De alearum calculi (II) - UPV/EHU · 5 Ariketak : biderkaketak ... Estatistika I Josemari Sarasola...

De alearum calculi (II)

Probabilitate kalkulua (II)

Josemari Sarasola Ledesma

Figure 1: Alicia lurralde miresgarrian

Contents

1 Gertakizunen arteko eragiketak 3

1.1 Lagin espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Gertakizuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Gertakizunen aljebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Berdintasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Osagarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Bateragarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Barnekotasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Ebaketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 Bilketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10 De Morgan-en legeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11 Bilketa baten probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12 Ariketak: Gertakizun aljebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Probabilitateen biderkaketa 14

2.1 Baldintzapeko probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Biderkaketa teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Independentzia eta dependentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Erauzketak, dependentzia eta independentzia . . . . . . . . . . . 16

3 Probabilitate osotuaren teorema: zuhaitzaren estrategia 17

4 Bayes-en teorema 18

5 Ariketak: biderkaketak, zuhaitzak, Bayes-en teorema 20

Estatistika I Josemari Sarasola Ledesma

1 Gertakizunen arteko eragiketak

Demagun makina bateko osagai bakoitza une jakin batean ongi aritzeko prob-abilitatea ezagutzen dugula. Makinako osagai guztiak une jakin batean ongiaritzeko probabilitatea eman daiteke, osagai bakoitzeko probabilitate sinpleakuztartuz.

Probabilitate sinpleetatik abiatuz, gertakizunen arteko eragiketak egin etaprobabilitate konplexuak (makinako osagai guztiak ongi aritzeko probabilitatea,esaterako) kalkulatzen ikasi behar dugu ondoren.

1.1 Lagin espazioa

Gerta daitezkeen emaitza guztien multzoa da. Adibidez, seiko bat jaurtitzean:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Lagin espazio mota ezberdinak daude:

• diskretu finitoa, txanpon baten emaitza esaterako: Ω = 0, 1

• diskretu infinitoa, txanpon baten jaurtiketan lehenengo 0 noiz azaltzenden esaterako: Ω = 0, 10, 110, 1110, 11110, . . .

• jarraia, osagai baten iraupena esaterako: Ω = [0,∞)

1.2 Gertakizuna

Zerbaiten probabilitatea kalkulatzen da. Zerbait hori gertakizuna 1da. Adibidez:

• A: seikoaren emaitza bikoitia

• B: aurpegikoa txanpona 5 aldiz bota baino lehenago atera

1Gazteleraz, suceso; ingelesez, event.

3


1.3 Gertakizunen aljebra

Gertakizunak bateratu, banandu, ... egin daitezke. Hau da, gertakizunen artekoeragiketak egin daitezke. Gertakizunek elkarren artean hainbat erlazio ere izandezakete. Erlazio eta eragiketa hauek ikasiko ditugu jarraian: hau da, gertakizunalgebra ikasi behar dugu.

Gertakizunen algebra ikasteko, adibide hau hartuko dugu oinarritzat:

Gela batean ikasleen jatorria eta sexua jaso dira. Emaitzak taula honetanagertzen dira:

Sexua/Jatorria Gipuzkoa Bizkaia NafarroaMutilak 8 4 0Neskak 10 6 4

1.4 Berdintasuna

Bi gertakizun berdinak direla esango dugu bata gertaturik, bestea ere gertatzendenean.

Adibidez, txanpon bat 10 aldiz botatakoan, A: gurutzekoen kopurua 7 bainogehiago izatea eta B: aurpegikoen kopurua 3 baino gutxiago izatea gertakizunakberdinak dira: bata gertatzen denean bestea ere gertatzen baita.

Gelako adibidea hartuta, gelako pertsona bat aukeratzen bada zoriz, A:neska izatea eta B: naparra izatea berdinak al dira?

4


1.5 Osagarritasuna

Bi gertakizun aurkako edo osagarriak 2 dira biak batera gertatu ezin daitezkee-nean eta bata ala bestea ezinbestez gertatu behar denean.

Adibidez, txanpon bat 10 aldiz botatakoan, A: gurutzekoen kopurua 4 edohandiagoa izatea eta B: gurutzekoen kopurua 4 baino txikiagoa izatea gertakizunosagarriak dira.

Gelako adibidean, A: neska eta B: mutila aurkakoak dira.

Orohar A gertakizuna emanda, gertakizun osagarriari A edo Ac deitukodiogu.

Grafikoki azalduz:

Garbi dago hau betetzen dela: A = A.

