Deﬁnit¸ie. Proprietat¸i˘ Aplicat¸ii ale integralei Riemannmath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Definiţie. ProprietăţiAplicaţii ale integralei Riemann

Integrala Riemann

Integrala Riemann


Integrala Riemann

1 Definiţie. Proprietăţi

2 Aplicaţii ale integralei Riemann

Integrala Riemann


Definiţie. Proprietăţi

Integrala Riemann


Definiţia 1.1

Fie [ a,b ] un interval ı̂nchis şi mărginit din R. Se numeştediviziune a intervalului [ a,b ] un sistem de puncte

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Mulţimea diviziunilor intervalului [ a,b ] o vom nota D[ a,b ].

Norma diviziunii

‖∆‖ = max1≤i≤n

(xi − xi−1).

Sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ∆

{ξ1, ξ2, . . . , ξn}, ξi ∈ [ xi−1, xi ], i = 1,n.

Integrala Riemann


Definiţia 1.2

Fie f : [ a,b ]→ R, fie ∆ ∈ D[ a,b ] şi fie (ξi)ni=1 un sistem depuncte intermediare asociat diviziunii ∆. Numărul real

σ∆(f , ξi) =n∑

i=1

f (ξi) · (xi − xi−1) (1.1)

se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f , diviziunii ∆ şisistemului de puncte intermediare (ξi)ni=1.

Integrala Riemann


Definiţia 1.3

Funcţia f : [ a,b ]→ R se numeşte integrabilă Riemann(integrabilă) pe intervalul [ a,b ] dacă există un număr realI = I(f ) astfel ı̂ncât pentru orice ε > 0, există ηε > 0 astfel capentru orice diviziune ∆ ∈ D[ a,b ] cu ‖∆‖ < ηε şi pentru oricealegere a punctelor intermediare (ξi)ni=1 are loc

|σ∆(f , ξi)− I| < ε. (1.2)

Integrala Riemann


Numărul I = If asociat funcţiei integrabile f : [ a,b ]→ R esteunic determinat, se numeşte integrala definită (sau integralaRiemann) a funcţiei f pe intervalul [ a,b ] şi se notează

If =

b∫a

f (x) dx .

Mulţimea funcţiilor integrabile pe [ a,b ] o vom nota R([ a,b ]).Prin definiţie

a∫a

f (x) dx = 0,

a∫b

f (x) dx = −b∫

a

f (x) dx . (1.3)

Integrala Riemann


Interpretare geometricăDacă f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci suma Riemannreprezintă suma ariilor dreptunghiurilor de bază xi − xi−1 şiı̂nălţime f (ξi), astfel ı̂ncât σ∆(f , ξi) aproximează aria mulţimiidin plan, numită subgraficul funcţiei f

Df = {(x , y) | x ∈ [ a,b ], 0 ≤ y ≤ f (x)}.

ObservaţieIntegrala definită a unei funcţii este un număr real spredeosebire de integrala nedefinită care este o mulţime de funcţii(mulţimea primitivelor).

Integrala Riemann


Teorema 1.1

Orice funcţie f : [ a,b ]→ R integrabilă Riemann este mărginităpe intervalul [ a,b ], adică există m, M ∈ R astfel ı̂ncât

m ≤ f (x) ≤ M,

pentru orice x ∈ [ a,b ].

Teorema 1.2

Fie f ,g : [ a,b ]→ R, f ∈ R([ a,b ]) şi g(x) = f (x), pentru oricex ∈ [ a,b ] \ A, A ⊆ [ a,b ], mulţime finită. Atunci g ∈ R([ a,b ]) şi

b∫a

g(x) dx =

b∫a

f (x) dx .

Integrala Riemann


Teorema 1.3

Funcţia f : [ a,b ]→ R este integrabilă dacă şi numai dacă areloc următoarea proprietate: există I = I(f ) ∈ R astfel ı̂ncâtpentru orice şir de diviziuni ale intervalului [ a,b ], (∆n)n,∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn}, cu limn→∞ ‖∆n‖ = 0 şi pentru orice sistem

de puncte intermediare (ξni )kni=1, ξ

ni ∈ [ x

ni−1, x

ni ], i = 1, kn, şirul

sumelor Riemann (σ∆n (f , ξni ))n converge la I, adică,

limn→∞

σ∆n (f , ξni ) =

b∫a

f (x) dx .

