UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

13

DEFORMACION SIMPLEING FERNANDO URRUTIA

Ejerciciosdedeformacin

3.- Durante una prueba esfuerzo-deformacin se ha obtenido que para un esfuerzo de 35MN/m2 la deformacin ha sido de 167x10-6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de667x10-6 m/m. Si el lmite de proporcionalidad es de 200 MN/m2. Cul es el esfuerzocorrespondiente a una deformacin unitaria de 0.002? Si el lmite de proporcionalidadhubiese sido de 150 MN/m2, se hubieran deducido los mismos resultados? Razonar larespuesta.

DATOS

1= 35 MN/m2

1= 167x10-6 m/m

2= 140 MN/m2

2= 667x10-6 m/m

SOLUCION.

E=1 = 2E=35MN/m2167x10 6E= 209580.8383 MN/m2

E = 209.580 N/m2

Si el lmite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m2 los resultados serian losmismos puesto que los valores con los que se trabajaron estn por debajo delmencionado(150 MN/m2).

Aplicamos regla de 3 para obtener el esfuerzo correspondiente a una deformacin de0.02.

= . / /

= 419.1617 MN/m2

= 419.1617 N/m2

El esfuerzo para una deformacion de 0.002 es de 419.1617 N/m2

167 667

200

140

35

MN/m2

m/m

Limite de Proporcionalidad

35 MN/m2

0.002 m/m167x10-6 m/m

4.- Una barra prismtica de longitud L, seccin transversal A y densidad se suspendeverticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es = gL2/2AE.Llamando M a su masa total demostrar que tambin = MgL/2AE.

DATOS.

Longitud= L

Seccion Transversal= A

Densidad=

SOLUCION.

Sabemos que:

M= x VM= x (LxA)

M=

= x (LxA)W = xLxAxgE = Coeficiente de elasticidad.

= Sabemos que =Densidad.=

0 = Sabiendo que: p, g, E son constantes. = [ ]0L =Multiplicamos al numerador y denominador por (A)

= xSabiendo que =

L

Rw

W

Seccion= A

= x =

5.- Una varilla de acero que tiene una seccin constante de 300mm2 y una longitudde 150m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de20kN que depende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850kg/m3 yE= 200 x 103 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicacin: Aplique elresultado del problema 204.

DATOS.

= 7850kg/m3

E= 200 x 109 N/m2

A= 300mm2 = 300x10-6 m2

L= 150m

P= 20kN = 20 x 103 N

SOLUCION.

TOTAL = carga + peso

TOTAL = + TOTAL = ( ) ( ) + . ( )( ) ( )TOTAL = 0.0543 m

TOTAL = 54.3 mm

150 m

20 kN

6.- Un alambre de acero de 10m de longitud que cuelga verticalmente soporta una carga de2000 N. Determinar el dimetro necesario, despreciando el peso del alambre, si el esfuerzono debe exceder de 140 MPa y el alargamiento debe ser inferior a 5mm. Supngase E= 200GPa.

DATOS.

L= 10m

P= 2000N

= 140 MPa = 140x106 N/m2

5mm ; 0.005m

E= 200 GPa = 200 x 109 Pa.

SOLUCION.

=

= 2=

2= ( / )( )( .)( . )2= 0.0000255 m = 5.0497 mm

A

2KN

10 m

7.- Una llanta de acero, de 10mm de espesor, 80mm de ancho y de 1500mm dedimetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de1500.5mm de dimetro. Si el coeficiente de friccin esttica es 0.30, Qu par serequiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformacin de larueda y use E= 200GPa.

SOLUCION

Incremento Radial.

= re - ri

= . mm= 0.25 mm

= =

= =

F= (re2 ri2 )

F= (re ri ) (re + ri )

80mm

e= 10 mmDi= 1500 mm

ANCHO: (re ri) = 80 mmESFUERZO DE ACCION: Fr= (F) : Fr= (0.3)(F)MOMEMTO: M= Fr*(e)M=(F)e= ()()(80mm)(re + ri)eM= (0.08m)(re + ri)eM=(0.08m)( ) E*e*M=0.3()(0.08)(200x109Pa)(2.5x10-4)(2.0003m)e

M= 75.41 KN.m

8.- Una barra de aluminio de seccin constante de 160mm2 soporta unas fuerzas axialesaplicadas en los puntos que indica la figura. Si E=70GPa, determinar el alargamiento, oacortamiento, total de la barra (No hay pandeo de este elemento).

SOLUCION

A=160mm2 = 1.6 x 10-4 m2

E=70GPa

Procedemos a realizar el clculo de deformacin para cada segmento y sumamos paraobtener el valor total:

Seccin 1-2.

Seccin 2-3.

Seccin 3 4.

0.8 m 0.6 m1.0 m

35 kN 15 kN 30 kN 10 kN

1 432

Fx=0

PAB 35KN=0

PAB=35KN

= ( . )( . )12= 2.5 x 10-3 m

35 kN P12

Fx=0

PBC 35K + 15K=0PBC= 20KN

23= ( )( )( )( . )23=1.7857x10-3 m

35 kN 15 kN P23

-35k + 15k +30k + P34= 0P34 = -45K +35KP34= -10K

34= ( . ).34= - 5.357x10-4 m

35 kN 15 kN 30 kN P34

TOTAL= 12 + 23 + 34TOTAL= 2.5 x 10-3 m + 1.7857x10-3 m + (- 5.357x10-4 m)TOTAL= 3.75 X 10-3 m

EL ALARGAMIENTO TOTAL ES DE DE 3.75mm

9.- Resolver el problema 9 intercambiando las fuerzas aplicadas en sus extremos, en elizquierdo la fuerza de 10KN y en el derecho la de 35KN.

SOLUCION

A= 160mm2 = 1.6x10-4 m2

E=70GPa SABIENDO QUE: AE=11200000

Procedemos a realizar el clculo de deformacin para cada segmento y sumamos paraobtener el valor total:

Seccin 1-2.

Seccin 2-3.

Seccin 3 4.

