Fundamentos Físicos en la Arquitectura Relación 1. Álgebra vectorial

1. Determinar las coordenadas y los cosenos directores de los vectores 1v

, 2v y 3v que unen los

puntos indicados en el cubo de lado L de la figura 1. (Sol. 1v

=(L,0,0), cosα=1, cosβ=cosγ=0;

2v =(-L,0,L), cosβ=0, cosα=-cosγ=-1/ 2 ; 3v =(L,-L,-L), cosα=1/ 3 , cosβ=cosγ=-1/ 3 ).

2. Dados los vectores 1v

y 2v que forman un ángulo de 60 y tienen módulos 3m y 4m

respectivamente, hallar gráfica y analíticamente el módulo del vector suma y el ángulo que forma con 1v

. (Sol. vector de módulo 6.08m formando un ángulo de 34.7 con 1v

).

3. Hallar gráfica y analíticamente la suma de los vectores 1v

a 5v de la figura 3, siendo sus

módulos 6, 4, 5, 3 y 2, respectivamente. (Sol. módulo 9.62 formando 49.6 con 1v

).

4. Dado el vector v =(4,-1,3), determinar las coordenadas de un vector del mismo módulo que sea

perpendicular a éste y su componente x sea nula. (Sol. 326

10j +

26

10k o el opuesto).

5. Determine el momento del vector ˆˆ ˆ2 3F i j k

, aplicado en el punto P(2,5,3): a) con respecto al origen, b) con respecto al punto O'(1,2,-1). c) Compruebe el teorema fundamental. Solución a)

0ˆˆ18 12M i k

, b) 0'

ˆˆ ˆ13 5 7M i j k

.

6. Dado el sistema de vectores deslizantes de la figura 6, determine el momento de 1F

respecto del

eje z y el momento del vector 2F

respecto del eje BC. Datos: F1=1000, F2=500, a=1. Solución

894, -832.

7. Dado el vector deslizante ˆˆ ˆ2 3F i j k

aplicado en P(3,4,2), calcule su momento respecto de los tres ejes coordenados, b) con respecto al eje determinado por el origen de coordenadas y el punto P’(2,3,1), c) con respecto a la recta de ecuación (x-1)/2=(y+2)/3=-(z-4)/5. Solución a) Mejex=8, Mejey=-7, Mejez=2, b) Meje=-0.8, c) Meje=4.87.

8. Dado el vector deslizante ˆˆ ˆ2 3 2F i j k

, cuyo momento respecto al origen de coordenadas es

0ˆˆ ˆ5 6 zM i j M k

, determinar Mz y la ecuación de la recta de acción del vector F

. Solución a)

Mz=4, b) (x+3)/2=(5-2y)/6=z/2. 9. Demostrar que si el momento de un sistema de vectores deslizantes es nulo con respecto a tres puntos no alineados, el sistema de vectores es equivalente al sistema nulo. ¿Qué ocurre si los tres puntos están alineados? 10. Un sistema de vectores deslizantes es tal que su momento respecto a tres puntos del espacio es:

1ˆˆ ˆ2M i j k

respecto a O1(2,0,1)

Departamento de Física Aplicada

2ˆˆ ˆ4 3M ai j k

respecto a O2(0,0,1)

3ˆˆ ˆM bi j ck

respecto a O3(1,-1,0)

Hallar el vector resultante del sistema y complete las expresiones de los momentos. Solución a=1, b=-2, c=5, R

=(-4,2,-1).

11. Sobre un cuerpo rígido actúa un sistema de cuatro pares de fuerzas situados en el mismo plano (figura 11). Determine el par resultante. Datos: F1=1500 kg, F2=1000 kg, F3=750 kg, F4=500 kg,

d1=3m, d2=4m, d3=3m, d4=6m. Solución 250 k kgm.

12. Dado el sistema de vectores deslizantes: ˆˆ ˆ2 3a i j k

, aplicado en A(1,2,3), ˆˆ ˆb i j k

,

aplicado en B(-1,0,1) y ˆˆ ˆ2 2c i j k

, aplicado en C(2,0,-1), hallar su reducción respecto al

origen de coordenadas. Solución R

=(1,3,2), 0M

=(3,7,5).

13. Reducir al punto O el sistema de fuerzas de la figura 13. Datos: F1=500kg, F2=300kg, F3=400kg, F4=200kg. Solución R

=(-500.8,-488.7,500.8) kg, M

=(2102.4,-1502.4,-563.7)kgm.