Integrala Riemann


Exemplul 1.1Să se arate că funcţia lui Dirichlet f : [0,1]→ R

f (x) ={

1, x ∈ Q,0, x ∈ R \Q

nu este integrabilă.

Fie ∆n = {xn0 , xn1 , . . . , xnkn} un şir de diviziuni ale intervalului[0,1] şi fie {ξn1 , ξn2 , . . . , ξnkn}, {c

n1 , c

n2 , . . . , c

nkn},

ξni , cni ∈ [ x

ni−1, x

ni ], i = 1, kn două sisteme de puncte

intermediare alese astfel ı̂ncât ξni ∈ Q iar cni ∈ R \Q,

i ∈ {1,2, . . . , kn}. Atuncif (ξni ) = 1, limn→∞σ∆n (f , ξ

ni ) = limn→∞1 = 1, iar

f (cni ) = 0, limn→∞σ∆n (f , cni ) = limn→∞0 = 0,

deci f nu este integrabilă.Integrala Riemann


Teorema 1.4

Fie f ,g : [ a,b ]→ R integrabile pe intervalul [ a,b ] şi λ ∈ Ratunci f + g şi λf sunt integrabile pe [ a,b ] şi au loc

b∫a

[f (x) + g(x)] dx =

b∫a

f (x) dx +

b∫a

g(x) dx ,

b∫a

λf (x) dx = λ

b∫a

f (x) dx .

Integrala Riemann


Teorema 1.5

Fie f : [ a,b ]→ R integrabilă cu f (x) ≥ 0 pentru oricex ∈ [ a,b ]. Atunci

b∫a

f (x) dx ≥ 0.

1◦ Dacă f ,g ∈ R([ a,b ]), f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,b ], atuncib∫

a

f (x) dx ≤b∫

a

g(x) dx . (1.4)

2◦ Dacă f ∈ R([ a,b ]) şi m ≤ f (x) ≤ M, ∀ x ∈ [ a,b ], atunci

m(b − a) ≤b∫

a

f (x) dx ≤ M(b − a). (1.5)

Integrala Riemann


Teorema 1.6

Fie f : [ a,b ]→ R şi fie c ∈ (a,b). Dacă restricţiile funcţiei f lafiecare din intervalele [ a, c ] şi [ c,b ] sunt integrabile, atunci feste integrabilă pe [ a,b ] şi

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx .

Integrala Riemann


Formula lui Leibniz-Newton

Teorema 1.7

Fie f : [ a,b ]→ R o funcţie integrabilă şi care admiteprimitive. Atunci pentru orice primitivă F are loc

b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a). (1.6)

b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣∣ba

Integrala Riemann


Există funcţii integrabile pe un interval care nu admit primitivepe acel interval.

g : [0,1]→ R, g(x) =

1, x 6= 1

2,

0, x =12.

g se obţine din funcţia continuă f : [0,1]→ R, f (x) = 1, prin

modificarea valorilor ı̂ntr-un singur punct x0 =12

, şi rezultă că geste integrabilă pe [0,1] şi

1∫0

g(x) dx =

1∫0

1 · dx = 1.

Pe de altă parte g nu are primitive deoarece nu areproprietatea lui Darboux pe [0,1].

Integrala Riemann


Există funcţii care admit primitive pe un interval dar nu suntintegrabile pe acel interval.

f : [−1,1]→ R, f (x) =

2x sin

1x2− 2

xcos

1x2, x 6= 0,

0, x = 0,

admite primitive. Se arată uşor că F : [−1,1]→ R definită prin

F (x) =

x2 sin

1x2, x 6= 0,

0, x = 0,

este derivabilă şi F ′ = f , deci este primitivă pentru f . Pe de altăparte funcţia f este nemărginită pe [−1,1], deci nu poate fiintegrabilă.

Integrala Riemann


Clase de functii integrabile

Orice funcţie monotonă f : [ a,b ]→ R este integrabilă.Orice funcţie continuă f : [ a,b ]→ R este integrabilă.Orice funcţie continuă pe porţiuni f : [ a,b ]→ R esteintegrabilă.

