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BLOQUE V ÓPTICA GEOMÉTRICA

Contenidos1. Introducción.

2. Velocidad de la luz. Influencia del medio.

3. Ondas electromagnéticas. Naturaleza y propiedades.

4. Espectro electromagnético.

5. Reflexión y refracción de la luz.

5.1. Leyes de la reflexión.

5.2. Leyes de la refracción.

5.3. Ángulo límite. Reflexión total.

6. Dispersión. El color.

7. Leyes de la óptica geométrica.

7.1. Sistemas ópticos: espejos y lentes.

7.1.1.Imágenes formadas por reflexión.Espejos.

7.1.2.Imágenes formadas por refracción. Lentes.

8. El ojo humano. Defectos visuales.

9. Aplicaciones tecnológicas: instrumentos ópticos.

10. Ejercicios y actividades.

Criterios de evaluación • IV.14. Establecer las propiedades de la radiación electromagnética como consecuencia

de la unificación de la electricidad, el magnetismo y la óptica en una única teoría.

• IV.15.Comprender las características y propiedades de las ondas electromagnéticas, como su longitud de onda, polarización o energía, en fenómenos de la vida cotidiana.

• IV.16. Identificar el color de los cuerpos como la interacción de la luz con los mismos.

• IV.17. Reconocer los fenómenos ondulatorios estudiados en fenómenos relacionados con la luz.

• IV.18. Determinar las principales características de la radiación a partir de su situación en el espectro electromagnético.

• IV.19. Conocer las aplicaciones de las ondas electromagnéticas del espectro no visible.

• IV.20. Reconocer que la información se transmite mediante ondas, a través de diferentes soportes.

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• V.1. Formular e interpretar las leyes de la óptica geométrica.

• V.2. Valorar los diagramas de rayos luminosos y las ecuaciones asociadas como medio que permite predecir las características de las imágenes formadas en sistemas ópticos.

• V.3. Conocer el funcionamiento óptico del ojo humano y sus defectos y comprender el efecto de las lentes en la corrección de dichos efectos.

• V.4. Aplicar las leyes de las lentes delgadas y espejos planos al estudio de los instrumentos ópticos.

1. Introducción. Siempre que se inicia el estudio de cualquier fenómeno físico, se suelen dar interpretaciones contradictorias más o menos confusas. El estudio de la naturaleza de la luz siguió ese camino, ya que de forma paralela se desarrollaron dos modelos que intentaban explicar la naturaleza y propiedades de la luz.

Durante la segunda mitad del siglo XVII, Newton (1642-1727) construyó una teoría corpuscular, que expuso finalmente en un tratado denominado Opticks que se publicó en 1704. Esta teoría suponía en esencia que la luz estaba formada por pequeños corpúsculos que se mueven en línea recta y a gran velocidad. Con ella consiguió explicar los fenómenos de la reflexión y de la refracción de la luz, aunque para este último exigía que la velocidad de la misma fuera mayor en el agua que en el aire, lo cual es falso, como demostró mucho más tarde (hacia 1850) el físico francés Jean Bernard Foucault (1819‑1868) por vía experimental.

Paralelamente a la teoría corpuscular de Newton apareció una teoría ondulatoria de la propagación de la luz, apoyada por Huygens y por Hooke y expuesta por primera vez en 1678. En ella se suponía que existía un medio material, no detectable, denominado éter, que cubría («empapaba») todo el universo. A partir de esta hipótesis se describía la luz como la propagación de las vibraciones elásticas de las partículas de éter. De esta manera y mediante su conocido principio de que todo punto alcanzado por una onda se convierte en fuente de ondas secundarias, Huygens explicó con bastante sencillez las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz, así como la doble refracción que exhibían algunos minerales. En particular, predijo que la luz se propaga con más lentitud en los medios más densos, al revés de lo que exigía la teoría corpuscular de Newton.

La teoría ondulatoria de Huygens permitió explicar incluso alguno de los fenómenos observados por el propio Newton, en particular los colores que se formaban en películas delgadas, pero no justificaba que no se hubiera observado fenómenos de difracción, como se observaba en las ondas sonoras.

Newton acabó decantándose por la teoría corpuscular, pues opinaba que explicaba mejor la propagación rectilínea de la luz. Casi toda la comunidad científica de entonces siguió los pasos de Newton debido a su gran celebridad, por lo que su teoría se consideró correcta durante todo el siglo XVIII.

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A comienzos del siglo XIX el inglés Thomas Young (1773‑1829) realizó una serie de experimentos que permitieron dirimir la controversia sobre la dualidad onda‑corpúsculo en relación con la naturaleza de la luz. Estos experimentos consistieron en provocar interferencias de dos haces luminosos que procedían de dos rendijas iluminadas por un mismo foco. La presencia de interferencias en la pantalla, plasmadas en zonas oscuras y brillantes bien diferenciadas, inclinó la balanza de “manera definitiva” del lado de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Estas conclusiones de Young se reforzaron con los trabajos del francés Augustin Fresnel (1788‑1827), quien realizó numerosos experimentos que pusieron de manifiesto los fenómenos de interferencia y de difracción en relación con la luz. Además desarrolló la base matemática de la teoría ondulatoria. En particular, demostró que la propagación rectilínea de la luz, que tanto preocupaba a Newton, era una consecuencia del valor extremadamente pequeño de la longitud de onda de las ondas luminosas, en torno a los 500 nanómetros; gracias a su labor, quedó establecido que las ondas luminosas son transversales.