14. Sea el sistema de vectores deslizantes paralelos que se muestran en la figura 14. Reduzca dicho sistema a un solo vector aplicado en un punto que deberá determinar. Datos: F1=500, F2=1500,

F3=2000, F4=2500, a=2, b=1, c=1.5. Solución ˆ2500R j

aplicado en (3.3,0,0). 15. Consideremos el sistema de vectores deslizantes paralelos al eje z formado por los vectores de módulos 2, 4 y 5, aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3), respectivamente. a) Determinar las coordenadas del punto central del sistema y compruebe que el momento del sistema respecto del mismo es nulo. b) Ahora gire el sistema, sin modificar módulos ni puntos de aplicación, hasta colocarlo paralelo al eje x y repita el apartado anterior. Solución 1/11(20,19,19) 16. Determinar la magnitud, dirección, sentido y línea de acción de la resultante del sistema de seis vectores deslizantes paralelos aplicados a un cuerpo rígido que se muestran en la figura 16. Datos: F1=600, F2=1000, F3=1000, F4=500, F5=700, F6=400, a=2, b=4, c=3. Solución 2.000, dirección y sentido igual a F2, dista 2.85 del plano F1F4 y 2.2 del F1F3.

17. Demuestre que el sistema de vectores 1ˆ2F i

, 2

ˆF i

, 3ˆF i

, aplicados en los puntos

(0,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, se puede reducir a un par y determinar dicho par. Solución M

=(0,-1,1).

18. Sobre un cuerpo rígido actúan dos pares tal y como se indica en la figura 18. Reduzca el sistema al punto que considere conveniente. F1=200kg, F2=100kg. Solución

ˆˆ ˆ400 600 300M i j k

kgm respecto de cualquier centro de reducción. 19. Dado un vector deslizante F

=(-1,2,3), cuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), y el par

de momento M

=(4,2,0), reducir dicho sistema a un vector único aplicado en un punto del plano xy que deberá determinar. Solución R

=(-1,2,3) aplicado en (5/3,5/3,0).

20. Componer la fuerza horizontal 1F

y el par 2F

, 2F

, que actúan sobre un cuerpo rígido en forma

cúbica, en una sola fuerza R

. Datos: F1=400kg, F2=1000kg. Solución ˆ ˆ346.4 200R i j

kgm. 21. Reducir el sistema de la figura a una sola fuerza. Datos: F1=400kg, F2=400kg, F3=200kg,

F4=100kg, a=2m, b=4m, c=3m. Solución R

=(0,-260,-120) kg.

22. Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas, 1F

=(3,-2,1) y 2F

=(1,-1,0), aplicadas en los puntos

(0,1,1) y (2,0,1) respectivamente, y un par de fuerzas de momento M

=(3,0,-1). Sustituir ese sistema de fuerzas por una fuerza que pase por el punto (1,1,1) y un par. Solución R

=(4,-3,1), M

=(3,1,1). 23. Demostrar que el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes es el mismo para todos los puntos de una recta paralela a la dirección de la resultante general del sistema.

xy

v3v2

v1

v1

v2

v3

v4

v5

45º

45º60º

Fig. 1 Fig. 3

F1

F1 d1F2

d2

F3

d3

F3F2

F4

d4

F4

xy

F2

F1

F4

F3

O

3.0m

z

x

a

F3

y

F1

F2F4

cb

Fig. 11 Fig. 13 Fig. 14

Fig. 6

y

2a

3a

z

x

a F2

F1

C

A

B

Fig. 16

xy

F2F1 F4

F3

O

c

z

F6

F5

a b

Fig. 20

Fig. 18

Fig. 21

x

y

F3 c

z

F2

b

F1

F4

aO

x

y

F2

F1

O

4.0m

z

F2

3.0m

F1

x

y

-F2

O

1.0m

z

F2

30º

F1A

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 2. Equilibrio

1.- Determine el grado de hiperestaticidad externo de los cuerpos de la figura. (a) GHe=2, b) GHe=5, c) GHe=6)

2.- Determine el grado de hiperestaticidad externo de los sistemas planos apoyados mediante bielas. (a) GHe=0, b) GHe=3, c) GHe=1)

3.- Determine el grado de hiperestaticidad externo del paralelepípedo sostenido mediante cinco bielas (GHe=-1).

