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XXVII REUNIÓN DE ESTUDIOS REGIONALESCambios Regionales en la UE y Nuevos Retos Territoriales

TITULO DEL RESUMEN:APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÓMICAS

AUTORES: Dra. Mª ÀNGELS CABASÉS y Dra. Mª JESÚSGÓMEZ Departamento de Economía Aplicada.

Universidad de Lleida

Direcciones de contacto de los autores:

MªANGELS CABASES PIQUE

Departamento de Economia Aplicada

Facultad de Derecho y Economia

Plaza Victor Siurana, 1 25003 LLEIDA

Tf. 973.70.31.42

E-mail: .Angels.Cabases@econap.UdL.es

MªJESÚS GÓMEZ ADILLÓN

Departamento de Economia Aplicada

Facultad de Derecho y Economia

Plaza Victor Siurana, 1 25003 LLEIDA

Tf. 973.70.31.42

E-mail: M.Jesus.Gomez@econap.UdL.es

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TITULO: APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÓMICAS

RESUMEN

A partir de estudios teóricos, que analizan modelos de

concentración de una variable económica, en el presente trabajo se

pretende profundizar en la especificación de modelos que tengan

utilidad como curvas de Lorenz.

El objetivo que se pretende es ver si una forma cuadrática

propuesta por Villaseñor y Arnold (1984) puede ajustarse como

curva de concentración, a través del cálculo de funciones de

densidad derivadas de las funciones anteriores.

También se calculan medidas de concentración que se derivan de

curvas cuadraticas particulares obtenidas teóricamente, entre otras,

el índice de Pietra y el índice de Gini.

En una segunda parte se realiza una aplicación empírica que

persigue cuantificar las desigualdades en el PIB por cápita de las

comarcas de Catalunya para los años 1991 y 1996.

AUTORES: M.Àngels Cabasés y M. Jesús Gómez. Departamentode Economia Aplicada. Universidad de Lleida.

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TITULO DE LA COMUNICACIÓN:

APLICACIÓN DE LAS CURVAS CUADRÁTICAS COMOMODELOS DE CONCENTRACIÓN DE VARIABLESECONÒMICAS

1. Introducción a las curvas cuadráticas de concentración

Una de las áreas de mayor interés en el ámbito del estudio de la

concentración de una variable económica, ha sido la especificación

de su distribución junto con la elección de una o más medidas de

concentración.

Diversos autores han realizado investigaciones en este sentido y han

sugerido distintas curvas de concentración. Algunos de ellos como

Pareto (1896), Aitchison y Brown (1957), Fisk (1961), Salem y Mount

(1974), Singh (1976), Maddala (1976), Gail (1978), Gastwirth (1978),

Basmann (1990), McDonald (1979) entre otros, han efectuado

estudios basándose en modelos de probabilidad teóricos. Destacan

las aportaciones por Kakwani y Podder (1973), Villaseñor y Arnold

(1989) y Gupta (1984) ya que han propuesto nuevas formas

funcionales para definir una curva de concentración mediante las

cuales se obtienen medidas de la desigualdad, de fácil

interpretación. Todos tienen un punto en común, estudiar modelos

de probabilidad teóricos en los cuales se fundamentan las curvas de

concentración, y que en gran medida describan el comportamiento

de los datos que se disponen.

En concreto, este trabajo se inicia con la descripción de una forma

cuadrática propuesta por Villaseñor y Arnold1 del tipo:

1 Villaseñor, J. y Arnold, B., “Elliptical Lorenz Curves”, Journal of Econometrics, vol.40,págs.327-338, 1989.

4

0cqbpqap 22 =++ [M1]

El objetivo que se pretende con esta investigación es analizar si este

modelo puede ajustarse a una curva cuadrática de Lorenz. Para ello

se hace necesario obtener una función q, que por un lado, sea una

función de p (tomando a q como la función de concentración y a p

como la función de acumulación de probabilidad), y por otro lado,

que cumpla con las propiedades de una curva de concentración:

- si p = 0 → q(p) = 0

- si p = 1 → q(p) = 1

- q’(p) ≥ 0

- q’’(p) ≥ 0

Si efectuamos el análisis de las propiedades en el modelo propuesto

observamos que no se cumplen y por tanto no puede ser

considerado como una curva de concentración.

