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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO 2018 - 2019Programa de refuerzo para la recuperación de los aprendizajes no adquiridos. 3º ESO Académicas

Los alumnos de la ESO que tengan pendientes las Matemáticas de cursos anteriores las podrán superarmediante el siguiente Plan de Recuperación :

El profesor encargado del seguimiento de estos alumnos será el que le imparta la asignatura del curso actual.

Los alumnos podrán acudirán al Profesor de Matemáticas de su grupo para solicitar cualquier ayuda oaclaración.

El profesor de referencia de este curso les entregará de forma periódica trabajos y ejercicios que se considerenoportunos y que deberán devolver realizados en las diferentes fechas que el propio profesor les indicará.

Se entregarán las actividades bien presentadas y ordenadas.

Se realizará una prueba escrita en cada evaluación según el siguiente calendario.

1ª Eval.: 19-23 NOV.

2ª Eval.: 18-22 MAR.

3ª Eval.: 22-26 ABR.

Extraordinaria: 1-4 de septiembre.

En total se le harán tres pruebas a los alumnos.

La nota final será la media de las tres evaluaciones siempre que todas puntúen un mínimo de 3,5 puntos sobre 10

Si el resultado fuese inferior a 5 se le hará una recuperación de toda la asignatura a la misma hora y día quemarque el calendario de exámenes de suficiencia del curso actual.

1ª Eval.UNIDAD 1. NÚMEROS RACIONALESUNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCESUNIDAD 3. PROGRESIONESUNIDAD 4. PROPORCIONALIDA NUMÉRICA2ª Eval.UNIDAD 5. POLINOMIOSUNIDAD 6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADOUNIDAD 7. SISTEMA DE ECUACIONES

3ª Eval.UNIDAD 8. LUGARES GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y PERÍMETROSUNIDAD 9. MOVIMIENTOS Y SEMEJANZASUNIDAD 10. CUERPOS GEOMÉTRICOSUNIDAD 11. FUNCIONESUNIDAD 12. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICASUNIDAD 13. ESTADÍSTICAUNIDAD 14. PROBABILIDAD

De acuerdo con los resultados académicos obtenidos a lo largo del curso 2017-2018, se comunica alalumno/a………………………………………, del grupo …….. que no ha superado los objetivos de la asignaturade Matemáticas de 3º ESO Académicas Para aprobar dicha asignatura el alumno deberá superar el Plan deRecuperación descrito anteriormente.

Fdo.: El profesor de Matemáticas.

Para conocimiento de los padres, ruego devuelvan firmado el presente escrito al profesor de Matemáticas.

D/Dª_____________________________________, padre/ madre del alumno/a ________________________________, del grupo____, quedo informado de los contenidos de Matemáticas que mi hijo/a debe recuperar.

Fdo.: Padre/Madre

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO 2018 - 2019

Programa de refuerzo para la recuperación de los aprendizajes no adquiridos. 3º ESO Aplicadas

Los alumnos de la ESO que tengan pendientes las Matemáticas de cursos anteriores las podrán superarmediante el siguiente Plan de Recuperación :

El profesor encargado del seguimiento de estos alumnos será el que le imparta la asignatura del curso actual.

Los alumnos podrán acudirán al Profesor de Matemáticas de su grupo para solicitar cualquier ayuda oaclaración.

El profesor de referencia de este curso les entregará de forma periódica trabajos y ejercicios que se considerenoportunos y que deberán devolver realizados en las diferentes fechas que el propio profesor les indicará.

Se entregarán las actividades bien presentadas y ordenadas.

Se realizará una prueba escrita en cada evaluación según el siguiente calendario.

1ª Eval.: 19-23 NOV.

2ª Eval.: 18-22 MAR.

3ª Eval.: 22-26 ABR.

Extraordinaria: 1-4 de septiembre.

En total se le harán tres pruebas a los alumnos.

La nota final será la media de las tres evaluaciones siempre que todas puntúen un mínimo de 3,5 puntos sobre 10

Si el resultado fuese inferior a 5 se le hará una recuperación de toda la asignatura a la misma hora y día quemarque el calendario de exámenes de suficiencia del curso actual.

1ª Eval.

UNIDAD 1. NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONESUNIDAD 2. NÚMEROS DECIMALES. NOTIFICACIÓN CIENTÍFICA

2ª Eval.

UNIDAD 3. POLINOMIOS. SUCESIONES NUMÉRICAS

UNIDAD 4. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

3ª Eval.

UNIDAD 5. PERÍMETROS Y ÁREASUNIDAD 6. MOVIMIENTOS Y SEMEJANZASUNIDAD 7. CUERPOS GEOMÉTRICOSUNIDAD 8. FUNCIONES Y GRÁFICASUNIDAD 9. ESTADÍSTICA

De acuerdo con los resultados académicos obtenidos a lo largo del curso 2017-2018, se comunica alalumno/a………………………………………, del grupo…….. que no ha superado los objetivos de la asignatura deMatemáticas de 3º ESO Aplicadas. Para aprobar dicha asignatura el alumno deberá superar el Plan deRecuperación descrito anteriormente.

Fdo.: El profesor de Matemáticas.

Para conocimiento de los padres, ruego devuelvan firmado el presente escrito al profesor de Matemáticas.

D/Dª_____________________________________, padre/ madre del alumno/a ________________________________, del grupo

____, quedo informado de los contenidos de Matemáticas que mi hijo/a debe recuperar.

Fdo.: Padre/Madre

1 Números reales

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Halla el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes.

a) —135— � —

x4

— b) —2x

— � —280—

a) 15 � 4 � 3 � x ⇒ x � �630� � 20 b) 2 � 20 � x � 8 ⇒ x � � 5

Expresa estas fracciones con el mismo denominador.

a) —35

—, —1115— y —

1230— b) —

79

—, —132— y —

168—

a) �35

� � � �36

60� �

11

15� � � �

1230� � �

b) �79

� � � �23

86� �

132� � � �

168� � � �

1326�

Amplifica cada una de estas fracciones: , , y , a otra fracción equivalente que tenga por

denominador una potencia de 10.

�72

� � � �31

50� �

95

� � � �1180� �

215� � � �

1400� �

1510� � � �

12020

�

Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que son chicos y chicas? Razona la respuesta.

�36

� de 42 es 3 � �462� � 21 �

47

� de 42 es 4 � �472� � 24

No podemos hacer tal afirmación, ya que de ese modo habría 21 � 24 � 45 alumnos y alumnas en la clase, lo cual no es cierto.