0.8 m 0.6 m1.0 m

10 kN 15 kN 30 kN 35 kN

1 432

Fx=0

P12 10KN=0

P12=10KN

= ( . )12= 0.071428 m

10 kN P12

Fx=0

P23 10K + 15K=0PB23= -5KN

23=( )( )23=-0.00446 m

10 kN 15 kN P23

-10k + 15k +30k + P34= 0P34 = -35KN

34= .34= - 1.875 X 10-3 m

10 kN 15 kN 30 kN P34

TOTAL= 12 + 23 + 34TOTAL= 0.071428 m + (-0.00446 m) + (- 1.875 X 10-3 m)TOTAL= -1.607 X 103 m

EL ALARGAMIENTO TOTAL ES DE DE 1.6071mm (acortamiento)

10.- Un tubo de aluminio est unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como seindica y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones sealadas. Determinar el valor deP con las siguientes condiciones: La deformacin total no ha de exceder de 2mm ni lastensiones han de sobrepasar 140 MN/m2, en el acero, 80 MN/m2 en el aluminio ni 120MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto esta convenientemente anclado paraevitar el pandeo y que los mdulos de elasticidad son 200x103 MN/m2 para el acero,70x103 MN/m2 para el aluminio y 83x103 MN/2 para el bronce.

SOLUCION

Sabemos que =

TOTAL= 0.002m (Dato)

TOTAL= 12 + 23 + 34 = Br + Al + Ac

Realizamos sumatoria de fuerzas en X para cada seccin y obtenemos el esfuerzoen los respectivos materiales (bronce, aluminio, acero)

Respecto al bronce (Punto 1-2)

BRONCEA=450mm2

ALUMINIOA=600mm2 ACERO

A=300mm23P 2P

0.6 m 0.8 m1.0 m

DATOS

EA= 200x103 MN/m2

EAl= 70x103 MN/m2

EBr= 83x103 MN/m2

BRONCE ALUMINIO ACERO3P 2P

0.6 m 0.8 m1.0 m

Br= 120 MPaAl= 80 MPa

A= 140 MPaP 4P

1 432

Fx= 03P + P12 = 0P12 = -3P

Br= ( )( . )( )( . )Br= -4.819 x 10-8 P

3P P12

Respecto al aluminio (Punto 2 - 3)

Respecto al aluminio (Punto 3 - 4)

Remplazamos en la condicin inicial de TOTAL= 12 + 23 + 34 = Br + Al + AcTOTAL= (-4.819 x 10-8 P) + (- 4.762 x 10-8 P) + (2.6667 x 10-8 P)TOTAL= - 6.9145 x 10-8 P ; Se conoce que por el dato del ejercicio que TOTAL=0.002mP= . = . . P= 28924.66 NP= 28.9247 KN

Fx= 03P P + P23 = 0P23 = -2P

Al= ( )( )( )( )Al= - 4.762 x 10-8 P

3P P23P

Fx= 03P 5P + P34 = 0P34 = 2P

Ac= ( )( . )( )( )Ac= 2.6667 x 10-8 P

3P P23P 4P

11.- Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rgidas estn articuladasen A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En B, unavarilla de acero ayuda a soportar la carga de 50kN. Determinar el desplazamientovertical del rodillo situado en C.

SOLUCION Realizamos sumatoria de momentos en A y en D.

Procedemos a sacar la deformacin que se produce en BY, Para poder obtener eldesplazamiento total realizamos una semejanza de tringulos.

=( )( )( )( ) = ( ) ( ) = 1.875 x 10-3 m= 1.875 mm

Semejanza de tringulos.

El desplazamiento total es de 2.8125mm

MD=0 (BARRA DC)-2(50KN) + 4(CY)=0CY=CY= 25kN

MA=0 (BARRA AC)-4.5(CY) + 3(BY)=0BY=

. ( )BY= 37.5kN

Si:3m 1.875 mm4.5m x

X= 2.8125 mm

2m

C D

3m

A B

2m

E=200X109 N/m2A=300 mm2L=3m

Cy

50kN

1.5m X= Desplazamiento

12.- Un bloque prismtico de concreto de masa M ha de ser suspendido de dosvarillas cuyos extremos inferiores estn al mismo nivel, tal como se indica en lafigura. Determinar la relacin de las secciones de las varillas, de manera que elbloque no se desnivele.

Realizamos momento respecto al punto A. Y sumatoria de fuerzas en Y.

Igualamos el esfuerzo del acero y del aluminio para obtener la relacin que poseenestos dos materiales, sabiendo que =

AL= AC( )( )( )( )=( )( )( )( )( . )( )( ) = ( . )( )( )= ( . )( ) ( )( . )=8.571428

1m5m

AluminioE=70 GPaL=6mAcero

E=200 GPaL=3m

1m5m

BA

TAc

TAL

3 12

W=mg

MA= 0-3W + 5TAL=0TAL= = 0.6mg

FY= 0TAL + TAC - W = 0TAC = W - TALTAC= mg -TAC= = o.4mg

13.- La barra rgida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura,esta en posicin horizontal antes de aplicar la carga P. Si P=50kN, determine elmovimiento vertical de la barra.

SOLUCION

Realizamos sumatoria de momentos respecto A. Y sumatoria de fuerzas enY.

Calculamos la deformacin en A y B.

2m

AceroL=3mA=300mm2E=200 G Pa

AluminioL=4mA=500mm2E=70 G Pa

3m

50kN

A B

Ma= 0-2P + 5TB = 0TB= =

( )TB= 20kN

Fy= 0-P + TB + TA= 0TA= TB = 50kN - 20kNTA= 30 kN

A = ( )( )( )( )A = ( )( )( )( )A = 1.5mm

B = ( )( )( )( )B = ( )( )( )( )B = 2.2857mm

Del calculo de las deformaciones se puede concluir el siguiente grafico

Mediante relacin de tringulos tenemos que;

El desplazamiento total en el punto A es de 1.5mm. El desplazamiento total en el punto en donde se aplica la fuerza es de 1.8143mm. El desplazamiento total en el punto B es de 2.2857mm.