El espaldarazo final a la naturaleza ondulatoria de la luz se produjo a mediados del siglo XIX. En primer lugar Foucault midió la velocidad de la luz tanto en el aire como en el agua, obteniendo un valor menor en el agua, contrariamente a las necesidades de la teoría corpuscular de Newton. Más tarde, el escocés James Clerk Maxwell (1831‑1879) obtuvo las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), que predecían la existencia de ondas electromagnéticas, es decir, ondas generadas por la variación con el tiempo de un campo eléctrico y otro magnético, dando lugar a la propagación de los mismos, y con ellos la energía que almacenan. Tras verificar que la velocidad teórica de estas ondas era idéntica a la obtenida experimentalmente por Foucault para la luz, Maxwell sugirió que la luz representaba una pequeña porción del espectro de ondas electromagnéticas, aquella cuyo intervalo de longitudes de onda era capaz de detectar el ojo humano.

La sugerencia de Maxwell fue confirmada en 1888 por Hertz, quien generó ondas electromagnéticas, a partir de circuitos eléctricos, en la zona de las longitudes de onda del orden del metro (ondas de radio). Estas ondas, además, presentaban los mismos fenómenos de reflexión, refracción, polarización y difracción que la luz ordinaria.

Se ponía así fin a la vieja polémica sobre la naturaleza de la luz, sin embargo todavía quedaban algunas sorpresas para los científicos. En primer lugar hubo que revisar el antiguo concepto del éter, pues las ondas electromagnéticas no necesitan ningún medio material para propagarse, y además un famoso experimento de Albert A. Michelson (1852‑1931) y Edward W. Morley (1838‑1923), destinado a detectar el «viento de éter», puso en evidencia que su existencia era altamente improbable.

Por otro lado, Albert Einstein (1879‑1955) demostró en 1905 algo realmente sorprendente, y es que el efecto fotoeléctrico sólo se puede explicar correctamente suponiendo que la luz se comporta como un haz de partículas, que bautizó con el nombre de fotones, cuya energía es proporcional a la frecuencia de la luz incidente.

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De esta manera se cerraba un círculo de casi doscientos cincuenta años que se podría resumir en la siguiente conclusión fundamental:

La luz se comporta como una onda electromagnética en todo lo referente a su propagación, sin embargo se comporta como un haz de partículas (fotones) cuando interacciona con la materia.

2. Velocidad de la luz. Influencia del medio La primera medida de la velocidad de la luz la realizó el astrónomo danés Olaüs C. Roemer (1644-1710) cuando trabajaba sobre los períodos orbitales de los satélites de Júpiter.

El físico Armand H. Fizeau (1819-1896) realizó una medida, con un error razonable, de la velocidad de la luz obteniendo un valor de 313000 km/s. Este método fue mejorado por Foucault.

Posteriormente a estas mediciones se realizaron experimentos mucho más finos aplicando métodos interferométricos. En la actualidad se acepta que la velocidad de la luz en el vacío es una constante fundamental que tiene el siguiente valor:

299792,458 km/s

Este valor se utiliza como referencia.

Los trabajos experimentales muestran que la velocidad de propagación de la luz en el vacío, c, es diferente a la velocidad de propagación de la luz a través de una sustancia. Al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la velocidad de la luz en la materia, v, se conoce con el nombre de índice de refracción absoluto, n, y por tanto:

Este índice de refracción es siempre mayor que la unidad, lo que significa que la velocidad de la luz en cualquier medio es siempre menor que la velocidad de la luz en el vacío. Los índices de refracción absolutos representan el número de veces que es mayor la velocidad de la luz en el vacío que en ese medio.

En la tabla se recogen algunos valores de índices de refracción para algunos materiales transparentes.

Mientras que en el vacío la velocidad de la luz es la misma para todas las longitudes de onda, si se trata de un medio material esta velocidad depende de la longitud de onda de la radiación luminosa correspondiente, pues cuando la luz se propaga en un medio material la frecuencia permanece constante, y como la velocidad de propagación es igual al producto de la frecuencia por la longitud de onda, al variar la longitud de onda variará también la velocidad.

Volveremos a este desarrollo cuando tratemos la dispersión de la luz.

V.1n =cv

Material Índices de refracción

Vacío 1,00

Aire 1,0003

Agua 1,23

Cuarzo 1,46

Diamante 2,42

Índices de refracción (λ=589,3 nm)

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3. Ondas electromagnéticas. Naturaleza y propiedades. En temas anteriores, estudiamos que cambios en los campos magnéticos variables inducen una fuerza electromotriz, y en consecuencia la posibilidad de generar una intensidad de corriente en el conductor, mientras que los campos eléctricos que cambian con el tiempo, así como una intensidad de corriente variable, producen campos magnéticos. Estos hechos empíricos, fueron generalizados por Maxwell, en las famosas ecuaciones que llevan su nombre, y que relacionan el valor del campo magnético con la distribución espacial del campo eléctrico y viceversa.

Maxwell demostró que los campos magnéticos y eléctricos pueden existir y propagarse por el espacio en forma de ondas electromagnéticas libres. Entre sus aportaciones, Maxwell señaló la forma en la que se produce un campo electromagnético que se radia al exterior, propagándose con velocidad constante. Este campo físico se puede desdoblar en dos

vectores, y , perpendiculares entre sí y a su vez perpendicular a la dirección de propagación.

En las ecuaciones de Maxwell, aparecen dos constantes universales, μ0 y ℇ0, cuyos valores son

tales que la constante toma el valor de la velocidad de la luz en el vacío. Esta

“coincidencia” parece indicar que la luz y el electromagnetismo son dos aspectos de una misma sustancia y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga por medio de un campo que sigue las leyes del electromagnetismo.