Realiza y simplifica estas operaciones.

a) � � b) —73

— � —120— � —

35

— c) —25

— � —34

— � —23

— d) � � —92

—

a) �34

� � �152� � �

78

� � �12

84� � �

12

04� � �

22

14� � �

2294� c) �

25

� � �34

� � �23

� � �260� � �

23

� � �260� � �

32

� � �1480� � �

290�

b) �73

� � �120� � �

35

� � �73

00� � �

360� � �

13

80� � �

8320� � �

4115� d) �

23

� � �45

� � �92

� � �1102� � �

92

� � �9204� � �

145�

Efectúa estas operaciones.

a) 1 � —53

— � —27

— b) �—25

— � —43

— � 3 c) 8 � —56

— � —�

43— d) � —

76

— � 9

a) 1 � �53

� � �27

� � �22

11� � �

32

51� � �

261� � ��

281� c) 8 � �

56

� � ��43� � � � ��

12240

� � �5

b) ��25

� � �43

� � 3 � ��165� � �

21

05� � �

41

55� � ��

3115� d) �

32

� � �76

� � 9 � �1184� � 9 � �

11642

� �81�7

8 � 5 � 3�

6 � 4

3—2

1.6

4—5

2—3

7—8

5—12

3—4

1.5

4—7

3—6

1.4

11 � 2�50 � 2

1 � 4�25 � 4

9 � 2�5 � 2

7 � 5�2 � 5

11—50

1—25

9—5

7—2

1.3

6 � 2�18 � 2

9�36

3 � 3�12 � 3

7 � 4�9 � 4

39�60

13 � 3�20 � 3

44�66

11 � 4�15 � 4

3 � 12�5 � 12

1.2

40�8

1.1

1 Números reales

Calcula y simplifica el resultado.

a) —32

— � —15

— � —145— b) �—

13

— � —23

— � —94

—

a) �32

� � � � �32

� � � �32

00� � �

1250� � �

4250� � �

94

�

b) ��13

� � �23

� � �94

� � ��13

� � �11

82� � ��

142� � �

1182� � ��

2122� � ��

161�

Realiza las siguientes operaciones.

a) —14

— � —37

— � —72

— � —56

— � �1 � —72

—�b) �—

23

— � —14

—� � �—26

— � —52

—� � 3

c) 3 � —12

— � 4 � �—35

— � 1� � 1

a) �14

� � �37

� � �72

� � �56

� � �1 � �72

�� 25

16� � �

56

� � � �2516� � �

2152� � �

2116

�8

3� � �

2516

�814

� � ��218678

�

b) ��23

� � �14

�� 26

� � �52

�� 3 � �152� � �

�613� � 3 � �

�7625

� � 3 � ��7625

� � �13

� � ��26156

�

c) 3 � �12

� � 4 � ��35

� � 1� � 1 � 3 � 2 � ��52� � 1 � 3 � 5 � 1 � 9

Dibuja los puntos de abscisa 1 y �1; 3 y �3; 5 y �5. ¿Cómo son estos pares de puntos respecto del origen?

Son puntos simétricos respecto al origen.

Utiliza el método de Tales para representar en una recta estos números racionales.

a) —35

— b) �—13

— c) —152— d) —

97

—

a) b) c) d)

Calcula los valores de las abscisas de los puntos de cada figura.

a) b)

a) �58

� b) 1 � �34

� � �74

�

1.11

1.10

1.9

�5�

2

1.8

15�20

4�15

1�5

1.7

–5 –3 –1 0 1 3 5

0 135

0–1 –1 3

0 3125

1 2

125

= 2 + 25

0 1 2

= 1 + 27

97

97

0 1

0 21

1 Números reales

Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica qué tipo de decimal es cada uno y, si exis-ten, la parte entera, el anteperíodo y el período.

a) —192— b) —

175— c) —

167— d) —

57

—

a) 1,3v. La parte entera es 1, no hay anteperíodo, y el período es 3.

b) 0,46v. La parte entera es 0, el anteperíodo es 4 y el período es 6.

c) 2,83v. La parte entera es 2, el anteperíodo es 8 y el período es 3.

d) 0,714285.w La parte entera es 0, no hay anteperíodo y el período es 714285.

Sin hacer la división, explica qué tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción.

a) —11226

— b) —5292— c) —

2297— d) —

14757

—

a) �11226

� � �221� Decimal exacto c) 27 � 33 Periódico puro

b) 22 � 2 � 11 Periódico mixto d) �14757

� � �5195�; 15 � 3 � 5 Periódico mixto

Escribe en forma fraccionaria los números.

a) 3,5 c) �3,55... e) 5,255... g) 1,11...

b) 0,66... d) 2,1515... f) 0,7575... h) 6,2525...

a) �31

50� � �

72

� e) �525

9�0

52� � �

49703

�

b) �6 �

90

� � �23

� f) �75

9�9

0� � �

2353�

c) ��35

9� 3� � ��

392� g) �

119� 1� � �

190�

d) �215

99� 2� � �

29193

� � �73

13� h) �

62599

� 6� � �

69199

�

Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

a) —35

— c) �7� e) 632

b) 0,75 d) �4 f) 0,14 144 1114...

a) Racional c) Irracional e) Racional

b) Racional d) Racional f) Irracional

Escribe tres números irracionales que estén dados por raíces y tres que no lo estén.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Tres números irracionales dados por raíces: �2�, �3�, �34�

Tres números irracionales que no vienen dados por una raíz: �, 0,12 112 1112…, 2,01 002 0003 00004…

1.16

1.15

1.14

1.13

1.12

2 Potencias y raíces


Escribe como potencias positivas las negativas, y viceversa.

a) 8�3 b) �61�4� c) 52 d) ��

52

��3

a) �81

3� b) 64 c) �

51�2� d) ��

25

��3

Expresa estas potencias como potencias únicas y calcula las operaciones.

a) 23 � 25 c) 62 � 6�4

b) 6�3 � 6�3 d) 102 � 104

a) 23 � 5 � 28 � 256 c) 62 � (�4) � 66 � 46 656

b) 6�3 � (�3) � 6�6 � 0,000021 d) 102 � 4 � 10�2 � 0,01

Expresa en forma de potencia única estas potencias y obtén el resultado.

a) 2�2 � 3�2 � 7�2 c) 353 � 53 � 7�3

b) 34 � 64 � 18�3 d) 82 � 22 � 4�2

a) (2 � 3 � 7)�2 � 42�2 � 0,00056

b) (3 � 6)4 � 18�3 � 184 : 18�3 � 184 � (�3) � 187 � 3,93 � 1022

c) (35 � 5 � 7)3 � 13 � 1

d) (8 � 2)2 � 4�2 � 42 � 4�2 � 44 � 256

Escribe las siguientes potencias como potencias únicas y calcula el resultado.

a) (3�3)2 c) (2�2)4

b) (22)�3 d) (5�3)�2

a) 3(�3) � 2 � 3�6 � 0,00137 c) 2(�2) � 4 � 2�8 � 0,00391

b) 22 � (�3) � 2�6 � 0,01563 d) 5(�3) � (�2) � 56 � 15 625

Expresa cada número en notación científica.

a) 123,5245 � 105 c) 5 437,65 � 108

b) 0,01245 � 109 d) 0,0054376

a) 1,235245 � 107 c) 5,43765 � 1011

b) 1,245 � 107 d) 5,4376 � 10�3

Escribe en notación científica estos números.

a) 1 200 000 c) 0,00000045

b 3 230 000 000 d) 0,00000000132

a) 1,2 � 106 c) 4,5 � 10�7

b) 3,23 � 109 d) 1,32 � 10�9

Realiza estas operaciones y expresa el resultado en notación científica.

a) 8,05 � 107 � 3,16 � 107 b) 3,13 � 108 � 1,66 � 107

a) (8,05 � 3,16) � 107 � 11,21 � 107 � 1,121 � 108

b) (3,13 � 10 � 1,66) � 107 � (31,3 � 1,66) � 107 � 29,64 � 107 � 2,964 � 108

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

2.1

46

3 .Proporcionalidad directa e inversa


Escribe Halla el valor de x para que se cumplan las siguientes proporciones.

a) —132— � —

4x

— b) —690— � —

4x0— c) —

1x5— � —

336—

a) x � �4

1�2

3� � 1 b) x � �

96�040� � 6 c) x � �

153� 36� � 180

Luis y Carlos cambian divisas. Luis cambia 5 500 soles del Perú y le dan 1 270 euros. A Carlos le dan1 062 euros.

a) ¿Cuántos soles ha cambiado Carlos?

b) Cuál es el cambio euro-sol?

a) �51

52

07

00

� � �1 0

x62� ⇒ 5 500 � 1 062 � 1 270 � x ⇒ x � �

5 8142170000

� � 4 599,2

Carlos ha cambiado 4 599,20 soles. (No hay monedas de un céntimo de soles del Perú, la menor es de 20 céntimos.)

b) �51

52

07

00

� � �1x

� ⇒ 5 500 � x � 1 270 ⇒ x � 0,2

Un sol del Perú equivale a 20 céntimos de euro.

Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a) Millones de euros que se dedican a combatir el hambre en el mundo y número de personas falleci-das a causa del hambre.

b) Velocidad de un coche y tiempo que tarda en recorrer una distancia determinada.

c) Kilogramos de pintura y superficie pintada.

Razona la respuesta.

a) No son directamente proporcionales. Cuanto más dinero se destine a combatir el hambre, menos personas morirán.

b) No son directamente proporcionales. Si se dobla la velocidad, el tiempo en recorrer una distancia determinada se reduce a lamitad.

c) Son directamente proporcionales.

Si doblamos la cantidad de pintura, podremos pintar el doble de superficie.

3.3

3.2

3.1


Reparte 450 de forma directamente proporcional a 25, 50 y 75.

25k � 50k � 75k � 450 ⇒ 150k � 450 ⇒ k � 3

De las 450 unidades, la parte proporcional a 25 es 75, la parte proporcional a 50 es 150 y la parte proporcional a 75 es 225.

Reparte 10 650 en proporción directa a 3, 5 y 7.

3k � 5k � 7k � 10 650 ⇒ 15k � 10 650 ⇒ k � 710

De las 10 650 unidades, la parte proporcional a 3 es 2 130; la parte proporcional a 5, 3 550, y la parte proporcional a 7, 4 970.

Un padre quiere repartir 140 sellos entre sus dos hijos de forma directamente proporcional a sus eda-des, que son 13 y 15 años.¿Cuántos sellos recibirá cada uno?

13k � 15k � 140 ⇒ 28k � 140 ⇒ k � 5

El hijo de 13 años recibirá 13 � 5 � 65 sellos, y el de 15 años se quedará con 15 � 5 � 75 sellos.

Una máquina, A, fabrica 280 tornillos y salen 14 defectuosos. Otra máquina, B, fabrica 275 tornillos ysalen 11 defectuosos.a) ¿Cuál es el porcentaje de tornillos defectuosos fabricados por cada máquina?b) ¿Cuál de las dos máquinas trabaja mejor?

a) �21840

� � ⇒ 1 400 � 280x ⇒ x � 5.

�21715

� � ⇒ 1 100 � 275x ⇒ x � 4.

El porcentaje de tornillos defectuosos hechos por la máquina A es del 5 % y el de B es del 4 %.

b) Trabaja mejor la máquina B. El porcentaje de tornillos que salen defectuosos es menor.

Un análisis realizado en una granja a 7200 animales ha permitido detectar un 24% de animales enfermos.Se emplea como tratamiento una dosis de vitamina A en 2 de cada 3 animales.¿Cuántas dosis de vitamina A se necesitan?

Animales enfermos: 7 200 � 0,24 � 1 728

Para el tratamiento planteamos la siguiente proporción: �23

� � �1 7

x28� ⇒ x � �

2 � 13

728� � 1 152.

Se necesitan 1 152 dosis de vitamina A.

Aumenta las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican.a) 134 en un 8 %. c) 45,76 en un 12 %.b) 4 563 en un 17,3 %. d) 896,32 en un 0,4 %.

a) 134 � �1 � �1

800�� 144,72 c) 45,76 � �1 � �

11020

�� 51,25

b) 4 563 � �1 � �1170,03

�� 5 352,4 d) 896,32 � �1 � �100,40

�� 899,9

3.9

3.8

x�100

x�100

3.7

3.6

3.5

3.4


Disminuye las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican.a) 54 en un 5 %. c) 98,7 en un 79 %.b) 762 en un 9,6 %. d) 2 369,83 en un 0,68 %.

a) 54 � �1 � �1

500�� 51,3 c) 98,7 � �1 � �

17090

�� 20,73

b) 762 � �1 � �190,60

�� 688,85 d) 2 369,83 � �1 � �01,0608

�� 2 353,715

La cantidad de 12 500 se incrementa primero en un 12 % y el resultado se vuelve a incrementar en otro4 %. ¿Cuál es la cantidad final resultante?

Primer incremento: 12 500 � �1 � �11020

�� 14 000

Segundo incremento: 14 000 � �1 � �1

400�� 14 560

La cantidad final es 14 560.

El precio de una bicicleta es 175 euros. En rebajas hacen un descuento del 25 %, pero además, hay quepagar el 16 % de IVA.

¿Cuánto cuesta entonces?

El precio de la bicicleta con el descuento es de 175 � �1 � �12050

�� 131,25 euros.

Al precio tenemos que añadirle el IVA para saber cuánto nos costará finalmente. Con lo cual, el precio final de la bicicleta es de

131,25 � �1 � �11060

�� 152,25 euros.

¿Es lo mismo rebajar primero un artículo un 3 % y luego encarecerlo un 4 % que encarecerlo primero un4 % y luego rebajarlo un 3 %?

Sea el precio del artículo x euros.

En el caso I tenemos: �x � �1 � �1

300�� 1 � �

1400��

Por las propiedades asociativa y conmutativa tenemos:

�x � �1 � �1

300�� 1 � �

1400�� x �1 � �

1300�� 1 � �

1400�� x �1 � �

1400�� 1 � �

1300�� x �1 � �

1400�� 1 � �

1300��

Llegamos al caso II, donde primero se encarece un 4 % y luego se rebaja un 3 %.

Por tanto, es lo mismo rebajar primero un artículo un 3 % y luego encarecerlo un 4 %, que encarecerlo primero un 4 % y luegorebajarlo un 3 %.

Los productos de cierta empresa subieron un 10 % en 2002 y un 12 % en 2003, y bajaron un 4 % en2004. ¿Cuál fue el porcentaje de variación de los precios en esos tres años?

Tomamos 100 como valor inicial para calcular los porcentajes.

Valor final de 100 euros: 100 � 1,10 � 1,12 � 0,96 � 118,272

Por tanto, ha habido una variación positiva del 18,272 %

3.14

3.13

3.12

3.11

3.10


La tabla representa cantidades de dos magnitudes inversamente proporcionales. Halla la constante deproporcionalidad y completa la tabla.

Constante de proporcionalidad: 2 � 12 � 3 � 8 � 4 � x � y � 5 � 24.

De donde obtenemos que x � �244� � 6, e y � �

254� � 4,8.

La constante de proporcionalidad de dos magnitudes inversamente proporcionales es 18. Escribe cuatroparejas de cantidades que cumplan esa condición.

Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. ¿Cuántas jarras se podrán servir si solo se llenan hasta trescuartos de su capacidad?

Si se llenan menos, se podrán servir más jarras. Son magnitudes inversamente proporcionales.

36 � 1 � (N.o de jarras) � �34

�. Se podrán llenar 48 jarras.