4.- Determine el grado de hiperestaticidad externo del paralelepípedo sostenido mediante tres pilares empotrados y uno articulado (GHe=15).

b) a) c)

Figura 1

Figura 2

b) a) c)

Departamento de Física Aplicada

5.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total de los siguientes sistemas planos (a) GHi=0, GHe=0, GH=0, b) GHi=-1, GHe=1, GH=0, c) GHi=-4, GHe=0, GH=-4, d) GHi=1, GHe=0, GH=1, e) GHi=0 pero mal constituido, GHe=0, GH=0 pero mal ligado f), GHi=6, GHe=-3, GH=3 pero mal ligado)

a) b)c)

d) f)e)

Figura 5

6.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total del sistema de la figura que está formado por: a) 8 barras articuladas, b) 4 vigas y 4 pilares articulados. En ambos casos el sistema se une al suelo mediante 4 articulaciones. (a) GHi=-10, GHe=6, GH=-4, b) GHi=-18, GHe=6, GH=-12) 7.- Determine el grado de hiperestaticidad interno, externo y total del paralelepípedo formado por barras rectas articuladas y empotradas. El sistema se une al suelo mediante siete bielas (GHi=4, GHe=1, GH=5).

Figura 3 Figura 4

Figura 6 Figura 7

8.- Dos cables se amarran juntos en C se cargan como se muestra en la figura. Determine analítica y gráficamente la tensión en cada cable. (TAC=59.8kg, TBC=223.1 kg). 9.- Dos cables están unidos en A y soportados como se indica. Determine el intervalo de valores de P para el cual ambos cables permanecen tirantes. (287N<P<1600N). 10.- Dos cables unidos en C se cargan como se indica. Encuentre el valor de α para el cual la tensión en el cable BC es mínima. (α=35).

A

B

C

200kg

75º

75º

B

A C

960N

34

280mm

960mm

P

C

B

A

55º

6kN

11.- Para los cables de la figura se sabe que la tensión permitida es 600N para el AC y 750N para el BC. Determine la fuerza máxima P que puede aplicarse y el ángulo α necesario. (P=784N, α=71.0). 12.- Un cajón movible y su contenido pesan 700N. Determínese la cadena más corta ACB que puede usarse para levantar el cajón si la tensión en la cadena no debe exceder de 1250N. (L=50cm). 13.- Una carga de madera con peso W=25kN va a ser levantada con una grúa móvil. El peso de la pluma ABC es de 3kN y el del sistema carro-chofer 50kN. Si las dimensiones del sistema son las indicadas en la figura, determine la reacción en las ruedas traseras y delanteras (ND=34.04 kN, NT=4.96 kN).

Figura 9 Figura 8 Figura10

14.- Dos bielas AB y DE están conectadas por una palanca angular como se indica en la figura. Sabiendo que la biela AB ejerce una fuerza tractora de 180 N, determínese la tensión en la biela DE

y la reacción en C. (TDE=150 N, ˆ ˆ108 294CR i j

N).

15.- La grúa de la figura pesa 1200 N y se utiliza para levantar un peso de 3600 N. Si la tensión del

cable es 4000N, determínese la reacción en el empotramiento. ( ˆ8800R j

N, ˆ36000M k

Nm)

A

D

EC

B

90º

4m

3m

6m

4.5m

3.75m

6.5m

12m

1200N3600N

16.- Calcular las reacciones en el punto A de la viga empotrada de la figura. La longitud de la viga

es L, su masa despreciable y se aplica una fuerza F en el punto que se indica. ( ˆ( )R Q F j

, ˆ( 2 / 3 ( ) )AM Ql a b F k

).

17.- Una varilla de longitud 2R y peso P descansa sobre una superficie lisa y cilíndrica de radio R. Determinar la posición de equilibrio de la varilla (θ=32.6). 18.- Determinar las reacciones en los apoyos de la estructura continua representada en la figura.

( ˆ ˆ7608 2412AR i j

kg, RB=2785 kg).

19.- Hallar las reacciones en los apoyos de la figura. (RA=3000 kg, RB=-1000 kg, RC=4000 kg).

B45º

A B

C

48cm

25º

P

A

C

Figura11 Figura 13 Figura 12

Figura 14 Figura 15

20.- Determinar las reacciones de los apoyos en la viga de 6m de longitud de la figura sometida a una carga de 6000kg aplicada en un punto que dista 2.67m del punto B, formando un ángulo de 45 con la viga. ( ˆ ˆ=4243 +1888 AR i j

kg, ˆ=2355BR j

kg).