La onda electromagnética se corresponde con una variación en el tiempo de un campo electromagnético, cuya velocidad de propagación es la de la luz:

Este campo se propaga tanto en el vacío como en los medios materiales. Las ondas electromagnéticas (oem) tienen carácter transversal.

E B

1μ0ε0

V.2E = E0 𝚜𝚎𝚗(k x − ωt)B = B0 𝚜𝚎𝚗(k x − ωt)

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Como los campos eléctricos y magnéticos oscilan en fase con la misma frecuencia, el valor del campo eléctrico es c veces el valor del campo magnético, en el caso de una oem.

Hertz demostró la existencia de la oem, y apuntaló la teoría de Maxwell. Para ello diseñó una antena constituida por una espira de alambre conductor; el campo magnético de la radiación induce una corriente alterna en la misma.

Resumiendo, todas las ondas electromagnéticas se generan cuando se aceleran las cargas eléctricas. Las diferencias entre los diversos tipos de ondas electromagnéticas radican en su frecuencia y en su longitud de onda. A todo el amplio conjunto de estas ondas se las denomina espectro electromagnético.

4. Espectro electromagnético.

Todas las ondas electromagnéticas tienen la misma naturaleza. Son ondas transversales formadas por un campo eléctrico y otro magnético oscilante que vibran en planos perpendiculares entre sí. Sólo se diferencian en su frecuencia y por tanto, en su longitud de onda.

S e d e n o m i n a e s p e c t r o electromagnético al conjunto de todas las radiaciones de distinta f r e c u e n c i a e n q u e p u e d e d e s c o m p o n e r s e l a r a d i a c i ó n electromagnética.

La figura muestra el espectro electromagnético con los distintos tipos de ondas electromagnéticas clasificadas según su longitud de onda.

Ondas de radio. Son ondas electromagnéticas producidas por un circuito oscilante. Su longitud de onda está comprendida entre unos pocos centímetros y varios kilómetros. Se emplean en radio difusión y telecomunicaciones.

V.3E = cB

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Microondas. Producidas por vibraciones de las moléculas. Sus frecuencias están comprendidas entre 1010 y 1012 Hz. Se emplean en radioastronomía, radar y hornos.

Radiación infrarroja. Emitidas por los cuerpos calientes y son debidas a las vibraciones de los átomos. Su frecuencia está comprendida entre 3·1012 y 3·1014 Hz, aprox. Aplicaciones en la industria y en la medicina.

Luz visible. Son las ondas electromagnéticas percibidas por nuestra retina. Su longitud de onda está comprendida entre 4000 Å y 7500 Å. Se producen por saltos electrónicos entre niveles 1

atómicos y moleculares. Abarcan desde el rojo hasta el violeta.

Radiación ultravioleta. Su longitud de onda está comprendida entre 30 y 4000 Å Se produce por saltos electrónicos entre átomos y moléculas excitados. Se emplea en medicina. El Sol es poderoso emisor de rayos ultravioletas, que son los responsables del bronceado de la piel. Es absorbida por la capa de ozono y si se reciben en dosis excesivas son perjudiciales.

Rayos X. Su longitud de onda es del orden del tamaño de los átomos. Son producidas por oscilaciones de los electrones próximos al núcleo de los átomos. Se utilizan en la industria y en medicina. La exposición excesiva es muy peligrosa.

Rayos gamma. De frecuencias superiores a 1019 Hz. Se producen en los fenómenos radiactivos y en reacciones nucleares. Son extremadamente peligrosos para los seres vivos.

5. Reflexión y refracción de la luz. Cuando una onda, de cualquier tipo, alcanza la frontera de dos medios distintos, una parte de su energía se transmite al segundo medio, dando lugar en éste a otra onda de características similares a las de la onda incidente y que recibe el nombre de onda transmitida. Otra parte de la energía se emplea en generar una onda que se propaga hacia atrás en el primer medio, y que se denomina onda reflejada.

Angstrom. Equivale a 10-10 metros.1

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En el caso de las ondas luminosas, el mecanismo es bastante complicado , aunque podemos 2

describirlo, de forma cualitativa, como sigue: cuando la luz llega a la frontera de los dos medios es absorbida por los átomos del segundo medio, que la reemiten inmediatamente en todas direcciones. Esta reemisión interfiere de una manera específica con la luz incidente para dar lugar a la onda reflejada y a la onda transmitida.

Conviene destacar que en este proceso se conserva la frecuencia de la onda, lo que implica

que la longitud de onda de la onda transmitida, , es diferente a la longitud de onda de la

incidente, ,pues también cambia la velocidad de la luz. Así, sí la velocidad de la luz en el primer medio vale v1 y en el segundo medio v2, resulta lo siguiente:

Siendo n1 y n2 los índices de refracción de uno y otro medio. En particular, cuando una onda luminosa pasa del aire a otro medio más denso, como el agua o el vidrio, su longitud de onda disminuye.

La fracción de energía luminosa que se transmite, o que se refleja, depende del tipo de superficie de separación entre los dos medios, de los índices de refracción respectivos, del campo eléctrico asociado a la onda incidente y de la dirección de incidencia.

5.1. Leyes de la reflexión Como vimos en el tema anterior, los rayos luminosos también cumplen:

Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda reflejada forman un plano perpendicular al plano de separación de los dos medios.

El ángulo que forma cada rayo incidente con la recta normal a la frontera (ángulo de incidencia) es igual al ángulo de esta normal con el rayo reflejado (ángulo de reflexión)

Recordemos que demostramos estas leyes utilizando el principio de Huygens y supusimos la superficie de separación de ambos medios, plana.

Cuando la superficie de reflexión no es plana se siguen verificando las leyes anteriores a pequeña escala, es decir en pequeñas porciones de dicha superficie. El resultado es un conjunto de rayos reflejados en todas direcciones dando lugar a un fenómeno que recibe el nombre de reflexión difusa.

