxN

Nm

mm

bb

k

EΨ

EΨ

EE

EE

1

Mπππ

π

ζ

T

TT

T

C

C (3-8)

la distancia cuadraacutetica podraacute rescribirse como

fffff sdotsdot+sdot+sdotminus= +++ ζ)()(2 bbkd (3-9)

Obseacutervese que los elementos diagonales de la matriz ζ de (3-9) corresponden a la norma cuadraacutetica

de los vectores Ψn que forman la base del espacio E y pueden interpretarse como la energiacutea de

las distribuciones de campo sobre el dominio de medida engendradas por cada uno de los dipolos

unitarios de Hertz sobre la superficie S Mientras que los elementos no diagonales corresponden a

la correlacioacuten cruzada entre esas distribuciones Ri j ΨiΨj=ltΨiΨjgt=ltΨjΨigt lo que a su vez

hace evidente que la matriz ζ es hermiacutetica Por tanto y en virtud de que los vectores Ψn generan

un espacio de dimensioacuten N es entonces claro que la expresioacuten (3-9) es una forma hermiacutetica positiva y

en consecuencia con un uacutenico miacutenimo

En definitiva la unicidad de solucioacuten estaraacute a expensas de la no singularidad de ζ (o lo que es lo

mismo y como se veraacute maacutes adelante en (3-17) de su invertibilidad) es decir que los N vectores

Ψn formen un espacio de dimensioacuten N Para lo cual es evidente que el nuacutemero de componentes

de los vectores Ψn M (nuacutemero de muestras del dominio D) ha de ser necesariamente mayor o igual

que N Teniendo ademaacutes en cuenta los teorema 2 y 3 de muestreo (sect241) para disponer de

suficientes muestras independientes M que generen un espacio de dimensioacuten N (no superior a la

dimensioacuten esencial) seraacute ademaacutes necesario que el dominio de observacioacuten circunscriba las fuentes

que es a lo que aludiamos al principio al advertir que la extensioacuten y discretizacioacuten de ambos

dominios fuera adecuada Por tanto cumplidas estas condiciones podemos asegurar la unicidad de

solucioacuten que es lo que en un principio afirmamos

Esta caracteriacutestica de la expresioacuten (3-9) nos permite observar que el conjunto de los elementos del

espacio E definidos por una distancia a un campo medido menor o igual a un valor dado formen

un conjunto convexo [29] que (como se observa maacutes adelante en sect3213c) garantiza la unicidad de

solucioacuten en teacuterminos de minimizacioacuten de la distancia asiacute como la inexistencia de subconjuntos

localmente coacutencavos o de convexidad limitada al entorno de un miacutenimo local En virtud de esta

propiedad podraacute definirse como se haraacute maacutes adelante en sect3213c toda una familia de algoritmos

convergentes hacia la solucioacuten uacutenica


3212 Solucioacuten analiacutetica

Pero veamos cual es ese miacutenimo de la forma hermiacutetica (3-9) que corresponde con la solucioacuten uacutenica

de nuestro problema inverso Para buscarlo supongamos primero que la distribucioacuten de corrientes f

sea real despueacutes que sea imaginaria y finalmente compleja

sdotsdot+sdotminus=

sdotsdot+sdot+sdotminus=realisin

+

++

fff

ffffff

ζ

ζ

Re2

)()( si

2

T

T

M

bk

bbkd (3-10)

Im2

)()( si

2

sdotsdot+sdot+=

sdotsdot+sdotminussdotminus=imageisin

+

++

fff

ffffff

ζ

ζT

T

M

bjk

bbkd (3-11)

El miacutenimo apareceraacute alliacute donde el gradiente de las formas hermiacutetica (3-10) se anulen

Im02Im2)( si

Re02Re2)( si 12

12

minus

minus

sdot=rArr=minus+=nablaimageisin

sdot=rArr=+minus=nablarealisin

ζζ

ζζTTTTM

TTTTM

bjbjd

bbd

ffff

ffff

(3-12)

(3-13)

Teniendo en cuenta las definiciones (3-8) es evidente la igualdad general de (3-12) y (3-13) como

f = ζ ndash1middotb Y en definitiva suponiendo una distribucioacuten de fuentes complejas podemos generalizar

el resultado anterior

ImRe si 111 bbbjb TTTM sdot=rArrsdot=sdot+=isin minusminusminus ζζζ fff C (3-14)

Es decir usando (3-8) la proyeccioacuten de una medida del campo eleacutectrico complejo sobre el dominio

de observacioacuten en el espacio E

mππ Esdotsdotsdotsdot= +minus+ TTTf 1proyeccioacuten

][ (3-15)

Resultado que es equivalente al de Harrington y Mautz [111] y que generaliza al de otros autores

[37 101 110 152] siendo ademaacutes ideacutentico al que se llegariacutea definiendo el producto interno como

lowastsdotsdot= 2121 EEEE πT (3-16)

Asiacute como en sect244 definimos el operador directo T la ecuacioacuten 3-14 podemos interpretarla como

una definicioacuten del operador inverso que podemos denotarlo como Tndash 1

ππ sdotsdotsdot= +minus+minus TTTT 11 ][ˆ y asiacute mEsdot= minus1

proyeccioacutenTf (3-17)

Este es de hecho el operador de proyeccioacuten que se utilizoacute en los ejemplos del capiacutetulo 2 y que en

caso de contar con toda la informacioacuten del campo complejo sobre el dominio de observacioacuten

supone una solucioacuten completa al problema electromagneacutetico inverso cuya complejidad depende

esencialmente del nuacutemero de fuentes (o en caso de que la discretizacioacuten haya sido efectiva de la

dimensioacuten esencial del problema directo) Pues como puede observarse en 3-17 el caacutelculo del


operador directo supone la inversioacuten de la matriz ζ arriba descrita de dimensioacuten NxN ndashsiendo N el

nuacutemero de fuentesndash 3 Donde nuevamente puede verse que la unicidad de solucioacuten depende de la

invertibilidad de ζ

En el caso de que el nuacutemero de fuentes (es decir el tamantildeo eleacutectrico de S) sea muy elevado como

ocurre en los sistemas radiantes de gran tamantildeo eleacutectrico la inversioacuten del operador directo puede

significar un coste numeacuterico inabordable En tales casos es menester recurrir a procedimientos

numeacutericos como por ejemplo el gradiente conjugado [139 24] para la minimizacioacuten de (3-9) o en

caso de que la geometriacutea lo permita utilizar transformadas discretas de Fourier

3213 Solucioacuten numeacuterica

a) Solucioacuten numeacuterica de la ecuacioacuten lineal

La complejidad computacional de obtener el operador inverso en realidad puede relajarse teniendo

en cuenta que la minimizacioacuten de (3-9) equivale a la resolucioacuten de la ecuacioacuten lineal ndashque procede

directamente de (3-14)ndash

mmfEbEd sdot=sdotsdotequiv=sdotrArrsdot ++ ππζ TfTTffT )(min (3-18)

Con lo que en definitiva nuestro problema consiste en la resolucioacuten de un conjunto cuadrado de

ecuaciones lineales (N ecuaciones y N incoacutegnitas) que podemos abordar por medio de un amplio

abanico de procedimientos numeacutericos4 Sin embargo aunque en principio cualquiera de ellos pueda

ser teoacutericamente aplicable de entre los compactos debe resaltarse el de Choleski en virtud de la

naturaleza hermiacutetica de la matriz ζ que no obstante deja de perder sus ventajas cuando el nuacutemero

de fuentes es superior a 100 siendo a partir de este punto cuando los meacutetodos iterativos presentan

su especial atractivo Estos procedimientos con los que soacutelo se alcanza una solucioacuten aproximada en

un nuacutemero finito de etapas son en suma los que presentan especial ventaja en detrimento del

caacutelculo de la inversa por dos razones por una parte porque soacutelo se suele recurrir a la resolucioacuten

numeacuterica de la ecuacioacuten lineal cuando el nuacutemero de fuentes es elevado (de lo contrario puede

abordarse la inversioacuten de ζ) y porque la matriz del sistema ζ es necesariamente dispersa (poco densa)

aunque no llegue a ser tridiagonal Obseacutervese como se hizo resaltar antes que la matriz del sistema

3 Obseacutervese que es por tanto independiente del nuacutemero de puntos del dominio de observacioacuten El efecto de

eacuteste nuacutemero M sobre el coste operacional se revela en el caacutelculo de la propia matriz ζ no de su inversa

presentando una relacioacuten lineal respecto al nuacutemero de operaciones

4 Eacutestos podraacuten ser directos como la eliminacioacuten de Gauss o los meacutetodos compactos de descomposicioacuten LU

como son los de Choleski Crout o Deolittle o bien iterativos Jacobi Gauss-Seidet o de Sobrerrelajaciones

Sucesivas (SRS) (un gran nuacutemero de manuales de meacutetodos numeacutericos y de aacutelgebra lineal contienen

discusiones sobre estos procedimientos [124 84 159])


puede definirse en teacuterminos de la correlacioacuten cruzada -o del producto interno- de los campos

engendrados por los dipolos unitarios de Hertz cuya separacioacuten es de tal grado que sus respectivos

campos no sean linealmente dependientes Una discusioacuten detallada de estos procedimientos junto

con criterios analiacuteticos de su conveniencia asiacute como para evaluar su rapidez de convergencia puede

encontrarse en [124 sect96]

b) Reduccioacuten numeacuterica del residuo

Tambieacuten se puede abordar el problema de la minimizacioacuten de la distancia a los elementos del

espacio E y la distribucioacuten medida (3-18) por medio de toda una familia de procedimientos

iterativos que en general pueden entenderse como una reduccioacuten progresiva del residuo R=EmndashTmiddotf

Obseacutervese que a fin de cuentas el gradiente de la distancia cuadraacutetica puede expresarse (seguacuten 3-8

3-12 3-13) en teacuterminos del residuo

REd m πππ +++ minus=minussdot=nabla TTfTT)(2 f (3-19)

Podemos partir de una hipoacutetesis inicial e ir progresando hacia el miacutenimo por medio de una

cuidadosa eleccioacuten de la direccioacuten de cambio

)()()()1( iiii psdot+=+ λff (3-20)

Donde )( ip representa la direccioacuten de cambio y )( iλ es un paraacutemetro que podemos ajustar en cada

iteracioacuten para minimizar el residuo en esa precisa direccioacuten De entre todos los procedimientos que

pudieran plantearse derivados de la eleccioacuten de estos dos paraacutemetros ndashesencialmente la direccioacuten

de cambiondash dos gozan de especial intereacutes el de la miacutenima pendiente (o gradiente descendiente) y el de

gradiente conjugado En el primero se elige para cada iteracioacuten la direccioacuten opuesta a la del gradiente

(3-18)

)()(2)( )( iii Rd π sdotsdot=minusnabla= +Tfp (3-21)

Procedimiento cuya convergencia depende esencialmente de la forma hermiacutetica (3-9) y que por

tanto en nuestro caso es garantizable aunque la solucioacuten que nos provee es aproximada en un

nuacutemero finito de pasos El procedimiento del gradiente conjugado puede entenderse en teacuterminos

de una ortogonalizacioacuten secuencial del espacio E que permite alcanzar la solucioacuten uacutenica en un

nuacutemero finito de pasos aunque a expensas de un mayor coste operacional La eleccioacuten de las

direcciones se hace en este caso de modo que el gradiente de cada iteracioacuten sea ortogonal a todas

las anteriores direcciones de cambio elegidas Al realizar la N-esima iteracioacuten siendo N la

dimensioacuten del espacio E se habraacute conseguido el nuacutemero maacuteximo de direcciones ortogonales en E

Llegados a este punto el residuo seraacute necesariamente nulo en ausencia de ruido o en caso de

haberlo el remanente corresponderaacute con la proyeccioacuten de eacuteste sobre nuestro espacio con el que

sin maacutes remedio tendremos que aguantarnos


La mencionada condicioacuten de ortogonalidad que se iraacute imponiendo secuencialmente puede

expresarse en teacuterminos del producto interno (3-3)

0)()( )()1(2)()1(2 ijdd jiji leforallgt=sdotnablasdotgt=ltnablalt ++ pp TfTf (3-22)

Asiacute despueacutes de haber aplicado esta condicioacuten N veces (que guarda un estrecho parecido con la

ortogonalizacioacuten de Gramm-Smith) se habraacute conseguido un conjunto p de direcciones

ortogonales que seraacute de hecho una base ortogonal del espacio E como tambieacuten lo es el conjunto

de los gradientes de cada etapa

ij

d

ddji

ji

jiji

neforall

gt=nablalt

gt=nablanablalt

gt=sdotsdotgt=ltsdotsdotlt +

0)(

0)()(

0

)()(2

)(2)(2

)()()()(

p

pppp

f

ff

TTTT π (3-23)

Para materializar el algoritmo y elegir los paraacutemetros λ maacutes oportunos basta con partir de una

aproximacioacuten inicial cualquiera

sdot=sdotminus=nabla

sdotminus=rArr

+

+

)0()0(

)0()0(2

)0()0(

)0( )(R

RdR m

ππ

TTf

fTf

p

E (3-24)

Que como puede verse es en este primer paso equivalente al meacutetodo de la miacutenima pendiente pero

que a partir de aquiacute se continua por medio de la aplicacioacuten reiterada (N-1 veces) de las siguientes

operaciones [139 24 sect832 105 sect83]

)()()()1(

)()()1(1)()(1

2)(

2)1(

)(2)(

2)(

)(

kkkk

kkk)(kkk(k))(k

k

k

k

k

k

k

pRR

pRpp

R

R

p

R

sdotminus=

+sdot=+=

sdot

sdot=

sdot

sdot=

+

++++

+

+++

T

Tff

T

T

T

T

λ

βπλ

π

πβ

πλ

(3-25)

Obseacutervese que auacuten la semejanza con el meacutetodo de la miacutenima pendiente ya que la uacuteltima ecuacioacuten

de (3-25) podriacuteamos expresarla como

minusnablaminus +

iaconvergencla de

aceleradorfactor )( )1(2 kd f (3-26)

es decir la eleccioacuten de la direccioacuten de cambio puede entenderse como una aceleracioacuten de la

convergencia del meacutetodo primero Una exhaustiva exposicioacuten de este meacutetodo aplicado a distintos

problemas electromagneacuteticos asiacute como una justificacioacuten detallada de todo el algoritmo puede

encontrarse en [139] La aplicacioacuten de este procedimiento al problema inverso se encuentra

frecuentemente en la literatura (pej [45 139 98 16])


c) Algoritmo iterativo basado en el Teorema Global de la Convergencia

Cuando anteriormente se encontroacute la forma hermeacutetica de la distancia a las distribuciones del

espacio E (3-9) se hizo notar que todo conjunto de puntos sobre el espacio E definidos por una

distancia a una distribucioacuten de campo oacuteptima menor que una dada forman un conjunto convexo

sobre todo el espacio E Esta caracteriacutestica puede servir para la definicioacuten de todo un conjunto de

algoritmos iterativos que convergen hacia la solucioacuten en virtud de la definicioacuten topoloacutegica de

conjunto convexo y del teorema global de la convergencia TGC [105] Seguacuten eacuteste si se define una cierta

operacioacuten de iteracioacuten I y se tiene en cuenta ndashcomo se ha demostradondash que soacutelo hay una

solucioacuten fopt al problema inverso entonces la sucesioacuten infin=0 kkf fk+1isin I fk converge a la

deseada solucioacuten si

4) Todos los puntos fk estaacuten contenidos en un conjunto compacto incluido en f

5) Existe ademaacutes una funcioacuten continua Z en f tal que

a) si f ne fopt entonces Zf rsquo ltZf forall f rsquo isin I f

b) si f = fopt entonces Zf rsquo =Zf forall f rsquo isin I f

6) Y por uacuteltimo la transformacioacuten I es cerrada en los puntos exteriores a la solucioacuten

Evidentemente en nuestro caso podemos hacer que esa funcioacuten Z sea precisamente la distancia

d antes definida Con lo cual la convergencia estaraacute absolutamente a expensas de la definicioacuten de

la aplicacioacuten de iteracioacuten I Que naturalmente habraacute de garantizar que dIf lt df si f no

es solucioacuten y dIf =df cuando f sea solucioacuten Si por otra parte fundamos las operaciones de

iteracioacuten en aplicaciones lineales e imposicioacuten de las condiciones uacutenicas entonces las condiciones

(1) y (2) del TGC se verificaraacuten automaacuteticamente (no apareceraacuten dominios inconexos y la frontera

de un dominio objeto se traduciraacute en la frontera del dominio imagen obtenido por la aplicacioacuten)

Teniendo en cuenta que de acuerdo a las condiciones de convergencia la transformacioacuten If de

un conjunto convexo cualquiera de distribuciones de fuentes f es tambieacuten convexo entonces

puede establecerse toda una familia de algoritmos iterativos basados en la definicioacuten de convexidad

topoloacutegica Es decir dadas dos distribuciones f1 y f2 del conjunto convexo la distribucioacuten definida

como λmiddotf1+(1-λ)middotf2 tambieacuten pertenece a ese conjunto siempre que λ se encuentre comprendido

entre 0 y 1 (0leλle1) [29 105 106]

Asiacute pues partiendo de una hipoacutetesis inicial de distribucioacuten de corriente f ( 0 ) el conjunto de

distribuciones obtenidas a partir de la aplicacioacuten reiterada de la operacioacuten I formaraacute un

subconjunto convexo y por tanto el proceso iterativo definido por la ecuacioacuten de iteracioacuten

kkk

kkk

fff

fff

minussdot+=

minus+sdot=+

)1(1

II

λ

λλ (3-27)


convergeraacute hacia la solucioacuten uacutenica para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 0ltλle15

Si solamente existe un punto en el cual se verifiquen las restricciones impuestas en la operacioacuten de

iteracioacuten I es decir que f m=I f m entonces

mmmmkkfffff =minussdot+=

infinrarrlim λ (3-28)

Asiacute las condiciones matemaacuteticas que pueden garantizar la convexidad del subconjunto definido por

la operacioacuten I y en consecuencia la convergencia del algoritmo (3-27) deberaacuten abarcar el

conjunto de condiciones fiacutesicas que soacutelo pueden ser satisfechas por una solucioacuten De hecho antes

se ha visto que soacutelo existe una distribucioacuten de fuentes sobre todo el espacio E cuyo campo

engendrado se encuentre a una miacutenima distancia del medido6 Por tanto cualquier aplicacioacuten I

que trate de imponer al conjunto de dipolos de Hertz que el campo que eacutestos engendren sea lo maacutes

parecido posible al observado iraacute reduciendo la distancia hacia esa solucioacuten uacutenica7 Si bien no se

repara expliacutecitamente en ello el extenso estudio de Schaffer sobre algoritmos iterativos [143] y su

propuesta general de algoritmo convergente (definido en teacuterminos anaacutelogos a 3-27) depende en

uacuteltima instancia de la definicioacuten de conjuntos matemaacuteticos convergentes Asiacute la inclusioacuten de

condiciones adicionales para mejorar la convergencia consisten precisamente en la incorporacioacuten de

restricciones que aumente las garantiacuteas de unicidad haciendo que el conjunto de los resultados de

cada iteracioacuten sea convexo

322 Observacioacuten plana cercana y observacioacuten lejana

Para cierto tipo de radiadores de elevado tamantildeo eleacutectrico como es el caso de los grandes

radiotelescopios ya no soacutelo la operacioacuten inversa (3-17) sino incluso la operacioacuten directa T middotf puede

llegar a ser un problema que puede no obstante abordarse coacutemodamente cuando la geometriacutea de la

superficie de las fuentes es plana y el dominio de observacioacuten igualmente plano (paralelo al de las

fuentes) en la zona de Fresnel o bien se trata de una observacioacuten lejana Para tales geometriacuteas el

5 Noacutetese que para λ=1 se obtendriacutea una ecuacioacuten de iteracioacuten como la (3-1) sin embargo para λ=0 (que de

hecho se ha excluido) el proceso iterativo se estancariacutea obviamente en su punto de partida

6 Seguacuten el teorema de unicidad (sect22) la determinacioacuten del campo complejo tangencial sobre un dominio de

observacioacuten que circunscriba las fuentes es soacutelo compatible con una solucioacuten

7 En el extenso estudio de Schaffer sobre algoritmos iterativos [143] si bien no se repara expliacutecitamente en

ello su propuesta general de algoritmo convergente (definido en teacuterminos anaacutelogos a 3-27) depende en

uacuteltima instancia de la definicioacuten de conjuntos matemaacuteticos convergentes Asiacute la inclusioacuten de condiciones

adicionales para mejorar la convergencia consisten precisamente en la incorporacioacuten de restricciones que

aumente las garantiacuteas de unicidad haciendo que el conjunto de los resultados de cada iteracioacuten sea convexo


recurso de las transformadas discretas de Fourier (especialmente las transformadas raacutepidas)

minimizan considerablemente el coste numeacuterico en perjuicio de la flexibilidad sobre los dominios

de fuentes y observacioacuten aplicables No obstante la utilizacioacuten de procedimientos numeacutericos como

las Transformadas de Hankel Quasiraacutepidas [147] han permitido la extensioacuten de estos meacutetodos a

geometriacuteas ciliacutendricas y esfeacutericas a partir de sus respectivas formulaciones modales (sect235)

El uso de las transformadas discretas de Fourier para la solucioacuten del problema inverso en

geometriacuteas planas se encuentra frecuentemente en la literatura Por ejemplo en oacuteptica y

microscopiacutea electroacutenica las elevadas frecuencias de radiacioacuten hacen que los campos en las zonas de

intereacutes esteacuten relacionados mediante transformadas de Fourier (ya que la distancia eleacutectrica entre

eacutestas es elevada) razoacuten que explica que sea en esta disciplina donde se encuentren las

contribuciones maacutes tempranas en el uso de las transformadas discretas especialmente desde los

antildeos 70 Saxton [142] expone exhaustivamente las teacutecnicas desarrolladas en estos dos aacutembitos asiacute

como referencias a las primeras y maacutes importantes aportaciones Yaghjian [168] hace una amplia

relacioacuten de contribuciones tempranas aplicadas a medidas en campo cercano Finalmente aplicado a

la reconstruccioacuten de fuentes electromagneacuteticas sobre antenas puede tambieacuten encontrarse un gran

nuacutemero de propuestas en las que se recurre de una u otra manera a los dominios transformados

Morris [118 119] Ramat-Samii [132] Anderson [7 8] Bucci [19] Toland [158] James [79]

Yaccarino [166] Isernia [76] Blanch [16] Leone [103] Las Heras [98] etc

En general las relaciones directas entre el campo y las fuentes transformadas en la observacioacuten de

radiadores planos (ya sea sobre dominios planos proacuteximos o esfeacutericos lejanos) hacen que la relacioacuten

inversa sea inmediata como pudo observarse en sect235 y sect2441 Esta manera particular de

resolver el problema inverso no es absolutamente diferente a la solucioacuten uacutenica encontrada en (3-

17) en teacuterminos del operador directo T La manera regular en que este operador muestrea la funcioacuten

de Green (cuando los dominios de fuente y de campo tienen las mismas coordenadas superficiales)

nos permite transformar los dominios espaciales en dominios discretos de Fourier de modo que la

matriz transformada se convierte en una matriz diagonal cuya inversioacuten es trivial Sin embargo

soacutelo cuando el aacutengulo de observacioacuten es lo suficientemente extenso el principio de unicidad nos

garantiza una buena reconstruccioacuten de la distribucioacuten de corrientes

Para el caso de una observacioacuten plana en las proximidades del sistema radiante (zona de Fresnel)

=rArrsdot= minus

oo DFT

ΨE

ΨE ~~

~~~ 1ff (3-29)

Donde puede apreciarse que la frecuencia espacial de la distribucioacuten de fuentes reconstruida se

encontraraacute limitada por la de la distribucioacuten de campo Pero aquiacute nos surge una dificultad

fundamental como hemos visto en sect241 la frecuencia espacial de la distribucioacuten de campo

depende esencialmente del tamantildeo eleacutectrico de las fuentes Sin embargo por ser limitado en su


ancho de banda espacial su extensioacuten sobre el plano seraacute ilimitada y en consecuencia cualquier

observacioacuten real ndashobviamente limitada en extensioacutenndash representaraacute un truncamiento de la

distribucioacuten real cuyo ancho de banda no es estrictamente finito Esto da un caraacutecter aproximado a

cualquier solucioacuten de problemas planos que se acercaraacute tanto mejor a la realidad cuanto menor sea

la energiacutea de la distribucioacuten de campo truncada No obstante para que la relacioacuten anterior (3-29)

tenga validez entre los dominios de fuente y observacioacuten ha de existir una relacioacuten de translacioacuten

con lo cual al aumentar la extensioacuten de la observacioacuten aumentaraacute a la vez el nuacutemero de fuentes y

con ello la frecuencia espacial de las distribuciones representables Por esta razoacuten al expandir

ambos dominios es cada vez maacutes necesario incluir ciertas restricciones que nos permitan

aproximarnos mejor a la realidad sobre el dominio de fuentes podremos incluir restricciones sobre

su extensioacuten efectiva y sobre el dominio de campo restricciones sobre su ancho de banda

En el caso de la observacioacuten sea lejana (en zona de Fraunhoffer) ndashaplicando en (2-50) el

equivalente conductor eleacutectrico para la superficie de las fuentesndash

ETMMTE 112222 ][ ~][ minusminus=rArrsdot= DFTxCLxCL (3-30)

Donde las transformadas son unidimensionales cuando pueden asiacute considerarse los dominios de las

fuentes y de observacioacuten pero cuando estos son planos las transformadas seraacuten bidimensionales ndash

para cuya definicioacuten puede extenderse la expresioacuten 2-39 a las transformadas discretasndash de modo

que E ψ f y M se manipulan comuacutenmente como matrices cuyos elementos corresponden a los

puntos de la retiacutecula plana Teacutengase en cuenta que la matriz de transformacioacuten TCL soacutelo afecta a las

componentes vectoriales no a las matriciales

Reviste un cierto intereacutes teoacuterico el hecho de que la aplicacioacuten del equivalente conductor eleacutectrico

(ECE) y magneacutetico (ECM) en (3-19) conduce a dos ecuaciones praacutecticamente ideacutenticas

( )zJM ˆ

~~

sincoscoscoscossin

)(ECM

~~

cossinsincoscoscos

)(ECE

timessdot=rArr

sdot

minusminus

sdot=

rarr

sdot

sdot=

rarr

η

ϕϑϕϑϕϕ

η

ϕϕϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

y

x

y

x

JJ

rfEE

MM

rfEE

(3-31a)

Es decir si solamente contamos con la informacioacuten de campo lejano entonces las corrientes que

generan dicha distribucioacuten cumplen la relacioacuten de equivalencia (3-31) lo cual no implica que esa

distribucioacuten de corrientes engendre en todo el espacio una distribucioacuten de campos ideacutentica a la de la

verdadera relacioacuten de corrientes sobre la superficie que engloba las fuentes En definitiva en campo

lejano ndashque estrictamente se trata de una distribucioacuten ideal a la que se tiende asintoacuteticamentendash se

ha producido una peacuterdida de informacioacuten que limita la capacidad del proceso inverso Desde el

punto de vista numeacuterico habraacute en efecto un momento ndashque dependeraacute de la precisioacuten utilizadandash a


partir del cual no pueda distinguirse entre las distribuciones equivalentes de corriente eleacutectrica y

magneacutetica

Si en el caso de observacioacuten plana cercana aplicamos alternativamente los principios de equivalencia

como hemos hecho para observacioacuten lejana usando (2-30) (2-33) es faacutecil demostrar que entre las

corrientes eleacutectricas y magneacuteticas existe una relacioacuten funcional

)~(~ 0110~~ ~~

~~~

1~~

~~

zJJMJJG

GM r timessdot=sdot

minus

sdot= rarrsdot

minusminus== infinrarr ηη

xyJxxJ

yyJxyJ

xyMM

J

GGGG

G

(3-31b)

Donde puede verse que la relacioacuten diaacutedica existente entre ambas distribuciones de campo al

aumentar la distancia tiende a convertirse en una relacioacuten vectorial simple e ideacutentica a la de la

relacioacuten (3-31a)

En lo que respecta al coste operacional resulta evidente que si hacemos coincidir el nuacutemero de

muestras con una potencia de 2 estos procedimientos presentaraacuten un mayor atractivo operativo ndash

tanto en (3-29) como en (3-30)ndash al poder calcular las transformadas discretas por medio de

transformadas raacutepidas de Fourier (FFT)

323 Observacioacuten incompleta

Si en lugar de hablar de medidas reales nos contentaacuteramos con hacerlo de unas utoacutepicas en las que

el ruido fuera despreciable y el aacutengulo de observacioacuten completo entonces podriacuteamos concluir

diciendo que la separacioacuten entre muestras que minimizan la complejidad del problema es λ(2χ)

ndashdonde χ puede determinarse como se indica en sect243ndash Sin embargo lo normal es tener que lidiar

con el ruido y que no gocemos de un aacutengulo de observacioacuten tan amplio como pudieacuteramos desear

En estas circunstancias ndashiexcltan habitualesndash se hace menester recurrir a toda la informacioacuten adicional

de que se disponga para eliminar aquello que no corresponda a las distribuciones de campo

generadas por una determinada clase de radiadores y reconstruir el campo en las zonas no medidas

La incorporacioacuten de esta informacioacuten adicional puede hacerse por medio de un procedimiento

iterativo como se indicoacute en sect31 (figura 3-1) Cuando realizamos la proyeccioacuten sobre el espacio E

estamos en realidad eliminando todas las componentes que no pertenezcan a dicho espacio y asiacute

haciendo que las distribuciones cumplan las restricciones sobre el ancho de banda mencionadas en

el capiacutetulo 2 y aun otras maacutes estrictas ya que como es obvio no todas las distribuciones con ancho

de banda igual o inferior al del campo son distribuciones de campo vaacutelidas De hecho mientras que


las primeras pueden considerarse de dimensioacuten infinita8 las segundas ndashcomo se demostroacute en el

capiacutetulo 2ndash son de dimensioacuten finita Sin embargo cuando usamos las atractivas relaciones de

Fourier entre las distribuciones planas de fuentes y campos ndash(3-29) y (3-30)ndash ya no estamos

realizando la proyeccioacuten sobre el espacio E en el que estaacute representado de forma miacutenima todas las

distribuciones de campo engendrables por cualquier conjunto acotado de fuentes En estos casos

debemos entonces recurrir a otras propiedades conocidas de las distribuciones sobre los dominios

de observacioacuten y de fuentes Esas propiedades podemos obtenerlas a partir de cualquier

conocimiento a priori sobre los dos dominios pero generalmente se reducen a la limitacioacuten espacial

sobre el dominio de las fuentes y a la limitacioacuten frecuencial sobre el de observacioacuten

Normalmente se conoce la superficie sobre la que se extienden las fuentes y asiacute la parte del dominio

plano en que eacutestas pueden considerarse nulas A esta restriccioacuten ndashmuy usada en diversas disciplinas

[143 45 46 47 61 62 70]ndash se la denomina soporte finito Para una limitacioacuten del ancho de banda

espacial independiente del tamantildeo del radiador puede usarse el teorema 1 de muestreo y para una

maacutexima limitacioacuten frecuencial en el dominio de observacioacuten puede recurrirse al teorema 3 (sect241)

Si bien desde el punto de vista operativo puede desearse una miacutenima cantidad de puntos de

muestreo la utilizacioacuten de un sobremuestreo ndashal margen de los beneficios frente al aliasingndash junto

con la imposicioacuten de la limitacioacuten espectral como demuestra Schaffer [143] mejora los resultados

obtenidos Asiacute pues las restricciones impuestas a las fuentes y al campo observado pueden