21.- La placa rectangular que se muestra en la figura pesa 80N y se sostiene mediante tres alambres. Determine la tensión en cada alambre. (TA=30N, TB=10N, TC=40N).

B3m

3m

3m 3m

2000kg

4000kg

A

C

2.67m

6m

BA6000kg

45º

x

y

z60cm

30cm

15cm

15cm

60cm

AC

B

22.- Una barra de 12m sostiene un cable horizontal CD y se mantiene por medio de una rótula en A y de dos cables BE y BF. Sabiendo que la tensión en el cable CD es 14 kN y suponiendo que φ=25, determínese la tensión en los cables BE y BF y la reacción en A. (TBE=6.62kN, TBF=25.1

kN, ˆˆ ˆ=-6.34 20.3 +2.96 R i j k

kN).

23.- La barra AB de 12m está sometida a una fuerza de 850 N como se indica. Determine la tensión

en cada cable y la reacción en la rótula. (TC=975 N, TD=700N ˆ ˆ1500 425AR i j

N).

24.- La plataforma horizontal ABCD pesa 60kN y sostiene una carga de 240kN en su centro. La plataforma se sostiene horizontalmente por medio de una bisagra en A y una barra CE, articulada en E y apoyada en C. a) Determine las reacciones en la bisagra y el apoyo y b) el coeficiente de

rozamiento mínimo en C que asegura el equilibrio. (a) FCE=202.7kN, ˆˆ ˆ113.5 150 75AR i j k

kN, ˆ ˆ600 225AM i j

kNꞏm , b) min=0.907).

A

2L/3 L/3Q

a b

F

A

B

30º

3m

9000kg

A

B

1m

2m

Figura 16 Figura 17 Figura 18

Figura 19 Figura 20 Figura 21

x

4m

3m2m2m

z

y

240kNA

B

C

D

E3m

B

C

D

A

6m

6m4m

6m

4m

x

z

850N

A

B

CD

F

E6m

6m

7.5m

7.5m

8m

12m

x

y

z

y

25.- La placa de la figura pesa 250 kg y se sostiene mediante una bisagra en A y un cable CD que pasa por un gancho liso E. Determine la tensión en el cable y las reacciones en la bisagra.

(T=1292N, ˆˆ ˆ=429 +1226 +1839 AR i j k

N, AˆˆM =-1104 +1809 j k

Nm).

26.- El bastidor ACD se sostiene mediante las rótulas A y D y un cable fijo a los puntos G y H de la figura y que pasa a través de un anillo B liso. Si el bastidor soporta en el punto C una carga de P=335 N, determine la tensión en el cable. (T=449.7N). 27.- La placa de 100 kg de la figura se sostiene por medio de bisagras a lo largo de la arista AB y por el alambre DE. Determine la tensión en el cable. (T=60.8 kg).

x

y

z

2.3m0.9m

0.3m1.5m

2.25m

AO

D

C

E

B

D

A

G

H

C

P

1.2m

1.48m 1.2m

1.4m0.56m

0.8m0.8m

x

y

z

x

C

y

z

A

30cm

30cm

10cm

24cm

B

E

D

28.- Determine las reacciones externas en las vigas Gerber representadas en la figura. (a) RA=16000kg, RB=12000 kg, RC=14000 kg, RD=6000 kg,

b) ˆ ˆ5196 1079AR i j

kg, RB=2569kg, RC=12432kg, RD=9087kg),

c) ˆ1500AR j

kg, RB=6317 kg, RC=3783 kg, RD=400 kg).

Figura 22 Figura 23 Figura 24

Figura 25 Figura 26 Figura 27

29.- Determine las reacciones externas en un arco triarticulado sometido a una carga de 20000 kg de la figura. Determine asimismo la reacción que ejerce la articulación C sobre la mitad izquierda

del arco ( ˆ ˆ=16667 +5000 AR i j

kg, ˆ ˆ=-16667 +15000BR i j

kg, ˆ ˆ=-16667 -5000CR i j

).

30.- Un arco triarticulado se encuentra sometido a las cargas P=3000kg y Q=2000 kg. Hallar las reacciones externas en las articulaciones y la reacción que ejerce la articulación C sobre el arco de

la izquierda. ( ˆ ˆ=-2387.3 -1508.6AR i j

kg, ˆ ˆ1612.7 223.5BR i j

kg, ˆ ˆ612.8 1508.5BR i j

kg).