Integrala Riemann


Prima formulă de medie

Teorema 1.8

Fie f ,g : [ a,b ]→ R două funcţii integrabile pe [ a,b ] şi fiem = inf

x∈[ a,b ]f (x) şi M = sup

x∈[ a,b ]f (x). Dacă g(x) ≥ 0 (sau

g(x) ≤ 0) pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci există numărulµ ∈ [ m,M ] astfel ı̂ncât

b∫a

f (x)g(x) dx = µ

b∫a

g(x) dx . (1.7)

Integrala Riemann


Teorema 1.9

Fie f ,g : [ a,b ]→ R două funcţii integrabile pe [ a,b ]. Dacă feste continuă pe intervalul [ a,b ] şi g(x) ≥ 0 (sau g(x) ≤ 0)pentru orice x ∈ [ a,b ], atunci există c ∈ [ a,b ] astfel ı̂ncât

b∫a

f (x)g(x) dx = f (c)

b∫a

g(x) dx . (1.8)

Integrala Riemann


Teorema de medie

Teorema 1.10

(i) Dacă f : [ a,b ]→ R este integrabilă şi m = infx∈[ a,b ]

f (x),

M = supx∈[ a,b ]

f (x), atunci există numărul µ ∈ [ m,M ] astfel

ı̂ncâtb∫

a

f (x) dx = µ(b − a). (1.9)

(ii) Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, atunci există c ∈ [ a,b ]astfel ı̂ncât

1b − a

b∫a

f (x) dx = f (c). (1.10)

Integrala Riemann


Dacă f (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ a,b ] şi scriem relaţia (1.10)sub forma

f (c)(b − a) =b∫

a

f (x) dx

deducem că există c ∈ [ a,b ] astfel ı̂ncât subgraficul funcţiei fare aceeaşi arie cu dreptunghiul de bază b − a şi ı̂nălţime f (c).

Integrala Riemann


Propoziţia 1.1

1. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, atunci∣∣∣∣∣∣b∫

a

f (x) dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫

a

|f (x)|dx .

2. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă şi pozitivă, atunci

d∫c

f (x) dx ≤b∫

a

f (x) dx , ∀ [ c,d ] ⊆ [ a,b ],

3. Dacă f : [ a,b ]→ R este continuă, pozitivă şi neidentic nulă,atunci

b∫a

f (x) dx > 0.

Integrala Riemann


Integrala cu limita superioară variabilă

F : [ a,b ]→ R definită prin

F (x) =

x∫a

f (t) dt , x ∈ [ a,b ]. (1.11)

se numeşte integrala cu limita superioară variabilă.

Teorema 1.11

Fie f : [ a,b ]→ R integrabilă pe [ a,b ]. Atunci funcţiaF : [ a,b ]→ R definită prin (1.11) este uniform continuă pe[ a,b ].

Integrala Riemann


Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţiicontinue

Teorema 1.12

Fie f : [ a,b ]→ R continuă. Atunci funcţia F : [ a,b ]→ Rdefinită prin (1.11)

F (x) =

x∫a

f (t) dt , x ∈ [ a,b ]

este o primitivă a funcţiei f , care se anulează ı̂n punctul a.

Integrala Riemann


Formula de integrare prin părţi

Teorema 1.13

Dacă f ,g : [ a,b ]→ R sunt funcţii derivabile cu derivatecontinue, atunci

b∫a

f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)∣∣∣∣ba−

b∫a

f ′(x)g(x) dx . (1.12)

Integrala Riemann


Formula schimbării de variabilă

Teorema 1.14

Fie ϕ : [ a,b ]→ [ c,d ] o funcţie derivabilă, cu derivata continuăpe [ a,b ] şi fie f : [ c,d ]→ R o funcţie continuă. Atunci are locformula

b∫a

f (ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =ϕ(b)∫

ϕ(a)

f (x) dx . (1.13)

Integrala Riemann


Fie a > 0 şi fie f : [−a,a ]→ R o funcţie continuă.

Dacă f este funcţie pară

f (−x) = f (x), pentru orice x ∈ [−a,a ], atunci

a∫−a

f (x)dx = 2

a∫0

f (x)dx .

Dacă f este funcţie impară (

f (−x) = −f (x), pentru orice x ∈ [−a,a ], atunci

a∫−a

f (x)dx = 0.

