DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMACIÓN … · departamento de matemÁticas programaciÓn didÁctica
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Lic.Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO
LÓGICAPROPOSICIONAL
¿Qué es la lógica?La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
¿Qué aporte le hace la Lógica a la Matemática?De acuerdo a la respuesta anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-
¿Qué es una proposición?
Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.
Por ejemplo:
Hoy es lunes
Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:
p, q, r, s, t, u
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
V
F
LOS CONECTIVOS LÓGICOS
Ó -: NO
: “Y”
: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA : SI Y SOLO SI : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE
Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.
PROPOSICIÓN
SIMPLE: p
COMPUESTA: p q
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
TABLA DE VALORES DE VERDAD¿Qué es una tabla de valores de verdad?Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.-
¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla?
O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:
3225 valoresnº
sproposionen
nesproposicionAvaloresn º2
º 2'º
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Operaciones proposicionales
LA NEGACIÓN
La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.
p ~ p
V
F
F
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
La disyunción o suma lógicaLa disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
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V
F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
La conjunción o producto lógico
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-
p q p q
V
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F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
El condicional o la implicaciónEl condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-
p q p q
V
V
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Condiciones necesarias y suficientes
p condición SUFICIENTE para q (q si p)
q condición NECESARIA para p (p sólo si q)
p q p q
V
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V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-
El bicondicional o la doble implicación
p q p q
V
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F
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
La diferencia simétricaLa diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-
p q p q
V
V
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V
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
TautologíaDefinición
Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-
Por ejemplo: p q (pq) [(pq) (q p)]
V V
V F
F V
F F
V
F
F
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F
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V
1 1 23
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
ContradicciónDefinición
Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen
Por ejemplo: p q (p q) - [(p q) (q p)]
V V
V F
F V
F F
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2
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3
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4
F
F
F
F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Contingencia
Definición
Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componenPor ejemplo:
p q (p q) v [(p q) (q p)]
V V
V F
F V
F F
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2
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3
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F
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
LEYES LÓGICAS
Una ley lógica es una proposición verdadera.-
1º) Involución
La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición
p -(-p) p
V
F
F
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1
V
F
2
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
2º) Idempotencia de la conjunción
La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-
p (p p) p
V
F
V
F
1
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
3º) Idempotencia de la disyunción
La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-
p (p p) p
V
F
V
F
1
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
4º) Conmutatividad de la conjunción
La conjunción es conmutativa
p q (p q) (q p)
V
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F
F
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F
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F
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F
F
1
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F
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1
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
5º) Conmutatividad de la disyunción
La disyunción es conmutativa
p q (p q) (q p)
V
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F
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
6º) Asociatividad de la conjunciónLa conjunción es asociativa
p q r (p q) r p (q r)
V
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V
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F
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F
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F
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2
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Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
7º) Asociatividad de la disyunciónLa disyunción es asociativa
p q r (p q) r p (q r)
V
V
V
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2
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V
V
V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)
La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.-
p q -(p q) -p -q
V
V
F
F
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F
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3
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2
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2
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)
La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.-
p q -(p q) -p -q
V
V
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3
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2
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2
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunciónLa conjunción es distributiva con respecto a la
disyunciónp q r (p q) r (p r) (q r)
V
V
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3
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V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunciónLa disyunción es distributiva con respecto a la
conjunciónp q r (p q) r (p r) (q r)
V
V
V
V
F
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F
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3
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V
V
V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
10º) Las implicaciones asociadas p q Directa q p Recíproca
-p -q Contraria -q -p Contra - recíproca
p q q pRecíprocas
-p -q -q -pRecíprocas
Con
trari
as
Con
trari
as
Contra
- re
cípro
casContra - recíprocas
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Propiedad
Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes.O sea que:
p q p q -q -p
V
V
F
F
V
F
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F
V
F
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1
F
V
F
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1
F
F
V
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2
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F
V
V
3
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V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
11º) Negación de una implicación
La siguiente proposición es una tautología, o sea:
p q (p q) -(p -q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
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1
F
V
F
V
1
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F
F
2
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F
V
V
3
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V
V
V
-(pq) -[-(p -q) -(-p q)
-(pq) -[-(p -q) p -q Ahora:
Pero:
(pq) -(p -q) -p qAhora:
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
12º) La doble implicación y la implicación
La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.
p q (p q) [(pq) (qp)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
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1
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V
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F
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3
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V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
13º) La diferencia simétrica y la doble implicación
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.
p q (p q) - (p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
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V
F
1
V
F
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V
1
F
V
V
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2
V
V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
CIRCUITOS LÓGICOS
p q
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
p
q
EN SERIE EN PARALELO
p q p q
Circuito en serie
p(V) q(V)
Vp(V) q(F)
Fp(F) q(V)
Fp(F) q(F)
F
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Circuito en paralelo
p(V)
q(V) V
p(V)
q(F) V
p(F)
q(V) V
p(F)
q(F) F
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o negaciones?