Para abonar un campo de cultivo se han necesitado 42 300 kilogramos de un cierto abono que contie-ne un 25 % de nitratos.¿Cuántos kilogramos se necesitarían de otro tipo de abono que contiene un 36 % de nitratos, para queel campo recibiese la misma cantidad de nitratos?

Buscamos la constante: 42 300 � 25 � 1 057 500

Para el abono al 36 %: x � 36 � 1 057 500, luego x � 29 375 kilogramos

Reparte 93 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 5.

�12

� k � �13

� k � �15

� k � 93 ⇒ �15k �

3100k � 6k� � 93 ⇒ 31k � 93 � 30 ⇒ k � �

237190� � 90

De las 93 unidades, la parte inversamente proporcional a 2 es 45, la correspondiente a 3 es 30 y la correspondiente a 5 es 18.

Reparte 168 de modo inversamente proporcional a 3, 5 y 6.

�13

� k � �15

� k � �16

� k � 168 ⇒ �10k �

360k � 5k� � 168 ⇒ 21k � 168 � 30 ⇒ k � �

520140� � 240

De las 168 unidades, la parte inversamente proporcional a 3 es 80, la correspondiente a 5 es 48 y la correspondiente a 6 es 40.

Al repartir 60 de forma inversamente proporcional a los números 2 y x, se sabe que la parte corres-pondiente a 2 es 36. Halla x.

Por un lado, tenemos �12

� k � �1x

� k � 60. Y por otro, sabemos que �12

� k � 36. Con esta última igualdad tenemos que k � 72.

Sustituyendo este dato en la primera igualdad resulta: �12

�72 � �1x

�72 � 60. De donde x � �60

7�2

36� � 3.

3.21

3.20

3.19

3.18

3.17

3.16

3.15

M 2 3 4 y

M� 12 8 x 5

M 1 2 3 4

M� 18 9 6 4,5


Se reparten 60 euros entre el primer y segundo clasificado de una carrera, de manera inversamente pro-porcional al puesto alcanzado.¿Cuántos euros recibirá cada uno?

Tenemos que realizar un reparto inversamente proporcional al puesto.

�12

� k � 1k � 60 ⇒ �32

� k � 60 ⇒ k � 40

El primer clasificado recibirá 1 � 40 � 40 euros, y el segundo, �12

� � 40 � 20 euros.

Para construir un puente de 1 200 metros se cuenta con 300 vigas, que se colocarían cada 40 metros.Después de un estudio de carga, se decide reforzar la obra y se utilizan 100 vigas más.

¿A qué distancia se deben colocar las vigas?

Si ponemos más vigas en el mismo espacio, la distancia entre ellas será menor.

40 � 300 � Distancia � 400 ⇒ Distancia � � 30 m

Las vigas se deben colocar a 30 metros de distancia entre ellas.

Si 10 grifos tardan 12 horas en llenar un depósito de 15 metros cúbicos, ¿cuánto tardarán 8 grifos enllenar otro depósito de 7 metros cúbicos?

10 grifos llenan 15 m3 en 12 horas.

1 grifo llena 15 m3 en 12 � 10 � 120 horas.

8 grifos llenan 1 m3 en �88

� � 1 hora.

8 grifos llenan 7 m3 en 1 � 7 � 7 horas.

El alquiler de 3 coches para 7 días cuesta 630 euros. ¿Cuántos coches se podrán alquilar con 900 eurosdurante 5 días?

�3x

� � �57

� � �69

30

00

� � �36

13

50

00

� � �12

� ⇒ x � 3 � 2 � 6

Se pueden alquilar 6 coches.

3.25

3.24

40 � 300�

400

3.23

3.22

7 días 3 coches 630 euros5 días x coches 900 euros

Proporcionalidad inversa Proporcionalidad directa

1 grifo llena 1 m3 en �11250

� � 8 horas.

11 SUCESIONES. PROGRESIONES

Construye la sucesión recurrente definida por:

a1 � �2 an � an � 1 � 5

�2, 3, 8, 13, 18, 23…

Forma la sucesión recurrente dada por:

a1 � —116— an � an � 1 � 2

�116�; �

18

�; �14

�; �12

�; 1; 2; 4; ...

Calcula los primeros términos de la sucesión recurrente definida por:

a1 � 1 a2 � 3 an � 2an � 1 � an � 2

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

Dadas las sucesiones

(an) � (2, 4, 6, 8 …) y (bn) � (2, 5, 8, 11 …)

halla los cuatro primeros términos de estas sucesiones.

a) 3 � (an) b) (an) � (bn) c) (an) � (bn)

a) 3(an) � (3an) � (6, 12, 18, 24 …)

b) (an) � (bn) � (an � bn) � (4, 9, 14, 19 …)

c) (an) � (bn) � (an � bn) � (4, 20, 48, 88 …)

Los términos generales de dos sucesiones son:

an � 2n � 1 bn � 3n � 4

a) Escribe los cuatro primeros términos de cada sucesión.

b) Halla el término general de las sucesiones 4(an); (an) � (bn) y (an) � (bn).

a) (an) � (3, 5, 7, 9 …)

(bn) � (7, 10, 13, 16 …)

b) 4 � (an) � (4 � an) � [4 � (2n � 1)] � (8n � 4)

(an) � (bn) � (an � bn) � (2n � 1 � 3n � 4) � (5n � 5)

(an) � (bn) � (an � bn) � [(2n � 1) (3n � 4)] � (6n2 � 8n � 3n � 4) � (6n2 � 11n � 4)

Halla el término general de la progresión aritmética:

(an) � (5, 2, �1, �4 …)

an � a1 � (n � 1) � d � 5 � (n � 1) � (�3) � �3n � 8

En una progresión aritmética a1 � 4 y la diferencia es d � �7. Halla el término octavo.

a8 � 4 � (8 � 1) � (�7) � 4 � 7 � 7 � �45

11.11

11.10

11.9

11.8

11.7

11.6

11.5

11 SUCESIONES. PROGRESIONES

Una ONG que se dedica a la ayuda al Tercer Mundo se inició con 125 personas.Si todos los meses se incorporan 5 voluntarios, ¿cuántas personas trabajarán en la ONG al cabo de2 años y medio?

2 años y medio son 24 � 6 meses � 30 meses.

a30 � 125 � (30 � 1) � 5 � 125 � 29 � 5 � 270 voluntarios

Halla la suma de los 40 primeros términos de la progresión aritmética.

(an) � (39, 36, 33, 30 …)

a40 � 39 � 39 � (�3) � �78

S40 � �39 �

278

� � 40 � �780

El primer término de una sucesión aritmética es 1, la diferencia, 2, y la suma de los n primeros térmi-nos es 900. ¿Cuánto vale n?

� 900 � �1 � 2

2n � 1� � n � n2 → n � 30

Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética de diferencia 4 y su suma es igual a 42años.

¿Qué edad tiene cada uno?

a1 � edad del pequeño; a2 � edad del mediano; a3 � edad del mayor

�Un ciclista recorrió el primer día 15 kilómetros y cada día aumenta su recorrido en 1 kilómetro.

¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 20 primeros días?

a20 � 15 � 19 � 1 � 34

S20 � �15 �

234

� � 20 � 420

Habrá recorrido 420 km.

Halla el término general de la progresión geométrica.