expresarse como

le+

== primeisin

== ++ resto0

~~~

resto0)(

222

11

δβββ yxkkEk

kkfk

S EEE

rrR

ffRf (3-32)

En general el uso de estas restricciones es necesario siempre que se utilicen las relaciones de

Fourier entre los dominios de las fuentes y del campo (con independencia de la extensioacuten de las

observacioacuten) de lo contrario el ruido agregado en las medidas de campo puede arruinar el proceso

inverso

En lo que respecta a la incorporacioacuten de las medidas del campo electromagneacutetico cuando soacutelo se

dispone de un aacutengulo de observacioacuten inferior al de intereacutes el operador que simboliza dicha

operacioacuten M puede representarse como

notinisin

==+mk

mkk D

DM

)( )(

medido1 rrE

rrEEE (3-33)

8 Soacutelo si se consideran dominios de observacioacuten de aacuterea ilimitada Cuando se utilizan dominios de aacuterea

acotada el conjunto de funciones de distribucioacuten limitadas en banda sobre dicho dominiondashcomo demostroacute

Shannon [146]ndash es de dimensioacuten finita


Donde Dm representa el dominio de medida y el resto corresponde a la parte del dominio de intereacutes

no cubierto por las medidas (la figura 3-2a ilustra graacuteficamente esta operacioacuten)

Figura 3-2 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de medidas sobre parte del dominio de intereacutes

Podriacuteamos llegados a este punto preguntarnos si la incorporacioacuten de las mencionadas restricciones

ndashsiendo beneficiosas cuando pueden usarse las relaciones de Fourierndash aportan o no beneficios al

proceso inverso cuando se estaacute aplicando la proyeccioacuten sobre el espacio E (sect32) Es evidente que

la restriccioacuten de soporte finito se incorpora impliacutecitamente al limitar el dominio de las fuentes

sobre el que se situacutean los dipolos equivalentes de Hertz a aquel sobre el que sabemos que se

extienden Y en lo que respecta a la restriccioacuten de ancho de banda como ya se sentildealoacute aparece de

forma natural al realizar la proyeccioacuten que puede interpretarse como un filtrado oacuteptimo sobre el

espacio de las distribuciones de campo vaacutelidas Se hace asiacute patente que la incorporacioacuten de tales

restricciones resultariacutea superflua cuando se recurre al procedimiento de proyeccioacuten ya que eacuteste es

de hecho maacutes restrictivo Por tanto en este caso el procedimiento iterativo que permitiriacutea la

reconstruccioacuten paulatina de la distribucioacuten de campo sobre el dominio completo de intereacutes podriacutea

obtenerse como particularizacioacuten del procedimiento geneacuterico de la figura 3-1 prescindiendo de las

restricciones sobre el campo y las fuentes9

9 En algunos casos la utilizacioacuten de una distribucioacuten plana extensa facilita la complejidad del problema directo

ndashe indirectamente el inversondash al permitir el uso de la teoriacutea de imaacutegenes Cuando eso ocurre entonces la

M E k

E K f K

kf

T 1+kE

εltminus 1kkd EE T ndash 1

M E k Medidas E k isin E

a) Operador de incorporacioacuten de las medidas

b) Procedimiento iterativo para la reconstruccioacuten sobre todo el dominio de intereacutes


3231 Observacioacuten incompleta sobre dominios planos o lejanos

Cuando se trabaja con dominios planos o en campo lejano entonces la relacioacuten entre fuentes y

campos puede establecerse por medio de transformadas en cuyo caso la utilizacioacuten de las

restricciones es de capital importancia ndashcomo se indicoacute en sect322 y se observaraacute en el capiacutetulo de

validacioacutenndash Las figuras 3-3 y 3-4 (en las que se simbolizan con F la transformada discreta oportuna

al dominio de observacioacuten) representan el procedimiento equivalente al de la figura 3-2 para los

casos de dominios planos en zona de Fresnel y en observacioacuten lejana respectivamente El algoritmo

de ampliacioacuten del dominio se hace aquiacute formalmente equivalente al propuesto por Gerchberg

Papoulis y otros [70 sect12] que seguacuten demostraron la sucesioacuten de distancias entre distribuciones

consecutivas dn es monoacutetonamente decreciente Por otra parte de acuerdo a los resultados

demostrados por Schaffer [143] cuando haya una sola distribucioacuten de campo y de fuentes que

satisfagan simultaacuteneamente las restricciones y las medidas entonces puede decirse que estos

procedimientos son consistentes y tienden hacia dicha solucioacuten Este es el caso en virtud del

teorema de unicidad de que el aacutengulo de observacioacuten sea lo suficientemente amplio y de que sean

posibles las medidas de campo complejo

Cuando se utilizan medidas planas y cercanas entonces la ecuacioacuten baacutesica de iteracioacuten (3-1)

representa matemaacuteticamente el proceso recursivo de la figura 3-3 desde el punto de vista del

campo o de las fuentes respectivamente

sdot

==

sdot

==

minus

minusminus

minus


ψ

ψ

ψψ

~~

~~

11

11

1111

nEfnn

nEfnn

fDFTDFTDFTDFTff

EDFTDFTDFTDFTEE

MRR

MRR

I

I

(3-34)

(3-35)

incorporacioacuten de la restriccioacuten de soporte finito es beneficiosa tambieacuten cuando se usa el procedimiento de

proyeccioacuten sobre el espacio E


Figura 3-3 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional en dominios planos para una

observacioacuten cercana (zona de Fresnel)

Cuando lo que se utilizan son medidas lejanas y se reconstruye sobre una superficie plana entonces

la ecuacioacuten de iteracioacuten del proceso recursivo represantado en la figura 3-4 se expresa desde el

punto de vista del campo o las fuentes como

1111

1 ][][ minusminusminusminus

minus sdotsdot== nECLfCLnn DFTDFTDFTDFT ETTEE MRRI

][][1

1111 minus

minusminusminus

minussdotsdot==

nCLECLfnnDFTDFTDFTDFT fMRRff TTI

(3-36)

(3-37)

Figura 3-4 Procedimiento iterativo para la aplicacioacuten de informacioacuten adicional para reconstruccioacuten sobre

dominios planos y observacioacuten lejana (zona de Fraunhoffer)

Si bien en los esquemas de las figuras 3-2 a 3-4 podriacutea echarse en falta un punto de partida la

ausencia es deliberada ya que en la praacutectica ndashcuando el algoritmo es absolutamente convergentendash

poco importa el punto de partida y puede empezarse con una hipoacutetesis arbitraria tanto sobre las

fuentes como sobre los campos (por ejemplo una distribucioacuten homogenea sobre cualquiera de los

dos dominios) Finalmente puede auacuten definirse en caso de que la informacioacuten sea suficiente para

garantizar la convexidad de las distribuciones respecto a las medidas toda una familia de algoritmos

iterativos como se haciacutea en sect3213c por medio de la ecuacioacuten de iteracioacuten (3-27) usando ahora los

operadores de iteracioacuten I definidos en 3-35 y 3-37

M E k

R f f k

E K f K

ψ~)(o kf~

F F ndash1

Fψ~)( sdoto

~ kE ER

1~

+kEF ndash1

εltminus ~~ 1kkd EE

F ndash1

F ndash1

M E k

R f f k

E K f K

kf~

F

F)(][ osdotCL

T

~ kE ER

1+kE

εltminus ~~ 1kkd EE )(][ 1 osdotminusCL

TF ndash1


33 PROBLEMA INVERSO SIN FASE

Como se dijo al principio es muy usual que en ciertas condiciones experimentales soacutelo nos resulte

accesible el conocimiento del moacutedulo del campo Es evidente que en tales circunstancias el teorema

de unicidad (sect22) no nos garantiza que la utilizacioacuten exclusiva de esta informacioacuten sea suficiente

para poder conocer el campo en otras zonas del espacio Con mayor motivo tampoco podriacuteamos

estar seguros de poder reconstruir una distribucioacuten de corrientes equivalentes que pueda engendrar

el mismo campo que el de las fuentes originales En principio si dejamos volar la imaginacioacuten

podriacutea llegar incluso a parecernos verosiacutemil que a esa distribucioacuten de moacutedulo del campo le

corresponda una distribucioacuten arbitraria de su fase Esto supondriacutea que el problema

electromagneacutetico inverso a partir del moacutedulo admitiriacutea un conjunto ilimitado de soluciones Aunque

claramente se tratariacutea de un imaginar irresponsable porque la extensibilidad analiacutetica de las funciones

de onda establece una solidaridad interna entre sus partes real e imaginaria y en consecuencia entre

su moacutedulo y fase No obstante el criterio de distribucioacuten analiacutetica puede auacuten no ser suficiente para

garantizarnos que soacutelo haya una distribucioacuten de fase compatible con la de moacutedulo (al margen de la

diferencia inesencial de una constante de fase) pero en cualquier caso parece ahora maacutes

responsablemente verosiacutemil que pueda establecerse una relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la

fase que limite nuestra ambiguumledad

Cuando el dominio de observacioacuten estaacute lo suficientemente alejado las distribuciones de campo

como se ha visto en sect235 estaacuten relacionados con las distribuciones de corriente sobre el dominio

de las fuentes por medio de transformadas de Fourier En este caso el conocido teorema de Paley-

Wiener [129] nos ofrece una garantiacutea esencial acerca de las distribuciones en el dominio de

observacioacuten ya que cuando la distribucioacuten de corrientes tiene un ldquosoporte finitordquo como es el

caso10 ldquosu transformada de Fourier se puede extender en una funcioacuten analiacutetica enterardquo11 En

consecuencia las partes real e imaginaria de dicha distribucioacuten deberaacuten estar ligadas por medio de

las condiciones de Cauchy-Riemann y lo que es maacutes puede establecerse una relacioacuten de dispersioacuten

que asocia mediante la transformada de Hilbert las partes real e imaginaria de forma maacutes directa

[64]

10 Caracteriacutestica que por otra parte pone liacutemites a la extensibilidad analitica de las distribuciones de corriente

[30 sect19]

11 Podriacutea tambieacuten antildeadirse a merced del teorema de Titchmarsch [157] que una distribucioacuten causal es

suficiente para garantizar la extensibilidad analiacutetica de su transformada Teniendo en cuenta que el origen de

coordenadas siempre puede desplazarse arbitrariamente bastaraacute por tanto para garantizar la extensibilidad

analiacutetica de la distribucioacuten de campo que las corrientes esteacuten limitadas por un solo lado


intinfin

infinminus

primeprimeminusprime

minus=minus= xdxxxE

xExE)(Im1)(Im)(Re

πH (3-38)

Si por otra parte consideramos no soacutelo las distribuciones sobre dominios lejanos sino en general

sobre cualquier otro relativamente separado de las fuentes es decir sobre un dominio exento de

singularidades entonces las propiedades de las funciones de Green nos permiten llegar a

conclusiones anaacutelogas Para ello basta recordar que las funciones de Green fuera de las

singularidades son funciones armoacutenicas ([30 sect63 84 sect31])12 y por tanto extensibles a funciones

enteras sobre la prolongacioacuten compleja de los dominios de observacioacuten en un espacio C2 De esta

forma a tenor de la extensibilidad analiacutetica de las funciones armoacutenicas pueden ahora generalizarse

las relaciones entre las partes real e imaginaria de las distribuciones de campo sobre cualquier

dominio de observacioacuten antes referidas para los dominios de observacioacuten lejanos

No obstante si bien esta relacioacuten de dispersioacuten (3-36) puede llegar a tranquilizarnos acerca de la

coherencia interna de los valores complejos de la distribucioacuten y en definitiva de la reduccioacuten de la

ambiguumledad cuando soacutelo se cuenta con una parte de sus valores complejos en realidad no pone en

nuestras manos una pauta praacutectica para colegir la informacioacuten que nos falta Por limitaciones

tecnoloacutegicas obvias no se da el caso de conocer las partes real o imaginaria de las distribuciones de

campo sobre las cuales se podriacutea aplicar directamente la relacioacuten de dispersioacuten (3-36) sino que

cuando aparecen dificultades para obtener la distribucioacuten compleja lo que naturalmente se

consigue es su moacutedulo En estas condiciones podriacutea intentarse extender la relacioacuten de dispersioacuten a

la distribucioacuten logariacutetmica del campo con lo que al fin quedariacutean ligados los valores de moacutedulo y

fase lnE(r)=ln|E(r)|+jϕE(r) Si esta distribucioacuten admitiese una extensibilidad analiacutetica [64]

podemos ahora aplicar la relacioacuten (3-38)

|)(|)]([)]([|)(ln|

rErE

rErE

HH

=minus=

ϕϕ

(3-39)

Sin embargo topamos aquiacute con una limitacioacuten esencial la singularidad de la funcioacuten logariacutetmica en

los ceros de la distribucioacuten de campo sobre el eje real Es evidente que bajo estas condiciones no

podemos definir la transformada de Hilbert y en consecuencia la relacioacuten de dispersioacuten (3-39) no

puede sacarnos del atolladero Debemos pues buscar otra manera para estudiar si la distribucioacuten

del valor absoluto del campo tiene o no solucioacuten uacutenica Para ello consideraremos primero

distribuciones de campo lejano sobre dominios unidimensionales y una vez alcanzada una

12 Noacutetese que la definicioacuten de funciones armoacutenicas en teacuterminos de la ecuacioacuten de Laplace puede aquiacute

extenderse de forma directa como propusieron Minkowski y Sommerfeld considerando el tiempo como una

variable maacutes entre las espaciales De esta forma la ecuacioacuten de Helmoltz se convierte en una de Laplace

generalizada [151 sect119 161 sect283]


conclusioacuten soacutelida de este problema particular procuraremos extender los resultados a dominios

superficiales y a distancias proacuteximas

El objetivo consiste pues en descubrir el conjunto de condiciones que son necesarios para poder

asegurar la unicidad de solucioacuten Condiciones que pueden ser de dos tipos 1) iquestQueacute propiedades

deben cumplir las distribuciones 2) iquestQueacute cantidad de informacioacuten debe recabarse La buacutesqueda

de ambos tipos de condiciones se abordaraacute desde la factorizacioacuten de las extensiones analiacuteticas de las

distribuciones de campo Los procedimientos que procuren alcanzar dicha solucioacuten sect34 estaraacuten

evidentemente vinculados a los criterios de unicidad


Seguacuten se ha argumentado anteriormente la distribucioacuten de campo puede extenderse en una

distribucioacuten analiacutetica sin maacutes que considerando la finitud del soporte de las fuentes Consideremos

por simplicidad que el dominio de observacioacuten es circular y lejano que las fuentes se reparten

sobre un dominio lineal y compacto siendo ademaacutes unidireccionales y de un uacutenico tipo (por

ejemplo corrientes magneacuteticas) Entonces a partir de (2-50) es evidente que el campo sobre el

dominio de observacioacuten seraacute unidireccional y estaraacute directamente ligado con la transformada de

Fourier de la distribucioacuten de fuentes Particularizando (2-50)

λλ

ϑ

λ ππβ

]11[ sin )(

)()()()( 22

abaa

uukx

xdexxdexkdxexkuE

nu

b

a

xujb

a

xujb

a

uxj

=prime=prime

minusisinrArr=isin=

=primeprime=primeprimesdot=sdot= intintintprime

prime

primeminusprime

prime

primeminusminus

Cf

fff n

F

Suponiendo de antemano que la

distribucioacuten de fuentes y las dimensiones

del soporte a y b estaacuten normalizadas la

notacioacuten se simplifica en adelante

dxexEuE xujb

a

sdotsdotminussdot=== int πϑ 2)(~)(sin)( ff

(3-40)

Donde [ab] es aquiacute el soporte finito de las fuentes La distribucioacuten E(u) u isin real en virtud del

mencionado teorema de Paley y Wiener se puede extender en una distribucioacuten analiacutetica E(z) z isin

C cuyo comportamiento asintoacutetico es exponencial y de orden uno E(z) rarr Oe b|z| Por tanto

aunque la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten no sea un polinomio finito puede asegurarse que sea

trascendental [153] es decir que auacuten teniendo una cantidad ilimitada de ceros en cualquier disco

acotado |z|ltr soacutelo puede haber un nuacutemero finito de ellos Es ademaacutes evidente seguacuten (3-40) que

la distribucioacuten de campo es de ancho de banda finito e igual a |b-a| (que es lo que de hecho predice

el teorema 3 de muestreo sect241)

Si pretendieacuteramos apoyar la unicidad de solucioacuten exclusivamente en la analiticidad de las

distribuciones de campo nos topariacuteamos con una ambiguumledad elemental que fue sentildealada


primeramente por Akutowicz en 1956 [2 3] y luego con maacutes detalle por Walter [160] y que consiste

en la posibilidad de ubicar arbitrariamente los ceros de la funcioacuten analiacutetica en posiciones simeacutetricas

respecto al eje real ya en la parte superior o en la inferior El fundamento de esta ambiguumledad

radica en dos propiedades elementales de las funciones enteras

a) si zk es uno de los ceros de E(z) entonces la distribucioacuten E(z)sdot(zndashzk)(zndashzk) es tambieacuten

entera13

b) el moacutedulo de una distribucioacuten entera sobre el eje real seguacuten el lema 44 de Titchmarsh [157]

puede determinarse como el producto del moacutedulo de los binomios definidos por sus ceros

]1[

11|)0(|1|)0(||)(|

21

21

21 infin=cup

empty=capminusprodsdotminusprodsdot=minusprodsdot= lowast=

infin

kk

kk

zu

zuE

zuEuE

kkkkkik

(3-41)

Esto supone que si E(z) es la extensioacuten analiacutetica de la verdadera distribucioacuten de campo entonces

prodsdot=

minusminus

prodsdot=Blaschke de factores

ceros de arbitrario conjunto

)(

donde )()()()(

1 zB

kzBzE

zzzzzEzE

kk

kk

k

k (3-42)

es otra funcioacuten entera cuyo ancho de banda es ademaacutes finito e igual al de E(z) [160 153] Por

tanto si nos fijamos exclusivamente en el moacutedulo de la funcioacuten de campo en su ancho de banda y

su extensibilidad analiacutetica entonces el problema inverso nos dejariacutea una ambiguumledad que

dependeriacutea del nuacutemero relevante de ceros14 N Puesto que la duda reside en situar cada uno de los

ceros arriba o abajo del eje real la ambiguumledad que plantea el problema de Walther es de orden 2N

Equiacutevoco que tambieacuten puede interpretarse en teacuterminos de la distribucioacuten del cuadrado del moacutedulo

del campo |E(x)|2= E(x)middotE(x) cuya extensioacuten analiacutetica es E(z)middotE(z) y que por tanto tiene sus

ceros simeacutetricamente distribuidos respecto al eje real Es evidente que si pudieran determinarse los

ceros de esta uacuteltima funcioacuten entera habriacutea auacuten que elegir si en la deseada distribucioacuten de campo sus

correspondientes ceros se encuentran por encima o por debajo del eje real con lo que aparece

nuevamente la ambiguumledad de orden 2N

13 La analiticidad de esta funcioacuten es trivial De hecho puede probarse directamente que si un conjunto de

funciones cumple las condiciones de Cauchy-Riemman cualquier producto de eacutestas tambieacuten las verifica [30

sect19]

14 El nuacutemero ldquorelevanterdquo de ceros depende de la extensioacuten del dominio de observacioacuten Como se observaraacute maacutes

adelante los ceros tienden a situarse asintoacuteticamente sobre una recta paralela al eje real distanciaacutendose

progresivamente Entonces de acuerdo con (3-42) los ceros demasiado alejados no tienen peso relevante

sobre el moacutedulo del campo tendiendo su contribucioacuten a confundirse con el ruido [23 44]


Por fortuna Hoenders en 1975 indicoacute la pauta para resolver este embrollo que naturalmente

procede de poner en juego el comportamiento de la distribucioacuten de fuentes ya que como hemos

visto las consideraciones sobre la distribucioacuten de campo conducen a una aporiacutea Pero digo pauta en

lugar de solucioacuten porque en realidad la conclusioacuten que derivoacute Hoenders de su anaacutelisis dejoacute oculto

un descuido que la invalida y que impide la practicidad de su correcto resultado matemaacutetico

Lamentablemente esto ha pasado inadvertido [44 153 6 137 70] y asiacute su conclusioacuten se ha

perpetuado en beneficio de la tranquilidad teoacuterica aunque a despecho de su practicidad No

obstante antes de discutir este asunto buscaremos una relacioacuten de dispersioacuten del estilo de la (3-39)

que ligue el moacutedulo y la fase de las funciones de campo pero que a diferencia de aquella sea de

validez general Se observaraacute que a tenor de la ubicacioacuten de los ceros de la distribucioacuten de campo la

ambiguumledad es de menor orden que la sugerida por el problema de Walter [65 44 70]

3311 Relacioacuten de dispersioacuten entre el moacutedulo y la fase

Si contemplamos el comportamiento asintoacutetico de (3-40) para urarrinfin puede faacutecilmente demostrarse

que eacuteste tiende a

Cisinminussdot=

minussdotminus

=sdotminussdotminus

rarr

minusminusminus

minusminusminus

minusminus

infinrarr

keez

ek

eab

zjeaeaeb

zjzE

abzjjazj

abzjzaj

zajzbj

z

1

1)()(

2)(

)()(2

1)(

)(222

)(22

22

ππγπ

ππ

ππ

ππ fff

ff (3-43)

Con lo cual los ceros estaraacuten asintoacuteticamente distribuidos sobre una recta paralela al eje real15

isin=

isin

minus+

rarrinfinrarr C

Z

)()(

2

abe

n

abnz jzk

ffπγ

γ (3-44)

Donde puede verse que si el rango de observacioacuten estaacute limitado el nuacutemero de ceros relevantes N (ver

nota 14) dependeraacute esencialmente de la distancia a la que eacutestos se situacuteen que como vemos estaacute en

relacioacuten inversa a la extensioacuten del dominio de fuentes a-b En definitiva N se encuentra en relacioacuten

directa con dicha extensioacuten Por otra parte observamos en (3-44) que si Imγgt0 (para lo cual

basta seguacuten 3-44 que el moacutedulo de la distribucioacuten de fuentes sea mayor en b que en a) entonces el

nuacutemero de ceros en el semiplano inferior SPI es finito e ilimitado en el superior SPS (diriacuteamos lo

opuesto si invirtieacuteramos la condicioacuten anterior) Denotando a este conjunto finito de ceros sobre el

SPS como z 1 z 2 z l podemos construir una funcioacuten auxiliar Ω(z) cuyos ceros esteacuten soacutelo

situados en el semiplano superior involucrando los oportunos factores de Blaschke

15 Este resultado es equivalente a la foacutermula asintoacutetica de Titchmarsch [157] y a la de Cartwright [26]


minusminus

prodsdot=Ω= k

kl

k zzzzzEz

1)()( (3-45a)

No obstante aunque Ω(z) carezca de ceros finitos en el SPI su comportamiento asintoacutetico no estaacute

definido (como puede verse en 3-43) Sin embargo la funcioacuten

uzezzz

azj

minussdotsdotΩ

=Ξ)(ln

)(2π

(3-45b)

es analiacutetica en todo ese aacuterea (incluido el infinito) salvo acaso en puntos discretos del eje real y con

un polo en u Por tanto si se integra Ξ(z) sobre un contorno cerrado C como el representado en la

figura 34 que deje fuera todas las singularidades de Ξ(z) (con un semiciacuterculo junto al eje real en

torno a u de radio despreciable) el resultado tenderaacute a la mitad del residuo de Ξ(z) en z=u [1 sect53]

Asiacute seguacuten el contorno tienda a englobar todo el SPI es decir Rrarrinfin la integral puede separarse en

dos partes ndashcorrespondientes al eje real y al semiciacuterculondash que pueden definirse (usando el

comportamiento asintoacutetico de E(z) expresado en 3-43)

int

intint

intintint

infin

infinminus

prime

infin

infinminus

minus

minusinfinrarrinfinrarrinfinrarr

primeminusprime

sdotprimesdotprimeΩminussdot=sdotsdotΩsdot

=primeΞminussdot=

=

primeprimeΞ+

primeprimeΞ=

primeprimeΞ=Ξ

uduu

euuP

ia

ieuui

dvuPdjia

uduzdzzdzuz

uajauj

jj

R

RRRR

)(ln

2)(

ln)(ln

)(ReRe

2)(ln

)(lim)(lim )(lim)(Res21

22

0

Semiciculo

ππ

πϑ

ϑ

πππ

ϑπ

f

f

C

(3-46)

Figura 3-5 Contorno de integracioacuten para la obtencioacuten de la relacioacuten de dispersioacuten (3-47)

Donde P denota el valor principal de Cauchy Igualando en esta relacioacuten las partes real e imaginaria

y recurriendo a (3-45) se obtiene una interesante relacioacuten de dispersioacuten

auazuuduu

uuEPuEl

kk ππ

π2

2)(argarg2

)(ln)(arg

1

minusminus+minus+primeminusprime

primesdotprime= int sum

infin

infinminus =

f (3-47)

Donde el primer teacutermino depende exclusivamente de la distribucioacuten del moacutedulo del campo

observado el segundo de la posicioacuten de los ceros en el SPI el tercero y el cuarto por ser

constantes son inesenciales (ya que a partir del moacutedulo del campo debe necesariamente admitirse

en la distribucioacuten de su fase una constante arbitraria) y el uacuteltimo teacutermino refleja el hecho de que la

u

SPIC

-R RRez= u

Imz


funcioacuten E(x) es una funcioacuten entera de orden unidad [1 p208] Obseacutervese que de no haber

dependido de una informacioacuten tan sumamente inaccesible como es la posicioacuten de los ceros en uno

de los semiplanos podriacuteamos haber denominado a la expresioacuten (3-47) como la deseada relacioacuten de

dispersioacuten No obstante nos permite llegar a varias conclusiones interesantes

1) Si se pudiera asegurar que todos los ceros se encuentran por encima del eje real entonces la fase

estariacutea biuniacutevocamente determinada por su moacutedulo (resultado al que podriacuteamos haber llegado

antes ndashen la discusioacuten acerca del orden de la ambiguumledadndash y al que de hecho llegoacute Walther

[160])

2) Nuestra ambiguumledad ya no depende de la ubicacioacuten de los N ceros relevantes de E(z) sino soacutelo

de l que es menor que el nuacutemero de ceros relevantes aunque eacuteste sea un nuacutemero a priori

desconocido

3) Aunque auacuten no hayamos resuelto el problema de la ambiguumledad parece que eacuteste va a depender

de la disponibilidad de informacioacuten aprioriacutestica

3312 Clases de ambiguumledad

Antes de seguir conviene recordar cuales son las fuentes de ambiguumledad en teacuterminos de las

caracteriacutesticas analiacuteticas de las distribuciones de campo cuando de ellas solamente se tiene a

disposicioacuten su moacutedulo [142 sect42 y sect43] El mencionado teorema de Titchmarsh y la relacioacuten (3-41)

nos permiten llegar de forma directa a las tres clases de ambiguumledad cuya importancia y

consecuencia es diferente

1) En primer lugar existe una ambiguumledad obvia respecto a cualquier constante de fase que por el

hecho de carecer de consecuencias praacutecticas podemos tildar de inesencial

2) Cualquier variacioacuten lineal en la fase de la distribucioacuten de campo no tiene efecto sobre su

moacutedulo Esta variacioacuten estaacute representada por los factores endashjux que en el dominio de las fuentes

corresponden a desplazamientos de la distribucioacuten

3) La posibilidad de conmutar un cero de la distribucioacuten original con su complejo conjugado Eacutesta

es a la que baacutesicamente se refiere Walter [160] y a la que hemos venido atendiendo en teacuterminos

de los factores de Blaschke

Obseacutervese que si se consiguiera eliminar la incertidumbre causada por los factores de Blaschke

entonces la imposicioacuten de un determinado soporte finito impediriacutea la aparicioacuten de una variacioacuten

lineal y arbitraria de fase con lo que soacutelo quedariacutea la ambiguumledad inesencial y como eacutesta no nos

importa el problema inverso quedariacutea resuelto Por esta razoacuten Hoenders centra su anaacutelisis en la

ambiguumledad tercera


3313 Teorema de Hoenders

Si bien en sect3311 se consiguioacute limitar la ambiguumledad puede auacuten reducirse maacutes si se consideran las

propiedades de las distribuciones de fuentes El teorema de Hoenders [65] demuestra que las

distribuciones de fuentes f(x) y f1(x) centildeidas a un soporte [a b ] y responsables respectivamente de

la verdadera distribucioacuten de campo E(u) y de la modificada por un nuacutemero arbitrario de factores de

Blaschke E1(x) estaacuten ligadas mediante la siguiente ecuacioacuten integral de Volterra16

xdxezzzz

zzi

xdxezzzz

zzixx

b

x

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

x

a

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

n

n

primeprimeminusminus

prodminus+


prodminusminus=

intsum

intsum

primeminus

ne

primeminus

ne

)()(

)()()()(

)(

2

2

2 2

22

)(

1

1

1 1

11

2

1

f

fff 1

(3-48)

donde n1 representa el conjunto de polos de los factores de Blaschke en el SPI n2 el de los

polos de estos factores en el SPS y n el conjunto de todas las posibles combinaciones de ceros

excluido el lsquonirsquo De forma esquemaacutetica las relaciones que ligan E1 E f1 y f

rarrrarr

rarrrarr

minusminus

prodsdot=

)()()(

)()()( )()(

1analiacutetica

extensioacuten

11

analiacuteticaextensioacuten

zEuEx

zEuEx

zzzz

zEzEn

n

nF

F

f

f1

(3-49)

Seguacuten la relacioacuten (3-48) en el caso general en el que los ceros zn contengan parte imaginaria (de lo

contrario el factor de Blaschke carece de sentido) los teacuterminos de la derecha son funciones que se

16 Aunque la teoriacutea de Hoenders esteacute formulada en el aacutembito de la microscopiacutea oacuteptica su aplicacioacuten a nuestro

problema es inmediata Una forma alternativa a la de Hoenders para derivar su relacioacuten de dispersioacuten a la vez

que maacutes sencilla es por medio de la transformada de Laplace que naturalmente pueden interpretarse como la

extensioacuten analiacutetica de la de Fourier La relacioacuten entre el dominio de Laplace s y el que hemos caracterizado

por z corresponde a una rotacioacuten de π2 Por tanto aplicando la transformada inversa de Laplace a un factor

de Blaschke sobre un cero del SPI y la relacioacuten entre z y s podemos obtener su efecto sobre el dominio

transformado

)()()()()()(11

xezzixxessxssss

ssss

zzzz xjz

kkjszxs

kkk

kk

k

kjsz

k

k kk-

Γminusminus rarrΓ++rarrminus+

+=minus+

rarrminusminus minuslowast=lowast= δδL

Donde Γ representa a la funcioacuten escaloacuten Recurriendo ahora al teorema de la convolucioacuten

intint primesdotprimesdot+=primesdotprimeminussdotminus=lowast= primeminusprimeminusx

a

xjzxjzk

x

a

xxjzkk xdexeyxxdexzzixsBxx kkk )(2)()()()()()()( )(

1 ffffff 1-L

Observamos que aparecen los teacuterminos integrales de la relacioacuten (3-48) Mediante la consideracioacuten del

producto de varios factores de Blaschke y separando los teacuterminos con polos sobre el SPI y el SPS se obtienen

los teacuterminos descritos por los sumatorios y productorios de (3-48)


extienden fuera del intervalo [ab] ilimitadamente hacia uno u otro extremo (como puede verse en

la nota 16 para ceros en el SPI aparecen teacuterminos que se extienden maacutes allaacute de x=b) De acuerdo

con el razonamiento de Hoenders si estos teacuterminos sin soporte finito vienen a modificar la funcioacuten

de distribucioacuten de las fuentes de forma aditiva entonces una distribucioacuten de fuentes

correspondiente a una distribucioacuten de campo modificada por factores de Blaschke no tendraacute

soporte finito No obstante existe un caso de reflexioacuten de ceros al que debe corresponder a todas

luces una distribucioacuten de soporte finito aquella en la que se reflejan todos Eacutesta distribucioacuten es

evidentemente E(z) cuya distribucioacuten de fuentes asociada es tan compacta como la original como

puede observarse mediante aplicacioacuten de las propiedades de las transformadas [65 126]

)()(

)()( xzE

xzE

minus rarrlarr

rarrlarrharr

harr

SD

SD

f

f

z

z

(3-50)

Por tanto concluye Hoenders que soacutelo caben dos distribuciones de fuentes compactas f(x) y f (-x)

que sean compatibles con una distribucioacuten de moacutedulo del campo dada Bastariacutea seguacuten eacutel saber a

priori queacute extremo de la distribucioacuten es mayor para poder romper esta uacuteltima ambiguumledad17

Obviamente podriacuteamos preguntarnos que ocurre con todos los teacuterminos de soporte no finito que

deberiacutea haber en la relacioacuten entre f(x) y f1(x) seguacuten (3-38) Ante esto ni Hoenders ni los que

recurren a su resultado hacen especial mencioacuten Podriacuteamos atajar el problema diciendo que

seguramente esos teacuterminos se cancelen unos a otros pero si decimos eso tendriacuteamos tambieacuten que

admitir otros casos en los que tales teacuterminos se cancelaran con lo cual la ambiguumledad tornariacutea a no

ser tan estrecha como supone Hoenders

El problema para poder discutir la divergencia de las distribuciones de fuente radica en que no

podemos expresarlas en funcioacuten de los ceros de las funciones de campo (es decir no podemos

determinar L -1(sndashsk)) La uacutenica manera de poder resolver el problema es considerando la

discretizabilidad del problema electromagneacutetico discutida en el capiacutetulo anterior y que se abordaraacute

maacutes adelante (sect3316) Alliacute la relacioacuten entre ceros de la distribucioacuten de campo y las distribuciones

de fuente es clara Y ademaacutes se observa que la ambiguumledad debida a los factores de Blaschke (tipo

3) y la de los teacuterminos de fase lineal (tipo 2) no pueden considerarse por separado como suponiacutea

Hoenders (sect3312) Por tanto no se trata de que el teorema de Hoenders sea erroacuteneo sino que

maacutes bien a partir de eacutel no podemos sacar conclusiones Y aquiacute se encuentra el error tanto de

Hoenders como el de los que a partir de eacutel repiten la misma conclusioacuten como puede verse en las

maacutes importantes revisiones del problema inverso sin fase Ferwerda [44] Taylor [153] Sali [137] o

17 Obseacutervese que si la distribucioacuten de fuentes fuese perfectamente simeacutetrica (moacutedulo par y fase constante)

entonces f (x) y f (-x) soacutelo se diferenciariacutean en una constante con lo cual resultariacutean indistinguibles y la

solucioacuten seriacutea uacutenica e igual a e j θ f (x) donde θ isin real representa la ambiguumledad inesencial


Hurt [70] Aunque curiosamente en eacutestas una vez esgrimido como sosteacuten teoacuterico al final viene a

lamentarse su inviabilidad praacutectica Mientras que no seriacutea difiacutecil la definicioacuten de un operador que

aplicando de forma iterativa las condiciones de unicidad permitiera conducirnos a la solucioacuten ndashsi el

algoritmo cumpliera con las condiciones del teorema global de la convergenciandash

No obstante la consecuencia general de Hoenders siacute estaacute avalada por la praacutectica y nos dice que

debemos contar con alguna informacioacuten adicional sobre las fuentes (relativa a su extensioacuten y alguacuten otro

conocimiento sobre su distribucioacuten de moacutedulo) para garantizar la unicidad de solucioacuten del

problema inverso sin fase O lo que es lo mismo la distribucioacuten del moacutedulo del campo no es

suficiente para la resolucioacuten del problema inverso sino que es menester alguna informacioacuten

adicional Ahora bien iquestCuaacutenta y de queacute especie Desde luego algo maacutes de lo que supone Hoenders

Pero antes de analizar el problema discretizado para poder encontrar alguna evidencia de las

condiciones suficientes de unicidad echemos un vistazo a otras teoriacuteas sobre la ambiguumledad asiacute

como las soluciones encontradas al problema inverso a partir dos distribuciones observadas

3314 Criacutetica de algunas teoriacuteas sobre la ambiguumledad de la distribucioacuten de fase

En la discusioacuten del problema inverso sin fase desarrollado por Isernia ndashy colaboradoresndash [74 75

76] eacuteste alega que al conjugar las funciones modales se obtienen otras que no pertenecen al

conjunto de las funciones modales vaacutelidas y por tanto el problema teoacuterico de la ambiguumledad

quedariacutea resuelto Sin embargo de acuerdo a la discusioacuten anterior las distribuciones que se plantean

como ambiguas no son las conjugadas sino las conjugadas de argumento conjugado (que en

definitiva son la continuacioacuten analiacutetica de las funciones armoacutenicas conjugadas) y como puede

comprobarse faacutecilmente eacutestas siacute son funciones modales vaacutelidas18 Por tanto la unicidad de solucioacuten

discutida por Isernia no puede considerarse vaacutelida en esos teacuterminos y resulta sintomaacutetico el hecho

de que en todas sus contribuciones recurra al uso de al menos dos superficies de observacioacuten [72

73 74 75 76 103]

De distinto tipo es la discusioacuten de la ambiguumledad propuesta por Sali [6 137] en la que intenta

probarse que el orden de eacutesta depende del tamantildeo de las fuentes Para ello recurre a la relacioacuten

entre la distribucioacuten de campo y los valores en los liacutemites de su soporte de la funcioacuten de

distribucioacuten de fuentes y sus derivadas Si bien a tenor de (3-44) es claro que en efecto el orden de

la funcioacuten de campo depende del tamantildeo del soporte de las fuentes el planteamiento de Sali tiene

el inconveniente de que siendo los puntos extremos de la distribucioacuten de fuente discontinuos no

18 Curiosamente como puede verse en [73] la falta de analiticidad de la funcioacuten de intensidad E ( c ) middotE ( c ) ndash

donde c representa al conjunto de coeficientes de la expansioacuten modalndash es atajada impliacutecitamente en el

procedimiento de optimizacioacuten propuesto mediante el recurso al gradiente de la funcioacuten analiacutetica

E ( c )middotE ( c )


puede definirse aquiacute ni la funcioacuten ni sus derivadas Por otra parte la solucioacuten praacutectica propuesta por

Sali [137] que seriacutea una forma ingeniosa de imponer las condiciones a las que llega Hoenders (y que

naturalmente admite Sali) obtiene buenos resultados para algunas distribuciones mientras que se

estanca en una que seguacuten las conclusiones de Hoenders seriacutea inambiguumla19 Por una parte este

resultado podriacutea ser un indicio de la insuficiencia de las condiciones de unicidad pero ademaacutes una

vez probado el algoritmo propuesto por Sali partiendo de hipoacutetesis diferentes se ha constatado que

incluso las distribuciones declaradas por eacuteste como exitosas dependen en realidad de la estimacioacuten

inicial ya que se han alcanzado soluciones diferentes y compatibles con las condiciones impuestas

(con un error cuadraacutetico menor que 10-7)

En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su transformada de Fourier

[61 62 87 78] se constata la posibilidad de conseguirlo solamente a partir del moacutedulo de la

transformada cuando se imponen ciertas condiciones sobre el dominio de la imagen Especialmente

los trabajos teoacutericos de Hayes suponen un esfuerzo riguroso y elegante para la determinacioacuten de las

condiciones necesarias de unicidad de solucioacuten cuando soacutelo se cuenta con las distribuciones de fase

o de moacutedulo de la transformada de Fourier (para un caso n-dimensionales y discretizado) Sin

embargo se trata de condiciones cuyo conocimiento no suele ser accesible y por tanto de difiacutecil

aplicacioacuten praacutectica De hecho si se comparan los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] con las

conclusiones llegadas al hilo de las relacioacuten de dispersioacuten sect331a se observa que entre ellas existe

una estrecha relacioacuten No obstante estos estudios han fomentado la aparicioacuten de procedimientos

frecuentemente exitosos [62 39 sect71 143 46 47 169] pero que dada la dificultad de imponer las

condiciones necesarias indicadas por los enfoques teoacutericos suelen aparecer estancamientos cuya

explicacioacuten es difiacutecilmente abordable y en consecuencia evitable [46 47 78 62]

3315 Unicidad de solucioacuten con dos distribuciones de campo

Posiblemente el antecedente maacutes remoto del amparo a dos dominios de observacioacuten para la

recuperacioacuten de una funcioacuten compleja de onda cuando soacutelo se dispone de informacioacuten de moacutedulo

es el de Reichenbach en los antildeos cuarenta [133] Eacuteste estudia la posibilidad de obtener la funcioacuten de

onda mecaacutenico-cuaacutentica de una partiacutecula a partir de la distribucioacuten de probabilidad de un par

conjugado de observables como son su posicioacuten y su momento sin embargo abandona su intento

al sentildealar alguna de las ya mencionadas ambiguumledades Durante maacutes de veinticinco antildeos apenas es

tratada esta posibilidad hasta que Gerschberg [52] en 1971 plantea por primera vez la solucioacuten al

19 se trata de una distribucioacuten de fuentes rectangular y de fase constante Los ceros de su correspondiente

distribucioacuten de campo se situacutean equiespaciadamente sobre el eje real En consecuencia la ambiguumledad de la

pareja f(x) f(ndashx) carece evidentemente de sentido Es decir salvo una posible constante de fase la solucioacuten

es uacutenica


problema inverso sin fase (inicialmente oacuteptico) por medio del recurso a la observacioacuten en dos

planos que se traduciriacutean en los teacuterminos de nuestro problema a un dominio de campo lejano y al

de las fuentes Inmediatamente y en colaboracioacuten con Saxton [53 54] se propone el primer

procedimiento praacutectico para la recuperacioacuten de la distribucioacuten de onda compleja a partir de

observaciones de moacutedulo en dos dominios (en teacuterminos del problema oacuteptico estos son el plano

imagen y el de difraccioacuten) Los buenos resultados obtenidos por el procedimiento que terminoacute

denominaacutendose de Geschberg-Saxton despertaron la atencioacuten sobre las posibilidades que este

planteamiento general presentaba Las variantes se suceden en pocos antildeos (en [142] se puede

contemplar una larga lista de contribuciones desde 1972 hasta 1977) pero en 1973 Misell [114 115

116] propone una solucioacuten inspirada en la de Geschberg-Saxton de la que han emergido una buena

parte de las soluciones al problema inverso sin fase [6 119 145 78 167 76 34] El procedimiento

de Misell consiste esencialmente en la utilizacioacuten de dos observaciones desenfocadas sobre el plano

imagen (naturalmente con distinto grado de desenfoque) que como Anderson propuso en 1985 [6]

puede extenderse directamente a la observacioacuten sobre dos dominios separados Esta solucioacuten es la

que puede aplicarse de forma general al aacutembito de nuestro problema

Sin embargo la evidencia teoacuterica de la unicidad de solucioacuten aunque soacutelo contrastada durante cierto

tiempo por la praacutectica fue aportada por Drenth et al [38 66] y casi simultaacuteneamente por Hoenders

[65] Eacuteste uacuteltimo demuestra [65 ec36 70 sect178] que si se aplica un nuacutemero arbitrario de factores

de Blaschke a las dos distribuciones de campo al introducir la relacioacuten que debe darse entre las

correspondientes distribuciones de fuentes (es decir en la pupila para el problema oacuteptico o en la

superficie de la apertura para un problema de antenas) eacutestas soacutelo son compactas si los factores de

Blaschke son unitarios De lo contrario las distribuciones de fuentes no pueden verificar una

relacioacuten que depende del factor de desenfoque y es naturalmente conocida de antemano

Aplicaacutendolo al procedimiento de Anderson [6] ocurriraacute que una y soacutelo una distribucioacuten de

corrientes es compatible con la distribucioacuten de moacutedulo observada sobre dos superficies

Como se observoacute al derivar la relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) la unicidad de solucioacuten para el caso

de conocer el campo sobre una uacutenica superficie estaba a expensas de la ubicacioacuten de los ceros

relevantes que a su vez dependiacutean del soporte de las fuentes Por tanto si imponiendo el soporte se

dieran las condiciones de unicidad quedariacutea auacuten la ambiguumledad de una fase lineal Sin embargo

puesto que la unicidad de solucioacuten en el caso de observacioacuten sobre dos superficies no depende del

soporte seraacute aquiacute suficiente imponer la condicioacuten del soporte para eliminar la ambiguumledad debida a

una fase lineal arbitraria Por tanto la prueba Hoenders ahora siacute garantiza la unicidad de solucioacuten

3316 Extensioacuten al caso discreto

a) Extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z

En la formulacioacuten discretizada del problema electromagneacutetico directo el dominio de las fuentes estaacute

constituido por un conjunto finito de dipolos de Hertz dispuestos sobre una retiacutecula regular y el de


observacioacuten por otra retiacutecula finita de puntos de medida Por tanto en lugar de basar nuestra

discusioacuten en teacuterminos de transformadas continuas de Fourier y su extensioacuten analiacutetica (cuya relacioacuten

con la transformada de Laplace es directa ndashbasta con hacer una rotacioacuten de los ejesndash) parece

conveniente centrar nuestra atencioacuten en los correspondientes dominios transformados discretos es

decir la transformada de Fourier discreta y su extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z

Como es bien sabido si el muestreo ha sido adecuado (sect242) existe una identidad esencial entre

ambos casos y por tanto las consideraciones sobre el problema continuo podriacutean extenderse al

discreto y viceversa gracias a esa identidad esencial Siendo asiacute puede afortunadamente recurrirse a

ciertas evidencias matemaacuteticas que se han investigado directamente sobre los dominios discretos

De especial intereacutes para el problema que nos atantildee son los teoremas de Hayes [61 62] No obstante

podemos antes recordar ciertas propiedades elementales que son de radical importancia para el

problema inverso sin fase

Como se ha venido viendo el argumento central para la suficiencia del moacutedulo en el problema

inverso consiste en la analiticidad de las distribuciones de campo cuya evidencia nos la aporta el

teorema de Paley y Wiener [129] que a su vez se encuentra a expensas del soporte finito de las

fuentes Su correlato en el aacutembito de las distribuciones discretas es de evidente demostracioacuten ya

que aquiacute la extensioacuten analiacutetica de la transformada de Fourier no se trata de funciones

trascendentales sino de polinomios en z de orden finito y por tanto definibles por medio de un

nuacutemero restringido de ceros y quizaacute un polo en cero o infinito Precisamente a sazoacuten de esta

caracteriacutestica es como Oppenheim [126 sect102] llega a su tercera propiedad de las regiones de

convergencia ldquoSi x[n] tiene un soporte finito entonces la regioacuten de convergencia se extiende a todo

el plano Z excepto posiblemente el origen o infinitordquo Que equivale a decir que la extensioacuten

analiacutetica de la transformada de Fourier de x[n] es una distribucioacuten entera lo cual nos coloca en un

punto de partida semejante al del caso continuo y aun mejor ya que aquiacute no nos es necesario

esgrimir la condicioacuten de ldquoceros relevantesrdquo (ver sect331 nota 14)

b) Acerca de la ambiguumledad

Pero antes de recurrir a los teoremas de Hayes es interesante para la comprensioacuten de nuestro

problema la consideracioacuten de algunas propiedades fundamentales de las distribuciones discretas

que por simplicidad seguiremos de momento consideraacutendolas unidimensionales Como se ha

dicho en virtud de la finitud de las distribuciones su transformada puede describirse mediante un

numero finito de ceros de hecho tantos como puntos en el soporte de la distribucioacuten La

transformada de Fourier de espacio discreto corresponde aquiacute con el ciacuterculo de radio unidad (si en

nuestro problema la distribucioacuten discreta se refiere a la retiacutecula de fuentes la distribucioacuten sobre el

ciacuterculo |z|=1 seraacute la distribucioacuten continua en campo lejano) Naturalmente el valor de la

transformada en cualquier punto podraacute determinarse como el producto de los vectores entre el

punto y los ceros (veacutease la figura 3-6) Llamando F (z) a la transformada z de la distribucioacuten de

fuentes f [n] que a su vez corresponderaacute a la extensioacuten analiacutetica del campo lejano


)1()()( y

)1()()( 2

1

221||

0

1

1

0 ujk

N

k

nujujzkk

N

k

n ezCeuEen

zCzzCzzzE o πππ minus

=

sdot=minus

=minusprod==rarr

isinisin

minusprod== FFZ

C (3-51)

De la observacioacuten de (3-51) pueden distinguirse las principales fuentes de ambiguumledad cuando soacutelo

se conoce el moacutedulo

a) Cualquier variacioacuten homogeacutenea en la fase de la distribucioacuten de fuentes no puede percibirse en

la distribucioacuten del moacutedulo del campo

b) El orden de los ceros (o polos) situados en el origen no tiene impacto en el moacutedulo de la

distribucioacuten de campo pero engendra sin embargo una fase continua

c) Un cero situado en zk genera la misma distribucioacuten de moacutedulo que otro dispuesto en 1zk es

decir su reciacuteproco conjugado (se trata de la misma ambiguumledad que nos planteaban en el caso

continuo los ceros conjugados)

minusminus=minus

minus=minusrarr

minus

minuslowastminus

lowastminus

=

lowastlowast

minus

1fase1fase

|1||1|

)1( 1 en cero

)1( en cero22

221||

1

ujk

ujk

ujk

ujkz

kk

kk

ezez

ezez

zzz

zzzππ

ππ

Figura 3-6 Ceros de la transformada Z de una distribucioacuten discreta de fuentes que equivale a la extensioacuten

analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano

Es faacutecil advertir coacutemo los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] sobre la suficiencia del moacutedulo

son compatibles con estas ambiguumledades Particularizaacutendolos al caso que nos atantildee es decir de

inexistencia de polos (exceptuando el origen o infin) y ampliandolos para distribuciones complejas los

teoremas 7 y 8 pueden reunirse en uno soacutelo que diriacutea

Teorema H-L-O Siendo f1[n] e f2[n] dos distribuciones cuya transformada Z tiene todos los ceros bien

sea dentro o bien fuera del ciacuterculo unidad Si |Ff1[n]|= |Ff2[n]| entonces f1[n]=ejθsdot f2[n+m]

donde θ isinR y misinZ

La primera ambiguumledad que ya antes hemos tildado de inesencial (en los comentarios a la ec 3-47)

aparece en el teorema en teacuterminos de la constante ejθ Es evidente que esta ambiguumledad no tiene

consecuencias praacutecticas ya que incluso en la formulacioacuten reducida del problema (ec 3-40) hemos

zk

1zk

z2

z3

z5

z1

zN

|z|=1

Par reciacuteproco conjugado


prescindido de una constante compleja aunque se haya asumido en la normalizacioacuten de la

distribucioacuten En consecuencia puede definirse una relacioacuten de equivalencia entre distribuciones

realisinsdot=equiv ϑϑ ][][si ][][ 1221 nennn j ffff (3-52)

La segunda ambiguumledad aparece en la constante arbitraria m Y finalmente la uacuteltima fuente de

equiacutevoco es evadida en las condiciones del teorema al imponer que todos los ceros se encuentren a

un lado o al otro del ciacuterculo unidad Esta condicioacuten puede faacutecilmente compararse con la solucioacuten

que Walther [160] proponiacutea a la ambiguumledad introducida por los hipoteacuteticos factores de Blaschke

eacutesta evidentemente desaparece como se discutioacute antes (sect331a) si tenemos la certeza de que los

ceros se encuentren por encima o por debajo del eje real (su transposicioacuten al caso discreto es

directa) Es decir nos encontramos auacuten en una situacioacuten de incertidumbre semejante a la que

llegamos en las consideraciones a la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) mientras que en el caso continuo

el teorema de Hoenders (sect331b) pretendiacutea llegar maacutes lejos

c) Discusioacuten de la unicidad para distribuciones de soporte finito

Recueacuterdese que el teorema de Hoenders asiacute como la reduccioacuten de la ambiguumledad debida a la

limitacioacuten del nuacutemero de ceros relevantes (sect3311) partiacutea de tomar en consideracioacuten la finitud de la

distribucioacuten de fuentes20 Intentemos pues buscar un conjunto de condiciones suficientes de

unicidad alternativas a las que nos impone el teorema H-L-O pero que a diferencia de aquellas esteacuten

al alcance de la observacioacuten y que podamos aplicar para cualquier tipo de distribucioacuten

i Mult ip l i c idad de so luc ioacuten a part ir de una uacutenica dis tr ibuc ioacuten de moacutedulo Consideremos las distribuciones asociadas a ceros reciacuteprocos conjugados cuya contribucioacuten sobre

el moacutedulo es ideacutentica En la figura 3-7 se ilustran dichas distribuciones Como puede observarse su

soporte es claramente discordante Caracteriacutestica que recurriendo al teorema de la convolucioacuten

[126 1055] puede faacutecilmente generalizarse para cualquier distribucioacuten en la que se alterna alguno

de sus ceros Seguacuten el teorema de la convolucioacuten la distribucioacuten de fuentes correspondiente a un

conjunto de ceros z k puede representarse mediante la convolucioacuten de las distribuciones

asociadas a cada cero

][][][][)( )1()()(21

10

01

1nfnfnfnnCxzzCzzzE

Nzzzk

N

k

n Z lowastlowastlowastlowastminussdot=rarrminusprod==minusminus

=LδfF (3-53)

20 En la formulacioacuten de Hoenders equivale al plano de la pupila


Figura 3-7 Distribuciones correspondientes a dos ceros reciacuteprocos conjugados Su soporte es diferente

Teorema 2 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte y compatibles con el

moacutedulo de una distribucioacuten de campo conocida

Es evidente que el soporte de la convolucioacuten de dos distribuciones f1[n] y fz1[n] es diferente que el

soporte de la convolucioacuten de la primera f1[n] con la reciacuteproca de la segunda f1z1[n]

][][soporte][][soporte1121 1

nfnfnfnfzz lowastlowastnelowast

(3-54)

Y de hecho si se conmuta alguno de los ceros por su reciacuteproco conjugado ocurriraacute que la

distribucioacuten total resultante tiene un soporte diferente pero la extensioacuten de dicho soporte seraacute

ideacutentica Si consideramos ahora la arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o en infinito entonces

][][1]-[nsoporte][][soporte1121 1

nfnfnfnfzz lowastlowastlowast=lowast δ

(3-55)

En definitiva si impusieacuteramos aquiacute factores de Blaschke arbitrarios

12 1arg221 )()1(

)1()(

minusminussdotminus=minus

lowast

= rarrminusminus

= zzjujk

ez

k

kk

kuj

eeBzzzz

zB ππ (3-56)

pero ninguacuten factor que refleje la ambiguumledad de los desplazamientos (fase lineal en la transformada)

entonces su soporte seraacute en efecto diferente Si como Hoenders forzaacuteramos la extensioacuten de la

distribucioacuten estrictamente dentro de los liacutemites del soporte a la vez que nos desentendieacuteramos de la

arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o infinito entonces tendriacuteamos que admitir que habriacutea una

uacutenica distribucioacuten de fuentes compatible con una distribucioacuten de moacutedulo del campo dada Sin

embargo si de acuerdo a las ambiguumledades intriacutensecas a nuestro problema se considera la arbitraria

aparicioacuten de teacuterminos de fase lineal (es decir ceros en el origen o infinito) resulta evidente que el

problema de Walter no estaacute auacuten resuelto y que por tanto existen muacuteltiples soluciones posibles tal

y como se habiacutea afirmado Se ve aquiacute con claridad la insuficiencia de la conclusioacuten de Hoenders

i i Unicidad de solucioacuten a part ir de dos dis t r ibuc iones de moacutedulo Para el anaacutelisis de las condiciones de unicidad consideremos primero un caso sencillo es decir una

distribucioacuten de orden moderado para despueacutes generalizarla En la figura 38 se ilustra el problema

de una distribucioacuten de orden 4 en la que pueden verse la distribucioacuten original y un par de variantes

con la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo (si bien no se presentan las 8 posibilidades

-2 - 1 0 1 2 n

-2 - 1 0 1 2 n

-zk

-zk

1

1

rarrminus

rarrminusminus

minus

lowastlowast

minus

1

1

)1( 1 en cero

)1( en cero 1

Z

Z

zzz

zzz

kk

kk


existentes una de ellas es la simeacutetrica conjugada y las restantes son del tipo a las variantes

representadas) Como puede observarse la conmutacioacuten de cualquier cero se traduce en la variacioacuten

de la distribucioacuten de fuentes en todos sus punto a no ser que el cero en cuestioacuten esteacute situado en

z=plusmn1 En este caso es trivial que a su conmutacioacuten corresponden distribuciones equivalentes como

tambieacuten corresponderiacutean a las conmutaciones de cualquier cero sobre |z|=1

Figura 3-8 Distribuciones de fuentes de orden cuatro que generan una misma distribucioacuten de moacutedulo de

campo A la izquierda se representa la distribucioacuten original a la derecha dos variantes afectadas

por factores de Blaschke (conmutacioacuten de uno o dos ceros reciacuteprocos)

Seguacuten se ha visto la conmutacioacuten de cualquier cero que pueda ser fruto de ambiguumledad (|zk|ne1)

modifica todos los valores de la distribucioacuten maacutes concretamente su moacutedulo No obstante seriacutea

apresurado suponer que esta conclusioacuten nos ofrece una condicioacuten de unicidad ya que la alternancia

muacuteltiple puede conducir a resultados diferentes En efecto consideremos la posibilidad de que

|z 3 |= 1 |z 2 | si bien la alternancia de un solo cero modifica todos los valores de la distribucioacuten

cuando se conmutan simultaacuteneamente z 2 y z 3 el moacutedulo de los valores extremos permanece

inalterado a la vez que se modifica la fase de la distribucioacuten de campo si por otra parte se impone

que el moacutedulo de los elementos segundos sean iguales se llega a la conclusioacuten de que el argumento

de los ceros z 2 y z 3 debe ser simultaacuteneamente 0 o π es decir z 3 = 1 z 2 pero entonces al

intercambiarlos se llegariacutea a la situacioacuten original Es decir no hay dos distribuciones de fuentes cuyo

moacutedulo sea ideacutentico y generen una distribucioacuten de campo con el mismo moacutedulo y fase diferente

Pero por otra parte se ve que soacutelo la consideracioacuten de los valores extremos no es suficiente (y

menos como suponiacutea Hoenders la localizacioacuten del valor extremo maacuteximo) No obstante antes de

- 1 0 1 2 n

-z2 1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -1 0 1 2 3 n

-(z1+ z2+ z3)

1

-(z1+ z2)middotz3+ z1middotz2

-z1middotz2middotz3

f z2

f z1

f z3

Dis t r ibu c i oacuten Or i g ina l- 1 0 1 2 n

-z2 1

- 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -2 -1 0 1 2 n

z2middotz3+z1middotz2+1

-z2

-(z1middotz2middotz3+z3+ z1)

z1 middotz3 f 1z2

f z1

f z3

Variant e 1

-3 -2 -1 -2 -3 n

z2middotz3+1+z2middotz1 z2middotz3

-(z1middotz2middotz3+z3+z2)

-z1

- 1 0 1 2 n

1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

1

-z2

-z3

f 1z2

f z1

f 1z3

Variant e 2

][][][)(21

nfnfnfxNzzz lowastlowastlowast= Lf


llegar a una conclusioacuten final respecto a las condiciones observables de unicidad21 a la vez que aplicables a

todos los casos consideremos una distribucioacuten arbitraria de N+1 elementos (con un soporte entre 0

y N) cuya transformada Z podraacute representarse como

NN

N

mnmnC

mnN

NN

N

zzzzzzzzzzz

zzzzzazazminus

neforall

minusminus


sdotsdotminus+sdot+sdot+++minus=

=minustimestimesminus=+++=

sum )()1()(1

)1()1(1)(

21)(

2121

111

11

LLL

LLF

(3-57)

Cuando se invierte uno de los ceros z i la distribucioacuten correspondiente desplazada hasta n=0 seraacute

121111

)()1()(1)( minusminusminuslowast sdotsdot

minus++sdotminus++++minus= zz

zzzzzzzzzz

i

NNiNii

LLLF

(3-58)

Si de nuevo se invierte otro cero z j

121211 )()1()()( minusminusminuslowastlowastlowastlowastlowastlowast sdot

sdotminus++sdotminusminus++++minus= z

zzzzz

zzzzzzzzzzzzji

NNjiNjijiji

LLLF

(3-59)

Y en general para M conmutaciones de ceros por sus reciacuteprocos conjugados

121

11

)()1(

)()1(

)1()(

minusminus

minuslowastlowastlowastlowast

lowastlowast

sdotsdot

minus+

+sdotminusminusminus+++++minusminus

minus=

zzz

zzz

zzzzzzzzz

zzz

li

NMN

liNliliM

liM

L

LL

LLLL

LF (3-60)

Si a pesar de los cambios el moacutedulo del primer elemento de (3-60) fuera ideacutentico al de la

distribucioacuten original |z i sdot sdot z i | =1 el segundo soacutelo podraacute ser igual si la suma de los argumentos

de los ceros conmutados es nula Seguacuten vamos considerando maacutes elementos la coincidencia entre

las distribuciones introduce unas condiciones sobre los ceros cada vez maacutes inverosiacutemiles De hecho

en la mayor parte de los casos la imposicioacuten de la igualdad de moacutedulo sobre unos pocos puntos de

la distribucioacuten de fuentes podraacute ser suficiente para garantizar la unicidad de solucioacuten ya que la

ubicacioacuten real de los ceros no admite por lo general el cumplimiento de las condiciones

acumuladas No obstante en ninguacuten caso puede darse ndashcomo se vioacute con claridad en el problema de

orden 4ndash la igualdad del moacutedulo en todos los puntos

21 Es decir que puedan obtenerse mediante experimentacioacuten por ejemplo sobre la distribucioacuten de fuentes o

bien porque se trate de unas condiciones de la distribucioacuten de fuentes que se conozcan de antemano (como

puede ser el caso de unas excitaciones nominales) En general puesto que esta informacioacuten se usa para la

solucioacuten del problema inverso se denomina informacioacuten a priori


Corolario 1 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito 0lenleN Si

|E1 (u)|=|Ff 1 [n]|=|Ff 2 [n] |=|E2 (u|) y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]

3317 Extensioacuten a dominios superficiales

La extensioacuten al caso de dominios superficiales discretos describibles por medio de un par

coordenado n=(n1n2) no puede hacerse por consideracioacuten de los ceros en el espacio complejo

extendido z=(z1z2) sino que aquiacute deberaacute considerarse su factorizacioacuten polinoacutemica que en general

puede no llegar hasta los monomios que corresponden a un uacutenico cero La transformada Z para

una distribucioacuten superficial podraacute expresarse como [62 39]

isin=

isin=sdot== minussum C

Z

i

i

zzznnn

E )( )(

donde )()()(21

21

z

nznzz n

n

fF (3-61)

Donde la particularizacioacuten sobre la esfera |z|=1 se corresponde con la transformada de Fourier de

la distribucioacuten de fuentes es decir el campo lejano Con lo cual la transformada Z juega aquiacute el

papel de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano

De acuerdo con el teorema 1deg de Hayes [62] la factorizacioacuten de la transformada Z en teacuterminos de

polinomios irreductibles es uacutenica22

)()(1

0 zzz nk

k

p

FF=

minus prodsdot= α (3-62)

Donde evidentemente los p polinomios no triviales son los responsables de la forma de la

distribucioacuten y asiacute mientras sea conocido el soporte de la distribucioacuten la unicidad de solucioacuten

dependeraacute esencialmente de estos De la misma manera que en el caso unidimensional la

ambiguumledad que implica el desconocimiento de la fase del campo dependiacutea de la simetriacutea de los

monomios (es decir de si el cero asociado tiene o no moacutedulo unidad) el grado de ambiguumledad

dependeraacute ahora de la simetriacutea de los polinomios irreductibles Si en las distribuciones lineales los

ceros reciacuteprocos ocasionaban una misma distribucioacuten de moacutedulo pero no necesariamente de fase

seraacuten ahora los polinomios irreductibles simeacutetricos los que devengan esa misma ambiguumledad

)1()( lowastlowastminus= zzz Nkk FF

( (3-63)

Donde kF( representa el polinomio simeacutetrico a partir del cual podriacutean generalizarse los factores de

Blaschke como )()()( zzz kkkB FF(

= Si tanto la transformada de Fourier de un polinomio como la

22 Para lo que naturalmente es menester la definicioacuten de una clase de equivalencia polinoacutemica [62]


de su simeacutetrico tienen el mismo moacutedulo es entonces evidente que una distribucioacuten de fuentes cuya

transformada Z pueda describirse seguacuten (3-63) generaraacute la misma distribucioacuten de moacutedulo de campo

que cualquier otra cuya transformada correspondiente sea [62 teorema 6deg]

2

y ]21[ )( )( )( Zisin=cupprodprodsdotplusmn= minus mzzzz m plk

lk

kl1 FFF(

α (3-64)

Consecuentemente podraacute asegurarse que si f 1 (n) tiene un soporte (00)(N1N2) y su

transformada Z estaacute compuesta

a) por factores que todos sean simeacutetricos

b) un uacutenico factor irreductible y asimeacutetrico

c) un solo factor irreductible asimeacutetrico y los restantes simeacutetricos

entonces cualquier distribucioacuten de fuentes f 2 (n) con ideacutentico soporte que pueda engendrar la

misma distribucioacuten de moacutedulo seraacute equivalente bien a f 1 (n) o bien a f 1 (-n) Es decir

|E1 (uv)|= |E2 (uv)| rArr f 2 (n) isin ejθsdot f 1 (n) ejθsdot f 1 (-n) θ isinreal (3-65)

Bastaraacute en los casos (b) y (c) ndashasimeacutetricosndash distinguir en queacute extremo la distribucioacuten de fuentes

tiene maacutes amplitud para poder romper la ambiguumledad (3-65)23

Figura 3-9 Ejemplo de polinomios irreductibles asimeacutetrico y simeacutetrico

23 Obseacutervese que eacutesta es la condicioacuten de suficiencia para la unicidad de solucioacuten seguacuten las conclusiones de

Hoenders [65 44 153 137 70] Las condiciones (b) y (c) se obtienen mediante generalizacioacuten para

distribuciones complejas de los teoremas 7 y 9 de Hayes [62]

n1

n2

a

b 1

1 n1

a

b

1

1

n2

zndash2Fk (1z)

Fk(z)=a+z1+z2+bz1z2 anebne1 ab isin real

a) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible asimeacutetrico

b) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible simeacutetrico

n1

n2

a

a 1

1 n1

a

a

1

1

n2

zndash2 Fk (1z)

Fk(z)=a+z1+z2+az1z2 ane1 a isin C


Desafortunadamente nuestro conocimiento de las distribuciones de fuentes no suele ir tan lejos

como para poder asegurar que pertenezca a una de las categoriacuteas mencionadas con lo cual nos

interesa encontrar un conjunto de condiciones observables que permitan garantizarnos la unicidad

de solucioacuten

En la figura 3-9 se representan dos ejemplos de distribuciones equivalentes a polinomios

irreductibles siendo uno de ellos simeacutetrico y el otro no Al igual que en el caso lineal la distribucioacuten

de fuentes original equivaldraacute aquiacute a la convolucioacuten de las distribuciones asociadas a cada uno de los

polinomios irreductibles en que se factoriza su transformada Z Es claro que cuando se sustituya

una de esas distribuciones por su simeacutetrica (3-63) el resultado de la convolucioacuten seraacute invariante

cuando el polinomio conmutado sea simeacutetrico y diferente para polinomios asimeacutetricos ndashcomo el de

la figura 3-9andash De hecho en el problema superficial las condiciones de simetriacutea son maacutes restrictivas

que en el lineal y al igual que alliacute habraacute una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo de fuentes compatible con

un moacutedulo de campo dado Pero por otra parte en relacioacuten a la dimensioacuten del problema el orden

de multiplicidad de las distribuciones de fuente compatibles con una de moacutedulo de campo dada es

menor para el caso superficial que para el lineal ya que el nuacutemero de factores irreductibles es ahora

menor que la dimensioacuten24 Con lo que en definitiva podemos generalizar el corolario al que se

llegoacute en el caso superficial

Corolario 2 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito (00)(N1N2) Si

|E1 (uv)|=|E2 (uv)| y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]

3318 Extensioacuten a las distribuciones de campo en zona de Fresnel

a) Multiplicidad de solucioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo del campo

Hasta el momento hemos limitado nuestro estudio del problema sin fase al caso de una observacioacuten

lejana expresada en la relacioacuten (3-40) Las conclusiones de este estudio compendiadas en el

teorema y corolarios anteriores nos dicen que conocida una distribucioacuten de moacutedulo del campo

lejano en general habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente compatibles con aquella Mientras que la

condicioacuten suficiente de unicidad de solucioacuten supone que se debe conocer el moacutedulo de las

distribuciones sobre los dominios de fuente y campo Es ahora menester investigar queacute ocurre

cuando nuestro conocimiento es el del campo sobre un dominio cercano Para ello contamos con

dos propiedades de radical importancia el ancho de banda de la distribucioacuten de campo estaacute limitada

24 Por esta razoacuten Barakat [13] concluye que para distribuciones reales (lo cual supone traducido a nuestro

problema que se conoce la fase de la distribucioacuten de fuentes) la multiplicidad de soluciones en el caso

bidimensional es ldquopatoloacutegicamente rarordquo Sanz [138] en su teorema 7 generaliza este aserto para n

dimensiones


(tanto maacutes cuanto maacutes pequentildeo sean las dimensiones de las fuentes ndashteorema 3 de muestreo) las

transformadas de las distribuciones de fuente y de campo estaacuten relacionadas por medio de

funciones diaacutedicas (2-30)

Teorema 3 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte capaces de engendrar

una distribucioacuten de moacutedulo del campo proacuteximo conocida

Supongamos que la geometriacutea de los dominios nos permite expresar la relacioacuten entre el campo y las

fuentes a traveacutes de sus dominios transformados (sect23) f~~~ sdot=GE

Puesto que el campo en virtud de los teoremas de muestreo (sect241) tiene un ancho de banda

acotado entonces podemos decir que E~ es una distribucioacuten cuyo soporte es finito De acuerdo al

teorema 2 (sect3316) habraacute varias distribuciones con el mismo soporte cuya transformadas sea de

moacutedulo ideacutentico Las trasformadas de E~ corresponden aquiacute con las propias distribuciones de

campo Es decir conocido |E| seguacuten dicho teorema ||||||~~~ 2121 NN EEEEEE ===exist y en

consecuencia habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente ~~11

21 minusminus sdot= GEFiN ffff capaces de

generar la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo tal y como se habiacutea afirmado

b) Unicidad de solucioacuten a partir de varias distribuciones de moacutedulo del campo

Visto que no existe una uacutenica solucioacuten al problema de conocer el moacutedulo del campo sobre una sola

superficie a la vez que se conoce el soporte de las fuentes queda investigar si la solucioacuten seraacute uacutenica

cuando se conoce el campo sobre dos superficies Seguacuten se indicoacute anteriormente (sect33e) Hoenders

aportoacute una prueba teoacuterica a la unicidad de solucioacuten que seriacutea aplicable al caso de disponer del

moacutedulo del campo sobre dos superficies No obstante la unicidad de solucioacuten puede probarse de

una forma alternativa a la propuesta por Hoenders [65 70] y compatible con la formulacioacuten directa

planteada en sect23 cuya aplicabilidad es maacutes extensa que aquella

Supongamos que los dominios de campo y fuentes se han elegido de tal modo que pueda emplearse

la relacioacuten (2-36)

2

2

1

1

2

222

1

111

~~

~~

~~~~~~

~~~~~~

GE

GE

GE

GE

GE

GE

=

=rArrsdot=

=rArrsdot=

ff

ff (3-66)

Donde la tilde representa la transformada de Fourier bidimensional sobre dominios isocoordenados

(obseacutervese que en las geometriacuteas canoacutenicas podriacutean emplearse expresiones similares recurriendo a la

formulacioacuten modal sect236) Si se introducen ahora factores de Blaschke arbitrarios que preserven ndash

respetando el mencionado teorema de Titschmarsch [157]ndash el moacutedulo de cada una de las


distribuciones de campo puede determinarse a partir de eacutestas unas distribuciones de fuentes

modificadas por los respectivos factores de Blaschke

2

2222

1

1111

~~~~~

~~~~~

GE

BEE

GE

BEE

mm

mm

=rArrsdot=

=rArrsdot=

(2m)

(1m)

f

f

(3-67)

Existiriacutea ambiguumledad si hubiera una distribucioacuten de fuentes (2m)(1m) ff ~~ = que fuera compatible con

alguna combinacioacuten de factores de Blaschke Imponiendo pues la condicioacuten natural de igualdad de

las distribuciones de fuentes se llega a la conclusioacuten de que los factores de Blaschke deben ser

iguales

)()(~~