A B2m 3m 1.5mm

2.2857mm0.78mm

y

z

5m 0.785mm2m zZ= 0.3142 mm

Desplazamiento total es:DTOTAL=z + yDTOTAL= 1.8143mm

14.- Las barras rgidas AB y CD mostradas en la figura estn apoyadas mediantepernos en A y en C, y mediante las varillas mostradas. Determine la mxima fuerzaP que pueda aplicarse como se muestra si el movimiento vertical de las barras estalimitado a 5mm. Desprecie los pesos de todos los miembros.

Es indispensable saber que:

Vertical.AB + Vertical.CD=0.005 m ecuacin 1

AL + AC=0.005 m ecuacin 2

ALUMINIOL=2mA=500mm2E=70GPa

ACEROL=2mA=300mm2E=200GPa

3m 3m

PDC

BA

DC

BA

AL=vertical de la barra AB ensu centro de gravedad

Desplazamientototal de las barras

Realizamos momentos en A y en C.

Usamos la ecuacin 2 y remplazamos sus respectivos valores.

AL + AC=0.005 m

( . ) ( . ). ( ) + X ( . ) ( . ). ( ) = 0.005 m( )( ) + x ( )( ) ( ) = 0.005 m57.14 P + 8.33 P = 0.005 m

P=7.637 X 10-5 GN

MA=03PAL 6 PAC=03PAL = 6 PACPAL = 2PACSabiendo quePAC=

PAL=2( )PAL=P

MC=0-3P + 6PAC=03P = 6PACP = 2PACPAC=

15.- Una varilla de longitud L y seccin circular tiene un dimetro que vara linealmentedesde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le produciruna fuerza P de tensin.

SOLUCION

= = Podemos decir que = Despejando d= y = =

= * Integrando = Ecuacin 1.

Remplazamos ecuacin 2 en ecuacin 1.

P Pd D

L

AREA.A= r2A= ( . )2A= ( )( )ECUACION 2.

x

Ld Ldx

LD

d Dy

= = 4( 2)( 2)( )2 = ( ) = [ ] = [ ] = [ + ] = [ ( )( )] Sabiendo que + = = [( )( )] = ( ) Conociendo que ( ) = =

16.- Una varilla delgada de longitud L y seccin recta constante A, situada en un planohorizontal, experimenta una rotacin alrededor de un eje vertical que pasa por uno de susextremos. Llamando a la densidad y a la velocidad angular, demostrar que elalargamiento total de la varilla viene dado por 2L3/3E.

F= m(ar)F=A(dx) (2)xF=A(2) (x)dxar=Aceleracin radial

x

dx

arw

aN

= ( )( )dx = ( )( ) dx = ( )() [ ] = ( )() L3

L

dxx

m=A()

17.- Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rgidos, como indicala figura, estn unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P=20 kN. Si lasvarillas tienen una seccin de 400 mm2 y E= 70X103 MN/m2, determinar las deformacionestotales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considrese=300 y =300.

SOLUCION.

Obtenemos las tensiones y deformaciones de las varillas BA y BC respectivamente.

Sen300=

TABy=TAB(Sen300)

BA=( ) ( )( ) = 2.1428 x 10-3 m BC= ( ) ( )( ) = -1.428 x 10-3 m

P

L=3m

L=2m

B

A

C

300

TBAy=TAB.(Sen300)

TBA300

TBCy=TBC.(Sen300)

B

A

TBCx =TBC.(Cos300)

TBAx =TAB.(Cos300)

TBCP

C

Fx=0TBCx+ TBAx =0TBA(Cos300) + TBc(Cos300) = 0TBA =- ( )TBA = - TBC

Fx=0TBAy - TBCy P = 0TBA(Sen300) - TBC(Sen300) - 20Kn=0TBA(Sen300) - TBC(Sen300) = 20Kn-TBC(Sen300) - TBC(Sen300) = 20KnTBC= -20Kn (Compresion)TBA= 20Kn (Tension)

300

1.428 x 10-3m

2.1428 x 10-3

CA

B 300300

300600

F

E

D

El desplazamiento total horizontal de B es de 0.4124 mm. El desplazamiento total vertical de B es de 3.3514 mm.

BCFSen300 = . a= 2.857 mm ABESen300 = . d= 4.2857 mm

D

FE 300 300

c b

TrianguloIsoseles

e=d ae=1.4285 mmb=b=0.71425 mm

CA

B

F

E

D

d

a

ecb

y

Y= a + by=2.857 + 0.71425y=3.5714 mm

x

BCFTan300=x= 0.4124 mm

18.- Resolver el problema 17 si la varilla AB es de acero de E=200x103 MN/m2, =450 y=300, sin modificar los dems datos.

Remplazo ECUACION 1 en ECUACION 2.-1.2247TBC (Sen450) TBC(Sen300) = 20kN-0.8655TBC - 0.5TBC = 20 kNTBC =-14.6467 kN COMPRESION.TBA = 17.9378 kN TENSION.

Buscamos la deformacin en cada varilla.

BA= ( . )( )( )( ) = 0.6724 X 10-3 m TENSION.BC= ( . )( )( )( ) = -1.045 X 10-3 m COMPRESION.

P

L=3m

L=2m

B

A

C

300

TBAy=TAB.(Sen450)

TBA450

TBCy=TBC.(Sen300)

B

A

TBCx =TBC.(Cos300)

TBAx =TAB.(Cos450)

TBCP

C

Fx=0TBC(Cos30) + TBA(Cos45) =0TBA = -TBc(Cos300)/ (Cos450)TBA = - 1.2247 TBCECUACION 1

Fy=0TBAy - TBCy P = 0TBA(Sen450) - TBC(Sen300) - 20Kn=0TBA(Sen450) - TBC(Sen300) = 20KnECUACION 2

Aplicamos geometra para encontrar el valor de los ngulos.

Encontramos los valores de a,b,c

Con los valores encontrados aplicamos relaciones trigonomtricas y encontramosel valor de f..

