7/25/2019 Demostracion de La Ecuacion de Nash Ecuacion

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DEMOSTRACION DE LA ECUACION DE NASH

dw

dt=Q ingresoQ sale Ec.1

dw

dt=Q1(t) Ecuacin de continuidad

W1=KQ1 Ec. 2

Q2=W1

K

Relacin lineal entre el volumen de agua W2 contenido en el embalse y el

caudal Q que sale del embalse

dW1

dt =

W1K

dW1

W1=dt

K

Integramos:

[ lnW1 ]=1K

t=0

(t)

(dt)

W1=W2

W1(t)

lnW1|W1W2=1K|t0

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lnW1lnW2=1K ( t0)

lnW1

W2=1K

t

W1

W2=exp [t/k]

W1=W2exp [ t/k] Ec. 3

Ec. 2 en 3

KQ 1= W2exp [ t/k]

Q1=

W2

K1

exp [t/k] Cuando se abre la compuerta y empiea a derramarse el agua

!e repite el proceso para n"2 embalses

#ara n"2

dw2

dt =Q1Q2

W2=KQ2

dw2dt =[

W2

K

1

exp [t/k]]W2K

exp [ t/k](dw2dt W2K)=( w2

K1

exp [ t/k])exp [t/k]

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exp [ t/k]dw 2dt $

1

Kexp [ t/k]W2=w 2

K

%plicamos &actor integrante:

exp [ t/k]dw 2dt $

1

Kexp [ t/k]W2=w 2

K

d

dt=[exp [ t/k]W2 ]=w 2

K

Integramos:

t=0w2=0

tw2(t)

d[exp [t/k]W2 ]=w2

Kt=0

t

d (t)

[exp [ t/k]W2 ] 20=w 2

K [ t0 ]

exp [ t/k]W2exp [tk]0=w2Kt

W2=

w2

Kt1

exp [t/k]

KQ2=

w2

Kt1

exp [ t/k]

Q2=

w2

K1

1 t

K 1

exp [t/k]

!e repite el proceso

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#ara n"3

dw3

dt =Q2Q 3

W3=KQ 3

Q3=

Wx

K( 112 )( tK)

31

1

exp [ t/k]

Q3=

Wx

K( 112 )( tK)

2

1

exp [ t/k]

#ara n"'

Q4=

Wx

K( 1123 )( tK)

41

1

exp [ t/k]

Q4=

Wx

K

(

1

123 )

(

t

K

)

3

1

exp [t/k]

El proceso es repetitivo para n n(mero de embalses lo que se concluye que la

&rmula es la misma para todas.

#ara n

Qn=

Wx

K( 1(n1)! )( tK)

n1

1

exp [ t/k]

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