Bajo esta línea de investigación, se añade a la forma anterior otros

términos para conseguir modelos de concentración, en concreto se

analizaran las siguientes ecuaciones:

- 0dpcqbpqap 22 =+++

- 0eqcqbpqap 22 =+++

- 0eqdpcqbpqap 22 =++++

Villaseñor, J. y Arnold, B., “Some examples of fitted general quadratic Lorenz curves”,Technical report, núm.130, University of California, 1984.

5

En primer lugar el modelo M1 se modifica sumando el término dp

que depende de la función de acumulación de probabilidad,

resultando la siguiente expresión:

0dpcqbpqap 22 =+++ [M2]

A partir de aquí se hace necesario hallar un conjunto de restricciones

en los parámetros para que se cumplan las propiedades de una

curva de concentración. Esta tarea resulta muy enojosa y larga,

presentándose diferentes alternativas, motivo por el cual las

restricciones que a continuación se presentan permiten que la curva

sea una curva de concentración elíptica.

El estudio de esta nueva forma cuadrática lleva a las siguientes

conclusiones:

a) Si el parámetro c = 0, no se obtiene ninguna curva de Lorenz

puesto que nos hallamos con la misma problemática anterior, que

surge en la ecuación M1.

b) Considerando a c ≠ 0, y en concreto el caso, c = 1, la posible

curva de concentración seria:

( )2

)dpap(4pbbpq2

1222 +−−−= [C1]

Para esta posible curva de concentración se ha considerado el valor

negativo de la raíz puesto que es el procedimiento más indicado

para obtener las conclusiones que se desean alcanzar.

Para que la función cuadrática [C1] sea una verdadera función de

concentración, es decir, que cumpla las propiedades anteriormente

citadas, es necesario que pase por los puntos (0,0) y (1,1), para lo

cual debe cumplirse la restricción en los parámetros:

0dab1 =+++ .

6

Al mismo tiempo serán necesarias las siguientes restricciones en los

parámetros para que la curva sea una verdadera función de

concentración:

01dba0b0a0d ≥+++≤≤>

Por otro lado, si a la forma cuadrática original M1 se añade un

miembro diferente al de la ecuación M2, que en este caso depende

de q (función de concentración), se obtiene la siguiente ecuación:

0eqcqbpqap 22 =+++ [M3]

A partir de la cual, podemos obtener las siguientes conclusiones:

a) Suponiendo a c = 0, la función es:

)ebp(apq

2

+−= [C2]

Que pasará por los puntos (0,0) y (1,1), si bae −−= y si los

parámetros toman las restricciones que se enumeran se obtiene una

nueva curva de concentración:

a)1p(b0b0a >−≤≤

b) Suponiendo c = 1, la función a estudiar será:

( )2

ap4)ebp()ebp(q2122 −+−+−= [C3]

que pasará por los puntos (0,0) y (1,1) si 1−−−= bae y será una

función de concentración si los parámetros toman los valores:

a4b01a0b0a 2 ><−≤≤

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Y por último se estudia una forma cuadrática más general,

añadiendo al modelo M1 los términos dp y eq , de forma conjunta,

que engloba todos los parámetros estudiados anteriormente:

0eqdpcqbpqap 22 =++++ [M4]

De igual forma se supone c = 0, obteniéndose la función:

)ebp()dpap(q

2

++−= [C4]

y en concreto, se considera el tramo que pasa por los puntos (0,0) y

(1,1), siendo necesario que dbae −−−= .

Cumplirá con las propiedades de una curva de Lorenz si los

parámetros toman las restricciones:

0dab0d0b0a >++≥≤≤

En el caso particular para c = 1 la función q pasará a ser la siguiente:

2))dpap(4)ebp(()ebp(q

2122 +−+−+−= [C5]

Con la condición 01 =++++ edba para que pase por los puntos

(1,1) y (0,0), junto con las restricciones generales para cumplir con

las propiedades deseadas:

01dba0d0b0a >+++≥≤≤

2. Cálculo de las densidades derivadas de las formascuadráticas

8

Existen muchas curvas de Lorenz, propuestas por diferentes

autores, que no se han calculado a partir de densidades conocidas

de la variable objeto de estudio. Tal es el caso de la curva de

concentración con forma cuadrática más general que se ha

propuesto anteriormente.