3m

10m 10m

5m

A

C

B

20000 kg

B

A

C

45º

45º 30º30º

P

Q

16m

Figura 28

Figura 29 Figura 30

1m 3m 1m 2m 2m 1m 3m

2m 0.5m 1.5m

12000Kg4000Kg8000Kg24000Kg

A B C D

2m6m

9000Kg

2000KgmA B C

2m 2m 3m1m 1m

3m3000Kg

D

a) b)

c)

2m 6m

2.5m6000Kg2000Kgm

20000Kg

A B C

2m 2m3m 3m 5m

D30º

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 3. Rozamiento

1.- El cuerpo cúbico de la figura está sometido a una fuerza Q que forma un ángulo de 45 con la horizontal. Determinar el menor valor de Q para que se produzca movimiento y determinar de qué movimiento se trata. Peso=3000kg, e=0.25. (Sol. 848.5kg, deslizamiento) 2.- Una barra AC homogénea está en equilibrio apoyada en los puntos A y B de una superficie cilíndrica. Suponiendo que la superficie es lisa en A y rugosa en B, determinar las reacciones en A y B sobre la barra, así como el valor mínimo del coeficiente estático de rozamiento en B. Datos: peso de la barra 100kg, longitud 6m, a=3.2m, =30. (Sol. NA=10.8kg, NB=81.2kg, FRB=40.6kg, e=0.5). 3.- Un cilindro sólido y homogéneo de radio R y masa M descansa sobre un escalón vertical de altura h<R. El cilindro se monta sobre un eje horizontal respecto del cual rota sin rozamiento. ¿qué fuerza mínima debe ejercerse sobre el eje para que el cilindro supere el escalón? (Sol.

(2 ) Mg/(R-h)h R h ) Q

45º

Figura 1

C

A

Ba

L

Figura 2

F

h

Figura 3

4.- Un cuerpo A de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo B de masa M, que a su vez se apoya sobre una superficie plana. Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre A y B son e1 y c1 y entre B y la superficie plana son e2 y c2. Sobre el cuerpo B se ejerce una fuerza horizontal de módulo F. Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice y determine la fuerza de rozamiento, FR1, entre A y B en ese preciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo A deslice respecto de B y el rozamiento entre los cuerpos A y B. (a) FR1=0, F=e2(m+M)g, b) FR1=e1mg, F=(e1+c2)(m+M)g). 5.- En la figura, los coeficientes de rozamiento son e=0.30 y c=0.25 entre todas las superficies de contacto. Determine la fuerza mínima P requerida para iniciar el movimiento del bloque D, si a) el bloque C está retenido mediante el cable AB, b) se quita el cable AB. (Sol. 1030N, 736N)

Departamento de Física Aplicada

Figura 4

B

A

F

Figura 5

BA

P150kg

100kgC

D

Figura 6

A

B

6.- El bloque A pesa 50N y el bloque B pesa 25N. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.15, determine el valor de para el cual el movimiento es inminente. (Sol. 46.4) 7.- El bloque A de masa 200kg se apoya sobre el bloque B de masa 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloque A se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al plano inclinado. Determinar el ángulo para el cual se inicia el deslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento en todas las superficies es 0.20. (Sol. 2148'). 8.- Dos bloques A y B de 400kg y 100kg de masa se apoyan sobre un plano inclinado de ángulo y se unen mediante una cuerda tensa como se indica en la figura. Determinar el ángulo para el cual se inicia el movimiento y determinar la tensión de la cuerda en ese instante. El coeficiente de rozamiento entre A y el plano es 0.10 y entre B y el plano es 0.20. (Sol. 6.8). 9.- Dos bloques A y B, de masa 200kg y 300kg respectivamente se apoyan tal y como se indica en la figura. Determinar la mínima inclinación de para la cual se inicia el deslizamiento y determine la tensión del cable en ese instante. En todas las superficies e=0.25 (Sol. 23.5, 50kg)

Figura 7

A

B

Figura 8

A

B

BA

Figura 9

10.- Sobre el bloque B de la figura se sitúa una carga vertical P=1000kg. Si la masa de los bloques es MA=500kg y MB=200kg, determinar la mínima fuerza horizontal Q que es preciso aplicar sobre A para elevar el cuerpo B. Coeficiente de rozamiento en todas las superficies de contacto es 0.20, =30. (Sol. 1670kg). 11.- Dos cuñas de 8 y peso despreciable se utilizan para mover y colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies de contacto es 0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar a una de las dos cuñas. (Sol. 1966N)

