Pagina 128 ejercicios 4-2

39. Demostrar que para tres puntos no colineales R(x1, y1), S(x2, y2), T(x3, y3)

Es una ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por R, S, T.

Demostración;

Si es una ecuación de una circunferencia debe cumplir

x2+ y2+Dx+Ey+ f=0 En su forma general pag.126 formula (4).

Entonces si R, S, T están en x2+ y2+Dx+Ey+ f=0R: x12+ y 12+Dx1+Ey1+f=0

S: x22+ y 22+Dx2+Ey2+ f=0

T: x32+ y32+Dx3+Ey 3+f=0.

Despegando a D, E, F

R: Dx1+Ey1+ f=−x 12− y 12 ⇔ Dx1+Ey1+ f=−(x1¿¿2+ y 12)¿

S :Dx2+Ey2+ f=−x 22− y 22 ⇔ Dx2+Ey2+ f=−(x2¿¿2+ y22)¿

T: Dx3+Ey3+ f=−x32− y32 ⇔ Dx3+Ey3+ f=−(x 3¿¿2+ y 32)¿

Obtuviendo las determinantes.

∆= det [ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1]

∆d= det[−(x1¿¿2+ y 12)¿ y1 1−( x2¿¿2+ y 22)¿ y2 1

−(x 3¿¿2+ y 32)¿ y3 1]∆e= det[ x1 −(x 1¿¿2+ y 12)¿1

x2 −(x 2¿¿2+ y 22)¿1x3 −(x 3¿¿2+ y 32)¿1]

∆f= det¿Utilizando la regla de cramer. D= ∆d∆ , E= ∆e∆ , F= ∆ f∆Sustituyendo en la ecuación x2+ y2+Dx+Ey+ f=0.

x2+ y2+ ∆d∆x+ ∆e

∆y+ ∆ f

∆=0

⇔ ∆ (x¿¿2+ y2)+∆(∆d∆ ) x+∆( ∆e∆ ) y+∆(∆ f∆ )=∆(o)¿

⇔ ∆ (x¿¿2+ y2)+∆d ( x )+∆ e ( y )+∆ f=0¿

Sustituyendo∆, ∆ d, ∆ e, ∆ f

⇔ [ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1](x¿¿2+ y2)+[−(x1¿¿2+ y 12)¿ y1 1

−(x2¿¿2+ y 22)¿ y 2 1

−(x 3¿¿2+ y 32)¿ y 3 1] ( x )+[ x 1 −(x1¿¿2+ y 12)¿1x 2 −(x2¿¿2+ y 22)¿1x3 −(x3¿¿2+ y 32)¿1] ( y )+¿¿=0

⇔ [ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1](x¿¿2+ y2)+[(x1¿¿2+ y 1

2)¿ y1 1(x2¿¿2+ y 22)¿ y 2 1

(x 3¿¿2+ y 32)¿ y 3 1]( (−1 ) x )+[ x1 ( x1¿¿2+ y 12)¿1x2 (x 2¿¿2+ y 22)¿1x3 (x 3¿¿2+ y 32)¿1]((−1 )¿¿2 y )+¿¿¿=0

⇔ (x¿¿2+ y2) [x 1 y 1 1x 2 y 2 1x 3 y 3 1]−x [(x1¿¿2+ y 1

2)¿ y1 1( x2¿¿2+ y 22)¿ y2 1

(x 3¿¿2+ y 32)¿ y3 1]+ y [x 1 (x1¿¿2+ y 12)¿1x 2 (x2¿¿2+ y 22)¿1x 3 (x3¿¿2+ y 32)¿1]−1¿¿=0

Por lo tanto.

⇔ x2+ y2 x y 1x 12+ y 12 x 1 y 11x 22+ y 22 x 2 y 21

= 0

x32+ y32 X3 y3 1