~~~~~

~~

~~~

212

663

1

22

2

2ambiguumledad de

hipoacutetesispor

1

663

1

11

1

1 zBzBBG

BEGE

BG

BEGE mm =rArr

sdot====sdot===gtminusltgt

ltgtminuslt

ffff (2m)(1m) (3-68)

Es decir

)()( 22

2

1

1

1 zB

zzzz

zzzz

zBn

n

nn

n

n=

minusminus

prod=minusminus

prod= (3-69)

donde z1n representa los ceros de la distribucioacuten de campo en la primera superficie y z2n los de la

distribucioacuten en la segunda Resulta evidente seguacuten el teorema de Titschmarsch y a tenor de la

diferencia existente entre las distribuciones del moacutedulo del campo sobre las dos superficies que sus

ceros son necesariamente diferentes Asiacute pues como los polos de los factores de Blaschke deben

coincidir exactamente sobre los ceros de las distribuciones respectivas que son diferentes para cada

superficie la condicioacuten (3-69) implica que estos han de ser necesariamente unitarios

=

=rArr==

22

1121 1)()(

EE

EEzBzB

m

m (3-70)

Como para el caso de las distribuciones superficiales la extensioacuten analiacutetica del campo no es

reducible a monomios sino a polinomios irreductibles los factores de Blaschke pueden

generalizarse como se indicoacute en sect3317 Pero como ocurre que las a distribuciones sobre diferentes

superficies corresponden polinomios irreductibles diferentes la conclusioacuten es ideacutentica Es decir

dadas dos distribuciones de moacutedulo de campo estas soacutelo son compatibles con sus distribuciones de

campo complejas y habraacute en definitiva una uacutenica distribucioacuten de fuentes asociada con la pareja de

distribuciones de moacutedulo

Aplicando el teorema de equivalencia este resultado puede extenderse para garantizar la unicidad de

solucioacuten de acuerdo con el planteamiento de Geschberg [52] o sea cuando se cuenta con las

distribuciones de moacutedulo del campo y de las fuentes Para ello bastariacutea con poder situar un dominio


de fuentes equivalentes maacutes proacuteximo a las efectivas que el empleado para observarlas y recurrir en

este uacuteltimo al teorema de equivalencia

Conjugando estos resultados con los teoremas de unicidad y equivalencia (sect22) se llega

directamente a la conclusioacuten

Corolario 3 Sean D1 y D2 dos dominios de observacioacuten diferentes que engloban un sistema radiante

Si sobre D1 y D2 se conocen las distribuciones de moacutedulo del campo tangencial |E1| y |E2|

entonces existe una solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) forallrnotinVrsquo

Sobre una superficie S que englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes

equivalentes

Si ademaacutes se tiene en cuenta que en la zona de Fresnel las distribuciones de campo eleacutectrico y de

campo magneacutetico sobre un determinado dominio debidas a unas mismas fuentes son siempre

diferentes se sigue que la factorizacioacuten de sus extensiones analiacuteticas es diferente Por tanto

anaacutelogamente a como se demostroacute antes los factores de Blaschke que afectariacutean a cada una de las

distribuciones deberaacuten ser unitarios y en consecuencia fijado el soporte de las fuentes habraacute una

uacutenica solucioacuten que satisfaga simultaacuteneamente las distribuciones de moacutedulo de campo eleacutectrico y

magneacutetico

Corolario 4 Sea D un dominio de observacioacuten que englobe un sistema radiante Si sobre D se

conocen las distribuciones de moacutedulo de los campos tangenciales |E| y |H| entonces existe una

solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) H(r) forallr notinVrsquo Sobre una

superficie S englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes equivalentes

332 Soluciones al problema inverso sin fase

Si bien la solucioacuten al problema inverso sin fase depende esencialmente de que pueda garantizase su

unicidad queda auacuten por indicar el camino que a partir de los observables nos conduzca hasta la

solucioacuten deseada o al menos nos deje tan cerca de eacutesta como nos lo permita el ruido

Naturalmente las condiciones que se requieren para asegurar la unicidad de solucioacuten tan discutidas

en los paacuterrafos precedentes prefiguraraacuten los ensayos experimentales y constituyen la espina dorsal

de los meacutetodos inversos Por una parte hemos visto como hay una serie de propiedades analiacuteticas

sobre las que se sustenta la unicidad de solucioacuten que en general las hemos podido referir a la

posicioacuten de los ceros de la extensioacuten analiacutetica de las distribuciones de campo Cuando la ubicacioacuten

de esos ceros cumpliacutea ciertas condiciones entonces podiacutea asegurarse la unicidad de solucioacuten a partir

de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo e incluso la aplicabilidad de alguna relacioacuten de dispersioacuten Sin

embargo puesto que en muchos casos praacutecticos no pueden ratificarse las condiciones a cerca de la

ubicacioacuten de los ceros se ha visto coacutemo el aumento de observables es suficiente para garantizar la


unicidad de solucioacuten en cualquier caso Asiacute podraacuten distinguirse dos grandes clases de

procedimientos 1) los que intentan modificar la distribucioacuten observada para que la ubicacioacuten de sus

ceros cumpla ciertas propiedades y 2) los que sin modificar la distribucioacuten de campo aumentan la

observacioacuten para procurar garantizar la unicidad de solucioacuten Para designarlos de forma concisa

llamaremos a los procedimientos de la primera especie manipuladores y a los segundos observadores

Normalmente en los meacutetodos manipuladores suele disponerse de alguna relacioacuten de dispersioacuten que

permite la reconstruccioacuten de la distribucioacuten compleja de campo mientras que en los meacutetodos

observadores debe recurrirse a procedimientos numeacutericos que imponen las condiciones que se consideran

suficientes para la unicidad de solucioacuten Sin embargo a los primeros pueden tambieacuten aplicarse

meacutetodos numeacutericos y a los segundos relaciones analiacuteticas o a veces una mezcla de ambos25

Como puede verse en los corolarios alcanzados en el estudio de la unicidad la absoluta garantiacutea de

unicidad cuando no se manipula la radiacioacuten implica la medicioacuten de dos distribuciones de moacutedulo

ya sean sobre el dominio de las fuentes y el campo sobre dos dominios diferentes de campo o bien

las distribuciones de campo eleacutectrico y magneacutetico sobre un solo dominio En general referiremos

estos conjuntos de medidas con independencia de su ubicacioacuten espacial como dominios de observacioacuten

diferentes

Desde la aparicioacuten del algoritmo de Geschberg-Saxton [52 53 54] que consistiacutea en la aplicacioacuten

alternada de las distribuciones de moacutedulo sobre dos dominios de observacioacuten se fueron sucediendo

los procedimientos que implicaban la proyeccioacuten de las soluciones encontradas en un dominio a las

distribuciones sobre el otro dominio Como soacutelo hay una pareja de distribuciones complejas

compatibles con las medidas estos meacutetodos que denominaremos de proyecciones sucesivas terminan

convergiendo hacia la solucioacuten26 No obstante la aplicacioacuten del conjunto de observaciones

suficientes puede hacerse de forma alternativa introduciendo todas las condiciones en un funcional

que debe minimizarse Generalmente este funcional es relativo a la distancia entre las

distribuciones reconstruidas y las medidas pero desafortunadamente estos funcionales no son

cuadraacuteticos como lo es el (3-5) y dependen de su condicionamiento para que los meacutetodos de

25 Como es el caso de la teacutecnica propuesta por Nakajima [120] en la que se usa una relacioacuten de dispersioacuten

como la (3-47) y una buacutesqueda iterativa de la posicioacuten de los ceros Por estas razones la clasificacioacuten que se

presenta aquiacute es discordante con la que suele encontrarse en la literatura [153 6 119 70] que distingue entre

meacutetodos directos (que recurren a relaciones y propiedades analiacuteticas [153]) y meacutetodos numeacutericos (o de reduccioacuten de

error [46 6])

26 Puesto que el operador de proyeccioacuten es lineal y las condiciones impuestas en cada iteracioacuten I no

pueden aumentar la distancia a la solucioacuten uacutenica el teorema general de la convergencia garantiza la unicidad

de solucioacuten [105]


optimizacioacuten aplicados no se estanquen No obstante esta teacutecnica empezada a utilizar en oacuteptica y

microscopiacutea electroacutenica al poco tiempo de la propuesta de los algoritmos iterativos [142 45 46]

presenta ciertas ventajas que unido a la gran cantidad de variantes desarrolladas en el aacutembito

general de la teoriacutea de optimizacioacuten han hecho que el recurso a estos procedimientos se encuentre

frecuentemente en la literatura [169 78 19 20 73 74 75 76 103 48 98 99 100 140]

En suma podraacute distinguirse entre las siguientes categoriacuteas de meacutetodos

1) Manipuladores que a su vez podraacuten pretender modificar

a la distribucioacuten de campo (dominios causales holografiacutea y desplazamiento de ceros)

b la distribucioacuten de fuentes (apodizacioacuten propuesta de Greenaway antisimeacutetricos)

2) Observadores a los que puede aplicarse procedimientos

a directos (variantes no iterativas de los algoritmos de GS y Misell)

b de proyecciones sucesivas (Gerchberg-Saxton Misell Anderson)

c de optimizacioacuten

3321 Procedimientos manipuladores

Seguacuten se ha indicado antes consideramos aquiacute todos los procedimientos que por intervencioacuten

deliberada consiguen que la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo cumpla ciertas

propiedades27 De hecho al comenzar nuestra discusioacuten sobre el problema inverso y recordar la

relacioacuten que por medio de la transformada de Hilbert podiacutea establecerse entre las partes real e

imaginaria de las funciones cuadrado integrables (es decir L2) nos pareciacutea haber acariciado la

solucioacuten al problema inverso Especialmente al considerar la relacioacuten de dispersioacuten sobre las partes

real e imaginaria del logaritmo de la distribucioacuten de campo (ec 3-39) Sin embargo los posibles ceros

sobre el dominio de observacioacuten que evidentemente impiden la pertenencia al grupo L2 del

logaritmo de la distribucioacuten se presentaron ya en ese punto como una limitacioacuten esencial para la

utilizacioacuten de una sencilla relacioacuten de dispersioacuten que resolviera nuestro problema Pero si contamos

con la posibilidad de manipular la distribucioacuten de campo se podriacutea intentar evitar las dificultades

que impiden la utilizacioacuten de la relacioacuten (3-39) La solucioacuten inicialmente propuesta por Mehta y

Gamo [113 44] en el aacutembito de las funciones de coherencia es bien elemental nos bastariacutea impedir

que la distribucioacuten de campo se hiciera cero antildeadiendo sobre todo el dominio de observacioacuten una

radiacioacuten homogeacutenea y mayor que la procedente de las fuentes bajo estudio Este procedimiento

guarda estrecha relacioacuten con la famosa teacutecnica holograacutefica de adiccioacuten de un rayo de referencia

inicialmente desarrollada por Denis Gabor [50] y que tras el descubrimiento del Laacuteser cobroacute

27 Wolf y Walther fueron los primeros en sentildealar en los antildeos 60 que la posibilidad de calcular la fase de una

funcioacuten a partir de su moacutedulo dependiacutea esencialmente de la pertenencia de dicha funcioacuten a una cierta clase de

funciones complejas [165 160]


especial auge al emplear Leith y Upatnieks [102] la luz laseriana ndashcon su extraordinaria coherenciandash

como rayo de referencia Posiblemente el eacutexito de esta teacutecnica facilitoacute la raacutepida extensioacuten a muy

diversas aplicaciones [113 5 118 119]

Desde el punto de vista de los ceros del dominio complejo extendido la teacutecnica de adicioacuten de un

rayo de referencia supone el desplazamiento de todos los ceros al SPS De esta forma de acuerdo

con Walther [160] se ha eliminado la ambiguumledad Pero habraacute otras formas de impedir el equiacutevoco

a) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de campo mediante una radiacioacuten de referencia

Una primera solucioacuten al problema de la recuperacioacuten de la funcioacuten completa de campo viene ya

prefigurada en los exhaustivos estudios sobre las transformadas de Fourier en el dominio complejo

realizados a principios del siglo XX por Paley y Wiener [129] asiacute como por Titchmarsh [157] que

en su aplicacioacuten al problema que nos atantildee podemos denominar meacutetodo de los dominios causales Pero

ha sido sobre todo en holografiacutea y en el intento de desplazar la posicioacuten de los ceros para aplicar la

relacioacuten de dispersioacuten sobre el logaritmo de la distribucioacuten de campo (3-39) donde se han obtenido

los resultados maacutes provechosos En general la teacutecnica consiste en antildeadir una radiacioacuten de

distribucioacuten conocida que modifique el campo observado de tal manera que eacuteste cumpla las

condiciones necesarias para el uso de alguna relacioacuten que nos permita reconstruir la funcioacuten de

distribucioacuten compleja

i Meacutetodo de los dominios causales Teniendo en cuenta que una distribucioacuten de campo podemos considerarla en el caso lineal como

una superposicioacuten de dos distribuciones causales (o cuatro en el superficial28) puede aplicarse a

cada una de ellas en virtud del teorema de Titchmarsh [157] la relacioacuten (3-38) ndashentre las

transformadas de Hilbert de las partes real e imaginariandash Es decir llamando Ei a cada una de las

distribuciones causales se deberaacute cumplir que ReEi (uv)=-HImEi (uv) Evidentemente y

como se argumentoacute al principio esta relacioacuten no resuelve de forma general nuestro problema pero

en ciertas condiciones de radiacioacuten como es el caso de estar compuesta por la superposicioacuten de una

radiacioacuten homogeacutenea y la que en realidad nos interesa siacute puede aplicarse En esta situacioacuten la

distribucioacuten de campo normalizada podremos describirla como

E(u)=1+Er(u) |Er(u)|lt1 forall u (3-71)

Supongamos que la radiacioacuten bajo estudio Er(u) fuera deacutebil es decir |Er(u)|laquo1 [129 141 142] Bajo

este supuesto el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute

28 Estrictamente habriacutea que hablar de funciones causales y anticausales pero como se trata de distribuciones

espaciales la diferencia carece de importancia


E(u)middotE(u) = 1+2sdotReEr(u)+ ReEr(u)2+ ImEr(u)2 asymp 1+2sdotReEr(u) (3-72)

Por tanto las medidas realizadas sobre el moacutedulo del campo pueden emplearse para aproximar la

parte real de la distribucioacuten que nos interesa Finalmente la transformada de Hilbert permite

recuperar el resto de la distribucioacuten compleja de campo29

Evidentemente cuanto mayor sea nuestro empentildeo de que la aproximacioacuten (3-71) sea buena el

ruido iraacute teniendo paulatinamente mayor peso Para evitar esta limitacioacuten Misell [117] propuso un

procedimiento iterativo que seriacutea vaacutelido para una radiacioacuten semideacutebil Eacuteste consiste en reconstruir

progresivamente el teacutermino cuadraacutetico en la primera iteracioacuten se aplica la aproximacioacuten (3-71) y se

reconstruye la parte real y la imaginaria en las iteraciones sucesivas se emplean los teacuterminos

cuadraacuteticos de la etapa anterior

uEuE

uEuE uEuE(u)En

rn

r

nr

nr

nr

)(Re)(Im

)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(

2)1(2)1()(

Hminus=

minusminusminussdot= minusminuslowast

(3-73)

Para poder asegurar una radiacioacuten homogeacutenea sobre el dominio de observacioacuten lo normal es que

eacuteste se encuentre en la zona de campo lejano Aunque basta con que la observacioacuten sea lejana para

el radiador de referencia que si es de dimensioacuten pequentildea podraacute ser compatible con la zona de campo

cercano de un sistema radiante de mayor tamantildeo

i i Holograf iacutea En este caso no se trata de reconstruir primero la distribucioacuten compleja de campo para despueacutes

colegir las fuentes que lo ocasionaron sino que como su nombre indica centra su atencioacuten en

recuperar directamente la funcioacuten completa del objeto30 (que en nuestro caso corresponde a la

distribucioacuten compleja de fuentes) Teniendo en cuenta la relacioacuten existente entre la distribucioacuten de

fuentes y la de campo lejano por medio de transformadas de Fourier basta antildeadir una fuente

puntual de referencia para conseguir la deseada distribucioacuten homogeacutenea [81 82] Es decir

considerando dominios lineales y llamando f r (x) a la distribucioacuten de fuentes bajo estudio la

distribucioacuten total seraacute

020 )()()()( uxj

r eEuExxxx πδ minus+=rarrminus+= Frff (3-74)

29 Esta solucioacuten fue originalmente discutida por Hanszen y Morgenstern en 1969 posteriormente fue

extendida por Hoppe Misell y Greenaway [142 117]

30 El teacutermino acuntildeado por Gabor [50] hace alusioacuten a la recuperacioacuten de toda lsquoόλη la imagen γραφή


Con lo cual el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute

1)()()()(

))(()()()(

00

00

22

222

+++=

=++==

minuslowastlowast

lowastminuslowast

uxjr

uxjrrr

uxjr

uxjr

euEeuEuEuE

eEeEuEuEuEππ

ππ

(3-75)

Y aplicando el teorema de la convolucioacuten

1)()()()()|(| 0021 +minusminus+++minuslowast= lowastlowastminus xxxxxxuE rrrr ffffF (3-76)

Puesto que la extensioacuten de f r (x)lowast f r (x) es el doble que la de las fuentes es evidente a partir de (3-

76) que si distanciamos la fuente puntual desde el borde de la distribucioacuten al menos una vez su

dimensioacuten maacutexima podremos distinguir la distribucioacuten compleja de fuentes bajo estudio f r (x)

mediante la transformada inversa de Fourier del cuadrado de la distribucioacuten de campo Es decir se

habraacute resuelto de un solo plumazo el problema inverso Desafortunadamente no siempre las

condiciones de ensayo nos permiten reproducir esta situacioacuten que implica la medicioacuten en campo

lejano y la disponibilidad de una fuente coherente y puntual No obstante la enorme extensioacuten de

esta teacutecnica ndashestrechamente emparentada con la interferometriacuteandash a radioastronomiacutea metrologiacutea de

alta frecuencia reconstruccioacuten de imaacutegenes microscopiacutea electroacutenica oacuteptica cristalografiacutea habla

por si sola de su intereacutes praacutectico [5 118 119 112 134 145]

i i i Desplazamiento de la pos i c ioacuten de los ceros Consideremos nuevamente la radiacioacuten resultante de haber antildeadido una fuente puntual expresada

en (3-74) y (3-75) pero supongamos que ahora la intensidad de la fuente de referencia tiene

amplitud A

)2)sin((Im2)2cos()(Re2)(

)()()()(

0022

2222200

uxuEAuxuEAAuE

AeuEAeuEAuEuE

rrr

uxjr

uxjrr

ππ

ππ

sdot+sdot++=

=+sdot+sdot+= minuslowast

(3-77)

Habida cuenta de que el ancho de banda espacial de la distribucioacuten de campo es igual al tamantildeo de

las fuentes (3-40) puede observarse en (3-77) que nuevamente la condicioacuten de que x0gtb+(b-a) es

necesaria para que a partir de (3-77) se pueda determinar la distribucioacuten compleja de campo

(podriacutean filtrarse las frecuencias inferiores a 2βu y utilizar las propiedades de ortogonalidad del seno

y el coseno para distinguir las partes real e imaginaria) Pero desde el punto de vista de la ubicacioacuten

de los ceros de la funcioacuten E(z)=Er(z)+Aendashj2πzx0 se observa faacutecilmente teniendo en cuenta el

comportamiento asintoacutetico de Er(z)simOf(b)endashj2πzb2πiz en el SPI que mientras |A|gt|Er(x)| forallx y

x0gtb entonces |Ae-j2πzx0|gt|Er(z)| forallz isin SPI con lo cual E(z) no podraacute tener ceros en el SPI Si

esto es asiacute seguacuten se discutioacute en sect3311 podraacute emplearse la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) No

obstante las maneras de sortear las dificultades para la aplicacioacuten de eacutesta u otras relaciones de


dispersioacuten similares son bastante maacutes amplias como probaron Burge et al [23 44] Veamos no

obstante primero la manera de utilizar la maacutes sencilla de las relaciones de dispersioacuten

Consideremos nuevamente la radiacioacuten de referencia homogeacutenea y constante E(u)=Er(u)+A

Teniendo en cuenta que Er(x) tiende asintoacuteticamente a cero

ln[Er(z)+A]A isin L2 sobre cualquier liacutenea en el SPI y paralela al eje real (3-78)

Con lo cual seguacuten el teorema de Titchmarsh [157] podraacute emplearse la transformada de Hilbert (3-

39) para determinar la fase de la distribucioacuten compleja E(u) Una vez conocida eacutesta bastaraacute con

utilizar

2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|

))(cos(arg|)(|

))(sin(arg|)(|))(tan(arg

uEuEAuEAuE

AuEuEuEuEuE

r

r

sdotminus+=

minussdotsdot

= (3-79)

Pero el desplazamiento de los ceros para que en el SPI no quede ninguno puede aun generalizarse

de acuerdo con el teorema de Rouche [1 sect52] para toda una clase de funciones de referencia [23]

Si llamamos R(u) a una funcioacuten de referencia que cumpla las condiciones

a) ser regular en el SPI

b) no tener ninguacuten cero en el SPI

c) |R(z)|gt|Er(z)| en el eje real y en cualquier semiciacuterculo del SPI de radio tendiente a

infinito

Entonces seguacuten el teorema de Rouche la funcioacuten lnE(z)=lnEr(z)+R(z) es regular en el SPI y

carece aquiacute de ceros Aplicando caacutelculo de residuos se llega a la relacioacuten de dispersioacuten [23 44]

sum intsum

=

infin

infinminus+

minus

= =+

=

primeminusprimeprime

partpartprime

minusprime

minus

partpart

=n

kn

n

k un

kk

n

un

kk

uduuu

uEuk

uuEPuuE

ukuuE

01

1

0 01

0 )(

)(lnRe

|)(|log)(lnIm

)(arg

π

(3-80)

Donde P es el valor principal de Cauchy y n es el grado del teacutermino asintoacutetico de E(z) Obseacutervese

que el primer teacutermino de la derecha soacutelo puede evaluarse si se conoce la fase de la funcioacuten de

campo En caso de que n sea 1 su eliminacioacuten solo repercutiriacutea en un teacutermino de fase lineal y como

hemos visto podriacutea corregirse si se conociera el soporte Por otra parte para ngt1 el segundo

teacutermino implicariacutea el caacutelculo numeacuterico de derivadas con su consabida imprecisioacuten Por estas

razones este procedimiento soacutelo suele aplicarse para n le1 Al igual que se deciacutea antes como estos

meacutetodos estaacuten a expensas de conseguir una oportuna radiacioacuten de referencia lo normal es que eacutesta

sea observada en zona lejana respecto al radiador de referencia que a su vez puede ser compatible

con el campo proacuteximo de la radiacioacuten bajo estudio


b) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de fuentes

Hasta ahora todos los intentos considerados para doblegar la posicioacuten de los ceros de la

distribucioacuten de campo han consistido en manipular directamente el campo observado antildeadiendo

otro que conocemos bien Pero tambieacuten podriacutea pretenderse la manipulacioacuten de la distribucioacuten de

fuentes para conseguir efectos deseados sobre la colocacioacuten de los ceros

i Apodizacioacuten Como es de esperar uno de los objetivos maacutes recurrentes cuando se procura el desplazamiento de

los ceros es permitir el uso de la transformada logariacutetmica de Hilbert Cuando el intento consiste en

multiplicar la distribucioacuten original por una funcioacuten para lograr ese objetivo a esta teacutecnica se le

denomina con cierto humor apodizacioacuten (obseacutervese que si la distribucioacuten carece de ceros en el eje

real la representacioacuten graacutefica de su moacutedulo nunca tocariacutea el eje Es por tanto algo asiacute como quitarle

los pies)

Figura 3-10 Apodizacioacuten usando una sinc en el dominio de las fuentes Su efecto es eliminar los ceros en el

dominio del campo para poder usar la transformada logariacutetmica de Hilbert

Normalmente cuando nos hemos referido a la posicioacuten geneacuterica de los ceros hemos considerado

su distribucioacuten asintoacutetica y respecto a ella se han dilucidado no pocas cosas Pero Ross y cols [135

136] hicieron notar que si la distribucioacuten de fuentes se multiplica por una funcioacuten adecuada se

puede crear una zona libre de ceros en torno al origen Una de estas funciones ndashy la maacutes

comuacutenmente utilizadandash es la sinc (La figura 3-10 ofrece una idea intuitiva de coacutemo la apodizacioacuten

por una sinc actuacutea eliminando los ceros en el dominio de intereacutes) Pero obseacutervese que la verdadera

practicidad de esta teacutecnica radica en que no es necesario manipular las verdaderas distribuciones

sino que en realidad basta con controlar los dispositivos de medida Supongamos que el campo lo

percibimos por medio de una sonda puntual bastariacutea con aplicarle un filtro adecuado para obtener

el efecto deseado Pero lo que es maacutes en lugar de sondas ideales lo que en realidad se utiliza son

aperturas con una cierta extensioacuten que hacen que la convolucioacuten aparezca de forma natural (de

hecho si se tratara de aperturas de iluminacioacuten constante la observacioacuten a lo largo del dominio

equivaldriacutea a una convolucioacuten con una funcioacuten rectangular) Por tanto esta teacutecnica puede

considerarse hasta cierto punto emparentada con la correccioacuten de sonda [168]

f (x)sdotsinc(ksdotx)

E(u)

u u

Apodizacioacuten

f (x)

F

E(u)lowastprod(uk)

F

D

S


Si la apodizacioacuten fuera exitosa entonces los ceros quedariacutean desplazados haciacutea uno de los

semiplanos y lo que obviamente nos deparariacutea la transformada logariacutetmica de Hilbert seriacutea la

distribucioacuten de fuentes modificada por la funcioacuten sinc El proceso concluiriacutea por tanto al

multiplicar por la inversa de la sinc la distribucioacuten modificada Sin embargo el hecho de que no

podamos garantizar en todos los casos que ese haya sido en efecto el destino de los ceros hace

que esta teacutecnica no sirva de solucioacuten general aunque sus beneficios como teacutecnica auxiliar sean de

intereacutes [88-92 168]

i i Propuesta de Greenaway En el marco de la discusioacuten sobre el efecto de la conmutacioacuten de los ceros de la distribucioacuten de

campo (sect3316) podriacutea haberse ilustrado coacutemo la aparicioacuten de una parte interior del dominio de

fuentes en el que su magnitud sea nula es incompatible con la conmutacioacuten de alguno de los ceros

por sus reciacuteprocos conjugados31 En muchos casos la consideracioacuten de esa zona interior nula es

suficiente pero como se discutioacute en (sect3316) pueden darse ciertas condiciones en la ubicacioacuten de

los ceros de modo que al conmutarse alguna combinacioacuten de ceros por reciacuteprocos conjugados

pueda satisfacerse la igualdad de moacutedulo en alguacuten subdominio de la distribucioacuten de fuentes aunque

eacutesta sea en general diferente sobre el dominio entero No obstante a tenor de las conclusiones

llegadas por Hoenders a raiacutez de su teorema podriacutea decirse que la inclusioacuten de una zona interior

nula asimeacutetrica seriacutea soacutelo compatible con una de las soluciones En esto consistiacutea la propuesta de

Greenaway [55] que seguacuten Ferwerda [44] y Taylor [153] tiene el meacuterito de no tener que recurrir al

conocimiento de la ubicacioacuten de los ceros pero que choca con dificultades para su aplicacioacuten

praacutectica Sin embargo a parte de la dificultad de realizar una buena pantalla interior (aunque en

ciertos aacutembitos como puede verse en [93] su realizacioacuten no es tan compleja) podriacutea aplicarse al

problema inverso mediante un algoritmo iterativo del estilo al de Geschberg-Saxton que impusiera

recurrentemente la condicioacuten de ldquooscuridad interiorrdquo (De hecho las teacutecnicas de reconstruccioacuten de

imagen propuestas por Fienup Hayes o Ivanov guardariacutean un estrecho parecido con esta teacutecnica

ya que las condiciones que se imponen sobre el dominio del objeto son soacutelo una parte de las que se

han considerado suficientes) Desde el punto de vista de la teoriacutea de unicidad expuesta en sect331 la

limitacioacuten de esta propuesta es clara no garantiza en todos los casos la unicidad de solucioacuten Sin

embargo en sect4242b se observaraacute la utilidad de este procedimiento para un problema superficial

31 Consideacuterese por ejemplo la distribucioacuten 132 0 0 0 0 1 Sus ceros estaacuten equidistribuidos sobre una

circunferencia de radio 2 Naturalmente cuando se considera que f = f z 1 lowast f z 2 lowast lowast f z 6 (donde f z i

representa la distribucioacuten correspondiente al cero i-esimo) aparece la zona interior nula Sin embargo puede

observarse faacutecilmente que cualquier combinacioacuten de una parte de los ceros originales con los restantes ceros

reciacuteprocos conjugados hace que el resultado de la convolucioacuten en la zona interior sea distinto de cero


i i i Manipulac ioacuten de la s imetriacutea De las ya comentadas conclusiones de Hoenders al hilo de su teorema (sect3313) se seguiacutea que en

caso de conocer la parte de la distribucioacuten de fuentes de mayor magnitud desapareceriacutea la

ambiguumledad Seguacuten afirmaba Hoenders [65] (pero tambieacuten Ferwerda [44] Taylor [153] y Sali [137])

soacutelo hay dos soluciones vaacutelidas ndashsimeacutetrico conjugadasndash En consecuencia bastariacutea con emplear un

procedimiento numeacuterico en el que el punto de partida se encontrara maacutes cerca de la solucioacuten

buscada cuya antisimetriacutea sabemos hacia queacute lado se inclina Inmediatamente este autor propone

un procedimiento manipulador que consiste en hacer que la distribucioacuten de fuentes sea mayor en

un lado que en otro (en el caso oacuteptico se logra mediante variacioacuten del aacutengulo de incidencia y en el

caso de metrologiacutea de antenas reflectoras eligiendo una fuente de radiacioacuten asimeacutetrica) Los

resultados sin embargo han tenido el mismo destino que su teoriacutea no han ido mucho maacutes allaacute de

ser comentados como una posible solucioacuten pero no hay manera de encontrar resultados

conclusivos en la literatura

No obstante Sali [137] propone un procedimiento ndashmaacutes emparentado con la propuesta de

Hoenders de lo que sus confusas explicaciones pueden dar a entenderndash que obtiene eventualmente

buenos resultados Este meacutetodo ya referido en sect3314 consiste en apantallar la mitad de la

distribucioacuten de fuentes (en el caso de antenas de apertura basta con poner una laacutemina conductora)

y reconstruir iterativamente cada una de las dos mitades en que se ha dividido la distribucioacuten de

corrientes La iteracioacuten es del estilo a la del algoritmo de Gerchberg-Saxton aunque imponiendo en

el dominio de las fuentes soacutelo la restriccioacuten de soporte finito Si se consideran las distribuciones que

seguacuten el autor se reconstruyen con eacutexito se observa que todas son simeacutetricas pero su moacutedulo es

maacuteximo en el medio Por tanto al dividirlas lo que se consigue son dos distribuciones cuya

antisimetriacutea se conoce De acuerdo a los resultados obtenidos mediante la implementacioacuten que el

autor ha realizado de este algoritmo lo que Sali no confiesa es la dependencia de la hipoacutetesis de

partida ya que se ha constatado no soacutelo la convergencia hacia la solucioacuten simeacutetrica cuando se parte

de una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea es acusada en sentido contrario sino que ademaacutes el

procedimiento ha deparado soluciones distintas de la esperada cuando se parte de ciertas hipoacutetesis

aunque la antisimetriacutea corresponda con la original

En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su trasformada Fienup [46

47] propone tambieacuten el recurso a la antisimetriacutea En este caso se trata de evitar los estancamientos

que se observan en el proceso de reconstruccioacuten al partir de una hipoacutetesis neutra Su solucioacuten

consiste en comenzar con una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea coincida con la de la distribucioacuten original

No obstante las restricciones que pueden imponerse en el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes

(distribucioacuten de nuacutemeros reales) es mucho maacutes exigente y generalmente soacutelo hay dos soluciones

vaacutelidas la original y su simeacutetrica

Desde el punto de vista de la disposicioacuten de los ceros la antisimetriacutea estaacute de hecho relacionada

con el problema de la ambiguumledad de Walter [160] Si se observa la relacioacuten (3-62) puede deducirse


que una distribucioacuten cuyos ceros asociados se encuentren fuera del ciacuterculo unidad es creciente en

moacutedulo mientras que si se encuentran en la parte interior la distribucioacuten correspondiente seraacute

decreciente Siguiendo a Walter si pudieacuteramos asegurar que los ceros se encuentren fuera o dentro

la ambiguumledad estariacutea asiacute resuelta Como por otra parte el tener todos los ceros a un lado u otro

supone una transformada de fase miacutenima para poder llegar a la solucioacuten podriacutea usarse un

procedimiento numeacuterico que partiera de una hipoacutetesis antisimeacutetrica (con la declinacioacuten conocida) y

cuya distribucioacuten de campo sea de fase miacutenima

No obstante para el caso que nos ocupa las condiciones que este meacutetodo impone y la

multiplicidad que puede esperarse en las distribuciones de fuentes hacen que al no garantizarnos la

unicidad de solucioacuten carezcan de practicidad aunque su consideracioacuten no deje de tener intereacutes

teoacuterico

3322 Procedimientos observadores

Como ya se indicoacute en la discusioacuten de la unicidad de solucioacuten si no se imponen condiciones sobre la

distribucioacuten de fuentes o sobre la de campo es menester observar el moacutedulo sobre dos dominios

diferentes (la uacutenica ambiguumledad que prevalece seriacutea la de una constante de fase que hemos tildado

de inesencial y que en realidad no nos importa) Si nos decantamos por esta opcioacuten podremos

dirigirnos hacia una mayor cantidad de problemas ya que por razones praacutecticas las condiciones

requeridas por los procedimientos manipuladores a menudo son inaccesibles mientras que en caso

de poder observar sobre un cierto dominio generalmente pueden adaptarse los instrumentos de

medida para observar sobre otro

La esencia de estos procedimientos es por tanto clara se debe observar el moacutedulo del campo

sobre dos dominios y buscar la solucioacuten que sea compatible con esa pareja de observaciones La

principal diferencia que existe entre los meacutetodos de este tipo radicaraacute en ir buscando soluciones en

cada uno de los dominios alternativamente o bien imponer las observaciones a un funcional y tratar

de minimizarlo Las propuestas maacutes tempranas pertenecen al primer tipo [52 53 54 114 115 116]

aunque no tardoacute mucho en emplearse meacutetodos de optimizacioacuten [142 45]32 asiacute como otros directos en los

que se plantea la relacioacuten integral ndashen teacuterminos de una suma de Riemannndash entre la distribucioacuten de

fuente ndashque desea sabersendash y las dos distribuciones de moacutedulo al cuadrado a modo de un conjunto

de ecuaciones algebraicas que se resuelven en conjunto No obstante la vulnerabilidad al ruido y a

32 De hecho en la primera formulacioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton [52] ya se indica la posibilidad

aunque no se ponga en praacutectica de emplear el meacutetodo de la miacutenima pendiente sobre el conjunto de los datos

Tambieacuten en la formulacioacuten del algoritmo de Misell puede encontrarse delineada esta posibilidad [115]


la precisioacuten ha hecho que estos meacutetodos directos hayan quedado praacutecticamente desatendidos [38

67 68 69 44 11 121]33

a) Proyecciones sucesivas

Seguacuten se indicoacute en sect3315 el intento maacutes remoto de reconstruccioacuten de la funcioacuten completa de

onda a partir de dos observables fue el de Reichenbach pero despueacutes de que incluso eacutel mismo

abandonara la idea transcurrieron unos treinta antildeos hasta que Gerchberg y Saxton desarrollaran su

conocido y exitoso procedimiento

i Meacutetodo de Gerchberg-Saxton En eacuteste se adquieren las distribuciones de moacutedulo en el dominio del campo y en el de las fuentes y

las soluciones que se encuentran en uno de los dominios se propagan sobre el otro En muchos

campos de aplicacioacuten como es el caso de microscopiacutea oacuteptica y electroacutenica34 radioastronomiacutea y

metrologiacutea de alta frecuencia la relacioacuten que existe entre los dos dominios es una transformada de

Fourier que naturalmente puede calcularse numeacutericamente mediante su transformada raacutepida

(encontrada a mediados de los antildeos 60) Por tanto el paso de un dominio a otro es sencillo a la vez

que raacutepido En la figura 3-11 se representa el algoritmo que como puede observarse se trata de una

particularizacioacuten del esquema general planteado al principio de este capiacutetulo (fig 3-1) en el que la

restriccioacuten aplicada a las fuentes Rfο consiste en la imposicioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo

medida sobre el dominio de las fuentes Los operadores de imposicioacuten de las medidas consisten

aquiacute en el mantenimiento de la fase y la modificacioacuten del moacutedulo es decir

arg

med1

argmed1

k

k

j

kfk

jkEk

e

ef

ffMf

M

sdot==

sdot==

+

+EEEE

(3-81)

Puesto que en tratamiento de imagen el hecho de que la distribucioacuten original sea real incluso positiva

junto con el soporte suele ser lo suficientemente restrictivo como para asegurar la unicidad de

solucioacuten al algoritmo que impone iterativamente el moacutedulo de la transformada y las restricciones

sobre el objeto se denomina tambieacuten de Gerchberg-Saxton

El eacutexito obtenido por este meacutetodo renovoacute el intereacutes de los meacutetodos geneacutericos de recuperacioacuten de la

fase de una distribucioacuten a partir de solamente medidas de moacutedulo No obstante el procedimiento

33 Curiosamente las propuestas de estos meacutetodos comienzan reprochando la falta de transparencia

matemaacutetica de los algoritmos de proyecciones sucesivas (tanto el de Gerchberg-Saxton como el de Misell) y

terminan llamando la atencioacuten sobre la vulnerabilidad numeacuterica de los directos que en general consiste en la

propagacioacuten de errores procedentes tanto del ruido de medida como del truncamiento numeacuterico

34 Aquiacute se habla de plano imagen y de difraccioacuten [52 142]


aunque faacutecilmente aplicable a microscopiacutea (y otras disciplinas) no es muy atractivo para la

caracterizacioacuten de sistemas radiantes aunque se tratara de antenas de apertura debido a la inherente

imprecisioacuten de una exploracioacuten sobre el dominio de las fuentes (Auacuten asiacute este meacutetodo utilizando

restricciones conocidas en lugar de medidas sobre el dominio de las fuentes ha sido

recurrentemente empleado [7 8 137])

Figura 3-11 Algoritmo de Gerchberch-Saxton

i i Meacutetodo de Mise l l Afortunadamente en 1973 Misell propuso un procedimiento [114 115 116] inspirado en el de

Gergberg-Saxton que aunque fuera inicialmente formulado para microscopiacutea desde la deacutecada de

1980 pudo aplicarse con eacutexito a la caracterizacioacuten de antenas paraboacutelicas [41 119] Al igual que con

el procedimiento anterior su eacutexito praacutectico espoleoacute el intereacutes por la teacutecnica de Misell especialmente

una vez que las demostraciones de Hoenders y Drendth aportaron la evidencia matemaacutetica de su

unicidad de solucioacuten35 En este caso el par medidas de moacutedulo que se emplean son dos

distribuciones de campo lejano desenfocadas Naturalmente con distinto grado de desenfoque Si

estuvieacuteramos interesados en caracterizar una antena de relector entonces se tratariacutea de colocar en

dos posiciones el alimentador La relacioacuten que existe entre las dos distribuciones es nuevamente

sencilla si consideramos que la distribucioacuten de campo lejano para una distancia focal axial ∆d puede

determinarse como [115]

)()(2xj

ddexuE ∆sdot= fF (3-82)

Cuya inversioacuten es inmediata

35 Curiosamente se demostroacute antes la unicidad de solucioacuten del algoritmo de Misell ndashcasi simultaacuteneamente por

los dos investigadores mencionadosndash y un antildeo despueacutes el de Gerchberg-Saxton por Huiser [67 68]

MEE k

E N f N

kf

F1+kE

εltminus 1kkd EEF ndash1

Mfk

f

Hipoacutetesis inicial

Moacutedulo de las fuentes

Moacutedulo del campo


2

)()( xjd

deuEx ∆minussdot= -1Ff (3-83)

Asiacute pues llamando ∆1 ∆2 a las distancias focales de los desenfoques y ∆ = ∆2-ndash∆1 a la diferencia

entre ambas

)()()(

)()()(22

2

221

11

2

21

1

xj-xj

xj-xj

euEexuE

euEexuE∆∆

∆minus∆

sdot=sdot=

sdot=sdot=

FFF

FFF

f

f (3-84)

Donde de nuevo el recurso a las transformadas raacutepidas hacen que el procedimiento sea aacutegil36 No

obstante la aplicabilidad de este procedimiento a la caracterizacioacuten geneacuterica de sistemas radiantes es

naturalmente limitada aunque su generalizacioacuten al caso de observacioacuten en campo proacuteximo como

se demostroacute en sect3318 es bastante directa

Figura 3-12 Algoritmo de Misell

i i i Meacutetodo de Anderson general izado En 1985 Anderson propuso la mencionada generalizacioacuten del algoritmo de Misell a medidas en

campo proacuteximo [6] que posteriormente fue puesta en praacutectica por muchos investigadores [9 167

76 94 128] Aunque la formulacioacuten que eacuteste propone es para geometriacuteas planas puede faacutecilmente

generalizarse Supongamos que los dominios de medida se atienen a alguna de las geometriacuteas

canoacutenicas entonces seguacuten se vio en sect236 el campo puede describirse en teacutermino de unos modos

constantes y unas funciones modales que dependen de la posicioacuten del dominio Asiacute podraacute

generalizarse

36 Morris [118 119] estudia la vulnerabilidad al ruido llegando a la conclusioacuten de que el algoritmo de Misell

en el peor caso requiere una relacioacuten sentildeal a ruido aproximadamente igual al cuadrado (en escala natural) que

la requerida cuando se mide directamente la fase

M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

F F ndash1ej∆x2

M k2E

Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del campo con

desenfoque ∆1

12

+kE

F F ndash1endashj∆x2

Moacutedulo delcampo con

desenfoque ∆2


i sobre DMsdot=ii HE (3-85)

Donde E representa un arreglo de vectores sobre el dominio de medida H una matriz de funciones

diaacutedicas modales particularizadas en los puntos del dominio y M un arreglo de todos los vectores

modales necesarios para la representacioacuten del campo

sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

HHHH

HHHH

EEHHE

EEHHE

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P (3-86)

Asiacute definido el operador de proyeccioacuten Pi j (del dominio i al j) equivale a la aproximacioacuten miacutenimo

cuadraacutetica del campo Ei sobre el espacio modal y a su posterior propagacioacuten al dominio j

Teniendo en cuenta el isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten

modal (sect236c) la generalizacioacuten a cualquier geometriacutea es inmediata cambiando funciones modales

por funciones de Green y modos por fuentes (corrientes) Por tanto empleando la terminologiacutea del

capiacutetulo 2deg (ver 2-91)

sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

TTTT

TTTT

TT

TT

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P

EEE

EEE (3-87)

Puesto que tanto en (3-86) como en (3-87) hemos designado por Pi j al operador de proyeccioacuten la

figura 3-13 generaliza para cualquier tipo de geometriacutea el algoritmo de Anderson Naturalmente la

definicioacuten de los operadores inversos T minus 1 seriacutea distinta si sobre el espacio E se usara el producto

interno y la meacutetrica descrita en (3-3) y (3-4) Su definicioacuten por analogiacutea con (3-15) es directa

Figura 3-13 Algoritmo de Anderson generalizado

M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

P12

M k2E

Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del

campo sobre D1

12

+kE

P21

Moacutedulo delcampo

sobre D2


iv Meacutetodo general izado de proyecc iones suces ivas Supongamos que de las fuentes tenemos un cierto conocimiento como puede ser su soporte o

ciertas condiciones de su distribucioacuten de moacutedulo o fase En este caso podriacuteamos combinar el

meacutetodo de Gerchberg-Saxton con el de Anderson para obtener uno que fuera aun maacutes general37

En la figura 3-14 se representa graacuteficamente este algoritmo que podriacutea completarse al igual que los

de las figuras 3-11 a 3-13 con la aplicacioacuten de la restriccioacuten de ancho de banda sobre las

distribuciones de campo R E

Si finalmente se tiene en cuenta que un aumento de los dominios de observacioacuten conlleva una

mayor calidad en los resultados (es decir un menor ruido en la solucioacuten alcanzada) [78 75 77]

podriacutea auacuten considerarse un meacutetodo maacutes completo que podriacuteamos simplificar definiendo un

operador de restriccioacuten R Ei en cada dominio que englobara simultaacuteneamente la imposicioacuten de

medidas y la limitacioacuten de ancho de banda En la figura 3-15 se representa esta uacuteltima

generalizacioacuten

Figura 3-14 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas

37 Aunque particularizado para geometriacuteas planas [166 163] Yaccarino y Rahmat-Samii aplicaron en 1995

precisamente este procedimiento [167]

M k1E

k2E

f N

E 1N

E 2N

1+kf

εltminus 1kkd ff

M k2E



sobre D1

T2-1


sobre D2

Rf kf

k1E

T1-1

T2 T1

kisinP knotinP


Figura 3-15 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas para muacuteltiples dominios de medida

b) Meacutetodos de optimizacioacuten

Tanto Gerchberg y Saxton [52] como Misell [115] cuando formularon los procedimientos arriba

descritos propusieron la utilizacioacuten de meacutetodos de optimizacioacuten aunque en principio no los

pusieran en praacutectica38 En general los meacutetodos anteriores tienen la ventaja de que al utilizar

relaciones lineales para la propagacioacuten entre dominios y aplicar en cada uno condiciones que soacutelo

son satisfechas por una solucioacuten el teorema de la convergencia global [105] asegura que la sucesioacuten

de soluciones parciales converge hacia la solucioacuten uacutenica Sin embargo presentan la desventaja de

que su convergencia es lenta [46] Una manera de evitar esta lentitud de convergencia es recurrir a

meacutetodos numeacutericos aplicados sobre un funcional definido en teacuterminos de la distribucioacuten compleja

que pretende dilucidarse y de las medidas disponibles sobre las dos superficies simultaacuteneamente

Puesto que soacutelo se cuenta con informacioacuten de moacutedulo del campo cualquier funcional que pretenda

definirse para minimizar la distancia entre las predicciones y los datos seraacute naturalmente no

cuadraacutetico En consecuencia podraacuten aparecer miacutenimos locales que en la praacutectica se hacen patentes

en teacuterminos de distribuciones no oacuteptimas en las que se estancan los algoritmos Para evitar este

problema se puede recurrir a varias taacutecticas

1) Definir un funcional cuya alinealidad sea de miacutenimo orden ndashasiacute la diferencia de moacutedulos

supone un funcional de orden superior que la diferencia de cuadradosndash

2) Evitar los meacutetodos de optimizacioacuten que hagan inversiones directas de las aproximaciones

cuadraacuteticas (como ocurre con el meacutetodo de Newton)

38 Saxton en 1978 [142] y Fienup en 1982 [46] hacen una extensa comparacioacuten ndashaplicada a sus respectivos

objetos de investigacioacutenndash entre los meacutetodos de proyecciones sucesivas y los de optimizacioacuten lo cual

demuestra que en realidad ambos procedimientos se desarrollaron a la par

f N

E 1N

E NN


T2-1 T1

-1

T2 T1

RE k1E

εltminus 1kkd ff

Rf kf RE k2E RE k

3E RE kNE

T3-1

T3

TN-1

TN


3) Observar en maacutes dominios lo que seguacuten Isernia [75 77] tiene la consecuencia matemaacutetica de

aumentar la convexidad del funcional y disminuir la posibilidad de miacutenimos locales

En virtud de la primera pauta parece razonable recurrir a alguacuten funcional relacionado con la

distancia media entre el cuadrado del moacutedulo de campo medido y el predicho [72 73 74 75 98 99 100

34]39 Una manera de esquivar la segunda dificultad consistiriacutea en recurrir al meacutetodo de la maacutexima

pendiente Sin embargo su relativa lentitud de convergencia en comparacioacuten con otros meacutetodos

posiblemente no compense el riesgo de haber hecho que nuestro problema no sea cuadraacutetico Con

lo cual estariacutea maacutes justificado el amparo a alguacuten meacutetodo que haga una buacutesqueda no demasiado fina

cuando se encuentre lejos del miacutenimo absoluto por ejemplo en la direccioacuten de la maacutexima

pendiente pero que se encauce maacutes directamente hacia el miacutenimo cuando detecte mayor curvatura

Este es el principio de los meacutetodos cuasi-Newton como el de Levenberg-Marquardt [131] pero

tambieacuten el meacutetodo del gradiente conjugado (sect3213b) presenta un comportamiento similar [105]

Usando como magnitud a optimizar el cuadrado del moacutedulo del campo puede definirse un funcional que

refleje la distancia cuadraacutetica entre la magnitud medida y la predicha sobre los muacuteltiples dominios

de observacioacuten (normalmente dos) Puesto que nuestro objetivo es el de determinar la distribucioacuten

de fuentes entonces un funcional apropiado seriacutea

ffff

ffmmmmmm

ffmmffmm

lllm

l

M

iilililm

EEEE

EEEEEEEE

EEEEEEEE

fEEfEfEEfk

sdotsdot+

sdotsdotminussdotsdot=

=sdotminussdotsdotminus=

=minus=sdotminus=

+

++

++

=

lowast sumsum sum

)(diag)(diag

)(diag)(diagRe2)(diag)(diag

)(diag)(diag)(diag)(diag

)()()()(

222

nobservacioacute dedominios 1

22ξ

(3-88)

Donde l representa el conjunto de los dominios de observacioacuten Em las medidas sobre los

dominios de observacioacuten yuxtapuestos y Ef el campo correspondiente a una distribucioacuten de

corrientes f sobre los mismos puntos Como puede observarse es evidente que ξ ( f ) no es una

forma cuadraacutetica en f sino de orden cuatro No obstante con objeto de utilizar un procedimiento

39 De hecho asiacute lo proponen Gerchberg Saxton y Misell en un primer momento [52 115] sin embargo

Fienup utiliza el moacutedulo [46] Isernia [74 75] invoca tres razones para la utilizacioacuten del cuadrado de la amplitud

de campo en lugar del moacutedulo 1) el cuadrado de la amplitud de campo es de espectro espacial limitado mientras que

no puede decirse lo mismo del moacutedulo (por tanto el cuadrado de la amplitud del campo puede representarse

mediante muestras pero no el moacutedulo) 2) la no linealidad del cuadrado de la amplitud es simple frente a la maacutes

compleja del moacutedulo 3) puede definirse un espacio vectorial para el cuadrado de la amplitud de campo que

permitiriacutea acotar el espacio de funciones vaacutelidas Dejando esto uacuteltimo de lado las otras dos razones son

bastante juiciosas


de optimizacioacuten aacutegil resulta conveniente aproximarlo por una forma cuadraacutetica que estaraacute bien

adaptado a ξ ( f ) en las cercaniacuteas del miacutenimo

ffkf sdotsdot+sdot+sdotminusasymp +++ ζξ )()( bffb (3-89)

donde k es una constante b una matriz (M1+hellip+Mk) x1 y ζ la matriz de curvatura (es decir la

mitad del Hessiano de ξ) Como puede observarse la relacioacuten (3-89) se trata de la misma forma

matemaacutetica que (3-9) y como se vio alliacute su miacutenimo corresponde con ζ minus1middot b (veacutease 3-14) Sin

embargo esta solucioacuten soacutelo seraacute aquiacute apropiada si nos encontramos en las proximidades del

miacutenimo es decir alliacute donde la aproximacioacuten (3-89) sea aceptable En general puesto que para cada

distribucioacuten f la aproximacioacuten es diferente la manera de llegar hasta el miacutenimo seraacute mediante un

procedimiento iterativo [105]

)()()()()1( iiiii S ξλ nablasdot+=+ ff (3-90)

Donde S ( i ) es una matriz N xN que depende del meacutetodo elegido Asiacute si se tratara del meacutetodo de

Newton S seriacutea el inverso de la matriz de curvatura (aunque seguacuten hemos argumentado huimos de

este meacutetodo) o la matriz identidad en caso de emplear la miacutenima pendiente En cualquier caso es

menester definir el gradiente y si se emplean meacutetodos cuasi-Newton ndashcomo el mencionado de

Levenberg-Marquardt [131]ndash tambieacuten la matriz de curvatura Para ello deben definirse antes las

derivadas primeras y segundas

sumsum

sumsum

=

=

partpart

part

minusminus

part

part

part

partsdot=

partpart

part

part

partsdotminussdotminus=

part

part

1

2222

222

2

1

22

2)(

2)(

l

M

i jk

ilf

ilfilmj

ilf

k

ilf

jk

l k

ilfM

iilfilm

k

k

k

ff

EEE

f

E

f

E

fff

f

EEE

ff

ξ

ξ

(3-91)

Pero desafortunadamente puesto que |E( f ) |2 no es analiacutetico en f su derivada no existe con lo

que no podraacute definirse al gradiente Por tanto para poder acometer el problema debe utilizarse

alguna de las siguientes estrategias

1) Optimizar considerando independientes las partes real e imaginaria de las fuentes de modo

que el gradiente de ξ ( f ) quedaraacute definido por la yuxtaposicioacuten de los gradientes respecto a las

partes real e imaginaria de las fuentes

2) Recurrir a una funcioacuten analiacutetica ndashcomo es el caso de )()( lowastlowastsdot fEfE ndash que sea lo suficientemente

parecida a )()( fEfE lowastsdot como para poder intercambiarlas


3) Definir una derivada que corresponda con la de |E( f ) |2 cuando las fuentes sean reales o

imaginarias

La utilizacioacuten de la primera estrategia se ha experimentado numeacutericamente y soacutelo ha deparado

buenos resultados cuando las corrientes se encontraban sometidas a restricciones [34] En lo que

respecta a la segunda es evidente que E( f )middotE( f ) (es decir la continuidad analiacutetica de

E( f )middotE( f ) para fuentes reales) no puede servirnos y no se ha encontrado otra que cumpla las

citadas condiciones Con lo cual soacutelo queda la posibilidad de definir una derivada relacionada con

la de |E( f ) |2 Pueden encontrarse varias propuestas en [142 46 73 75 76 103] pero una

solucioacuten juiciosa para la definicioacuten del gradiente puede encontrarse sustituyendo (3-90) en (3-88)

Asiacute se obtiene como aproximacioacuten a la derivada

k

ilf

k

ilf

k

ilf

b

Ej

a

E

f

E

part

part+

part

partequiv

part

part222

(3-92)

Aplicando la definicioacuten del campo en teacuterminos de las funciones de onda baacutesicas debidas a los

dipolos de Hertz unitarios (2-92)

sdotΨ=part

part

sdotΨ=part

part

rArrsdot+sdotΨ=sdotΨ=

lowast

lowast

==sumsum

)(Im2)(

)(Re2)(

)()(2

2

11

ff

ff

ff i

Eb

E

Ea

E

bjaE

kk

kk

ii

N

ii

N

ii

(3-93)

Usando ahora la definicioacuten (3-92)

)(2)(

2

ff

fE

Ek

k

sdotΨsdot=part

partlowast (3-94)

Y finalmente aplicando las relaciones (3-91)

sumsumsumsum

sumsum

=

lowastlowast

=

lowast

=

sdotΨΨsdot=part

part

part

partsdotasymp

partpart

part

sdotΨsdotminussdotminus=part

part

1

2

1

222

1

22

)(82)(

)(4)(

l

M

iililjilk

l

M

i j

ilf

k

ilf

jk

lililk

M

iilfilm

k

fEf

E

f

E

fff

fEEEf

f

ξ

ξ

(3-95)

Donde en (3-91b) se ha despreciado la derivada segunda respecto al producto de las derivadas

primeras por dos razones 1) generalmente es menor 2) la derivada segunda estaacute ponderada por

|E|2m ndash |E|2( f ) y asiacute cuando la aproximacioacuten (3-89) es buena se confunde con el error aleatorio


de medida que al estar incorrelado con el modelo numeacuterico tiende a cancelarse cuando se efectuacutea

la suma sobre todos los puntos del dominio

Usando (3-95) la definicioacuten del gradiente y de la matriz de curvatura es inmediato

2

diagdiag4)(

21)(

)(diag)(diagdiag4)(

TT

T

sdotsdotsdotsdot=partpart

part=

minussdotsdotsdotminus=nabla

+

+

ffjk

ffmmf

EEfff

f

EEEEEf

ξζ

ξ

(3-96)

A partir de estas definiciones puede aplicarse el meacutetodo del gradiente conjugado descrito en

sect3213b o bien ir maacutes directamente al miacutenimo cuando la curvatura sea aguda por medio del

meacutetodo de Levenberg-Marquardt ndashLMndash [131] En eacuteste se progresa siguiendo la direccioacuten de la miacutenima

pendiente cuando el miacutenimo estaacute alejado e invirtiendo el Hessiano en sus inmediaciones El

algoritmo adaptado a nuestro problema consiste en las siguientes etapas

1) Se hace una hipoacutetesis de partida respecto a la distribucioacuten de fuentes f ( 0 ) y se fija

λ( 0 ) =0001 2

2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ

2) Se calcula )(diag)(diagdiag2)(21

ffmmf EEEEEfb sdotminussdotsdotsdotsdot=nablaminus= +Tξ

3) Se calcula lowast+ sdotsdotsdotsdot= TT diagdiag4)( ff EEfζ

4) Se define ζζ =prime diagζ rsquo = diagζ ( 1 + λ )

5) Se resuelve b=sdotδζ (usando por ejemplo eliminacioacuten gaussiana)

Se calcula )( )( δ+sdot=prime nfE fT 2

2)(2 |)(||| nm fEE minus=γ

a Si γ ge ξ ( n ) λ( n+1) =10sdotλ( n ) f ( n+1) = f ( n)

b De lo contrario ξ ( n ) =γ λ( n+1) =λ( n )10 f ( n+1) = f ( n) +δ )1()1( ++ sdot= nnfE fT

c Mientras ξ ( n ) le ε volver a (2)

Faacutecilmente puede comprobarse que en efecto el algoritmo se comporta al modo de la miacutenima

pendiente cuando estamos lejos del miacutenimo λraquo1 (ζ es cuasi-diagonal) y como el de Newton en su

proximidad λlaquo1 (ζ asymp ζ )

De acuerdo a los corolarios de unicidad (sect3318) basta el conocimiento del moacutedulo del campo

sobre dos superficies para garantizar la unicidad de solucioacuten con lo cual lo normal seraacute que los

dominios de observacioacuten sean dos Asiacute la matriz que agrupa a las distribuciones de campo que

seguacuten se indicoacute antes se forman por yuxtaposicioacuten de los valores en los dos dominios


[ ]212

1 mmm

mm EEE

EE =

= (3-97)

De modo anaacutelogo los operadores lineales T

[ ]21

2

1 TTTT

T =

= (3-98)

Donde Ti es el operador directo sobre el dominio Di

En suma si bien la utilizacioacuten de los procedimientos de optimizacioacuten podriacutea conducirnos maacutes

raacutepidamente a la solucioacuten deben sentildealarse algunas limitaciones a) pueden aparecer miacutenimos locales

en los que el meacutetodo se estanque b) cada iteracioacuten es operativamente costosa ya que debe

calcularse el gradiente en cada etapa (incluso a veces ndashcomo en LMndash solucionar un sistema lineal en

cada iteracioacuten especialmente en las proximidades del oacuteptimo) c) no se ha podido definir

rigurosamente el gradiente del funcional a minimizar lo cual dificulta la transparencia matemaacutetica

del meacutetodo

c) Solucioacuten en el espacio del cuadrado del moacutedulo

Se trata de una solucioacuten propuesta por Isernia [74 75] (ver nota 39) consistente en ortogonalizar el

espacio del cuadrado del moacutedulo No obstante aquel no muestra resultados ni la mencioacuten de haber

sido intentado y como puede faacutecilmente comprobarse se trata de una posibilidad inviable En

efecto consideremos la expresioacuten del campo en teacuterminos del espacio E

D f f n )( )()(1

isinisinisinΨΨ= sum=

rrrr CCn

N

nnE (3-99)

Con lo cual el cuadrado del moacutedulo se expresa como

sumsumsumsum sum=

ne=

lowastlowast

== =

lowastlowastlowast ΨΨ+Ψ=ΨΨ=sdotN N

nn

N

n

N

n

N

mmnEE

1nnm1m

mn1n

nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22

1 1

rrrrrrr (3-100)

Que a su vez puede escribirse como

minus=isin=

isinΨΨ=Λ

realisin=

realisinΨ=Ω

sdotΛ+sdotΩ=sdot

lowast

lowast

+

+

prime

==

lowast sumsum

)(1

)()()(

||

|)(|)(

donde )( )()()(

2

2

2

NNk

EE

k

nn

n

n

N

nn

N

nn

C

C

mn

n

n

n

1n1n

ff

f

β

αβα

rrr

rr

rrrr (3-101)


Expresioacuten a partir de la cual pudiera intentarse una ortogonalizacioacuten por medio de una conveniente

eleccioacuten de funciones base a partir del conjunto Ωn y Λn Puesto que el ancho de banda del

campo es limitado β rsquo el del moacutedulo al cuadrado seraacute el doble De modo que si la extensioacuten del

dominio es finita cabraacute esperarse una dimensioacuten [146] 2β rsquoS (donde S representa la extensioacuten) que

corresponderiacutea con el nuacutemero de funciones base ortogonales para la descripcioacuten del campo

Supongamos que a partir de Ω Λ se definiera un conjunto de funciones ortogonales Γ

Considerando un dominio discretizado (M puntos)

sum=

lowast =ΓsdotΓM

nijji nn

1

][][ δ

(3-102)

Con lo que el cuadrado del moacutedulo del campo se representaraacute como

sum=

sdotΓ=N

nnE1n

γ)()|(| 2 rr

(3-103)

Sin embargo cuando nos preguntamos queacute representa cada una de las funciones ortogonales se

observa que soacutelo una (acaso Ω1) puede representar una distribucioacuten vaacutelida ya que las restantes al

presentar valores positivos y negativos carecen de sentido fiacutesico Por otra parte si la primera

funcioacuten es definida positiva pero γ1lt0 tambieacuten carece de sentido fiacutesico Podriacuteamos decir que γ gt0

pero si Γ2 prop ltΩ1Ω2gt-βΓ1 fuese principalmente negativa entonces γsdotΓ2 tampoco tendriacutea sentido

fiacutesico para cualquier valor positivo de γ En general Γi tendraacute valores negativos y ocurriraacute en

suma que soacutelo ciertas distribuciones de γ corresponderaacuten con funciones (3-103) de cuadrado de

moacutedulo del campo vaacutelidas Podriacutea definirse quizaacute un cuerpo de nuacutemeros para γ que recogiera

precisamente esas distribuciones pero es evidente que no puede en general determinarse y que

carece de practicidad

Se ha intentado la aplicacioacuten de este espacio definido sobre un cuerpo de nuacutemeros reales con la

intencioacuten de eliminar ruido de medida Como era de esperar se obtienen distribuciones de campo

aun maacutes distantes de las deseadas que las directamente contaminadas con ruido Asiacute tanto por

evidencia teoacuterica como por los resultados praacutecticos se hace palpable la inviabilidad de esta solucioacuten

apuntada por Isernia [74 75]

34 SUMARIO

Como se ha visto el planteamiento del problema inverso en sus diferentes vertientes ha sido

iacutentegramente formulado en teacuterminos del espacio vectorial E (sect245) de modo que su solucioacuten nos

provee una distribucioacuten discretizada de fuentes (corrientes eleacutectricas y magneacuteticas) capaz de

engendrar con una precisioacuten dada el campo electromagneacutetico sobre cualquier punto exterior a las

fuentes y en particular sobre el dominio de observacioacuten


Puesto que en general se ha considerado que la observacioacuten se refiere al campo eleacutectrico tangencial

sobre una superficie que engloba a las fuentes la primera cuestioacuten que se ha abordado es la de la

suficiencia de dicha distribucioacuten para la resolucioacuten del problema electromagneacutetico completo

(sect311) Y a continuacioacuten se han distinguido tres grandes tipos de problemas inversos 1) el de la

observacioacuten completa es decir aquel en el que seguacuten el teorema de unicidad (sect22) se cuenta con toda

la informacioacuten necesaria para su resolucioacuten (sect321) 2) El de una observacioacuten incompleta de modo que

el dominio de medida no englobe completamente a las fuentes (sect323) 3) El problema inverso sin fase

en el que soacutelo se conoce el moacutedulo de la distribucioacuten de campo y como ha podido observarse es el

maacutes complejo de los tres (sect33)

Para el caso de la observacioacuten completa el teorema 1 nos prueba la unidad de solucioacuten (sect3211) que

puede alcanzarse analiacuteticamente (sect3212) o de forma numeacuterica (sect3213) mediante a) solucioacuten

numeacuterica de la ecuacioacuten lineal b) reduccioacuten numeacuterica del residuo o c) mediante toda una familia de

algoritmos iterativos cuyas propiedades se han impuesto bajo la perspectiva del teorema global de la

convergencia En sect322 se han atendido dos casos particularmente sencillos los de observacioacuten

plana cercana y observacioacuten lejana

Para la observacioacuten incompleta se ha propuesto una solucioacuten iterativa (sect323) en la que se recurre a la

informacioacuten adicional del soporte finito de las fuentes y del ancho de banda del campo que en

dominios lejanos (3231) se hace formalmente equivalente al algoritmo de Gerschberg-Papoulis

Una vez considerados los problemas en los que se dispone de fase el resto del capiacutetulo que es su

mayor parte se dedica al estudio del problema sin fase (sect33) cuya solucioacuten radica en la extensibilidad

analiacutetica de las distribuciones de campo Esta caracteriacutestica que puede garantizarse a tenor del ancho

de banda finito de las distribuciones de campo establece una coherencia interna entre su moacutedulo y

su fase (3-39) relacioacuten que por desgracia no es suficiente para la resolucioacuten del problema La

factorizacioacuten de la extensioacuten analiacutetica permite determinar una relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) sin

los inconvenientes de la (3-39) a partir de la cual puede discutirse la ambiguumledad (sect3312) y las

condiciones que deben cumplir las distribuciones para que la solucioacuten sea uacutenica Pero para buscar

condiciones de unicidad independientes de las distribuciones bajo estudio se tuvo en consideracioacuten

el teorema de Hoenders (sect3313) y se mostroacute su incapacidad para sacar conclusiones Con lo cual

fue menester hacer criacutetica de diversas teoriacuteas sobre la ambiguumledad (sect3314 y sect3315) para despueacutes

plantear el problema de la unicidad desde una perspectiva diferente el problema discretizado

(sect3316) que a su vez corresponde a su expresioacuten en teacuterminos del espacio E

Los teoremas 2 y 3 muestran para los casos de campo lejano y cercano respectivamente la

multiplicidad de solucioacuten para observaciones de moacutedulo sobre una uacutenica distribucioacuten De acuerdo

con los corolarios 1 a 4 la solucioacuten es uacutenica cuando se cuenta con dos distribuciones ya sean de

campo y fuentes de campo sobre dos superficies o de campo eleacutectrico y de campo magneacutetico sobre

una uacutenica superficie


Finalmente las soluciones que se proponen para el problema sin fase (sect332) se clasifican seguacuten se

trate de procedimientos manipuladores (sect3321) o procedimientos observadores (sect3322) En los primeros se

modifica la distribucioacuten de campo o de fuentes para que el campo cumpla ciertas condiciones

analiacuteticas que faciliten la aplicacioacuten de alguacuten tipo de relacioacuten entre el moacutedulo y la fase (dominios

causales holografiacutea desplazamiento de los ceros) o que sin maacutes faciliten la unicidad de solucioacuten

(apodizacioacuten propuesta de Greenaway imposicioacuten de simetriacutea) Dentro de los meacutetodos

observadores en los que el conjunto de la informacioacuten de que se dispone soacutelo es compatible con

una solucioacuten se distinguen a) Los de proyecciones sucesivas en los que la informacioacuten relativa a cada

dominio se incorpora secuencialmente y las soluciones se van proyectando de unos dominios a

otros (entre ellos se encuentran los meacutetodos de Gerchberg-Saxton Misell Anderson y los

generalizados) b) Los meacutetodos de optimizacioacuten en los que se intenta optimizar un funcional que

incorpora a la vez toda la informacioacuten sobre dos o maacutes dominios Para finalizar se muestra la

inviabilidad de una propuesta de solucioacuten sobre el espacio del cuadrado del moacutedulo

En suma se han probado las condiciones que garantizan la unicidad de solucioacuten de los tres tipos de

problema inverso mencionados y se han presentado diversas formas de alcanzar dicha solucioacuten

cuya pertinencia depende de las condiciones particulares de cada problema y en especial de su

dimensioacuten

IV VALIDACIOacuteN

EXPERIMENTAL

ldquoLa mejor demostracioacuten es

sin comparacioacuten la

experiencia siempre que se

atenga estrictamente a las

observacionesrdquo

Francis Bacon Libro

primero del ldquoNovum

Organumrdquo

Validacioacuten experimental 153

41 PRUEBAS EXPERIMENTALES

Una vez que se han recorrido los caminos teoacutericos que desde las fuentes van al campo

electromagneacutetico y desde eacuteste vuelven a las fuentes hagamos ahora ya no un trayecto teoacuterico sino

uno en efecto recorrido Naturalmente la cantidad de pormenores que entonces se estudiaron no

podraacuten considerarse en un nuacutemero moderado de ejemplos pero al menos siacute podraacuten probarse los

aspectos maacutes fundamentales Nos limitaremos a comprobar las virtudes del recorrido inverso ya

que en esencia eacutestas son inseparables de las del directo Es evidente que el problema directo se

encuentra impliacutecito en el inverso pero incluso en la praacutectica como se ha visto en el planteamiento

de los meacutetodos inversos los directos estaacuten activamente implicados en los procesos de

reconstruccioacuten interactiva

Para no extender en exceso el volumen de las pruebas eacutestas se restringiraacuten a tres problemas reales

considerablemente distintos Aunque en todos lo casos el sistema radiante bajo estudio es una

antena se cuenta tambieacuten con medidas de las componentes de campo no intencionadas (la

componente contrapolar) que nos permiten aproximarnos al caso de un radiador arbitrario Soacutelo el

primero de los problemas puede considerarse en esencia superficial ya que la distribucioacuten de

corrientes no es separable Se trata de una antena de apertura circular cuyo diaacutemetro es de unos 17λ

observada desde dominios planos con una interesante caracteriacutestica para la validacioacuten de alguna de

las consideraciones hechas a tenor de la unicidad de solucioacuten del problema sin fase tiene una parte

metaacutelica en medio de la apertura que nos permite considerar nula la distribucioacuten de corrientes

equivalentes en esta zona El segundo de los problemas ndashrelativo a una antena plana de sateacutelitendash

aunque en la praacutectica sea superficial en esencia debido a la separabilidad de la distribucioacuten de

corrientes puede considerarse como la superposicioacuten de dos problemas unidimensionales El

tamantildeo eleacutectrico es de nuevo parecido pero al poderse separar las distribuciones de fuentes la

dimensioacuten del problema analiacutetico es muy inferior El uacuteltimo de los problemas ya ha sido

considerado en los ejemplos del capiacutetulo segundo se trata de la antena de radar secundario sobre la

cual volveremos a hablar en el proacuteximo capiacutetulo al aplicar precisamente a esta antena la arquitectura

general de sistemas de medida adaptados que alliacute se propone En este caso la dimensioacuten del

radiador es de unos 28λ que aun ya empezando a ser considerable no es ni mucho menos la que

atantildee a los grandes radiotelescopios Para darle una mayor practicidad a este uacuteltimo problema uno

de los aspectos en los que se centraraacute es el de la capacidad de deteccioacuten de fallos en alguna de las

columnas de alimentacioacuten ya que esto a menudo ocurre y al degradarse la directividad de la

radiacioacuten se pone en riesgo la eficiencia del sistema de radar secundario en su asistencia al traacutefico

aeacutereo

154 Capiacutetulo IV

42 ANTENA DE APERTURA CIRCULAR

Como ya se ha dicho el primero de los casos experimentales consiste en la caracterizacioacuten de una

antena de apertura circular y polarizacioacuten lineal (horizontal) disentildeada para ser utilizada para ser

utilizada como terminal remoto de un sistema satelital de acceso muacuteltiple CDMA que opera a

14125 en transmisioacuten y 12rsquo625 GHz en recepcioacuten [32] En la figura 31 se representa la geometriacutea

esencial de la antena asiacute como la de los dominios de observacioacuten que ndashcomo puede verse-

consisten en retiacuteculas planas paralelas a la apertura cuya longitud y anchura es doble que a de la

antena

Figura 4-1 Geometriacutea de la antena y de los dominios de observacioacuten (distancias expresadas en metros)

Las medidas realizadas en el Laboratorio de Ensayos de la Secretariacutea General de Comunicaciones de

El Casar permitieron la adquisicioacuten del campo complejo a la frecuencia de recepcioacuten (12rsquo625 GHz) de

modo que podraacute observarse la capacidad de resolucioacuten del problema inverso sin fase cuando se

prescinda de ella Por otra parte la geometriacutea del problema facilita considerablemente el coste

operacional al admitir la aplicacioacuten directa de las transformadas raacutepidas de Fourier (sect322) de lo

01

088

y

z

x

x

10

04

088

04

D1

S

D2

Retiacuteculas de 89x89 Puntos ∆x=∆y=001


contrario el gasto operacional del caacutelculo de los operadores directos T supone un coste excesivo1

Asiacute el planteamiento del problema directo se haraacute de acuerdo a sect2441

421 Frecuencia espacial sobre los dominios de observacioacuten

Una de las primeras cuestiones que deben abordarse para el acondicionamiento del problema con

objeto de distinguir la informacioacuten que sea esencial es el de la verdadera dimensioacuten del campo

sobre los dos dominios de observacioacuten ( o en general sobre el espacio que circunda la antena) Para

ello podemos recurrir al estudio que sobre este asunto se hizo en el capiacutetulo 2 Si el problema lo

abordaacuteramos en teacuterminos del operador directo T entonces el caacutelculo de la dimensioacuten esencial nos

proporcionariacutea el nuacutemero de dipolos de Hertz que debemos situar en la superficie que engloba las

fuentes En nuestro caso al recurrir al uso de las transformadas de Fourier no podemos limitar

directamente la dimensioacuten del problema pero mediante el uso de filtros podemos eliminar aquellas

componentes que no pertenezcan a su espacio espectral Es decir debemos considerar la frecuencia

espacial que en cada dominio cabe esperarse Para empezar vemos que el muestreo ha sido

respetuoso con el teorema 1 de muestreo que es el menos exigente ya que la distancia entre las

muestras 1 cm es menor que la distancia entre intensidades de campo independientes λ2 =

11881 cm En lo que respecta a los modos evanescentes ( sect243 fig2-11) es evidente que el

sobremuestreo (~12) es maacutes que suficiente para que el error de truncamiento sea insignificante No

obstante si se considera la dimensioacuten finita de la antena seguacuten se vio alliacute la frecuencia espacial que

cabe observarse puede limitarse auacuten maacutes

De acuerdo al teorema 3 la distancia entre puntos independientes es λd2aχ Donde d es la distancia

a las fuentes a es el radio de la esfera que engloba las fuentes y χ el factor de sobremuestreo sobre

la esfera que engloba las fuentes En sect243 se vio que una forma praacutectica de encontrar el

sobremuestreo necesario consistiacutea en la ampliacioacuten de la esfera miacutenima hasta encontrar la

dimensioacuten oacuteptima Los nomogramas de la figura 2-15 nos permiten encontrar estos valores

ndash exceso del radio δ ( a λ ) = δ ( 8 5 λ ) = 2 6 λ

1 Teniendo en cuenta las conclusiones llegadas en el estudio de los modos evanescentes si se pretende una

precisioacuten de 30 dB (ε tlt10-3) la esfera ampliada seraacute a rsquo = a + δ ( a λ ) = (8rsquo5+2rsquo6)middotλ y el factor de

sobremuestreo χ ( a λ ) = 1 rsquo 2 Por tanto puede tomarse por dimensioacuten del problema el nuacutemero de dipolos

de Hertz distribuidos sobre la apertura extendida de radio a rsquo con un sobremuestreo χ

N = π ( a rsquo )2( λ 2χ )2=2190 que en efecto en una dimensioacuten elevada para el uso de los meacutetodos inversos

directos Si ademaacutes se tiene en cuenta que en cada plano de observacioacuten hay 89x89 puntos entonces para el

caacutelculo del operador directo en campo cercano se requieren del orden de 1010 productos Que no obstante

podriacutean reducirse habida cuenta de las propiedades de simetriacutea de la funcioacuten de Green sobre D


ndash radio ampliado arsquo = a + δ = 1 1 1 λ

ndash sobremuestreo χ ( a λ ) = χ ( 8 5 λ ) = 1 2

Noacutetese que al muestrearse cada centiacutemetro se estaacute realizando un sobremuestreo respecto a λ2 de

11881 cong 12 que praacutecticamente corresponde con el sobremuestreo necesario sobre la superficie

ampliada de las fuentes χ Por tanto la frecuencia espacial discreta2 k equivaldraacute a N2 para las

frecuencias espaciales 122λ (que seguacuten sabemos no puede corresponder al campo engendrado

por la antena) Aplicando el teorema 3 al dominio discreto de Fourier la frecuencia espacial maacutexima

que cabe esperarse sobre un dominio de observacioacuten que se encuentre a una distancia d de la

apertura seraacute

daNkprime

sdot=2max

Que particularizada sobre los dominios de observacioacuten (ver figura 4-3) seraacute

ndash En D1 6602max sdot=Nk ndash En D2 260

2max sdot=Nk

Asiacute una manera de eliminar informacioacuten que sea ajena al espacio del campo seraacute la de emplear un

filtrado en el dominio discreto de Fourier como el representado en la figura 4-2

Figura 4-2 Representacioacuten graacutefica del filtrado oacuteptimo para la intensidad de campo

422 Problema inverso con fase

Una primera aproximacioacuten al problema teniendo en cuenta que disponemos de las distribuciones

de campo complejas consistiriacutea en encontrar la distribucioacuten de fuentes que mejor aproxima las

distribuciones de campo medidas Si se aplica el equivalente conductor eleacutectrico sobre el plano de la

apertura la distribucioacuten de fuentes se reduce a soacutelo corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto

usando (2-32) y (2-94)

2 Puesto que el problema es bidimensional la frecuencia espacial tendraacute dos componentes (kxky) cuyo valor

maacuteximo es (NN) ndashsiendo N el nuacutemero de muestras horizontales y verticales- La frecuencia maacutexima

representable corresponderaacute a (N2N2) aunque en nuestro caso sabemos que kx2+ky

2ltN2

kmaxkmax ky kx

1

Filtro


sdotΨminus=

sdotΨ==sdot=

xOy

yOxO

ME

ME~~~

