ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE

DEBER #4 (GRUPAL)

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS

1.- Defina: 1.1- El Conjunto suma de Subespacios vectoriales1.2.- El Conjunto intersección de Subespacios vectoriales1.3.- El Conjunto unión de Subespacios vectoriales1.4.- Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada.1.5- Matriz de transición.

2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique apropiadamente su respuesta.

2.1.- Si H∩W es un subespacio del espacio vectorial V, entonces H y W son subespacios de V.2.2.- Si H y W son Subespacios vectoriales de V y H⊆W, entonces HUW es un subespacio de V.2.3.- Sea S un subespacio de V de dimensión 3. Sean v1, v2, v3 tres vectores distintos de S. Si x

un vector perteneciente a V-S y W=L{x, v1, v3}, entonces dimW=3.2.4.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces H+W⊆HUW.2.5.- Sean H y W dos subespacios del espacio vectorial V, entonces HUW ⊆H+W.2.6.- Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 y sean H=gen{u,v} y W=gen{w}, entonces

H+W generan V2.7.- Si B1={v1, v2} es una base del subespacio vectorial H y B2={v2, v3, v4} es una base del

subespacio W, entonces una base de la intersección de H y W es {v2}.2.8.- Sean β1 y β2 bases para un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de cambio de base de β1 a β2 , entonces se cumple que: ∀v∈V { [v]β2= Aβ1→β2 [v]β1 }2.9.- Sean β1 y β2 bases de un espacio vectorial V, Aβ1→β2 la matriz de transición de β1 a β2 y Aβ2→β1 la matriz de transición de β2 a β1, entonces se cumple que: Aβ2→β1 = (Aβ1→β2)-1.2.10.- Sea x un vector de un espacio vectorial V, β1 y β2 bases de V. Si [x]β1= [x]β2 entonces β1 =β2

3.- Sea V=M2x2,

−−

−

−

=21

11,

10

11,

01

11,

21

33LH y

=++−=+−

= 0233/ 321321

43

21 αααααααααα

W

dos subespacios de V, determine:a.-) Una base B1 de H∩Wb.-) Una base B2 de H+W que contenga a B1

c.-) Una base B3 de V que contenga una base de H∩W y una base de H+Wd.-) Un vector u∈H-W y un vector v∈(H∪W)c

e.-) Si la suma H+W es directa. Justifique su respuesta.

4.- Sea V=M2x2, W=gen{I}, donde I es la matriz identidad de V

=+−

= 02/ cda

dc

baH y

=

20

24,

12

20genS

1

a.-) Determine si HUS es un subespacio de Vb.-) Determine una base de H+Wc.-) Determine el subespacio S+Wd.-) Determine una base y la dimensión de H∩S

5.- Sea V=M2x2 , H={A∈V / ai1=iai2 },

−

−

−

−=

11

00,

11

02,

11

01,

10

11LW y

U={A∈V/ aij≠0 cuando i≠j}.a.- Determine si U es un subespacio de V.b.- Determine una base para la intersección de los subespacios H y W.c.- Determine una base para la suma de los subespacios H y W.

6.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la multiplicación por escalar de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )21212211 yy,xxy,xy,x +=⊕( ) )y,x(y,x α=•α α

Determine, de ser posible, las coordenadas de (8,-3) con respecto a {(2,0),(1,1)}

7.- Sea V=gen{1, Cosx, Cos2x} y sea B1={2-Cosx, 1+Cosx, Cos2x} una base de V.a.- Si B2={1, Cosx, Cos2x} es otra base de V, determine la matriz de cambio de base de B2 en

B1.b.- Determine, de ser posible, las coordenadas de f(x)=Sen2x+1 con respecto a la base B2.

8.- Sean B1={p(x), q(x), r(x)} y B2={s(x), t(x), u(x)} dos bases del espacio vectorial P2 y sean

[ ]

=−0

1

1

12

Bxx , [ ]

=+0

1

0

1 1Bx , [ ]

−=+1

1

1

12 12

Bx

[s(x)+t(x)]B1=(3,1,1) , [t(x)+u(x)]B1=(5,2,0) , [u(x)]B1=(3,0,0)Determine:a.-) Los vectores de cada Base b.-) Las coordenadas de –x2+3x+2 con respecto a la base 2

9.- Considere el espacio funcional V=gen{Senx, Cosx, ex} con las siguientes bases B1={u1,u2,u3}, B2={Senx+Cosx, ex-Senx, Senx} y B3={v1,v2,v3}, dado que: u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v1-v2 y la

matriz cambio de base de B3 a B2:

−−=→

111

211

101

23 BBC

Determine:a.-) La matriz cambio de base de B3 a B1

b.-) La matriz cambio de base de B1 a B2

c.-) Los vectores de la base B1 y los vectores de la base B3

d.-) [w1+2w2-u3+v2-Cosx]B3 si se conoce que [w1-w2]B1=(1,0,-1) y [2w1+w2]B3=(9,4,-3)

10.- Sea V=S2x2 y B una base de V tal que:

2

=

0

1

1

02

21

B

,

=

2

1

0

01

11

B

,

=

1

0

0

10

01

B

Determine:a.-) Los vectores de la base B.b.-) Una base B2 de V que contenga a B.c.-) La matriz de cambio de base desde B2 hacia la base canónica de V.

11.- Sean B1={v1, v2, v3} y B2={u1, u2, u3} dos bases del espacio V=gen{Senx, Cosx, x} y dado que: u1=v1+v2, u2=v2+v3 y u3=v3+v1, determine:a.-) La matriz de cambio de base de B1 en B2.b.-) Si [2x]B2=(1,1,1), [x-Senx]B2=(1,0,0) , [Senx+Cosx]B2=(1,0,1) determine los vectores de la

base B1.

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