(an) � (2, 6, 18, 54 …)

an � 2 � 3n � 1

El primer término de una sucesión geométrica es —73

— y la razón es —23

—. Halla el término noveno.

a9 � �73

� � ��23

��9 � 1

� �73

� � ��23

��8

� 0,091

11.18

11.17

11.16

a1 � 10 añosa2 � 14 añosa3 � 18 años

S3 � a1 � a2 � a3 � �a1 �

2a3

� � 3 � 42 → a1 � a3 � 28

an � a1 � (n � 1) � d → a2 � a1 � 4; a3 � a1 � 8

11.15

Sn � 900 � �1 �

2an

� � n

an � 1 � (n � 1) � 2 � 2n � 1

11.14

11.13

11.12

5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES

Efectúa la siguiente división de polinomios.

(6x 4 � 7x 3 � 2x 2 � 8x � 3) � (2x 2 � 3x � 1)

�6x 4 � 7x 3 � 2x 2 � 8x � 3 2x 2 � 3x � 1�6x 4 � 9x 3 � 3x 2 3x 2 � x � 1�6x 4 �2x 3 � 3x 2

�6x 4 �2x 3 � 3x 2 � x�6x 4 �2x 3 � 2x 2 � 7x�6x 4 �2x 3 �2x 2 � 3x � 1�6x 4 �2x 3 �2x 2 � 4x � 2

Escribe el dividendo de una división de polinomios en la que el divisor es x 2 � 1, el cociente x 3 � 3, yel resto 2x.

D (x ) � d (x ) � C (x ) � R (x ) � (x 2 � 1) � (x 3 � 3) � 2x � x 5 � 3x 2 � x 3 � 3 � 2x

Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto de la división.

a) (4x 3 � 8x 2 � 9x � 7) � (x � 3) c) (5x 5 � 7x 4 � 3x 3 � 5x 2 � 3x � 1) � (x � 1)

b) (2x 3 � 5x 2 � 4x � 2) � (x � 3) d) (6x 4 � 9x 3 � 10x 2 � 8x � 2) � (x � 2)

a) 4 �8 �9 73 12 12 9

4 4 3 16

C (x ) � 4x 2 � 4x � 3 R (x ) � 16

b) 2 5 �4 2�3 �6 3 3

2 �1 �1 5

C (x ) � 2x 2 � x � 1 R (x ) � 5

c) 5 �7 3 �5 3 �1�1 �5 12 �15 20 �23

5 �12 15 �20 23 �24

C (x ) � 5x 4 � 12x 3 � 15x 2 � 20x � 23 R (x ) � �24

d) 6 9 �10 68 �22 12 �42 64 144

6 21 �32 72 142

C (x ) � 6x 3 � 21x 2 � 32x � 72 R (x ) � 142

Averigua el cociente y resto de estas divisiones mediante la regla de Ruffini.

a) (2x 3 � x 2 � 5) � (x � 3)

b) (3x 5 � 3x 2 � 4) � (x � 1)

a) 2 �1 0 53 � 6 15 45

2 �5 15 50

C (x ) � 2x 2 � 5x � 15 R (x ) � 50

b) 3 �0 0 �3 0 �4�1 �3 3 �3 0 �0

3 �3 3 �0 0 �4

C (x ) � 3x 4 � 3x 3 � 3x 2 R (x ) � �4

5.9

5.8

5.7

5.6

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores.

a) —x3

— � —x4

— � —x5

— � 34 b) � —34x— � —

56x— � 15

a) �3x

� � �4x

� � �5x

� � 34 ⇒ 20x � 15x � 12x � 60 � 34 ⇒ 17x � 2 040 ⇒ x � 120

b) �2x

� � �34x� � �

56x� � 15 ⇒ 6x � 3 � 3x � 2 � 5x � 12 � 15 ⇒ 5x � 180 ⇒ x � 36

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2(x � 2) � 5(2x � 3) � 3 b) 8(x � 3) � 4(x � 2) � 9x � 7

a) 2(x � 2) � 5(2x � 3) � 3 ⇒ 2x � 4 � 10x � 15 � 3 ⇒ �8x � �16 ⇒ x � 2b) 8(x � 3) � 4(x � 2) � 9x � 7 ⇒ 8x � 24 � 4x � 8 � 9x � 7 ⇒ 3x � �23 ⇒ x � ��

233�

Resuelve estas ecuaciones.

a) 4x � —67x— � —

3x2� 2— � 46 b) x � —

45x— � 39 � x � —

x2

—

a) 4x � �67x� � �

3x2� 2� � 46 ⇒ 14 � 4x � 2 � 6x � 7(3x � 2) � 14 � 46 ⇒ 47x � 658 ⇒ x � 14

b) x � �45x� � 39 � x � �

2x

� ⇒ 10x � 2 � 4x � 10 � 39 � 10x � 5x ⇒ 390 � 13x ⇒ x � 30

Decide cuál de estas ecuaciones es de segundo grado.

a) x 2 � 9x � 18 b) 3x 2 � 3x � 28 � 1 � 3x 2 c) 2 � 5x 2 � x 3 � 3x 2 � 2x 3 � x 3

La ecuación de 2.º grado es la a. En la ecuación b, al operar desaparecen los términos de grado 2, y la ecuación c es de grado 3.

¿Qué ecuación tiene por soluciones 3 y 4?

a) x 2 � 7x � 12 � 0 b) x 2 � 12x � 7 � 0 c) x 2 � 7x � 12 � 0 d) x 2 � 12x � 7 � 0

La ecuación c. 32 � 7 � 3 � 12 � 0; 42 � 7 � 4 � 12 � 0

Escribe la ecuación de segundo grado que tenga estas soluciones.

a) 2 y 1 b) �4 y 5 c) 3 y �3 d) �1 y �7

a) x 2 � (2 � 1)x � 2 � 1 � 0 ⇒ x 2 � 3x � 2 � 0b) x 2 � (�4 � 5)x � (�4) � 5 � 0 ⇒ x 2 � x � 20 � 0c) x 2 � [3 � (�3)]x � 3 � (�3) � 0 ⇒ x 2 � 9 � 0d) x 2 � [�1 � (�7)]x � (�1) � (�7) � 0 ⇒ x 2 � 8x � 7 � 0

Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por raíces �2 y —13

—.

x 2 � ��2 � �13

��x � (�2) � �13

� � 0 ⇒ x 2 � �53

�x � �23

� � 0 ⇒ 3x 2 � 5x � 2 � 0


a) 3x 2 � 12x � 0 b) x 2 � 25x � 0 c) �2x 2 � 6x � 0 d) �8x 2 � 24x � 0

a) 3x 2 � 12x � 0 ⇒ x(3x � 12) � 0. Soluciones: x � 0 y x � 4b) x 2 � 25x � 0 ⇒ x(x � 25) � 0. Soluciones: x � 0 y x � �25c) �2x 2 � 6x � 0 ⇒ x(�2x � 6) � 0. Soluciones: x � 0 y x � �3d) �8x 2 � 24x � 0 ⇒ x(�8x � 24) � 0. Soluciones: x � 0 y x � 3


a) 5x 2 � 20 � 0 b) �4x 2 � 100 � 0a) 5x 2 � 20 � 0 ⇒ x 2 � 4 ⇒ x � 2, x � �2 b) �4x 2 � 100 � 0 ⇒ x 2 � 25 ⇒ x � 5, x � �5

7.17

7.16

7.15

7.14

7.13

7.12

7.11

7.10

x—2

7.9


Resuelve estas otras ecuaciones.

a) 3x 2 � 0 b) �7x 2 � 0

a) 3x 2 � 0 ⇒ x 2 � 0 ⇒ x � 0 b) �7x 2 � 0 ⇒ x 2 � 0 ⇒ x � 0

Resuelve las ecuaciones.