~~~~~~ fΨE (4-1)

Seguacuten se discutioacute en sect32 definida una meacutetrica en E existe una uacutenica solucioacuten a partir de una

determinada distribucioacuten de campo complejo y en caso de que eacutesta corresponda con la

generalizacioacuten de la eucliacutedea entonces corresponde a la simple inversioacuten de (4-1) Si ademaacutes

recurrimos seguacuten hemos dicho antes a un filtro como el de la figura 4-2 que representaremos por

iH~ entonces la distribucioacuten de corriente que mejor aproxima el campo sobre el dominio D

~~~IFFT~IFFT

~~~IFFT~IFFT

Oiyxx

Oixyy

HEMM

HEMM

Ψsdotminus==

Ψsdot== (4-2)

Las figuras 4-3 y 4-4 recogen graacuteficamente los resultados obtenidos al aplicar (4-2) En la figura 4-5

se agrupan las corrientes reconstruidas a partir de las cuatro distribuciones de campo medidas

Figura 4-3 Distribuciones de campo horizontal y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de

corrientes equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la

distribucioacuten compleja de campo)


Figura 4-4 Distribuciones de campo vertical y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de corrientes

equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la distribucioacuten

compleja de campo)

En los resultados obtenidos puede apreciarse

ndash En todos los casos se aprecia la extensioacuten real de la apertura (con nulos en el interior y fuera

de la circunferencia de radio 02 Veacutease la fotografiacutea de la figura 4-6)

ndash La cadencia intencionada acorde con el gaacutelibo de la figura 4-6 de la distribucioacuten de corrientes

magneacuteticas verticales para la generacioacuten de la radiacioacuten directiva

ndash Una estrecha correlacioacuten entre las distribuciones de corriente obtenidas a partir de las medidas

en las dos superficies aunque tambieacuten una relativa discrepancia

Para evaluar cuantitativamente la convergencia de los resultados a partir de cada conjunto de

medidas puede considerarse el campo engendrado en un dominio por las corrientes reconstruidas a

partir del campo sobre el otro dominio Por ejemplo la diferencia cuadraacutetica media entre el moacutedulo del

campo medido en la segunda superficie Ex(1) y el obtenido con las corrientes reconstruidas a partir

de las medidas en la primera MyEx(04) es de ndash15 dB Naturalmente puede haber una diferencia

constante de fase que es inesencial debida a la impracticidad de la sincronizacioacuten en las medidas

sobre ambas superficies Sin embargo si se corrige la distribucioacuten de corrientes con una constante

compleja para que el maacuteximo del campo generado coincida con el valor medio entonces el error

cuadraacutetico medio de la distribucioacuten compleja es de ndash115 dB (para lo cual se ha empleado una

constante c=0969e j 1944)


Figura 4-5 Distribuciones de corrientes equivalentes reconstruidas directamente a partir de las

distribuciones de campo eleacutectrico horizontal y vertical en los dos dominios de observacioacuten

Para la explicacioacuten de las discrepancias debe tenerse en cuenta dos diferencias entre las

distribuciones de campo en los dos dominios de observacioacuten 1) el primer dominio tiene una mayor

visibilidad de la antena (plusmn45ordm frente a plusmn237ordm ver figura 4-7) 2) la frecuencia espacial del campo

sobre el segundo dominio es menor

En suma ocurre que la segunda superficie cuenta con menos informacioacuten que la primera para la

reconstruccioacuten de las fuentes que se traduce en distribuciones de corriente con menor ancho de

banda (obseacutervese coacutemo en la figura 4-5 los liacutemites de la apertura se rebasan en las distribuciones

obtenidas a partir de las medidas en el 2ordm dominio) Una manera para intentar reducir esta diferencia

es aumentar artificialmente el dominio de observacioacuten empleando el procedimiento descrito en

sect323


Figura 4-6 Iluminacioacuten nominal de la antena seguacuten fue disentildeada y fotografiacutea frontal de eacutesta

Figura 4-7 Geometriacutea del problema de ampliacioacuten del dominio de observacioacuten

423 Aumento del dominio de observacioacuten

Seguacuten se indicoacute en sect323 una manera de extender el dominio de observacioacuten consiste en antildeadir

informacioacuten a priori de las fuentes aplicando alternativamente las medidas de campo eleacutectrico y la

informacioacuten disponible a cerca de las fuentes (que comuacutenmente y en nuestro caso se trata de la

extensioacuten efectiva de eacutestas) De esta forma puede reconstruirse parte de la radiacioacuten que quedaraacute

fuera del dominio de visibilidad Como puede observarse en las figuras 4-3 y 4-4 la porcioacuten de

radiacioacuten mutilada es maacutes importante en el campo vertical (no intencionado) ya que eacuteste es menos

5 10 15 20

0 dB

-5 dB

-10 dB

-15 dB

-20 dB

Distribucioacuten de campo intencionado en la apertura

r(cm)

0

D1

D2

S2

45deg

237deg

a acute=111middotλ

z

D1(ampliado)

D2(ampliado)

dominios de

observacioacuten

ampliados

d=16 8 middotλ

d=42 34middotλ

0 44 m0 88 m


directivo siendo peor el caso del segundo dominio Sin embargo en el campo eleacutectrico horizontal

debido a la directividad de la antena la segunda superficie no parece dejar fuera demasiada

proporcioacuten de radiacioacuten

La aplicacioacuten del algoritmo de la figura 3-3 con una restriccioacuten de fuente que anula las corrientes alliacute

donde [x2+y2gt(0205)2]|[ x2+y2 lt (0045)2] condujo a las distribuciones ampliadas de la figura 4-8

con los siguientes resultados de convergencia (εconv diferencia cuadraacutetica media entre iteraciones)

Campo Eampl-Em2Em2 (dB) Ndeg de iteraciones εconvergencia ∆εconvergencia

Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6

Tabla 41

Figura 4-8 Dominios de observacioacuten ampliados artificialmente imponiendo reiteradamente las medidas y

la extensioacuten efectiva de la apertura

Las distribuciones de corrientes asociadas a los campos eleacutectricos extendidos empleando (4-2)se

representan en las figuras 4-9 y 4-10 Aquiacute puede apreciarse una mayor proximidad cualitativa entre

las distribuciones obtenidas a partir de cada uno de los dominios Sin embargo de nuevo se

constata una diferencia que ahora ndashcon maacutes claridad- parece radicar en una mayor suavidad de la

distribucioacuten obtenida a partir de las medidas en la segunda superficie que la obtenida a partir de las


medidas de la primera Efecto que naturalmente estaacute en relacioacuten con la diferencia entre los

contenidos frecuenciales en Cada dominio de observacioacuten

Desde un punto de vista cuantitativo podemos de nuevo evaluar la convergencia de cada pareja de

distribuciones de fuentes en teacuterminos de la diferencia entre el campo medido en un dominio y el

generado por las corrientes reconstruidas a partir de las medidas en el otro dominio Para la misma

pareja considerada en sect422 se obtiene una aproximacioacuten en el moacutedulo del campo de ndash176 dB que

es un resultado notablemente mejor La tabla 42 contiene el resto de los resultados de

convergencia que ndashcomo puede observarse- es oacuteptimo en la prediccioacuten de la primera distribucioacuten

de campo seguacuten las fuentes reconstruidas a partir de la distribucioacuten de campo sobre el segundo

dominio ampliado

Campo Eampl-Em2Em2 (dB)

Ex10MxEx(04) -176 Ex04MxEx(10) -198 Ey10MxEx(04) -126 Ey04MxEx(10) -121

Tabla 42

Figura 4-9 Corrientes magneacuteticas reconstruidas sobre la superficie de la apertura a partir del campo

ampliado complejo (fig 4-8) sin imposicioacuten de restricciones Equivalente a la figura 4-10




424 Problema inverso sin fase

Seguacuten se discutioacute en el capiacutetulo tercero la unicidad de solucioacuten a partir de distribuciones de moacutedulo

del campo soacutelo puede garantizarse bajo ciertas condiciones Veiacuteamos alliacute que a tenor de la posicioacuten

de los ceros cuando se trata de distribuciones unidimensionales o de la simetriacutea de los polinomios

irreductibles cuando se habla de distribuciones superficiales puede llegar a garantizarse la unicidad

de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo fijando un determinado soporte

No obstante como alliacute se argumentaba eso es algo que a no ser que manipulemos la distribucioacuten

de campo agregando otra conocida a priori no podemos garantizar Dicho de otra manera saber

eso de antemano es maacutes de lo que nuestro conocimiento empiacuterico puede aportarnos Se veiacutea en

suma que una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten era el conocimiento sobre dos

superficies de la distribucioacuten de moacutedulo Aunque en muchos casos podriacutea bastar el moacutedulo sobre

un uacutenico dominio junto con alguna restriccioacuten adicional sobre otro teniendo que ser eacutesta ndashpor lo

general- maacutes restrictiva que la sola consideracioacuten del soporte exterior de las fuentes

Se demostroacute alliacute que aunque el teorema de Hoenders formalmente fuera correcto las conclusiones

a las que se habiacutea llegado por desgracia no lo eran (podriacutea decirse que fueron precipitadas) a pesar

de haber ejercido una considerable influencia sobre otros investigadores [44 153 6 137 74 75] Se

proboacute entonces que puede haber varias distribuciones del moacutedulo de fuentes compatibles con una


cierta distribucioacuten de moacutedulo de campo (de hecho si la distribucioacuten es de extensioacuten N el nuacutemero

de eacutestas podriacutea llegar a ser 2N-1) y aquiacute veremos experimentalmente que en efecto es asiacute

Se emplearaacuten los procedimientos iterativos de proyecciones sucesivas descritos en sect3321a en los

que el criterio esencial de convergencia ha sido la distancia cuadraacutetica (definida en 2-98) entre las

distribuciones de campo ( o de fuentes3) de las dos uacuteltimas iteraciones normalizada respecto a la

norma cuadraacutetica de la uacuteltima distribucioacuten A este valor cuadraacutetico se le ha denominado error de

prediccioacuten aunque en realidad nos proporciona una medida de la coherencia entre la solucioacuten

obtenida y los datos empleados para alcanzarla Su evolucioacuten estaacute representada junto con los

resultados graacuteficos Adicionalmente para poner fin al proceso iterativo se ha impuesto un liacutemite

inferior a la variacioacuten de dicho error y uno superior par el nuacutemero de iteraciones No obstante para

valorar de forma cuantitativa la convergencia hacia la verdadera solucioacuten se ha evaluado el error

cuadraacutetico de las dos distribuciones de moacutedulo del campo predichas respecto a las medidas habida

cuenta que seguacuten se demostroacute en sect 331 soacutelo hay una solucioacuten compatible con dos distribuciones

de moacutedulo

Se consideraraacute primero el caso de una sola distribucioacuten de moacutedulo partiendo de varias hipoacutetesis y a

continuacioacuten se iraacute antildeadiendo maacutes informacioacuten hasta acabar en el procedimiento de proyecciones

sucesivas generalizado En los uacuteltimos casos se evaluaraacute ademaacutes la calidad de la reconstruccioacuten de la

distribucioacuten de fase sobre los tres dominios

4241 No unicidad de solucioacuten a partir de una distribucioacuten de moacutedulo

El procedimiento iterativo que aquiacute se usa consiste en una reduccioacuten extrema del generalizado en la

figura 3-15 considerando soacutelo medidas en un dominio | E(04)| ninguna restriccioacuten para las

fuentes y la restriccioacuten de ancho de banda antes descrita para el dominio del campo (sect421) Puesto

que seguacuten se argumentoacute en sect422 el primer dominio contiene maacutes informacioacuten acerca de las

fuentes se ha escogido eacuteste para realizar la inversioacuten

Si como se dijo en el capiacutetulo 3ordm este problema carece de solucioacuten uacutenica entonces la solucioacuten

alcanzada dependeraacute de la hipoacutetesis de partida y debiera ademaacutes conseguirse una buena coherencia

entre la distribucioacuten de moacutedulo predicha y la medida Las figuras 4-11 a 4-13 recogen los resultados

correspondientes a tres hipoacutetesis iniciales diferentes

- Distribucioacuten homogeacutenea sobre todo el dominio de fuentes |x|lt044cap|y|lt044

- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura de la antena x2+y2lt02052

- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452

3 Obseacutervese que para distribuciones de campo lejano en virtud del teorema de Parseval las distancias

cuadraacuteticas en el dominio de las fuentes y en el dominio del campo deben ser ideacutenticas


Figura 4-11 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)

sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis de distribucioacuten

homogeacutenea sobre todo el dominio de la antena |x|lt044cap|y|lt044



homogeacutenea en la apertura x2+y2lt02052 y nula fuera



sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis homogeacutenea en la

apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera

Desde un punto de vista cuantitativo los errores cuadraacutetico medios obtenidos en la aproximacioacuten

de la distribucioacuten de moacutedulo sobre ambos dominios

Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB)

Homogeacutenea en S -410 -113 Homogeacutenea en la apertura -397 -95

Homogeacutenea en la apertura efectiva -400 -105

Tabla 43

Tanto si nos fijamos en estos resultados como si comparamos las figuras anteriores con las

distribuciones originales de la figura 4-3 resulta evidente que aunque la distribucioacuten sobre el primer

dominio es claramente discrepante y en los tres casos distinta Lo mismo ocurre con la distribucioacuten

de fuentes En definitiva es del todo evidente que se trata de soluciones diferentes para una misma

distribucioacuten de moacutedulo sobre una sola superficie Asiacute podremos hablar de toda una multiplicidad

de soluciones compatibles con una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo y no soacutelo dos como sosteniacutea

Hoenders4

4 Aunque Sanz [138] en su teorema 7ordm sostenga acertadamente que en el caso N-dimensional (Nge2)

praacutecticamente todas las distribuciones tienen solucioacuten uacutenica a partir del moacutedulo de su transformada Debe


4242 Meacutetodos cuasi-Gerchberg-Saxton

En los siguientes ejemplos se consideran restricciones cada vez maacutes exigentes sobre el dominio de

las fuentes En lo que respecta al campo ademaacutes de la distribucioacuten de moacutedulo sobre el primer

dominio se sigue imponiendo la restriccioacuten de ancho de banda Si estuvieacuteramos aportando en el

proceso de reconstruccioacuten la distribucioacuten de moacutedulo de las fuentes entonces el algoritmo

corresponderiacutea con el de Gerchberg-Saxton En nuestro caso aportamos menos informacioacuten por esta

razoacuten se han denominado cuasi-Gerchberg-Saxton

Seguacuten se discutioacute en sect3315 un soporte de las fuentes finito y compacto no es suficiente para

garantiza la unicidad de solucioacuten sin embargo cuando el soporte en lugar de ser compacto tiene

una frontera interior (dentro de la cual la distribucioacuten es nula) entonces para la mayoriacutea de los casos

la solucioacuten es uacutenica (veacutease nota 31 de sect3) Precisamente en esta propiedad consistiacutea la propuesta de

Greenaway para la resolucioacuten del problema inverso (sect3321 [55])

a) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to exte r i o r

Al igual que deciacuteamos antes si en efecto la solucioacuten no fuera uacutenica cuando soacutelo se impone la

condicioacuten de un soporte finito compacto entonces partiendo de diferentes hipoacutetesis deberiacutea

llegarse a soluciones distintas En este caso partiremos de dos hipoacutetesis diferentes a) distribucioacuten

homogeacutenea sobre la apertura x2+y2lt02052 b) distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura

efectiva x2+y2lt02052capx2+y2lt00452

Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) Homogeacutenea en la apertura -245 -135


Tabla 44

En las figuras 4-14 y 4-15 se representan los resultados obtenidos para estas dos hipoacutetesis iniciales

El error cuadraacutetico de convergencia de la solucioacuten obtenida con las medidas estaacute recogido en la

tabla 44 Si comparamos estos resultados con las distribuciones originales de la fig4-3 se observa

un mayor parecido que las obtenidas anteriormente El error en el primer dominio es mayor y en el

segundo menor con lo que el error neto es inferior pero desde un punto de vista cualitativo resulta

entenderse que ese ldquopraacutecticamenterdquo estaacute en relacioacuten con el grado maacuteximo de ambiguumledad que resultariacutea de la

extensioacuten al caso n-dimensional de la teoriacutea de Walter (sect331) que para distribuciones superficiales seriacutea

2M1+M2 donde M1xM2 es el orden de la distribucioacuten en nuestro caso 89x89 Es decir aun nos queda un gran

margen para no poder hablar en la praacutectica de solucioacuten uacutenica


aun evidente que se trata de soluciones distintas a la buscada Lo cual nuevamente corrobora la no

unicidad de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo

Figura 4-14 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo una

hipoacutetesis de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura y nula fuera (|Ex(04)|) imponiendo la

restriccioacuten exterior de soporte finito f ne 0 x2+y2lt02052 A partir de



imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052 A partir de una hipoacutetesis

de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera

b) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to ext e r i o r e in t e r io r (Greenaway)

Cuando el soporte de las fuentes no es compacto como es el caso entonces su conocimiento a

priori puede conducirnos a la solucioacuten en la mayor parte de los casos La figura 4-16 muestra el

resultado obtenido partiendo de una distribucioacuten homogeacutenea que es muy parecido al que se

alcanza con otros puntos de partida Cuantitativamente el error cometido sobre la primera

superficie es de ndash24 dB y sobre la segunda ndash16 dB que es mejor que los resultados anteriores Pero

es aun maacutes importante la diferencia cualitativa con estos que es observada entre las figuras 4-15 (y

anteriores) y 4-16 respecto a las distribuciones originales Se ve ahora que la solucioacuten obtenida

salvo errores siacute se corresponde con la deseada

Cuando la reconstruccioacuten se intenta sobre el campo vertical maacutes ruidoso y del que ndashpor ser menos

directivo- contamos con menos informacioacuten efectiva se obtienen los resultados de la figura 4-17 a

los que corresponden un error cuadraacutetico de ndash155 dB sobre la primera superficie ndash8 dB sobre la

segunda Tambieacuten en este caso a pesar de los malos resultados cuantitativos se observa coacutemo las

formas de la distribucioacuten asiacute de las corrientes como del campo sobre la segunda superficie (salvo en

los bordes) tienden a las originales (fig 4-4 y 4-5)



imponiendo la restriccioacuten de soporte finito sobre la apertura efectiva f(xy)ne0x2+y2lt02052 cap

x2+y2lt00452

Figura 4-17 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo

(|Ey(04)|) imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0 x2+y2lt02052


4243 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas

Finalmente cuando se usan dos distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico la solucioacuten ha de ser

uacutenica seguacuten el corolario 3 de sect331 Se probaraacute primero la imposicioacuten de solamente las medidas de

moacutedulo para acabar imponiendo por antildeadidura la restriccioacuten del soporte compacto de las fuentes

completando asiacute el meacutetodo generalizado de proyecciones sucesivas (MPS)

Al igual que ocurriacutea en el uacuteltimo caso las hipoacutetesis iniciales deparan resultados casi ideacutenticos a los

representados variando fundamentalmente la evolucioacuten del error en las primeras iteraciones (por

esta razoacuten no se indica a pie de figura la hipoacutetesis de partida aunque en los casos representados se

haya partido de una distribucioacuten uniforme) Los errores cuadraacuteticos de las distribuciones de campo

alcanzados en cada caso se recogen en la tabla 45

Meacutetodo Campo ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) ε2|M| (dB)

Sin restriccioacuten de fuentes Ex -428 -228 -148 Ey -325 -157 -40

Con restriccioacuten de fuentes Ex -223 -190 -205 Ey -133 -124 -80

Tabla 45

Si bien seguacuten los errores de las distribuciones de campo pudiera llegar a decirse que en balde o en

perjuicio hemos introducido la restriccioacuten de fuentes se observa por una parte que las diferencias

con las distribuciones reconstruidas a partir de moacutedulo y fase en sect423 son menores cuando se

imponen la restricciones por otra parte se veraacute que cualitativamente la solucioacuten es mejor en este

caso quedando de hecho sus liacutemites cuantitativos ajustados a los que cabe esperarse en la

convergencia entre las dos distribuciones (veacutease la tabla 42) La prueba de ello la encontramos

cuando se compara la distribucioacuten de fase predicha con la medida obtenieacutendose una mayor

proximidad cuando se aplican las restricciones que cuando no se hace (figuras 4-18 y 4-22) en otras

palabras la reconstruccioacuten de la fase ha sido mejor y con ella la de las distribuciones complejas

a) Sin r e s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (meacutetodo de Anderson)

A la luz de los resultados reunidos en las figuras 4-18 a 4-20 puede decirse sin ambages que las

distribuciones alcanzadas por este procedimiento tienden hacia la solucioacuten deseada El error de fase

representado en la figura 4-19 es moderado para las fuentes sobre su soporte (es decir alliacute donde es

significativo) y en el campo para un aacutengulo de observacioacuten de plusmn265ordm sobre el primer dominio y de

plusmn19ordm sobre el segundo

Inclusive en el campo vertical fig4-20 del cual no cabe esperarse una buena convergencia entre las

dos distribuciones se obtiene un resultado en el que pueden reconocerse las distribuciones

originales


Figura 4-18 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo

eleacutectrico horizontal sin aplicar restriccioacuten de soporte finito

Figura 4-19 Error de fase correspondiente a la reconstruccioacuten de la figura 4-18 Donde la distribucioacuten de

corrientes se compara con las distribuciones de la figura 4-10 y la distribucioacuten de campo con

las medidas de campo complejo



eleacutectrico vertical sin aplicar restriccioacuten de soporte finito

b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (MPS)

Cuando finalmente se imponen restricciones sobre el dominio de las fuentes se observa que las

distribuciones reconstruidas tienden de forma oacuteptima hacia la solucioacuten deseada ya que por una

parte las distribuciones de fase como puede observarse en las figuras 4-22 y 4-23 son ahora maacutes

parecidas y por otra parte las distribuciones de fuentes son maacutes parecidas a las que se

reconstruyeron a partir de moacutedulo y fase sect423

De nuevo se observa que el error de fase es pequentildeo dentro de la apertura efectiva (es decir alliacute

donde tiene importancia) siendo ahora menor que en el caso anterior con una desviacioacuten tiacutepica de

117ordm respecto a MyEx(04)(corrientes reconstruidas a partir del campo en la primera superficie) y

de 89ordm respecto a My Ex(1)(que seguacuten los resultados de la tabla 42 parece ser la mejor solucioacuten)

Para un aacutengulo de observacioacuten menor que plusmn265ordm en el primer dominio y plusmn19ordm en el segundo la

desviacioacuten tiacutepica del error de fase es ahora menor que 10ordm



eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052





Figura 4-23 Error de fase de la figura 4-23 particularizado a lo largo de la recta y=ύ (diaacutemetro horizontal de

la antena)


eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy) ne 0x2+y2lt02052


43 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE RANURAS

El segundo ejemplo consiste en la caracterizacioacuten de una antena de agrupacioacuten de denominada

ERS-1 disentildeada para operar a 5308 MHz en polarizacioacuten horizontal cuya geometriacutea estaacute

representada en la figura 4-25 a Como puede observarse estaacute constituida por tiras de ranuras

desplazadas entre filas consecutivas (de modo que al reconstruir las corrientes en sentido horizontal

no podraacuten distinguirse los espacios entre ranuras) Las medidas realizadas en los laboratorios del

Grupo de Radiacioacuten de la Universidad Politeacutecnica permitieron la adquisicioacuten esfeacuterica del campo

complejo (tanto polar como contrapolar) a 5380 MHz a una sola distancia y sobre dos direcciones

acimutales (ϕ=0ordm u horizontal ϕ=90ordm o vertical) tal y como se ilustra en la figura 4-25bGracias a

que la distribucioacuten de corrientes es separable en las dos direcciones de agrupacioacuten la utilizacioacuten de

esta pareja de medidas horizontal y vertical puede emplearse para reconstruir respectivamente la

distribucioacuten de corrientes horizontal y vertical para ambas componentes del campo (polar y

contrapolar)

La disponibilidad del diagrama de radiacioacuten lejano obtenido mediante expansioacuten de modos

esfeacutericos (usando el programa TICRA) nos permite por una parte comparar la prediccioacuten de eacuteste

cuando se usa la distribucioacuten de fuentes reconstruidas por otra emplearla como medida ficticia a

una distancia lejana para el uso de los algoritmos basados en medidas sobre dos dominios No

obstante al igual que en el ejemplo anterior primero se analizaraacute la dimensioacuten del problema

electromagneacutetico y a continuacioacuten se iraacuten probando los principales meacutetodos expuestos en el

capiacutetulo 3ordm primero usando la fase despueacutes una uacutenica medida de moacutedulo a continuacioacuten dos

medidas de moacutedulo sin restricciones y finalmente con restricciones

Figura 4-25 Geometriacutea del problema inverso para la antena de agrupacioacuten de ranuras

y

x1 m

1 m

xy

z

Eθ Eφ

Eθ

Eφ

Plano ϕ =0

Plano ϕ =90deg

54 m

a) Geometriacutea de la antena b) Geometriacutea de la adquisicioacuten de medidas


431 Dimensioacuten del problema electromagneacutetico

Considerando que el problema es separable la dimensioacuten del problema electromagneacutetico dependeraacute

esencialmente de la maacutexima dimensioacuten eleacutectrica undimensional es decir 177λ Recurriendo a los

resultados de las figuras 2-15 y 2-16 si se pretende un error de truncamiento inferior a 10-4 (-40

dB) la esfera ampliada seraacute de radio arsquo=a+δ(a)=(1772+32)λ=12sdotλ y el factor de sobremuestreo

sobre la esfera ampliada (y para la aplicacioacuten del teorema 2) χ(a)=12

4311 Distribucioacuten de dipolos hercianos

Al aplicar el teorema de equivalencia sobre la superficie z=0 (conductor eleacutectrico) el problema

directo se reduce a la caracterizacioacuten sobre el hemiespacio zgt0 (que es el rango al que se restringen

las medias) y el inverso a la determinacioacuten de las corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto la

dimensioacuten de estos problemas unidimensionales seraacute (sect241-teoremas 2 y 3) πmiddot12middotλmiddotχ(λ2)cong91

que corresponde con el miacutenimo nuacutemero de muestras necesario para la caracterizacioacuten del como con

la precisioacuten prefijada Como en nuestro caso la geometriacutea es plana podemos plegar la distribucioacuten

de los 91 dipolos magneacuteticos de Hertz a la superficie z=0 que naturalmente habraacuten de

equiespaciarse y en virtud de la simetriacutea de la antena disponerse simeacutetricamente respecto al origen

sobre el eje x para el corte acimutal de 0ordm y sobre el eje y para el de 90ordm

4312 Frecuencia espacial del campo radiado

A tenor del primer teorema de muestreo la frecuencia espacial que cabe esperarse sobre los

dominios de muestreo habida cuenta que se encuentran a 955middotλ (donde los modos evanescentes

pueden darse por extinguidos fig 2-11) seraacute como maacuteximo β Es decir la distancia entre valores

independientes del campo seraacute como poco λ2 que corresponde con una separacioacuten angular de

λ(2middot541)=000523 rad= 0300ordm ( de modo que en una semivuelta bastariacutean 600 muestras) Como

en las medidas realizadas se recogieron 1000 muestras ahora se ve que es maacutes de lo necesario y que

por tanto conviene filtrarse de acuerdo a los liacutemites sugeridos por el teorema 3 ∆min = λd2 arsquoχ=

λmiddot955(2middot12middot12)= 0187 m|esfera equiv 00346rad =198ordm Con lo cual la frecuencia espacial discreta

(respecto al nuacutemero total de muestras 1000) de la distribucioacuten de campo procedente de la antena

kmax = (N2)(nordm muestras suficientes) = 500(180198)= 55


Seguacuten se indicoacute se comienza considerando el problema inverso a partir de las distribuciones de

campo complejo Dado el paralelismo de los dominios de observacioacuten actuales con los del ejemplo

segundo del capiacutetulo 2 la definicioacuten del operador directo es ideacutentica a la alliacute indicada El

procedimiento inverso se reduciraacute a la inversioacuten de dicho operador tal y como se expuso en sect32


que de acuerdo con la dimensioacuten del problema (se han empleado 91 dipolos de Hertz con un

sobremuestreo χ=105) no es menester el recurso a los meacutetodos numeacutericos Los resultados

ilustrados en las figuras indican

ndash La distribucioacuten de corrientes reconstruidas (en azul y trazo continuo el moacutedulo en verde y

discontinuo la fase)

ndash Las distribuciones de campo proacuteximo (a 541m) medida en azul correspondiente a la

distribucioacuten de fuentes reconstruida en rojo lejano obtenido mediante expansioacuten modal en

cian y correspondiente a las fuentes en violeta

ndash Los errores cuadraacuteticos medios en dB del campo reconstruido respecto al medido y del

campo lejano respecto al obtenido por expansioacuten modal (usando el programa de Ticra [156])

En la reconstruccioacuten a partir de las medidas copolares fig 4-26 y 27 puede observarse el

decaimiento fuera de la superficie de la antena -0505 y en el caso horizontal pueden tambieacuten

apreciarse dos miacutenimos simeacutetricos respecto al origen antes del borde de la antena correspondientes

a las franjas verticales libres de ranuras (que pueden verse en la figura 4-25ordf) En el problema

vertical como era de esperar pueden distinguirse las posiciones de las ranuras

Para la radiacioacuten contrapolar fig 4-28 y 29 la relacioacuten sentildeal a ruido de las medidas es bastante

peor y naturalmente esto afecta a la calidad de las reconstrucciones efectuadas cuyo error

cuadraacutetico aumenta varios oacuterdenes de magnitud sobretodo en el corte horizontal En el vertical

puede distinguirse auacuten la extensioacuten de la antena real

Figura 4-26 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ sobre ϕ =0


Figura 4-27 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ sobre ϕ =90ordm

Figura 4-28 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ (componente contrapolar) sobre ϕ =0ordm


Figura 4-29 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ (componente contrapolar) sobre ϕ =90ordm


Como en el caso de la antena de reflector consideraremos primero algunos casos de intento de

reconstruccioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo que alliacute se demostroacute en consonancia

con los resultados teoacutericos inviable y que aquiacute se ilustra de nuevo Es decir se veraacuten soluciones

compatibles con una distribucioacuten de moacutedulo y claramente no corresponden con la solucioacuten

deseada Se ve despueacutes la posibilidad de reconstruccioacuten vaacutelida usando dos distribuciones de

moacutedulo

4331 Acerca de la unicidad de solucioacuten

Al igual que se hizo en el problema anterior podraacute probarse la falta de unicidad de solucioacuten a partir

de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo empleando una reduccioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton

en el que en lugar de emplear medidas sobre el dominio de fuentes se impone aquiacute la restriccioacuten de

soporte finito A este meacutetodo seguacuten el criterio de sect4242 podemos denominarlo cuasi-Gerchberg-

Saxton Seguacuten puede observarse en las figuras 4-30 y 4-31 el algoritmo lega a soluciones que no

pueden darse por vaacutelidas a la vez que demuestran una estrecha coherencia con la distribucioacuten de

moacutedulo considerada Por una parte se observa que la radiacioacuten lejana es muy diferente y por otra se

advierte que la distribucioacuten de fuentes tanto en moacutedulo como en fase es muy distinta a la de las

figuras 4-26 y 4-27 Con lo que nuevamente se hace patente la falta de unicidad a partir de una uacutenica

distribucioacuten de moacutedulo


Figura 4-30 Reconstruccioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0

Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (cuasi-Gerchberg-Saxton)

Figura 4-31 Reconstruccioacuten partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm

Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (meacutetodo cuasi-Gerchberg-Saxton)



Seguacuten se indicoacute arriba se pueden considerar conocidas dos distribuciones de moacutedulo tomando las

distribuciones de campo lejano de las figuras 4-26 a 29 (obtenidas mediante expansioacuten modal

esfeacuterica) como si eacutestas se trataran de una medida maacutes Se demostraraacute de nuevo la capacidad de los

meacutetodos iterativos descritos en sect3321 primero sin restricciones sobre el dominio de fuentes

(meacutetodo generalizado de Anderson sect3321iii) despueacutes antildeadiendo la restriccioacuten de soporte finito

(MPS generalizado sect3321iv)

a) Sin r e s t r i c c i oacuten de fuent e s (meacutetodo de Anderson g enera l izado)

Como puede observarse en las figuras 4-32 a 35 se obtienen resultados que demuestran encontrarse

en las proximidades de la solucioacuten deseada evidenciaacutendose de nuevo la unicidad de solucioacuten

Especialmente interesante es el caso de las componentes contrapolares ya que aquiacute se observan

unos errores del mismo orden o incluso menores que en el caso de la reconstruccioacuten directa Debe

sentildealarse que en parte las discrepancias observadas entre las distribuciones reconstruidas actuales y

las obtenidas usando la fase de campo se deben a que se empleoacute alliacute un muestreo un poco maacutes fino

(105 frente a 10 en el problema sin fase)

Figura 4-32 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm Sin

imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)


Figura 4-33 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm Sin


Figura 4-34 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ (componente

contrapolar) sobre φ=0ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)


Figura 4-35 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ (componente

contrapolar) sobre ϕ=90ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de fuentes (MPS)

b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (Meacutetodo de las Proye c c i ones Suce s i vas g enera l izado)

La imposicioacuten del soporte finito al aacuterea de la antena soacutelo se aplica a las componentes copolares ya

que para las otras no es tan niacutetido el descenso de la distribucioacuten de corrientes fuera de la antena Se

observa aquiacute respecto a la no imposicioacuten de restricciones un cierto parecido en el problema

horizontal y una notable mejora en el vertical


Figura 4-36 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm

Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y) ne0 ylt05m

(MPS generalizado) con χ=1

Figura 4-37 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm

Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y)ne0 ylt05m



44 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE DIPOLOS PARA RADAR

SECUNDARIO

Vamos a considerar ahora un caso que reviste un notable intereacutes praacutectico Seguacuten se mencionoacute

arriba estaacute relacionado con la antena estudiada en el uacuteltimo ejemplo del capiacutetulo segundo (sect252

veacutease figura 2-26) Estas antenas como es bien sabido junto con el resto del sistema de Radar

Secundario cumplen una importante misioacuten en la seguridad del traacutefico aeacutereo Sin embargo puede

ocurrir que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de la antena se degraden de manera que el sistema

aunque aparentemente operativo no pueda cumplir su funcioacuten En las antenas que aquiacute se

consideran ndashmuy frecuentes en los aeropuertos espantildeoles e hispanoamericanos- a menudo ocurre

que una de las columnas de agrupacioacuten de dipolos falla lo cual puede tener graves consecuencias en

la directividad de la antena y el nivel de los loacutebulos secundarios Si esto ocurre en el mejor de los

casos el sistema soacutelo pierde definicioacuten al determinar direcciones pero en otros puede llegar a

detectarse aeronaves ficticias Por tanto es menester hacer un mantenimiento para controlar las

prestaciones de la antena y en caso de degradacioacuten repararlo lo antes posible [87 35 36 37]

Mediante la aplicacioacuten de los meacutetodos inversos investigados aquiacute se probaraacute que a partir de unas

medidas sencillas puede resolverse de forma eficiente este grave problema Por una parte el giro

continuo de la antena junto con el determinismo de las sentildeales transmitidas permiten realizar una

adquisicioacuten praacutecticamente pasiva de un corte ciliacutendrico horizontal sin entorpecer el

funcionamiento del Radar Secundario Para ello basta con que el medidor se situacutee sobre el suelo y

en las proximidades de la antena Por otra parte la simplicidad de uso de los amplificadores

logariacutetmicos para la adquisicioacuten de moacutedulo hacen que el aparato de medida pueda ser

considerablemente sencillo En el siguiente capiacutetulo se trataraacute la arquitectura del sistema de medida

como un caso particular de sistema adaptado mientras que aquiacute se abordaraacute el problema

electromagneacutetico a partir de unas medidas sintetizadas donde el principal objetivo seraacute la capacidad

de deteccioacuten de fallos de las columnas

441 Siacutentesis de la distribucioacuten de campo

4411 Justificacioacuten del dominio de medida

En estas antenas ilustradas en la figura 4-38 la red de alimentacioacuten de los dipolos estaacute constituida

por una agrupacioacuten de distribuidores y liacuteneas de transmisioacuten que reparten la potencia hacia cada una

de las columnas de dipolos (distribucioacuten horizontal de corrientes) seguido de un circuito de

distribucioacuten compacto e impreso que hace llegar la corriente a cada uno de los dipolos (distribucioacuten

vertical de corrientes) Esta arquitectura hace que la distribucioacuten de corrientes dentro de las

columnas sea homogeacutenea e incierta entre ellas Por tanto cuando se desea saber si una de estas


antenas estaacute radiando adecuadamente lo que estaacute en tela de juicio es en realidad la corriente que

llega a cada una de las columnas

Figura 4-38 Vista frontal de la antena bajo estudio principales dimensiones y detalle lateral de una

columna

Teniendo en cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corrientes (2-102) resulta evidente que las

distribuciones horizontales de campo sobre el dominio de medida ciliacutendrico no presentaraacuten

diferencias significativas entre cortes horizontales ( a parte de alguna constante compleja) de modo

que podemos considerar que eacutestas distribuciones han sido esencialmente causadas por la relacioacuten de

excitaciones horizontales Puesto que eacutesta es incierta entonces el conocimiento de la radiacioacuten

sobre dominios horizontales ciliacutendricos como los representados en la figura 4-39 puede proveernos

la informacioacuten necesaria para la averiguacioacuten de la relacioacuten efectiva de excitaciones horizontales

Como por otra parte las variaciones verticales del campo se deben fundamentalmente a la relacioacuten

de corrientes verticales que conocemos esta informacioacuten no nos aporta nada nuevo y en

consecuencia podemos restringir nuestro dominio de medida al mencionado

Figura 4-39 Dominio de medida de las antenas de Radar secundario (veacutease figura 1-26)

Columna 1 [-16] Columna 36 [+16] Columna 17 [0]

8m

16

m

Srsquo

x

y

z

ϕ

Superficie de la Antena

Punto de observacioacuten

ρ φ

y

ρ

Dominio de medida(-π2 a π2)


4412 Particularizacioacuten del problema directo

Puesto que se conoce en detalle la antena puede determinarse con precisioacuten la radiacioacuten generada

por eacutesta sobre los mencionados dominios de medida La presencia de un plano de masa

(constituido por varillas verticales suficientemente cercanas fig 4-38) puede tenerse en cuenta

modelaacutendolo por medio de un plano infinito y aplicando teoriacutea de imaacutegenes tal y como ilustra la

figura 4-40a Para la distribucioacuten de estas corrientes se considera por una parte las excitaciones

nominales sobre las que se antildeadiraacuten fallos de columnas (graacuteficamente representadas en la figura 2-

26b) por otra la fluctuacioacuten tiacutepica obtenida a partir de medidas reales sobre la antena [27] De

modo que la distribuciones empleadas en la siacutentesis de las medidas son estocaacutesticas Para

determinar el campo engendrado por estas distribuciones se emplea la relacioacuten (2-104)

Evidentemente para representar el mismo problema podemos aplicar sobre un plano anterior a la

antena el principio de equivalencia (seguacuten se ilustra en la figura 2-28) de modo que eacuteste estriacutea

constituido por una retiacutecula regular de dipolos magneacuteticos de Hertz Teniendo en cuenta la

independencia de la distribucioacuten horizontal de campo respecto a la distribucioacuten vertical de

corrientes puede entonces simplificarse auacuten maacutes la distribucioacuten considerando todas las corrientes

verticales agrupadas en un mismo punto (como se representa en la figura 4-40) Por otra parte los

resultados de sect252 mostraban que la separacioacuten de los dipolos de Hertz de modo que queden

enfrentados con las columnas aunque insuficiente para una determinacioacuten precisa del campo era

suficiente para determinar la relacioacuten efectiva de excitaciones de la antena Por tanto la formulacioacuten

en teacuterminos de corrientes magneacuteticas podraacute reducirse a una retiacutecula lineal anterior a la antena y

coincidente con el punto medio de cada una de las columnas radiantes El campo a partir de estas

corrientes puede determinarse como particularizacioacuten trivial de (2-105) y naturalmente eacuteste soacutelo

podraacute ser de utilidad para su aplicacioacuten en el problema inverso



puntual de la columnandash

J1

J2

JN

hellip

J1

J2

JN

hellipequiv

Plan

o de t

ierra

a) Corrientes conductivas

Mequi equiv

b) Corrientes equivalentes magneacuteticas


4413 Siacutentesis de medidas

Una vez determinado el campo seguacuten las consideraciones anteriores las medidas se ha sintetizado

de acuerdo con las caracteriacutesticas reales de los dispositivos de medida Para ello se dispone de

medidas parciales obtenidas con el sistema de deteccioacuten que se describe en el capiacutetulo siguiente que

han permitido determinar sus caracteriacutesticas maacutes relevantes en cuanto a errores de medida Se

observa que el ruido dominante es debido a los detectores logariacutetmicos y que finalmente eacuteste queda

subsumido por el proceso de conversioacuten numeacuterico haciendo que el error siga una distribucioacuten

uniforme de plusmn025 dB ( como se demostraraacute maacutes adelante) No obstante se ha considerado el

doble de este ruido para evaluar los meacutetodos inversos en condiciones aun maacutes severas al que se ha

antildeadido una distorsioacuten logariacutetmica de 002 dBdBv

Finalmente se considera el error debido a la determinacioacuten de la posicioacuten del punto de medida

respecto a la antena que tiene componente horizontal y vertical

En suma la siacutetesis de las medidas del campo radiado por la antena tiene en consideracioacuten

ndash la geometriacutea en detalle de la antena [27] y del dominio de medida

ndash fallos intencionados de alguna columna

ndash las excitaciones de la antena con sus fluctuaciones tiacutepicas (consideradas estocaacutesticas)

ndash errores en la determinacioacuten de la posicioacuten de medida

ndash el ruido captado por el sistema electroacutenico (predominantemente logariacutetmico) y la distorsioacuten

logariacutetmica

Las medidas que a continuacioacuten se emplean para evaluar la capacidad de reconocimiento de fallos

son siempre parejas de medidas tomadas a 30 y 80 metros de distancia respecto al eje de rotacioacuten de

la antena y 20 metros por debajo de su base en las siguientes condiciones

1 fallo en la columna 8 (oacute -9) con diferentes niveles de ruido de cuantificacioacuten

a)plusmn05 dB b) plusmn025 dB c) plusmn005 dB

2 fallo en la columna 8 (oacute ndash9) y la 17 (oacute 0 central) con un error de cuantificacioacuten de plusmn05 dB

Con el primer grupo de medidas sintetizadas puede probarse la sensibilidad de la deteccioacuten de fallos

respecto al ruido el segundo nos permite observar otra condicioacuten de fallo verificando asiacute la

eficiencia en su identificacioacuten (para una condicioacuten de ruido maacutes severa que la experimental)

442 Comparacioacuten de meacutetodos inversos sin fase

Para compara los meacutetodos se proponen dos formulaciones del problema y dos modos de

resolverlo En cuanto a la expresioacuten del problema se emplearaacuten las aproximaciones de corrientes

conductivas y de corrientes equivalentes magneacuteticas


a) La formulacioacuten de corrientes conductivas considera la geometriacutea detallada de la antena (veacutease fig4-

40a) de modo que las fuentes queden expresadas como una distribucioacuten discreta de corrientes

puntuales situadas sobre la posicioacuten geomeacutetrica de cada uno de los dipolos reales y sus

imaacutegenes

sumsum sum= = =

minus+=

sdot=

minus=

minusprimeminusprimeminusprime=x yN

i kk

jiij

ijij

kj

N

ji

kijky

dzz

zzyyxxJ1

M-DiM

1

21

1 21)1(

donde )( γβα

αα

δα (4-3)

Siendo zMi la coordenada z del plano de masa y dD-M la distancia entre el plano de masa y los

dipolos reales

Si la componente de campo observada es la vertical aplicando la relacioacuten (2-28) y teniendo en

cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corriente es inmediata la expresioacuten del campo en

teacuterminos de los coeficientes de excitacioacuten horizontal y un conjunto de funciones de campo

Ψi en los que queda reflejado el campo generado por cada columna radiante

sumsum sum== =

Ψsdot=minus+minus=xx y N

iii

N

i

N

jijkjkijk

kiy yRGyyRGE

11 12

21 )( )()()()1()( ϕρββr

donde

minusminussdot+minus+minussdot=

+minussdot+minus+minussdot=

minus

minus

2

222

2

221

)cos()()sin(

)cos()()sin(

MDiMjiij

MDiMjiij

dzyyxR

dzyyxR

ϕρϕρ

ϕρϕρ

(4-4)

De esta forma el problema inverso se convierte en la indagacioacuten de los 33 coeficientes de

excitacioacuten horizontal

b) La formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas a diferencia de la anterior no considera la

estructura particular de la antena (veacutease la figura 4-40) y toda la contribucioacuten correspondiente a

cada columna se asume que se encuentra concentrada en un solo punto Consideracioacuten que

hace acopio de la independencia entre la distribucioacuten vertical de corrientes y el campo

observado sobre el domino horizontal Usando (2-23) y teniendo en cuenta que soacutelo nos

fijamos en la componente vertical del campo seraacute suficiente la consideracioacuten de las corrientes

magneacuteticas horizontales

sum=

minusprimeminusprimeminusprime=xN

iijiijx zzyyxxMM

1

)(δ

sumsum==

Ψsdot=sdot=xx N

iii

N

iiiy yM)(RGME

113 )( )( ϕρr

(4-5)


Es evidente que la utilizacioacuten de la primer formulacioacuten al incorporar un maacuteximo de informacioacuten

acerca del sistema radiante sea maacutes precisa en la descripcioacuten del campo sin embargo es maacutes

sensible a los posibles errores que se puedan cometer en la determinacioacuten de la posicioacuten relativa de

los puntos de observacioacuten Como se vio en sect252 la descripcioacuten del campo en teacuterminos de las

corrientes magneacuteticas situadas sobre un punto intermedio de cada columna y por tanto distanciadas

maacutes de λ2 es una solucioacuten relativamente imprecisa para la determinacioacuten del campo (fig 2-35)

Sin embargo como alliacute se observoacute es suficiente para identificar la verdadera distribucioacuten de

corrientes (fig 2-37) Por tanto seguacuten esta aproximacioacuten y a la luz de los resultados alcanzados en

sect252 podremos darnos por satisfechos si nos permite la identificacioacuten de los fallos que a fin de

cuentas es el objetivo de nuestro problema

Puesto que uno de los requisitos del sistema de medida es que eacuteste sea transparente a la operacioacuten

del Radar secundario para la solucioacuten del problema inverso sin fase no pueden emplearse

procedimientos manipuladores con lo que nuevamente estos quedan restringidos a los

observadores (sect3321) Pero dentro de estos se distinguiacutean los meacutetodos de proyecciones sucesivas

(MPS sect3321a) y los de optimizacioacuten de la distancia entre distribuciones del cuadrado de la amplitud de

campo eleacutectrico (MOCA sect3321b) Por tanto en cuanto a la manera de resolver el problema

planteado se utilizaraacuten estas dos soluciones

Para su comparacioacuten se consideran

ndash la capacidad de identificacioacuten de fallos que se observa a partir de las corrientes reconstruidas

ndash la capacidad de prediccioacuten del campo que se observa

o cualitativamente en la comparacioacuten entre medidas y campo predicho y

o cuantitativamente en teacuterminos del error de prediccioacuten que pondera los errores cuadraacuteticos

sobre los dos dominios de medida (incluida en los resultados graacuteficos y en la tabla 45)

ndash Por otra parte y al igual que en los problemas anteriores se representa la evolucioacuten del error de

prediccioacuten (como antes entre las distribuciones de campo de iteraciones sucesivas) que permite

evaluar la velocidad de convergencia y el coste operativo

La tabla 4-6 resume los resultados que a continuacioacuten se discutiraacuten pormenorizadamente de las

tres aproximaciones consideradas en lo que respecta al error de prediccioacuten alcanzado en la

reconstruccioacuten del campo y a la habilidad en la identificacioacuten de fallos (MB claramente SI

suficientemente NO incapaz de distinguir el fallo verdadero)

