Departamento de Matemática Profesora Ana María Oyarzún

GUÍA DE ESTUDIO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y SUS APLICACIONES

DIFERENCIADO CUARTO MEDIO

Nombre del alumno Curso Fecha / / Objetivo: Reforzar contenidos vinculados con plano cartesiano, punto medio y distancia entre dos puntos.

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está compuesto por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical. Estas se cortan perpendicularmente

en un punto común llamado origen. Recibe este nombre en honor al matemático francés René Descartes, quién fue el que lo

ideo y utilizo por primera vez.

Como se puede observar en la figura anterior, del cero (ORIGEN) hacia la derecha están los enteros positivos + y del cero

hacia la izquierda, los enteros negativos − . Del cero hacia arriba están los enteros positivos + y del cero hacia abajo los

enteros negativos − .

Al eje horizontal se le llama eje de las ABCISAS 𝑋 y al eje vertical se le llama eje de las ORDENADAS Y .

Los dos ejes al cortarse dividen al plano en cuatro regiones llamadas CUADRANTES, los cuales se enumeran con números

romanos I. II, III, IV y en sentido contrario a las manecillas del reloj. A los ejes (horizontal y vertical) se les llama EJES DE

COORDENADAS CARTESIANAS.

EJEMPLOS

1. Graficar el punto cuyas coordenadas cartesianas son − , , es decir, − ,

2. Graficar el punto cuyas coordenadas cartesianas son , , es decir, ,

3. Graficar el punto cuyas coordenadas cartesianas son , , , es decir, , ,

4. Graficar el punto cuyas coordenadas cartesianas son , , es decir, ,

GRAFICA DE PUNTOS EN LE PLANO CARTESIANO

Para graficar puntos en el plano cartesiano es muy importante tener en cuenta que todos estos tienen la forma P 𝑥,𝑦 .

A un punto como el anterior se le llama par ordenado y nos indica que siempre se toma en primer lugar el valor de la

componente X y en segundo lugar el valor de la componente Y.

P𝑚 𝑥𝑚,𝑦𝑚 = 𝑥1 + 𝑥2

,𝑦1 + 𝑦2

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si tienes dos puntos en un plano, siempre puedes encontrar el punto que está al medio. El punto medio P𝑚, divide al segmento

en partes iguales.

Si generalizamos y consideramos los puntos 𝑥1,𝑦1 y 𝑥2,𝑦2 , el punto medio de trazo 𝐴𝐵 , estará dado por la semi

suma de las coordenadas respectivas, o sea por :

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EJEMPLOS 1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son − , y ,

= − +

, +

=

,

=

,

2. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos P − , y − ,− . Halla las coordenadas del

centro de la circunferencia.

= − −

, −

= −

,−

= −

,−

3. El punto medio del segmento es el punto − ,− , si las coordenadas del extremo son − ,− , determina las

coordenadas del otro extremo .

P , = 1 + 2

, 1 + 2

P − ,− = − + 2

,− + 2

− =− + 2

− = − + 2

− = − + 2

− + = 2

− = 2

− =− + 2

− = − + 2

− = − + 2

− + = 2

= 2

Entonces las coordenadas de son − , , es decir, − ,

EJEMPLOS

1. Halla la distancia entre los puntos − ,− y − ,

= √ − + 2 + + 2

= √ − 2 + 2

= √ + = √ = √

= √

2. Calcula el perímetro del triángulo de vértices − ,− , ,− y − ,

Si bien es cierto que podemos calcular esto sin necesidad de ubicar los puntos en el plano, lo haremos para que sea

más claro el desarrollo. (Recuerda que un buen dibujo ayuda a resolver mejor los problemas)

Para calcular el perímetro del , debemos sumar las medidas de los lados, es decir las distancias respectivas.

= √ + 2 + − + 2 = √ 2 + 2 = √ + = √ = √ = √

= √ − − 2 + + 2 = √ − 2 + 2 = √ + = √

= √ − + 2 + − − 2 = √ − 2 + − 2 = √ + = √

Por lo tanto = √ + √ +

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. Dados dos

puntos cualquiera 𝑥1,𝑦1 y 𝑥2,𝑦2 , definimos la distancia entre ellos, 𝑑 𝐴𝐵 , como la longitud del segmento que los

separa.

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2

𝑑𝐴𝐵 2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1

2

𝑑𝐴𝐵 = √ 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1

2

Como puedes observar se forma un triángulo rectángulo, en donde la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 es la hipotenusa

del triángulo rectángulo. Por lo tanto aplicaremos el Teorema de Pitágoras

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3. Verifica que el cuadrilátero que tiene por extremos los puntos , , − , , − , y , es un

paralelogramo.

Ubiquemos los puntos en el plano para tener un buen dibujo de la situación.

Para verificar que es un paralelogramo, deberíamos comprobar que sus lados opuestos tienen la misma medida.

Calculemos las distancias correspondientes

= √ − − 2 + − 2 = √ − 2 + 2 = √ + = √

= √ − + 2 + − 2 = √ − 2 + − 2 = √ + = √ = √ = √

= √ + 2 + − 2 = √ 2 + − 2 = √ + = √

= √ − 2 + − 2 = √ 2 + 2 = √ + = √ = √ = √

Como la medida de y son iguales y también lo son las medidas de y , entonces el cuadrilátero es

efectivamente un paralelogramo.

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