B

A

C

1.045 X 10-30.6724 X 10-3

600

1050

D

F

E

A

ABDCos450= . a=0.95096x10-3m

ACFCos600= . b=2.091x10-3m

DEFc=b-aC=1.1406 x 10-3m

= = f=( )( )f=( . )( )f=0.59042 x 10-3 m

F

E

D 450

1050

300O

DEOCos450=DO= (f) x (Cos450)DO= 0.4174 X 10-3 m

F

BA

CD

E

A a

b

c

y

x

Y=a + DOY= 1.368 mm

Una vez obtenido el desplazamiento vertical(Y) aplicamos la funcin seno en eltringulos DEO para buscar el desplazamiento horizontal.

El desplazamiento horizontal en el punto B es de 0.4175 mm. El desplazamiento vertical en el punto B es de 1.368 mm.

DEOSen450=x= (f) x (Sen450)x= 0.4175 mm

19.- Una barra de seccin circular que vara linealmente desde dimetro D en un extremohasta otro menor d en el opuesto, se suspende verticalmente de su extremo ms ancho.Si la densidad del material es , determinar el alargamiento debido a su propio peso.Aplicar el resultado a la determinacin del alargamiento de un slido de forma cnicasuspendido de su base.

SOLUCION

Aplicando relaciones trigonomtricas, obtenemos ecuacin 1 y ecuacin 2.

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y.

Remplazamos Ecuacin 5 en Ecuacin 4.

D

d

p

D

d

W

LA A

yx

=

= ( )=

xD=d(x +L)xD=dx +dLxD - xd=dLx=Ecuacin 1.

=z=Ecuacin 2.

Remplazando 1 en 2.z= ( )= ( )z= ( ) Ecuacin 3.

Fy= 0y(Az)w=0y(Az)=wy(Az)=p(g)(VZ)Ecuacin 4.VZ= VY - VX

x

yAW

VZ= (AZ)(y)- ( )xRemplazamos x.VZ= (y2 )y - ( )VZ= y3 - ( )Ecuacin 5.

y(y2) = pg ( ( )( ))y= (y - )

= y dy= ( + )= { }= { + 1 + 1}= [ - + 3( - )]= [ + (( ))x( ( )) ) )] Sabiendo que x=( )= [( ) + - ]= [ ( )( ) - ( )]= ( )( ) - ( )

Ejerciciosdehiperestaticidad

232. Una barra de acero de 50mm de dimetro y 2 m de longitud se envuelve con un cascaron dehierro fundido de 5mm de espesor.Calcular la fuerza de compresin que es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1mm enla longitud de 2m de la barra compuesta. Para el acero, E=200 10 / , y para el hierrofundido, E=100 10 / .Datos:Acerod=50mmL= 2m= 200 10 /

=100 10 /Para el clculo de las reas del acero y hierro respectivamente se usan las frmulas tanto decrculo y del cilindro hueco.= /4= (0,05) /4= 1,9635 10

= ( )/4= ((0,06) (0,05) )/4= 0,8639 10

Solucin: P

2m

e=5mm

de=60mm

di=50mm

Acero

Hierro

(Fy) P= + Ecuacin 1Con la ecuacin 1 es imposible resolver el sistema planteado, por lo que se plantea otra ecuacinrelacionando las deformaciones en los materiales (las deformaciones son iguales porque los dossoportan la misma carga).= =1mm=0,001m Ecuacin 2Estudiando las dos ecuaciones planteadas procedemos a usar la que implica deformaciones que esen la que ms datos estn proporcionados.

= xL Remplazamos los valores obtenidos en laecuacin.

0,001 = x2(200 10 )(1,9635 10 )Ra=196350N=196,350KN

= xL Remplazamos los valores obtenidos en laecuacin.

0,001 = x2(100 10 )(0,8639 10 ) Rh=43195N=43,195KN

Remplazamos los valores en la ecuacin 1.P= + P=43,195KN + 196,350KNP=239,545KN

233. Una columna de concreto armado de 250mm de dimetro se disea para soportar una fuerzaaxial de compresin de 400KN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6MPa y en el acero de120 MPa, determinar la seccin de refuerzo de acero que se necesitar. =14GPa y =200GPa.Datos:de=250mmP= 400KN =6MPa = 120MPa

=14GPa=200GPa

Solucin:

Del diagrama se puede deducir una formula que relacione las fuerzas y reacciones suscitadas en lacolumna.(Fy=0) -P+Ra+Rc=0

P=Ra+Rc Ecuacin 1

0,25

RaP

Rc

L

Para el uso de los esfuerzos proporcionados en el problema, expresamos las fuerzas en funcin desus esfuerzos.

=

R= X ARemplazamos R en la ecuacin 1.P=( a) + ( ) Ecuacin 1.1Remplazamos en ecuacin 1.1P=( a) + ( (A A ))De las deformaciones de los elementos se deduce la siguiente frmula.

= (como = ) = La longitud es la misma tanto para el acero como para el concreto (L).200x109Pa = 14x109Pa Como el esfuerzo del concreto es menor el esfuerzo del acero tendr que estar limitado por el del concreto.

Para el clculo de reas.El rea es igual al rea de unacircunferencia entonces:A= A + AObtenemos el rea del concreto:A =A-A

234. Una columna de madera de seccin 250x250 mm se refuerza mediante placas de acero de250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas demadera que el conjunto puede soportar una carga axial de 1200KN sin que excedan los esfuerzosadmisibles de 8MN/ en la madera y 140 MN/ en el acero. Los modulos elasticos son =10 10 MN/ y = 200 10 MN/ .

DatosAm=250 X 250mmP=1200KNEm=10 x 10 MN/Ea=200 x 10 MN/ = 140 / = 8 /SolucionFy=0-P+Pm+Pa=0P=Pm+Pa Ecuacion 1Al tener el valor de los esfuerzos en ambos materiales expresamos las fuerzas en funcion de susrespectivos esfuerzos.

