Resolver ecuaciones

cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Ecuación cuadrática en forma

general

Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue

ax2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a≠0

a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2).

b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)

c es la constante.

Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Resolver ecuaciones cuadráticas

mediante factorización

Soluciones de una ecuación

Una ecuación cuadrática puede tener

• Dos (2) soluciones reales

• Una (1) solución real

• Ninguna (0) solución real

Ejemplo:

Determine las soluciones de

2 – 11x = – 12x2.

Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.

12x2 – 11x + 2 = 0

Paso 2. Factorizar el polinomio cuadrático.

Necesitamos factores de 24 que sumen – 11, 12x2 – 8x – 3x + 2 = 0 4x(3x – 2) – 1(3x – 2) = 0 (4x – 1)(3x – 2) = 0

1. Escribir la ecuación de la forma general:

ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.

Ejemplo (cont)

(4x – 1)(3x – 2) = 0

Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.

4x – 1 = 0 ó 3x – 2 = 0

Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.

4x – 1 = 0 ó

4x = 1

x = 1/4

3x – 2 = 0 3x = 2

x = 2/3

El conjunto solución es 1

4,

2

3

1. Escribir la ecuación de la forma general:

ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.

Ejemplo

Ejemplo: Determine el conjunto solución de

3x2 = 7x

Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0.

3x2 – 7x = 0

Factorizamos mediante factor común:

Ejemplo – continuación

Solución: (continuación) 3x2 – 7x = 0 x (3x – 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x – 7 = 0

3x = 7 𝟑𝒙

𝟑=

𝟕

𝟑

𝒙 =𝟕

𝟑

El conjunto

solución

es: {0, 𝟕

𝟑}

Ejemplo

Resolver: 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0

Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0 𝑥2(16 − 9𝑥2) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados 𝑥2(4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0

4 – 3x = 0

x= 4/3

El conjunto solución es 𝟎, −𝟒

𝟑,

4

3

x2 = 0 x = 0

Aplicar el principio del factor cero

4 + 3x = 0 x= - 4/3

Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

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Resolver ecuaciones cuadráticas –

método de la raíz cuadrada

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,

empleamos el método de la raíz cuadrada

para resolverlo.

Ejemplos:

2x2 – 7 = 0

36 = 9x2

(3x - 5)2 = 5

Para una ecuación de la forma

x2 = k las soluciones son

𝒙 = ± 𝒌 El conjunto solución es

{− 𝒌, 𝒌}.

Ejemplo: Resolver 4x2 + 2 = 10

Solución:

4x2 + 2 = 10

4x2 = 8 4

4𝑥2 =

8

𝟒

x2 = 2

𝑥 = ± 2

Resolver ecuaciones

cuadráticas cuando b = 0

Las soluciones son: x = − 2, y x = 2

El conjunto solución es: {− 2, 2 }

Aislar el término cuadrático. – 2 – 2

Despejar coeficiente de x2.

Determinar la raiz positiva y

negativa de la constante.

Ejemplo

Resolver: (2x – 7)2 = 13

Solución:

(2x – 7)2 = 13

(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 = ± 𝟏𝟑

𝟐𝒙 − 𝟕 = ± 𝟏𝟑

2x = 7 ± 𝟏𝟑

x = 𝟕± 𝟏𝟑

𝟐

Propiedad:

𝒂𝟐 = 𝒂, 𝒂 > 𝟎

El conjunto solución es 𝟕+ 𝟏𝟑

𝟐,

𝟕− 𝟏𝟑

𝟐

Ecuaciones cuadráticas

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La fórmula cuadrática

Fórmula cuadrática

Dada una ecuación cuadrática en su forma

general:

ax2 + bx + c = 0,

donde a, b,c son valores reales y a≠0,

la fórmula cuadrática establece que sus

soluciones están dadas por:

x b b2 4ac

2a

Resolver: x2 - 5x = 8

Primeramente debemos escribir la ecuación en

forma general:

x2 - 5x - 8 = 0

Identificar los coeficientes a, b y c:

a = 1

b = -5

c = -8

Luego, aplicar la fórmula:

x b b2 4ac

2a

Aplicar la fórmula cuadrática

aplicamos a la fórmula cuadrática.

El conjunto solución de

la ecuación es:

Con a = 1, b = - 5, y c = - 8

)(

))(()()(x

12

81455 2

2

32255 x

2

575x

2

575

2

575,

x b b2 4ac

2a

Resolver: 3w2 + 4w - 3 = 0

aplicamos a la fórmula cuadrática.

Con a = 3, b = 4, y c = -3

)3(2

)3)(3(444 2 x

6

36164 x

6

524x

x b b2 4ac

2a

Ejemplo-continuación

El conjunto solución de

la ecuación es:

3

132,

3

132

6

524x

6

1344x

6

1324x

6

)132(2 x

3

132x

El discriminante

Llamamos discriminante al radicando de

la fórmula cuadrática

b2 - 4ac

Podemos utilizar el discriminante para

determinar cuántas soluciones tiene

una ecuación cuadrática y si éstas son

reales o no.

x b b2 4ac

2a

Discriminante

b2 - 4ac

• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2

soluciones reales.

• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene

soluciones reales.

• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1

solución real.

¿Cuántas soluciones reales?

Determine cuántas soluciones reales tienen las

siguientes ecuaciones cuadráticas:

2x2 - 5x + 3 = 0

Identificar los coeficientes a, b y c:

(-5)2 - 4(2)(3)

= 25-24

= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales

b2 - 4ac =

a=2, b= -5, c= 3,

¿Cuántas soluciones reales?

3x2 + 4x + 5 = 0

42 - 4(3)(5) =16 -60

= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales

-9 + 6x - x2 = 0

62 - 4(-1)(-9)

= 36-36

= 0 --> tiene 1 solución real

a=3, b= 4, c= 5,

a= -1, b= 6, c= -9,

b2 - 4ac =

b2 - 4ac =

Práctica 1:

Soluciones

Práctica 2

Resuelva usando el método de la raiz cuadrada:

1) y2 = 7

2) 3w2 = 15

3) 5y2 = 4

4) (x+2)2 = 10

5) 3(y-4)2 + 4 = 6

Soluciones de Práctica 1

1)

2)

3)

4)

5)

{ 7, 7}

{ 5, 5}

{4

5,4

5}

{ 10 2, 10 2}

{2

3 4,

2

3 4}

Práctica 3

Resuelva :

1) x2 - 5x + 4 = 0

2) 2y2 + 7y = 3

3) 4y + 5y2 = 4

4) (x+2)2 = 10

5) 3(y - 4)2 + 4 = 6

Soluciones Práctica 3

4

737,

4

737)2

3

132,

3

132)3

5

622,

5

622)4

}210,210{)5

43

2,4

3

2)6

4,1)1