Probabilitateari dagokionean azkenik oinarrizko erregela hau gogoratu beharda:

P [A] = 1− P [A]

2Gazteleraz: complementarios(as).

5


1.6 Bateragarritasuna

Bi gertakizun bateragarriak 3 direla esango dugu batera gerta daitezkeenean.Bestela, bateraezinak dira.

Adibidez, txanpon bat 10 aldiz botatakoan, A: 4 gurutzeko suertatzea etaB: azken emaitza gurutzekoa izatea bateragarriak dira. Baina A: 10 gurutzekosuertatzea eta B: azken emaitza aurpegikoa izatea bateraezinak dira.

Gelako adibidean, A: mutila eta B: Gipuzkoa bateragarriak dira, baina A:mutila eta B: Nafarroa bateraezinak dira.

Irudiz honelakoak dira gertakizun bateragarriak eta bateraezinak:

Beste adibide bat daukazu jarraian. A: osagaiaren iraupena 800 ordu bainolaburragoa izatea eta B: osagaiaren iraupena 600 ordu baino luzeagoa izatea ger-takizun bateragarriak dira, irudian ikus dezakezunez elkar ebaki egiten dutelako,600-800 tartean hain zuzen:

Gogoratu behar da azkenik, aurkako gertakizunak bateraezinak direla bainaalderantzizkoa ez dela beti gertatzen. Ikus irudian aurkakoak ez diren bi ger-takizun bateraezin:

3Gazteleraz: compatibles.

6


1.7 Barnekotasuna

A eta B gertakizunak emanda, B A-ren barnean dagoela esango dugu B ger-tatzen denean A ere gertatzen bada 4. Honela idatziko dugu:

B ⊂ A

Adibidez, txanpon bat aidera 10 aldiz botatakoan, B: lehenengo biak gu-rutzeko izatea gertakizuna A: 10 emaitzak gurutzeko izatea gertakizunaren barneandago.

Gelako adibidera itzuliz, B: Nafarroa gertakizuna A: neskak gertakizunarenbarnean dago, Nafarroako guztiak neskak baitira.

Ikus irudia B ⊂ A erlazioa hobeto ulertzeko:

4Barnekotasuna gazteleraz: inclusion

7


1.8 Ebaketa

A eta B gertakizunak emanik, A∩B ebaketa 5 edo biderkaketa izeneko eragike-tak A eta B batera gertatzea adierazten du.

A ∩B honela irakurtzen da: a ebaki b edo a eta b.

Adibidez, txanpon bat bi aldiz botatzen bada, A: gutxienez gurutzeko bateta B: gutxienez aurpegiko bat izanik:

A ∩B : aurpegiko bat eta gurutzeko bat suertatzea

Gelako adibidean, A: mutilak eta B: Gipuzkoa izanik:

A ∩B : mutil gipuzkoarra

Grafikoki, A ∩ B gertakizunak A eta B gertakizunek elkar ebakitzen duteneremua hartzen du:

Beraz, hau baiezta daiteke:

A, B, bateraezinak → A ∩B = ∅

5Gazteleraz, interseccion.

8


1.9 Bilketa

A eta B gertakizunak emanik, A ∪B bilketa 6 edo batuketa izeneko eragiketakA, B edo A eta B batera gertatzea adierazten du.

A ∪B honela irakurtzen da: a bil b edo a edo b.

Adibidez, txanpon bat 10 aldiz botatzen bada, A: gurutzekoak 4 edo gutxiagoeta B: gurutzekoak 2, 3, 4, 5, edo 6 izatea izanik:

A ∪B : gurutzekoak 6 edo gutxiago izatea

Gelako adibidean, A: mutilak eta B: Gipuzkoa izanik:

A ∪B : mutila edo gipuzkoarra edo mutil gipuzkoarra

Grafikoki:

6Gazteleraz, union.

9


1.10 De Morgan-en legeak

Multzo teorian XIX. mendeko de Morgan matematikariak aurkitu zituen er-regela hauek betetzen dira:

•( ⋃n

k=1 Ak

)=

⋂nk=1 Ak

Izan ere, zerbait inongo Akren barnean ez badago, Ak aurkako guztienbarnean, eta beraz, Ak aurkakoen ebaketaren barnean izango da.

•( ⋂n

k=1 Ak

)=

⋃nk=1 Ak

Izan ere, zerbait Ak ororen barnean ez badago, Ak aurkakoren batenbarnean, hau da, gutxienez Ak aurkako baten barnean edo Ak aurkakoenbilketan izango da.