=

t

t

t t

P= x A Ecuacin 2Ecuacin 2 en Ecuacin 1.P= + Ecuacin 3

=

=

= Relacionamos las deformaciones en base a los esfuerzos dados, en este caso elesfuerzo en el acero estar limitado por esfuerzo en la madera.

= / / = 0,05 Ecuacin 4Reemplazo el valor del esfuerzo en ecuacin 4. = 0,05(140MN/ ) = 7MPa No excede el esfuerzo admisible.Reemplazando valores en la ecuacin 3.P= + 1200 x10 =((7x10 N/ )(0,0625))+(140x10 N/ x Aa)(1200 x10 ) 7x (0,0625)=140x10 AaAa= Aa= 5,446x10

= + = 0,0625 + 5,446x10= 0,06790,0679 = (0,250 + 2 )^20,0679 = 0,0625 + + 44 + +(0,0625 0,0679)=0

Para el clculo de las reas.Am=0,0625= (0,250 + 2 )^2= +

4 + -5,446 10 =0t= t= ( , )( )t1= 5,33 mt2=-0,25m

235. un bloque completamente rgido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismoplano, como se india en la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una seccin de 900 ,E=120 GPa, y esfuerzo admisible de 70 MPa. La varilla de acero tiene una seccion de 1200 .E=200GPa, y el esfuerzo admisible es 140 MPa . Calcular el mximo valor de M.

Datos:CobreAc=900Ec=120GPa= 70

AceroAa=1200Ea=200GPa= 140

Cobre160mm

Acero240mm

Cobre160mm

M

Solucin

Fy=0-W + Pco + Pa + Pco=0W=Pa+2PcoExpresando Las Fuerzas En Funcin De Los Esfuerzos

W= + 2 Ecuacin 1a= co =

( , ) = ( , ) = ( , ) ( , ) = 109 = 109 (70 ) = 77,78 No supera el esfuerzo dado del acero por lo que ser el dato usado para resolverel problema.

Remplazo valores en la ecuacin 1.

W= + 2 Mg=1,2 10 (77,78 10 )+2(70 10 (9 10 ))Mg= 219,333 10

Pco Pa P=co

W=mg

M= , ,M=22,36 Mg

236. En el problema 235, que variacin ha de tener la longitud de la varilla de acero para que lastres varillas trabajen a su mximo esfuerzo admisible?

a=+coDatos: = 70 Maximo Admisible = 140Ec=120 GPaEa=200GPaSolucin= -= - = ( , ) - ( , )=(1,68 10 ) - (9,33 10 )m= 7,47 10=0,0747mm

co

=l

237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 estn en el mismo nivel antes decolgar de ellas un bloque rgido de masa 18 Mg. Las barras de acero tienen una seccin de600 y E=200 GN/ . La barra de bronce tiene una seccin de 900 y E=83GN/ deDeterminar el esfuerzo en las tres barras.

SolucinAl aplicar el peso del bloque la deformacin en las tres barras es la misma.

a=b= Ecuacin 1Fy=0-W + Pa + Pb + Pa=0W=2Pa + PbExpresando en funcin de los esfuerzosW=2 + Ecuacin 2.a=b

a

AceroL=1,0m

BronceL=1,6m

AceroL=1,0m

18Mg

a

= Reemplazando valores en la frmula( ) = ( , ) = ( , )(200x109N/ 2)x109 = Ecuacin 3 =0,259 Ecuacin 3.1Reemplazamos una de las dos ecuaciones en la ecuacin 2.W=2 + Se pueden reemplazar cualquiera de las dos ecuaciones yaque en ambas los esfuerzos estn relacionados.(18x10 (9,8))g = 2 6x10 + (0,259 )(9x10 )1,43x10 = 18x10 (9,8)

=123186396,3 Pa=123,1863 MPa

=0,259(123,1863 MPa)=31,951MPa

238. La plataforma rgida de la figura P-238 tiene una masa despreciable y descansa sobre dosbarras de aluminio, cada una de 250,00 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene unalongitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de400 KN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un rea de 120 y un modulo E de 70GPa. La barra de acero tiene un area de 2400 y un modulo E de 200 GPa.

Datos:Aal=120Aa=2400Eal=70GPaEa200GPaSolucin:

o

P

aluminioaceroaluminio

T=Alo

T-o=Ac

T=Alo=(250-249,99)o=0,01mm

Fy=0-P + Pal + Pac + Pal=02Pal + Pa=PExpresando en funcin de los esfuerzosP=2 + Ecuacin 1Tomamos las deformaciones

al= Ecuacin 2ac= T - o Ecuacin 3

T - o=

Remplazamos valores en 3

1 x 10 =T Ecuacin 4Igualamos ecuacin 2 y ecuacin 5

1 x 10 = 1 x 10 = L( )Remplazamos valores en la ecuacin anterior

= , = 4x10 Ecuacin 5Igualamos ecuacin 1 y Ecuacin 51. P=2 + 400 x 103=2(1,2x10 ) + (2,4x10 )

5. =(4x10 + )(70x10 )400 x 103 = (2,4x10 ) (70x10 )( (4x10 ) + )+ (2,4x10 )400 x 103 = 6720 + (8,4x10 ) + (2,4x10 )400 x 103 - 6720 = 2,484 x10

= 3932802,484x10= , Remplazo en ecuacin 5

=(4x10 + , )(70x10 )= 55,442 MPa

239. Tres barras de acero, de secciones iguales de 100 x 25 mm, han de unirse mediante pasadoresrgidos de 20mm de dimetro que las atravesaran por unos orificios realizados en los extremos delas barras. La distancia entre centros de orificios es de 10m en las dos barras laterales o exteriores,pero es 1,25mm mas corta en la barra central. Determinar el esfuerzo cortante en los pasadoresdespreciando la deformacin local en los orificios.