Ocupémonos ahora de la onda transmitida al otro lado de la superficie frontera. La característica más llamativa es que sus rayos no conservan la misma dirección que los de la onda incidente. Este fenómeno recibe el nombre de refracción.

λT

λI

V.4λT =

v2

f

λI =v1

f

⟹λT

λI=

v2

v1=

cn2cn1

=n1

n2

Cuando una onda luminosa monocromática de frecuencia f llega a un medio material, su campo eléctrico oscilante, de igual 2

frecuencia f, ejerce una fuerza sobre los electrones haciéndolos vibrar con una frecuencia f; de esta forma se explica la interacción entre la luz y la materia (Modelo del electrón oscilador)

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5.2. Leyes de la refracción La experiencia muestra que los rayos incidentes y los refractados cumplen las siguientes leyes:

Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda transmitida forman un plano que contiene a la recta normal a la superficie de separación de los dos medios.

El ángulo que forma el rayo refractado con la normal (ángulo de refracción) está relacionado con el ángulo de incidencia (Ley de Snell). Podemos expresarla como el cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es igual al cociente de la velocidad de la onda en el medio incidente y la velocidad de la onda en el medio refractado.

5.3. Ángulo límite. Reflexión total Según la ley de Snell, cuando la luz pasa de un medio a otro cuyo índice de refracción es mayor, por ejemplo del aire al agua, los rayos refractados se acercan a la normal con respecto a los incidentes. Por el contrario, si el índice de refracción del segundo medio es menor, caso del paso vidrio-aire, los rayos refractados se alejan de la normal.

Esta segunda situación da lugar a un fenómeno físico muy interesante con aplicaciones tecnológicas de gran actualidad. Si consideramos el caso en que n1>n2 y aumentamos paulatinamente el ángulo de incidencia, llega un momento en que el ángulo de refracción se hace igual 90°, lo que significa que desaparece el rayo refractado, es decir, teóricamente no se transmite energía al segundo medio. Como el seno de 90° es la unidad, resulta que el ángulo de incidencia para el cual ocurre este fenómeno viene dado por la siguiente relación:

Este ángulo de incidencia recibe el nombre de ángulo límite, ya que si aumentamos más el ángulo de incidencia, la luz comienza a reflejarse íntegramente, fenómeno que se conoce con el nombre de reflexión total.

6. Dispersión. El color. En la mayoría de los materiales a través de los cuales se propaga la luz, la desviación por refracción se produce de manera independiente de la frecuencia de radiación que la cruza. Al refractarse en ellos todos los colores de la luz se desvían por igual. En otros materiales, en cambio, la desviación producida por la refracción es diferente para cada frecuencia de la luz que los cruza. En el primer caso decimos que el medio es no dispersivo, y en el segundo dispersivo.

En el caso de la luz solar a través de un medio dispersivo, como puede ser un material de vidrio, se observa la aparición de los colores del arco iris, desde el rojo hasta el violeta. Este fenómeno recibe el nombre de dispersión y es debido a que la velocidad de la luz en un medio cualquiera varía con la longitud de onda. Así, para un mismo ángulo de incidencia, la

V.5𝚜𝚎𝚗 α =n2

n1< 1

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luz se refracta con ángulos distintos para los diferentes colores.

A las “luces simples” se les denomina monocromáticas (un solo color), y a las complejas, policromáticas (varios colores).

Así, el fenómeno conocido como arco iris no es otra cosa que el resultado de la dispersión de la luz solar en las finísimas gotas de agua presentes en la atmósfera: la luz se refracta al entrar en cada gota de agua, se refleja en la parte posterior de ésta y vuelve a refractarse al salir.

El fenómeno de la dispersión se debe a que las distintas radiaciones que componen la luz blanca se propagan a través de un medio transparente con distintas velocidades, que son directamente proporcionales a la longitud de onda correspondiente. De esta forma, cuánto menor sea la longitud de onda de una radiación, menor será la velocidad con que se propaga, y como el índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en ese medio, mayor será el índice de refracción del medio y mayor la desviación que experimenta la radiación al atravesarlo. Como consecuencia, es la radiación roja la que menos se desvía.

En contra de lo que se suele pensar, el color no es una propiedad intrínseca de los cuerpos, es decir no depende solo de su naturaleza. Así, cuando observamos el color de una tela dependerá según el tipo de luz con la que se le ilumine. Para poder “ver una luz” es necesario que esa luz sea reflejada por algo. Así, si un objeto solo reflejase luz ultravioleta o infrarroja no podríamos ver a dicho cuerpo.

El color se debe a las diferentes radiaciones luminosas visibles que los objetos emiten o reflejan. En consecuencia, el color que percibimos de un cuerpo depende del tipo de luz bajo la cual se realiza la observación y de la naturaleza de la superficie.

Si sobre una superficie que refleja toda la luz que le llegue proyectamos tres haces de distintas luces monocromáticas A, B y C la luz reflejada por una zona que esté iluminada por más de un foco estará constituida por una mezcla aditiva, de forma que el color resultante será diferente de A, B y C y también de cualquier otra mezcla que se pueda formar con dichos colores.

7. Leyes de la óptica geométrica. La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de los obstáculos o aberturas que se encuentran a su paso y pueden despreciarse en general los efectos de la difracción. En estos casos, podemos aceptar la aproximación de los rayos y en los que se propaga la luz en línea recta; nos movemos en el campo de la óptica geométrica. Estudiaremos las leyes de la reflexión y refracción para estudiar las imágenes formadas por espejos y lentes.