Errazago ikusteko, eta grafiko batez aise egiazta daitekeenez, bi gertakizune-tarako honela izango litzakete:

• A ∪B = A ∩B

• A ∩B = A ∪B

10


1.11 Bilketa baten probabilitatea

Bilketa baten kasuan, probabilitatea kalkulatzeko beti aztertu behar da, bilke-tagaiak edo bilketan sartzen duren gertakizunak elkarrekiko bateraezinak diren.Hau zehaztu ondoren, erregela hauek erabiltzen dira:

1. A1, A2, . . . , An gertakizunak bateraezinak badira:

P [A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An] = P [A1] + P [A2] + . . . + P [An]

Aurreko erregela honen justifikazioa begi bistakoa da: A1, A2, . . . , An bat-eraezinak badira, ez dute elkar ebakitzen eta ondorioz bilketaren proba-bilitatea bakoitzaren probabilitateen batura izango da.

2. A1, A2, . . . , An gertakizunak bateragarriak badira:

• 2 gertakizuneko bilketen probabilitatea:

P [Ai ∪Aj ] = P [Ai] + P [Aj ]− P [Ai ∩Aj ]

• 3 gertakizuneko bilketen probabilitatea:

P [Ai ∪Aj ∪Ak] = P [Ai] + P [Aj ] + P [Ak]

−P [Ai ∩Aj ]− P [Ai ∩Ak]− P [Aj ∩Ak]

+P [Ai ∩Aj ∩Ak]

• Orohar:

P[ n⋃

k=1

Ai

]=

n∑k=1

P [Ak]

−∑

1≤i≤j≤n

P [Ai ∩Aj ]

+∑

1≤i≤j≤k≤n

P [Ai ∩Aj ∩Ak]

+ . . .− (−1)nP [A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An]

1. kasua 2. kasuaren kasu berezia besterik ez da: gertakizunak bat-eraezinak badira, ebaketak hutsak dira eta ondorioz formula orokorreanazaltzen diren ebaketa guztien probabilitateak 0 izango dira, 1. kasukoformula geratzen zaigula.

11


1.12 Ariketak: Gertakizun aljebra

I A eta B gertakizunak bateraezinak dira. Gainera P (A) = 0, 25 eta P (B) =0, 4 betetzen dira. Kalkula itzazu probabilitate hauek: P (A), P (A ∪ B),P (A ∩B), P (A ∪B).

II Bitez A, B, D gertakizunak. Gertakizun hauek adieraz itzazu gertakizunaljebrako eragileak erabiliz:

• A bakarrik gertatzen da.

• Hiru gertakizunak gauzatzen dira.

• A eta B gertatzen dira, baina D ez.

• Gutxienez bi gertakizun gertatzen dira.

• Bi gertakizun baino gehiago ez dira gertatzen.

• Ez da bat ere gertatzen.

• Gutxienez bat gertatzen da.

• Bat bakarrik gertatzen da.

III A ∪ B gertakizuna Venn-en diagrama batean adierazi. A: mutila eta B:gipuzkoarra izanik izanik, nortzu sartzen dira bertan?

IV Idem (A ∩B) ∪D gertakizuna harturik, D: aprobatua izanik.

V Ekoizpen prozesu batean datu hauek jaso dira 300 pieza aztertu ondoren:A akatsa bakarrik dituzten piezak 20 dira, A eta B akatsak dituzten piezak15 dira, B akatsa dituzten piezak 40 dira. Zenbatekoa da pieza batekgutxienez akats bat izateko probabilitatea? Zein ihardunpide erabiltzenari zara probabilitate sinpleak ezartzeko?

VI FNACen lan egiteko eskabideak egin dituztenen artean, %80ek euskarazdakite eta %30ek lan esperienzia egokia dute. Zenbatekoa da zoriz hauta-gai bat aukeratuta bi baldintzak betetzeko probabilitatea?

VII Inkesta bat egin ondoren, datu hauek jaso dira: 10-14 urte bitartekogaztetxoetan, %40k GAMEBOY delako makinatxoa dauka, %30ek NIN-TENDO DS delakoa eta azkenik %20ek PSP berria eskuratu dute. %15ekGAMEBOY eta NINTENDO DS ditu, %12ek NINTENDO DS eta PSP,eta azkenik %8ek GAMEBOY eta PSP dauzkate batera. Hiru maki-natxoak %4ek dituzte. Zenbatekoa da zoriz tarte horretako haur bathartuta, gutxienez makina horietako bat edukitzeko probabilitatea?