Datos:A=100 x 25 mm

A

B

A

A

B

C

Area en los orificiosAo= /4Ao= (0,02) /4Ao=3,1416 10

Fx=0PA + PC - PB=0Como la fuerza aplicada en las barras a y c son idnticas remplazamos PC por PA:PB= 2PAExpresando en funcin de los esfuerzos =2 Las barras son iguales por lo que sus reas tambin son iguales

=2 Ecuacin 1Tomamos las deformaciones para poder encontrar el valor de los esfuerzos en las barras.= b + a

= + Ecuacin 2Remplazo Ecuacin 1 en 2

1,25 10 = + 1,25 10 = ( + )1,25 10 = ( )Remplazo valores en la ecuacin

1,25 10 = ( ( ) )

Despejando=83,333MPa

Remplazo en ecuacin 1=2=2(83,333MPa)= 166,67 MPa

Los esfuerzos obtenidos sern de ayuda para encontrar las cargas que actan, despus de sedeterminar la carga necesaria para que exista un esfuerzo cortante.En este caso la fuerza que usaremos ser la de la barra A, y el rea empleada ser el rea cortadaes decir el rea de los pasadores por lo tanto:

PA= PA=(83,33 ) (2,5 10 )PA= 208,33 KN

== , , 663,145MPa

240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 de seccion cada uno soportanuna carga de masa M. Las longitudes iniciales de los alambres son 19,994m, 19,997 y 20,00m.(a)Cual es el esfuerzo en el alambre mas largo, si M= 600Kg?(b)Si M=200Kg, determinar el esfuerzo en el alambre mas corto. Emplee E=200GN/

Datos:L1=19,994mL2=19,997mL3=20,00mA=30 =3 10 Eacero= 200 10 Paa.W=600Kg (9,8m/ )=5886Nb.W=200Kg(9,8m/ )=1962N

DEL GRFICOEL PRIMER CABLE EN TRABAJAR ES L1,SEGUIDO POR L2 Y POR LTIMO L3POR TANTO:

1) 2 = 3 + 0.0032) 1 = 3 + 0.0063) 2 = 3 + 0.003

PARA EL CASO a)R1+R2+R3=5886PARA EL CASO b)R1+R2+R3=1962

=1 + 2 + 3

L2 L3

L1

Solucin:a.PARTIMOS DE LA CONDICION PARA a)1 + 2 + 3 = 5886 5) = 1) 1 + 2 + 3 = 5886 2) 3) 3 + 0.006 3 10 200 1020 + 3 + 0.003 3 10 200 1019.997+ 3 3 10 200 1019.994 = 58863 = 3185.32900 103 = 3.53 10 5) 3

3 = 3 3 = 3.53 10 3 10 200 10203 = 1.06 10 3 = 1.06 103 103 = 35.38 10

12 3

) 1 + 2 + 3 = 1962 5) = 1) 1 + 2 + 3 = 1962 2) 3) 1 3 10 200 1020 + 1 0.003 3 10 200 1019.997+ 1 0.006 3 10 200 1019.994 = 19621 = 4.66 10900 103 = 5.17 10 5) 1

3 = 1 3 = 5.17 10 3 10 200 1019.9943 = 1.55 10 1 = 1.55 103 101 = 51.809 10

241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rigida AB, de masa despreciable,articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y acero. En la configuracionmostrada, la barra AB esta en posicin horizontal y hay un claro =4mm entre la punta inferior dela varilla de aluminio y su articulacin en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando lapunta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D.Solucin:Mo= 0-0,6Pac + 1,2Pal=01,2Pal-0,6Pac =0 Ecuacin 1.1

Por semejanza de tringulosac0,6 = al1,2al=2ac Ecuacin 2remplazo 2 en 1=2ac + T

Expresando en funcin de los esfuerzos:

= + = + Ecuacin 3

Ecuacion 1.11,2Pal-0,6Pac =02Pal=Pa

Del grafico=T+ alal= T Ecuacio1

acal

Pac

En funcin de esfuerzos2al x Aal = acAac - =0 Ecuacin 4Igualamos 3 y 4

De 4: = (Aal)( ) + =( + ) = 10 3( , ) ( ( 106)( 10 6)( 109) + ( 109)) = 10 3( , ) = , = ,

242. Una varilla homognea de seccin constante se empotra en sus extremos en soportesindeformables. Soporta una carga axial P aplicada, como indica la figura P-242. Demostrar que lasreacciones vienen dadas por R1=Pb/L Y R2=Pa/L. Obsrvese que estas reacciones son anlogas alas de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el mismopunto.

Solucion:

= Para este caso P sera R1= 1

Igualamos las deformaciones1 E = 2 E1 = 2 Ecuacion 1Fx=0-P + R1 +R2=0P= R1 +R2 R1=P-R2

R2=P-R2Remplazando en ecuacin 1

a b

P R2R1

L

P R2R1

P R2R1

= 2

= 2 = 2 + 2 = 2( + ) a+b=LP= 2 R2=

1 = = 1 + 1 = 1( + ) a+b=LP= 1 R1=

243. Una barra homognea de seccin constante igual a 500 se empotra en sus extremos ensoportes rgidos. Se somete a la accin de las fuerzas axiales P1= 25KN y P2=50KN, aplicadas comoindica la fgura P-243. Determinar el esfuerzo en el segmento BC. Indicacin: Aprovechar elresultado del problema anterior y emplear el mtodo de superposicin.

Solucin:

B C DA

0,6m 1,2m 0,9m

b1=2,1a1=0,6

P1=25KN

b2=0,9a2=1,8

P2=50KN

1 = 1 11 = 1 1

RA= 1 + 2= 1 1 + 2 2

= 25 2,1 + (50 0,9)2,7RA= 36,111KN

2 = 2 22 = 2 2

RA= 1 + 2= 1 1 + 2 2

= 25 0,6 + (50 1,8)2,7RA= 38,89KN

+ 25 == RA-25KN= 36,111 25= 11,11

A=500 5 10= = 11,115 10= 22222222,22= 22,22

244. La barra representado en la figura P-244 est firmemente empotrada en sus extremos. Determinarlos esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P=200KN.