a) 3x 2 � 5x � x c) 2x 2 � x � 3 � 1 � x � 4b) 3x 2 � 75x d) x 2 � x � 3x 2 � x

a) 3x 2 � 5x � x ⇒ 3x 2 � 6x � 0 ⇒ x(3x � 6) � 0 ⇒ x � 0, x � 2b) 3x 2 � 75x ⇒ x(3x � 75) � 0 ⇒ x � 0, x � 25c) 2x 2 � x � 3 � 1 � x � 4 ⇒ x(2x � 2) � 0 ⇒ x � 0, x � 1d) x 2 � x � 3x 2 � x ⇒ 2x 2 � 0 ⇒ x � 0


a) x 2 � 3x � 2 � 0 b) 2x 2 � 5x � 2 � 0

a) x � � �3 �

2�1��; x � 2, x � 1

b) x � � �5 �

4�9��; x � 2, x � �

12

�


a) x 2 � 7x � 10 � 0 b) x 2 � 11x � 30 � 0

a) x � � �7 �

2�9��; x � 5, x � 2

b) x � � �11 �

2�1�

�; x � 6, x � 5

Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones.

a) 2x 2 � x � 2 � 0 c) 3x 2 � 5x � 8 � 0b) x 2 � 6x � 9 � 0 d) �3x 2 � 4x � 5 � 0

Vemos el signo del discriminante.a) 12 � 4 � 2 � 2 � 0. No tiene soluciones reales.b) (�6)2 � 4 � 1 � 9 � 0. Tiene una única solución.c) (�5)2 � 4 � 3 � (�8) 0. Dos soluciones reales.d) (�4)2 � 4 � (�3) � 5 0. Dos soluciones reales.

Plantea el sistema de ecuaciones lineales para este enunciado: “Una clase tiene 36 alumnos y el númerode chicas es el triple que el de chicos”. Trata de obtener la solución construyendo una tabla de valores.

Sea x el número de chicas e y el número de chicos.

�

En la clase hay 9 chicos y 27 chicas.

x � y � 36x � 3y

7.23

7.22

11 � �(�11)2� � 4 �� 1 � 30��

2 � 1

7 � �(�7)2 �� 4 � 1�� 10��

2 � 1

7.21

5 � �(�5)2 �� 4 � 2�� 2��

2 � 2

3 � �(�3)2 �� 4 � 1�� 2��

2 � 1

7.20

7.19

7.18

y 0 1 2 ... 9x � 3y 0 3 6 ... 27x � y 0 4 8 ... 36


Comprueba si los valores x � 2 e y � 7 son soluciones de los siguientes sistemas.

a) � b) �a) � b) �

x � 2 e y � 7 no son solución del sistema. x � 2 e y � 7 sí son solución del sistema.

Resuelve estos sistemas, sumando o restando ecuaciones.

a) � b) �a) Sumando: b) Restando:

Resuelve los siguientes sistemas, sumando o restando ecuaciones.

a) � b) �a) Sumando: b) Restando:

Utiliza la regla de la suma de ecuaciones para resolver los siguientes sistemas.

a) � b) �a) b)

La suma de dos números es 120 años y su diferencia 60. ¿Cuáles son? Utiliza la regla de la suma deecuaciones para resolver el problema.

Sean los números x e y.

�2x � 180 ⇒ x � 90, y � 30

Los números son 30 y 90.

Resuelve por sustitución estos sistemas.

a) � b) �a) � ⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ �b) � ⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ �y � 20 � 2 � 7 � 6

x � 7y � 20 � 2x�3x � �21

y � 20 � 2xx � 40 � 4x � 19

y � 20 � 2xx � 2(20 � 2x) � 19

2x � y � 20x � 2y � 19

y � 2x � 4

y � 2x � 2y

3y � 6x � 2y

2y � y � 6x � 2y

x � y � 6x � 2y

x � y � 6x � 2y � 0

2x � y � 20x � 2y � 19

x � y � 6x � 2y � 0

7.29

x � y � 120x � y � 160

7.28

x � y � 2�x � y � 0

x � y � 20x � y � 10

7.27

2x � y � 123x � y � 22

x � 2y � 100x � 2y � 60

7.26

2x � 3y � 123x � 3y � 15

x � y � 50x � y � 10

7.25

�3 � 2 � 7 � 15 � 2 � 7 � 3

4 � 2 � 7 � 12 � 2 � 7 � 16 15

�3x � y � 15x � y � 3

4x � 2y � 15x � 2y � 15

7.24

2x � y � 502x � y � 102x � y � 60 ⇒

⇒ x � 20 y � 20

2x � 3y � 123x � 3y � 15�x 3 3y ��3 ⇒

⇒ x � 3 y � �2

2x � 2y � 1002x � 2y � 1602x � y � 160

⇒ x � 80 y � 10

2x � y � �123x � y � �22

�x 3 y � �10 ⇒⇒ x � 10 y � 8

2x � y � 202x � y � 102x � � 30

⇒ x � 15 y � 5

�x � y � 2�x � y � 0

0 � 2No tiene solución.


Resuelve los siguientes sistemas por sustitución.

a) � b) �a) � ⇒ � ⇒ � ⇒ � ⇒ �b) � ⇒ � ⇒ � ⇒ �Plantea para este enunciado un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución: “En un corral hayconejos y patos. El número de animales es 30 y el de patas 100”. ¿Cuántos conejos y patos hay en elcorral?

Sea x el número de conejos e y el de patos

� ⇒ � ⇒ � ⇒ �Hay 20 conejos y 10 patos.

La base de un rectángulo es 12 centímetros mayor que la altura y su perímetro es 64 centímetros. Ha-lla sus dimensiones. Para ello, plantea un sistema y resuélvelo por sustitución.

Sea x la longitud de la base e y la de la altura.

� ⇒ � ⇒ � ⇒ �La base del rectángulo mide 22 centímetros, y la altura, 10.

Resuelve por reducción estos sistemas.

a) � b) �

a) b)

Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas.

a) � b) �

a) b)

22x � 15y � 918x � 28y � 71

6x � 5y � 165x � 12y � �19

7.34

x � 5y � 827x � 8y � 25

4x � 5y � 25x � 3y � 21

7.33

x � 12 � 10 � 22y � 10

x � 12 � y4y � 40

x � 12 � y2(12 � y) � 2y � 64

x � 12 � y2x � 2y � 64

7.32

x � 30 � 10 � 20y � 10

x � 30 � y�2y � �20

x � 30 � y4(30 � y) � 2y � 100

x � y � 304x � 2y � 100

7.31

y � 8x � 6

7y � 56x � y � 2

5(y � 2) � 2y � 46x � y � 2

5x � 2y � 46x � y � �2

x � 3 � 7 � 10y � 7

x � 3 � y5y � 35

x � 3 � y9 � 3y � 2y � 44

x � 3 � y3(3 � y) � 2y � 44

x � y � 33x � 2y � 44

5x � 2y � 46x � y � �2

x � y � 33x � 2y � 44

7.30

�37x � 111 ⇒ x � 3

12x � 15y � 625x � 15y � 105

�3�5

4x � 5y � 25x � 3y � 21 �

143x � 189 ⇒ x � �118493

�

8x � 40y � 64135x � 40y � 125

�8�5

x � 5y � 827x � 8y � 25

�97x � 97 ⇒ x � 1

72x � 60y � 19225x � 60y � �95

�12�5

6x � 5y � 165x � 12y � �19 �

�140y � �700 ⇒ y � 5

198x � 135y � 81198x � 275y � 781

�9�11

22x � 15y � 918x � 25y � 71

��37y � �74 ⇒ y � 2

20x � 25y � 1020x � 12y � 84

�5�4

4x � 5y � 25x � 3y � 21 �

143y � �191 ⇒ x � ��114931

�

27x � 135y � 21627x � 8y � 25

�27

x 5x � 5y � 8

27x � 8y � 25

�97y � 194 ⇒ y � 2

�30x � 25y � 80�30x � 72y � 114

�5�(�6)

6x � 5y � 165x � 12y � �19 �

56x � �168 ⇒ x � �3

110x � 75y � 4554x � 75y � 213

�5�13

22x � 15y � 918x � 25y � 71 ��

��


Resuelve los sistemas por reducción.

a) � b) �a) b)

Halla dos números naturales tales que su suma aumentada en 22 sea igual a dos veces el mayor, y quela diferencia de los dos números menos 1 sea igual al menor.