VIII e1, e2, e3, e4 izanik hurrenez hurren bihar, etzi , etzidamu eta laugarrenegunera euria egitea adierazten duten gertakizunak, adieraz ezazu gertak-izun aljebraren terminoetan egun horietan zehar egun bakar batean euriaizatea.

12


IX Datu hauek jaso dira inkesta batean:

Sexua Gizon EmakumeJatorria Gipuzkoa Gipuzkoaz kanpo Gipuzkoa Gipuzkoaz kanpo

Aprobatuak 41 22 63 62Suspendituak 19 40 59 58

Guztira 60 62 122 61

Venn-en diagrama batean gizon, Gipuzkoakoa izatea eta aprobatua izateamultzoak eta berauen arteko ebaketak ezar itzazu, probabilitateak zehaz-tuz, pertsona bat zoriz aukeratzen bada.

X Txanpon bat bi aldiz jaurtikirik, ondoko gertakizun hauek hartzen ditugukontutan:

• A: aurpegiko bat gutxienez suertatzea

• B: bi jaurtiketetan emaitza berdina lortzea

• C: bi gurutzeko suertatzea

Hiru gertakizun hauek harremanetan jarri: Aurkakoak al dira? Batera-garriak al dira? Bata bestearen barnean al dago?

XI Euskalerriko baserriei buruzko ikerketa bat egitearren, zentsu bat eginda: baserrien %2an bakarrik ez dago traktorerik, baserrien %60an behiakdituzte, baserrien %59,7an behiak eta traktorea dituzte. Zenbatek ez duteez behirik ez traktorerik?

XII Bitez P (A) = 1/2, P (B) = 1/4, P (C) = 1/8. A, B eta C bateraezinakdira. Probabilitate hauek adierazi eta eman:

• A, B, C gertakizunetatik gutxienez bat

• A, B eta C gertakizunetatik bakar bat

• A, B eta C gertakizunetatik bi

XIII Biltzar batera gazteleraz bakarrik dakiten 60 lagun joan dira. Ingelesezbakarrik dakitenak 30 dira eta bi hizkuntzak dakizkitenak 10 dira. Zorizbi lagun aukeratzen badira, zenbatekoa da elkar ulertzeko probabilitatea?

XIV P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 6, P (A ∪ B) = 0, 8 A eta B bateraezinak dira.Emandako informazio hau zuzena izan al daiteke?

XV P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 8, P (ezAetaezB) = 0, 7. Emandako informaziohau zuzena izan al daiteke?

13


2 Probabilitateen biderkaketa

2.1 Baldintzapeko probabilitatea

10.000 biztanle dituen herri batetik lagun bat aukeratzen dugu zoriz. Unibert-sitariak 1000 dira. Zenbatekoa da aukeratutako laguna unibertsitaria izatekoprobabilitatea?

P (unibertsitari) =1.00010.000

Ondoren, informazio gehigarria ematen dugu: herrian 4800 emakume daudeeta hauetatik 600 unibertsitariak dira.

Aukeratutako pertsona emakumezkoa dela jakinik, zenbatekoa da aukeratu-tako laguna unibertsitaria izateko probabilitatea?

Informazio gehigarria jaso da: pertsona emakumezkoa da. Horri esker gurelagin espazioa murriztu egin da: 10.000 pertsonak ez, baizik eta 4.800 pertsonaditugu aukeran. Eskatutako probabilitatea honela adierazi eta kalkulatzen da:

P (unibertsitari / emakumezko) =600

4.800

Orohar, B gertatu dela jakinik, A gertatzeko probabilitateariB baldintzapeko probabilitatea deitzen zaio eta honela adieraztenda:

P (A/B)

Eta era honetan kalkulatzen da:

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B)

2.2 Biderkaketa teorema

Aurreko formula honetatik,biderkaketa teorema delakoa eratortzenda:

P (A ∩B) = P (B ∩A) = P (B)× P (A/B)

Adibidez, 100 piezako lote batean 10 akastun daudela ikasi dugu. Bi piezaateratzen badira banaka eta aldi bakoitzean itzuli gabe, zenbatekoa da biakakastunak izateko probabilitatea?

P (biak akastunak) = P (1. pieza akastuna ∩ 2. pieza akastuna) =

P (1. pieza akastuna)× P (2. pieza akastuna / 1. pieza akastuna) =

14


10100

× 999

=90

9900= 0.009

Eta hiru pieza ateratzen badira, zenbatekoa da hiruruak akastunak izatekoprobabilitatea?