Por ejemplo, sea
p q -(p q) -[(pq) (qp)] -(pq) -(qp)
(p -q) (q -p)p -q
q -p
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO
qpi ,
Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas son la evidencia de la verdad de la conclusión.-
ip Premisas
q Conclusión
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
VERDADERASVERDADERA
(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q
VERDADERAUn razonamiento deductivo se
dice que es VÁLIDO, si no es posible que de premisas VERDADERAS se obtenga una conclusión FALSA
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
p1
p2
p3
p4
::::::q
V
V
Por ejemplo
p q
-r -q
-(-p -t)
t s
-r
s
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Reglas de inferenciasLlamamos reglas de inferencias a todo esquema válido de razonamiento.
Algunas de ellas son:
Ley de Modus Ponensp (pq) q
p
pq
q
p q p (pq) q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Ley de Modus Tolens-q (pq) -p
-q
pq
-p
p q -q (pq) -p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Ley del silogismo hipotético (pq) (qr) (pr)
pq
qr
pr
p q r (pq) (q r) (p r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
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F
V
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V
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V
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V
V
V
V
V
V
V
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
Ley del silogismo disyuntivo-q (pq) p
-q
p q
p
p q -q (p q) p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
p q
-r -q
-(-p -t)
t s
-r
s
Por ejemplo:
1)
2)
3)
4)
5)
1) p q
2) q r de 2 ICR
3) p t de 3 LDM e INV
4) t s
5) -r
s
1) pr de 1)2) LSH
2) p t
3) ts
4) -r
s
1) -p de 1)4) LMT
2) p t
3) ts
s
1) t de 1)2) LSD
2) t s
s
t(V)
s(V)
(V)
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Una función proposicional en una variable x es toda oración en la que figura la variable como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.-
Por ejemplo:
P(x): x es impar
P(-4): -4 es impar (F)
P(5): 5 es impar (V)
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
P(x,y):x es divisor de y
P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V)
P(10,2):10 es divisor de 2 (F)
CUANTIFICADORES
UNIVERSAL: x:P(x)
EXISTENCIAL: x/P(x)
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Todos los números enteros son impares
x:x es imparNegando el cuatificador queda:
x:P(x)
-x:x es impar -x:P(x)
No Todos los números enteros son imparesExisten números enteros que no son imparesx/x no es impar x/-P(x)
-x:P(x)x/-P(x)
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Existen números enteros que son impares
x/x es imparNegando el cuatificador queda:
x/P(x)
-x/x es impar -x/P(x)
No existen los números enteros que son imparesTodos los números enteros no son
imparesx:x no es impar x:-P(x)
-x/P(x)x:-P(x)
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
La negación de un cuantificador, es equivalente al otro cuantificador con la negación de la función proposicionalPor ejemplo:
Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero
P(x,y): x+y=0
x,y/x+y=0
Su negación es:
-x,y/x+y=0 x/y:x+y0
x/-(y/x+y=0) -x,y/x+y=0 x/y:x+y≠0
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de casos particulares, podemos generalizar, y demostrar de esta forma una propiedad.-
Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la adición en los números naturales
1+5 = 5+17+10 = 10+7
100+32=32+100
Si a y b a+b=b+a
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
TEOREMA
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
H) Sea cba
T) Rcba 2
a
b
c
A
D)
a’ c’
Rcba 2''
acA Cortadas por cbab
'aa
'cc Rcba 2
Un teorema es un esquema válido de razonamiento donde el conjunto de premisas se denomina HIPÓTESES y la conclusión TÉSIS
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
REDUCCIÓN AL ABSURDO
H T -T -H
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
H) Sea cba
T) Rcba 2
a
b
c
A
D)
a’ c’
Rcba 2
acA Cortadas por cbab
'aa
'cc
Rcba 2''
¡ABSURSDO!
0180
cbacba
Álgebra Moderna – Lógica Proposicional
IDEA Y REALIZACIÓN
Lic. Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO
Departamento de Formación General
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
2013