Sean x e y los números.

� ⇒ � ⇒ ��y � �21 �x � �43

Los números son 43 y 21.

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) � b) �a) Se despeja y en las ecuaciones: b) Se despeja y en las ecuaciones:

y � �3x

2� 8�; y � �1 y � ��

32

�x; y � �6x

Solución: x � 2, y � �1 Solución: x � 0, y � 0

3x � 2y � 06x � y � 0

3x � 2y � 8 � 0y � 1 � 0

7.37

�2x � 2y � �44�2x � 2y � 1

�x � y � �22�x � 2y � 1

x � y � 22 � 2xx � y � 1 � y

7.36

3x � 7y � �235x � 4y � �23

3x � 5y � 162x � 6y � 16

7.35

x y � �3x �

28

�

0 �4

2 �1

x y � �1

0 �1

2 �1

��8y � �16 ⇒ y � 2

6x � 10y � 326x � 18y � �48

�2�3

3x � 5y � 162x � 6y � 16 �

23y � �46 ⇒ y � �2

15x � 35y � �11515x � 12y � �69

�5�3

3x � 7y � �235x � 4y � �23

�8x � 16 ⇒ x � 2

18x � 30y � 9610x � 30y � 80

�6�5

3x � 5y � 162x � 6y � 16 �

�23x � 69 ⇒ x � �3

12x � 28y � �9235x � 28y � �161

�4

x �7 53x � 7y � �235x � 4y � �23

x y � ��32

�x

0 0

2 �3

x y � �6x0 0

�12

� �3

1Y

XO 1

� 2

Y

X

1

1O

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

Halla el área de un triángulo isósceles cuyos lados miden 8, 6 y 6 centímetros.

Averiguamos primero la altura, h, sobre el lado desigual. Dividiendo el triángulo por dicha altura obtenemos un triángulo rec-tángulo que cumple que 62 � h2 � 42. Despejamos h y obtenemos la altura, h � 4,5 centímetros.

Calculamos el área del triángulo: A � �8 �

24,5� � 18 cm2.

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 18 y 12 centímetros.

A � �18

2� 12� � 108 cm2

Se calcula el lado como la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos las mitades de las dos diagonales del rombo:

L � �92 � 6�2� � 10,82

P � 4 � 10,82 � 43,28 cm

La diagonal menor de un rombo mide 6 centímetros y el lado 5 centímetros. Determina su área.

Las diagonales se cortan en el punto medio. Dibujamos un triángulo rectángulo cuyos catetos son la mitad de cada una de lasdiagonales, y la hipotenusa, un lado.

52 � 32 � c 2 ⇒ c � 4 cm ⇒ D � 8 cm

A � �8

2� 6� � 24 cm2

¿Cuánto mide el área de un hexágono regular de 20 centímetros de lado?¿Y su perímetro?

Formamos un triángulo rectángulo de catetos la apotema y la mitad de un lado, y de hipotenusa el segmento que va desde elcentro del hexágono hasta uno de los vértices, que coincide con el radio de la circunferencia circunscrita, el cual, por tratarsede un hexágono regular, mide lo mismo que el lado del hexágono.

202 � 102 � ap2 ⇒ ap � 17,3 cm

A � �(6 � 20

2) � 17,3� � 1 038 cm2

P � 6 � 20 � 120 cm

Averigua el área de estas figuras.

a) b)

a) Sumamos el área de los dos triángulos: A � �10

2� 7� � �

102� 3� � 35 � 15 � 50 cm2

b) Para calcular el área sumamos el área del trapecio y la del romboide.

A � �(10 �

25) � 3� � 10 � (9 � 3) � �

1625

� � 82,5 cm2

8.21

8.20

8.19

8.18

8.17

10 cm

7 cm 5 cm

10 cm

10 cm

3 cm9 cm

10 cm

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

Halla el área de las siguientes figuras.

a) b)

a) Sector circular: A � � � 7

3

2

60� 330� � 141,11 cm2

b) Trapecio circular: A � � 48 � 150,80 cm2

Calcula el área de las figuras sombreadas.

a) b)

a) ACuadrado � ACírculo � 102 � � 52 � 21,46 cm2

b) ACuadrado � ASecCirc1 � ASecCirc2 � 102 � � � 1

306

2

0� 90

� � � � 2

3,650

2 � 90� � 100 � 78,54 � 4,91 � 16,55 cm2

8.23

� 270 � (102 � 62)��

360

8.22

30°7 cm

6 cm

10 cm

10 cm

10 cm

2,5 cm

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

Halla el área lateral y total de estos cuerpos. Las medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) Ahexágono � 6��42h�� 12h � 12�42 � 2�2� � 12�12� � 41,57 cm2

Alateral � 10 � 24 � 240 cm2 Atotal � 240 � 2 � 41,57 � 323,14 cm2

b) Alateral � 2�rh � 2� � 2,5 � 12 � 60� � 188,4 cm2

Acilindro � 2�rh � 2�r 2 � 60� � 2� � 2,52 � 72,5� � 227,77 cm2

Calcula el área lateral y total de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) Se calcula la longitud de arista lateral de la pirámide: l � �152 ��92� � 17,49 cm

Se calcula la longitud de la apotema de la pirámide: A � �17,492�� 4,52� � 16,9 cm

Alateral � �p

2� A� � �

9 � 62� 16,9� � 456,3 cm2

Se calcula la longitud de la apotema de la base: a � �92 � 4�,52� � 7,8 cm

Apirámide � �p

2� A� � �

p2� a� � 456,3 � �

9 � 62� 7,8� � 666,9 cm2

b) Se calcula la longitud de la generatriz: g � �72 � 5�2� � 8,6 cm

Alateral � �rg � � � 5 � 8,6 � 43� �135,02 cm2

Acono � �rg � �r 2 � 43� � � � 52 � 68� � 213,62 cm2

Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. Las medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) V � Abase � h � 5 � 3 � 10 � 150 cm3

b) V � � � 32 � 12 � 339,29 cm3

10.11

10.10

10.9

10

4

12

5

15

9

7

5

35

10

3

12

10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

Halla el volumen de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) V � �� 6

3

2 � 8� � 301,59 cm3 b) V � �

162

3� 15� � 1 280 cm3

Halla el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 12 centímetros.

V � �43

� � � r 3 � 904,78 cm3

El volumen de una esfera es de 500 centímetros cúbicos. Calcula el área de dicha esfera.