12.- La varilla BC tiene un apoyo rugoso en B (e=0.4) y se articula en C al centro de una varilla AD, tal y como se indica. Ambas varillas tienen peso despreciable. Determine el mínimo valor de la fuerza F (con el sentido indicado) que genera movimiento. (Sol. 192.4N)

Figura 11

800kg

P

8º

8º

Figura 10

B

A

Q

P

30º

2m 1000N

1m

A B

C

D

0.5m

F

Figura 12

13. Aplicando una fuerza P al rectángulo C de la figura se pretende mover la viga de 1200N de peso. El coeficiente estático de rozamiento entre todas las superficies es 0.30. El cuerpo C es de masa despreciable y ligeramente más bajo que el escalón, de modo que la viga sólo se apoya en los puntos A y B. ¿A partir de qué fuerza se mueve el sistema? ¿Se mueve la viga? (a partir de 270N se mueve sólo la pieza C). 14.- Una cuña de 8 se deberá forzar bajo la base de una máquina de 1400N en B. Si se sabe que el coeficiente de rozamiento estático es 0.20 en todas las superficies, determine la fuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo se moverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquina está en posición prácticamente horizontal, con la cuña levemente insertada en el punto B, de modo que sólo mantiene contacto puntual en A con el suelo y en B con la cuña. (Sol. 280N, la máquina se moverá con la cuña deslizando sobre el suelo).

Figura 14

PA

B

1400N0.4m1m

2m 2m6m

2mP

BA C

Figura 13

15.- Los bloques A y B de la figura pesan 250N y 300N, respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.34. Determine el mayor ángulo que permite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo (T=192.7N, α=65.65°).

Figura 15

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 4. Estructuras

1.- Utilizando el método de los nudos, determine el esfuerzo en cada elemento de las estructuras articuladas que se muestran a continuación.

A

B

4.5m

H

G

FD

EC

A

B

C

D

E

A

B

C

D E

FA

B

C

D E

D

E

C

A

F

B

A B

C

D E

24kN

60°

3m6m 6m

60° 60°60°

3m

1 t 1 t

3 t

2m

2m 2m 2m

1 t1 t1 t

12kN 5kN

12kN

20kN

5kN

3m 3m

1.6m

12m

18kN5m

5m

5m 5m11m

12m

693N

e) f)

b)a) c)

d)

3.2m

2.- Utilizando el diagrama de Maxwell-Cremona, resuelva las estructuras del problema anterior.

Departamento de Física Aplicada

3.- Resuelva las siguientes estructuras utilizando el diagrama de Maxwell-Cremona.

2m

1m

5m

2m

1m

2t

1t

1t

1t

a) b)

2t

2t

5m

5m

2m2m

c)

2t

1m

2.5m

4.- Determine los elementos descargados en las siguientes estructuras articuladas.

A

K

L

P

JIHG

ED

CB

F A

J

I

H

G

E

D

C

B

F

A

JI

HG

EDCB

F

M

NO

Q

KL

P

M NO

a) c)b)P

5.- Determine el esfuerzo de los elementos CD y DF en la estructura de la figura 5. (Sol. FDF=12kN, FCD=-9kN). 6.- Determine el esfuerzo de los elementos FG y FH en la estructura de la figura 6 cuando P=35kN. (Sol. FFG=-70kN, FFH=240kN).

4m

3.5m

4m4m4m4m

P PPPPP

AJ

I

H

GE

D

C

B F

Fig. 5 Fig. 6

A

J

I

H

GE

D

C

BF

2.4m

1.8m

12kN12kN

2.4m 2.4m 2.4m

7.- Determine el esfuerzo en los elementos FK y JO de la estructura mostrada en la figura 7. (Sol. FFK=P/4, FJO=-P/4). 8.- Determine el esfuerzo en los elementos DG y FH de la estructura mostrada en la figura 8. (Sol. FDG=-75kN, FFH=75kN).

A

JIG

EDCB

F

KL

P

M NO

H

d d d d

d

Fig. 7

AJ

IG

E

D

C

B

F K

L

N

35kN

H M

35kN35kN

5m5m 5m 5m 5m 5m

3.5m

3.5m

Fig. 8

d

9.- Resuelva las siguientes estructuras compuestas.