Solucin:

= =

Aluminio(Al)E=70GPaA=900

300mm200mm

Acero(a)E=20GPaA=1200

PR2R1

300mm200mm

1 0,270 (9 10 ) = 2(0,3)200 (1,2 10 )3,1746 10 R1=1,2 10 R2

1 = 1,23,1746 2R1=0,39375R2 Ecuacin 1

Fx=0-R1-R2+P=0P=R1+R2 Ecuacin 2

Reemplazamos la ecuacin 2 en ecuacin 1.200KN=R1+R2R2=200K-R1R2 en ecuacin 12 = 200 0.394 21,394 2 = 2002 = 143,4971 = 56,50

245. En el problema Qu fuerza mxima P puede aplicarse sin que se sobrepasen los esfuerzosadmisibles de 70 MPa en el aluminio y 120 MPa en acero? Se puede aplicar una fuerza mayor si semodifica longitud de la varilla de aluminio permaneciendo constante la de acero? En caso afirmativo,determine la nueva longitud?Datos

= 0,270 = 0,3200

2,857 10 =1,5 10= 0,525 Ecuacin 1= Ecuacin 2Con las condiciones 1 y 2= 0,525(120 )

= 4021(70 )= 133,33 Llegara primero a su esfuerzo lmiteFx=0= 1 + 2 = 1 + 2 = + Remplazamos ,

9 10 (1,2 10 ) = 1209 10 + 63 1,2 10= 1,858 10 (1,08 10 )= 200,7b) = =

= + Remplazamos con sus mximos ,

= 12070 + 70200 0,3= 0,18

246.- Una varilla est formada de tres partes distintas, como indica la figura y soporta unas fuerzasaxiales P1= 12OKN y P=50KN. Determinar los esfuerzos en cada material si los extremos estnfirmemente empotrados en unos muros rgidos e indeformables.

Solucin

= =

Ecuacin 1 = + + + =

= 2 1 + 2= 2 1PBC PCD

PAB

CBA

D

LBC=0,4 m

300mm400 mm600mm

BronceA=2400E=83 GPa

AluminioA=1200E=70 GPa

AceroA=600E=200GPa

LAB=0,6m LCD=0,3m

P1 P2

R2P1

P2

= 2 + + = , , + , , + , = 03,01 10 2 2,1 10 + 4,7 10 2 2,38 10 + 2,29 10 2 = 08,003 10 2 = 4,4 102 = 56,094= 2 = 56,094 Traccin1 + 2 = 1 + 21 = 1 + 2 21 = 170 56,0941 = 113,405= 2 1 + 2 = 113,905 Compresin= 2 2 = 6,094= = 113,9052,4 10

ENTONCES= 47,46= 5,078= ,

248. Un tubo de acero de 2,5mm de espersor se ajusta exactamente dentro de otro de aluminio delmismo espesor. Si el dimetro de contacto es de 100 mm determinar la presin de contacto, y losesfuerzos circunferenciales si se somete el tubo de aluminio a una presin exterior de p=40MN/Ea=200 10 / y Eal=70 10 /

=

Solucin

= = Igualamos= = = Simplificamos D

= + = + = ( + )

= + = 40 200 10 )200 10 70 10

= ,

Fy=0= 2 = 2Aluminio

= ( )2 = 4 (4 2,76) 106 0,12 2,5 103,

Acero

= 2 = ,

t

249. En el problema anterior determinar la presin de contacto y los esfuerzos circunferencialesen el caso de que, inicialmente, exista una holgura radial de una centsima de milmetro entreambos tubos, antes de aplicar la presin de 4MN/ en el tubo de aluminioDatosP=4 10D=0,1 m =10Eal=200 10 Ea=70 10 SOLUCION= + 2 = + 2

= + + 2 = 2( 1 + 1 )

= 4 10 0.170 10 2(10 )0,1( 1200 10 + 170 10 ) = 1,428 101,928 10 = 7,407 No hay esfuerzo en el tubo de acero= 2 = 4 106 0,12 2,5 10 3= 80

250. L a figura representa un tornillo de acero que sujeta mediante unas arandelas y tuerca, untubo de bronce, el paso de tornillo es de 0,8 mm, la seccin recta del tubo de bronce es de 900

y la del tornillo es de 450 .Se aprieta la tuerca hasta conseguir el manguito debronce, un esfuerzo de compresin de 30MN/ . Determinar el esfuerzo si a continuacin se leda a la tuerca una vuelta ms. Cuantas vueltas habr que dar ahora en sentido contrario parareducir tal esfuerzo a cero.

Solucin

= = 30 10 0,883= 2,9 10 m= , Al dar una vuelta = 0,29 + 0,8 = 1,09

= = 1,09 83(0,8 8 10 4)90,470,7992= 11,31.

L=800mm

= 0Para determinar el nmero de vueltas se aplica un regla de tres.1,09 10,8 n1,090,8 = = ,

251. Segn se muestra la figura, una viga rgida de masa despreciable est articulada en 0 y sujeta dosvarillas de diferentes longitudes; pero por lo dems idnticas. Determine la carga en cada varilla si P =30KN

SolucinMo=02(30KN)-2FA-3,5FB=02FA+3,5FB=60KN

= 23,5 = , 1,5 = 2= , = , ( , ) = Ecuacion 1

= = 23,5

1,5m2m

2m

L=2mL=1,5m

2m 2m 1,5mm

A

O

B

Entonces 2FA+3,5FB=60KN remplazamos en 1

2 +3,5FB=60KN= 6000021142 = 11,943 = ,

252 Una viga rgida de masa despreciable est articulada en un extremo y suspendida de dos varillas. Laviga esta inicialmente posicin horizontal y enseguida se aplica la carga P. Calcule el movimiento verticalde la carga si P= 120KN.