P (hirurak akastunak) = P (1. pieza akastuna ∩ 2. pieza akastuna ∩ 3. pieza akastuna) =

P (1. pieza akastuna)× P (2. pieza akastuna / 1. pieza akastuna)×

P (3. pieza akastuna / 1. eta 2. piezak akastunak) =

10100

× 999× 8

98= 0.000742

Ikusten denez, biderketak garatzeko orduan, orden kronolojikoa jarraitzenda: lehenengo pieza, bigarren pieza, hirugarren pieza.

Erauzketa problemak konbinatoriaz ere ebatz daitezke. Esaterako, aurrekoprobabilitatea honela ere kalkula daiteke:

P (hirurak akastunak) =

(103

)×

(900

)(

1003

)Emaitza berdina izango da noski.

2.3 Independentzia eta dependentzia

A eta B gertakizunak independenteak direla esango dugu baldin eta:

P (B) = P (B / A)

Bestela, dependenteak direla esango dugu.

Definiziotik erator daiteke bi gertakizun independenteak direla, batak besteariburuzko informaziorik ematen ez duenean, hau da, bata gertatu dela jakiteakbestearen probabilitatea aldatzen ez duenean.

Indepedentziaren ondorioa garrantzitsua da. Izan ere, A1, A2, A3, . . . ger-takizunak elkarrekiko independenteak badira:

P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . .) = P (A1)× P (A2)× P (A3)× . . .

Gertakizun independenteen adibideak dira hauek:

15


• Txanpon ezberdinetan suertatutako aldeak: alde bat aurpegikoa suer-tatzeak ez du esan nahi, bestean aurpegikoa eod gurutzekoa suertatzekoprobabilitate handiagoa dela.

• Urte ezberdinetako egunetako eguraldia: iazko maiatzaren 4ean euria egit-eak ez du esan nahi, aurtengoan euria egin edo ez egiteko probabilitateaaldatu behar denik.

• Elkar ezagutzen ez duten bi lagunek erosiko duten marka: batak A markaaukeratzeak ez digu deus informatzen besteak A marka edo beste bataukeratzeko probabilitateari buruz.

2.4 Erauzketak, dependentzia eta independentzia

100 piezako lote batean 10 akastun daudela dakigu. Bi pieza erauzten daitzulerarik gabe. Zenbatekoa da biak akastunak izateko probabilitatea?


P (1. pieza akastuna)×P (2. pieza akastuna / 1. pieza akastuna) =10100

× 999

Bigarren pieza akastuna izateko probabilitatea kalkulatzeko, kontuan hartzekoada lehenengo pieza akastuna dela: 99 piezetatik 9 izango dira akastunak. Be-raz, bi erauzketen artean dependentzia dago. Itzulerarik ez dagoenean (edobaliokideak diren baterako erauzketetan), erauzketen artean dependentzia dago.

Eta pieza bakoitza itzuli egiten bada, erauzi ondoren? Bigarren pieza akas-tuna izateko probabilitatea kalkulatzeko, ez da kontuan hartzekoa lehenengopiezaren izaera: akastuna edo akasgabea izanda, itzulia izan denez, beti izangodira 10 akastun 100 piezetan. Beraz, independentzia dago: probabilitatea ez daaldatzen iraganaren arabera, beti izango baita akastuna izateko probabilitatea10100 . Beraz,


P (1. pieza akastuna)× P (2. pieza akastuna) =10100

× 10100

Ohartarazi behar da erauzketak kopuru handietatik egiten direnean, depen-dentzia ahula dela: adibidez, aurreko adibideetan, bi emaitzak oso antzekoakdira. Dependentziaren ahultasuna dagoenean, independentzia dagoela pentsadaiteke, baina hau egoera bakoitzean aztertu behar da.

16


3 Probabilitate osotuaren teorema: zuhaitzarenestrategia

Ontzi batean 100 pieza daude eta horiatetik 10 akastunak dira. 2 pieza erauztenda itzulerarik gabe: zenbatekoa da 2. pieza akastuna izateko probabilitatea?

Burura etorriko zaizun lehenengo erantzuna hau izango da: lehenengo piezaarabera izango da probabilitate hori. Arabera motako erantzun bat azaltznedenean, probabilitatea kalkulatzeko probabilitate osotuaren teorema erabili be-har izaten da.