A

E

D

C

B

F

P2 t 6m

6m

5m

1

4 t

8

97

6

5

4

3

2

45° 15°

45°15°

45°15°

P6m

P6m

P6m

P6m

P6m

P6m6m

60° 60°

a) b)

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 5. Geometría de Masas I: Centroides

1.- Determine por integración el centro de masas de una varilla homogénea de longitud l que forma un ángulo θ con el eje x con uno de sus extremos en el origen de coordenadas (Solución (lcos(θ)/2,lsen(θ)/2) ). 2.- Hallar el centro de masas de un arco de circunferencia de semiángulo α y radio R (Solución (Rsen(α)/α, 0) ). 3.- Determine el centro de masas de una hélice cilíndrica de ecuaciones paramétricas: x=Rcos(φ), y=Rsen(φ), z=kφ, con 0φ2π (Solución (0,0,kπ) ). 4.- Determinar mediante integración la posición del centroide de las superficies siguientes:

x

y

a

b

c

x

y

a

b

x

y

a

b x

y

R

y=kx2

y=kx2

y=mx

a)

a)

d)c)b)

(Solución ((b+a)/3,c/3), (3a/4,3b/10), (a/2,2b/5), (2Rsenα/3α,0) ). 5.- Calcular el centro de gravedad del primer cuadrante del recinto elíptico definido por x2/a2+y2/b2=1 y los semiejes positivos ox, oy (Solución (4a/3π, 4b/3π) ). 6.- Calcular el centro de masas de una línea homogénea formada por dos arcos de circunferencia de radios a=5m y b=4m, respecto de los ejes xy indicados en la figura (Solución (0.5m,0.089m) ).

a/2 a/2

a

b

b/2 b/2y

x

Fig.6

Departamento de Física Aplicada

7.- Hallar las coordenadas del c.d.g. de las siguientes figuras:

2cm

3cm

3cm

1cm

3.8cm

1.5cm

x

y

6cm

2cm

2cm

2cm

2cm

6cm

x

y

6cm4cm

6cm 6cmx

y

a) b) c)

(Solución a) (3.353, 3.5ꞏ10-4) cm, b) (4.28, 4.28) cm, c) (0,1.14) cm ). 8.- Dada una semicorona circular de densidad superficial σ constante y radios interior y exterior r y R, respectivamente, calcular el c.d.m. según los ejes indicados (Solución (0,4(R3-r3)/3π(R2-r2)) ). 9.- Determinar las coordenadas del c.d.g. de la sección de una viga mixta de hormigón y acero en la proporción que se indica en la figura. Suponga σacero=7.5 T/m2 y σhormigón=2.5 T/m2 (Solución (0,-H/8) ). 10.- Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar 180 alrededor del eje z el triángulo rectángulo de la figura (Solución 56547 cm3 ). 11.- Hallar la superficie lateral que engendra el cuarto de circunferencia de la figura al girar: a) alrededor del eje oz, b) alrededor de la recta y=0, z=4 (Solución a) 8π(1+π), b) 8π(π-1) ). 12.- Hallar el volumen y la superficie total del cuerpo de la figura (Solución 0.291ꞏ10-3m3, 3.91ꞏ10-2m2 (incluyendo las superficies triangulares). 13.- Determinar, utilizando los teoremas de Pappus-Guldin, el volumen y el área de: a) una esfera de radio R, b) un cono recto de radio R y altura H y c) un cilindro de radio R y altura H.

H/2

H/4

H/4

B/2B/2

Acero

Hormigón

x

y

Fig. 9

R

r

x

y

Fig.8.

z

20cm30cm

30cm

4m

x

z

y

2m

52mm

42mm

Fig.10 Fig.11 Fig.12

60mm

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 6. Geometría de masas II: Momentos y Productos de Inercia

1.- Calcule el momento de inercia de un arco de circunferencia homogéneo de radio R, amplitud α, masa m y densidad lineal de masa λ, respecto de un eje normal a su plano y que pase por su centro de gravedad (Solución mR2[1-2(1-cosα)/α2] ). 2.- Calcular los momentos principales de inercia de una placa elíptica homogénea de semiejes a y b y masa m (Solución Ix=mb2/4, Iy=ma2/4, Iz=m(a2+b2)/4 ). 3.- Determine por integración los momentos de inercia respecto de los ejes x e y, así como el producto de inercia Ixy para las superficies de la figura.

x

y

a

b

x

y

a

by=kx3

y=kx2

y=mx

a) d)c)b)

x

y

b

h

x

y

b

h1

h2

(Solución: a) Ix=bh3/12, Iy= b3h/12, Ixy=b2h2/24, b) Ix=ab3/30, Iy= a3b/6, Ixy=a2b2/16, c) 4 4 3 3 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1