Se calcula la longitud del radio: r � �3 �43�V�� 3 �

3 �4�

50�0�� 4,9 cm ⇒ A � 4� � r 2 � 301,57 cm2

Calcula el área y el volumen de este cuerpo.

A1 � � � 5 � 6 � � � 52 � 36 � 55� � 36 � 208,7 cm2; A2 � 2 � 4 � 5 � 2 � 5 � 6 � 6 � 4 � 40 � 60 � 24 � 124 cm2

A � 208,7 � 124 � 332,7 cm2

V1 � ��

2r 2h� � �

� � 52

2 � 6� � 235,5 cm3; V2 � 5 � 4 � 6 � 120 cm3 ⇒ V � 235,5 � 120 � 355,5 cm3

Determina el área y el volumen del siguiente cuerpo.

Se calcula la longitud de la generatriz del cono: g � �102 ��7,52� � 6,61 cm

A1 � � � r � g � � � 7,5 � 6,61 � 155,67 cm2; A2 � 2� � r � h � 2� � 7,5 � 15 � 706,5 cm2; A3 � 2� � 7,52 � 353,25 cm2

A � 155,67 � 706,5 � 353,25 � 1 215,42 cm2

V1 � ��r

3

2h� � �

� � 7,352 � 10� � 588,75 cm3; V2 � � � r 2 � h � � � 7,52 � 15 � 2 649,38 cm3;

V3 � �2�

3r 3

� � �2� �

37,53

� � 883,13 cm3 ⇒ V � 588,75 � 2 649,38 � 883,13 � 4 121,26 cm3

10.16

10.15

10.14

10.13

10.12

12

10

16

15

6 cm4 cm

3 cm

5 cm

15 cm10 cm 7,5 cm

15 c

m

284

15 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS


El número de libros leídos por los miembros de un círculo de lectores en un mes se resume en esta tabla.

Halla la media de libros leídos a lo largo de un mes.

x� � � 3,3 libros

Estas son las edades de los niños que acuden al Servicio de Urgencias de un hospital pediátrico.

Calcula la edad media de los niños.

Utilizando las marcas de clase: x� � � 3,9 años

El número de libros leídos por los miembros de un círculo de lectores, a lo largo de un mes, viene dadopor la siguiente tabla. Halla la moda.

La moda es el valor con mayor frecuencia, por tanto: Mo 5 3 libros

Estas son las edades de los niños que acuden al servicio de Urgencias de un hospital pediátrico. Hallala moda.

En este caso, la moda es la marca de la clase con mayor frecuencia, por tanto: Mo � 1 año.

Halla la mediana de estas series estadísticas.

a) 15, 10, 13, 9, 17, 14, 23 b) 4, 3, 7, 9, 11, 21, 43, 17

a) La serie ordenada de menor a mayor es 9, 10, 13, 14, 15, 17, 23. La mediana es el valor central: M � 14b) La serie ordenada de menor a mayor es 3, 4, 7, 9, 11, 17, 21, 43. La mediana es la media de los dos valores centrales

M � �9 �

211

� � 10.

15.5

15.4

15.3

1 � 12 � 3 � 8 � 5 � 5 � 7 � 7 � 9 � 3��

12 � 8 � 5 � 7 � 3

15.2

1 � 5 � 2 � 12 � 3 � 18 � 4 � 11 � 5 � 7 � 6 � 4 � 7 � 1��

5 � 12 � 18 � 11 � 7 � 4 � 1

15.1

N.o de libros leídos xi N.o de personas fi

1 52 123 184 115 76 47 1

Edad (años) Número de niños

[0, 2) 12[2, 4) 8[4, 6) 5[6, 8) 7[8, 10) 3

N.o de libros xi 1 2 3 4 5 6 7

N.o de personas fi 5 12 18 11 7 4 1

Edad (años) [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10)

N.o de niños 12 8 5 7 3


Determina el rango de esta distribución.

El rango es la diferencia entre el valor mayor y el menor: rango � 7 � 1 � 6 libros.

Halla el rango de la distribución.

Rango � 6 � 0 � 6 años

Calcula la varianza y la desviación típica de esta distribución.

x� � � 3,33 libros

s 2 � � 3,332 � 1,99

s � �s 2� � �1,99� � 1,41 libros

Determina la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución.

Utilizamos las marcas de clase para los cálculos:

x� � � 2,16 años

s 2 � � 2,162 � 2,27

s � 2,27 � 1,51 años

Calcula el coeficiente de variación de esta distribución.

x� � � 3,33

s � �� 3,3�32� � 1,41

CV � �x�s� � �

13

,,43

13

� � 0,42

12 � 5 � 22 � 12 � 32 � 18 � 42 � 11 � 52 � 7 � 62 � 4 � 72 � 1��

5 � 12 � 18 � 11 � 7 � 4 � 1

1 � 5 � 2 � 12 � 3 � 18 � 4 � 11 � 5 � 7 � 6 � 4 � 7 � 1��

5 � 12 � 18 � 11 � 7 � 4 � 1

15.13

18 � 12 � 8 � 32 � 5 � 52

��18 � 8 � 5

1 � 18 � 3 � 8 � 5 � 5��

18 � 8 � 5

15.12

5 � 12 � 12 � 22 � 18 � 32 � 11 � 42 � 7 � 52 � 4 � 62 � 1 � 72

��5 � 12 � 18 � 11 � 7 � 4 � 1

5 � 1 � 12 � 2 � 18 � 3 � 11 � 4 � 7 � 5 � 4 � 6 � 1 � 7��

5 � 12 � 18 � 11 � 7 � 4 � 1

15.11

15.10

15.9



Edad (años) [0, 2) [2, 4) [4, 6)

N.o de niños 12 8 5



Edad (años) [0, 2) [2, 4) [4, 6)

N.o de niños 12 8 5




Halla el coeficiente de variación de la siguiente distribución.

Utilizamos las marcas de clase para los cálculos:

x� � � 10,5 cm

s = �� 10,�52� � 4,85 cm

CV � �41

,08,55

� � 0,46

Halla la media y la desviación típica de la distribución.

Dispón los cálculos en forma de tabla.

x� � �22255

� � 9

s 2 � �2

21573� � 92 � 5,92

s � �5,92� � 2,43

Calcula la media y la varianza de esta distribución.

Utiliza la calculadora científica.

x� � 9,88 cm s 2 � 21,14

Calcula la media aritmética trucada al 20 % del siguiente conjunto de datos.

300, 298, 295, 802, 4, 303, 302, 297, 623, 21

Ordenamos los datos de menor a mayor: 4, 21, 295, 297, 298, 300, 302, 303, 623, 802Como el 20 % de los 10 datos es 2, quitamos dos valores por la derecha y otros 2 por la izquierda.La media de los seis valores restantes es:

Media trucada al 20 %: � 299,16w295 � 297 � 298 � 300 � 302 � 303��

6

15.17

15.16

15.15

2,52 � 3 � 7,52 � 6 � 12,52 � 7 � 17,52 � 4��

20

2,5 � 3 � 7,5 � 6 � 12,5 � 7 � 17,5 � 4��

20

15.14

Altura (cm) [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20)

N.o de plantas 3 6 7 4

Talla (cm) [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20)

N.o de piezas 7 12 16 5

xi 6 7 9 11 13 15

fi 4 6 7 5 2 1

xi fi xi � fi x i2 fi � xi

2

6 4 24 36 144

7 6 42 49 294

9 7 63 81 567

11 5 55 121 605

13 2 26 169 338

15 1 15 225 225

25 225 2 173

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