Meacutetodo Formulacioacuten Fallo C8 plusmn05 dB

Fallo C8 plusmn025 dB


Fallo C8 C17 plusmn05 dB

MPS C -315MB -333MB -388MB -251MB MOCA C -230NO -283SI -372MB -274MB

MPS M -150SI -156SI -155SI -157NO Tabla 45


4421 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas

(MPS-C)

Las figuras 4-41 a 4-44 muestran los resultados obtenidos al aplicar el conjunto de 4 parejas de

medidas arriba descrito las tres primeras para los fallos en la columna ndash9 y diferentes niveles de

ruido y la uacuteltima para el fallo simultaacuteneo de las columnas 9 y 0 En todos los casos puede

observarse una buena capacidad de deteccioacuten de fallos e incluso una buena concordancia entre las

distribuciones de capo observadas y las predichas incluso a pesar del alto nivel de ruido de los

casos primero y uacuteltimo plusmn05 dB (figuras 4-41 y 4-44) En lo que respecta a la sensibilidad al ruido

puede apreciarse una maacutes niacutetida identificacioacuten de fallos y una considerable mejora en la prediccioacuten

del campo especialmente cuando el ruido de cuantificacioacuten pasa de plusmn05 dB a plusmn025 dB

Figura 4-41 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y=-20m

Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones

Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB





Figura 4-43 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m





Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Proyecciones


4422 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de campo eleacutectrico

(MOCA)

Si se aplica a la misma formulacioacuten del problema (corrientes conductivas) y para el mismo conjunto

de medidas un meacutetodo de optimizacioacuten como el descrito en sect3321b se obtienen los resultados

de las figuras 4-45 a 4-48 En general se observa una peor capacidad de deteccioacuten de fallos aunque

con menos nitidez y mejor en el caso de dos fallos simultaacuteneos que en el de uno Por otra parte el

efecto de la reduccioacuten del ruido en la identificacioacuten de fallos se hace aquiacute maacutes notable que en el

caso anterior (4-47) aunque en cualquier caso el error de prediccioacuten del campo es

considerablemente inferior al conseguido mediante la aplicacioacuten del MPS

En lo que respecta a la convergencia y el coste operativo se aprecia que en general es necesario un

menor nuacutemero de iteraciones aunque en la praacutectica esta aparente rapidez queda compensada por el

mayor coste operacional de los caacutelculos involucrados en cada iteracioacuten (determinacioacuten del

gradiente del Hessiano y la resolucioacuten de la correspondiente ecuacioacuten lineal) respecto a la

aplicacioacuten reiterada de los operadores de proyeccioacuten en el MPS

En suma a tenor de los resultados obtenidos puede afirmarse la mejor competencia del MPS en la

resolucioacuten del problema considerado



Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Optimizacioacuten

sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB


Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna -9 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre

el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB






Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Optimizacioacuten



4423 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Magneacuteticas

(MPS-M)

Una vez puestos en confrontacioacuten los meacutetodos para la buacutesqueda de la solucioacuten apliquemos el que

ha resultado superior para la evaluacioacuten de la formulacioacuten del problema en teacuterminos de las

corrientes magneacuteticas equivalentes reducidas a una uacutenica por columna Las figuras 4-49 a 4-52

recogen los resultados de la aplicacioacuten del MPS a esta formulacioacuten Por una parte se observa una

aceptable capacidad de identificacioacuten del fallo en los tres primeros casos que es incluso mejor que

la obtenida mediante el meacutetodo de optimizacioacuten anterior (MOCA-C)pero que se torna en

incapacidad para el fallo simultaacuteneo de dos columnas En lo que respecta a la habilidad de

prediccioacuten del campo se observa que a pesar de la reduccioacuten del ruido el error de prediccioacuten no

mejora mantenieacutendose en todos los casos mejor que ndash15 dB

La causa de las limitaciones observadas reside fundamentalmente en e incapacidad par representar

las variaciones verticales al considerar un uacutenico dipolo de Hertz por cada columna las variaciones

de radiacioacuten debidas al aacutengulo de observacioacuten desde cada una de las distancias de medida no puede

ser tenida en cuenta y en consecuencia existe una inadaptabilidad esencial entre las medidas y el

error infranqueable De hecho cuando el conjunto de medidas se hace a la altura de la antena las

mencionadas diferencias se reducen ( el diagrama vertical cambia con la distancia) y pueden

distinguirse maacutes faacutecilmente los fallos Otra manera de resolver el problema es considerar una

distribucioacuten de corrientes magneacuteticas tambieacuten vertical con una relacioacuten de intensidad como la de

los dipolos reales

Debe no obstante sentildealarse coacutemo a pesar de la poca informacioacuten sobre la antena que esta

aproximacioacuten considera se llega a identificar fallos de una sola columna (se han probado un gran

nuacutemero de situaciones al margen de las aquiacute representadas) que de hecho puede extenderse a maacutes

columnas si la distribucioacuten de corrientes magneacuteticas se extiende verticalmente (seguacuten se ha

sentildealado) Ademaacutes las distribuciones horizontales del campo pueden predecirse con un error de

entorno al 3



Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de

Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB








Figura 4-52 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y = -

20m Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo

de Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB

V SOBRE LA OBSERVACIOacuteN DEL

CAMPO ELECTROMAGNEacuteTICO

ldquoEl conocer es un viaje de

ida y vuelta Primero

tenemos que formarnos

ideas de las cosas que es lo

que se ha hecho hasta

ahora pero luego para de

verdad conocer es preciso

restar todo eso que se ha

pensado cayendo en la

cuenta de que la realidad es

siempre maacutes o menos

distinta de lo pensadordquo

Joseacute Ortega y Gasset

ldquoSobre la razoacuten histoacutericardquo

Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 203


Llegados hasta este punto podriacutea darse por resuelto el problema que en un principio nos habiacuteamos

fijados es decir la identificacioacuten de las fuentes responsables de un campo electromagneacutetico

observado Primero hemos investigado la forma en que el campo puede ser descrito por medio de

un miacutenimo nuacutemero de fuentes equivalentes a continuacioacuten hemos visto coacutemo conocida la

distribucioacuten de campo puede colegirse la relacioacuten de corrientes para ese nuacutemero miacutenimo de fuentes

y al fin hemos valorado la eficiencia de esos meacutetodos Sin embargo si no decimos nada acerca de la

manera en que efectivamente puede observarse el campo la pretendida realidad perseguida al

principio se diluye en una solucioacuten hasta cierto punto ideal

Sin poner en tela de juicio la realidad del campo electromagneacutetico es evidente que no nos es dado a

priori su conocimiento y que de alguna manera debemos arreglaacuternoslas para estimar el campo que

en efecto se da sobre un determinado dominio Tenemos ademaacutes la certeza de que cualquier intento

de observacioacuten va a modificar intriacutensecamente el campo radiado seguacuten lo hemos definido en sect21

(entre otras cosas estamos traicionando la hipoacutetesis de homogeneidad circunstancial) tambieacuten

estamos seguros de que muy a pesar de nuestros esfuerzos las medidas siempre estaraacuten maacutes o

menos contaminadas por ruido y finalmente sabemos que cualquier dispositivo que utilicemos para

medir va a incorporar una cierta proporcioacuten de alinealidad que no podamos predecir Pero aun asiacute

es del todo evidente que las diferencias observadas en la excitacioacuten de cualquier dispositivo sensible

a la radiacioacuten en cuestioacuten seguacuten este se desplaza sobre el dominio de observacioacuten pueden

ofrecernos un cierto conocimiento de la verdadera distribucioacuten de campo electromagneacutetico

Nuestra aproximacioacuten a la realidad dependeraacute de las caracteriacutesticas del dispositivo empleado y muy

especialmente del conocimiento que dispongamos de ellas asiacute como de la circunstancia en que el

objeto radiante se encuentre inmerso y en especial de nuestra habilidad para eliminar todas aquellas

variaciones que no sean debidas a la radiacioacuten que en efecto desea observarse

Por este motivo la praacutectica usual en la medida de los sistemas radiantes consiste en controlar sus

condiciones ambientales y de operacioacuten generalmente desplazaacutendolos a entornos especiacuteficos y

aislados que intentan modificar lo menos posible las caracteriacutesticas de radiacioacuten del objeto inmerso

en un espacio idealmente homogeacuteneo e isotroacutepico Las ventajas de esta praacutectica son evidentes de

acuerdo con lo que hemos dicho y podriacuteamos considerarlas como una reduccioacuten de las variables

estocaacutesticas que afectan a las medidas Sin embargo hay muchos sistemas radiantes que bien por su

inaccesibilidad por su tamantildeo o por su funcioacuten estrateacutegica no pueden interrumpirse y trasladarse a

tales ambientes En ciertos casos el coste que suponen las medidas las excluye directamente de las

rutinas de mantenimiento aunque eacutestas pudieran ser de gran utilidad Para paliar estos problemas se

recurre frecuentemente a la utilizacioacuten de aparatos de medidas disentildeados para propoacutesitos generales

considerablemente complejos y costosos que se desplazan a lugares oportunos en los que las

condiciones ambientales no modifican excesivamente la radiacioacuten Esta praacutectica es costosa y el uso

204 Capiacutetulo V

de medidores de gran precisioacuten no remedia la inevitable aparicioacuten de errores frecuentemente

importantes Por otra parte para poder aplicar correctamente los aparatos de medida suele ser

necesario controlar las sentildeales radiadas con lo cual el sistema bajo medida debe interrumpir sus

funciones En las situaciones en que esta interrupcioacuten es problemaacutetica a veces se recurre a la

deteccioacuten de las sentildeales que la antena emite o recibe en condiciones normales

En suma las praacutecticas empleadas para la observacioacuten del campo radiado se agrupan en una de las

tres categoriacuteas siguientes

1) Medida en entornos cerrados (ya sean maacutes o menos anecoicos)

2) Entornos abiertos gobernando las sentildeales transmitidas o recibidas por el sistema radiante bajo

estudio

3) Entornos abiertos empleando las sentildeales que el propio sistema radiante transmite

Puesto que la mayoriacutea de las praacutecticas pertenece a las dos primeras categoriacuteas de las cuales puede

encontrarse una gran cantidad de bibliografiacutea [42 24 80 104] vamos a profundizar aquiacute en la

teacutecnica tercera

52 SISTEMAS OBSERVADORES DE MEDIDA

Extendiendo la terminologiacutea usada en el capiacutetulo tercero a propoacutesito de los meacutetodos inversos sin

fase podriacuteamos llamar a las dos primeras teacutecnicas de medida antes mencionadas como manipuladoras

y observadora la que nos va a ocupar La idea en efecto es la misma en lugar de intervenir sobre el

campo electromagneacutetico efectivo atenderemos a las condiciones de la observacioacuten para que esta

pueda dar cuenta del campo que verdaderamente radia el sistema bajo estudio

Si un sistema de este tipo se dedicara sin maacutes a la deteccioacuten de las sentildeales que emergen de una

antena (o que eacutesta capta y tenemos la posibilidad de observar) el problema de la identificacioacuten de la

radiacioacuten generada por el sistema radiante dependeriacutea de la informacioacuten que estas sentildeales puedan

portar Si en efecto llevan informacioacuten las variaciones que detecte el sistema de medida seguacuten se

desplace sobre el dominio de observacioacuten se deberaacuten tanto a la informacioacuten como a las variaciones

espaciales de radiacioacuten Sin embargo habida cuenta que todo sistema de radio ademaacutes de las

sentildeales que puedan llevar informacioacuten (maacutes o menos contingente) emite tambieacuten con cierta

periodicidad sentildeales determiniacutesticas podraacute atenderse precisamente a eacutestas En suma un sistema de

medida observador deberaacute dejar funcionar al sistema radiante en sus condiciones normales e iraacute

captando las sentildeales determiniacutesticas que eacuteste emita mientras el detector se desplaza a su alrededor o

bien mientras el radiador gira

Podriacutea arguumlirse que esto se trata de una praacutectica inveterada ya que los maacutes remotos ensayos

destinados a la observacioacuten del campo electromagneacutetico como tal es decir las experiencias de Hertz


[63] y las directamente inspiradas en eacutel (como es el caso de las de Lodge Fleming Popov Roghi

Marconi o Bose)1 eran propiamente observadoras y consistiacutean en el desplazamiento

geomeacutetricamente controlado en torno al objeto radiante Sin embargo desde que Marconi y CS

Franklin recurrieran en 1916 a un sistema rotatorio para la caracterizacioacuten de las antenas [108 109]

y se observaran los beneficios de haber controlado el entorno (en particular sobre el trayecto de

propagacioacuten) el sometimiento de eacuteste ha ido desde entonces en aumento especialmente desde la

fundacioacuten de los primeros laboratorios de radiacioacuten en la deacutecada de 19402 Evidentemente la

progresiva tendencia hacia los entornos cerrados ha ido acompasado con la creciente

contaminacioacuten electromagneacutetica en todas las zonas del espectro uacutetil Sin embargo el recurso a las

teacutecnicas de deteccioacuten desarrolladas en el aacutembito de la transmisioacuten digital como aquiacute se propone

pueden conducir a la eliminacioacuten de los efectos perturbadores de la polucioacuten electromagneacutetica para

un nivel de precisioacuten finito

Desde el punto de vista de la instrumentacioacuten la tendencia al desarrollo de herramientas de

propoacutesito general cuyos beneficios son indiscutibles unida a su creciente complejidad y a la falta de

transparencia de las praacutecticas industriales ha conducido hacia un progresivo distanciamiento del

experimentador respecto del experimento una dificultad de adaptacioacuten de la tecnologiacutea a

circunstancias especiacuteficas y el uso de instrumentacioacuten de muy elevado costo En circunstancias

como la mencionada en el tercer ejemplo del capiacutetulo anterior la imposibilidad de introducir los

sistemas radiantes de grandes dimensiones en entornos cerrados hacen que los experimentos se

vean materialmente complicados por el desplazamiento de los voluminosos aparatos de medida

mientras que la operacioacuten especiacutefica que estos realizan podriacutea ser faacutecilmente desempentildeada por

alguacuten dispositivo ligero econoacutemico y faacutecilmente controlable Es indiscutible que no seriacutea praacutectico la

construccioacuten de sistemas de medida especiacuteficos para cada uno de los experimentos de radiacioacuten Sin

embargo en ciertas circunstancias ndashcomo la mencionadandash en que eacutestos deben reiterarse para

realizar un mantenimiento de las caracteriacutesticas funcionales de los sistemas de radiacioacuten bajo

1 Aunque en cierta manera puede hablarse de experiencias maacutes remotas de deteccioacuten de la radiacioacuten

electromagneacutetica (naturalmente al margen de la humanamente visible) como es el caso de los experimentos

de Henry en 1842 o los de Loomis Edison Dolbear o Hughes en la segunda mitad del sXIX [56] (pero

anteriores a los resultados de Hertz e independientes de la teoriacutea Maxweliana) no puede decirse que estos

pretendieran la observacioacuten del campo electromagneacutetico ya que ni tan siquiera se contemplaba su existencia

Se puede decir que en tales experiencias la realidad electromagneacutetica participaba a modo de un actor invisible

De hecho la interpretacioacuten de los fenoacutemenos participantes era incompatible con la verdadera naturaleza del

electromagnetismo

2 En los propios artiacuteculos de Marconi [108 109] estaacute ilustrada de primera mano la transicioacuten de las estrategias

observadoras a las manipuladoras

206 Capiacutetulo V

estudio la disponibilidad de un sistema de medida especiacutefico puede convertirse en la solucioacuten maacutes

eficiente

Se propone a continuacioacuten un modelo de sistema observador para la caracterizacioacuten de los sistemas

radiantes que hemos convenido en llamar sistema adaptado de medida (por razones que se veraacuten maacutes

adelante) Su objetivo es soslayar los problemas mencionados y seraacuten de especial utilidad para el

control y mantenimiento de sistemas radiantes voluminosos Una vez planteada la arquitectura

general del sistema se particularizaraacute para el problema ya tratado en el capiacutetulo anterior de diagnosis

de antenas de Radar Secundario (sect44)

53 MODELO DE SISTEMA ADAPTADO DE MEDIDA

Si se pretende realizar un sistema de medida que permita observar las caracteriacutesticas de radiacioacuten de

un determinado objeto activo en todas las direcciones de intereacutes a la vez que no se estorbe su libre

funcionamiento no queda otra posibilidad maacutes que la de aprovechar las sentildeales que dicho objeto

transmita en circunstancias normales Sin embargo aquiacute puede llegarse a una dificultad esencial si

las sentildeales transmitidas estaacuten a merced del enviacuteo de informacioacuten es evidente que eacutestas constituyen

un proceso estocaacutestico que en consecuencia imposibilita el discernimiento de las variaciones

debidas a la orientacioacuten del sistema radiante Por fortuna esta dificultad puede evitarse gracias a que

todo sistema de comunicaciones debe incluir una cierta proporcioacuten de sentildeales determiniacutesticas

necesaria para el establecimiento sincronizacioacuten mantenimiento y cierre de las comunicaciones

Seraacuten por tanto estas sentildeales determiniacutesticas las que podraacuten emplearse para la caracterizacioacuten del

sistema radiante mediante el discernimiento de las diferencias observadas en cada una de las

direcciones de intereacutes (que podraacuten ajustarse de acuerdo con los teoremas de muestreo y el rango de

observacioacuten pretendido) En el caso en el que estas sentildeales sean continuas (como por ejemplo en

las modulaciones con portadora) o tengan una periodicidad suficiente podraacute llegar a dilucidarse a

partir de su recepcioacuten la distribucioacuten de campo compleja sobre el dominio de observacioacuten Sin

embargo en muchos casos la frecuencia de estas sentildeales hace inviable la deteccioacuten de la

distribucioacuten compleja y debemos contentarnos con la distribucioacuten del moacutedulo Como se vio en el

capiacutetulo tercero en tales condiciones se requiere

ndash bien la utilizacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo sobre dos dominios separados de observacioacuten

ndash o la deteccioacuten sobre el mismo dominio de las distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico y

magneacutetico (empleando un par de antenas)

ndash o bien la incorporacioacuten de informacioacuten adicional de la distribucioacuten de fuentes (que como se

demostroacute no es suficiente con la geometriacutea de su soporte salvo que eacuteste sea no compacto)


531 Arquitectura baacutesica del sistema

Teniendo en cuenta que las sentildeales que proceden del sistema radiante bajo estudio estaraacuten

moduladas a la frecuencia de su correspondiente canal de radiofrecuencia la primera operacioacuten que

el sistema de medida deberaacute hacer es inmediata captar las sentildeales del canal de radio en cuestioacuten y

rechazar las extrantildeas Puesto que a continuacioacuten seguacuten se ha argumentado deben seleccionarse las

sentildeales determiniacutesticas ndashque denominaremos sentildealizacioacutenndash esto podriacutea hacerse de muacuteltiples maneras

pero aquiacute se propone hacerlo de forma oacuteptima Es decir deberaacute evitarse el ruido lo maacutes

eficientemente posible Afortunadamente esta solucioacuten nos la brindoacute de forma general Kotelrsquonikov

[83] en el marco de su teoriacutea de la inmunidad oacuteptima al ruido (1959) si conocemos las

caracteriacutesticas formales de la sentildeal a detectar debemos emplear un ldquofiltro cuya respuesta impulsional

sea la imagen especular de dicha forma retrasada un tiempo igual a la diferencia entre el inicio de la

sentildeal y el instante de muestreordquo

Supongamos que logramos con eacutexito este propoacutesito (cosa que se discutiraacute maacutes adelante) el

resultado seraacute una secuencia de valores que equivaldraacute a una reacuteplica escalada del campo

discretizado sobre el dominio de observacioacuten y que a su vez estaraacute ordenado a tenor de la

trayectoria del receptor relativa al sistema radiante Podraacute hablarse de un nuacutemero finito de puntos

de medida sobre el dominio de observacioacuten que denotaremos por M En caso de que el sistema

radiante rote de manera continua (como ocurre en algunos sistemas de radiodeterminacioacuten) la

trayectoria es evidentemente circular con centro en el eje de rotacioacuten y con una geometriacutea

faacutecilmente determinable Si ese no fuera el caso seraacute menester controlar geomeacutetrica y eleacutectricamente

la trayectoria3

Desde el punto de vista de la dimensioacuten finita del problema (sect24) habraacute de garantizarse que la

distancia entre puntos de medida respeta al menos el tercer teorema de muestreo Si fuera necesaria

la regularizacioacuten o el aumento artificial de muestras sobre el dominio de observacioacuten eacutesta puede

conseguirse mediante diversas teacutecnicas de interpolacioacuten (sect242 [18 21 22]) En caso de requerir la

observacioacuten (a tenor de las condiciones de unicidad discutidas en el capiacutetulo III) de varias

componentes del campo eleacutectrico de una combinacioacuten de campo eleacutectrico y magneacutetico o de uno

de ellos sobre dos dominios eacutestos podraacuten adquirirse de forma secuencial De esta forma la

observacioacuten puede considerarse ordenada en una secuencia de valores numeacutericos correspondiente a

las necesarias distribuciones de campo que podemos designar por E1 o |E1||E2| o bien

|E1||H1| Finalmente empleando las expresiones (2-90) o (2-91) y los procedimientos inversos

3 Es decir determinar con suficiente precisioacuten la posicioacuten relativa del emplazamiento de medida (podraacute

hablarse de M emplazamientos) a la vez que deberaacuten intentar mitigarse las diferencias relativas entre los

trayectos de propagacioacuten a cada uno de los emplazamientos

208 Capiacutetulo V

detallados en el capiacutetulo III podraacute llegarse a la caracterizacioacuten del sistema radiante bajo estudio en

teacuterminos de una distribucioacuten de corrientes equivalentes

De acuerdo a la anterior descripcioacuten en el sistema de medida adaptado pueden distinguirse tres niacutetidas

partes

1) la deteccioacuten de las sentildeales procedentes del radiador

2) la recepcioacuten oacuteptima de la sentildealizacioacuten cuyos niveles estaacuten soacutelo matizados por la posicioacuten relativa

entre radiador y medidor y la adquisicioacuten del nivel correspondiente

3) la agrupacioacuten de los datos en diagramas de radiacioacuten asociados a dominios de medida y la

aplicacioacuten de meacutetodos inversos para la reconstruccioacuten de corrientes sobre la estructura del

radiador

Donde la agrupacioacuten de los valores recibidos Em tendraacute una expresioacuten asociada en el espacio E

E = T middot f que podraacute determinarse con los meacutetodos descritos en sect32 o sect31 (seguacuten sea el caso)

La figura 5-1 esquematiza la arquitectura baacutesica descrita asiacute como el procedimiento de medida

Figura 5-1 Arquitectura baacutesica del sistema adaptado de medida

532 Deteccioacuten de sentildeales de radiofrecuencia

Como se indicoacute anteriormente el primer paso en la deteccioacuten consiste en el filtrado del radiocanal

empleado por el sistema radiante Pero en virtud de la posibilidad de sincronizacioacuten de la portadora

se presentan dos situaciones claramente diferentes Cuando la sincronizacioacuten no es posible

entonces debe detectarse la amplitud para lo cual ndashdado el gran margen dinaacutemico que cabe

S

J1

M1

z

x y Trayectoria de medida

Deteccioacuten de sentildeales de

radio Sonda

Recepcioacuten oacuteptima de

niveles relativos

Reconstruccioacuten de corrientes

sobre el radiador

Distribucioacuten de corrientes equivalentes

Diagramas de radiacioacuten en campo lejano

Sistema adaptado de medida


esperarse en el campo observadondash puede recurrirse a detectores logariacutetmicos4 Evidentemente en

estos casos ya soacutelo podraacute llegar a conocerse directamente la distribucioacuten de moacutedulo del campo Sin

embargo en las circunstancias en que pueda sincronizarse la portadora podraacute tambieacuten distinguirse

la fase y asiacute recoger la distribucioacuten compleja del campo Para ello y de acuerdo con la teoriacutea de

Kotelrsquonikov bastaraacute con reduplicar la estructura de recepcioacuten oacuteptima para las sentildeales recibidas

modulando una con la portadora en fase y otra con la portadora en cuadratura La figura 5-2

muestra la estructura que debiera tener el detector en la situacioacuten en que no sea posible la

sincronizacioacuten de la portadora Teniendo en cuenta la disponibilidad de detectores logariacutetmicos

integrados con suficiente margen dinaacutemico se trata de una estructura extremadamente sencilla

Para el caso en que si sea posible la sincronizacioacuten de portadora puede recurrirse a una deteccioacuten

seguacuten se ha descrito es decir mediante un detector de cuadratura o bien de acuerdo con la

propiedad de extensibilidad analiacutetica de la distribucioacuten de campo (discutida en sect33) usar la

transformada de Hilbert seguacuten (3-38) En la figura 5-3 se representan estas dos posibilidades

Figura 5-2 Deteccioacuten adaptada de la amplitud de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de

moacutedulo

4 En general la deteccioacuten logariacutetmica (por ejemplo mediante amplificadores logariacutetmicos) es un requisito

indispensable antes de realizar la cuantificacioacuten ya que de lo contrario el gran margen dinaacutemico a que debe

atender el sistema no podriacutea representarse adecuadamente

Deteccioacuten de RF

Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo

Receptor

oacuteptimo Antena Reconstruccioacuten

de fuentes Detector

logariacutetmico

210 Capiacutetulo V


complejo

533 Recepcioacuten oacuteptima de las distribuciones de campo

Seguacuten puede verse en las figuras 5-2 y 5-3 tanto si es posible la deteccioacuten de la distribucioacuten

compleja como si debemos arreglaacuternoslas con la de moacutedulo en ambos casos se recurriraacute a una

estructura de recepcioacuten oacuteptima en el sentido de la teoriacutea de Kotelacutenikov (o de la recepcioacuten digital

[148 25]) que ndashcomo se indicoacute en sect521ndash dependeraacute esencialmente de las caracteriacutesticas formales

de la sentildealizacioacuten usadas por el sistema radiante

Si nos centildeimos a la solucioacuten de Kotelacutenikov para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo surgen dos

nuevas dificultades 1) la realizacioacuten del filtro adaptado 2) elegir el instante de muestreo apropiado

El segundo problema al igual que en los receptores digitales puede resolverse mediante uno o dos

filtros adaptados seguidos de una comparacioacuten continua (o pseudo-continua) eligiendo como

instante de muestreo aquel en el que se cumplan ciertas condiciones en las sentildeales de los filtros

adaptados [148] La confrontacioacuten con la primera dificultad puede resultar compleja si se pretende

la realizacioacuten de un filtro continuo pero acudiendo al teorema de muestreo de Nyquist [125 146]


Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de campo complejo

Receptor

oacuteptimo

Antena Reconstruccioacuten

de fuentes

Detector

logariacutetmico

Receptor

oacuteptimo

Detector

logariacutetmico

π2

ReE

ImE

a) Detector de cuadratura



Receptor

oacuteptimo Antena

Reconstruccioacuten de fuentes

Detector

logariacutetmico

ReE

H ImE

b) Utilizando la Transformada de Hilbert


puede emplearse una realizacioacuten discreta del receptor que seriacutea ideacutentico al primero para sentildeales de

banda limitada5

En la figura 54 se representa la estructura ideal de recepcioacuten seguacuten las condiciones anteriores

donde ξ(t) representa la forma de la sentildealizacioacuten (sentildeal baacutesica) T su periodo de repeticioacuten β la

distribucioacuten de amplitudes con que la sentildealizacioacuten es detectada desde cada punto del dominio de

observacioacuten que a su vez refleja la distribucioacuten de campo (en moacutedulo su componente en fase)

En caso de tratarse de una deteccioacuten de moacutedulo la secuencia emergente α seraacute proporcional a la

distribucioacuten de moacutedulo del campo a lo que podemos considerar antildeadido un cierto ruido n que

podraacute haber sido causado por el detector logariacutetmico por muacuteltiples fuentes de interferencia o por

razones teacutermicas

nEk +sdot= |ln|α (5-1)

Donde k representa una constante de proporcionalidad que podraacute ajustarse mediante calibrado (o

haciendo caso omiso de ella las distribuciones de corriente reconstruidas podraacuten aun determinarse

aunque su amplitud sea ambigua) Naturalmente la expresioacuten anterior podemos tambieacuten expresarla

de modo que la distribucioacuten decibeacutelica de amplitudes quede relacionada con la secuencia recibida

De esta forma en lugar de hablar de ruido podremos referirnos a una distribucioacuten de errores ε

respecto a la verdadera distribucioacuten decibeacutelica del campo radiado

εα +sdotprime= kdBE )(|| (5-2)

El ruido aunque podamos tomarlo en general como un variable estocaacutestica estacionaria sus

caracteriacutesticas dependeraacuten de la fuente que las haya causado No obstante siempre seraacute posible

encontrar un modelo conservador de ruido teacutermico cuyo efecto sea igual o peor que aquel que en

efecto sea el caso Por tanto podremos considerar el error como una variable gaussiana

caracterizada por una cierta varianza que dependeraacute esencialmente de la densidad espectral de

ruido

Si verdaderamente la recepcioacuten se ha realizado mediante filtrado adaptado (o mediante correlacioacuten

con la forma de la sentildealizacioacuten) y se ha muestreado en el instante oportuno entonces de acuerdo a

Kotelrsquonikov el error relativo ε2E(dB)2 seraacute miacutenimo

5 Como en realidad se asumen dos caracteriacutesticas en principio inconciliables ancho de banda finito y duracioacuten

finita y ademaacutes al cuantificar se rompe la identidad absoluta entre la sentildeal continua y la discreta estrictamente

podraacute decirse ndashparafraseando a Shannonndash que la solucioacuten numeacuterica y la continua son ideacutenticas ldquocon una

frecuencia de errores tan pequentildea como deseemosrdquo[146]

212 Capiacutetulo V

Figura 5-4 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo

Muestreo y cuantificacioacuten

Habida cuenta que el instante oacuteptimo de muestreo es aquel en el que la salida del filtro adaptado sea

maacutexima la buacutesqueda de este instante podraacute hacerse mediante la indagacioacuten del maacuteximo de dicha

salida Proceso que evidentemente habraacute de ir acompantildeado de alguna comparacioacuten del nivel

absoluto de la salida para evitar el muestreo de sentildeales espurias (veacutease figura 5-4) Este nivel deberaacute

fijarse en funcioacuten de la varianza del ruido que a su vez estaacute en funcioacuten de la densidad espectral del

modelo de ruido teacutermico fijando un objetivo de probabilidad de error en la deteccioacuten de sentildeales

vaacutelidas habraacute un valor miacutenimo detectable Si el ruido puede considerarse gaussiano entonces

podremos tomar ese valor como intervalo de cuantificacioacuten que combinado con el margen

dinaacutemico a la salida del detector indica el nuacutemero de intervalos de cuantificacioacuten necesarios para el

muestreo (y asiacute el nuacutemero de bits para su codificacioacuten)

Supongamos que dadas las caracteriacutesticas formales de la sentildealizacioacuten sabemos que eacutesta tienen un

ancho de banda B De acuerdo con el teorema de muestreo [125 146] si esa sentildeal la muestreamos a

una frecuencia superior a 2B entonces la sentildeal original podraacute reconstruirse plenamente Por tanto

si en lugar de buscar una realizacioacuten continua del esquema de Kotelrsquonikov pretendieacuteramos una

discreta respetando los liacutemites del teorema de muestreo entonces el receptor oacuteptimo podraacute

efectuarse por medio de procesado numeacuterico que tenderaacute asintoacuteticamente al comportamiento del

proceso continuo a medida que se reducen los errores de cuantificacioacuten En la figura 5-5 se

representan estas dos realizaciones paralelas Donde Q representa la operacioacuten de cuantificacioacuten

+sdotminussdot+

+minussdot+

+sdot

M

M

)(

)(

)(

2

1

TMt

Tt

t

M ξβ

ξβ

ξβγsdotξ(Tm-t)

Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda

del maacuteximo

M

M

Mα

α

α

2

1


Figura 5-5 Recepcioacuten adaptada del nivel de la sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo

Modelo de error

Si a la entrada del receptor el ruido puede modelizarse como gaussiano con una densidad espectral

de ruido unilateral η y la sentildeal baacutesica ξ(t) alcanza al receptor con una energiacutea E entonces puede

faacutecilmente demostrarse que la probabilidad de que eacutesta sea confundida con el ruido es [25 sectA-C]

(designando Q la funcioacuten de distribucioacuten normal complementaria)

=

η2EQPE (5-3)

A una probabilidad de error maacutexima le corresponderaacute seguacuten (5-3) una energiacutea miacutenima de la

sentildealizacioacuten o lo que es lo mismo un miacutenimo de amplitud que a su vez estaraacute directamente

relacionado con la intensidad de campo (eleacutectrico o magneacutetico dependiendo de la antena utilizada)

En caso de que pretendan distinguirse todos los niveles con la misma incertidumbre esa amplitud

miacutenima serviraacute para la definicioacuten de todos los umbrales de cuantificacioacuten Si el discernimiento de las

sentildeales vaacutelidas fuese criacutetico para una acertada ubicacioacuten de las medidas sobre el dominio entonces

deberiacutea imponerse un criterio para la identificacioacuten del nivel maacutes bajo y otro para valorar los errores

entre niveles consecutivos En algunas ocasiones como se veraacute en la medida del campo radiado por

el Radar Secundario podraacute usarse una parte de la sentildealizacioacuten para asegurar su validez y otra para

discernir niveles No obstante siempre podraacute estimarse a partir de (5-3) la probabilidad de que al

realizar la cuantificacioacuten eacutesta pueda confundirse en la asignacioacuten de un valor determinado Si eacutesta es

lo suficientemente pequentildea (por ejemplo el 1) estaacute justificado la utilizacioacuten de un modelo de error

cuya distribucioacuten probabiliacutestica sea uniforme y comprendida entre el valor de medio intervalo de

cuantificacioacuten y su inversa

)( kTtk minussdotξβ


del maacuteximo

kαdt

T

sdotint0

)(o

ξ[n]

Q



del maacuteximo

kα

00

][

21 LLL Pk

k kNn

ξξξβ

ξβ =minussdot sum=

P

i 1

)(o

Muestreo continuo a fmgt2B

ξ[n]

Q

a) Realizacioacuten continua del receptor oacuteptimo

b) Realizacioacuten discreta del receptor oacuteptimo

214 Capiacutetulo V

Si pudiera identificarse que en alguacuten punto o zona del dominio de observacioacuten las medidas carecen

de sentido fiacutesico por ejemplo por haber rebasado el umbral de sensibilidad del detector entonces

puede evitarse que estas medidas perjudiquen el proceso de caracterizacioacuten mediante la aplicacioacuten

de un factor de ponderacioacuten πi=0 (a dicha medida) en la matriz π que define el producto interno en

el espacio E (3-2)

54 SISTEMA DE DIAGNOSIS PARA ANTENAS DE RADAR

SECUNDARIO

Un problema especialmente apropiado para el tipo propuesto de observacioacuten es el que compete a la

caracterizacioacuten de las antenas rotatorias de los sistemas de radiodeterminacioacuten como es el caso de

los radares primarios o secundarios Atenderemos precisamente a este uacuteltimo caso ya considerado

en los capiacutetulos anteriores en el segundo capiacutetulo sect252 consideraacutebamos conocida la distribucioacuten

de fuentes y se observoacute el campo generado asiacute como la validez de la discretizacioacuten en los dominios

de fuentes y campo en el capiacutetulo anterior sect44 se valoroacute la posibilidad de detectar fallos sobre la

estructura radiante a partir de medidas corruptas por un ruido de cuantificacioacuten de plusmn05 dB (que a

su vez encubre los otros ruidos) y por las alinealidades del detector Veremos pues aquiacute la

posibilidad de hacer una observacioacuten del campo eleacutectrico vertical con tales caracteriacutesticas que a su

vez nos serviraacute para ejemplificar la arquitectura de sistema adaptado de medida antes descrita

Si la solucioacuten de sistema diagnosis que aquiacute se propone se pone en contrapunto con la rutina

empleada para el mantenimiento de las antenas las virtudes de esta propuesta aparecen

rotundamente resaltadas Veamos en primer lugar con objeto de controlar la directividad de las

antenas el experimentador suele detener la operacioacuten normal y controlar las sentildeales emitidas a

traveacutes de la antena a continuacioacuten debe alejarse hasta la zona de campo lejano (en torno a 500 m)

con un abultada y pesada instrumentacioacuten que evidentemente debe alimentar y protegerla de la

interperie Con los resultados obtenidos se comprueba si en efecto se ha producido alguna

degradacioacuten en las condiciones de radiacioacuten y valorar hasta queacute punto puede ser necesario tomar

alguna precaucioacuten adicional Hasta aquiacute la cosa no es del todo grave porque si se decidiera que

fuera necesario observar la antena en si entonces es menester detener la antena levantar un

andamio e ir midiendo con una sonda la radiacioacuten de cada columna una por una Es suficiente esta

breve descripcioacuten para imaginar el coste el tiempo y los perjuicios causados a la funcioacuten del radar

secundario que esta praacutectica supone En contraste aquiacute se propone el uso de un instrumento ligero

sencillo y econoacutemico que no requiere la interrupcioacuten del sistema y permite detectar fallos sobre la

antena a partir de las medidas de campo

Necesidades de observacioacuten para la identificacioacuten de fallos

Seguacuten se argumentoacute en sect44 la estructura de alimentacioacuten de las antenas de radar secundario SSR

ilustradas en las figuras 2-26 y 4-38 hace que la relacioacuten de corrientes verticales dentro de las


columnas permanezca estable mientras que la relacioacuten de corrientes horizontales entre columnas

resulte relativamente incierta El efecto de esta incertidumbre es no obstante de gran importancia

ya que de ello depende el diagrama de radiacioacuten acimutal y con eacutel la precisioacuten en la posicioacuten de las

aeronaves Como se indicoacute en sect44 ocurre a menudo el fallo completo de una de las columnas que

naturalmente urge identificar y cuya posibilidad ndasha partir del campo observadondash se discutioacute alliacute

En lo que respecta a los campos radiados sobre los dominios de medida este tipo de incertidumbre

en la relacioacuten de corrientes horizontales se traduce en una impredecibilidad sobre las variaciones del

campo en desplazamientos horizontales y en cambio una buena predeterminacioacuten de las variaciones

verticales Por esta razoacuten el dominio de medida debe proveer fundamentalmente variaciones

horizontales lo cual se consigue dejando al medidor fijo mientras la antena gira en condiciones

normales de operacioacuten que lo hace a razoacuten de 15 rpm [28] es decir 4 segundos por vuelta La

figura 5-6 ilustra la realizacioacuten de las medidas de acuerdo a estos presupuestos que evidentemente

corresponde a la observacioacuten sobre un dominio ideal de observacioacuten ciliacutendrica como muestra la

figura 4-39

Figura 5-6 Observacioacuten del campo radiado por la antena SSR mientras se encuentra operativa colocando

el sistema adaptado de medida en sus inmediaciones

De acuerdo con la arquitectura general de sistema adaptado para la observacioacuten del campo se

requiere un detector de radiofrecuencia y un receptor adaptado para la identificacioacuten oacuteptima de los

niveles con los que la sentildealizacioacuten es recibida Una vez que estos niveles han sido cuantificados

pueden emplearse como representantes del campo eleacutectrico sobre el dominio ciliacutendrico para su

ulterior proceso numeacuterico (en un ordenador) Por tanto externamente el sistema de diagnosis ndashcomo

muestra la figura 5-6ndash estaraacute constituido por un dispositivo de medida y un ordenador que ademaacutes

de controlar al medidor haraacute la reconstruccioacuten de corrientes sobre la antena A partir de eacutesta la

diagnosis es inminente

216 Capiacutetulo V

Sentildealizacioacuten del Radar Secundario (sentildeales de interrogacioacuten)

Como se discutioacute en sect53 una condicioacuten necesaria para la identificacioacuten del campo cuando no se

tiene control sobre las sentildeales radiadas es el uso de sentildeales determiniacutesticas cuyas caracteriacutesticas no

dependan del instante de observacioacuten sino solamente de la posicioacuten del punto de observacioacuten

relativo a la antena En el caso del Radar Secundario esto puede hacerse recurriendo a las sentildeales de

interrogacioacuten que emplea el sistema para ser captadas por las aeronaves y cuyas caracteriacutesticas

formales estaacuten representadas en la figura 5-7 Estas sentildeales consisten en raacutefagas de tres pulsos

separadas unos 22 ms que espectralmente suponen un ancho de banda de 125 MHz (veacuteanse los

tiempos de subida y bajada) Cada pulso tiene una duracioacuten de 800 ns manteniendo una separacioacuten

entre el primero P1 y el segundo P2 de 2 micros y entre el primero y el tercero P3 una separacioacuten que

variacutea dinaacutemicamente entre 8 y 22 micros Mientras que para la transmisioacuten de los pulsos P1 y P3 se

emplea la estructura de distribucioacuten antes descrita que involucra la radiacioacuten de todas las columnas

(generando un diagrama de radiacioacuten que se denomina suma) para el P2 se emplea una sola columna

frontal y otra trasera de la que hasta ahora nada hemos dicho y cuyos fallos al ser faacutecilmente

identificables no le prestaremos especial atencioacuten Puesto que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de este

uacuteltimo par de columnas genera un diagrama de radiacioacuten denominado de Supresioacuten de Loacutebulos

Secundarios (SLS) cuyo nivel es superior al del suma fuera del loacutebulo principal la deteccioacuten de este

pulso si bien no nos sirve para la identificacioacuten de la radiacioacuten procedente del diagrama directivo

podraacute sin embargo ser de gran utilidad para la identificacioacuten de las raacutefagas de pulsos vaacutelidas

Figura 5-7 Caracteriacutesticas temporales de las sentildeales de interrogacioacuten SSR

Puesto que la observacioacuten del campo dependeraacute de las diferencias observadas en estas sentildeales las

anteriores caracteriacutesticas tendraacuten consecuencias capitales en la facultad de observacioacuten y en los

requisitos del receptor Veamos

1deg) Si se observan las diferencias en los niveles de los pulsos P1-P2-P3 la repeticioacuten de 22 ms a lo

largo de una vuelta completa de 4 s supone 1818 puntos de observacioacuten (que como puede

verse en sect252 es maacutes que suficiente no solo a tenor del teorema 3deg de muestreo sino

tambieacuten del primero)

90 V

50

10

01 micros 08 microS

01 micros

22 ms

2 microsP1

8-22 micros

P2

P3

a) Caracteriacutesticas de un pulso de interrogacioacuten b) Distancias entre los pulsos de interrogacioacuten

c) Distancia entre dos tramas de pulsos P1-P2-P3

0rsquo8 micros


2deg) Como consecuencia de la brevedad de los pulsos de interrogacioacuten y los largos intervalos de

silencio resulta tecnoloacutegicamente inviable la deteccioacuten de la fase6 y por tanto el sistema debe

centildeirse a la deteccioacuten en moacutedulo

3deg) La contingencia en la posicioacuten de P3 nos impide hacer una deteccioacuten oacuteptima de las raacutefagas P1-

P2-P3 Al no haber una forma estable en el conjunto P1-P2-P3 la deteccioacuten adaptada no puede

considerar el P3

4deg) La separacioacuten fija entre P1 y P2 y el hecho de que la suma de los niveles de ambos pulsos es

superior a un cierto valor puede emplearse para la identificacioacuten de raacutefagas vaacutelidas

5deg) Identificada una raacutefaga vaacutelida el nivel del pulso P1 estaacute en relacioacuten directa con el campo que

nos interesa conocer y por tanto seraacute el valor que se conserve para la identificacioacuten de la

distribucioacuten de moacutedulo del campo

541 Arquitectura del sistema

Como se indicoacute antes en el sistema de diagnosis pueden distinguirse tres etapas que aunque

relacionadas entre siacute tienen funciones bien definidas 1) deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten

(discutido de forma general en sect532) 2) recepcioacuten y muestreo de las sentildeales detectadas en una

vuelta completa de la antena (discutido de forma general en sect533) 3) Reconstruccioacuten de las

fuentes radiantes (ya considerado en detalle en sect442) La figura 5-8 ilustra esta arquitectura baacutesica

Figura 5-8 Arquitectura baacutesica del sistema de diagnosis para antenas de radar secundario

Dada la limitacioacuten de adquisicioacuten de soacutelo distribuciones de moacutedulo se requiere por tanto una

segunda distribucioacuten que podraacute obtenerse faacutecilmente colocando el medidor a otra distancia Asiacute la

6 Para ilustrar la dificultad teacutecnica del enganche de fase teacutengase en cuenta que una deriva de 20deg entre pulsos

separados 22 milisegundos exigiriacutea una estabilidad de 25 Hz que para una oscilacioacuten de 1030 MHz implica

un deriva de 0025 ciclos por milloacuten

Deteccioacuten de

las sentildeales SSRRecepcioacuten

oacuteptima

Reconstruccioacuten de

fuentes radiantes

Sentildeales de

Interrogacioacuten- SSR

Antena

SSR SISTEMA DE DIAGNOSIS DE ANTENA SndashSSR

Observacioacuten de la distribucioacuten de campo Reconstruccioacuten de

corrientes

218 Capiacutetulo V

operacioacuten del sistema de diagnosis esquematizada en la figura 5-9 consiste en la colocacioacuten del

medidor en las inmediaciones (por ejemplo a 30 m de la base de la antena) la adquisicioacuten de una

primera distribucioacuten de moacutedulo del campo a esa distancia la disposicioacuten del detector a una segunda

distancia (por ejemplo 100 m) y la subsiguiente adquisicioacuten de una segunda distribucioacuten de moacutedulo

del campo Una vez realizado este par de medidas el sistema procederiacutea a la reconstruccioacuten de la

distribucioacuten de fuentes (cuyos resultados se presentaron en sect44)

Figura 5-9 Operacioacuten del sistema de diagnosis

542 Circuito de deteccioacuten

Para la deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten de acuerdo con la arquitectura baacutesica esbozada en

sect532 se necesita una antena un filtro que permita el paso de las sentildeales de interrogacioacuten a 1030

MHz y un detector logariacutetmico que naturalmente habraacute de adaptarse al resto del circuito en la

frecuencia de intereacutes (como ilustra la figura 5-10) Con objeto de aumentar la portabilidad del

medidor el circuito de deteccioacuten se ha disentildeado con objeto de que pueda integrarse en una

estructura compacta Una forma de conseguirlo es hacer que la antena el filtro y el detector

logariacutetmico queden sumidos en una misma configuracioacuten biplaca como la que muestra la figura 5-

11 construida sobre un substrato de fibra de vidrio para el que se han buscado las soluciones

oacuteptimas de cada subcircuito Como puede apreciarse en la figura 5-11 esta arquitectura tiene la

ventaja adicional de aislar al circuito de deteccioacuten y proveer una cierta directividad a la antena que a

su vez ofrece un relativo rechazo a sentildeales no deseadas

Figura 5-10 Circuito de deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten

Medida en la posicioacuten 1


Posicioacuten relativa 1 Radiacioacuten en campo lejano

Reconstruccioacuten

de fuentes

Posicioacuten relativa 2 Diagrama de excitaciones

Filtrofc = 1030 MHzAB= 50 MHz

Adaptador Detector logariacutetmico

Recepcioacuten

oacuteptima Pulsos de

interrogacioacuten

SSR

Antenaadaptada a 1030 MHz


Figura 5-11 Configuracioacuten biplaca sobre fibra de vidrio del circuito de deteccioacuten

En la figura 5-12 se representan las caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten donde puede

distinguirse la configuracioacuten biplaca del circuito la posicioacuten de la antena y el ensamblaje del circuito

en la caja que lo contiene

Figura 5-12 Caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten

Antena y filtro

Para conseguir la integracioacuten de la antena con el resto del circuito de recepcioacuten eacutesta consiste

esencialmente en un parche y una ranura como puede verse en la figura 5-13 permitiendo esta

uacuteltima la transferencia de la sentildeal al resto del circuito Con objeto de lograr la adaptacioacuten a la

impedancia del circuito que se ha elegido de 50 Ω se han ajustado 1) la longitud de un pequentildeo

taloacuten de microtira (en circuito abierto) que excede la posicioacuten de la ranura en la placa del circuito y

2) la distancia de la ranura al borde del parche

Fibra de vidrioFibra de vidrio

Parche (antena) Circuito

Hombro para la sujecioacuten de la fibra de

vidrio

20 mm

2 times espesor de la fibra

285 mm 104 mm

Sujecioacuten de los circuitos a la caja

(dieleacutectrico)

Orificios para V+ GND y

Salida de sentildeal

Placa de antena (Fibra de vidrio y

Cobre)

Placa de circuito

220 Capiacutetulo V

Figura 5-13 Estructura de la antena e integracioacuten con el resto del circuito

Con la finalidad de conseguir que el filtro rechace lo suficiente las bandas laterales con un orden

miacutenimo para el substrato empleado (cuyas peacuterdidas son elevadas) eacuteste se hizo a base de liacuteneas

acopladas [130 sect97] En la figura 5-14 se representan sus dimensiones elegidas despueacutes de la

optimizacioacuten experimental La figura 5-15 recoge las caracteriacutesticas del filtro medidas

experimentalmente seguacuten indica la propia figura Puede observarse un ancho de banda a 10 dB de

50 MHz y a 20 dB de 133 MHz que supone un rechazo suficiente a las bandas adyacentes

Finalmente la figura 5-16 recoge los resultados experimentales de la respuesta conjunta de la antena y

el filtro para una configuracioacuten de ensayo en la que uno de los extremos estaacute constituido por una

bocina cuadrada y el otro por la antena unida al filtro Puede observarse una buena adaptacioacuten del

conjunto un rechazo a la polarizacioacuten cruzada mejor que ndash10dB y una pendiente de atenuacioacuten

fuera de banda de aproximadamente 1 dBMHz (teniendo en cuenta la respuesta del filtro fig 5-

15b es evidente que fuera de la banda de paso niacutetidamente distinguible en la figura 5-16b se

producen mecanismos de acoplo que no corresponden al trayecto investigado bocina-antena-filtro)

Figura 5-14 Filtro de liacuteneas acopladas en microtira

al resto del circuito

Parche

Ranura en la metalizacioacuten

Liacutenea del circuito de deteccioacuten (Cu) 50 Ω

Metal (Cu)Fibra de vidrio

50 Ω

50 Ω

s1

W1

s2

W2

Seccioacuten 1 Seccioacuten 2 Seccioacuten 3 Seccioacuten 4

L1

L1 = 397 mm

W1 = 355 mm s1 = 08 mm

W1 = 430 mm s1 = 49 mm


Analizador de redesEsquema de medida para

los ensayos del filtro

a) Reflexioacuten b) Transmisioacuten

Figura 5-15 Caracteriacutesticas experimentales del filtro de la fig 5-14

Esquema de medida para

los ensayos de la antena


Figura 5-16 Caracteriacutesticas experimentales de la antena-filtro de las fig 5-13 y 5-14

Detector logariacutetmico

Una pieza clave en la observacioacuten del campo como se sentildealoacute en sect533 es el dispositivo empleado

para la conversioacuten de las sentildeales de radiofrecuencia (de las que cabe esperarse un gran margen

dinaacutemico) en sentildeales en banda base que posteriormente habraacute que muestrear y cuantificar Como

se argumentoacute entonces una solucioacuten a este problema consiste en la utilizacioacuten de detectores

logariacutetmicos como es el caso de los amplificadores logariacutetmicos [122] Uno de entre los

Analizador de redes

80 cm

20 d

B

133 MHz

1030 MHz 1030 MHz

20 d

B

85 MHz

1030 MHz1030 MHz

Componente copolar

222 Capiacutetulo V

comercialmente disponibles que responda de forma adecuada a 1030 MHz es el que se ha elegido

para la realizacioacuten del circuito de deteccioacuten Las caracteriacutesticas funcionales maacutes relevantes del

amplificador utilizado integrado en el circuito de montaje superficial AD8313 [4] estaacuten recogidas

en la figura 5-17 Como puede observarse este detector ofrece un margen dinaacutemico de conversioacuten

con un error de plusmn025 dB de unos 60 dB (seguacuten se hizo mencioacuten en sect441-Sintesis de medidas) error

que naturalmente puede reducirse (o ampliar su margen dinaacutemico hasta 65 dB) mediante calibracioacuten

de la respuesta global del circuito de deteccioacuten Como es loacutegico el amplificador para su

funcionamiento requiere de un circuito de polarizacioacuten y de otro de adaptacioacuten al filtro que se

consigue por medio de un taloacuten y un trozo de microtira Las conexiones y componentes

involucrados en el circuito de polarizacioacuten se representan en la figura 5-18 mientras que en la figura

5-19 expresa las caracteriacutesticas geomeacutetricas maacutes relevantes de todo el circuito de deteccioacuten

incluyendo por tanto la antena (parche y antena en planos diferentes) el filtro el adaptador al

amplificador y el propio amplificador (resaltado con un ciacuterculo) su circuito de polarizacioacuten y las

conexiones externas (veacutease tambieacuten fig 5-12)

Figura 5-17 Caracteriacutesticas teacutecnicas del Amplificador Logariacutetmico AD-8313

Figura 5-18 Circuito de polarizacioacuten del amplificador logariacutetmico

AMPLITUD DE ENTRADA - dBm AMPLITUD DE ENTRADA - dBm

Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA

PENDIENTE Y PUNTO DE INTERCEPCIOacuteN

NORMALIZADO A +25degC

a) Caracteriacutestica de transferencia a varias frecuencias b) Transferencia y error de conversioacuten ~1 GHz

1

2

3

4

5

6

7

8

VPOS

INHI

INLO

VPOS

VOUT

VSET

COMM

PWDN

AD 8313GND

GND

GND GND

5 V

5 V

SALIDA

ENTRADA (Adaptador)

CONTROL (habilitacioacuten)

10 Ω

10 Ω 01 microF

01 microFAmplificador Logariacutetmico


Figura 5-19 Vista en planta del circuito completo de deteccioacuten

La figura 5-20 muestra los resultados de los ensayos de barrido de potencia y frecuencia seguacuten el

esquema de la propia figura Un barrido en potencia de una onda continua a 1030 MHz en el que el

nivel logariacutetmico de potencia de la sentildeal aumenta linealmente (funcioacuten que realiza el generador de

microondas) nos permite observar la caracteriacutestica de transferencia logariacutetmica y las desviaciones

respecto a la transferencia ideal Puesto que se ha ajustado el eje vertical para que la sentildeal de

sincronismo (en negro y de pendiente constante en el periodo de barrido) coincida con la salida del

detector (en rojo) la comparacioacuten de las dos sentildeales permite evaluar el error en la conversioacuten

logariacutetmica para el rango de medida Aunque en el caso representado la sensibilidad es de

258 mVdB en las condiciones de polarizacioacuten empleadas para la deteccioacuten de las sentildeales de

interrogacioacuten la sensibilidad es de 175 mVdB En cualquier caso el error de conversioacuten estaacute

acotado entre plusmn03 dB que naturalmente puede reducirse mediante calibrado Por otra parte el

barrido en frecuencia permite evaluar la selectividad espectral Tambieacuten aquiacute puede corroborarse la

pendiente de 1 dBMHz fuera de la banda 1000-1040 MHz mencionada a tenor de los

resultados antena-filtro

285 mm

104 mm

Filtro Adaptador ndash Plano de la antena

ndash Ranura ndash Plano del

circuito ndash Componentes

Amplificador logariacutetmico

SALIDA

224 Capiacutetulo V

Esquema de medida para los

ensayos del detector logariacutetmico

a) Barrido en potencia de 155 dB

b) Barrido en frecuencia de 980 a 1080 MHz

Figura 5-20 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten a) barrido de potencia caracteriacutestica logariacutetmica

de transferencia b) barrido en frecuencia selectividad

Respuesta global del circuito de deteccioacuten a la sentildealizacioacuten SSR

Usando el montaje de la figura 5-21 se pueden simular las condiciones de radiacioacuten frente a la

antena de Radar Secundario Una sentildeal perioacutedica constituida por pulsos con caracteriacutesticas como

los de interrogacioacuten del SSR y con periodos de silencio del orden a los que hay entre los pulsos P1

P2 y P3 modulan en amplitud la radiacioacuten que emerge del generador de onda De esta forma se

obtienen medidas como las que se muestran en la figura 5-21 En estas medidas se representan las

sentildeales procedentes del circuito de deteccioacuten (Canal 1) y las utilizadas para modular el generador de

microondas (Canal 2) Como puede observarse se produce un rizado en el flanco de subida que se

va atenuando al reducir la potencia Para evaluar la desviacioacuten de estas sentildeales con respecto a los

pulsos cuadrados empleados para el disentildeo del receptor oacuteptimo se ha discretizado un pulso con

rizado maacuteximo y se ha comparado la autocorrelacioacuten de esta sentildeal con la de un pulso perfectamente

cuadrado con el mismo nivel despueacutes de la estabilizacioacuten del rizado observaacutendose una diferencia de

un 3 De acuerdo con este resultado estaacute justificada la aproximacioacuten de los pulsos a la salida del

detector por medio de pulsos cuadrados que en el caso discreto se convierte en una simple suma de

muestras y que por tanto permite una notable simplificacioacuten praacutectica del receptor oacuteptimo

Finalmente la figura 5-22 recoge los resultados obtenidos haciendo medidas cada 10 dB seguacuten el

montaje de la figura 5-21 Puede aquiacute observarse la dependencia logariacutetmica de la salida respecto a

la entrada asiacute como pequentildeas desviaciones respecto a la transferencia ideal

