CURS: 2011-2012DEURES DE VACANCES D’ESTIU DE MATEMÀTIQUES

EXERCICIS DE RADICALS.

1.Realitza les següents operacions i simplifica al màxim:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.Calcula i simplifica els resultats:

a)

b)

c)

3.Racionalitza les expressions fraccionaries següents:

a)

b)

c)

d)

4.Realitza les operacions següents i simplifica al màxim:a)

b)

c)

d)

5.Calcula i simplifica els resultats:

a)

b)

c)

d)

6.Calcula:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Divisió de polinomis mitjançant el mètode de Ruffini

Exemple:

-2

4 0-8

-516

3-22

4 -8 11 -19

L’última suma obtinguda (-19) és el residu de la divisió. La resta de nombres (4,-8 i 11) són els coeficients del polinomi quocient:

,

1. Efectua les següents divisions de la forma habitual i mitjançant la regla de Ruffini:

a)

b)

c)

d)

2. Fes servir la regla de Ruffini per a trobar el quocient i el reste de les següents divisions:

a)

b)

c)

3. Determina el residu de les divisions següents, utilitzant la regla de Ruffini:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Solucions:1. a) Residu: 3 b) Residu: 1 c) Residu: 7 d) Residu: 72. a) b)

c)

3. a) 15 b) 41 c) 2 d) 1 e) 5 f) 0 g) 0

Divisió amb polinomis amb coeficients

4. Donat , sabem que . Calcula el valor de m.

5. Dividint el polinomi per obtenim 2 de resta. Quant valen b i c si aquest polinomi és divisible per ?

6. Quin valor cal donar a k perquè el residu de la divisió de per sigui 3?

7. Calcula a i b de manera que el residu de la divisió per sigui 0.

8. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de per sigui 2.

9. El polinomi és divisible per . Sabem també que, dividint-lo per i per , dóna la mateixa resta. Troba c i b.

10. Calcula el valor de k perquè el residu de la divisió de

per sigui .

11. Calcula el valor de c perquè el polinomi sigui divisible per .

12. Calcula el valor de n perquè el polinomi sigui divisible per .

13. Calcula el valor de c perquè el polinomi sigui divisible per .

14. Considerem el polinomi a) Per a quin valor de m és p(x) divisible per ?b) Per a quin valor de m s’obté 3 de residu, en dividir-lo per ?c) Per a quins valors de m l’equació no té arrels reals?

15. En és Calcula el valor de m.

16. El residu de dividir el polinomi per és 2. Quant valen b i c, si aquest polinomi és divisible per ?

Equacions de segon grau ax2+bx+c=0

1.Resol les següents equacions:

a)b)c)d)e)f)g)h)

2.Resol les següents equacions:

a)

b)

c)

d)

e)

f)g)h)

Solucions:

1. a) 5 i 10 b) 11 c) 5 i 7 d) no hi ha e) i f) i 3 g) 4 i 5 h) i 10

2. a) i b) i c) i 3 d) i e) 2 i 4 f) –4 i 6 g) e i –4 h) –

1 i 3

Equacions de segon grau incompletes ax2+c=0 i ax2+bx=0

1. Per a cadascuna de les següents equacions, determina si és de la forma

o i després resol-la mitjançant el procediment habitual.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Solucions:

a) 0 i 5 b) 13 i –13 c) 3 i –3 d) 6 i –6 e) 0 i 2 f) 0 i 2 g) 3 i –3 h) 0 i

i) 0 i 2 j) 0 i 3 k) 6 i –6 l) 6 i -6

Inequacions de primer grau amb una incógnita

1.

2.

3. 5x+8 2(x+3)+10

4. 4x+12 5x-2

5. 3(2x-1)-8x 3x+2(x-1)+9

6. 5(3-2x) 2(1+3x)

7. 3(2x-1)+5 1

8. 7x-6 -2x+5(x+3)

9. 6x+5(2-x) 3x-8(x+4)

10. 2(x+3)-3x 6x+4(1-x)

11. 5(x-2)-4(2x+1) -3(x+3)

12. 12(x+2)+5 3(4x+1)+3

13.

14.