A pesar de desconocer la densidad de la variable aleatoria, es

posible su cálculo si se tiene en cuenta que para )p(qq = , se

cumple:

µx

dqdp)p(q ==′ obteniéndose su inversa pxq 1 =

−

µ

De forma que el dominio de la variable aleatoria será:

[ ])1(q),0(qx ′′∈ µµ

Puesto que el mínimo de x → µ)0(q′ y el máximo de x →

µ)1(q′

En concreto en este trabajo, se obtienen las funciones de densidad

derivadas de la expresión M4 que engloba los distintos parámetros

estudiados en los modelos M2 y M3. Resultan interesantes los

casos particulares que se presentan a continuación:

1. De la curva [C2] si se supone que el parámetro b toma el

valor 0, la función de probabilidad acumulada será: µ2xp = con

un dominio de la variable µ2x0 << y una función de densidad:

µξ 21)x(f =

Podemos observar que se corresponde con una densidad

uniforme.

9

2. Partiendo de la curva cuadrática más general [M4] y

suponiendo 0ba == y 1c = :

dx4dx)1d(p 2

2222 µ−+=

1ddx

1dd

−<<

+µµ

Resultando una función de densidad, tal como: 3

2

x2d)x(f µ

ξ = .

Si d=1 se corresponde con la función de densidad de la

distsribución de Pareto, para α = 2.

3. Continuando con la misma curva [M4] pero suponiendo que

0bd == y 1c = :

21222 )axa(2x)1a(p

++=

µ con

1aa2x0−

<< µ obteniendo la

función de densidad:

23222

22

)axa(2a)1a()x(f

++=

µµ

ξ

4. De la curva [C4] con 0=b , la función de acumulación de

probabilidad, el dominio de x y la función de densidad que se

obtienen son:

µµ

a2dx)da(p −+=

da)da2(x

dad

++<<

+µµ

10

µξ a2da)x(f += densidad que también se corresponde con una

distribución uniforme.

5. Partiendo nuevamente, de la curva cuadrática más general

[M4] y considerando que 042 =− ab se obtiene:

)d2be(2e)bx2(2

)d2be(p 22

2

−−+

−=µ

µ

2b

)ed4be2(d2bex

ed

212µµ

−

+−−<<−

3

2

)bx2()bed2(2)x(f

µµ

ξ +−=

3. Cálculo del valor máximo en las curvas cuadráticasparticulares

El valor de la máxima diferencia entre la función de acumulación de

probabilidad p y la curva de concentración q(p) se halla donde la

función presenta su máximo tal y como puede observarse en el

gráfico 1.

Esta diferencia se considera la distancia perpendicular a la abscisa

cuando D(p) = p – q(p) = Fξ(x) - qξ(x) = D(x). Como D’(p)dp = D’(x)dx

, entonces ocurre que D’(p) = 0 si y solo si D’(x) = 0 , se cumple para

p = pµ = Fξ(µ)2.

2 Cabe esperar que D’(x) = 0 ⇒ fξ(x) – x/µ fξ(x) = 0 ⇒ x = µ

11

Por tanto, la máxima diferencia entre la curva y la recta igualitaria se

produce cuando pµ - q(pµ ) teniendo en cuenta que en el punto x = µ

la curva de concentración toma su máximo y la pendiente en este

punto coincide con la pendiente de la bisectriz principal:

1)p(qx >′→> µ

1)p(qx <′→< µ

Podemos apreciar en el gráfico 1 la representación de la máxima

distancia entre la curva y la recta igualitaria.

Gráfico 1. Máxima distancia entre la curva y la recta igualitaria

1,00,0

1,0

0,0

p

q(p)

p( )

q(p( ))µ

µ

q'(p) = 1

Máxima diferencia

También, si se observa el gráfico puede observarse como el punto

(pµ, q(pµ)) es el vértice del mayor triángulo que se puede inscribir

dentro de la curva, el cual a su vez, se considera como la cota

inferior del índice de Gini.