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7.1. Sistema ópticos: espejos y lentes.

7.1.1. Imágenes formadas por reflexión. Espejos. La figura muestra un haz estrecho de rayos luminosos que proceden de una fuente puntual P y se refleja en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P’ detrás del plano del espejo. El punto P’ se denomina imagen del objeto P. Cuando estos rayos entran en el ojo, no pueden diferenciarse de los rayos que procederían de una fuente situada en P’ (como si no hubiera espejo alguno). La imagen se denomina virtual debido a que luz no procede realmente de la imagen, sino que sólo lo parece.

El punto P’ está en la línea que pasa por el objeto (P) y es perpendicular al plano del espejo, a una distancia detrás de dicho plano igual a la distancia a que el objeto está del mismo. La imagen podrá verse siempre que el ojo esté en algún lugar de la región indicada en el dibujo. En la figura se ve que el objeto no necesita estar directamente delante del espejo: una imagen puede verse siempre que el objeto esté por encima del plano del espejo.

En óptica geométrica se suele utilizar una flecha para representar al objeto. En la figura se muestra una flecha de altura y que se mantiene paralela a un espejo plano y a una distancia s del mismo. Podemos dibujar y localizar la imagen de la punta de la flecha (o de cualquier otro punto) dibujando dos rayos: uno perpendicular al espejo que se reflejará y hacia atrás sobre sí mismo. El otro rayo incide en el espejo formando un determinado ángulo con la normal al espejo; este rayo se refleja formando el mismo ángulo;

la prolongación de estos dos rayos hacia atrás, sitúa la punta de la flecha. La imagen se encuentra a la misma distancia detrás del espejo como el objeto delante de él, es decir s = s’; además la imagen resulta ser del mismo tamaño y derecha.

Un espejo es esférico cuando su superficie es esférica (en realidad solo se usa un casquete esférico). Cuando la luz es reflejada por la parte interna de la superficie se dice que el espejo es cóncavo; en cambio cuando es reflejada por la parte externa es convexo. El centro de la esfera a la que pertenece el casquete se llama centro de curvatura. La recta que pasa por el centro de curvatura y el centro del casquete se denomina eje óptico o eje principal. En la figura se muestra un haz de rayos que procede de un punto P situado en el eje de un espejo cóncavo y que después

Elem

ento

s en

los

espe

jos

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de reflejarse en el mismo convergen en el punto P’. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina real, debido a que la luz realmente emana del punto imagen. Los rayos luminosos que divergen de una imagen real y los que parecen divergir de una imagen virtual son idénticos, de modo que el ojo no hace ninguna diferencia entre ellos cuando observa una imagen virtual o una real.

Experimentalmente se comprueba que solos los rayos que inciden en el espejo en los puntos próximos al eje AV ( eje óptico), se reflejan pasando por el punto imagen. Estos rayos se denominan rayos paraxiales. Debido a que otros rayos no-paraxiales convergen en puntos diferentes, próximos al punto imagen, la imagen aparece borrosa, efecto denominado aberración esférica. A lo largo de este tema solo tendremos en cuenta rayos paraxiales.

El rayo procedente del punto A (ver figura) se refleja en el espejo y pasa por el punto imagen A’. Los rayos incidentes y reflejados forman el mismo ángulo en relación con el radio, CP, que es perpendicular al espejo.

Del triángulo APC se obtiene que , y

análogamente del triángulo APA’, .

Eliminando el ángulo 𝛳 en estas relaciones se

obtiene:

Teniendo en cuenta que nos estamos moviendo en la zona paraxial, los ángulos son muy

pequeños y podemos utilizar las aproximaciones para ángulos pequeños ( sen 𝛼 ≈ 𝛼 ); en

consecuencia los ángulos toman los siguientes valores:

Sustituyendo estos valores en la ecuación V.6 se obtiene la expresión:

si simplificamos la expresión V.8 se obtiene una ecuación de espejos válida para rayos paraxiales:

Cuando la distancia objeto es grande en comparación con el radio de curvatura del espejo, el término 1/s es mucho menor que 2/r y por tanto puede despreciarse. Para s = ∞, la distancia

imagen es , y recibe el nombre de distancia o longitud focal, f, del espejo, es decir:

α + θ = βα + 2θ = γ

V.6α + γ = 2β

V.7α ≈ls

β =lr

γ ≈ls′

V.8ls

+ls′

=2lr

V.91s

+1s′

=2r

s′ =12

r

Zona

par

axia

lLo

ngitu

d fo

cal

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El punto focal es el punto en donde resultan enfocados todos los rayos paralelos al eje del espejo.

Teniendo en cuenta el valor de V.10 en la ecuación V.9 nos queda:

Para un espejo plano, la ecuación que nos queda es:

ya que r es infinito.

El cociente entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto se define como la amplificación (aumento) lateral de la imagen. En la figura puede verse que la imagen que se forma es invertida y que no tiene el mismo tamaño que el objeto. Si comparamos el triángulo formado por el rayo incidente, el eje óptico y el objeto con el formado por el rayo reflejado, el eje óptico y la imagen, nos muestra que el aumento lateral y’/y es igual a la relación s’/s.

Para utilizar de forma adecuada las relaciones y ecuaciones obtenidas debemos elegir un criterio de signos. Haremos extensivo este criterio para el caso de obtención de imágenes por refracción (lentes).

Un método que resulta útil a la hora de situar imágenes consiste en la construcción de un diagrama de rayos. Existe cuatro rayos principales que son los siguientes:

V.10f =r2

V.111s

+1s′

=1f

V.121s

+1s′

= 0 ⟹ s = − s′

Aum

ento

late

ral

CRITERIOS DE SIGNOS PARA ESPEJOS Y LENTES

Observaciones:Se ha representado una superficie plana para simplificar la situación. Los rayos incidentes se dibujarán de izquierda a derecha.