15. 3x+5

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

Sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Problemes d’inequacions

1. Si al doble d’un nombre li sumem 8 unitats, resulta més petit que si al seu triple li’n restem 12. Quins nombres verifiquen aquest enunciat?

2. El doble de la suma d’un nombre més tres unitats és més gran que el triple d’aquest nombre més sis unitats. Quins nombres compleixen aquesta condició?

3. La suma de la meitat i la quarta part d’un nombre és més petita o igual que el triple d’aquest nombre menys nou unitats. Quins nombres verifiquen aquestes condicions?

4. En Lluís ha comprat una llibreta, un bolígraf que val la quarta part del que val la llibreta i un retolador que val 1,80 euros. Si s’ha gastat menys de 6,50 euros, què podem dir del preu de la llibreta?

5. Dues empreses lloguen furgonetes. Tenen aquestes tarifes per dia de lloguer:

Empresa A : 6 euros fixos + 0,75 euros per km

Empresa B : 9 euros fixos + 0,65 euros per km Indica per a quin quilometratge l’empresa A és més econòmica.

6. La companyia telefònica cobra en cada rebut 15 euros de quota fixa més 0,16 euros per cada pas dels servei automàtic. Si un abonat no vol que la tarifa del telèfon sobrepassi 71 euros en total, quin és el nombre màxim de passos que ha de consumir?

7. Dos pisos de lloguer s’ofereixen en les condicions següents:Pis A : 420 euros d’entrada més 180 euros cada mesPis B : 1200 euros d’entrada més 150 euros cada mes

Quants mesos han de passar perquè el pis B sigui més econòmic que el A?

8. Si al doble d’un nombre li restem 5 unitats, el nombre que resulta és més petit o igual a 20. En canvi, si al triple d’aquest nombre li sumem 30 unitats, el nombre que resulta és més petit que el nombre inicial. Podries indicar quins nombres verifiquen aquest enunciat?

9. Uns alumnes venen números d’una rifa a 1,50 euros cada un. Quants números els pot comprar una persona que només porta 10,50 euros?

10. Si al doble d’un nombre li sumo 5 obtinc un valor més gran que si al triple d’aquest nombre li resto 2. De quins nombres es tracta?

11. Agafo un taxi per anar al cine. La baixada de bandera val 1,50 euros i cada pas del comptador són 0,06 euros. L’entrada de cine val 4,20 euros. Si només tinc 8,70 euros, quin és el nombre màxim de passos de comptador que em permetrà pagar l’import del trajecte?

12. Una empresa lloga bicicletes a 4,2 euros/hora o bé a 315 euros/setmana. En quines condicions serà més favorable llogar-les per setmanes?

13. Un viatge al país A costa 150 euros de desplaçaments més 36 euros diaris i un viatge al país B costa 450 euros de desplaçaments més 27 euros diaris. En quines condicions serà més econòmic viatjar al país B?

14. El costat desigual d’un triangle isòsceles fa 22 cm. Determina la mesura dels altres dos costats si el perímetre ha de ser més gran de 82 cm.

15. Calcula la mesura del costat d’un quadrat de perímetre superior al 36 c

EXERCICIS SISTEMES QUADRÀTICS:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

EXERCICIS EQUACIONS BIQUADRADES:

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16)

Solucions 1) ;

2) 3)  ;

4)  ; 5)  ;

6)  ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) No té sol. real ; 11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16)

Raons trigonomètriques d’angles aguts

1. Donat el següent triangle, determina les raons trigonomètriques associades als angles i .

3. Donat el següent triangle, determina les raons trigonomètriques associades als angles i  :

α90º

β

5

10,39

α

90º

β

7

95,66

Aplicacions de la trigonometria

1. Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de 15 m?

2. Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de 17º des d’una distància de 54 m?

3. Calcula la profunditat del pou de la figura:

4. Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la pared arriba a una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º?

5. Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà verticalment si ha recorregut 510 m.?

6. El triangle de la figura és equilàter. Quant mesuren els seus angles α i β? Quant mesura la longitud del costat si la seva altura mesura 14 cm?

7. Un Esquiador baixa per una pista que té un pendent del 15 % ( 8,5º aprox.). Quina serà la longitud del seu recorregut si ha descendit 320 metres en vertical?