Generador demicroondas

Osciloscopio

Fuente de alimentacioacuten

SINC

SINC 50 mVdiv 13 msdiv

SINC

1030990 1070

100 mVdiv 2 msdiv


Esquema de medida

para los ensayos del

circuito de deteccioacuten

a) PT = 10 dBm

c) PT = ndash30 dBm

b) PT = ndash10 dBm

d) PT = ndash40 dBm

Figura 5-21 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten Conjunto Transmisor (simulacioacuten de pulsos

SSR) ndash Bocina ndash Circuito de deteccioacuten Para varias potencias de transmisioacuten

0

05

1

15

2

-40 -30 -20 -10 0 10 20

Potencia RF transmitida (dBm)

Tens

ioacuten

de sa

lida

(V)

V estable V rizado


amplitud estabilizada tras el rizado

Simulacioacuten de sentildeales SSR

Generador de microondas Fuente de

alimentacioacuten

Osciloscopio Generador de onda cuadrada

80 cm

SINC

226 Capiacutetulo V

543 Recepcioacuten oacuteptima del moacutedulo de la distribucioacuten de campo

radiada por la antena SSR

Seguacuten se indicoacute en sect53 la manera de aprovechar de forma oacuteptima las sentildeales de interrogacioacuten

consiste ndashcomo mostroacute Kotelrsquonikovndash en adaptar la respuesta a la propia forma de las sentildeales por

medio de alguacuten procedimiento que remede la operacioacuten del circuito teoacuterico de la figura 5-4 En

nuestro caso como se observoacute al analizar las propiedades de las sentildeales de interrogacioacuten puede

usarse la sentildeal constituida por la combinacioacuten P1-P2 para identificar los pulsos vaacutelidos y el nivel del

P1 para poder determinar la amplitud del campo procedente del diagrama directivo de la antena

SSR Una forma de combinar estas dos operaciones teniendo en cuenta la ortogonalidad de las

sentildeales P1 y P2 consistiriacutea en la deteccioacuten adaptada a los pulsos P1 y P2 por separado junto con un

esquema de decisioacuten que considerariacutea la combinacioacuten de los dos (que sabemos garantiza unos

miacutenimos) para decidir su validez y que solamente digitalizariacutea P1 para la representacioacuten de la

amplitud de campo La figura 5-23 ilustra la estructura de este esquema continuo cuya realizacioacuten

praacutectica seriacutea evidentemente compleja pero que seguacuten se argumentoacute en sect535 puede aproximarse

mediante una realizacioacuten discreta como la de la figura 5-5b No obstante teniendo en cuenta la

equivalencia asintoacutetica de las dos realizaciones puede a partir de eacutesta y de las caracteriacutesticas del ruido

valorarse a) la probabilidad de detectar pulsos falsos y b) la probabilidad de confundir dos pulsos

P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB

Figura 5-23 Estructura de adquisicioacuten oacuteptima

Anaacutelisis del error de recepcioacuten de campo

Para la consideracioacuten del error se valoraraacute por una parte el hecho de no confundirnos en la

posicioacuten del dominio y por otra la probabilidad de confundir niveles separados 05 dB es decir de

que el error rebase los plusmn025 dB (en caso de que esta probabilidad sea pequentildea entonces estaraacute

justificado el uso de un modelo de error con distribucioacuten uniforme entre ndash025 dB y +025 dB)

Teniendo en cuenta las estabilidades de la direccioacuten del maacuteximo de radiacioacuten [87] de la rotacioacuten de

la antena y del periodo de repeticioacuten de pulsos una vez identificados los maacuteximos de radiacioacuten la

justa ubicacioacuten de los valores de amplitud recibidos estaraacuten a tenor de que soacutelo hayan sido

detectados pulsos vaacutelidos Por tanto un paraacutemetro para la valoracioacuten de la concordancia geomeacutetrica

de la distribucioacuten de campo detectada seraacute la probabilidad error en la identificacioacuten de pulsos

P1 normalizado

P2 normalizado

Decisor de pulsos vaacutelidos

10

Decisor de nivel del pulso P1

int sdotsmicro82

0)(

int sdotsmicro82

0)(


vaacutelidos En suma ambos errores podremos valorarlos a partir del modelo de la figura 5-23 (en

virtud de su equivalencia con la realizacioacuten discreta) el nivel de las sentildeales miacutenimas

(correspondientes a pulsos vaacutelidos) asiacute como las caracteriacutesticas del ruido (para el que se buscaraacute un

modelo gaussiano) Para ello los pulsos P1 y P2 normalizados en energiacutea pueden asumirse ndashen

primera aproximacioacutenndash como pulsos cuadrados de duracioacuten 08 micros y amplitud 1118 V al principio

o al final respectivamente de un intervalo de 28 micros (seguacuten se sentildealoacute antes la diferencia cuadraacutetica

entre los pulsos realmente detectados y esta aproximacioacuten es menor que el 3)

Seguacuten las especificaciones de ruido a la salida del amplificador logariacutetmico [4] su densidad espectral

es de 2 microVradicHz a 100 Hz y 13 microVradicHz a 10 MHz Se puede por tanto admitir un modelo

conservador de ruido a la entrada de nuestro receptor consistente en ruido gaussiano blanco de

nivel 2 microVradicHz Suponiendo un circuito normalizado (R=1) la densidad espectral de potencia del

ruido equivalente seriacutea No = 4 10-12 WHz

a) Probabilidad de detectar pulsos falsos

Consideremos por simplicidad que la falsedad de los pulsos (o raacutefagas falsas) la valoramos soacutelo a

tenor del pulso P2 en lugar de la suma de P1 y P2 La diferencia como se veraacute es insignificante ya

que el nivel de estos es suficiente para asegurar la veracidad del conjunto

Haciendo un balance de potencia que tenga en cuenta la potencia transmitida (2000 W) la ganancia

direccional de la antena (del diagrama suma para el P1 y del SLS para el P2) las peacuterdidas en el

trayecto entre antenas a una distancia inferior a 100 metros y las peacuterdidas del circuito de deteccioacuten

sabemos que puede esperarse un nivel miacutenimo del pulso P2 a la entrada del amplificador

logariacutetmico superior a -60 dBm Nivel que de acuerdo a las caracteriacutesticas de transferencia del

amplificador antes revisadas (ver figura 5-17) le corresponderaacute una salida de ~070 V mientras que

sin sentildeal la salida es de ~045 V

Usando como referencia el nivel de los pulsos normalizados P2 los anteriores valores de tensioacuten

corresponderaacuten a los niveles normalizados 0451118 = 4025 10-4 071118 = 6261 10-4 Que

equivalen respectivamente a los resultados de la convolucioacuten sin sentildeal y con un pulso P2 miacutenimo Si

todos los pulsos cuya convolucioacuten es superior a 6261 10-4 se pueden considerar vaacutelidos entonces el

umbral oacuteptimo de decisioacuten para precisar la validez o invalidez de los pulsos seraacute el punto

intermedio entre la salida sin sentildeal y con pulso P2 miacutenimo7 es decir frac12 Vs(-60 dBm) + Vs(sin

sentildeal) = 0575 V normalizando 5143 10-4 En la figura 5-24 se representa la constelacioacuten

correspondiente a las sentildeales vaacutelidas e invaacutelidas

7 Si se tiene en cuenta que la duracioacuten de los silencios (~22 ms) hace que la ausencia de pulsos sea unas mil

veces maacutes improbable la posicioacuten del umbral de decisioacuten oacuteptimo estaraacute un poco desplazado respecto al

mencionado Sin embargo al considerar las especificaciones de ruido este desplazamiento es despreciable

228 Capiacutetulo V

Figura 5-24 a) Constelacioacuten para la decisioacuten de sentildeales vaacutelidas b) Problema equivalente

En esta situacioacuten la probabilidad de interpretar por pulso vaacutelido el ruido es decir pulsos falsos es

equivalente al de error en la deteccioacuten de un pulso como el representado en la fig 418b que puede

calcularse usando la funcioacuten de probabilidad normal complementaria

0)79(1042

1080250()2

()22()2( 12

62

asymp=sdotsdot

sdotsdot==== minus

minus

QQNoEQ

NoEQdQP

oerr σ

(5-4)

Es decir podemos dar por vaacutelida la identificacioacuten de pulsos vaacutelidos con lo que en consecuencia los

errores en la concordancia geomeacutetrica de las medidas dependeraacuten exclusivamente de la

identificacioacuten del maacuteximo de radiacioacuten y de las inestabilidades antes mencionadas

b) Probabilidad de confundir dos pulsos P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB

Para estimar esta probabilidad podemos considerar que se trata de un problema equivalente al de

una transmisioacuten digital multinivel [148 25] en la que las sentildeales se corresponden con pulsos P1 de

niveles -70 -695 -69 -20dBm a la entrada del amplificador logariacutetmico y 055 056 057

155V a su salida La figura 419 muestra la constelacioacuten correspondiente a este caso en el que la

probabilidad de confusioacuten entre sentildeales adyacentes bajo el supuesto de ruido blanco gaussiano es

3

12

6

1081)153(2)1022

1080010(100992)2(12 minus

minus

minus

sdot=sdotasympsdotsdot

sdot=

minus= QQdQ

MMP

oerr σ

(5-5)

Figura 5-25 Constelacioacuten para la decisioacuten del nivel de los pulsos P1

En suma puede considerarse que el sistema detectaraacute solamente los pulsos vaacutelidos y la probabilidad

de confundirse 025 dB es inferior al 2 permil con lo cual estaacute justificada la admisioacuten de 025 dB como

cota superior del error en el conjunto de medidas (utilizado para la sintetizacioacuten de las medidas en

sect44)

Correlacioacuten con el P1 055 radicT 056 radicT

Umbral de decisioacuten

d2

057 radicT

Correlacioacuten con el P2

Pulsos vaacutelidos

4025 10-4 6261 10-4

Sentildeales no vaacutelidas


d2

a)

0micros 2micros 28micro

025 V P2

b)


Realizacioacuten numeacuterica del receptor oacuteptimo

Teniendo cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es limitado la estructura de

recepcioacuten oacuteptima para sentildeales continuas representada en la figura 5-23 podraacute remedarse

numeacutericamente si se toman muestras lo suficientemente raacutepidas Un circuito de computacioacuten de

rapidez adecuada deberaacute comparar la sentildeal muestreada con la esperada y en funcioacuten de los

resultados de esa comparacioacuten decidir si se trata de un pulso vaacutelido y de su nivel La realizacioacuten de

estas operaciones puede lograrse mediante un Procesador de Sentildeales Digitales (DSP) que ademaacutes

podraacute gobernar como muestra la figura 5-26 el proceso completo de deteccioacuten recepcioacuten

adquisicioacuten y transferencia de datos

Figura 5-26 Circuito de recepcioacuten oacuteptima y adquisicioacuten de datos

Una configuracioacuten usando dispositivos comerciales que responda a las necesidades de muestreo y

velocidad de proceso para la ejecucioacuten de las operaciones que han de realizarse es la que muestra la

figura 5-27 en la que la tarjeta conversora admite un muestreo de hasta 40 MHz [154] y el

procesador puede realizar 600 Millones de Instrucciones por segundo [155] No obstante teniendo

en cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es de 125 MHz seraacute suficiente un

muestreo a 25 MHz con lo que el procesador podraacute realizar 24 instrucciones entre dos muestras

consecutivas Empleando esta velocidad de muestreo se contariacutea con 18 muestras por cada pulso y

24 entre los pulsos P1 y P2 Por tanto si se almacenan las 60 uacuteltimas muestras y se hace una suma

parcial de las 18 primeras y de las 18 uacuteltimas los resultados de estas sumas parciales de acuerdo con

el modelo de pulsos cuadrados (arriba justificado) podraacuten considerarse como las convoluciones

con los pulsos P1 y P2 respectivamente A partir de estos resultados las operaciones que

completariacutean el esquema de recepcioacuten oacuteptima (figura 5-23) seraacuten

ndash Se decidiraacute que se trata de pulsos vaacutelidos cuando la convolucioacuten correspondiente al pulso P2

supere un valor umbral

ndash El momento en el que la convolucioacuten (P2) sea maacutexima se consideraraacute que es eacuteste el instante de

muestreo oacuteptimo

ndash En este instante se seleccionaraacute el resultado de la convolucioacuten correspondiente al P1 y este

valor se almacenaraacute en la memoria del procesador digital para transferirse al ordenador

despueacutes de una vuelta completa de la antena (unos 1818 valores)

Tarjeta Conversora AD raacutepida Detector de

sentildeales SSR

DSP

Convolucioacuten con pulso nominal

Nivel del pulso

(correccioacuten)

Almacena-miento en memoria

PC

25 MHz

230 Capiacutetulo V

Figura 5-27 Dispositivos empleados para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo y esquema de conexiones

Algoritmo numeacuterico de recepcioacuten oacuteptima

Para realizar las sumas el Procesador deberaacute hacer uso de un registro de desplazamientos con 60

posiciones de memoria las posiciones de memoria 1 a la 18 (las maacutes nuevas) se consideran

correspondientes al pulso P2 y de la 43 a la 60 (las maacutes antiguas) al pulso P1 En la figura 5-28 se

representa este registro de desplazamientos y las posiciones que corresponden a cada pulso Por

tanto las operaciones que deben realizarse pueden reducirse a las especificadas en la tabla 5-1

1 Inicializar las sumas S1 S2 (resultados de la convolucioacuten) a cero cuenta = 0

2 Leer una nueva muestra e introducirla en el registro de desplazamientos

3 Actualizar las sumas S2[n] = S2[n-1] - m19 + entrada

S1[n] = S1[n-1] - salida + m43

4 Realizar las pruebas Pr1 = S2 ge Umbral2

Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]

5 Si (Pr1= 1)y(Pr2= 1) Si (S1 ge Umbral1) almacenar S1[n-1] en la memoria de

niveles de pulsos vaacutelidos Pvaacutelido[m]

cuenta = 0 y volver a (2)

De lo contrario incrementar cuenta

6 Si (Cuenta gt 0) Si (cuenta gt 50) almacenar 0 en Pvaacutelido[m]


De lo contrario incrementarcuenta

7 Volver a (2)

Tabla 5-1

TLC 5540

D1-D8

Reloj

Habilitar

Tierra

TMS320c6711

D0-D7

Reloj

Ctrl

Tierra

+5 V GND +5 V GND

Circuito detector

(AmpLog)

+5 V GND

Circuito de muestreo y adquisicioacuten

Puerto paralelo

Conv

ersor

AD

DSP


Figura 5-28 Organizacioacuten de la memoria para la realizacioacuten de las operaciones del receptor oacuteptimo

Como se puede observar las doce operaciones por periodo de muestreo a que se reduce el esquema

anterior podraacuten realizarse con la configuracioacuten de la figura 5-27 ya que seguacuten se indicoacute el

procesador tiene la facultad de realizar hasta 24 instrucciones por muestra En lo que respecta al

resto de las operaciones la velocidad de proceso no es criacutetica siendo el ordenador central el que

gestiona por medio de interrupciones el inicio y fin del proceso de deteccioacuten oacuteptima (1) En un

primer momento es necesaria la inicializacioacuten del conversor AD definieacutendose los recursos de

memoria que se vayan a emplear a continuacioacuten (2) se inicia la recepcioacuten oacuteptima siguiendo el

esquema antes descrito (3) Cuando haya transcurrido el tiempo suficiente para que la antena de una

vuelta completa una interrupcioacuten detendraacute el proceso y a continuacioacuten (4) tendraacuten que transferirse

al ordenador los datos que hayan quedado almacenados en la memoria del procesador (DSP) (5)

Una vez se le haya aplicado a los datos la calibracioacuten del sistema de medida estos se almacenaraacuten en

un fichero A continuacioacuten se repetiraacute el mismo proceso a otra distancia para finalmente emplear

los resultados de la observacioacuten sobre los dos dominios en el proceso numeacuterico de reconstruccioacuten

de fuentes (particularizado al problema de diagnosis de las antenas de Radar Secundario en sect44)

544 Resultados del sistema de diagnosis

Los resultados experimentales mostrados en sect542 evidencian la eficacia del detector para ser

empleado en el proceso de diagnosis mientras que las conclusiones analiacuteticas de sect541 demuestran

que puede en efecto alcanzarse las calidades de medida supuestas para la sintetizacioacuten de las

medidas (sect441 donde se consideroacute un modelo de ruido superior al que cabe esperarse) Por otra

parte se ha probado la realizabilidad teacutecnica en virtud de las velocidades de procesado y mediante

un refinado del algoritmo numeacuterico Y finalmente se ha realizado una simulacioacuten completa y

detallada del sistema cuyos resultados ya han sido objeto de varias publicaciones [98 36 37 107]

que nuevamente evidencian la factibilidad del sistema de diagnosis

Por tanto y aunque por el momento el sistema completo no se haya concluido (entre otras cosas

motivado porque las instituciones a las que compete el mantenimiento de los radares secundarios

no se han mostrado activamente interesadas) es evidente su viabilidad En suma puesto que cabe

m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20

P2 P1 Espacio entre pulsos

Entrada Salida

S1(n)

S2(n)

Posicioacuten de memoria donde se almacena la suma de las muestras correspondientes al P1


S1(n-1)

S2(n-1) Pvaacutelido[m-2] Pvaacutelido[m-1] Pvaacutelido[m]

Pvaacutelido[1]

232 Capiacutetulo V

esperarse medidas de distribuciones de moacutedulo con una calidad mejor que las que se sintetizaron

para evaluar los meacutetodos inversos los resultados recogidos y comentados en sect44 pueden

considerarse representativos para la valoracioacuten del sistema completo de diagnosis

VI CONCLUSIONES Y

LIacuteNEAS FUTURAS

ldquoTodo eso es verdad ndashdijo

a esa sazoacuten Don Quijotendash

pero no seacute a doacutende vas a

pararrdquo

Miguel de Cervantes

El ingenioso hidalgo Don

Quijote de la Mancha

Conclusiones y liacuteneas futuras 235

61 CONCLUSIONES

A lo largo del estudio de los problemas directo e inverso y el de la observacioacuten del campo

electromagneacutetico se ha llegado a numerosos y variados resultados que se han sentildealado alliacute donde

aparecieron y que aquiacute se recogen de forma condensada

1deg Se llegoacute a una formulacioacuten diaacutedica del campo en teacuterminos de las funciones de Green y de las

funciones modales

2deg Dicha expresioacuten diaacutedica permitioacute probar el isomorfismo entre las formulaciones modal y de

fuentes (corrientes)

3deg Se estudioacute el problema de la frecuencia espacial del campo engendrado por unas fuentes

acotadas lo que a su vez dio pie a la formulacioacuten de tres uacutetiles teoremas de muestreo

4deg Se acotoacute la dimensioacuten del problema electromagneacutetico por medio del segundo teorema

5deg Se estudioacute el problema de las ondas evanescentes que nos permitioacute definir para una precisioacuten

dada la separacioacuten miacutenima entre muestras independientes de las distribuciones de campo y

de corrientes

6deg Se llegoacute a una formulacioacuten discretizada y matricial del problema electromagneacutetico sobre un

espacio vectorial E de dimensioacuten miacutenima que permitioacute expresar las distribuciones de campo

engendradas por una distribucioacuten cualquiera de corrientes interior a una superficie dada Este

espacio relaciona directamente las distribuciones de campo con las corrientes sobre la retiacutecula

de dipolos de Hertz

7deg Definida una meacutetrica generalizada sobre el espacio E se encontroacute la proyeccioacuten en dicho

espacio de una distribucioacuten cualquiera de campo observado

8deg Se propusieron meacutetodos numeacutericos para abordar la solucioacuten cuando la dimensioacuten del

problema sea elevada

9deg Se definioacute un procedimiento iterativo general para la incorporacioacuten de informacioacuten adicional

que facilita la convergencia hacia la solucioacuten deseada

10deg En la discusioacuten del problema inverso sin fase se encontraron algunos errores sobre varias

teoriacuteas acerca de la ambiguumledad y unicidad de solucioacuten

11deg Se encontroacute una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten del problema inverso sin

fase

12deg Se extendioacute el anaacutelisis del problema inverso sin fase al caso discreto y al de distribuciones

superficiales

236 Capiacutetulo VI

236

13deg Se generalizaron varios meacutetodos de reconstruccioacuten de las distribuciones complejas para su

aplicacioacuten a cualquier geometriacutea

14deg Se definioacute un meacutetodo de proyecciones sucesivas generalizado que permite incorporar todas

aquellas informaciones que facilitan la convergencia hacia la solucioacuten deseada

15deg Se definioacute un modelo de sistema adaptado de medida para la observacioacuten de sistemas radiantes

mientras se encuentran operativos

16deg Esta arquitectura junto con los meacutetodos inversos se emplearon para la configuracioacuten de un

sistemas de diagnosis de antenas de Radar Secundario cuya viabilidad ha sido demostrada

62 LIacuteNEAS FUTURAS

Una continuacioacuten inmediata del trabajo mostrado en la presente tesis consistiriacutea en la realizacioacuten

completa e integrada del sistema de diagnosis descrito en el capiacutetulo quinto (sect53) y validado en el

anterior cosa que de hecho se estaacute llevando a cabo No obstante sobre el resto de los puntos en los

que la tesis presenta especial aportacioacuten tienen cabida variadas continuaciones

ndash Una modificacioacuten draacutestica del problema consistiriacutea en la consideracioacuten de medios no

homogeacuteneos Para ello podriacutea recurrirse al sugerente planteamiento de Colton y Kress [31

sect9] permitiendo asiacute la extensioacuten a interesantes problemas electromagneacuteticos

ndash Podriacutea dedicarse maacutes detalle a la comparacioacuten de la teoriacutea de muestreo presentada y los

resultados de otros autores como son los de Bucci y colaboradores [18 21 22]

ndash La manera en que se ha considerado discretizados los dominios ha quedado abierta aunque

esta se haya definido con objeto de que cumpla ciertas caracteriacutesticas ideales Existe muy

diversa bibliografiacutea sobre este asunto cuya comparacioacuten y conveniencia cabe discutirse (pej

en [24] puede encontrarse una sucinta relacioacuten de meacutetodos y autores)

ndash Seriacutea interesante la consideracioacuten de un mayor nuacutemero de casos para el estudio de la

aplicabilidad de los criterios de sobremuestreo obtenidos en el estudio de las ondas

evanescentes asiacute como la comparacioacuten de eacutesta con los empleados por diversos autores (pej

[58 49])

ndash La cuestioacuten de la dimensioacuten esencial del problema cabe tambieacuten abordarse como propone

Barakat [14] desde el punto de vista del moacutedulo de los valores singulares del operador lineal

de transformacioacuten T

ndash En lo relativo a la reduccioacuten del coste operacional de problemas inversos superficiales una

draacutestica simplificacioacuten consiste en poder descomponerlo en dos problemas unidimensionales

Se ha mencionado el caso plano que es el maacutes trivial pero podriacutean considerarse otras


geometriacuteas en las que la utilizacioacuten de aproximaciones o planteamientos iterativos permiten

un tratamiento unidimensional del problema superficial [95 96 97]

ndash En la resolucioacuten del problema inverso cabe estudiarse la velocidad en la obtencioacuten de la

solucioacuten de diversas teacutecnicas numeacutericas a la manera de los estudios de Fienup [46] Saxton

[142] Hayes [61] o Ivanov [78]

ndash Podriacutea buscarse una aplicabilidad de los teoremas de Hayes [62] Sanz [138] y Barakat [13]

para la buacutesqueda de condiciones alternativas para la unicidad de solucioacuten (es presumible que

estas presupongan una restriccioacuten de la fase sobre las distribuciones de fuentes)

ndash Puede faacutecilmente demostrarse que mediante la observacioacuten del campo utilizando dos antenas

suficientemente distintas se garantiza tambieacuten la unicidad de solucioacuten del problema inverso

sin fase (la demostracioacuten es similar a la sect3318) Este caso podriacutea considerarse en detalle y en

consecuencia proponer un meacutetodo consistente en la exploracioacuten del campo mediante una

antena de agrupacioacuten reconfigurable

ndash En lo relativo a la observacioacuten del campo electromagneacutetico la consideracioacuten de la correccioacuten

de sonda [168 88 89 17] puede resultar de gran intereacutes como asiacute lo prueban sus virtudes

teacutecnicas

ndash La aplicacioacuten del problema inverso a las medidas de compatibilidad electromagneacutetica es otro

asunto de gran intereacutes [33 96 100 140 85 86] al que atantildeen una serie de aspectos en los que

aun cabe ahondar como es el caso de los dominios de observacioacuten [33] del muestreo

temporal y frecuencial [22] o la compensacioacuten del entorno de medida [17]

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Portada

Cita

Agradecimientos

Contenido


Siacutembolos usados

Estilos de referencia

Resumen de la tesis

Capiacutetulo 1 - Introduccioacuten

11 Tres aproximaciones

12 Panoraacutemica de ida y vuelta

Capiacutetulo 2 - Problema directo

21 Ecuacioacuten de onda

22 Teorema de unicidad

23 Formulaciones directas

24 Discretizacioacuten del problema

25 Ejemplos

26 Sumario

Capiacutetulo 3 - Problema inverso

31 Introduccioacuten

32 PI con fase

33 PI sin fase


332 Soluciones al PI sin fase

34 Sumario

Capiacutetulo 4 - Validacioacuten experimental

41 Pruebas experimentales

42 Antena de apertura circular

43 Antena de agrupacioacuten de ranuras

44 Antena de agrupacioacuten de dipolos

Capiacutetulo 5 - Sobre la observacioacuten


52 Sistemas observadores de medida

53 Modelo de sistema adaptado de medida

54 Sistema de diagnosis para antenas de Radar Secundario

Capiacutetulo 6 - Conclusiones

61 Conclusiones

62 Liacuteneas futuras

Bibliografiacutea

ldquoTodas las formas todos

los colores todas las

imaacutegenes de cada parte del

universo se contraen en un

punto (la pupila) iquestQueacute

otro punto hay tan

maravillosordquo

Leonardo Da Vinci

Cuaderno de notas

Arte sectI1b

ldquoDe un tiempo a esta parte

el infinito

se ha encogido

peligrosamente

quien iba a suponer

que segundo a segundo

cada migaja

de su pan sin limites

iba asiacute a despentildearse

como canto rodado

en el abismordquo

Mario Benedetti

Las soledades de Babel mdash El infinito

iii































iv
























devolvemos







v

Contenido




























vi



25 EJEMPLOS 53








26 SUMARIO 76

























vii












34 SUMARIO 147























viii














61 CONCLUSIONES 235



ix



retina del ojo 6





























x











diferente 117




























(MPS-C) 192



xi





complejo 210


moacutedulo 212


moacutedulo 213



























conexiones 230


xiii





















xiv






















xv





)(zkF(


(



k

kTt )(ξ




















xvii






























xviii









discuten



I INTRODUCCIOacuteN











las demaacutesrdquo



Introduccioacuten 3


































4 Capiacutetulo I




































Introduccioacuten 5




































6 Capiacutetulo I









































Introduccioacuten 7































indistinguibles






8 Capiacutetulo I



hasta el observador








en detalle














S

ε 2 micro 2

qe qm

J

M D

ε 1 micro 1

x

y

z

x

Problema directo

Leyes de Maxwell

Problema inverso


S

D y

z

ET

ε 1 micro 1

Introduccioacuten 9
































verdaderas fuentes


10 Capiacutetulo I


























moacutedulo












superficies




























II PROLEMA ELECTRO-
















and magnetismrdquo































S

ε1 micro1

qe qm

J

M D

ε2 micro2

x

y

z

16 Capiacutetulo II



m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


B

D

DJH

BME

(2-1)

m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


H

E

EJH

HME

microε

ε

micro

(2-2)


0

0

=part

part+sdotnabla

=partpart

+sdotnabla

tqtq

m

e

M

J

(2-3)



e

e

qt

qt

nabla+part


partpart

minusnabla

nabla+partpart


minusnabla

microεmicroε

εmicromicroε

1

1

22

22

MJ

tH

H

JM

tE

E

2

2 (2-4)




0

0

22

22

=partpart

minusnabla

=partpart

minusnabla

2

2

tH

H

tE

E

microε

microε (2-5)







m

e

qqjj



B

E

EJH

HME

microε

ϖεϖmicro

(2-6)0

022

22

=+nabla

=+nabla

HH

EE

β

β (2-7)



















ε (2-9)









es decir











18 Capiacutetulo II






ϖmicroεω jjF

(2-16)



primeminus

=+nabla

primeminus

=+nabla

SS

SS



22

22

rMFF

rJAA

εβ

microβ

(2-17)






)(4)(

)(

rrrr

rr

minus=prime

minusminus

ReG

Rj

π

β (2-19)



problema





S

J

M

R=r-rrsquo

rrrsquo

z

x y


)()()(

)(4

)()()(

)()()(

)(4

)()()(

)(

)(

rrMrr

rMrrrMrF

rrJrr

rJrrrJrA

rr

rr

GvdRevdG

GvdRevdG

Rj

VV

Rj

VV

lowast=primeminus


lowast=primeminus


minusminus

primeprime

minusminus

primeprime

intintintintintint

intintintintintint

επεε

microπmicromicro

β

β

(2-20)





)(~)(~)(~)(~)(~)(~

rrMrF

rrJrA

G

G

sdot=

sdot=

ε

micro (2-21)











AFAFFH

FAFAAE

timesnabla+

nablanabla


timesnablaminus

nablanabla


microβω

microϖmicroεω

εβω

εϖmicroεω

111)(1

111)(1

2

2

jjj

jjj (2-22)






β 2=βx2+βy





20 Capiacutetulo II






























deben ser









homogeacuteneos

















Js=0

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

Conductor

eleacutectrico

d)

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn H1

Ms=0

0 0

Conductor

magneacutetico

e)

S

E1 H1

ε2 micro2

J1

M1

E1 H1

a)

ε1 micro1

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn (H1-H)

Ms=- timesn (E1-E)

E H

b)

ε2 micro2

Js= timesn H1

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

c)

ε1 micro1

22 Capiacutetulo II
















FE

AE

M

J

timesnablaminus=

nablanabla

+minus=

ε

βω

1

1 2j (2-26)









231 Fuentes reales3






vdR

ejvdGjRj

VV

primeminus

sdotprime

nablanabla


nablanabla

+minus=minusminus


)(1)()(1)(

22 rrrJrrrJE

rr

J πβωmicro

βωmicro

β (2-27)



vdJJJ


EEE

Vz

y

x

zJ

yJ

xJ

primesdot

primeprimeprime

sdot




intintintprime )(

)()(

))(()())()(())()(())()(())(()())()(())()(())()(())(()(

22122

22

212

222

21

r

r

r

siendo RjeR

RRjjG βββ


minus=primeminus 3

22

211

4)( rr Rje

RRβRjj


minus=primeminus 5

22

2233

4)( rr

(2-28)







S J

D x

y

z

24 Capiacutetulo II


TJ

VJ RGRGvd (2-29)














sdR

esdGRj

SSM prime

minus



)()()()(

rrrMrrrME

rr

π

β (2-31)



sdMMM

xxyyxxzz

yyzzRGsdRG

E

EE

Sz

y

x

SzM

yM

xM

primesdot

primeprimeprime

sdot





)()(

0)()()(0)()()(0

)()()()( 33

r

r

r

rMrr

siendo RjeR

RjG ββ

πminus+

=primeminus 331

41)( rr

(2-32)

S

D x

y

z

M



Green GM




prime 0)()()(0)()()(0

)()( con )()( 3

xxyyxxzz

yyzzRGvd M

VMM rrGrMrrGE

(2-33)









)()( vdV


rrrGE f (2-35)





[ ] [ ][ ]

==

M

JrGGG )( fMJ (2-37)







infinminus

infin

infinminus

GGE (2-38)

26 Capiacutetulo II


GEEEE FFFFF (2-39)

Y en consecuencia

f~)(~)(~)( 10

1 sdotminus== fo-

xy-




ϕρϕρϕρϕρ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕρ





minus=


sin sin cos cos con

1000cossin0sincos

)(1000cossin0sincos

)( donde

)()()()(

yyxx

zzyyxxz

zdddzzzz

o

Vzoo

GG

GE f

(2-41)







0sincos


)( 0cossin


)( donde

cos)()()()(

θϕϑϕϑθθ


ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθϕθ


rzryrx

zyxr

ddrdrrrrrVr

oo

=sdot==


sdotsdot

minusminus=


GG

GE f

(2-42)


y espectrales




y )( )()( con

111

111

111

)(

111

111

111

)( donde

)(

)()()()(

321

321

321

321

333

222

111

)(

primepartpart

=primepart

part=

primepartpart

====

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

sdotsdot

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

=



isinprimeprimeprime


ληξ

ληξ

ληξ

λλλ

ηηη

ξξξ

ληξ

ληξληξ


rrr

GG

GE

hhhzzyyxx

zh

zh

zh

yh

yh

yh

xh

xh

xh

zyx

zh

zh

zh

yh

yh

xh

xh

xh

xh

dddzyx

Voo f

(2-43)




















)(44

4

)(44

4

cos

cos

ϕθπε

πε

πε

ϕθπmicro

πmicro

πmicro

βψβ

ββ

βψβ

ββ

LMMF

NJJA



minusminus

minusminus

minusminus

minusminus

intintintint

intintintint

resde

reds

Re

resde

reds

Re

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

(2-45)

28 Capiacutetulo II



sdesde

sdesde

S

rj

SS

rjS

S

rj

SS

rjS



intintintint

intintintintprime

minusminus

primeminusminus

cos

cos

)(

)(

rr

rr

MML

JJN

βψβ

βψβ

ϕθ

ϕθ (2-46)




ϕθϕθϕθϕθ

sinsinˆcossinˆˆ


primesdot


yxxryyxx

yrxr rrr

r (2-47)



SSyx

vyuxj

S

SSyx

vyuxj

S

yxdydxevu

yxdydxevu

MMMLL

JJJNN

~)()()(

~)()()(

)(

)(

==sdot==

==sdot==

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

int int

int int

F

F

β

β

ϕθ

ϕθ (2-48)




ψ

R

r rrsquo

z

x y








congsdotminuscong



congsdotminuscong

)0 (con

ˆ1ˆ1

ˆˆ1

)0 (con

rM

JJ

MM

rJ

Hj

j

j

Ej

FH

ErArAH

HrFrFE

AE

ϖηη

ϖmicro

ηϖηε

ϖ (2-49)




η


πβηϖ

β

ϕ

ϑ

ErHTE

FrA

times=sdot=

sdot

minusminussdot

minus=times+minus=

minus

ˆ y ~

~~~~


4 )ˆ(

fCL

y

x

y

xrj

MMJJ

rejj

EE

(2-50)




rrsquo

r

ϕ θ J

M

x

y

z

uv

Dominio

lejano de

observacioacuten

1

1

ϕ

Plano de

las fuentes Plano

tangente a la


30 Capiacutetulo II



































entorno




a) Modos planos



zjyxPxyyx

yjxjzjyxP

y

xT


πsdot=sdot=

= minus

infin

infinminus

infin


)2(1 1

2 MME F


(2-51)

Y por tanto

)()()()()(~ )( 222

zfezz yxPyxPzj


MMEE F (2-52)













= minus

minus

∆ )(~~ 1

ββf (2-55)



minusprime=

minus

∆sdot∆=

=

minus

∆minus 0110

)(0110

)(~)(

)(~3

1

yxPzzyx

OyxPOyxPzfM f

Gzf

zf ββββ

ββββGP (2-56)

32 Capiacutetulo II







)()()()(21

)()(

)(0

)()(

)()(

21)(

1

)2(2

)2()2(

)2()2(

zCzzjjn

nzC

zjjn

z

z

n

n

nzn

nzn

z

nndeenn

deenbna

H

HnH

HjHjn

EEE

z

z

z

βρββρπ

βββ

ρβββ

ρββρ

βρ

ρβρ

ρβββ

ρβρ

πϕρ

ϕβϕ

βϕ

ρρ

ρρ

ρρ

ϕ

ρ

MHMH

E

sdot=sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

minus

minus

part

partpart

partminus

=

=

minusinfin

minusinfin=

infin

infinminus

infin

minusinfin=

infin

infinminus

sum int

sum int

F


(2-57)




sum int

int intinfin=

minusinfin=

infin

infinminus


infin

infinminus

minusminus∆

===

===

n

nz

zjjnzzzz

zjjnzzz

deezXnXnXzX

dzdeezXzXzXnX

z

z

βϕπ

ββϕ

ϕϕπ

ϕϕβ

βϕϕϕ

πβϕ

ϕϕ

)(21)(~)(~)(

)(21)()()(~

1111

2

0

FFFF

FFFF (2-58)


[ ] )(~)(

)()()(~

1OOC

Cz nz

ρρ

ρβϕρ ρϕ

EHM

MHEEminus=

sdot== F


minus

minussdot

minus 2131

2232

22313221 001

HHHH

HHHH

(2-59)










eleacutectricos




)()(

)()(

sin)(

)(1)()(

)()(1

sin)(

)(

)()()1(

0

)()()(

1

1

)2()2(0

)2()2(0

)2(

mnmnr

mnbmna

jmYrrh

drd

rY

rh

Yrrh

drd

rYm

rh

Yrhr

nn

rErErE

en

n

nme

n

n

nm

nmn

nmn

nmn

nmn

nmnr

MH sdot=

sdot

partpart

partpartsdot

+

=

sum sum

sum sum

infin

= minus=

infin

= minus=

ϕϑ

ϑϕϑ

βθ

ϕϑββη

θϕϑ

βϑ

ϕϑββη

ϕϑβ

ϕϑϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

donde )(cos)()(

412)( θ

πϕθ ϕ m

njm

nm PemnmnnY sdot

+minus+

=

(2-60)







ϕϑπ π

ϕ

ϑ ddrErE

rO

OOeTe sdot

= int int minus

0

2

0

1

)()(

)]([HM (2-61)












34 Capiacutetulo II

sumforall

sdot==times TEmodos

ˆTESSTSn MHEM

[ ] ( )[ ]sumforall


ˆTTMSTSSTS

jjn MHEHJ

βηβη

(2-62)







los dos modos

minus=minus=

==

)(

)(~~

)(~~

z

z

SCSz

zSbzCSz

nbna

EM

nbHEM

β

β

β

ϕϕ

ϕ

H

(2-63)





sdot==times sum sum

infin

= minus= 0)(

)(ˆ1

mnamnrn

Sn

n

nmeSTS ϕϑHEM

[ ] sum suminfin

= minus=


1 )(0

)(ˆn

n

nm SeTSSTS mnb

mnrjjn ϕϑβηβη

HEHJ

(2-64)




representaciones







sumsumforallforall


MHGE f (2-65)


























2222zyx ββββ ++= (2-66)



36 Capiacutetulo II























2 )frac12 Es decir



zjyxyxzyxzyxj




βx βy

βz β






habiacutea afirmado



ξξ

λξξhh

rr

rmiacuten 21

=sdot∆=partpart

sdot∆=∆ (2-67)








χλξ













38 Capiacutetulo II


















aii


min

βχβ =forall ii

max χ

λ2

minnteindependie

=∆forall ii

u

auii=

forallmax


βx βy

βz β


J

x y

z a

J

J

Espacio fiacutesico

( ) 22

164sortogonale

sfrecuenciaN

==

deg

λχπ

πβχπ a

a

22

162

4sortogonale

puntosN

==

deg

λχπ

χλπ aa














ne=ne


jimrmnr

N

nje

n

nmie 0

0)()(

1 ϕθϕθ HH (2-69)


sdot=

sdot=

sum sum

sum sum

= minus=

= minus=

1

11111

)()(

)()(

N

nmn

n

nmNNomneNNo

N

nmn

n

nmomneo

Mrr

Mrr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HE

HE

M (2-70)


0)()()(

)()(

111

11111

ne= o

oNeNNoe

oNeoe

rfrr

rr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HH

HH

L

MOM

L

(2-71)










40 Capiacutetulo II






χλad
















Ddad λθλ 2arctan



















χλξ

ξξξ

ξ ξ ahr

2)(

=partpart

∆=∆rArr∆

partpart

=∆r

rrr (2-74)


=∆

=∆

rArr∆partpart

+∆partpart

=∆

χληξ

η

χληξ

ξ

ηη

ξξ

η

ξ

ahr

ahr

2)(

2)(

rrr (2-75)





=

==

equivrArr

∆+=

∆+=

minusminus )(

)()(

22

11

11

122

1

MMMMM ξ

ξξ

ξξξ

ξξξξ

rr

rr

rr

MMD (2-76)


)( con

21

22221

11211

11

112

1

11

112

1

mnmn

MMMM

M

M

MMMMMM

vξ

ηηη

ηηηη

ξξξ

ξξξξ

ηξξξ

η

η

ηηηξξξ

rr

rrr

rrr

rrr

=

equivrArr

∆+=

∆+=

∆+=

∆+=


MOMM

L

L

MMD (2-77)




=

)(

)( 1

MrE

rE


=)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rErE

rErE

E

K

MOM

K (2-78)

42 Capiacutetulo II








prime

prime

=)(

)( 1

Mr

r

f

f


primeprime

primeprime

=

primeprimeprime

prime

)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rr

rr

ff

fff

K

MOM

K (2-79)







summinus

minus=N













summinus minus

minus=

N

N nu

nun uu

uuuu

)()(sin

)()(max

max

ββ

EE (2-81)
































u βu Um

2πUm

π Um

Distorsioacuten

44 Capiacutetulo II














tanto

=prime

εα 1ln1

minR (2-82)



1 )-(1 )( 22z



[ ] [ ] 2

min

22

min 21ln

11ln

1

+=

sdot

+=RR

λπ

εβ

εχ (2-84)








min0

2

21

min

RdeE R

eva == intinfin


22

2

minmin

RedeE

RR

trunc

α

α


prime

minus == int



[ ] 2

21ln

1

sdot+=

nπε

χ (2-85)




[ ] 32

9631ln

1

+le

Dλε

χ (2-86)


















46 Capiacutetulo II






















12

3

4

5

6

7

8

9

12

3

4

5

6

7

8

9

λ4 λ4


















radio a+δ




prime+prime+prime=

+

=2

22

22

min 2ln1)(16min

)()(16min

δπεδπ

λδχδπ

δδaaN (2-87)







δ a


ampliada

Objetoradiante

48 Capiacutetulo II









sup min

2


)()(4min Na

aN sdot=

prime+prime+prime=

+

= πδπεδπ

λδχδπ

δδδ (2-88)













a = 18 a = frac14

a = frac12

a = 1

a = 2

a = 8

a = 4








de la figura 2-15b)






δλ








50 Capiacutetulo II







sum

sumintintint sum

= prime

prime

primeprime

primeprime

=prime

ge

=


sdot


=

=sdotprimeminus=


N

n nn

nn

nnnnnn

nnnn

N

nnn

V

N

nnn

GGGG

EE

vd

1

1

Desencial

1

)()(

)()()()(

)()(

)()()()(

ηξηξ


ηξηξ

δ

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff









=

primeprime

primeprime

primeprime

primeprime

sdot

=

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

)()(

)()(donde

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

11

111111

11

11

11

11

NNMMUUMMUU

NNUUUU

VU

NN

NN

MM

MM

vuvuGvuvuG

vuvuGvuvuGG

GG

GG

E

EE

E

L

MOM

L

M

M

M

M

ηξ

ηξηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

ηξ

η

η

ξ

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

η

ξ

ξ

f

ff

f

(2-90)



del campo

[ ][ ]

[ ][ ]

=

=

=

sdot=

prime

prime

primeprime

primeprime

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff

fT

fT

donde

GG

GG

EE

E

E

(2-91)






ff

ff sdot=equiv

sdot

=sdot=

sum=

TE

E

E

11

1

11

1

1

NNM

N

M

N

nn

M

MM

L

O

L

MM

Ψ

Ψ

Ψ

ΨΨ (2-92)










sdot



=)(

)(

)()(

)()()()(

11

11

221212

111111

NNNNNNNN

NN

NN

yx

yx

yyxxyyxx

yyxxyyxxyyxxyyxx

f

f

M

L

LOM

L

L

GG

GG

GG

E (2-93)




ff

ff

~~][][

)(][)(][][1 11

sdot=lowast=


OO

Nx

nmn

Ny

mmininn

N

ppipi

IDFTmnmn

yxyyxxyxyyxxmn

ΨΨ

GGE (2-94)






sdot=

sdot=

][~][~][~][~

][][

][

mnMmnMmnJmnJ

mnEmnE

DFTmn

y

x

y

x

CLCL TTEθ

θf (2-95)

52 Capiacutetulo II














representado



















C 1


lowastlowastM

mmm

T EEEEEE (2-96)




distancia

( )

( ) 2121

21

111

21

21

- d

EEEE

EEEEEEE

=

realisin

=sdot== sum

=

lowastlowastM

mmm

T

(2-97)

(2-98)









25 EJEMPLOS












54 Capiacutetulo II

























Jϕ Mϕ

Jθ Mθ

z

x y

a


















r rsquo= (0 0 0) (04 0 0) (-03 0 02) (0 03 0) (0 -04 0)

(0 0 03) (0 0 -03) (02 02 02) (-02 -02-02) (02 -01 02)

J = (1 1 0) (1 0 1) (0 2 1) (0 -1 -2) (1 0 1)

(2 0 -1) (0 0 2) (0 3 1) (1 -2 2) (-1 1 -1)








56 Capiacutetulo II

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

zJzyJzxJz

zJyyJyxJy

zJxyJxxJx

MM

MMMMMJ

zyxJ

zN

z

yN

y

xN

x

zJyJxJ

zJyJxJ

M

M

GGG

GGG

GGG

J

JJ

JJ

J

GGG

GGG

E

EE

E

0cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

donde

11

11111

interior

interior

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕϕ

θθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

MM

MMM

M

M

M

M

M

T

T J

(2-99)




28) (2-32) (2-37) (2-42) y (2-90)

[ ][ ][ ][ ]

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

primeminus

primeminus

primeprime

primeprime

sdot

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime



0

0

sin

sincos

cos

sincos

sincossin

sin

coscos

coscos

cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

1

111

111

11

11111

tetraedro1

1

T

N

T

N

T

NN

T

N

T

NN

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

MM

MMMMM

MMJJ

MMJJ

M

M

GGG

GGG

GGG

GG

GG

MMJJ

GGGG

GGGG

E

EE

E

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕθ

ϕθϕ

ϕ

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕθϕ

ϕθθθ

ϕθ

θ

θ

κ

θ

ϕϕθϕϕϕθϕ

ϕθθθϕθθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

M

MM

MM

MM

MMM

M

M

fT

En definitiva

sdotsdotexistrArr

sdot

sdot

=

tetrint

tetraedro

interior

min ϕθϕθ

ϕθϕ

θfTTf

fT

T

f zyxJ

zyxJ

dEE

J

J





(2-100)

(2-101)



el plano θ =π2












χ 1 15 2 3 4 5 6 7 ε () 8 27 12 04 02 016 01 008








z

x y

a


Dominio circular de

observacioacuten

ϕ

Eϕ

Eθ

58 Capiacutetulo II


corrientes












60 Capiacutetulo II











Tabla 22




distribuciones es

EJθ = 702 EJϕ = 390 EMθ = 1379 EMϕ = 2244










62 Capiacutetulo II
















discretas







corrientes








1

yJ

yN

y

yJ

yJ

JJ

J

G

G

EE

sdot=

sdot

=

prime

prime

TM

η

ξ

η

ξ (2-103)












155 m8 m


64 Capiacutetulo II

















Ex

y

z

x

Dominio

vertical de

observacioacuten

Dominio

horizontal de

observacioacuten

ϕ Ey

Eϕ

Ey

My

Mx

MT=n x ET

JT=0

a) Problema real

ET

HT MT=n x ET

JT=n x HT


MT=2(n x ET)





sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

prime

prime

prime

yJy

yJx

yJz

MMJyJ

yN

y

yJy

yJ

yM

y

M

G

G

G

I

JJ

J

G

G

E

EE

E

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MMM

M

M

TT

(2-104)



sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

primeprime

prime

prime

0

0

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

1

xMy

yMx

yMzxMz

MMMyM

yN

y

xN

x

yMy

yM

yM

y

M

G

G

GG

I

J

M

M

M

M

G

G

E

EE

E

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MM

M

M

M

M

TT

(2-105)




















66 Capiacutetulo II

















68 Capiacutetulo II






















χv=1rsquo916




χv=3rsquo832






















70 Capiacutetulo II





a detectarse









para Ex =11rsquo5



























72 Capiacutetulo II




=0rsquo22






















74 Capiacutetulo II
















deg==sdot

===∆

deg==sdot

===∆

947 rad13805141

2913022

8961 rad016550118

2913022)2sin(

vv

hh

aarr

aarr

χλ

χλθ

χλ

χπλϕ



















76 Capiacutetulo II



26 SUMARIO









funciones de Green
































una superficie dada



ldquoEl camino

hacia arriba

y el camino

hacia abajo

es uno y el

mismordquo

Heraacuteklitos

de Efesos




























































11

1 minusminus == nE-







M E k

REE k f k

R f f k E k+1T

T -1

dE k E k-1ltε

E 0

E K f K

































intercaladas















































































por tanto provecho














de observacioacuten

mm

M


sdot= realisinsum

=


21212121 CEEEEEEEE (3-3)




( )

( ) +

+

=

lowast+

realisin=

realisin

=sdotsdot== sum

- d

2121

21

111

21

21

EEEE

EEEEEEEM

mmmmππ

(3-4a)

(3-4b)




















( ) ( ) ( ) 21)(-)(-)(-)()( fffff fm



( ) ( )ffmffmmm

fmfmd

EEEEEEEE

EEEE


sdotsdot=++++

+

πππππ

)(

--)(2 f

(3-6)


= f +middot T +


Llamando a




=sdotsdot=rArr

isin=sdotsdot

isin=sdotsdot

realisin=sdotsdot+

+

++

+

mN

m

m

NxN

Nm

mm

bb

k

EΨ

EΨ

EE

EE

1

Mπππ

π

ζ

T

TT

T

C

C (3-8)

































sdotsdot+sdotminus=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζ

Re2

)()( si

2

T

T

M

bk

bbkd (3-10)

Im2

)()( si

2

sdotsdot+sdot+=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζT

T

M

bjk

bbkd (3-11)


Im02Im2)( si

Re02Re2)( si 12

12

minus

minus



ζζ

ζζTTTTM

TTTTM

bjbjd

bbd

ffff

ffff

(3-12)

(3-13)








][ (3-15)






























































)()()()1( iiii psdot+=+ λff (3-20)






(3-18)





















ij

d

ddji

ji

jiji

neforall

gt=nablalt

gt=nablanablalt


0)(

0)()(

0

)()(2

)(2)(2

)()()()(

p

pppp

f

ff

TTTT π (3-23)




sdotminus=rArr

+

+

)0()0(

)0()0(2

)0()0(

)0( )(R

RdR m

ππ

TTf

fTf

p

E (3-24)




)()()()1(

)()()1(1)()(1

2)(

2)1(

)(2)(

2)(

)(

kkkk

kkk)(kkk(k))(k

k

k

k

k

k

k

pRR

pRpp

R

R

p

R

sdotminus=

+sdot=+=

sdot

sdot=

sdot

sdot=

+

++++

+

+++

T

Tff

T

T

T

T

λ

βπλ

π

πβ

πλ

(3-25)



minusnablaminus +

iaconvergencla de



































entre 0 y 1 (0leλle1) [29 105 106]




kkk

kkk

fff

fff

minussdot+=

minus+sdot=+

)1(1

II

λ

λλ (3-27)

































































=rArrsdot= minus

oo DFT

ΨE

ΨE ~~

~~~ 1ff (3-29)




























( )zJM ˆ

~~

sincoscoscoscossin

)(ECM

~~

cossinsincoscoscos

)(ECE

timessdot=rArr

sdot

minusminus

sdot=

rarr

sdot

sdot=

rarr

η

ϕϑϕϑϕϕ

η

ϕϕϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

y

x

y

x

JJ

rfEE

MM

rfEE

(3-31a)










magneacutetica




)~(~ 0110~~ ~~

~~~

1~~

~~

zJJMJJG

GM r timessdot=sdot

minus

sdot= rarrsdot


xyJxxJ

yyJxyJ

xyMM

J

GGGG

G

(3-31b)










































expresarse como

le+

== primeisin

== ++ resto0

~~~

resto0)(

222

11

δβββ yxkkEk

kkfk

S EEE

rrR

ffRf (3-32)




inverso




notinisin

==+mk

mkk D

DM

)( )(

medido1 rrE

rrEEE (3-33)























M E k

E K f K

kf

T 1+kE
























sdot

==

sdot

==

minus

minusminus

minus


ψ

ψ

ψψ

~~

~~

11

11

1111

nEfnn

nEfnn

fDFTDFTDFTDFTff

EDFTDFTDFTDFTEE

MRR

MRR

I

I

(3-34)

(3-35)









1111



][][1

1111 minus

minusminusminus

minussdotsdot==


(3-36)

(3-37)











M E k

R f f k

E K f K

ψ~)(o kf~

F F ndash1

Fψ~)( sdoto

~ kE ER

1~

+kEF ndash1


F ndash1

F ndash1

M E k

R f f k

E K f K

kf~

F

F)(][ osdotCL

T

~ kE ER

1+kE


TF ndash1




























[64]


[30 sect19]






intinfin

infinminus


minus=minus= xdxxxE

xExE)(Im1)(Im)(Re

πH (3-38)





















|)(|)]([)]([|)(ln|

rErE

rErE

HH

=minus=

ϕϕ

(3-39)




























λλ

ϑ

λ ππβ

]11[ sin )(

)()()()( 22

abaa

uukx

xdexxdexkdxexkuE

nu

b

a

xujb

a

xujb

a

uxj

=prime=prime

minusisinrArr=isin=


prime

primeminusprime

prime

primeminusminus

Cf

fff n

F





dxexEuE xujb

a


(3-40)

















entera13



]1[

11|)0(|1|)0(||)(|

21

21

21 infin=cup


infin

kk

kk

zu

zuE

zuEuE

kkkkkik

(3-41)


prodsdot=

minusminus



)(

donde )()()()(

1 zB

kzBzE

zzzzzEzE

kk

kk

k

k (3-42)














sect19]




















Cisinminussdot=

minussdotminus

=sdotminussdotminus

rarr

minusminusminus

minusminusminus

minusminus

infinrarr

keez

ek

eab

zjeaeaeb

zjzE

abzjjazj

abzjzaj

zajzbj

z

1

1)()(

2)(

)()(2

1)(

)(222

)(22

22

ππγπ

ππ

ππ

ππ fff

ff (3-43)


isin=

isin

minus+

rarrinfinrarr C

Z

)()(

2

abe

n

abnz jzk

ffπγ

γ (3-44)












minusminus

prodsdot=Ω= k

kl

k zzzzzEz

1)()( (3-45a)



uzezzz

azj

minussdotsdotΩ

=Ξ)(ln

)(2π

(3-45b)








int

intint

intintint

infin

infinminus

prime

infin

infinminus

minus


primeminusprime


=primeΞminussdot=

=

primeprimeΞ+

primeprimeΞ=

primeprimeΞ=Ξ

uduu

euuP

ia

ieuui

dvuPdjia

uduzdzzdzuz

uajauj

jj

R

RRRR

)(ln

2)(

ln)(ln

)(ReRe

2)(ln


22

0

Semiciculo

ππ

πϑ

ϑ

πππ

ϑπ

f

f

C

(3-46)




auazuuduu

uuEPuEl

kk ππ

π2

2)(argarg2

)(ln)(arg

1



infin

infinminus =

f (3-47)





u

SPIC

-R RRez= u

Imz









[160])



desconocido





























xdxezzzz

zzi

xdxezzzz

zzixx

b

x

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

x

a

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

n

n


prodminus+


prodminusminus=

intsum

intsum

primeminus

ne

primeminus

ne

)()(

)()()()(

)(

2

2

2 2

22

)(

1

1

1 1

11

2

1

f

fff 1

(3-48)




rarrrarr

rarrrarr

minusminus

prodsdot=

)()()(

)()()( )()(

1analiacutetica

extensioacuten

11


zEuEx

zEuEx

zzzz

zEzEn

n

nF

F

f

f1

(3-49)









transformado

)()()()()()(11

xezzixxessxssss

ssss

zzzz xjz

kkjszxs

kkk

kk

k

kjsz

k

k kk-


+=minus+




a

xjzxjzk

x

a


1 ffffff 1-L














)()(

)()( xzE

xzE

minus rarrlarr

rarrlarrharr

harr

SD

SD

f

f

z

z

(3-50)
















































73 74 75 76 103]













































es uacutenica













































































)1()()( y

)1()()( 2

1

221||

0

1

1

0 ujk

N

k

nujujzkk

N

k

n ezCeuEen


=

sdot=minus

=minusprod==rarr

isinisin

minusprod== FFZ

C (3-51)










minusminus=minus

minus=minusrarr

minus

minuslowastminus

lowastminus

=

lowastlowast

minus

1fase1fase

|1||1|

)1( 1 en cero

)1( en cero22

221||

1

ujk

ujk

ujk

ujkz

kk

kk

ezez

ezez

zzz

zzzππ

ππ













zk

1zk

z2

z3

z5

z1

zN

|z|=1




























][][][][)( )1()()(21

10

01

1nfnfnfnnCxzzCzzzE

Nzzzk

N

k


=LδfF (3-53)










(3-54)






(3-55)


12 1arg221 )()1(

)1()(


lowast

= rarrminusminus

= zzjujk

ez

k

kk

kuj

eeBzzzz

zB ππ (3-56)














-2 - 1 0 1 2 n

-2 - 1 0 1 2 n

-zk

-zk

1

1

rarrminus

rarrminusminus

minus

lowastlowast

minus

1

1

)1( 1 en cero

)1( en cero 1

Z

Z

zzz

zzz

kk

kk























- 1 0 1 2 n

-z2 1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -1 0 1 2 3 n

-(z1+ z2+ z3)