Horretarako, araberako guztien zerrenda egiten dugu eta horiekin zuhaitzbat osatzen da, adar bako itzeko probabilitatea zehaztuz. Ondoren, zuhaitzekoadar bakoitzean kalkulatu nahi dugun probabilitatearen adarra luzatzen dugu,betiere zein adarretan gauden kontuan hartuz. Zuhaitz osoa marraztudugula eta adar bakoitzean probabilitateak ezarri ditugula, adar barrukoprobabilitateak biderkatu eta adar ezberdinetarako probabilitate hauekbatu behar ditugu. Ikus dezagun:

Prozeduraren garapen analitikoa hau da (ETA ≡ ∩, EDO ≡ ∪):

P (2. pieza akastuna) =

P [ (1. pieza akastuna ETA 2. pieza akastuna)

EDO

(1. pieza akasgabea ETA 2. pieza akastuna) ] =

P [ (1. pieza akastuna ETA 2. pieza akastuna)

+

(1. pieza akasgabea ETA 2. pieza akastuna) ] =

P (1. pieza akastuna)× P (2. pieza akastuna / 1. pieza akastuna)

+

P (1. pieza akasgabea)× P (2. pieza akastuna / 1. pieza akasgabea) =

17


10100

× 999

+90100

× 1099

Orohar, prozedura honi probabilitate osoaren teorema deitzen zaio.

P (B) =∑

i

P (B ∩Ai) =∑

i

P (Ai)× P (B/Ai)

Ai delarik gertakizun sistema osotua: gerta daitezkeen gertakizun guztienmultzo bat. Adibidez, aurreko adibidean Ai = 1. pieza akastuna , 1. pieza akasgabeadugu.

4 Bayes-en teorema

Probabilitate teorian oso teorema garrantzitsua da. Teoreman oinarrituz gain-era, estatistika inferentzialaren adar edo ikuspegi oso bat garatu da: estatistikabayestarra. Teoremaren helburua jasotzen den informazioaren bitartez proba-bilitateak zehaztea da. Ikus dezagun adibide batez.

Gaisotasun bat diagnostikatzeko test bat erabiltzen da. Testa ez da perfektoaordea: orain arte jasotako datuen arabera, pertsona gaiso baten kasuan, testakbaiezkoa emateko probabilitatea 0,95 da. Pertsona gaisorik ez badago berriz,testak ezezkoa emateko probabilitatea 0,90 da. Orohar, pertsonen %1 gaisorikdagoela uste da. Lagun bati emandako testak baiezkoa eman badu, zenbatekoakdira gaisorik eta ez gaisorik izateko probabilitateak?

Bayes-en teoremaren erabilera onartzen duten ebazkizunetan adierazgarriedo informazio bat dugu beti oinarri: ebazkizun honetan adierazgarria testarenemaitza dugu.

Adierazgarri honetan oinarrituta, gertakizun bati buruzko probabilitateakaldatu egiten dira. Adibidez, hasiera batean gaisorik izateko probabilitatea0,01 da. Jakinda testak baiezkoa eman duela, gaisorik izateko probabilitateaaldatu edo zehaztu egin beharra da noski (pentsatzekoa da handiagoa izangoduela). Hasierako probabilitateei a priori edo aldez aurretiko probabilitateakdeitu ohi zaie. Adierazgarriaren ondorioz aldatzen diren probabilitateei, berriz,a posteriori edo ondorengo probabilitateak deitzen zaie.

Bayes-en toeremak dakarren probabilitate zehaztapena formula bat garatuzeman daiteke, baina garapena taula bidez egingo dugu:

1. Lehenengo zutabean zehaztu nahi dugun probabilitateari dagokion gertak-izuna ezartzen dugu, gerta daitezkeen beste gertakizunekin batera (prob-lemari dagokion gertakizun sistema osotu bat). Gue kasuan: pertsonagaisorik eta pertsona ez gaisorik jarriko dugu. Zutabe honi Ai izena jar-riko diogu.

18


2. Bigarren zutabean, aurreko zutabeko gertakizunei dagozkien a priori prob-abilitateak jarriko ditugu, inongo informaziorik gabe zehaztutakoak. Gurekasuan:

• P(laguna gaisorik)=0.01• P(laguna ez gaisorik)=0.99

Probabilitate hauek P (Ai) izendatuko ditugu. Probabilitate hauen batura1 izango da noski.