OBJETO s > 0 si el objeto está en la zona del rayo incidente s > 0 Objeto real s < 0 Objeto virtual

IMAGEN s’ > 0 si la imagen está en la zona del rayo reflejado o refractado s’ > 0 Imagen real s’ < 0 Imagen virtual

Centro de curvatura / FOCO

r , f > 0 si está en la zona del rayo reflejado o rayo refractado

r, f > 0 Espejos cóncavos

r, f < 0 Espejos convexos

Aumento lateral m = y’/y = -s’/s m < 0 imagen invertida

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El rayo paralelo al eje. Este rayo se refleja en el punto focal.

El rayo focal, que pasa por el punto focal. Este rayo se refleja paralelo al eje óptico.

El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su superficie y, por ello, se refleja coincidiendo consigo mismo.

El rayo central, que pasa por el vértice del espejo. Se refleja formando con el eje óptico el mismo ángulo.

En la figura se han representado los tres primeros para un espejo cóncavo y un objeto situado más allá del centro de curvatura. Se puede observar que la imagen que se forma es real e invertida.

Para un espejo convexo, el rayo central que se dirige hacia el centro de curvatura C es perpendicular al espejo y se refleja sobre sí mismo. El rayo paralelo al eje óptico se refleja como si procediese del punto focal F detrás del espejo. Podemos ver que la imagen está detrás del espejo (s’<0, no está en la zona del rayo incidente) y, por tanto, es virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

7.1.2. Imágenes formadas por refracción. Lentes En este caso estudiaremos la imagen que se forma por refracción en una superficie esférica que separa dos medios con índices de refracción n1 y n2. Si consideramos que n1 < n2 , es decir, las ondas se mueven más lentamente en el segundo medio y que estamos en la zona paraxial, o lo que es lo mismo solo consideraremos rayos paraxiales; al aplicar la ley de Snell se obtiene la siguiente figura:

Debemos tener en cuenta:

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Realizando un procedimiento similar para la obtención de la ecuación de los espejos, procedimiento realizado en clase, se obtiene la siguiente ecuación:

El criterio de signos que se empleará es el estudiado en los espejos.

El aumento de la imagen se puede obtener atendiendo de nuevo a la ley de Snell, V.13, y realizando una construcción geométrica tal y como se muestra en la figura.

Teniendo en cuenta que estamos en la zona paraxial, se obtiene la siguiente relación para el aumento lateral del objeto:

La aplicación más importante de la ecuación V.14 consiste en hallar la posición de la imagen formada por una lente. Para ello hay que considerar la refracción de cada superficie por separado con objeto de deducir una ecuación que nos relacione la posición del objeto y la de la imagen, el radio de curvatura de cada superficie y el índice de refracción de la misma.

Si consideramos una lente muy delgada, de índice de refracción n rodeada de aire con r1 y r2 ( siendo r1 el radio de la superficie en la que tiene lugar la primera refracción) como radios de curvatura de cada una de las superficies de la lente, la ecuación V.14 se transforma en:

Si hacemos s igual a infinito ( el objeto se coloca muy alejado de la lente) la imagen se forma en una distancia igual a la focal de la lente, y en consecuencia s’ = f, se obtiene:

que es la denominada ecuación del constructor de lentes.

Sustituyendo el valor obtenido en V.16, se obtiene la ecuación de la lente delgada:

Para una lente biconvexa, ver figura, cuando incide un frente de ondas planos, primero incide sobre la lente la parte central del frente de ondas. Como la velocidad de la onda es menor en

V.13n1 𝚜𝚎𝚗 θ1 = n2 𝚜𝚎𝚗 θ2

V.14n1

s+

n2

s′ =

n2 − n1

r

V.15m =y′ y

= −n1s′ n2s

V.161s

+1s′

= (n − 1)( 1r1

−1r2 )

V.171f

= (n − 1)( 1r1

−1r2 )

V.181s

+1s′

=1f

ecua

ción

refr

acci

ónec

uaci

ón d

el c

onst

ruct

or d

e le

ntes

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la lente, la parte central se retrasa respecto de las partes más externas, dando como resultado una onda esférica que converge en el punto focal F’. La lente se denomina convergente, y dado que su distancia focal es positiva se denomina lente positiva. En el caso de una lente bicóncava, las partes exteriores

del frente de ondas son los primeros en entrar en un medio donde su velocidad es menor, dando lugar a un retraso respecto a las partes centrales, y por tanto da lugar a ondas esféricas que divergen en un punto focal que se encuentra en el lado por el que inciden las ondas. La lente se denomina divergente, y dado que su focal es negativa se denomina lente negativa.

Los focos de la lente se denominan primer punto focal o foco objeto, que simbolizaremos por F y segundo punto focal o foco imagen, F’. El punto objeto para el cual la luz emerge como un haz de rayos paralelos el el foco objeto y el foco imagen se sitúa en el punto donde se enfocan los rayos incidentes paralelos. En el caso de las lentes convergentes F se sitúa en el lado de la onda incidente; en las lentes divergentes, F’ se sitúa en el lado de la onda incidente.

Al igual que hicimos con los espejos, es conveniente saber situar las imágenes dadas por las lentes mediante métodos gráficos.

Empecemos con las convergentes. Utilizaremos tres rayos:

El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje óptico. Este rayo se desvía de modo que pasa por el foco imagen.

El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación.

El rayo focal, que pasa por el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje óptico.

Los rayos principales para una lente negativa o divergente son:

El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje óptico. Este rayo diverge de la lente como si procediese del foco imagen.