Integrala Riemann


Aplicaţii ale integralei Riemann

Integrala Riemann


Aria subgraficului

Integrala Riemann


Definiţia 2.1

O mulţime E ⊂ R2 se numeşte elementară dacă

E =n⋃

i=1

Di , (2.1)

unde Di , i = 1,2, . . . ,n sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cuaxele de coordonate, iar orice două dreptunghiuri diferite au celmult o latură comună. Definim aria mulţimii elementare prin

aria(E) :=n∑

i=1

aria(Di).

Integrala Riemann


Definiţia 2.2

O mulţime mărginită A ⊂ R2 are arie dacă există două şiruri demulţimi elementare (En)n∈N, (Fn)n∈N, astfel ı̂ncât En ⊆ A ⊆ Fn,pentru orice n ∈ N, iar şirurile de numere reale pozitive(aria(En))n∈N şi (aria(Fn))n∈N sunt convergente şi au aceeaşilimită. Definim aria mulţimii A prin

aria(A) := limn→∞

aria(En) = limn→∞ aria(Fn).

Integrala Riemann


Exemplul 2.1

Subgraficul funcţiei lui Dirichlet nu are arie

f : [ 0,1 ]→ R, f (x) ={

1, x ∈ [ 0,1 ] ∩Q,0, x ∈ [ 0,1 ] \Q,

Integrala Riemann


Df = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ 0,1 ], 0 ≤ y ≤ f (x)}Dacă E şi F sunt elementare astfel ı̂ncât E ⊆ Df ⊆ F , atunci

aria(E) = 0 şi aria(F ) ≥ 1.Deoarece ı̂ntre două numere reale există ı̂ntotdeauna unnumăr iraţional, rezultă că orice dreptunghi inclus ı̂n Df areı̂năţimea egală cu 0, deci aria sa este nulă. Cum mulţimeaelementară E ⊆ Df se scrie ca reuniune de astfel dedreptunghiuri, rezultă imediat că aria(E) = 0. Pe de altă parte,pătratul [ 0,1 ]× [ 0,1 ], care are aria 1, este cea mai micămulţime elementară ce include Df , prin urmare aria(F ) ≥ 1.Fie şirurile de mulţimi elementare (En)n∈N, (Fn)n∈N, astfel ı̂ncâtEn ⊆ Df ⊆ Fn. Atunci aria(En) = 0 şi aria(Fn) ≥ 1 pentru oricen ∈ N deci

limn→∞

aria(En) = 0 < 1 ≤ limn→∞ aria(Fn)

şi prin urmare Df nu are arie. Integrala Riemann


Aria subgraficului

Teorema 2.1

Dacă f : [ a,b ]→ R+ este continuă atunci mulţimea plană

Df = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], 0 ≤ y ≤ f (x)}

numită subgraficul funcţiei f , are arie şi

aria(Df ) =

b∫a

f (x) dx . (2.2)

Integrala Riemann


Aria porţiunii dintre două grafice

Teorema 2.2

Dacă f ,g : [ a,b ]→ R sunt continue şi f (x) ≤ g(x) pentru oricex ∈ [ a,b ], atunci mulţimea plană cuprinsă ı̂ntre graficelefuncţiilor f şi g şi dreptele x = a, x = b, adică mulţimea

Df ,g = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], f (x) ≤ y ≤ g(x)},

are arie şi

aria(Df ,g) =

b∫a

(g(x)− f (x)) dx .

Exemplul 2.2Să se calculeze aria mulţimii plane cuprinsă ı̂ntre paraboleley2 = ax, x2 = ay, a > 0.

Integrala Riemann


Volumul corpului de rotaţie

Integrala Riemann


Definiţia 2.3

Fie f : [ a,b ]→ R+. Mulţimea

Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√

y2 + z2 ≤ f (x)}

se numeşte corpul de rotaţie determinat de f ı̂n jurul axei Ox.

Integrala Riemann


Dacă f : [ a,b ]→ R+ este funcţie constantă pe porţiuni, adicăexistă o diviziune∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b, astfel ı̂ncâtf (x) = ci pentru orice x ∈ ( xi−1, xi ), i = 1,n, atunci corpul derotaţie determinat de f este format din n cilindri. Aceastămulţime se numeşte mulţime cilindrică elementară iarvolumul său este

vol(Vf ) = πn∑

i=1

c2i (xi − xi−1).