1


-z1middotz2middotz3

f z2

f z1

f z3


-z2 1

- 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -2 -1 0 1 2 n


-z2


z1 middotz3 f 1z2

f z1

f z3

Variant e 1

-3 -2 -1 -2 -3 n



-z1

- 1 0 1 2 n

1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

1

-z2

-z3

f 1z2

f z1

f 1z3

Variant e 2

][][][)(21






NN

N

mnmnC

mnN

NN

N

zzzzzzzzzzz

zzzzzazazminus

neforall

minusminus




sum )()1()(1

)1()1(1)(

21)(

2121

111

11

LLL

LLF

(3-57)


121111



zzzzzzzzzz

i

NNiNii

LLLF

(3-58)




zzzzz

zzzzzzzzzzzzji

NNjiNjijiji

LLLF

(3-59)


121

11

)()1(

)()1(

)1()(

minusminus


lowastlowast

sdotsdot

minus+


minus=

zzz

zzz

zzzzzzzzz

zzz

li

NMN

liNliliM

liM

L

LL

LLLL

LF (3-60)























isin=


Z

i

i

zzznnn

E )( )(

donde )()()(21

21

z

nznzz n

n

fF (3-61)






)()(1

0 zzz nk

k

p

FF=











( (3-63)









2


lk

kl1 FFF(

α (3-64)















n1

n2

a

b 1

1 n1

a

b

1

1

n2

zndash2Fk (1z)




n1

n2

a

a 1

1 n1

a

a

1

1

n2

zndash2 Fk (1z)






de solucioacuten





























dimensiones



























2

2

1

1

2

222

1

111

~~

~~

~~~~~~

~~~~~~

GE

GE

GE

GE

GE

GE

=

=rArrsdot=

=rArrsdot=

ff

ff (3-66)








2

2222

1

1111

~~~~~

~~~~~

GE

BEE

GE

BEE

mm

mm

=rArrsdot=

=rArrsdot=

(2m)

(1m)

f

f

(3-67)




iguales

)()(~~

~~~~~

~~

~~~

212

663

1

22

2

2ambiguumledad de

hipoacutetesispor

1

663

1

11

1

1 zBzBBG

BEGE

BG

BEGE mm =rArr


ltgtminuslt

ffff (2m)(1m) (3-68)

Es decir

)()( 22

2

1

1

1 zB

zzzz

zzzz

zBn

n

nn

n

n=

minusminus

prod=minusminus

prod= (3-69)







=

=rArr==

22

1121 1)()(

EE

EEzBzB

m

m (3-70)




















equivalentes







magneacutetico


































diferentes















error [46 6])


















































































uEuE

uEuE uEuE(u)En

rn

r

nr

nr

nr

)(Re)(Im

)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(

2)1(2)1()(

Hminus=


(3-73)













020 )()()()( uxj







1)()()()(

))(()()()(

00

00

22

222

+++=

=++==

minuslowastlowast

lowastminuslowast

uxjr

uxjrrr

uxjr

uxjr

euEeuEuEuE

eEeEuEuEuEππ

ππ

(3-75)















amplitud A


)()()()(

0022

2222200

uxuEAuxuEAAuE

AeuEAeuEAuEuE

rrr

uxjr

uxjrr

ππ

ππ

sdot+sdot++=


(3-77)



















utilizar

2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|

))(cos(arg|)(|


uEuEAuEAuE

AuEuEuEuEuE

r

r

sdotminus+=

minussdotsdot

= (3-79)







infinito



sum intsum

=

infin

infinminus+

minus

= =+

=


partpartprime

minusprime

minus

partpart

=n

kn

n

k un

kk

n

un

kk

uduuu

uEuk

uuEPuuE

ukuuE

01

1

0 01

0 )(

)(lnRe

|)(|log)(lnIm

)(arg

π

(3-80)





















los pies)


















E(u)

u u

Apodizacioacuten

f (x)

F

E(u)lowastprod(uk)

F

D

S



















































































teoacuterico
























67 68 69 44 11 121]33

















arg

med1

argmed1

k

k

j

kfk

jkEk

e

ef

ffMf

M

sdot==

sdot==

+

+EEEE

(3-81)






























)()(2xj





MEE k

E N f N

kf

F1+kE


Mfk

f





2

)()( xjd



entre ambas

)()()(

)()()(22

2

221

11

2

21

1

xj-xj

xj-xj

euEexuE

euEexuE∆∆

∆minus∆

sdot=sdot=

sdot=sdot=

FFF

FFF

f

f (3-84)












generalizarse




M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

F F ndash1ej∆x2

M k2E


desenfoque ∆1

12

+kE



desenfoque ∆2






sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

HHHH

HHHH

EEHHE

EEHHE

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P (3-86)







sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

TTTT

TTTT

TT

TT

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P

EEE

EEE (3-87)






M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

P12

M k2E


campo sobre D1

12

+kE

P21


sobre D2













generalizacioacuten




M k1E

k2E

f N

E 1N

E 2N

1+kf

εltminus 1kkd ff

M k2E



sobre D1

T2-1


sobre D2

Rf kf

k1E

T1-1

T2 T1

kisinP knotinP

























f N

E 1N

E NN


T2-1 T1

-1

T2 T1

RE k1E

εltminus 1kkd ff

Rf kf RE k2E RE k

3E RE kNE

T3-1

T3

TN-1

TN


















ffff

ffmmmmmm

ffmmffmm

lllm

l

M

iilililm

EEEE

EEEEEEEE

EEEEEEEE

fEEfEfEEfk

sdotsdot+



=minus=sdotminus=

+

++

++

=

lowast sumsum sum

)(diag)(diag



)()()()(

222


22ξ

(3-88)












bastante juiciosas



















sumsum

sumsum

=

=

partpart

part

minusminus

part

part

part

partsdot=

partpart

part

part


part

part

1

2222

222

2

1

22

2)(

2)(

l

M

i jk

ilf

ilfilmj

ilf

k

ilf

jk

l k

ilfM

iilfilm

k

k

k

ff

EEE

f

E

f

E

fff

f

EEE

ff

ξ

ξ

(3-91)











imaginarias









k

ilf

k

ilf

k

ilf

b

Ej

a

E

f

E

part

part+

part

partequiv

part

part222

(3-92)



sdotΨ=part

part

sdotΨ=part

part


lowast

lowast

==sumsum

)(Im2)(

)(Re2)(

)()(2

2

11

ff

ff

ff i

Eb

E

Ea

E

bjaE

kk

kk

ii

N

ii

N

ii

(3-93)


)(2)(

2

ff

fE

Ek

k

sdotΨsdot=part

partlowast (3-94)


sumsumsumsum

sumsum

=

lowastlowast

=

lowast

=

sdotΨΨsdot=part

part

part

partsdotasymp

partpart

part


part

1

2

1

222

1

22

)(82)(

)(4)(

l

M

iililjilk

l

M

i j

ilf

k

ilf

jk

lililk

M

iilfilm

k

fEf

E

f

E

fff

fEEEf

f

ξ

ξ

(3-95)








2

diagdiag4)(

21)(

)(diag)(diagdiag4)(

TT

T


part=


+

+

ffjk

ffmmf

EEfff

f

EEEEEf

ξζ

ξ

(3-96)







λ( 0 ) =0001 2

2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ



















[ ]212

1 mmm

mm EEE

EE =

= (3-97)


[ ]21

2

1 TTTT

T =

= (3-98)








del meacutetodo






D f f n )( )()(1


rrrr CCn

N

nnE (3-99)


sumsumsumsum sum=

ne=

lowastlowast

== =


nn

N

n

N

n

N

mmnEE

1nnm1m

mn1n

nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22

1 1

rrrrrrr (3-100)


minus=isin=

isinΨΨ=Λ

realisin=

realisinΨ=Ω

sdotΛ+sdotΩ=sdot

lowast

lowast

+

+

prime

==

lowast sumsum

)(1

)()()(

||

|)(|)(

donde )( )()()(

2

2

2

NNk

EE

k

nn

n

n

N

nn

N

nn

C

C

mn

n

n

n

1n1n

ff

f

β

αβα

rrr

rr

rrrr (3-101)









sum=

lowast =ΓsdotΓM

nijji nn

1

][][ δ

(3-102)


sum=

sdotΓ=N

nnE1n

γ)()|(| 2 rr

(3-103)
















34 SUMARIO




























































dimensioacuten

IV VALIDACIOacuteN

EXPERIMENTAL





observacionesrdquo

Francis Bacon Libro


Organumrdquo


































aeacutereo









antena







01

088

y

z

x

x

10

04

088

04

D1

S

D2













































apertura seraacute

daNkprime

sdot=2max



2max sdot=Nk









usando (2-32) y (2-94)




2ltN2

kmaxkmax ky kx

1

Filtro


sdotΨminus=

sdotΨ==sdot=

xOy

yOxO

ME

ME~~~

~~~~~~ fΨE (4-1)






~~~IFFT~IFFT

~~~IFFT~IFFT

Oiyxx

Oixyy

HEMM

HEMM

Ψsdotminus==

Ψsdot== (4-2)









compleja de campo)






























sect323











5 10 15 20

0 dB

-5 dB

-10 dB

-15 dB

-20 dB


r(cm)

0

D1

D2

S2

45deg

237deg

a acute=111middotλ

z

D1(ampliado)

D2(ampliado)

dominios de

observacioacuten

ampliados

d=16 8 middotλ

d=42 34middotλ

0 44 m0 88 m









Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6

Tabla 41


















dominio ampliado



Tabla 42





































de moacutedulo




































Tabla 43







Hoenders4
























Tabla 44






































x2+y2lt00452

















Tabla 45


















originales






























la antena)
















contrapolar)










y

x1 m

1 m

xy

z

Eθ Eφ

Eθ

Eφ

Plano ϕ =0

Plano ϕ =90deg

54 m



































































moacutedulo

























































SECUNDARIO




































columna













8m

16

m

Srsquo

x

y

z

ϕ



ρ φ

y

ρ





























J1

J2

JN

hellip

J1

J2

JN

hellipequiv

Plan

o de t

ierra


Mequi equiv





















logariacutetmica


















imaacutegenes

sumsum sum= = =

minus+=

sdot=

minus=


i kk

jiij

ijij

kj

N

ji

kijky

dzz

zzyyxxJ1

M-DiM

1

21

1 21)1(

donde )( γβα

αα

δα (4-3)


dipolos reales





sumsum sum== =


iii

N

i

N

jijkjkijk

kiy yRGyyRGE

11 12

21 )( )()()()1()( ϕρββr

donde



minus

minus

2

222

2

221

)cos()()sin(

)cos()()sin(

MDiMjiij

MDiMjiij

dzyyxR

dzyyxR

ϕρϕρ

ϕρϕρ

(4-4)










sum=


iijiijx zzyyxxMM

1

)(δ

sumsum==

Ψsdot=sdot=xx N

iii

N

iiiy yM)(RGME

113 )( )( ϕρr

(4-5)








































(MPS-C)
























(MOCA)































(MPS-M)


















los dipolos reales






entorno al 3




































































204 Capiacutetulo V










estudio

























































electromagnetismo



206 Capiacutetulo V


eficiente




















































la trayectoria3














208 Capiacutetulo V




partes






radiador










S

J1

M1

z



radio Sonda


niveles relativos


sobre el radiador



















moacutedulo






Receptor


de fuentes Detector

logariacutetmico

210 Capiacutetulo V


complejo
















Receptor

oacuteptimo


de fuentes

Detector

logariacutetmico

Receptor

oacuteptimo

Detector

logariacutetmico

π2

ReE

ImE




Receptor

oacuteptimo Antena


Detector

logariacutetmico

ReE

H ImE




banda limitada5






















ruido








212 Capiacutetulo V





















+sdotminussdot+

+minussdot+

+sdot

M

M

)(

)(

)(

2

1

TMt

Tt

t

M ξβ

ξβ

ξβγsdotξ(Tm-t)


del maacuteximo

M

M

Mα

α

α

2

1



Modelo de error





=

η2EQPE (5-3)

















del maacuteximo

kαdt

T

sdotint0

)(o

ξ[n]

Q



del maacuteximo

kα

00

][

21 LLL Pk

k kNn

ξξξβ


P

i 1

)(o


ξ[n]

Q



214 Capiacutetulo V





el espacio E (3-2)


SECUNDARIO











































figura 4-39











216 Capiacutetulo V




























90 V

50

10

01 micros 08 microS

01 micros

22 ms

2 microsP1

8-22 micros

P2

P3



0rsquo8 micros







considerar el P3


















Deteccioacuten de


oacuteptima


fuentes radiantes

Sentildeales de


Antena



corrientes

218 Capiacutetulo V
























Reconstruccioacuten

de fuentes




Recepcioacuten


interrogacioacuten

SSR








Antena y filtro










vidrio

20 mm


285 mm 104 mm


(dieleacutectrico)




Cobre)

Placa de circuito

220 Capiacutetulo V

















Parche




50 Ω

50 Ω

s1

W1

s2

W2


L1

L1 = 397 mm

W1 = 355 mm s1 = 08 mm

W1 = 430 mm s1 = 49 mm
















Analizador de redes

80 cm

20 d

B

133 MHz

1030 MHz 1030 MHz

20 d

B

85 MHz

1030 MHz1030 MHz

Componente copolar

222 Capiacutetulo V






















1

2

3

4

5

6

7

8

VPOS

INHI

INLO

VPOS

VOUT

VSET

COMM

PWDN

AD 8313GND

GND

GND GND

5 V

5 V

SALIDA

ENTRADA (Adaptador)


10 Ω

10 Ω 01 microF


















285 mm

104 mm





SALIDA

224 Capiacutetulo V


























Osciloscopio


SINC


SINC

1030990 1070

100 mVdiv 2 msdiv


Esquema de medida



a) PT = 10 dBm

c) PT = ndash30 dBm

b) PT = ndash10 dBm

d) PT = ndash40 dBm



0

05

1

15

2

-40 -30 -20 -10 0 10 20


Tens

ioacuten

de sa

lida

(V)

V estable V rizado





alimentacioacuten


80 cm

SINC

226 Capiacutetulo V






























P1 normalizado

P2 normalizado


10


int sdotsmicro82

0)(

int sdotsmicro82

0)(




































228 Capiacutetulo V





0)79(1042

1080250()2

()22()2( 12

62

asymp=sdotsdot

sdotsdot==== minus

minus

QQNoEQ

NoEQdQP

oerr σ

(5-4)










3

12

6

1081)153(2)1022

1080010(100992)2(12 minus

minus

minus


sdot=

minus= QQdQ

MMP

oerr σ

(5-5)





sect44)



d2

057 radicT


Pulsos vaacutelidos

4025 10-4 6261 10-4



d2

a)


025 V P2

b)
































sentildeales SSR

DSP


Nivel del pulso

(correccioacuten)


PC

25 MHz

230 Capiacutetulo V











S1[n] = S1[n-1] - salida + m43


Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]








7 Volver a (2)

Tabla 5-1

TLC 5540

D1-D8

Reloj

Habilitar

Tierra

TMS320c6711

D0-D7

Reloj

Ctrl

Tierra

+5 V GND +5 V GND

Circuito detector

(AmpLog)

+5 V GND


Puerto paralelo

Conv

ersor

AD

DSP





























m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20


Entrada Salida

S1(n)

S2(n)



S1(n-1)


Pvaacutelido[1]

232 Capiacutetulo V




VI CONCLUSIONES Y

LIacuteNEAS FUTURAS




pararrdquo

Miguel de Cervantes




61 CONCLUSIONES





funciones modales








de corrientes





de dipolos de Hertz










fase


superficiales


236


























[58 49])























teacutecnicas





BIBLIOGRAFIacuteA



vol 83 pp 179-192 1956


vol 84 pp 237-238 1957









vol 25 no 8 pp 519-520 13th April 1989














Barcelona 1996


pp 362-368 April 1995













vol 350 pp 191-212 1976





1991


Ceselsa 1996









1997 pp 521-524











B-241




1984










pp 27-29 1978



vol 3 no 11 pp 1897-1907 Nov 1986




vol 39 no5 pp 76-81 Oct 1997



pp 41-53 1971








10-12 1977









1935






April 1982




1719-1725 Sept 1975




















B-243




vol 44 no 5 pp 701-710 May 1996







1993



Amer vol 60 pp 280-281 1970



134 1973



Mir Moscuacute 1990













784








148



26-30 1998 pp192-196



1998 pp1346-1343
















vol 55 pp 981-986 1965










B-245


IEEE vol 85 no10 pp 1526-1535 1997


pp 2094-2105 1998



Aug 1999






vol 58 pp 1233-1234 1968



















Revolucionaria 1972










Society 1934










49 pp71-80 1971








Elsevier 1990












B-247




21 Jan 1949



1988






536-541 Aug 1996


pp 385-391 March 1981








302 1926



292-295




1989





42 no 2 pp 184-195 Feb 1981















Portada

Cita

Agradecimientos

Contenido




Resumen de la tesis









25 Ejemplos

26 Sumario



32 PI con fase

33 PI sin fase



34 Sumario












61 Conclusiones


Bibliografiacutea

iii































iv
























devolvemos







v

Contenido




























vi



25 EJEMPLOS 53








26 SUMARIO 76

























vii












34 SUMARIO 147























viii














61 CONCLUSIONES 235



ix



retina del ojo 6





























x











diferente 117




























(MPS-C) 192



xi





complejo 210


moacutedulo 212


moacutedulo 213



























conexiones 230


xiii





















xiv






















xv





)(zkF(


(



k

kTt )(ξ




















xvii






























xviii









discuten



I INTRODUCCIOacuteN











las demaacutesrdquo



Introduccioacuten 3


































4 Capiacutetulo I




































Introduccioacuten 5




































6 Capiacutetulo I









































Introduccioacuten 7































indistinguibles






8 Capiacutetulo I



hasta el observador








en detalle














S

ε 2 micro 2

qe qm

J

M D

ε 1 micro 1

x

y

z

x

Problema directo

Leyes de Maxwell

Problema inverso


S

D y

z

ET

ε 1 micro 1

Introduccioacuten 9
































verdaderas fuentes


10 Capiacutetulo I


























moacutedulo












superficies




























II PROLEMA ELECTRO-
















and magnetismrdquo































S

ε1 micro1

qe qm

J

M D

ε2 micro2

x

y

z

16 Capiacutetulo II



m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


B

D

DJH

BME

(2-1)

m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


H

E

EJH

HME

microε

ε

micro

(2-2)


0

0

=part

part+sdotnabla

=partpart

+sdotnabla

tqtq

m

e

M

J

(2-3)



e

e

qt

qt

nabla+part


partpart

minusnabla

nabla+partpart


minusnabla

microεmicroε

εmicromicroε

1

1

22

22

MJ

tH

H

JM

tE

E

2

2 (2-4)




0

0

22

22

=partpart

minusnabla

=partpart

minusnabla

2

2

tH

H

tE

E

microε

microε (2-5)







m

e

qqjj



B

E

EJH

HME

microε

ϖεϖmicro

(2-6)0

022

22

=+nabla

=+nabla

HH

EE

β

β (2-7)



















ε (2-9)









es decir











18 Capiacutetulo II






ϖmicroεω jjF

(2-16)



primeminus

=+nabla

primeminus

=+nabla

SS

SS



22

22

rMFF

rJAA

εβ

microβ

(2-17)






)(4)(

)(

rrrr

rr

minus=prime

minusminus

ReG

Rj

π

β (2-19)



problema





S

J

M

R=r-rrsquo

rrrsquo

z

x y


)()()(

)(4

)()()(

)()()(

)(4

)()()(

)(

)(

rrMrr

rMrrrMrF

rrJrr

rJrrrJrA

rr

rr

GvdRevdG

GvdRevdG

Rj

VV

Rj

VV

lowast=primeminus


lowast=primeminus


minusminus

primeprime

minusminus

primeprime

intintintintintint

intintintintintint

επεε

microπmicromicro

β

β

(2-20)





)(~)(~)(~)(~)(~)(~

rrMrF

rrJrA

G

G

sdot=

sdot=

ε

micro (2-21)











AFAFFH

FAFAAE

timesnabla+

nablanabla


timesnablaminus

nablanabla


microβω

microϖmicroεω

εβω

εϖmicroεω

111)(1

111)(1

2

2

jjj

jjj (2-22)






β 2=βx2+βy





20 Capiacutetulo II






























deben ser









homogeacuteneos

















Js=0

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

Conductor

eleacutectrico

d)

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn H1

Ms=0

0 0

Conductor

magneacutetico

e)

S

E1 H1

ε2 micro2

J1

M1

E1 H1

a)

ε1 micro1

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn (H1-H)

Ms=- timesn (E1-E)

E H

b)

ε2 micro2

Js= timesn H1

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

c)

ε1 micro1

22 Capiacutetulo II
















FE

AE

M

J

timesnablaminus=

nablanabla

+minus=

ε

βω

1

1 2j (2-26)









231 Fuentes reales3






vdR

ejvdGjRj

VV

primeminus

sdotprime

nablanabla


nablanabla

+minus=minusminus


)(1)()(1)(

22 rrrJrrrJE

rr

J πβωmicro

βωmicro

β (2-27)



vdJJJ


EEE

Vz

y

x

zJ

yJ

xJ

primesdot

primeprimeprime

sdot




intintintprime )(

)()(

))(()())()(())()(())()(())(()())()(())()(())()(())(()(

22122

22

212

222

21

r

r

r

siendo RjeR

RRjjG βββ


minus=primeminus 3

22

211

4)( rr Rje

RRβRjj


minus=primeminus 5

22

2233

4)( rr

(2-28)







S J

D x

y

z

24 Capiacutetulo II


TJ

VJ RGRGvd (2-29)














sdR

esdGRj

SSM prime

minus



)()()()(

rrrMrrrME

rr

π

β (2-31)



sdMMM

xxyyxxzz

yyzzRGsdRG

E

EE

Sz

y

x

SzM

yM

xM

primesdot

primeprimeprime

sdot





)()(

0)()()(0)()()(0

)()()()( 33

r

r

r

rMrr

siendo RjeR

RjG ββ

πminus+

=primeminus 331

41)( rr

(2-32)

S

D x

y

z

M



Green GM




prime 0)()()(0)()()(0

)()( con )()( 3

xxyyxxzz

yyzzRGvd M

VMM rrGrMrrGE

(2-33)









)()( vdV


rrrGE f (2-35)





[ ] [ ][ ]

==

M

JrGGG )( fMJ (2-37)







infinminus

infin

infinminus

GGE (2-38)

26 Capiacutetulo II


GEEEE FFFFF (2-39)

Y en consecuencia

f~)(~)(~)( 10

1 sdotminus== fo-

xy-




ϕρϕρϕρϕρ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕρ





minus=


sin sin cos cos con

1000cossin0sincos

)(1000cossin0sincos

)( donde

)()()()(

yyxx

zzyyxxz

zdddzzzz

o

Vzoo

GG

GE f

(2-41)







0sincos


)( 0cossin


)( donde

cos)()()()(

θϕϑϕϑθθ


ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθϕθ


rzryrx

zyxr

ddrdrrrrrVr

oo

=sdot==


sdotsdot

minusminus=


GG

GE f

(2-42)


y espectrales




y )( )()( con

111

111

111

)(

111

111

111

)( donde

)(

)()()()(

321

321

321

321

333

222

111

)(

primepartpart

=primepart

part=

primepartpart

====

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

sdotsdot

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

=



isinprimeprimeprime


ληξ

ληξ

ληξ

λλλ

ηηη

ξξξ

ληξ

ληξληξ


rrr

GG

GE

hhhzzyyxx

zh

zh

zh

yh

yh

yh

xh

xh

xh

zyx

zh

zh

zh

yh

yh

xh

xh

xh

xh

dddzyx

Voo f

(2-43)




















)(44

4

)(44

4

cos

cos

ϕθπε

πε

πε

ϕθπmicro

πmicro

πmicro

βψβ

ββ

βψβ

ββ

LMMF

NJJA



minusminus

minusminus

minusminus

minusminus

intintintint

intintintint

resde

reds

Re

resde

reds

Re

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

(2-45)

28 Capiacutetulo II



sdesde

sdesde

S

rj

SS

rjS

S

rj

SS

rjS



intintintint

intintintintprime

minusminus

primeminusminus

cos

cos

)(

)(

rr

rr

MML

JJN

βψβ

βψβ

ϕθ

ϕθ (2-46)




ϕθϕθϕθϕθ

sinsinˆcossinˆˆ


primesdot


yxxryyxx

yrxr rrr

r (2-47)



SSyx

vyuxj

S

SSyx

vyuxj

S

yxdydxevu

yxdydxevu

MMMLL

JJJNN

~)()()(

~)()()(

)(

)(

==sdot==

==sdot==

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

int int

int int

F

F

β

β

ϕθ

ϕθ (2-48)




ψ

R

r rrsquo

z

x y








congsdotminuscong



congsdotminuscong

)0 (con

ˆ1ˆ1

ˆˆ1

)0 (con

rM

JJ

MM

rJ

Hj

j

j

Ej

FH

ErArAH

HrFrFE

AE

ϖηη

ϖmicro

ηϖηε

ϖ (2-49)




η


πβηϖ

β

ϕ

ϑ

ErHTE

FrA

times=sdot=

sdot

minusminussdot

minus=times+minus=

minus

ˆ y ~

~~~~


4 )ˆ(

fCL

y

x

y

xrj

MMJJ

rejj

EE

(2-50)




rrsquo

r

ϕ θ J

M

x

y

z

uv

Dominio

lejano de

observacioacuten

1

1

ϕ

Plano de

las fuentes Plano

tangente a la


30 Capiacutetulo II



































entorno




a) Modos planos



zjyxPxyyx

yjxjzjyxP

y

xT


πsdot=sdot=

= minus

infin

infinminus

infin


)2(1 1

2 MME F


(2-51)

Y por tanto

)()()()()(~ )( 222

zfezz yxPyxPzj


MMEE F (2-52)













= minus

minus

∆ )(~~ 1

ββf (2-55)



minusprime=

minus

∆sdot∆=

=

minus

∆minus 0110

)(0110

)(~)(

)(~3

1

yxPzzyx

OyxPOyxPzfM f

Gzf

zf ββββ

ββββGP (2-56)

32 Capiacutetulo II







)()()()(21

)()(

)(0

)()(

)()(

21)(

1

)2(2

)2()2(

)2()2(

zCzzjjn

nzC

zjjn

z

z

n

n

nzn

nzn

z

nndeenn

deenbna

H

HnH

HjHjn

EEE

z

z

z

βρββρπ

βββ

ρβββ

ρββρ

βρ

ρβρ

ρβββ

ρβρ

πϕρ

ϕβϕ

βϕ

ρρ

ρρ

ρρ

ϕ

ρ

MHMH

E

sdot=sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

minus

minus

part

partpart

partminus

=

=

minusinfin

minusinfin=

infin

infinminus

infin

minusinfin=

infin

infinminus

sum int

sum int

F


(2-57)




sum int

int intinfin=

minusinfin=

infin

infinminus


infin

infinminus

minusminus∆

===

===

n

nz

zjjnzzzz

zjjnzzz

deezXnXnXzX

dzdeezXzXzXnX

z

z

βϕπ

ββϕ

ϕϕπ

ϕϕβ

βϕϕϕ

πβϕ

ϕϕ

)(21)(~)(~)(

)(21)()()(~

1111

2

0

FFFF

FFFF (2-58)


[ ] )(~)(

)()()(~

1OOC

Cz nz

ρρ

ρβϕρ ρϕ

EHM

MHEEminus=

sdot== F


minus

minussdot

minus 2131

2232

22313221 001

HHHH

HHHH

(2-59)










eleacutectricos




)()(

)()(

sin)(

)(1)()(

)()(1

sin)(

)(

)()()1(

0

)()()(

1

1

)2()2(0

)2()2(0

)2(

mnmnr

mnbmna

jmYrrh

drd

rY

rh

Yrrh

drd

rYm

rh

Yrhr

nn

rErErE

en

n

nme

n

n

nm

nmn

nmn

nmn

nmn

nmnr

MH sdot=

sdot

partpart

partpartsdot

+

=

sum sum

sum sum

infin

= minus=

infin

= minus=

ϕϑ

ϑϕϑ

βθ

ϕϑββη

θϕϑ

βϑ

ϕϑββη

ϕϑβ

ϕϑϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

donde )(cos)()(

412)( θ

πϕθ ϕ m

njm

nm PemnmnnY sdot

+minus+

=

(2-60)







ϕϑπ π

ϕ

ϑ ddrErE

rO

OOeTe sdot

= int int minus

0

2

0

1

)()(

)]([HM (2-61)












34 Capiacutetulo II

sumforall

sdot==times TEmodos

ˆTESSTSn MHEM

[ ] ( )[ ]sumforall


ˆTTMSTSSTS

jjn MHEHJ

βηβη

(2-62)







los dos modos

minus=minus=

==

)(

)(~~

)(~~

z

z

SCSz

zSbzCSz

nbna

EM

nbHEM

β

β

β

ϕϕ

ϕ

H

(2-63)





sdot==times sum sum

infin

= minus= 0)(

)(ˆ1

mnamnrn

Sn

n

nmeSTS ϕϑHEM

[ ] sum suminfin

= minus=


1 )(0

)(ˆn

n

nm SeTSSTS mnb

mnrjjn ϕϑβηβη

HEHJ

(2-64)




representaciones







sumsumforallforall


MHGE f (2-65)


























2222zyx ββββ ++= (2-66)



36 Capiacutetulo II























2 )frac12 Es decir



zjyxyxzyxzyxj




βx βy

βz β






habiacutea afirmado



ξξ

λξξhh

rr

rmiacuten 21

=sdot∆=partpart

sdot∆=∆ (2-67)








χλξ













38 Capiacutetulo II


















aii


min

βχβ =forall ii

max χ

λ2

minnteindependie

=∆forall ii

u

auii=

forallmax


βx βy

βz β


J

x y

z a

J

J

Espacio fiacutesico

( ) 22

164sortogonale

sfrecuenciaN

==

deg

λχπ

πβχπ a

a

22

162

4sortogonale

puntosN

==

deg

λχπ

χλπ aa














ne=ne


jimrmnr

N

nje

n

nmie 0

0)()(

1 ϕθϕθ HH (2-69)


sdot=

sdot=

sum sum

sum sum

= minus=

= minus=

1

11111

)()(

)()(

N

nmn

n

nmNNomneNNo

N

nmn

n

nmomneo

Mrr

Mrr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HE

HE

M (2-70)


0)()()(

)()(

111

11111

ne= o

oNeNNoe

oNeoe

rfrr

rr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HH

HH

L

MOM

L

(2-71)










40 Capiacutetulo II






χλad
















Ddad λθλ 2arctan



















χλξ

ξξξ

ξ ξ ahr

2)(

=partpart

∆=∆rArr∆

partpart

=∆r

rrr (2-74)


=∆

=∆

rArr∆partpart

+∆partpart

=∆

χληξ

η

χληξ

ξ

ηη

ξξ

η

ξ

ahr

ahr

2)(

2)(

rrr (2-75)





=

==

equivrArr

∆+=

∆+=

minusminus )(

)()(

22

11

11

122

1

MMMMM ξ

ξξ

ξξξ

ξξξξ

rr

rr

rr

MMD (2-76)


)( con

21

22221

11211

11

112

1

11

112

1

mnmn

MMMM

M

M

MMMMMM

vξ

ηηη

ηηηη

ξξξ

ξξξξ

ηξξξ

η

η

ηηηξξξ

rr

rrr

rrr

rrr

=

equivrArr

∆+=

∆+=

∆+=

∆+=


MOMM

L

L

MMD (2-77)




=

)(

)( 1

MrE

rE


=)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rErE

rErE

E

K

MOM

K (2-78)

42 Capiacutetulo II








prime

prime

=)(

)( 1

Mr

r

f

f


primeprime

primeprime

=

primeprimeprime

prime

)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rr

rr

ff

fff

K

MOM

K (2-79)







summinus

minus=N













summinus minus

minus=

N

N nu

nun uu

uuuu

)()(sin

)()(max

max

ββ

EE (2-81)
































u βu Um

2πUm

π Um

Distorsioacuten

44 Capiacutetulo II














tanto

=prime

εα 1ln1

minR (2-82)



1 )-(1 )( 22z



[ ] [ ] 2

min

22

min 21ln

11ln

1

+=

sdot

+=RR

λπ

εβ

εχ (2-84)








min0

2

21

min

RdeE R

eva == intinfin


22

2

minmin

RedeE

RR

trunc

α

α


prime

minus == int



[ ] 2

21ln

1

sdot+=

nπε

χ (2-85)




[ ] 32

9631ln

1

+le

Dλε

χ (2-86)


















46 Capiacutetulo II






















12

3

4

5

6

7

8

9

12

3

4

5

6

7

8

9

λ4 λ4


















radio a+δ




prime+prime+prime=

+

=2

22

22

min 2ln1)(16min

)()(16min

δπεδπ

λδχδπ

δδaaN (2-87)







δ a


ampliada

Objetoradiante

48 Capiacutetulo II









sup min

2


)()(4min Na

aN sdot=

prime+prime+prime=

+

= πδπεδπ

λδχδπ

δδδ (2-88)













a = 18 a = frac14

a = frac12

a = 1

a = 2

a = 8

a = 4








de la figura 2-15b)






δλ








50 Capiacutetulo II







sum

sumintintint sum

= prime

prime

primeprime

primeprime

=prime

ge

=


sdot


=

=sdotprimeminus=


N

n nn

nn

nnnnnn

nnnn

N

nnn

V

N

nnn

GGGG

EE

vd

1

1

Desencial

1

)()(

)()()()(

)()(

)()()()(

ηξηξ


ηξηξ

δ

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff









=

primeprime

primeprime

primeprime

primeprime

sdot

=

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

)()(

)()(donde

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

11

111111

11

11

11

11

NNMMUUMMUU

NNUUUU

VU

NN

NN

MM

MM

vuvuGvuvuG

vuvuGvuvuGG

GG

GG

E

EE

E

L

MOM

L

M

M

M

M

ηξ

ηξηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

ηξ

η

η

ξ

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

η

ξ

ξ

f

ff

f

(2-90)



del campo

[ ][ ]

[ ][ ]

=

=

=

sdot=

prime

prime

primeprime

primeprime

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff

fT

fT

donde

GG

GG

EE

E

E

(2-91)






ff

ff sdot=equiv

sdot

=sdot=

sum=

TE

E

E

11

1

11

1

1

NNM

N

M

N

nn

M

MM

L

O

L

MM

Ψ

Ψ

Ψ

ΨΨ (2-92)










sdot



=)(

)(

)()(

)()()()(

11

11

221212

111111

NNNNNNNN

NN

NN

yx

yx

yyxxyyxx

yyxxyyxxyyxxyyxx

f

f

M

L

LOM

L

L

GG

GG

GG

E (2-93)




ff

ff

~~][][

)(][)(][][1 11

sdot=lowast=


OO

Nx

nmn

Ny

mmininn

N

ppipi

IDFTmnmn

yxyyxxyxyyxxmn

ΨΨ

GGE (2-94)






sdot=

sdot=

][~][~][~][~

][][

][

mnMmnMmnJmnJ

mnEmnE

DFTmn

y

x

y

x

CLCL TTEθ

θf (2-95)

52 Capiacutetulo II














representado



















C 1


lowastlowastM

mmm

T EEEEEE (2-96)




distancia

( )

( ) 2121

21

111

21

21

- d

EEEE

EEEEEEE

=

realisin

=sdot== sum

=

lowastlowastM

mmm

T

(2-97)

(2-98)









25 EJEMPLOS












54 Capiacutetulo II

























Jϕ Mϕ

Jθ Mθ

z

x y

a


















r rsquo= (0 0 0) (04 0 0) (-03 0 02) (0 03 0) (0 -04 0)

(0 0 03) (0 0 -03) (02 02 02) (-02 -02-02) (02 -01 02)

J = (1 1 0) (1 0 1) (0 2 1) (0 -1 -2) (1 0 1)

(2 0 -1) (0 0 2) (0 3 1) (1 -2 2) (-1 1 -1)








56 Capiacutetulo II

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

zJzyJzxJz

zJyyJyxJy

zJxyJxxJx

MM

MMMMMJ

zyxJ

zN

z

yN

y

xN

x

zJyJxJ

zJyJxJ

M

M

GGG

GGG

GGG

J

JJ

JJ

J

GGG

GGG

E

EE

E

0cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

donde

11

11111

interior

interior

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕϕ

θθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

MM

MMM

M

M

M

M

M

T

T J

(2-99)




28) (2-32) (2-37) (2-42) y (2-90)

[ ][ ][ ][ ]

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

primeminus

primeminus

primeprime

primeprime

sdot

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime



0

0

sin

sincos

cos

sincos

sincossin

sin

coscos

coscos

cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

1

111

111

11

11111

tetraedro1

1

T

N

T

N

T

NN

T

N

T

NN

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

MM

MMMMM

MMJJ

MMJJ

M

M

GGG

GGG

GGG

GG

GG

MMJJ

GGGG

GGGG

E

EE

E

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕθ

ϕθϕ

ϕ

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕθϕ

ϕθθθ

ϕθ

θ

θ

κ

θ

ϕϕθϕϕϕθϕ

ϕθθθϕθθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

M

MM

MM

MM

MMM

M

M

fT

En definitiva

sdotsdotexistrArr

sdot

sdot

=

tetrint

tetraedro

interior

min ϕθϕθ

ϕθϕ

θfTTf

fT

T

f zyxJ

zyxJ

dEE

J

J





(2-100)

(2-101)



el plano θ =π2












χ 1 15 2 3 4 5 6 7 ε () 8 27 12 04 02 016 01 008








z

x y

a


Dominio circular de

observacioacuten

ϕ

Eϕ

Eθ

58 Capiacutetulo II


corrientes












60 Capiacutetulo II











Tabla 22




distribuciones es

EJθ = 702 EJϕ = 390 EMθ = 1379 EMϕ = 2244










62 Capiacutetulo II
















discretas







corrientes








1

yJ

yN

y

yJ

yJ

JJ

J

G

G

EE

sdot=

sdot

=

prime

prime

TM

η

ξ

η

ξ (2-103)












155 m8 m


64 Capiacutetulo II

















Ex

y

z

x

Dominio

vertical de

observacioacuten

Dominio

horizontal de

observacioacuten

ϕ Ey

Eϕ

Ey

My

Mx

MT=n x ET

JT=0

a) Problema real

ET

HT MT=n x ET

JT=n x HT


MT=2(n x ET)





sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

prime

prime

prime

yJy

yJx

yJz

MMJyJ

yN

y

yJy

yJ

yM

y

M

G

G

G

I

JJ

J

G

G

E

EE

E

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MMM

M

M

TT

(2-104)



sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

primeprime

prime

prime

0

0

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

1

xMy

yMx

yMzxMz

MMMyM

yN

y

xN

x

yMy

yM

yM

y

M

G

G

GG

I

J

M

M

M

M

G

G

E

EE

E

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MM

M

M

M

M

TT

(2-105)




















66 Capiacutetulo II

















68 Capiacutetulo II






















χv=1rsquo916




χv=3rsquo832






















70 Capiacutetulo II





a detectarse









para Ex =11rsquo5



























72 Capiacutetulo II




=0rsquo22






















74 Capiacutetulo II
















deg==sdot

===∆

deg==sdot

===∆

947 rad13805141

2913022

8961 rad016550118

2913022)2sin(

vv

hh

aarr

aarr

χλ

χλθ

χλ

χπλϕ



















76 Capiacutetulo II



26 SUMARIO









funciones de Green
































una superficie dada



ldquoEl camino

hacia arriba

y el camino

hacia abajo

es uno y el

mismordquo

Heraacuteklitos

de Efesos




























































11

1 minusminus == nE-







M E k

REE k f k

R f f k E k+1T

T -1

dE k E k-1ltε

E 0

E K f K

































intercaladas















































































por tanto provecho














de observacioacuten

mm

M


sdot= realisinsum

=


21212121 CEEEEEEEE (3-3)




( )

( ) +

+

=

lowast+

realisin=

realisin

=sdotsdot== sum

- d

2121

21

111

21

21

EEEE

EEEEEEEM

mmmmππ

(3-4a)

(3-4b)




















( ) ( ) ( ) 21)(-)(-)(-)()( fffff fm



( ) ( )ffmffmmm

fmfmd

EEEEEEEE

EEEE


sdotsdot=++++

+

πππππ

)(

--)(2 f

(3-6)


= f +middot T +


Llamando a




=sdotsdot=rArr

isin=sdotsdot

isin=sdotsdot

realisin=sdotsdot+

+

++

+

mN

m

m

NxN

Nm

mm

bb

k

EΨ

EΨ

EE

EE

1

Mπππ

π

ζ

T

TT

T

C

C (3-8)

































sdotsdot+sdotminus=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζ

Re2

)()( si

2

T

T

M

bk

bbkd (3-10)

Im2

)()( si

2

sdotsdot+sdot+=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζT

T

M

bjk

bbkd (3-11)


Im02Im2)( si

Re02Re2)( si 12

12

minus

minus



ζζ

ζζTTTTM

TTTTM

bjbjd

bbd

ffff

ffff

(3-12)

(3-13)








][ (3-15)






























































)()()()1( iiii psdot+=+ λff (3-20)






(3-18)





















ij

d

ddji

ji

jiji

neforall

gt=nablalt

gt=nablanablalt


0)(

0)()(

0

)()(2

)(2)(2

)()()()(

p

pppp

f

ff

TTTT π (3-23)




sdotminus=rArr

+

+

)0()0(

)0()0(2

)0()0(

)0( )(R

RdR m

ππ

TTf

fTf

p

E (3-24)




)()()()1(

)()()1(1)()(1

2)(

2)1(

)(2)(

2)(

)(

kkkk

kkk)(kkk(k))(k

k

k

k

k

k

k

pRR

pRpp

R

R

p

R

sdotminus=

+sdot=+=

sdot

sdot=

sdot

sdot=

+

++++

+

+++

T

Tff

T

T

T

T

λ

βπλ

π

πβ

πλ

(3-25)



minusnablaminus +

iaconvergencla de



































entre 0 y 1 (0leλle1) [29 105 106]




kkk

kkk

fff

fff

minussdot+=

minus+sdot=+

)1(1

II

λ

λλ (3-27)

































































=rArrsdot= minus

oo DFT

ΨE

ΨE ~~

~~~ 1ff (3-29)




























( )zJM ˆ

~~

sincoscoscoscossin

)(ECM

~~

cossinsincoscoscos

)(ECE

timessdot=rArr

sdot

minusminus

sdot=

rarr

sdot

sdot=

rarr

η

ϕϑϕϑϕϕ

η

ϕϕϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

y

x

y

x

JJ

rfEE

MM

rfEE

(3-31a)










magneacutetica




)~(~ 0110~~ ~~

~~~

1~~

~~

zJJMJJG

GM r timessdot=sdot

minus

sdot= rarrsdot


xyJxxJ

yyJxyJ

xyMM

J

GGGG

G

(3-31b)










































expresarse como

le+

== primeisin

== ++ resto0

~~~

resto0)(

222

11

δβββ yxkkEk

kkfk

S EEE

rrR

ffRf (3-32)




inverso




notinisin

==+mk

mkk D

DM

)( )(

medido1 rrE

rrEEE (3-33)























M E k

E K f K

kf

T 1+kE
























sdot

==

sdot

==

minus

minusminus

minus


ψ

ψ

ψψ

~~

~~

11

11

1111

nEfnn

nEfnn

fDFTDFTDFTDFTff

EDFTDFTDFTDFTEE

MRR

MRR

I

I

(3-34)

(3-35)









1111



][][1

1111 minus

minusminusminus

minussdotsdot==


(3-36)

(3-37)











M E k

R f f k

E K f K

ψ~)(o kf~

F F ndash1

Fψ~)( sdoto

~ kE ER

1~

+kEF ndash1


F ndash1

F ndash1

M E k

R f f k

E K f K

kf~

F

F)(][ osdotCL

T

~ kE ER

1+kE


TF ndash1




























[64]


[30 sect19]






intinfin

infinminus


minus=minus= xdxxxE

xExE)(Im1)(Im)(Re

πH (3-38)





















|)(|)]([)]([|)(ln|

rErE

rErE

HH

=minus=

ϕϕ

(3-39)




























λλ

ϑ

λ ππβ

]11[ sin )(

)()()()( 22

abaa

uukx

xdexxdexkdxexkuE

nu

b

a

xujb

a

xujb

a

uxj

=prime=prime

minusisinrArr=isin=


prime

primeminusprime

prime

primeminusminus

Cf

fff n

F





dxexEuE xujb

a


(3-40)

















entera13



]1[

11|)0(|1|)0(||)(|

21

21

21 infin=cup


infin

kk

kk

zu

zuE

zuEuE

kkkkkik

(3-41)


prodsdot=

minusminus



)(

donde )()()()(

1 zB

kzBzE

zzzzzEzE

kk

kk

k

k (3-42)














sect19]




















Cisinminussdot=

minussdotminus

=sdotminussdotminus

rarr

minusminusminus

minusminusminus

minusminus

infinrarr

keez

ek

eab

zjeaeaeb

zjzE

abzjjazj

abzjzaj

zajzbj

z

1

1)()(

2)(

)()(2

1)(

)(222

)(22

22

ππγπ

ππ

ππ

ππ fff

ff (3-43)


isin=

isin

minus+

rarrinfinrarr C

Z

)()(

2

abe

n

abnz jzk

ffπγ

γ (3-44)












minusminus

prodsdot=Ω= k

kl

k zzzzzEz

1)()( (3-45a)



uzezzz

azj

minussdotsdotΩ

=Ξ)(ln

)(2π

(3-45b)








int

intint

intintint

infin

infinminus

prime

infin

infinminus

minus


primeminusprime


=primeΞminussdot=

=

primeprimeΞ+

primeprimeΞ=

primeprimeΞ=Ξ

uduu

euuP

ia

ieuui

dvuPdjia

uduzdzzdzuz

uajauj

jj

R

RRRR

)(ln

2)(

ln)(ln

)(ReRe

2)(ln


22

0

Semiciculo

ππ

πϑ

ϑ

πππ

ϑπ

f

f

C

(3-46)




auazuuduu

uuEPuEl

kk ππ

π2

2)(argarg2

)(ln)(arg

1



infin

infinminus =

f (3-47)





u

SPIC

-R RRez= u

Imz









[160])



desconocido





























xdxezzzz

zzi

xdxezzzz

zzixx

b

x

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

x

a

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

n

n


prodminus+


prodminusminus=

intsum

intsum

primeminus

ne

primeminus

ne

)()(

)()()()(

)(

2

2

2 2

22

)(

1

1

1 1

11

2

1

f

fff 1

(3-48)




rarrrarr

rarrrarr

minusminus

prodsdot=

)()()(

)()()( )()(

1analiacutetica

extensioacuten

11


zEuEx

zEuEx

zzzz

zEzEn

n

nF

F

f

f1

(3-49)









transformado

)()()()()()(11

xezzixxessxssss

ssss

zzzz xjz

kkjszxs

kkk

kk

k

kjsz

k

k kk-


+=minus+




a

xjzxjzk

x

a


1 ffffff 1-L














)()(

)()( xzE

xzE

minus rarrlarr

rarrlarrharr

harr

SD

SD

f

f

z

z

(3-50)
















































73 74 75 76 103]













































es uacutenica













































































)1()()( y

)1()()( 2

1

221||

0

1

1

0 ujk

N

k

nujujzkk

N

k

n ezCeuEen


=

sdot=minus

=minusprod==rarr

isinisin

minusprod== FFZ

C (3-51)










minusminus=minus

minus=minusrarr

minus

minuslowastminus

lowastminus

=

lowastlowast

minus

1fase1fase

|1||1|

)1( 1 en cero

)1( en cero22

221||

1

ujk

ujk

ujk

ujkz

kk

kk

ezez

ezez

zzz

zzzππ

ππ













zk

1zk

z2

z3

z5

z1

zN

|z|=1




























][][][][)( )1()()(21

10

01

1nfnfnfnnCxzzCzzzE

Nzzzk

N

k


=LδfF (3-53)










(3-54)






(3-55)


12 1arg221 )()1(

)1()(


lowast

= rarrminusminus

= zzjujk

ez

k

kk

kuj

eeBzzzz

zB ππ (3-56)














-2 - 1 0 1 2 n

-2 - 1 0 1 2 n

-zk

-zk

1

1

rarrminus

rarrminusminus

minus

lowastlowast

minus

1

1

)1( 1 en cero

)1( en cero 1

Z

Z

zzz

zzz

kk

kk























- 1 0 1 2 n

-z2 1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -1 0 1 2 3 n

-(z1+ z2+ z3)

1


-z1middotz2middotz3

f z2

f z1

f z3


-z2 1

- 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -2 -1 0 1 2 n


-z2


z1 middotz3 f 1z2

f z1

f z3

Variant e 1

-3 -2 -1 -2 -3 n



-z1

- 1 0 1 2 n

1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

1

-z2

-z3

f 1z2

f z1

f 1z3

Variant e 2

][][][)(21






NN

N

mnmnC

mnN

NN

N

zzzzzzzzzzz

zzzzzazazminus

neforall

minusminus




sum )()1()(1

)1()1(1)(

21)(

2121

111

11

LLL

LLF

(3-57)


121111



zzzzzzzzzz

i

NNiNii

LLLF

(3-58)




zzzzz

zzzzzzzzzzzzji

NNjiNjijiji

LLLF

(3-59)


121

11

)()1(

)()1(

)1()(

minusminus


lowastlowast

sdotsdot

minus+


minus=

zzz

zzz

zzzzzzzzz

zzz

li

NMN

liNliliM

liM

L

LL

LLLL

LF (3-60)























isin=


Z

i

i

zzznnn

E )( )(

donde )()()(21

21

z

nznzz n

n

fF (3-61)






)()(1

0 zzz nk

k

p

FF=











( (3-63)









2


lk

kl1 FFF(

α (3-64)















n1

n2

a

b 1

1 n1

a

b

1

1

n2

zndash2Fk (1z)




n1

n2

a

a 1

1 n1

a

a

1

1

n2

zndash2 Fk (1z)






de solucioacuten





























dimensiones



























2

2

1

1

2

222

1

111

~~

~~

~~~~~~

~~~~~~

GE

GE

GE

GE

GE

GE

=

=rArrsdot=

=rArrsdot=

ff

ff (3-66)








2

2222

1

1111

~~~~~

~~~~~

GE

BEE

GE

BEE

mm

mm

=rArrsdot=

=rArrsdot=

(2m)

(1m)

f

f

(3-67)




iguales

)()(~~

~~~~~

~~

~~~

212

663

1

22

2

2ambiguumledad de

hipoacutetesispor

1

663

1

11

1

1 zBzBBG

BEGE

BG

BEGE mm =rArr


ltgtminuslt

ffff (2m)(1m) (3-68)

Es decir

)()( 22

2

1

1

1 zB

zzzz

zzzz

zBn

n

nn

n

n=

minusminus

prod=minusminus

prod= (3-69)







=

=rArr==

22

1121 1)()(

EE

EEzBzB

m

m (3-70)




















equivalentes







magneacutetico


































diferentes















error [46 6])


















































































uEuE

uEuE uEuE(u)En

rn

r

nr

nr

nr

)(Re)(Im

)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(

2)1(2)1()(

Hminus=


(3-73)













020 )()()()( uxj







1)()()()(

))(()()()(

00

00

22

222

+++=

=++==

minuslowastlowast

lowastminuslowast

uxjr

uxjrrr

uxjr

uxjr

euEeuEuEuE

eEeEuEuEuEππ

ππ

(3-75)















amplitud A


)()()()(

0022

2222200

uxuEAuxuEAAuE

AeuEAeuEAuEuE

rrr

uxjr

uxjrr

ππ

ππ

sdot+sdot++=


(3-77)



















utilizar

2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|

))(cos(arg|)(|


uEuEAuEAuE

AuEuEuEuEuE

r

r

sdotminus+=

minussdotsdot

= (3-79)







infinito



sum intsum

=

infin

infinminus+

minus

= =+

=


partpartprime

minusprime

minus

partpart

=n

kn

n

k un

kk

n

un

kk

uduuu

uEuk

uuEPuuE

ukuuE

01

1

0 01

0 )(

)(lnRe

|)(|log)(lnIm

)(arg

π

(3-80)





















los pies)


















E(u)

u u

Apodizacioacuten

f (x)

F

E(u)lowastprod(uk)

F

D

S



















































































teoacuterico
























67 68 69 44 11 121]33

















arg

med1

argmed1

k

k

j

kfk

jkEk

e

ef

ffMf

M

sdot==

sdot==

+

+EEEE

(3-81)






























)()(2xj





MEE k

E N f N

kf

F1+kE


Mfk

f





2

)()( xjd



entre ambas

)()()(

)()()(22

2

221

11

2

21

1

xj-xj

xj-xj

euEexuE

euEexuE∆∆

∆minus∆

sdot=sdot=

sdot=sdot=

FFF

FFF

f

f (3-84)












generalizarse




M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

F F ndash1ej∆x2

M k2E


desenfoque ∆1

12

+kE



desenfoque ∆2






sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

HHHH

HHHH

EEHHE

EEHHE

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P (3-86)







sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

TTTT

TTTT

TT

TT

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P

EEE

EEE (3-87)






M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

P12

M k2E


campo sobre D1

12

+kE

P21


sobre D2













generalizacioacuten




M k1E

k2E

f N

E 1N

E 2N

1+kf

εltminus 1kkd ff

M k2E



sobre D1

T2-1


sobre D2

Rf kf

k1E

T1-1

T2 T1

kisinP knotinP

























f N

E 1N

E NN


T2-1 T1

-1

T2 T1

RE k1E

εltminus 1kkd ff

Rf kf RE k2E RE k

3E RE kNE

T3-1

T3

TN-1

TN


















ffff

ffmmmmmm

ffmmffmm

lllm

l

M

iilililm

EEEE

EEEEEEEE

EEEEEEEE

fEEfEfEEfk

sdotsdot+



=minus=sdotminus=

+

++

++

=

lowast sumsum sum

)(diag)(diag



)()()()(

222


22ξ

(3-88)












bastante juiciosas



















sumsum

sumsum

=

=

partpart

part

minusminus

part

part

part

partsdot=

partpart

part

part


part

part

1

2222

222

2

1

22

2)(

2)(

l

M

i jk

ilf

ilfilmj

ilf

k

ilf

jk

l k

ilfM

iilfilm

k

k

k

ff

EEE

f

E

f

E

fff

f

EEE

ff

ξ

ξ

(3-91)











imaginarias









k

ilf

k

ilf

k

ilf

b

Ej

a

E

f

E

part

part+

part

partequiv

part

part222

(3-92)



sdotΨ=part

part

sdotΨ=part

part


lowast

lowast

==sumsum

)(Im2)(

)(Re2)(

)()(2

2

11

ff

ff

ff i

Eb

E

Ea

E

bjaE

kk

kk

ii

N

ii

N

ii

(3-93)


)(2)(

2

ff

fE

Ek

k

sdotΨsdot=part

partlowast (3-94)


sumsumsumsum

sumsum

=

lowastlowast

=

lowast

=

sdotΨΨsdot=part

part

part

partsdotasymp

partpart

part


part

1

2

1

222

1

22

)(82)(

)(4)(

l

M

iililjilk

l

M

i j

ilf

k

ilf

jk

lililk

M

iilfilm

k

fEf

E

f

E

fff

fEEEf

f

ξ

ξ

(3-95)








2

diagdiag4)(

21)(

)(diag)(diagdiag4)(

TT

T


part=


+

+

ffjk

ffmmf

EEfff

f

EEEEEf

ξζ

ξ

(3-96)







λ( 0 ) =0001 2

2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ



















[ ]212

1 mmm

mm EEE

EE =

= (3-97)


[ ]21

2

1 TTTT

T =

= (3-98)








del meacutetodo






D f f n )( )()(1


rrrr CCn

N

nnE (3-99)


sumsumsumsum sum=

ne=

lowastlowast

== =


nn

N

n

N

n

N

mmnEE

1nnm1m

mn1n

nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22

1 1

rrrrrrr (3-100)


minus=isin=

isinΨΨ=Λ

realisin=

realisinΨ=Ω

sdotΛ+sdotΩ=sdot

lowast

lowast

+

+

prime

==

lowast sumsum

)(1

)()()(

||

|)(|)(

donde )( )()()(

2

2

2

NNk

EE

k

nn

n

n

N

nn

N

nn

C

C

mn

n

n

n

1n1n

ff

f

β

αβα

rrr

rr

rrrr (3-101)









sum=

lowast =ΓsdotΓM

nijji nn

1

][][ δ

(3-102)


sum=

sdotΓ=N

nnE1n

γ)()|(| 2 rr

(3-103)
















34 SUMARIO




























































dimensioacuten

IV VALIDACIOacuteN

EXPERIMENTAL





observacionesrdquo

Francis Bacon Libro


Organumrdquo


































aeacutereo









antena







01

088

y

z

x

x

10

04

088

04

D1

S

D2













































apertura seraacute

daNkprime

sdot=2max



2max sdot=Nk









usando (2-32) y (2-94)




2ltN2

kmaxkmax ky kx

1

Filtro


sdotΨminus=

sdotΨ==sdot=

xOy

yOxO

ME

ME~~~

~~~~~~ fΨE (4-1)






~~~IFFT~IFFT

~~~IFFT~IFFT

Oiyxx

Oixyy

HEMM

HEMM

Ψsdotminus==

Ψsdot== (4-2)









compleja de campo)






























sect323











5 10 15 20

0 dB

-5 dB

-10 dB

-15 dB

-20 dB


r(cm)