El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación.

El rayo focal, que se dirige hacia el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje óptico.

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Para el aumento lateral se cumple, para convergentes y divergentes, que:

De nuevo, un aumento negativo nos indica una imagen invertida.

El valor inverso o recíproco de la distancia focal se denomina potencia de la lente. Cuando la focal se expresa en metros, la potencia se expresa en dioptrías (D)

8. El ojo humano. Defectos visuales El sistema óptico de máxima importancia es el ojo. La luz entra en el ojo a través de una abertura variable, la pupila, y se enfoca sobre la retina; ésta contiene estructuras sensibles denominadas bastones y conos, que reciben la imagen y la transmiten a través del nervio óptico al cerebro. Cuando el ojo enfoca sobre un objeto alejado, los músculos ciliares se relajan y el sistema tiene su máxima distancia focal ( unos 2,5 cm ) que es la distancia de la córnea a la retina. Cuando el objeto se acerca hacia el ojo, los músculos ciliares modifican la curvatura de la lente y la imagen se enfoca de nuevo en la

retina. Este proceso se denomina acomodación. El punto más próximo para el cual la lente puede enfocar una imagen en la retina se denomina punto próximo, y varía de una persona a otra y con la edad.

Si el ojo es menos convergente de lo que debiera , las imágenes se forman detrás de la retina y se dice que es un ojo hipermétrope. Un ojo hipermétrope tiene dificultades para ver objetos cercanos. La hipermetropía se corrige con lentes positivas, como puede verse en la figura.

Por el contrario, el ojo de una persona miope tiene excesiva convergencia y enfoca la luz procedente de objetos lejanos delante de la retina; una persona miope puede ver objetos cercanos pero no los lejanos; para corregir la miopía se utilizan lentes negativas.

Otro defecto común es el astigmatismo, originado por el hecho de que la córnea no sea perfectamente esférica; da como resultado una imagen borrosa.

9. Aplicaciones tecnológicas: instrumentos ópticos. Lupa Es simplemente una lente convergente de pequeña distancia focal (entre 5 y 10 cm). Se emplea para ampliar la imagen de pequeños objetos colocados dentro de la distancia focal.

V.19m =y′ y

= −s′ s

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La imagen que nos proporciona es una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño.

Microscopio Para aumentos mayores a los que permite la lupa se recurre al microscopio. En su forma más simple, está formado por dos lentes convergentes. La lente más cercana al objeto, denominada objetivo, forma una imagen real del objeto. Esta imagen está aumentada y es invertida. La lente más próxima al ojo, denominada ocular, se utiliza como una simple lupa para observar la imagen formada por el objetivo. El ocular se coloca de forma tal que la imagen formada por el objetivo cae en el primer punto focal del ocular.

La imagen que se obtiene es una imagen virtual invertida de gran tamaño. Las características que definen al microscopio son el aumento y el poder de resolución. El aumento es el resultado de multiplicar los correspondientes aumentos del objetivo y del ocular. El poder de resolución es la mínima separación entre dos puntos del objeto que se pueden distinguir con claridad.

Telescopio Existen telescopios de lentes y de espejos, e incluso combinación de ambos. Los telescopios de espejos (reflectores) en su modelo más simple (modelo Newtoniano) constan de un espejo cóncavo situado en la base de un cilindro. Los rayos paralelos que penetran por el tubo tienden a converger en el foco del espejo, en donde se sitúa un espejo plano que dirige los rayos hacia el ocular.

En los telescopios refractores, existe una lente convergente, en su modelo más simple, de más o menos diámetro en un extremo del tubo del telescopio y con una gran distancia focal. En el otro extremo se sitúa el ocular, coincidiendo en distancia focal de la lente principal (objetivo). El aumento de un telescopio es el resultado de dividir la distancia focal del objetivo entre la distancia focal del ocular.

10. Ejercicios y actividades. I. ¿Cuál es el ángulo límite para la luz que pasa del agua (n = 1,33) al aire (n=1)? ¿Y para la luz

que pasa del diamante (n = 2,4) al agua?

II.Se coloca un objeto de 10 cm de altura a 0,2 metros de una lente biconvexa de 2 dioptrías. A) Representa gráficamente la posición y el tamaño de la imagen que resulta ¿es real o virtual?; b) calcula la posición y el tamaño de la imagen que se obtiene.

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III.Un espejo esférico, que actúa de retrovisor de un coche parado, proporciona una imagen virtual de un vehículo que se acerca a velocidad constante. El tamaño de la imagen es 1/10 de la real del vehículo cuando éste está a 8 m del espejo. A) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo?; B) ¿A qué distancia del espejo se formará la imagen virtual?; C) Un segundo después, la imagen observada en el espejo se ha duplicado. ¿A qué distancia del espejo está ahora el vehículo y cuál será su velocidad?

IV.A una distancia de 60 cm de un espejo cóncavo de 80 cm de radio y sobre un eje óptico, hay una fuente luminosa puntual P. ¿A qué distancia del espejo cóncavo deberá situarse un espejo plano para que los rayos, tras reflejarse sobre los espejos cóncavo y plano, converjan en P nuevamente?

V.Se coloca un objeto de 10 cm de altura a 0,2 m de una lente biconvexa de 2 dioptrías. a) Obtén gráficamente la posición de la imagen que resulta. ¿Es real o virtual? b) Calcula la posición y tamaño de la imagen.