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En esta línea Pietra (1930) obtiene una medida de concentración de

la variable, que demuestra es igual a la máxima discrepancia entre la

curva y la recta igualitaria 3

[ ]µ

µ2xE

P−

= con µµµµ D)p(D)p(qpP ==−=

Siguiendo el mismo orden utilizado en la deducción de las curvas

cuadráticas particulares, hemos obtenido el cálculo del valor máximo

de cada función puesto que el índice de Pietra puede considerarse

una medida adecuada de la desigualdad de una distribución:

1. De la curva [C1]: 41)p(qp =− µµ

2. De la curva [C2]: d41)p(qp =− µµ

3. De la curva [C3]:

−++=− 1

a1a)1a(

21)p(qp µµ

4. De la curva [C4]: )da(4

a)p(qp+

=− µµ

5. De la curva [C5]:

d2be)b2(e

41

b2b2be

41

2e)p(qp

2

−+−

+−−=− µµ

3 Posteriormente, Gastwirth (1972), estudiando medidas de concentración alternativas al Índice de Gini obtiene el

Índice de Pietra al analizar la mitad de la desviación media relativa:

µµµµµδ D)p(D)p(qp2

==−= donde ∫ −=∞

µµδ )x(dF)x(2

13

4. Cálculo del índice de Gini

Tradicionalmente el índice se define como el doble del área

comprendida entre la curva y la recta igualitaria de forma que la

expresión que le corresponde es:

))p(q(E21dp))p(qp(2G1

0−=−= ∫ con 1p0 ≤≤

Para el cálculo del índice derivado de la curva cuadrática se ha

considerado el índice en función del valor medio de la masa

acumulada de variable. Gráficamente el área de concentración es la

siguiente:

Gráfico 2. Área de concentración

1,00,0

1,0

0,0

p

q(p)

área de concentración

Siendo su expresión: )q(E21qdp

21A

1

0−=−= ∫

El doble del área es por tanto,

∫∫∫∫∫ −=−−=−=1

0

1

0

1

0

1

0

1

0qdppdqqdpqdp1qdp21A2

14

El índice de Gini de la curva cuadrática general resulta una

expresión un tanto incómoda y por tanto se simplifica considerando:

α = b2 – 4a

β = 2be – 4d

λ = e2 = (a + b + d + 1)2

Y suponiendo que α = b2 – 4a > 0 :

αλβ

ααβλαβαλ

αλβαβα

ααβαλβααβαλ

88)2ln()4(

4)2(

8)22ln()4(

e2b1G

2

2

++−++++

−

−++++−

+

++=

5. Aplicación a la variable económica PIB per cápita

Con los datos correspondientes al PIB per cápita4 de las comarcas

de Cataluña para los años 1991 y 1996, se han ensayado todas las

posibilidades que ofrece la curva cuadrática general:

0eqdpcqbpqap 22 =++++ [M4]

Partiendo de este modelo, el ajuste se ha realizado considerando los

siguientes cambios:

)pq(d)pqq(b)pq(a)qq( 22 −+−+−=−

4 Según el SEC el producto interior bruto a precios de mercado representa el valor final dela actividad de producción de las unidades productoras en el territorio y corresponde a laproducción total de bienes y servicios de la economía menos el total de consumointermedio, más el IVA que grava los productos y más los impuestos ligados a laimportación.

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Siendo necesario que )d1ba(e +++−= para que el modelo sea

una verdadera curva de concentración.

Los datos correspondientes al PIB per cápita se presentan a

continuación en la tabla 1.

Tabla 1. PIB per cápita y población por comarcas de CataluñaAños 1991 y 1996.

PIB(millones de pesetas

corrientes)

Población

Comarca 1991 1996 1991 1996

Alt Camp 2,09942 2,68148 34016 34403

Alt Empordà 1,69437 2,27084 90755 93172

Alt Penedès 1,49888 1,85147 69863 73196

Alt Urgell 1,66428 2,17238 19010 19004

Alta Ribagorça 1,68839 2,09881 3514 3542

Anoia 1,39510 1,67760 82450 86964

Bages 1,38823 1,80336 152177 152586

Baix Camp 1,84357 2,17395 131599 140540

Baix Ebre 1,69828 2,10999 64645 65879

Baix Empordà 1,62510 2,04161 89930 95986

Baix Llobregat 1,24191 1,56336 610192 643419

Baix Penedès 1,88036 1,87319 38080 47550

Barcelonès 1,66943 2,44679 2302137 2131378

Berguedà 1,32706 1,69715 38965 38606

Cerdanya 1,69095 2,17786 12396 12735

Conca de Barberà 1,59308 2,03686 18001 18285

Garraf 1,33684 1,52602 76915 90435

Garrigues 1,02836 1,48462 19429 19273

Garrotxa 1,64368 2,14850 46060 46708

Gironès 1,92767 2,55556 125875 129044

Maresme 1,23032 1,48258 293103 318891

Montsià 1,53704 1,87269 54307 54765

Noguera 1,23935 1,68719 34782 34478

Osona 1,55715 1,92730 117442 122923

Pallars Jussà 1,46633 1,85167 12860 12809

Pallars Sobirà 1,48671 1,81579 5418 5814

Pla d'Urgell 1,43830 1,85717 28802 29104

Pla de l'Estany 1,54290 1,84173 21072 23833

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Priorat 1,21150 1,59520 9475 9212