Integrala Riemann


Definiţia 2.4

Fie f : [ a,b ]→ R+. Spunem că mulţimea obţinută prin rotireasubgraficului funcţiei f ı̂n jurul axei Ox,

Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√

y2 + z2 ≤ f (x)},

are volum dacă există două şiruri de mulţimi cilindriceelementare (Gn)n∈N, (Hn)n∈N, astfel ı̂ncât Gn ⊆ Vf ⊆ Hn,pentru orice n ∈ N, iar şirurile de numere reale pozitive(vol(Gn))n∈N şi (vol(Hn))n∈N sunt convergente şi au aceeaşilimită. Definim volumul mulţimii Vf prin

vol(Vf) := limn→∞

vol(Gn) = limn→∞

vol(Hn).

Integrala Riemann


bf Volumul corpului de rotaţie

Teorema 2.3

Dacă f : [ a,b ]→ R+ este continuă atunci corpul de rotaţiedeterminat de f , adică mulţimea

Vf = {(x , y , z) ∈ R3 | x ∈ [ a,b ],√

y2 + z2 ≤ f (x)}

are volum şi acesta este dat de formula

vol(Vf ) = π

b∫a

f 2(x) dx . (2.3)

Integrala Riemann


Exemplul 2.3Volumul paraboloidului de rotaţie, obţinut prin rotaţiasubgraficului funcţiei f : [ 0,a ]→ R, f (x) =

√2px, p > 0 este

vol(Vf ) = π

a∫0

2px dx = πa2p.

Exemplul 2.4Volumul hiperboloidului de rotaţie, obţinut prin rotaţiasubgraficului funcţiei f : [ a,b ]→ R, f (x) =

√x2 − a2, este

vol(Vf ) = π

b∫a

(x2 − a2) dx = π3

(b3 + 2a3 − 3a2b).

Integrala Riemann


Lungimea graficului

Integrala Riemann


Definiţia 2.5

Fie f : [ a,b ]→ R şi fie ∆ o diviziune arbitrară a intervalului[ a,b ] :

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

Definim funcţia poligonală asociată lui f şi lui ∆ prinf∆ : [ a,b ]→ R

f∆(x) = f (xi−1)+f (xi)− f (xi−1)

xi − xi−1(x−xi−1), dacă x ∈ [ xi−1, xi ], i = 1,n.

Lungimea graficului funcţiei poligonale f∆ este:

`(f∆) =n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))2.

Integrala Riemann


Definiţia 2.6

Fie f : [ a,b ]→ R o funcţie continuă şi fie

Γf = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ [ a,b ], y = f (x)}

graficul său. Spunem că graficul Γf are lungime finită dacăexistă o constantă M ≥ 0 astfel ı̂ncât pentru orice diviziune ∆ aintervalului [ a,b ], avem `(f∆) ≤ M. În acest caz definimlungimea graficului funcţiei f prin

`(Γf ) := sup{`(f∆) | ∆ ∈ D([ a,b ])}.

Dacă Γf are lungime finită, atunci există un şir de diviziuni(∆n)n∈N ale intervalului [ a,b ] astfel ı̂ncât

limn→∞

‖∆n‖ = 0 şi limn→∞ `(f∆n ) = `(Γf ).

Integrala Riemann


Lungimea graficului

Teorema 2.4

Dacă f : [ a,b ]→ R+ este o funcţie de clasă C1([ a,b ])(derivabilă cu derivata continuă), atunci graficul lui f arelungime finită şi

`(Γf ) =

b∫a

√1 + (f ′(x))2 dx . (2.4)

Integrala Riemann


Exemplul 2.5

Să se calculeze lungimea arcului de parabolă y = x2, cuprinsı̂ntre punctele O(0,0) şi A(1,1).

Integrala Riemann

Definitie. ProprietatiAplicatii ale integralei Riemann

Deﬁnit¸ie. Proprietat¸i˘ Aplicat¸ii ale integralei Riemannmath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Documents

Transcript of Deﬁnit¸ie. Proprietat¸i˘ Aplicat¸ii ale integralei Riemannmath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...