Solucion

= + 2 3= ( + )= 47 90= 47 120000 390 70 10 9 10= 169205,67 10 = ,

AceroAluminio

3m2m 1m

253. Una barra rgida, de masa despreciable, est articulada en un extremo y suspendida enuna varilla de acero y una de bronce.Cunto vale la carga P mxima que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de120MN/ ni uno en el bronce de 70MN/

= = MA=0 6 + 2 + 5 = 06 = 2 + 5 Ecuacin 1

= 39 10 200 10 = 1.666 10= 28 10 83 10 = 3,012 10

== 120 10 9 10 = 108

1m

AceroBronce

2m 3m

== 70 10 3 10 = 56= 25 = 3 800 83300 2000 2

Entonces == 120163 56 = 41,42

Reemplazo en 16 = 2 41,42 + 5 56= 362,846= 60,4733

254.- La figura presenta la seccin esquemtica de un balcn. La carga total, uniformementerepartida es de 600kN y esta soportada por tres varillas de la misma seccin y del mismomaterial. Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla. Se supone al suelo colgantecomo perfectamente rgido, y tngase en cuenta que no queda necesariamente horizontal.

Sabiendo que A=3 B - 2CRemplazamos el equivalente de la formula de ladeformacin en cada . A dems se conoce la longitud (L) y se sabe que el rea (A) y laelasticidad (E) es igual para todas las varillas.

( ) = 3( ) -2( ) ( ( )) = 3( ( )) -2( ( ))( ( ))= ( ) 5PA = 18PB 12 PCPA= 3.6PB 2.4PC Ecuacin 1.

Efectuamos sumatoria de fuerzas en y. Sumatoria de momentos respecto alpunto A. Finalmente procedemos a sacar el valor de las diferentes fuerzas.

6m5m

6m

2m4m

3m 3m

CBA

600kN

2m4m

PCPBPA

600kN

DEFORMACION

C

1A=C + 1

2CC

B=C + 2B=C + 22= B C (1)

=

1=3 2 (2)

A=C + 1Remplazar (2) en 1A=C + 3 2Remplazar (1) en 2A=C + 3 (B C)A=3 B - 2C

Sustituimos ecuacin 3 en ecuacin 2.PB =450 1.5 PC

4.6(450 1.5 PC ) 1.4 PC=600

8.3 PC =1470

PC =177.11 KN

Remplazamos en ecuacin 3PB =450 1.5 PC

PB =450 1.5C(177.11)

PB =184.34 k N

Remplazamos en ecuacin 1PA= 3.6PB 2.4PC

PA= 3.6 (184.34) 2.4(177.11 )

PA= 238.56 k N

Fy=0PA+PB+PC=600(3.6PB 2.4PC) +PB+PC=6004.6PB 1.4 PC=600

Ecuacin 2.

MA=04PB+6PC=3(600)PB =450 1.5 PC

Ecuacin 3.

55. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 10kN como seindica en la figura. Suponiendo que antes de aplicar la carga ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa,determinar las tensiones que aparecen en cada una. Para el acero, E= 200 x 109 N/m2, y para el bronce,E=83 x 109 N/m2.

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y.

EAL=200X109 NM/m2EBR=83 X109 NM/m2

TBR TBRTA

Cos300=(0.866)(A)= BR -Remplazamos el equivalente de= ( )( )( )( ) en BR y A respectivamente.(0.866)(( )( )( )( ))= (( )( )( )( ))(0.866)TA( )=TBR( ( ) )1.3x10-11TA=3.13x10-11TBRTA=2.408 TBR ECUACION 2

Fy=02TBR(Cos300)+TA=10000NECUACION 2

300

10 kN.

300

Aluminio

BronceBronce 3 m

L1

L2

L1

P1P1 P2

A

BRBR

A

300300A

Usamos la ecuacin 1 y ecuacin 2.2TBR(Cos300)+( 2.408 TBR)=10000N(1.732) TBR+ 2.408(TBR)=10000NTBR=2.415x103N

Remplazamos TBR en ECUACION 2.TA=2.408 (2.415x103)TA=5.90x103N

56. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas una carga P=20kN, como se indica enla figura. El desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una corta varilla horizontal AE quese supone infinitamente rgida. Determinar los esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE. Para labarra de acero, A=200mm2 y E=200GPa y para cada una de las barras de aluminio, A=400mm2 yE=70GPa.

Aplicamos relaciones trigonomtricas.

o Empleamos sumatoria de fuerzas en Y.

Sustituimos el valor de R1 en la ecuacin 1 y ecuacin 2 para obtener R2 Y R3.

300 450

A

PE

DCBAceroL=3m Aluminio

Aluminio

A450 300

300 450

R3R1

R2

600450

3 12

3= 2(Sen450)2=2 31= 2(Sen600)2= 1

1= ( )( )( )=( )( )( )( )( )2= ( )( )( )= ( )( )( )3= ( )( )( ) = ( ) ( )( )( )

= === R3=R1ECUACION 1.= === R2= R1

ECUACION 2.

Fy=0R1y+R2y+R3y-P=0R1y+R2y+R3y=P20=R3(Cos450)+R1(Cos300)+R2

R1=A1(1) 20= R1 + R1 + R1R1= R1=8.73kN

R3=R1 === R3=13.095kN.

R2= R1=== R2=9.17kN.

Sacamos los esfuerzos para R1, R2, R3.

1= = . =21.825MPa2= = . =45.85MPa3= = . =32.737MPa

57. Con los mismos datos del problema anterior, calcular el mximo valor P si los esfuerzos admisiblesson de 40 MPa en el aluminio y de 120MPa en el acero.

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y.-P + S3Y + S2 + S1Y=0P= S3(Cos450) +S2 + S1(Cos300)

Sustituimos los equivalentes para S3 y S2.

P= (Cos450)(S1) + (S1) + S1(Cos300)

P=2.2898(S1) S1=(1)(A1)=(40MPa)(40x10-4 m2)= 16000N=16Kn. S2=(120MPa)(2x10-4 m2)=24kN. Para obtener PTOTAL.

P= 24kN + 16kNP=40kN.

300 450

A

PE

DCBAceroL=3m Aluminio

Aluminio

A450 300

300 450

R3R1

R2

600450

3 12

Del ejercicio anterior sabemos que:S3= S1 S2= S1