Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf ·...
Transcript of Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf ·...
![Page 1: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/1.jpg)
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
Karen Clemente RoblesCoautor: Dr. Fernando Macıas Romero.
Facultad de Ciencias Fısico MatematicasBUAP
X Taller Estudiantil de Teorıa de los Continuos y sus Hiperespacios.13 de noviembre 2015
![Page 2: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/2.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Contenido
1 IntroduccionPropiedad del punto fijoUn poco de historia.Lema de Sperner
2 Del lema de Sperner al teorema de Brouwer.Teorema de Brouwer para una 2− celda
3 Referencias
2 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 3: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/3.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 4: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/4.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 5: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/5.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 6: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/6.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 7: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/7.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 8: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/8.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 9: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/9.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Propiedad del punto fijo
Sea X un espacio topologico y f : X → X una funcion continua.
Un punto x ∈ X es un punto fijo de f si f(x) = x.
Un espacio topologico X tiene la propiedad del punto fijo si toda funcioncontinua de X en X tiene un punto fijo.
La propiedad del punto fijo es un invariante topologico.
3 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 10: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/10.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Un poco de historia.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)
En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).
Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)
En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.
Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz
En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.
4 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 11: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/11.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Un poco de historia.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)
En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).
Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)
En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.
Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz
En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.
4 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 12: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/12.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Un poco de historia.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881− 1966)
En 1909 Brouwer (matematico holandes) prueba, paran = 3, que; ((una n− celda tiene la propiedad del punto fijo)).
Jacques-Salomon Hadamard (1865− 1963)
En 1910, Hadamard (matematico frances) probo el resultadopara toda n.
Bronislaw Knaster, Kasimierz Kuratowski y Stefan Mazurkiewicz
En 1929, demuestran el teorema delpunto fijo de Brouwer usando elLema de Sperner.
4 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 13: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/13.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Lema de Sperner
Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.
Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.
Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.
5 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 14: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/14.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Lema de Sperner
Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.
Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.
Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.
5 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 15: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/15.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Lema de Sperner
Sea Q una 2− celda cuadrada dividida en un numero finito de 2− celdascuadradas por lıneas paralelas a sus lados.
Marcamos los vertices de Q con los colores: rojo, azul, verde y morado.
Los vertices de la division se marcan de acuerdo a alguno de los colores quetienen los puntos extremos de ese lado.
5 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 16: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/16.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Lema de Sperner
Entonces, existe una cara cuyos vertices estan marcadoscon almenos tres colores diferentes.
6 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 17: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/17.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Lema de Sperner
Entonces, existe una cara cuyos vertices estan marcadoscon almenos tres colores diferentes.
6 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 18: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/18.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Teorema de Brouwer para una 2− celda:
Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.
Idea de la demostracion:
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
7 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 19: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/19.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Teorema de Brouwer para una 2− celda:
Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.
Idea de la demostracion:
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
7 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 20: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/20.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Teorema de Brouwer para una 2− celda:
Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.
Idea de la demostracion:
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
7 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 21: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/21.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Teorema de Brouwer para una 2− celda:
Cada 2− celda tiene la propiedad del punto fijo.
Idea de la demostracion:
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
7 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 22: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/22.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
8 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 23: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/23.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean Q = [0, 1]× [0, 1] y
f : Q→ Q una funcion continua.
9 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 24: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/24.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Marcamos los vertices de la division, de acuerdo a la direccion del vector,con los numeros 1, 2, 3 y 4 como sigue:
10 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 25: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/25.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Marcamos los vertices de la division, de acuerdo a la direccion del vector,con los numeros 1, 2, 3 y 4 como sigue:
10 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 26: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/26.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
11 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 27: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/27.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
12 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 28: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/28.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
13 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 29: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/29.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
14 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 30: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/30.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Hemos encontrado que existe una 2− celda cuadrada de la division cuyosvertices estan marcados con almenos tres numeros diferentes.
15 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 31: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/31.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.
16 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 32: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/32.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.
16 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 33: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/33.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.
17 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 34: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/34.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sea Dm = {τ1, τ2, τ3, ...τm, ...} una sucesion de divisiones finitas en2− celdas cuadradas de Q.
18 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 35: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/35.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Entonces existe una 2− celda cuadrada en τm cuyos vertices estanmarcados con almenos tres numeros diferentes.
19 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 36: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/36.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Entonces existe una 2− celda cuadrada en τm cuyos vertices estanmarcados con almenos tres numeros diferentes.
20 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 37: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/37.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.
21 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 38: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/38.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.
22 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 39: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/39.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.
23 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 40: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/40.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Sean (xm), (ym), (zm) y (wm) sucesiones en Q.
24 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 41: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/41.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Veamos que p0 es un punto fijo.
Supongamos que p0 6= f(p0)
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
25 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 42: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/42.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Veamos que p0 es un punto fijo.
Supongamos que p0 6= f(p0)
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
25 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 43: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/43.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Veamos que p0 es un punto fijo.
Supongamos que p0 6= f(p0)
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
25 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 44: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/44.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
26 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 45: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/45.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
27 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 46: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/46.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
28 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 47: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/47.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Caso 1.Si el vector (p0, f(p0)) tiene un angulo ρ = π/2
29 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 48: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/48.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Otros casos.
30 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 49: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/49.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
Referencias
Lopez Sanchez CristinaPropiedad del Punto Fijo: Lema SpernerTesis de Licenciatura, FCFM-BUAP, 2014.
Rupert Henry BingThe elusive fixed point propertyAmer. Math. Monthly, 76(1969), 119-132.
Sam B. Nadler, Jr.The Fixed Point Property for ContinuaAportaciones Matematicas, Textos, nivel avanzado, 30, 2005.
31 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer
![Page 50: Del lema de Sperner al teorema de Brouwerlya.fciencias.unam.mx/paty/2015/etc/pdf/2015/karen.pdf · En 1910, Hadamard (matem atico frances) prob o el resultado para toda n. Bronislaw](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022040123/5e1e83e54736af328a446fe3/html5/thumbnails/50.jpg)
Introduccion Del lema de Sperner al teorema de Brouwer. Referencias
32 / 32
Del lema de Sperner al teorema de Brouwer