0

D1

D2

S2

45deg

237deg

a acute=111middotλ

z

D1(ampliado)

D2(ampliado)

dominios de

observacioacuten

ampliados

d=16 8 middotλ

d=42 34middotλ

0 44 m0 88 m









Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6

Tabla 41


















dominio ampliado



Tabla 42





































de moacutedulo




































Tabla 43







Hoenders4
























Tabla 44






































x2+y2lt00452

















Tabla 45


















originales






























la antena)
















contrapolar)










y

x1 m

1 m

xy

z

Eθ Eφ

Eθ

Eφ

Plano ϕ =0

Plano ϕ =90deg

54 m



































































moacutedulo

























































SECUNDARIO




































columna













8m

16

m

Srsquo

x

y

z

ϕ



ρ φ

y

ρ





























J1

J2

JN

hellip

J1

J2

JN

hellipequiv

Plan

o de t

ierra


Mequi equiv





















logariacutetmica


















imaacutegenes

sumsum sum= = =

minus+=

sdot=

minus=


i kk

jiij

ijij

kj

N

ji

kijky

dzz

zzyyxxJ1

M-DiM

1

21

1 21)1(

donde )( γβα

αα

δα (4-3)


dipolos reales





sumsum sum== =


iii

N

i

N

jijkjkijk

kiy yRGyyRGE

11 12

21 )( )()()()1()( ϕρββr

donde



minus

minus

2

222

2

221

)cos()()sin(

)cos()()sin(

MDiMjiij

MDiMjiij

dzyyxR

dzyyxR

ϕρϕρ

ϕρϕρ

(4-4)










sum=


iijiijx zzyyxxMM

1

)(δ

sumsum==

Ψsdot=sdot=xx N

iii

N

iiiy yM)(RGME

113 )( )( ϕρr

(4-5)








































(MPS-C)
























(MOCA)































(MPS-M)


















los dipolos reales






entorno al 3




































































204 Capiacutetulo V










estudio

























































electromagnetismo



206 Capiacutetulo V


eficiente




















































la trayectoria3














208 Capiacutetulo V




partes






radiador










S

J1

M1

z



radio Sonda


niveles relativos


sobre el radiador



















moacutedulo






Receptor


de fuentes Detector

logariacutetmico

210 Capiacutetulo V


complejo
















Receptor

oacuteptimo


de fuentes

Detector

logariacutetmico

Receptor

oacuteptimo

Detector

logariacutetmico

π2

ReE

ImE




Receptor

oacuteptimo Antena


Detector

logariacutetmico

ReE

H ImE




banda limitada5






















ruido








212 Capiacutetulo V





















+sdotminussdot+

+minussdot+

+sdot

M

M

)(

)(

)(

2

1

TMt

Tt

t

M ξβ

ξβ

ξβγsdotξ(Tm-t)


del maacuteximo

M

M

Mα

α

α

2

1



Modelo de error





=

η2EQPE (5-3)

















del maacuteximo

kαdt

T

sdotint0

)(o

ξ[n]

Q



del maacuteximo

kα

00

][

21 LLL Pk

k kNn

ξξξβ


P

i 1

)(o


ξ[n]

Q



214 Capiacutetulo V





el espacio E (3-2)


SECUNDARIO











































figura 4-39











216 Capiacutetulo V




























90 V

50

10

01 micros 08 microS

01 micros

22 ms

2 microsP1

8-22 micros

P2

P3



0rsquo8 micros







considerar el P3


















Deteccioacuten de


oacuteptima


fuentes radiantes

Sentildeales de


Antena



corrientes

218 Capiacutetulo V
























Reconstruccioacuten

de fuentes




Recepcioacuten


interrogacioacuten

SSR








Antena y filtro










vidrio

20 mm


285 mm 104 mm


(dieleacutectrico)




Cobre)

Placa de circuito

220 Capiacutetulo V

















Parche




50 Ω

50 Ω

s1

W1

s2

W2


L1

L1 = 397 mm

W1 = 355 mm s1 = 08 mm

W1 = 430 mm s1 = 49 mm
















Analizador de redes

80 cm

20 d

B

133 MHz

1030 MHz 1030 MHz

20 d

B

85 MHz

1030 MHz1030 MHz

Componente copolar

222 Capiacutetulo V






















1

2

3

4

5

6

7

8

VPOS

INHI

INLO

VPOS

VOUT

VSET

COMM

PWDN

AD 8313GND

GND

GND GND

5 V

5 V

SALIDA

ENTRADA (Adaptador)


10 Ω

10 Ω 01 microF


















285 mm

104 mm





SALIDA

224 Capiacutetulo V


























Osciloscopio


SINC


SINC

1030990 1070

100 mVdiv 2 msdiv


Esquema de medida



a) PT = 10 dBm

c) PT = ndash30 dBm

b) PT = ndash10 dBm

d) PT = ndash40 dBm



0

05

1

15

2

-40 -30 -20 -10 0 10 20


Tens

ioacuten

de sa

lida

(V)

V estable V rizado





alimentacioacuten


80 cm

SINC

226 Capiacutetulo V






























P1 normalizado

P2 normalizado


10


int sdotsmicro82

0)(

int sdotsmicro82

0)(




































228 Capiacutetulo V





0)79(1042

1080250()2

()22()2( 12

62

asymp=sdotsdot

sdotsdot==== minus

minus

QQNoEQ

NoEQdQP

oerr σ

(5-4)










3

12

6

1081)153(2)1022

1080010(100992)2(12 minus

minus

minus


sdot=

minus= QQdQ

MMP

oerr σ

(5-5)





sect44)



d2

057 radicT


Pulsos vaacutelidos

4025 10-4 6261 10-4



d2

a)


025 V P2

b)
































sentildeales SSR

DSP


Nivel del pulso

(correccioacuten)


PC

25 MHz

230 Capiacutetulo V











S1[n] = S1[n-1] - salida + m43


Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]








7 Volver a (2)

Tabla 5-1

TLC 5540

D1-D8

Reloj

Habilitar

Tierra

TMS320c6711

D0-D7

Reloj

Ctrl

Tierra

+5 V GND +5 V GND

Circuito detector

(AmpLog)

+5 V GND


Puerto paralelo

Conv

ersor

AD

DSP





























m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20


Entrada Salida

S1(n)

S2(n)



S1(n-1)


Pvaacutelido[1]

232 Capiacutetulo V




VI CONCLUSIONES Y

LIacuteNEAS FUTURAS




pararrdquo

Miguel de Cervantes




61 CONCLUSIONES





funciones modales








de corrientes





de dipolos de Hertz










fase


superficiales


236


























[58 49])























teacutecnicas





BIBLIOGRAFIacuteA



vol 83 pp 179-192 1956


vol 84 pp 237-238 1957









vol 25 no 8 pp 519-520 13th April 1989














Barcelona 1996


pp 362-368 April 1995













vol 350 pp 191-212 1976





1991


Ceselsa 1996









1997 pp 521-524











B-241




1984










pp 27-29 1978



vol 3 no 11 pp 1897-1907 Nov 1986




vol 39 no5 pp 76-81 Oct 1997



pp 41-53 1971








10-12 1977









1935






April 1982




1719-1725 Sept 1975




















B-243




vol 44 no 5 pp 701-710 May 1996







1993



Amer vol 60 pp 280-281 1970



134 1973



Mir Moscuacute 1990













784








148



26-30 1998 pp192-196



1998 pp1346-1343
















vol 55 pp 981-986 1965










B-245


IEEE vol 85 no10 pp 1526-1535 1997


pp 2094-2105 1998



Aug 1999






vol 58 pp 1233-1234 1968



















Revolucionaria 1972










Society 1934










49 pp71-80 1971








Elsevier 1990












B-247




21 Jan 1949



1988






536-541 Aug 1996


pp 385-391 March 1981








302 1926



292-295




1989





42 no 2 pp 184-195 Feb 1981















Portada

Cita

Agradecimientos

Contenido




Resumen de la tesis









25 Ejemplos

26 Sumario



32 PI con fase

33 PI sin fase



34 Sumario












61 Conclusiones


Bibliografiacutea

iv
























devolvemos







v

Contenido




























vi



25 EJEMPLOS 53








26 SUMARIO 76

























vii












34 SUMARIO 147























viii














61 CONCLUSIONES 235



ix



retina del ojo 6





























x











diferente 117




























(MPS-C) 192



xi





complejo 210


moacutedulo 212


moacutedulo 213



























conexiones 230


xiii





















xiv






















xv





)(zkF(


(



k

kTt )(ξ




















xvii






























xviii









discuten



I INTRODUCCIOacuteN











las demaacutesrdquo



Introduccioacuten 3


































4 Capiacutetulo I




































Introduccioacuten 5




































6 Capiacutetulo I









































Introduccioacuten 7































indistinguibles






8 Capiacutetulo I



hasta el observador








en detalle














S

ε 2 micro 2

qe qm

J

M D

ε 1 micro 1

x

y

z

x

Problema directo

Leyes de Maxwell

Problema inverso


S

D y

z

ET

ε 1 micro 1

Introduccioacuten 9
































verdaderas fuentes


10 Capiacutetulo I


























moacutedulo












superficies




























II PROLEMA ELECTRO-
















and magnetismrdquo































S

ε1 micro1

qe qm

J

M D

ε2 micro2

x

y

z

16 Capiacutetulo II



m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


B

D

DJH

BME

(2-1)

m

e

qq

t

t


partpart

+=timesnabla

partpart


H

E

EJH

HME

microε

ε

micro

(2-2)


0

0

=part

part+sdotnabla

=partpart

+sdotnabla

tqtq

m

e

M

J

(2-3)



e

e

qt

qt

nabla+part


partpart

minusnabla

nabla+partpart


minusnabla

microεmicroε

εmicromicroε

1

1

22

22

MJ

tH

H

JM

tE

E

2

2 (2-4)




0

0

22

22

=partpart

minusnabla

=partpart

minusnabla

2

2

tH

H

tE

E

microε

microε (2-5)







m

e

qqjj



B

E

EJH

HME

microε

ϖεϖmicro

(2-6)0

022

22

=+nabla

=+nabla

HH

EE

β

β (2-7)



















ε (2-9)









es decir











18 Capiacutetulo II






ϖmicroεω jjF

(2-16)



primeminus

=+nabla

primeminus

=+nabla

SS

SS



22

22

rMFF

rJAA

εβ

microβ

(2-17)






)(4)(

)(

rrrr

rr

minus=prime

minusminus

ReG

Rj

π

β (2-19)



problema





S

J

M

R=r-rrsquo

rrrsquo

z

x y


)()()(

)(4

)()()(

)()()(

)(4

)()()(

)(

)(

rrMrr

rMrrrMrF

rrJrr

rJrrrJrA

rr

rr

GvdRevdG

GvdRevdG

Rj

VV

Rj

VV

lowast=primeminus


lowast=primeminus


minusminus

primeprime

minusminus

primeprime

intintintintintint

intintintintintint

επεε

microπmicromicro

β

β

(2-20)





)(~)(~)(~)(~)(~)(~

rrMrF

rrJrA

G

G

sdot=

sdot=

ε

micro (2-21)











AFAFFH

FAFAAE

timesnabla+

nablanabla


timesnablaminus

nablanabla


microβω

microϖmicroεω

εβω

εϖmicroεω

111)(1

111)(1

2

2

jjj

jjj (2-22)






β 2=βx2+βy





20 Capiacutetulo II






























deben ser









homogeacuteneos

















Js=0

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

Conductor

eleacutectrico

d)

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn H1

Ms=0

0 0

Conductor

magneacutetico

e)

S

E1 H1

ε2 micro2

J1

M1

E1 H1

a)

ε1 micro1

S

E1 H1

ε1 micro1

Js= timesn (H1-H)

Ms=- timesn (E1-E)

E H

b)

ε2 micro2

Js= timesn H1

S

E1 H1

ε1 micro1

Ms=- timesn E1

0 0

c)

ε1 micro1

22 Capiacutetulo II
















FE

AE

M

J

timesnablaminus=

nablanabla

+minus=

ε

βω

1

1 2j (2-26)









231 Fuentes reales3






vdR

ejvdGjRj

VV

primeminus

sdotprime

nablanabla


nablanabla

+minus=minusminus


)(1)()(1)(

22 rrrJrrrJE

rr

J πβωmicro

βωmicro

β (2-27)



vdJJJ


EEE

Vz

y

x

zJ

yJ

xJ

primesdot

primeprimeprime

sdot




intintintprime )(

)()(

))(()())()(())()(())()(())(()())()(())()(())()(())(()(

22122

22

212

222

21

r

r

r

siendo RjeR

RRjjG βββ


minus=primeminus 3

22

211

4)( rr Rje

RRβRjj


minus=primeminus 5

22

2233

4)( rr

(2-28)







S J

D x

y

z

24 Capiacutetulo II


TJ

VJ RGRGvd (2-29)














sdR

esdGRj

SSM prime

minus



)()()()(

rrrMrrrME

rr

π

β (2-31)



sdMMM

xxyyxxzz

yyzzRGsdRG

E

EE

Sz

y

x

SzM

yM

xM

primesdot

primeprimeprime

sdot





)()(

0)()()(0)()()(0

)()()()( 33

r

r

r

rMrr

siendo RjeR

RjG ββ

πminus+

=primeminus 331

41)( rr

(2-32)

S

D x

y

z

M



Green GM




prime 0)()()(0)()()(0

)()( con )()( 3

xxyyxxzz

yyzzRGvd M

VMM rrGrMrrGE

(2-33)









)()( vdV


rrrGE f (2-35)





[ ] [ ][ ]

==

M

JrGGG )( fMJ (2-37)







infinminus

infin

infinminus

GGE (2-38)

26 Capiacutetulo II


GEEEE FFFFF (2-39)

Y en consecuencia

f~)(~)(~)( 10

1 sdotminus== fo-

xy-




ϕρϕρϕρϕρ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕρ





minus=


sin sin cos cos con

1000cossin0sincos

)(1000cossin0sincos

)( donde

)()()()(

yyxx

zzyyxxz

zdddzzzz

o

Vzoo

GG

GE f

(2-41)







0sincos


)( 0cossin


)( donde

cos)()()()(

θϕϑϕϑθθ


ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθϕθ


rzryrx

zyxr

ddrdrrrrrVr

oo

=sdot==


sdotsdot

minusminus=


GG

GE f

(2-42)


y espectrales




y )( )()( con

111

111

111

)(

111

111

111

)( donde

)(

)()()()(

321

321

321

321

333

222

111

)(

primepartpart

=primepart

part=

primepartpart

====

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

primepartpart

sdotsdot

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

partpart

=



isinprimeprimeprime


ληξ

ληξ

ληξ

λλλ

ηηη

ξξξ

ληξ

ληξληξ


rrr

GG

GE

hhhzzyyxx

zh

zh

zh

yh

yh

yh

xh

xh

xh

zyx

zh

zh

zh

yh

yh

xh

xh

xh

xh

dddzyx

Voo f

(2-43)




















)(44

4

)(44

4

cos

cos

ϕθπε

πε

πε

ϕθπmicro

πmicro

πmicro

βψβ

ββ

βψβ

ββ

LMMF

NJJA



minusminus

minusminus

minusminus

minusminus

intintintint

intintintint

resde

reds

Re

resde

reds

Re

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

rj

S

rjS

rj

S

Rj

S

(2-45)

28 Capiacutetulo II



sdesde

sdesde

S

rj

SS

rjS

S

rj

SS

rjS



intintintint

intintintintprime

minusminus

primeminusminus

cos

cos

)(

)(

rr

rr

MML

JJN

βψβ

βψβ

ϕθ

ϕθ (2-46)




ϕθϕθϕθϕθ

sinsinˆcossinˆˆ


primesdot


yxxryyxx

yrxr rrr

r (2-47)



SSyx

vyuxj

S

SSyx

vyuxj

S

yxdydxevu

yxdydxevu

MMMLL

JJJNN

~)()()(

~)()()(

)(

)(

==sdot==

==sdot==

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

+minusinfin

infinminus

infin

infinminus

int int

int int

F

F

β

β

ϕθ

ϕθ (2-48)




ψ

R

r rrsquo

z

x y








congsdotminuscong



congsdotminuscong

)0 (con

ˆ1ˆ1

ˆˆ1

)0 (con

rM

JJ

MM

rJ

Hj

j

j

Ej

FH

ErArAH

HrFrFE

AE

ϖηη

ϖmicro

ηϖηε

ϖ (2-49)




η


πβηϖ

β

ϕ

ϑ

ErHTE

FrA

times=sdot=

sdot

minusminussdot

minus=times+minus=

minus

ˆ y ~

~~~~


4 )ˆ(

fCL

y

x

y

xrj

MMJJ

rejj

EE

(2-50)




rrsquo

r

ϕ θ J

M

x

y

z

uv

Dominio

lejano de

observacioacuten

1

1

ϕ

Plano de

las fuentes Plano

tangente a la


30 Capiacutetulo II



































entorno




a) Modos planos



zjyxPxyyx

yjxjzjyxP

y

xT


πsdot=sdot=

= minus

infin

infinminus

infin


)2(1 1

2 MME F


(2-51)

Y por tanto

)()()()()(~ )( 222

zfezz yxPyxPzj


MMEE F (2-52)













= minus

minus

∆ )(~~ 1

ββf (2-55)



minusprime=

minus

∆sdot∆=

=

minus

∆minus 0110

)(0110

)(~)(

)(~3

1

yxPzzyx

OyxPOyxPzfM f

Gzf

zf ββββ

ββββGP (2-56)

32 Capiacutetulo II







)()()()(21

)()(

)(0

)()(

)()(

21)(

1

)2(2

)2()2(

)2()2(

zCzzjjn

nzC

zjjn

z

z

n

n

nzn

nzn

z

nndeenn

deenbna

H

HnH

HjHjn

EEE

z

z

z

βρββρπ

βββ

ρβββ

ρββρ

βρ

ρβρ

ρβββ

ρβρ

πϕρ

ϕβϕ

βϕ

ρρ

ρρ

ρρ

ϕ

ρ

MHMH

E

sdot=sdotsdotsdot=

sdotsdot

sdot

minus

minus

part

partpart

partminus

=

=

minusinfin

minusinfin=

infin

infinminus

infin

minusinfin=

infin

infinminus

sum int

sum int

F


(2-57)




sum int

int intinfin=

minusinfin=

infin

infinminus


infin

infinminus

minusminus∆

===

===

n

nz

zjjnzzzz

zjjnzzz

deezXnXnXzX

dzdeezXzXzXnX

z

z

βϕπ

ββϕ

ϕϕπ

ϕϕβ

βϕϕϕ

πβϕ

ϕϕ

)(21)(~)(~)(

)(21)()()(~

1111

2

0

FFFF

FFFF (2-58)


[ ] )(~)(

)()()(~

1OOC

Cz nz

ρρ

ρβϕρ ρϕ

EHM

MHEEminus=

sdot== F


minus

minussdot

minus 2131

2232

22313221 001

HHHH

HHHH

(2-59)










eleacutectricos




)()(

)()(

sin)(

)(1)()(

)()(1

sin)(

)(

)()()1(

0

)()()(

1

1

)2()2(0

)2()2(0

)2(

mnmnr

mnbmna

jmYrrh

drd

rY

rh

Yrrh

drd

rYm

rh

Yrhr

nn

rErErE

en

n

nme

n

n

nm

nmn

nmn

nmn

nmn

nmnr

MH sdot=

sdot

partpart

partpartsdot

+

=

sum sum

sum sum

infin

= minus=

infin

= minus=

ϕϑ

ϑϕϑ

βθ

ϕϑββη

θϕϑ

βϑ

ϕϑββη

ϕϑβ

ϕϑϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

donde )(cos)()(

412)( θ

πϕθ ϕ m

njm

nm PemnmnnY sdot

+minus+

=

(2-60)







ϕϑπ π

ϕ

ϑ ddrErE

rO

OOeTe sdot

= int int minus

0

2

0

1

)()(

)]([HM (2-61)












34 Capiacutetulo II

sumforall

sdot==times TEmodos

ˆTESSTSn MHEM

[ ] ( )[ ]sumforall


ˆTTMSTSSTS

jjn MHEHJ

βηβη

(2-62)







los dos modos

minus=minus=

==

)(

)(~~

)(~~

z

z

SCSz

zSbzCSz

nbna

EM

nbHEM

β

β

β

ϕϕ

ϕ

H

(2-63)





sdot==times sum sum

infin

= minus= 0)(

)(ˆ1

mnamnrn

Sn

n

nmeSTS ϕϑHEM

[ ] sum suminfin

= minus=


1 )(0

)(ˆn

n

nm SeTSSTS mnb

mnrjjn ϕϑβηβη

HEHJ

(2-64)




representaciones







sumsumforallforall


MHGE f (2-65)


























2222zyx ββββ ++= (2-66)



36 Capiacutetulo II























2 )frac12 Es decir



zjyxyxzyxzyxj




βx βy

βz β






habiacutea afirmado



ξξ

λξξhh

rr

rmiacuten 21

=sdot∆=partpart

sdot∆=∆ (2-67)








χλξ













38 Capiacutetulo II


















aii


min

βχβ =forall ii

max χ

λ2

minnteindependie

=∆forall ii

u

auii=

forallmax


βx βy

βz β


J

x y

z a

J

J

Espacio fiacutesico

( ) 22

164sortogonale

sfrecuenciaN

==

deg

λχπ

πβχπ a

a

22

162

4sortogonale

puntosN

==

deg

λχπ

χλπ aa














ne=ne


jimrmnr

N

nje

n

nmie 0

0)()(

1 ϕθϕθ HH (2-69)


sdot=

sdot=

sum sum

sum sum

= minus=

= minus=

1

11111

)()(

)()(

N

nmn

n

nmNNomneNNo

N

nmn

n

nmomneo

Mrr

Mrr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HE

HE

M (2-70)


0)()()(

)()(

111

11111

ne= o

oNeNNoe

oNeoe

rfrr

rr

ϕθϕθ

ϕθϕθ

HH

HH

L

MOM

L

(2-71)










40 Capiacutetulo II






χλad
















Ddad λθλ 2arctan



















χλξ

ξξξ

ξ ξ ahr

2)(

=partpart

∆=∆rArr∆

partpart

=∆r

rrr (2-74)


=∆

=∆

rArr∆partpart

+∆partpart

=∆

χληξ

η

χληξ

ξ

ηη

ξξ

η

ξ

ahr

ahr

2)(

2)(

rrr (2-75)





=

==

equivrArr

∆+=

∆+=

minusminus )(

)()(

22

11

11

122

1

MMMMM ξ

ξξ

ξξξ

ξξξξ

rr

rr

rr

MMD (2-76)


)( con

21

22221

11211

11

112

1

11

112

1

mnmn

MMMM

M

M

MMMMMM

vξ

ηηη

ηηηη

ξξξ

ξξξξ

ηξξξ

η

η

ηηηξξξ

rr

rrr

rrr

rrr

=

equivrArr

∆+=

∆+=

∆+=

∆+=


MOMM

L

L

MMD (2-77)




=

)(

)( 1

MrE

rE


=)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rErE

rErE

E

K

MOM

K (2-78)

42 Capiacutetulo II








prime

prime

=)(

)( 1

Mr

r

f

f


primeprime

primeprime

=

primeprimeprime

prime

)()(

)()(

1

111

ηξξ

η

MMM

M

rr

rr

ff

fff

K

MOM

K (2-79)







summinus

minus=N













summinus minus

minus=

N

N nu

nun uu

uuuu

)()(sin

)()(max

max

ββ

EE (2-81)
































u βu Um

2πUm

π Um

Distorsioacuten

44 Capiacutetulo II














tanto

=prime

εα 1ln1

minR (2-82)



1 )-(1 )( 22z



[ ] [ ] 2

min

22

min 21ln

11ln

1

+=

sdot

+=RR

λπ

εβ

εχ (2-84)








min0

2

21

min

RdeE R

eva == intinfin


22

2

minmin

RedeE

RR

trunc

α

α


prime

minus == int



[ ] 2

21ln

1

sdot+=

nπε

χ (2-85)




[ ] 32

9631ln

1

+le

Dλε

χ (2-86)


















46 Capiacutetulo II






















12

3

4

5

6

7

8

9

12

3

4

5

6

7

8

9

λ4 λ4


















radio a+δ




prime+prime+prime=

+

=2

22

22

min 2ln1)(16min

)()(16min

δπεδπ

λδχδπ

δδaaN (2-87)







δ a


ampliada

Objetoradiante

48 Capiacutetulo II









sup min

2


)()(4min Na

aN sdot=

prime+prime+prime=

+

= πδπεδπ

λδχδπ

δδδ (2-88)













a = 18 a = frac14

a = frac12

a = 1

a = 2

a = 8

a = 4








de la figura 2-15b)






δλ








50 Capiacutetulo II







sum

sumintintint sum

= prime

prime

primeprime

primeprime

=prime

ge

=


sdot


=

=sdotprimeminus=


N

n nn

nn

nnnnnn

nnnn

N

nnn

V

N

nnn

GGGG

EE

vd

1

1

Desencial

1

)()(

)()()()(

)()(

)()()()(

ηξηξ


ηξηξ

δ

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff









=

primeprime

primeprime

primeprime

primeprime

sdot

=

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

)()(

)()(donde

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

11

111111

11

11

11

11

NNMMUUMMUU

NNUUUU

VU

NN

NN

MM

MM

vuvuGvuvuG

vuvuGvuvuGG

GG

GG

E

EE

E

L

MOM

L

M

M

M

M

ηξ

ηξηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

ηξ

η

η

ξ

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

η

ξ

ξ

f

ff

f

(2-90)



del campo

[ ][ ]

[ ][ ]

=

=

=

sdot=

prime

prime

primeprime

primeprime

η

ξ

ηηξη

ηξξξ

η

ξ

ff

fT

fT

donde

GG

GG

EE

E

E

(2-91)






ff

ff sdot=equiv

sdot

=sdot=

sum=

TE

E

E

11

1

11

1

1

NNM

N

M

N

nn

M

MM

L

O

L

MM

Ψ

Ψ

Ψ

ΨΨ (2-92)










sdot



=)(

)(

)()(

)()()()(

11

11

221212

111111

NNNNNNNN

NN

NN

yx

yx

yyxxyyxx

yyxxyyxxyyxxyyxx

f

f

M

L

LOM

L

L

GG

GG

GG

E (2-93)




ff

ff

~~][][

)(][)(][][1 11

sdot=lowast=


OO

Nx

nmn

Ny

mmininn

N

ppipi

IDFTmnmn

yxyyxxyxyyxxmn

ΨΨ

GGE (2-94)






sdot=

sdot=

][~][~][~][~

][][

][

mnMmnMmnJmnJ

mnEmnE

DFTmn

y

x

y

x

CLCL TTEθ

θf (2-95)

52 Capiacutetulo II














representado



















C 1


lowastlowastM

mmm

T EEEEEE (2-96)




distancia

( )

( ) 2121

21

111

21

21

- d

EEEE

EEEEEEE

=

realisin

=sdot== sum

=

lowastlowastM

mmm

T

(2-97)

(2-98)









25 EJEMPLOS












54 Capiacutetulo II

























Jϕ Mϕ

Jθ Mθ

z

x y

a


















r rsquo= (0 0 0) (04 0 0) (-03 0 02) (0 03 0) (0 -04 0)

(0 0 03) (0 0 -03) (02 02 02) (-02 -02-02) (02 -01 02)

J = (1 1 0) (1 0 1) (0 2 1) (0 -1 -2) (1 0 1)

(2 0 -1) (0 0 2) (0 3 1) (1 -2 2) (-1 1 -1)








56 Capiacutetulo II

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

zJzyJzxJz

zJyyJyxJy

zJxyJxxJx

MM

MMMMMJ

zyxJ

zN

z

yN

y

xN

x

zJyJxJ

zJyJxJ

M

M

GGG

GGG

GGG

J

JJ

JJ

J

GGG

GGG

E

EE

E

0cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

donde

11

11111

interior

interior

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕϕ

θθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

MM

MMM

M

M

M

M

M

T

T J

(2-99)




28) (2-32) (2-37) (2-42) y (2-90)

[ ][ ][ ][ ]

prime

prime

prime

prime

primeprime

primeprime

primeminus

primeminus

primeprime

primeprime

sdot

sdot

minus

minus

minus

minus

=

sdot=

sdot

=

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprimeprime

primeprime

primeprime

prime

prime

prime

prime



0

0

sin

sincos

cos

sincos

sincossin

sin

coscos

coscos

cos

cos

sin

sinsin

sin

sincos

sincos

coscos

coscos

1

111

111

11

11111

tetraedro1

1

T

N

T

N

T

NN

T

N

T

NN

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

MM

MMMMM

MMJJ

MMJJ

M

M

GGG

GGG

GGG

GG

GG

MMJJ

GGGG

GGGG

E

EE

E

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕθ

ϕθϕ

ϕ

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθ

θ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕθϕ

ϕθθθ

ϕθ

θ

θ

κ

θ

ϕϕθϕϕϕθϕ

ϕθθθϕθθθ

ϕ

ϕ

θ

θ

M

MM

MM

MM

MMM

M

M

fT

En definitiva

sdotsdotexistrArr

sdot

sdot

=

tetrint

tetraedro

interior

min ϕθϕθ

ϕθϕ

θfTTf

fT

T

f zyxJ

zyxJ

dEE

J

J





(2-100)

(2-101)



el plano θ =π2












χ 1 15 2 3 4 5 6 7 ε () 8 27 12 04 02 016 01 008








z

x y

a


Dominio circular de

observacioacuten

ϕ

Eϕ

Eθ

58 Capiacutetulo II


corrientes












60 Capiacutetulo II











Tabla 22




distribuciones es

EJθ = 702 EJϕ = 390 EMθ = 1379 EMϕ = 2244










62 Capiacutetulo II
















discretas







corrientes








1

yJ

yN

y

yJ

yJ

JJ

J

G

G

EE

sdot=

sdot

=

prime

prime

TM

η

ξ

η

ξ (2-103)












155 m8 m


64 Capiacutetulo II

















Ex

y

z

x

Dominio

vertical de

observacioacuten

Dominio

horizontal de

observacioacuten

ϕ Ey

Eϕ

Ey

My

Mx

MT=n x ET

JT=0

a) Problema real

ET

HT MT=n x ET

JT=n x HT


MT=2(n x ET)





sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

prime

prime

prime

yJy

yJx

yJz

MMJyJ

yN

y

yJy

yJ

yM

y

M

G

G

G

I

JJ

J

G

G

E

EE

E

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MMM

M

M

TT

(2-104)



sdot

minus

minus

=sdot=

sdot

=

prime

prime

primeprime

prime

prime

0

0

00

0cos

cos

sin

sin

donde

11

1

1

1

1

xMy

yMx

yMzxMz

MMMyM

yN

y

xN

x

yMy

yM

yM

y

M

G

G

GG

I

J

M

M

M

M

G

G

E

EE

E

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

MM

M

M

M

M

TT

(2-105)




















66 Capiacutetulo II

















68 Capiacutetulo II






















χv=1rsquo916




χv=3rsquo832






















70 Capiacutetulo II





a detectarse









para Ex =11rsquo5



























72 Capiacutetulo II




=0rsquo22






















74 Capiacutetulo II
















deg==sdot

===∆

deg==sdot

===∆

947 rad13805141

2913022

8961 rad016550118

2913022)2sin(

vv

hh

aarr

aarr

χλ

χλθ

χλ

χπλϕ



















76 Capiacutetulo II



26 SUMARIO









funciones de Green
































una superficie dada



ldquoEl camino

hacia arriba

y el camino

hacia abajo

es uno y el

mismordquo

Heraacuteklitos

de Efesos




























































11

1 minusminus == nE-







M E k

REE k f k

R f f k E k+1T

T -1

dE k E k-1ltε

E 0

E K f K

































intercaladas















































































por tanto provecho














de observacioacuten

mm

M


sdot= realisinsum

=


21212121 CEEEEEEEE (3-3)




( )

( ) +

+

=

lowast+

realisin=

realisin

=sdotsdot== sum

- d

2121

21

111

21

21

EEEE

EEEEEEEM

mmmmππ

(3-4a)

(3-4b)




















( ) ( ) ( ) 21)(-)(-)(-)()( fffff fm



( ) ( )ffmffmmm

fmfmd

EEEEEEEE

EEEE


sdotsdot=++++

+

πππππ

)(

--)(2 f

(3-6)


= f +middot T +


Llamando a




=sdotsdot=rArr

isin=sdotsdot

isin=sdotsdot

realisin=sdotsdot+

+

++

+

mN

m

m

NxN

Nm

mm

bb

k

EΨ

EΨ

EE

EE

1

Mπππ

π

ζ

T

TT

T

C

C (3-8)

































sdotsdot+sdotminus=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζ

Re2

)()( si

2

T

T

M

bk

bbkd (3-10)

Im2

)()( si

2

sdotsdot+sdot+=


+

++

fff

ffffff

ζ

ζT

T

M

bjk

bbkd (3-11)


Im02Im2)( si

Re02Re2)( si 12

12

minus

minus



ζζ

ζζTTTTM

TTTTM

bjbjd

bbd

ffff

ffff

(3-12)

(3-13)








][ (3-15)






























































)()()()1( iiii psdot+=+ λff (3-20)






(3-18)





















ij

d

ddji

ji

jiji

neforall

gt=nablalt

gt=nablanablalt


0)(

0)()(

0

)()(2

)(2)(2

)()()()(

p

pppp

f

ff

TTTT π (3-23)




sdotminus=rArr

+

+

)0()0(

)0()0(2

)0()0(

)0( )(R

RdR m

ππ

TTf

fTf

p

E (3-24)




)()()()1(

)()()1(1)()(1

2)(

2)1(

)(2)(

2)(

)(

kkkk

kkk)(kkk(k))(k

k

k

k

k

k

k

pRR

pRpp

R

R

p

R

sdotminus=

+sdot=+=

sdot

sdot=

sdot

sdot=

+

++++

+

+++

T

Tff

T

T

T

T

λ

βπλ

π

πβ

πλ

(3-25)



minusnablaminus +

iaconvergencla de



































entre 0 y 1 (0leλle1) [29 105 106]




kkk

kkk

fff

fff

minussdot+=

minus+sdot=+

)1(1

II

λ

λλ (3-27)

































































=rArrsdot= minus

oo DFT

ΨE

ΨE ~~

~~~ 1ff (3-29)




























( )zJM ˆ

~~

sincoscoscoscossin

)(ECM

~~

cossinsincoscoscos

)(ECE

timessdot=rArr

sdot

minusminus

sdot=

rarr

sdot

sdot=

rarr

η

ϕϑϕϑϕϕ

η

ϕϕϕϑϕϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

y

x

y

x

JJ

rfEE

MM

rfEE

(3-31a)










magneacutetica




)~(~ 0110~~ ~~

~~~

1~~

~~

zJJMJJG

GM r timessdot=sdot

minus

sdot= rarrsdot


xyJxxJ

yyJxyJ

xyMM

J

GGGG

G

(3-31b)










































expresarse como

le+

== primeisin

== ++ resto0

~~~

resto0)(

222

11

δβββ yxkkEk

kkfk

S EEE

rrR

ffRf (3-32)




inverso




notinisin

==+mk

mkk D

DM

)( )(

medido1 rrE

rrEEE (3-33)























M E k

E K f K

kf

T 1+kE
























sdot

==

sdot

==

minus

minusminus

minus


ψ

ψ

ψψ

~~

~~

11

11

1111

nEfnn

nEfnn

fDFTDFTDFTDFTff

EDFTDFTDFTDFTEE

MRR

MRR

I

I

(3-34)

(3-35)









1111



][][1

1111 minus

minusminusminus

minussdotsdot==


(3-36)

(3-37)











M E k

R f f k

E K f K

ψ~)(o kf~

F F ndash1

Fψ~)( sdoto

~ kE ER

1~

+kEF ndash1


F ndash1

F ndash1

M E k

R f f k

E K f K

kf~

F

F)(][ osdotCL

T

~ kE ER

1+kE


TF ndash1




























[64]


[30 sect19]






intinfin

infinminus


minus=minus= xdxxxE

xExE)(Im1)(Im)(Re

πH (3-38)





















|)(|)]([)]([|)(ln|

rErE

rErE

HH

=minus=

ϕϕ

(3-39)




























λλ

ϑ

λ ππβ

]11[ sin )(

)()()()( 22

abaa

uukx

xdexxdexkdxexkuE

nu

b

a

xujb

a

xujb

a

uxj

=prime=prime

minusisinrArr=isin=


prime

primeminusprime

prime

primeminusminus

Cf

fff n

F





dxexEuE xujb

a


(3-40)

















entera13



]1[

11|)0(|1|)0(||)(|

21

21

21 infin=cup


infin

kk

kk

zu

zuE

zuEuE

kkkkkik

(3-41)


prodsdot=

minusminus



)(

donde )()()()(

1 zB

kzBzE

zzzzzEzE

kk

kk

k

k (3-42)














sect19]




















Cisinminussdot=

minussdotminus

=sdotminussdotminus

rarr

minusminusminus

minusminusminus

minusminus

infinrarr

keez

ek

eab

zjeaeaeb

zjzE

abzjjazj

abzjzaj

zajzbj

z

1

1)()(

2)(

)()(2

1)(

)(222

)(22

22

ππγπ

ππ

ππ

ππ fff

ff (3-43)


isin=

isin

minus+

rarrinfinrarr C

Z

)()(

2

abe

n

abnz jzk

ffπγ

γ (3-44)












minusminus

prodsdot=Ω= k

kl

k zzzzzEz

1)()( (3-45a)



uzezzz

azj

minussdotsdotΩ

=Ξ)(ln

)(2π

(3-45b)








int

intint

intintint

infin

infinminus

prime

infin

infinminus

minus


primeminusprime


=primeΞminussdot=

=

primeprimeΞ+

primeprimeΞ=

primeprimeΞ=Ξ

uduu

euuP

ia

ieuui

dvuPdjia

uduzdzzdzuz

uajauj

jj

R

RRRR

)(ln

2)(

ln)(ln

)(ReRe

2)(ln


22

0

Semiciculo

ππ

πϑ

ϑ

πππ

ϑπ

f

f

C

(3-46)




auazuuduu

uuEPuEl

kk ππ

π2

2)(argarg2

)(ln)(arg

1



infin

infinminus =

f (3-47)





u

SPIC

-R RRez= u

Imz









[160])



desconocido





























xdxezzzz

zzi

xdxezzzz

zzixx

b

x

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

x

a

xxjz

nn

nn

n nnn

nn

n

n


prodminus+


prodminusminus=

intsum

intsum

primeminus

ne

primeminus

ne

)()(

)()()()(

)(

2

2

2 2

22

)(

1

1

1 1

11

2

1

f

fff 1

(3-48)




rarrrarr

rarrrarr

minusminus

prodsdot=

)()()(

)()()( )()(

1analiacutetica

extensioacuten

11


zEuEx

zEuEx

zzzz

zEzEn

n

nF

F

f

f1

(3-49)









transformado

)()()()()()(11

xezzixxessxssss

ssss

zzzz xjz

kkjszxs

kkk

kk

k

kjsz

k

k kk-


+=minus+




a

xjzxjzk

x

a


1 ffffff 1-L














)()(

)()( xzE

xzE

minus rarrlarr

rarrlarrharr

harr

SD

SD

f

f

z

z

(3-50)
















































73 74 75 76 103]













































es uacutenica













































































)1()()( y

)1()()( 2

1

221||

0

1

1

0 ujk

N

k

nujujzkk

N

k

n ezCeuEen


=

sdot=minus

=minusprod==rarr

isinisin

minusprod== FFZ

C (3-51)










minusminus=minus

minus=minusrarr

minus

minuslowastminus

lowastminus

=

lowastlowast

minus

1fase1fase

|1||1|

)1( 1 en cero

)1( en cero22

221||

1

ujk

ujk

ujk

ujkz

kk

kk

ezez

ezez

zzz

zzzππ

ππ













zk

1zk

z2

z3

z5

z1

zN

|z|=1




























][][][][)( )1()()(21

10

01

1nfnfnfnnCxzzCzzzE

Nzzzk

N

k


=LδfF (3-53)










(3-54)






(3-55)


12 1arg221 )()1(

)1()(


lowast

= rarrminusminus

= zzjujk

ez

k

kk

kuj

eeBzzzz

zB ππ (3-56)














-2 - 1 0 1 2 n

-2 - 1 0 1 2 n

-zk

-zk

1

1

rarrminus

rarrminusminus

minus

lowastlowast

minus

1

1

)1( 1 en cero

)1( en cero 1

Z

Z

zzz

zzz

kk

kk























- 1 0 1 2 n

-z2 1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -1 0 1 2 3 n

-(z1+ z2+ z3)

1


-z1middotz2middotz3

f z2

f z1

f z3


-z2 1

- 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

-z3 1 -2 -1 0 1 2 n


-z2


z1 middotz3 f 1z2

f z1

f z3

Variant e 1

-3 -2 -1 -2 -3 n



-z1

- 1 0 1 2 n

1 - 1 0 1 2 n

-z1 1

- 1 0 1 2 n

1

-z2

-z3

f 1z2

f z1

f 1z3

Variant e 2

][][][)(21






NN

N

mnmnC

mnN

NN

N

zzzzzzzzzzz

zzzzzazazminus

neforall

minusminus




sum )()1()(1

)1()1(1)(

21)(

2121

111

11

LLL

LLF

(3-57)


121111



zzzzzzzzzz

i

NNiNii

LLLF

(3-58)




zzzzz

zzzzzzzzzzzzji

NNjiNjijiji

LLLF

(3-59)


121

11

)()1(

)()1(

)1()(

minusminus


lowastlowast

sdotsdot

minus+


minus=

zzz

zzz

zzzzzzzzz

zzz

li

NMN

liNliliM

liM

L

LL

LLLL

LF (3-60)























isin=


Z

i

i

zzznnn

E )( )(

donde )()()(21

21

z

nznzz n

n

fF (3-61)






)()(1

0 zzz nk

k

p

FF=











( (3-63)









2


lk

kl1 FFF(

α (3-64)















n1

n2

a

b 1

1 n1

a

b

1

1

n2

zndash2Fk (1z)




n1

n2

a

a 1

1 n1

a

a

1

1

n2

zndash2 Fk (1z)






de solucioacuten





























dimensiones



























2

2

1

1

2

222

1

111

~~

~~

~~~~~~

~~~~~~

GE

GE

GE

GE

GE

GE

=

=rArrsdot=

=rArrsdot=

ff

ff (3-66)








2

2222

1

1111

~~~~~

~~~~~

GE

BEE

GE

BEE

mm

mm

=rArrsdot=

=rArrsdot=

(2m)

(1m)

f

f

(3-67)




iguales

)()(~~

~~~~~

~~

~~~

212

663

1

22

2

2ambiguumledad de

hipoacutetesispor

1

663

1

11

1

1 zBzBBG

BEGE

BG

BEGE mm =rArr


ltgtminuslt

ffff (2m)(1m) (3-68)

Es decir

)()( 22

2

1

1

1 zB

zzzz

zzzz

zBn

n

nn

n

n=

minusminus

prod=minusminus

prod= (3-69)







=

=rArr==

22

1121 1)()(

EE

EEzBzB

m

m (3-70)




















equivalentes







magneacutetico


































diferentes















error [46 6])


















































































uEuE

uEuE uEuE(u)En

rn

r

nr

nr

nr

)(Re)(Im

)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(

2)1(2)1()(

Hminus=


(3-73)













020 )()()()( uxj







1)()()()(

))(()()()(

00

00

22

222

+++=

=++==

minuslowastlowast

lowastminuslowast

uxjr

uxjrrr

uxjr

uxjr

euEeuEuEuE

eEeEuEuEuEππ

ππ

(3-75)















amplitud A


)()()()(

0022

2222200

uxuEAuxuEAAuE

AeuEAeuEAuEuE

rrr

uxjr

uxjrr

ππ

ππ

sdot+sdot++=


(3-77)



















utilizar

2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|

))(cos(arg|)(|


uEuEAuEAuE

AuEuEuEuEuE

r

r

sdotminus+=

minussdotsdot

= (3-79)







infinito



sum intsum

=

infin

infinminus+

minus

= =+

=


partpartprime

minusprime

minus

partpart

=n

kn

n

k un

kk

n

un

kk

uduuu

uEuk

uuEPuuE

ukuuE

01

1

0 01

0 )(

)(lnRe

|)(|log)(lnIm

)(arg

π

(3-80)





















los pies)


















E(u)

u u

Apodizacioacuten

f (x)

F

E(u)lowastprod(uk)

F

D

S



















































































teoacuterico
























67 68 69 44 11 121]33

















arg

med1

argmed1

k

k

j

kfk

jkEk

e

ef

ffMf

M

sdot==

sdot==

+

+EEEE

(3-81)






























)()(2xj





MEE k

E N f N

kf

F1+kE


Mfk

f





2

)()( xjd



entre ambas

)()()(

)()()(22

2

221

11

2

21

1

xj-xj

xj-xj

euEexuE

euEexuE∆∆

∆minus∆

sdot=sdot=

sdot=sdot=

FFF

FFF

f

f (3-84)












generalizarse




M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

F F ndash1ej∆x2

M k2E


desenfoque ∆1

12

+kE



desenfoque ∆2






sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

HHHH

HHHH

EEHHE

EEHHE

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P (3-86)







sdot=

sdot=

sdot=sdot=

sdot=sdot=

+minus+

+minus+minus

minus

minus

iiijij

iiii

TTTT

TTTT

TT

TT

1

11

11211

122

22121

211

][

][

donde

PP

P

EEE

EEE (3-87)






M k1E

E N f N

11

+kE

εltminus 111kkd EE

P12

M k2E


campo sobre D1

12

+kE

P21


sobre D2













generalizacioacuten




M k1E

k2E

f N

E 1N

E 2N

1+kf

εltminus 1kkd ff

M k2E



sobre D1

T2-1


sobre D2

Rf kf

k1E

T1-1

T2 T1

kisinP knotinP

























f N

E 1N

E NN


T2-1 T1

-1

T2 T1

RE k1E

εltminus 1kkd ff

Rf kf RE k2E RE k

3E RE kNE

T3-1

T3

TN-1

TN


















ffff

ffmmmmmm

ffmmffmm

lllm

l

M

iilililm

EEEE

EEEEEEEE

EEEEEEEE

fEEfEfEEfk

sdotsdot+



=minus=sdotminus=

+

++

++

=

lowast sumsum sum

)(diag)(diag



)()()()(

222


22ξ

(3-88)












bastante juiciosas



















sumsum

sumsum

=

=

partpart

part

minusminus

part

part

part

partsdot=

partpart

part

part


part

part

1

2222

222

2

1

22

2)(

2)(

l

M

i jk

ilf

ilfilmj

ilf

k

ilf

jk

l k

ilfM

iilfilm

k

k

k

ff

EEE

f

E

f

E

fff

f

EEE

ff

ξ

ξ

(3-91)











imaginarias









k

ilf

k

ilf

k

ilf

b

Ej

a

E

f

E

part

part+

part

partequiv

part

part222

(3-92)



sdotΨ=part

part

sdotΨ=part

part


lowast

lowast

==sumsum

)(Im2)(

)(Re2)(

)()(2

2

11

ff

ff

ff i

Eb

E

Ea

E

bjaE

kk

kk

ii

N

ii

N

ii

(3-93)


)(2)(

2

ff

fE

Ek

k

sdotΨsdot=part

partlowast (3-94)


sumsumsumsum

sumsum

=

lowastlowast

=

lowast

=

sdotΨΨsdot=part

part

part

partsdotasymp

partpart

part


part

1

2

1

222

1

22

)(82)(

)(4)(

l

M

iililjilk

l

M

i j

ilf

k

ilf

jk

lililk

M

iilfilm

k

fEf

E

f

E

fff

fEEEf

f

ξ

ξ

(3-95)








2

diagdiag4)(

21)(

)(diag)(diagdiag4)(

TT

T


part=


+

+

ffjk

ffmmf

EEfff

f

EEEEEf

ξζ

ξ

(3-96)







λ( 0 ) =0001 2

2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ



















[ ]212

1 mmm

mm EEE

EE =

= (3-97)


[ ]21

2

1 TTTT

T =

= (3-98)








del meacutetodo






D f f n )( )()(1


rrrr CCn

N

nnE (3-99)


sumsumsumsum sum=

ne=

lowastlowast

== =


nn

N

n

N

n

N

mmnEE

1nnm1m

mn1n

nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22

1 1

rrrrrrr (3-100)


minus=isin=

isinΨΨ=Λ

realisin=

realisinΨ=Ω

sdotΛ+sdotΩ=sdot

lowast

lowast

+

+

prime

==

lowast sumsum

)(1

)()()(

||

|)(|)(

donde )( )()()(

2

2

2

NNk

EE

k

nn

n

n

N

nn

N

nn

C

C

mn

n

n

n

1n1n

ff

f

β

αβα

rrr

rr

rrrr (3-101)









sum=

lowast =ΓsdotΓM

nijji nn

1

][][ δ

(3-102)


sum=

sdotΓ=N

nnE1n

γ)()|(| 2 rr

(3-103)
















34 SUMARIO




























































dimensioacuten

IV VALIDACIOacuteN

EXPERIMENTAL





observacionesrdquo

Francis Bacon Libro


Organumrdquo


































aeacutereo









antena







01

088

y

z

x

x

10

04

088

04

D1

S

D2













































apertura seraacute

daNkprime

sdot=2max



2max sdot=Nk









usando (2-32) y (2-94)




2ltN2

kmaxkmax ky kx

1

Filtro


sdotΨminus=

sdotΨ==sdot=

xOy

yOxO

ME

ME~~~

~~~~~~ fΨE (4-1)






~~~IFFT~IFFT

~~~IFFT~IFFT

Oiyxx

Oixyy

HEMM

HEMM

Ψsdotminus==

Ψsdot== (4-2)









compleja de campo)






























sect323











5 10 15 20

0 dB

-5 dB

-10 dB

-15 dB

-20 dB


r(cm)

0

D1

D2

S2

45deg

237deg

a acute=111middotλ

z

D1(ampliado)

D2(ampliado)

dominios de

observacioacuten

ampliados

d=16 8 middotλ

d=42 34middotλ

0 44 m0 88 m









Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6

Tabla 41


















dominio ampliado



Tabla 42





































de moacutedulo




































Tabla 43







Hoenders4
























Tabla 44






































x2+y2lt00452

















Tabla 45


















originales






























la antena)
















contrapolar)










y

x1 m

1 m

xy

z

Eθ Eφ

Eθ

Eφ

Plano ϕ =0

Plano ϕ =90deg

54 m



































































moacutedulo

























































SECUNDARIO




































columna













8m

16

m

Srsquo

x

y

z

ϕ



ρ φ

y

ρ





























J1

J2

JN

hellip

J1

J2

JN

hellipequiv

Plan

o de t

ierra


Mequi equiv





















logariacutetmica


















imaacutegenes

sumsum sum= = =

minus+=

sdot=

minus=


i kk

jiij

ijij

kj

N

ji

kijky

dzz

zzyyxxJ1

M-DiM

1

21

1 21)1(

donde )( γβα

αα

δα (4-3)


dipolos reales





sumsum sum== =


iii

N

i

N

jijkjkijk

kiy yRGyyRGE

11 12

21 )( )()()()1()( ϕρββr

donde



minus

minus

2

222

2

221

)cos()()sin(

)cos()()sin(

MDiMjiij

MDiMjiij

dzyyxR

dzyyxR

ϕρϕρ

ϕρϕρ

(4-4)










sum=


iijiijx zzyyxxMM

1

)(δ

sumsum==

Ψsdot=sdot=xx N

iii

N

iiiy yM)(RGME

113 )( )( ϕρr

(4-5)








































(MPS-C)
























(MOCA)































(MPS-M)


















los dipolos reales






entorno al 3




































































204 Capiacutetulo V










estudio

























































electromagnetismo



206 Capiacutetulo V


eficiente




















































la trayectoria3














208 Capiacutetulo V




partes






radiador










S

J1

M1

z



radio Sonda


niveles relativos


sobre el radiador



















moacutedulo






Receptor


de fuentes Detector

logariacutetmico

210 Capiacutetulo V


complejo
















Receptor

oacuteptimo


de fuentes

Detector

logariacutetmico

Receptor

oacuteptimo

Detector

logariacutetmico

π2

ReE

ImE




Receptor

oacuteptimo Antena


Detector

logariacutetmico

ReE

H ImE




banda limitada5






















ruido








212 Capiacutetulo V





















+sdotminussdot+

+minussdot+

+sdot

M

M

)(

)(

)(

2

1

TMt

Tt

t

M ξβ

ξβ

ξβγsdotξ(Tm-t)


del maacuteximo

M

M

Mα

α

α

2

1



Modelo de error





=

η2EQPE (5-3)

















del maacuteximo

kαdt

T

sdotint0

)(o

ξ[n]

Q



del maacuteximo

kα

00

][

21 LLL Pk

k kNn

ξξξβ


P

i 1

)(o


ξ[n]

Q



214 Capiacutetulo V





el espacio E (3-2)


SECUNDARIO











































figura 4-39











216 Capiacutetulo V




























90 V

50

10

01 micros 08 microS

01 micros

22 ms

2 microsP1

8-22 micros

P2

P3



0rsquo8 micros







considerar el P3


















Deteccioacuten de


oacuteptima


fuentes radiantes

Sentildeales de


Antena



corrientes

218 Capiacutetulo V
























Reconstruccioacuten

de fuentes




Recepcioacuten


interrogacioacuten

SSR








Antena y filtro










vidrio

20 mm


285 mm 104 mm


(dieleacutectrico)




Cobre)

Placa de circuito

220 Capiacutetulo V

















Parche




50 Ω

50 Ω

s1

W1

s2

W2


L1

L1 = 397 mm

W1 = 355 mm s1 = 08 mm

W1 = 430 mm s1 = 49 mm
















Analizador de redes

80 cm

20 d

B

133 MHz

1030 MHz 1030 MHz

20 d

B

85 MHz

1030 MHz1030 MHz

Componente copolar

222 Capiacutetulo V






















1

2

3

4

5

6

7

8

VPOS

INHI

INLO

VPOS

VOUT

VSET

COMM

PWDN

AD 8313GND

GND

GND GND

5 V

5 V

SALIDA

ENTRADA (Adaptador)


10 Ω

10 Ω 01 microF


















285 mm

104 mm





SALIDA

224 Capiacutetulo V


























Osciloscopio


SINC


SINC

1030990 1070

100 mVdiv 2 msdiv


Esquema de medida



a) PT = 10 dBm

c) PT = ndash30 dBm

b) PT = ndash10 dBm

d) PT = ndash40 dBm



0

05

1

15

2

-40 -30 -20 -10 0 10 20


Tens

ioacuten

de sa

lida

(V)

V estable V rizado





alimentacioacuten


80 cm

SINC

226 Capiacutetulo V






























P1 normalizado

P2 normalizado


10


int sdotsmicro82

0)(

int sdotsmicro82

0)(




































228 Capiacutetulo V





0)79(1042

1080250()2

()22()2( 12

62

asymp=sdotsdot

sdotsdot==== minus

minus

QQNoEQ

NoEQdQP

oerr σ

(5-4)










3

12

6

1081)153(2)1022

1080010(100992)2(12 minus

minus

minus


sdot=

minus= QQdQ

MMP

oerr σ

(5-5)





sect44)



d2

057 radicT


Pulsos vaacutelidos

4025 10-4 6261 10-4



d2

a)


025 V P2

b)
































sentildeales SSR

DSP


Nivel del pulso

(correccioacuten)


PC

25 MHz

230 Capiacutetulo V











S1[n] = S1[n-1] - salida + m43


Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]








7 Volver a (2)

Tabla 5-1

TLC 5540

D1-D8

Reloj

Habilitar

Tierra

TMS320c6711

D0-D7

Reloj

Ctrl

Tierra

+5 V GND +5 V GND

Circuito detector

(AmpLog)

+5 V GND


Puerto paralelo

Conv

ersor

AD

DSP





























m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20


Entrada Salida

S1(n)

S2(n)



S1(n-1)


Pvaacutelido[1]

232 Capiacutetulo V




VI CONCLUSIONES Y

LIacuteNEAS FUTURAS




pararrdquo

Miguel de Cervantes




61 CONCLUSIONES





funciones modales








de corrientes





de dipolos de Hertz










fase


superficiales


236


























[58 49])























teacutecnicas





BIBLIOGRAFIacuteA



vol 83 pp 179-192 1956


vol 84 pp 237-238 1957









vol 25 no 8 pp 519-520 13th April 1989














Barcelona 1996


pp 362-368 April 1995













vol 350 pp 191-212 1976





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Ceselsa 1996









1997 pp 521-524











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1984










pp 27-29 1978



vol 3 no 11 pp 1897-1907 Nov 1986




vol 39 no5 pp 76-81 Oct 1997



pp 41-53 1971








10-12 1977









1935






April 1982




1719-1725 Sept 1975




















B-243




vol 44 no 5 pp 701-710 May 1996







1993



Amer vol 60 pp 280-281 1970



134 1973



Mir Moscuacute 1990













784








148



26-30 1998 pp192-196



1998 pp1346-1343
















vol 55 pp 981-986 1965










B-245


IEEE vol 85 no10 pp 1526-1535 1997


pp 2094-2105 1998



Aug 1999






vol 58 pp 1233-1234 1968



















Revolucionaria 1972










Society 1934










49 pp71-80 1971








Elsevier 1990












B-247




21 Jan 1949



1988






536-541 Aug 1996


pp 385-391 March 1981








302 1926



292-295




1989





42 no 2 pp 184-195 Feb 1981















Portada

Cita

Agradecimientos

Contenido




Resumen de la tesis









25 Ejemplos

26 Sumario



32 PI con fase

33 PI sin fase



34 Sumario












61 Conclusiones


Bibliografiacutea

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