2 1

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

12( ) 4 3 8 4 6x y xy

b h h b h h b h b h h b h b h h hI I I

h h

d) Ix=ab3/28,

Iy= a3b/20, Ixy=a2b2/24). 4.- Determínese el momento polar de inercia del área que se muestra en la figura: a) respecto del punto O, b) respecto del centro de masas (Solución: 11.57106 mm4, 7.81106 mm4 ). 5.- Idem que el problema cuatro para el área de la figura (Solución 129.2 cm4, 25.7 cm4 ).

40mm

O

20mm

40mm40mm40mm

60mm

O1.5cm3cm

Fig.4 Fig.5

Departamento de Física Aplicada

6.- Determine los momentos de inercia respecto de los ejes x e y, así como el producto de inercia Ixy para las superficies de la figura.

x

y

40mm

60mm

60mm

40mm

x

y

60mm

60mm120mm

60mm

120mm60mm

x

y

1cm

10cm

10cm1cm

Centroide

x

y

1cm

10cm1cm

Centroide20cm

a) b) c) d)

(Solución: a) Ix=2592ꞏ104mm4, Iy=7776ꞏ104mm4, Ixy=1944ꞏ104mm4, b) Ix=32ꞏ105mm4, Iy=72ꞏ105mm4, Ixy=24ꞏ105mm4, c) Ix=180cm4, Iy=84.1cm4, Ixy=0, d) Ix=2293cm4, Iy=168.2cm4, Ixy=0). 7.- Considerando el cuerpo plano de la figura, determine mediante las ecuaciones del giro de ejes: a) los momentos y productos de inercia del mismo respecto de los ejes x e y, b) los ejes principales del cuerpo respecto de O, c) los valores de los momentos principales del cuerpo respecto de O (Solución: a) Ix=10.375cm4, Iy=6.965mm4, Ixy=-6.563cm4, b) p=37.73º, c) Ixp=15.45cm4, Iyp=1.89cm4). 8.- Dado el cuerpo de la figura 6a, determínese la orientación de los ejes principales que pasan por el centroide y el valor correspondiente de los momentos principales de inercia (Solución p=18.4, Ixp=84.2106 mm4, Iyp =19.46106 mm4 ). 9.- Dado el rombo homogéneo ABCD de la figura, cuyas diagonales valen 4 y 6 cm, respectivamente: a) calcular Ix, Iy e Ixy, b) determine el momento de inercia respecto del eje r y el producto de inercia respecto de los ejes r y r' (Solución: a) Ix=18cm4, Iy=8cm4, Ixy=0, b) Ir=15.5cm4, Irr’=-4.33cm4). 10.- El perfil laminado de la figura tiene las siguientes características: Iu=5700 cm4, Iv=2000 cm4, S=78.1 cm2. Siendo O el centro de gravedad del perfil, calcular los momentos principales de inercia y las direcciones principales de inercia respecto del punto A, situado en el vértice inferior izquierdo (Solución: p=-38.3, Ixp=19.686106 mm4, Iyp =3633.9 mm4 ).

u

v

200mm

200mm O

Fig.10

60º

30º

x

y

r

r'

Fig.9

0.5cm

3cm0.5cm

Centroide4cmx

y

0.5cm

3cm

Fig. 7

A

Fundamentos Físicos Aplicados a las Estructuras Relación 7. Vigas

1.- Determine la función densidad lineal de carga en las vigas de la figura 1 y determine a partir de esta función la carga total, el momento total respecto del extremo izquierdo de la viga y el punto de aplicación de la fuerza resultante en cada caso. Aplique el resultado para obtener las reacciones en los apoyos.

A B

2000N/m

1600N/m

2.7m

A B

1400N/m

500N/m

parábola

extremo

4m

4kN/m

3kN/m

1.2m1.6m

A B

1.5m0.4m 0.6m

900N/m

400N/m

a)

d)

b)

c) 2.- Determine la fuerza equivalente y el punto de aplicación de la misma para las vigas del problema por medio del cálculo de áreas y centroides. 3.- Hallar las solicitaciones y construir los diagramas correspondientes en las vigas de la figura.

Peso de la viga=1000kg

4m4m 2m

4000kg

12000kgm

a)

P

a

P

a

b)

Departamento de Física Aplicada