3. Hirugarren zutabea osatzeko, prozesuan jasotzen den informazioa zehaztubehar da. Gure kasuan, testak baiezkoa eman duela da jasotzen dugun in-formazioa, hasierako probabilitateak aldatzea ahalbideratuko diguna. In-formazio honi B deituko diogu. Zutabean P (B/Ai) probabilitateak emanbehar dira, Ai bakoitza gertatzen bada edo egia bada, B gertatzeko prob-abilitateak alegia. Probabilitate hauei egiantzak7 deituko diegu. Gureadibidean, pertsona gaisorik bada, testak baiezkoa emateko probabilitatea0.95 da. Pertsona gaisorik ez badago berriz, testak baiezko emateko prob-abilitatea 1-0.90=0.10 da.

4. Laugarren zutabean aurreko bi zutabeak biderkatzen dira. Zutabeko baturaere kalkulatu behar da.

5. Bostgarren eta azken zutabean, aurreko zutabeko balioak aurreko zutabekobaturaz zatitzen ditugu. Emaitzak P (Ai/B) probabilitateak izango dira,a posteriori probabilitateak edo jasotako B informazioan oinarrituz, ze-haztu ditugun Ai gertakizunen probabilitateak. Hauek dira helburu di-tugun probabilitateak eta hasieran bezala, probabilitate hauen batura 1izango da.

Aurreko puntuak garatuz sortzen den taula hau da:

Ai P (Ai) P (B/Ai) P (Ai)× P (B/Ai) P (Ai/B)pertsona gaisorik 0.01 0.95 0.0095 0.087

pertsona ez gaisorik 0.99 0.10 0.099 0.9131 0.1085 1

Ikusten denez, pertsona gaisorik izateko probabilitatea dexente igotzen datestak positibo eman duela jakin ondoren (%1etik %8ra pasatxo). Egia esan,irudi luke testak, hain fidagarria izanik, ziurtasun handiko maila bateraino igobeharko lukeela gaisorik izateko probabilitatea. Hau ez da horrela gertatzen:testaren informazioa kontuan hartu ondoren ere, gaisorik ez dagoela egin beharda apustu. Arrazoia hau da: a priori probabilitateek ere eragin handia dutela aposteriori probabilitateetan. Alegia, kasu honetan %1eko probabiltiate batetikabiatzen garela ere hartu behar da kontuan.

7Gazteleraz, verosimilitudes.

19


5 Ariketak: biderkaketak, zuhaitzak, Bayes-enteorema

I Zenbatekoa da hiru aldiz txanpon bat bota behar bada, hiruretan au-rpegiko suertatzeko probabilitatea?

II Inakik azterketa aprobatzeko probabilitatea 0.6 dela uste da. Josemarikkopiatu egin dio azterketan zehar. Beraz, Inakik aprobatzen badu, be-rak aprobatzeko probabilitatea 0.8 da. Zenbatekoa da biek aprobatzekoprobabilitatea? Eta biek suspenditzekoa?

III 100 unitate dituen lote batean 10 akasdun daude. Batera 2 unitate at-eratzen badira, zenbatekoa da unitate akasdun bat eta unitate akasgabebat ateratzeko probabilitatea? Probabilitateak biderkatuz egiteaz gain,konbinatoriaren eta Laplace-ren erregelaren bitartez ere egin ezazu.

IV 10000 laguneko herri batean, 1000 lagun XX alderdikoak dira. 6 lagunzoriz aukeraturik, zenbatekoa da 3 XX alderdikoak izateko probabilitatea?a) aukeratutako laguna multzotik banatzen bada b) banatzen ez bada.Zein kasutan dago dependentzia? Izatekotan, dependentzia ahula edo han-dia al da? Zergatik?

V Ikasgela batean, 40 mutil eta 60 neska daude. 3 ikasle zoriz aukeratzenbada, zenbatekoa da: a) lehendabiziko biak mutilak eta hirugarrena neskaizateko probabilitatea? b) hiru ikasleetan, bi mutil eta neska bat auker-atzeko probabilitatea? Zergatik da bigarren probabilitatea handiagoa?

VI Kaxa batean A, B eta C motako 5, 10 eta 15 pieza daude hurrenez hur-ren. Zenbatekoa da 3 pieza zoriz erauzi eta mota guztietatik pieza banasuertatzeko probabilitatea, a) piezak aldi bakoitzean itzultzen badira? b)piezak aldi bakoitzean itzultzen ez badira?

VII Lote bateko 10 artikuluetatik 3 dira akasdun. a) 5 artikulu zoriz erauztenbada, zenbatekoa da 3 akasdunak erauzteko probabilitatea? b) Akasdunguztiak atera arteko erauzketak egiten badira, zenbatekoa da 5 erauzketaegin behar izateko probabilitatea?