Ribera d'Ebre 2,64069 3,56056 23055 22442

Ripollès 1,55571 2,14553 27167 26365

Segarra 1,76027 2,12737 17040 17375

Segrià 1,61624 2,11631 162904 163691

Selva 1,67019 2,11030 98255 104825

Solsonès 1,57802 1,95390 10792 11171

Tarragonès 2,32124 2,73590 155881 169016

Terra Alta 1,25129 1,68094 12945 12584

Urgell 1,46803 1,85781 29789 30185

Val d'Aran 2,28315 2,71690 6184 7047

Vallès Occidental 1,45239 1,81492 649699 685600

Vallès Oriental 1,60560 1,94737 262513 285129

Fuente: Anuario de la Caixa Catalunya (1998).

No todos los modelos posibles que se han presentado en la primera

parte de este trabajo han proporcionado ajustes de calidad, es decir,

los parámetros estimados no han permitido que se cumplan las

propiedades de una curva de concentración.

En los dos años considerados, ha funcionado el modelo cuando b =

a = 0 y c = 1, dando lugar a la siguiente función de concentración:

( )2

dp4ee)p(q2

12 −−−= con 0d ≥ )1d(e +−=

Parámetro que determina la concentración de la distribución del PIB

per cápita en las comarcas de la comunidad autónoma de Cataluña.

El resultado de los ajustes para los dos años se presenta en los

cuadros 1 y 2.

Cuadro 1. Estimación de la función de concentración. Año 1991

pqqq −⋅=− 00,42

17

Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p

q – p 4,00473 0,07660 52,28 0,000

s = 0,01919 F = 2733,41 p = 0,000

Cuadro 2. Estimación de la función de concentración. Año 1996

pqqq −⋅=− 91,22

Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p

q – p 2,90984 0,03373 86,27 0,000

s = 0,01392 F = 7442,14 p = 0,000

Por otro lado y para el año 1991 ha funcionado el modelo cuando c =

b = 0 dando lugar a la expresión:

dadpap)p(q

2

++= con 0d0a ≥≤ )da(e +−=

Obtenemos la correspondiente estimación en el cuadro 3 para el año

1991.

Cuadro 3. Estimación de la función de concentración. Año 1991

)(98,1)(628,0)( 22 pqpqqq −⋅+−⋅−=−

Predictor Coeficiente DesvEst razón-t p

q – p2 -0,6282 0,1127 -5,57 0,000

q – p 1,9823 0,3674 5,40 0,000

s = 0,01442 F = 2435,99 p = 0,000

Estimaciones que permiten obtener las curvas de concentración y

dos medidas de desigualdad, el índice de Pietra y el índice de Gini

que en particular, toman los valores que se presentan en los cuadros

4 y 5.

18

Cuadro 4. Valores de los índices de concentraciónCaso particular para c = 1 y a = b = 0

Años Índice de Gini Índice de Pietra

1991 0,08 0,062

1996 0,11 0,085

Gráfico 3. Curvas de concentración del caso particular para c =1 y a = b = 0 para los años 1991 y 1996.

0,0 0,5 1,0

0,0

0,5

1,0

p

q(d) 1991

1996

Puede observarse que tanto el índice de Gini como el índice de

Pietra presentan unos valores muy bajos y aunque indican un

aumento de desigualdad en el año 1996, puesto que el valor de los

índices aumenta en este periodo, consideramos que el PIB en las

comarcas de Catalunya no esta muy concentrado.

Si se considera el siguiente caso particular, cuando c=b=0, como

vemos en el cuadro5, la conclusión para el año 1991 es la misma

aunque los valores de los índices son sensiblemente mayores que

en el caso anterior.

Cuadro 5. Valores de los índices de concentración

19

Caso particular para c = b = 0

Años Índice de Gini Índice de Pietra

1991 0,15 0,116

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Bibliografía

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distribuciones truncadas. Comunicación II reunión ASEPELT-

España. Valladolid.

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21

- VILLASEÑOR, J. y ARNOLD, B., “Elliptical Lorenz Curves”,

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