VI.Sobre la superficie de un líquido contenido en un vaso, colocamos una superficie flotante opaca que cubre por completo a la del líquido. Esta superficie tiene un orificio circular de 8 cm de diámetro. En el fondo del vaso, se ha colocado un objeto P en la vertical que pasa por el centro del orificio. Calcular hasta qué altura puede llenarse el vaso para poder ver el objeto desde cualquier posición exterior, a través del orificio. (El índice de refracción del líquido con respecto al aire es 2)

VII.Con una lente delgada convergente, cuya distancia focal es de 20 cm, se desea obtener la imagen de un objeto que sea real y tres veces más grande que el objeto. Se pide calcular la distancia del objeto a la lente y dibujar el diagrama de rayos.

VIII.Marta, cuya estatura es 1,72 metros, se sitúa a 80 cm delante de un espejo plano. a) ¿A qué distancia del espejo se forma su imagen? B) ¿Cuál es el tamaño de la imagen? C) ¿qué altura mínima debe tener el espejo para que Marta se vea completamente?

IX.Delante de un espejo esférico convexo de 30 cm de radio se sitúa un objeto de 2 cm de altura a 20 cm del vértice del espejo. Calcula: a) la distancia focal del espejo B) la posición de la imagen; c) el tamaño de la imagen.

X.¿Por qué los faros de los coches llevan detrás del foco luminoso un espejo parabólico?

XI.Un rayo de luz procedente del aire penetra en un medio transparente con un ángulo de incidencia de 45°. El rayo refractado forma un ángulo de 30° con la normal. Se pide: a) Índice de refracción del medio transparente; b) Velocidad de la luz en su interior; c) Ángulo límite cuando la luz circula en sentido inverso. ( velocidad de la luz aire: 3·108 m/s)

XII.La inversa de la distancia focal, recibe el nombre de potencia de una lente. La potencia se mide en dioptrías, para lo que es necesario escribir la distancia focal en metros. ¿A qué distancia de una lente de +2.5 dioptrías hay que situar un papel para que pueda arder con los rayos de sol?

XIII.Delante de un espejo esférico cóncavo cuyo radio de curvatura es de 40 cm se sitúa un objeto de 2 cm de altura, perpendicularmente al eje óptico del espejo, a 50 cm del vértice

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del mismo. Construye la imagen gráficamente; ¿cuál es la distancia focal del espejo?; Calcula la posición y el tamaño de la imagen.

XIV.Un espejo esférico colocado a 80 cm de un objeto origina una imagen derecha y de doble tamaño que el objeto. A) El espejo es ¿cóncavo o convexo?; b) ¿Dónde está situada la imagen?; c) ¿Cuánto mide el radio de curvatura del espejo?

XV.Un objeto de 1 cm de altura está situado a 20 cm de una lente convergente de 12 cm de distancia focal. A) Construye gráficamente la imagen; B) Calcula la posición de la misma; C) ¿Cuál es su tamaño?

XVI.Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada, L, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto; a) determina la naturaleza de la lente L, así como su posición respecto al objeto y la pantalla; b) calcula la distancia focal, la potencia de la lente y representa el diagrama de rayos.

XVII.Un prisma de sección recta triangular, de ángulos 60°, 30° y 90°, se encuentra en el vacío. Sobre una de sus caras (lado menor) incide un rayo de luz, con un ángulo de incidencia de 15°. Determina si se producirá el fenómeno de reflexión total cuando el rayo alcance la cara mayor del prisma. Índice de refracción del prisma = 1,5

XVIII.Una fuente luminosa emite luz monocromática de =6·10-7 metros (en el vacío), que corresponde a luz roja, que se propaga en el agua de índice de refracción 1,34. Determina: a) la velocidad de propagación de la luz en el agua; b) la frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. Dato: velocidad de la luz en el vacío : 3·108 m/s

XIX.Sobre un prisma de ángulo 60° incide un rayo de luz con un ángulo de 40°. El índice de refracción del vidrio para esa luz es 1,3. Calcula el ángulo de desviación del rayo incidente (el ángulo delta de la figura)

Soluciones:

1. 48,75º y 33,65º

2. a) virtual; b) 0,3 m delante del espejo; tamaño de

la imagen 17 cm, derecha.

3. a) 1,8 m (espejo convexo, r = -1,8 m); b) 0,8 m

( virtual s’=-0,8 m, detrás del espejo); c) 3,6 m ;

4,4 m/s

4. 90 cm

5. a) Virtual; b) 0,33 m delante de la lente; 17 cm

6. 6,9 cm

7. 26,7 cm

8. 80 cm (detrás del espejo, virtual); del mismo

tamaño; 0,86 m

9. a) distancia focal 15 cm ; b) 8,6 cm detrás del

espejo (virtual); c) 0,9 cm

10. Si se sitúa la fuente de luz en el foco del espejo

parabólico, los rayos que se reflejan en el espejo

salen paralelos al eje óptico, y de esa manera se

aprovecha toda la luz que procede de la fuente

luminosa.

11. a) 1,41; b) 2·108 m/s; c) 45,2º

12. 40 cm

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13. Distancia focal 20 cm; delante del espejo (real) a

33,3 cm; 1,3 cm (imagen invertida).

14. a) Debe ser cóncavo (la imagen es de mayor

tamaño); b) 160 cm detrás del espejo (virtual; c)

320 cm

15. b) 30 cm (imagen real); c) 1,5 cm (invertida)

16. a) lente convergente; a 3 metros de la pantalla; b)

0,75 m y 1,3 D

17. Se produce reflexión total

18. a) 2,2·108 m/s; b) 5·1014 Hz y 4,5·10-7 m

19. 21,1º

Bibliografía: Tipler, Paul A. Física Editorial Reverté SA

Física 2º Bachillerato Carrascosa, Martínez y Alonso

Física universitaria. Young y Freedman. 12 Ed.