1) ≈11,30 m. 2) ≈16,51 m. 3) ≈7.18 m. 4) ≈4,87 m. 5) ≈270,26 m.

6) a=60º, β=30º, ≈16,17 m. 7) ≈2164,95 m.

Determinació de costats de triangles

1. Fixa’t en el triangle i completa les dades:

2. Fixa’t en el triangle i completa les dades:

3) Fixa’t en el triangle i completa les dades:

4) Un individu observa amb un angle de 38 graus la cornisa d’un edifici, a una distància de 56 metres. Calcula l’alçada de l’edifici.

5) Un estel que disposa d’una corda de 100 m aixeca el vol. A quina alçada es trobarà si l’angle que forma amb el terra és de 60º?

6) Un turista observa la torre Eiffel des de terra en un punt en què forma un angle de 45º. S’acosta 125 m al peu de la torre i aleshores l’angle format és de 60º. Calcula l’altura de la torre.

7) Asseguts a la riba d’un riu, veiem un arbre a l’altra riba sota un angle de 45º. Ens allunyem 40 metres cap enrere i aleshores l’angle visual és de 30º. Quina serà l’altura de l’arbre i l’amplada del riu?

8) Calcula la longitud de l’ombra que projecta un arbre de 3,5 m d’altura quan la inclinació dels raigs solars és de 38 º.

Determinació de punts i rectes

1. Determina les coordenades dels punts P, Q i R, sabent que passen per la recta

2. Determina les coordenades dels punts P, Q, R i S sabent que passen per la recta

3. Determina les coordenades dels punts P, Q , R i T, sabent que passen per la recta

4. Determina la funció sabent que passa pels punts i .

5. Determina la funció sabent que passa pels punts i .

6. Determina els punts de tall amb els eixos de la funció .

7. Determina els punts de tall amb els eixos de la funció .

8. Determina la funció sabent que talla l’eix Y pel punt .

9. Determina la funció sabent que passa pel punt .

10. Determina la funció sabent que passa pel punt

.Solucions: 1) , , 2) , , ,

3) , , ,

4)5)

6) Tall X : , Tall Y:

7) Tall X : , Tall Y:

8)9)10)

La funció de segon grau (2).

1. Representa gràficament la funció

-4-3-2-101234

Completa la següent taula :

Funció

Domini

Recorregut

Punts de tall amb l’eix X

Punts de tall amb l’eix Y

Simetria

Creixement i decreixement

Màxims i mínims

Punts notables de la gràfica de la funció de segon grau. Vèrtex.

Els punts de tall i el vèrtex són punts d’especial importància quan volem representar gràficament una funció de segon grau. Ens donen la informació bàsica de la gràfica i sovint ens ajuden a construir-la sense necessitat de recórre a una taula de valors.

Donada la funció de segon grau

1) Punt de tall amb l’eix Y: ,

2) Punts de tall amb l’eix X:

,

3) : Vèrtex:

4) Eix de simetria de la gràfica: és la recta vertical que passa pel vèrtex

gràfica de la funció

Exercici. Representa gràficament les següents funcions, determinant prèviament els punts notables :

1. 2.

3. 4.

Estudi de funcions

En les gràfiques següents, esbrina:1)el domini,2)el recorregut,3)els punts de tall amb els eixos,4)la continuïtat i la discontinuïtat,5)el creixement, el decreixement, els màxims i els mínims,6)la periodicitat,7)la simetria,8)el signe,9)les imatges de - 2, 0, 3, 5 i - 4, en els casos que sigui possible, i10)les antiimatges de - 3, 0, 2, 4 i - 5, en els casos que sigui possible.

a) y

x

b) y

x

c) y d)

e)

g) h)

x

y

x

y

f))

Gràfica de les funcions exponencials.

Representa gràficament les següents funcions:

a) b) c) d)

Concepte de logaritme.

1. Calcula sense fer servir la calculadora:

a)b)c)d)e)f)g)h)i)

j)

k)

l)m)

n)

o)

p)

q)

r)s)t)

2. Calcula sense fer servir la calculadora:

a) b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

4. Equacions logaritmiques

a) b) c) d)

e) f)