VIII Kaxa batean 4 pieza akastun eta 6 pieza akasgabe daude. Aldi berean3 pieza ateratzen badira, zenbatekoa da 2 pieza akastun baino gehiagogertatzeko probabilitatea?

IX Enpresa bateko erabakiak hartzeko 2 aukera daude, erabakiak gehiengozhartzen direlarik: lagun bakar batek hartzen du erabakia, erabaki zuzenahartzeko duen probabilitatea 0,8 delarik, edota 3 laguneko batzarre batekhartzen du erabakia, mahaikideek erabaki zuzena hartzeko probabilitateak0.8, 0.75 eta 0.7 direla, hurrenez hurren. Zein aukera hartu behar da?

20


X Ontzi batean 4 pieza akastun eta 6 pieza kasgabe daude. 3 pieza ater-atzen dira banan banan eta itzuli gabe. Zenbatekoa da bigarren piezaakastuna izateko probabilitatea? Eta hirugarren pieza akastuna izatekoprobabilitatea? Idem aldi bakoitzean pieza itzultzen bada.

21


XI X, Y, Z eta T jokalariak txapelketa bateko erdifinaletan daude. Enpare-jamendurako zozketa egiteke dago. Elkarrekin jokatuz gero errenkadandagoen jokalariak irabazteko probabilitateak azaltzen dira jarraian:

Taldeak X Y Z TX - 0.6 0.4 0.7Y - 0.5 0.9Z - 0.2T -

Zenbatekoa da talde bakoitzak irabazteko probabilitatea?

XII A akzio bat egun batean igotzeko probabilitatea B akzioaren bezperakokotizazio aldaketaren menpe dago. B akzioaren kotizazio posibleak egunbatean -2, -1, 0, +1 eta +2 dira probabilitate hauen arabera: 0.1, 0.2, 0.3eta 0.4 hurrenez hurren. A akzioa igotzeko probabilitatea honela kalku-latzen da: P (igo) = 0.4− B akzioaren igoera

10 . Zenbatekoa da A akzioa egunbatean igotzeko probabilitatea, B akzioaren bezperako emaitza ezagutzenez dugula?

XIII Lantegi batean A eta B makinetatik pieza guztien %40 eta %60 ateratzendira hurrenez hurren. A makinako piezen %20 dira akastun. B makinakopiezetan, %5 da akastun. Pieza bat akastuna bada, zenbatekoa da Amakinakoa izateko probabilitatea?

XIV Tresna batek ekoizten dituen torlojuen %96a akatsik gabea da. Torlojuaksaldu aurretik, akatsak hatzematen dituen beste tresna batek aztertzenditu. Bigarren tresna honek 0.05 probabilitateaz onartzen ditu torlojuakasdunak. Torloju akatsik gabeak berriz, 0.99 probabilitateaz onartzenditu. Bigarren tresna honek torloju bat bi aldiz aztertu ondoren, onartuegiten du. Zenbatekoa da torloju hau benetan akatsik gabea izateko prob-abilitatea?

XV Makina batek bi matxura mota izaten ditu. A motako matxura 0,2koprobabilitateaz gertatzen da. B motakoa, berriz, 0,05eko probabilitateaz.Matxurarik gabe makinak ekoizten dituen pieza guztiak akasgabeak dira.A motako matxura badu, 0,2ko probabilitateaz azaltzen dira akasdunaketa B motako matxura badu, 0,8ko probabilitateaz. Piezak independentekiekoizten dira. 5 pieza ekoiztu da eta azkenekoa bakarrik da akasduna.Informazio honetan oinarrituta, bi matxuren probabilitatea eman itzazu.

XVI Test bateko galdera batean hiru aukera daude. Ikasleak ez badaki, zorizerantzuten du, hau da, erantzun zuzena asmatzeko probabilitatea 1/3da.Irakaslea oso mesfikorra da: aldez aurretik ikasle batek ez jakitekoprobabilitatea 0,99 dela pentsatzen du. Zenbatekoa da ikasle batek zuzen

22


erantzun ondoren erantzuna benetan jakiteko probabilitatea? Zenbat auk-era jarri behar dira galdera bakoitzean, erantzuna zuzena izan bada, er-antzuna benetan ezagutzeko probabilitatea 0,5 izan dadin?

23

De alearum calculi (II) - UPV/EHU · 5 Ariketak : biderkaketak ... Estatistika I Josemari Sarasola...

Documents

Transcript of De alearum calculi (II) - UPV/EHU · 5 Ariketak : biderkaketak ... Estatistika I Josemari Sarasola...