I.E.T.I. COMUNA 17 AREA MATEMÁTICAS

RAZONES Y PROPORCIONES

Docente: Esmeralda Bocanegra

Grado Séptimo

IVPERIODO

Actividad.

1.- Suponga que en un curso hay 13 hombres y 25 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y

mujeres del curso es se lee “13 es a 25”

2.- En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas

es , se lee “7 es a 5”

De acuerdo a los anteriores enunciados, responde:

¿Qué entiendes por razón?

¿Las razones son lo mismo que las fracciones?

Razón

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables

entre sí, expresado como fracción.

Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente .

El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.

También se puede representar a : b o a÷ b, se lee la razón de a a b, a es a b

Diferencia entre razón y fracción

La razón en los lados de un rectángulo de 5 cm de altura y 10 cm de base

es:

No hay que confundir razón con fracción.

Si es una fracción, entonces a y b son números enteros con b≠0,

mientras que en la razón los números a y b pueden ser decimales.

Propiedades de las razones

Como vemos en los ejemplos, debido a que la razón de dos cantidades se puede expresar como una división indicada o una fracción, las propiedades de las razones serán las propiedades de las fracciones.

1) Si el antecedente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2) Si el consecuente (equivale al denominador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda divida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3) Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

De acuerdo con estas propiedades, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, etcétera.

Por ejemplo, para reducir la razón 15 : 20 a los términos de menor valor se escribe la razón como una fracción y luego se procede como éstas.

Entonces, 15 : 20 se transforma en

Y se lee 15 es a 20 como 3 es a 4.

Por tanto, la razón de 15:20 es la misma que la razón de 3:4.

Razón inversa

Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15.

Cuando los términos de una razón se intercambian resulta una razón inversa.

Practicar con razones

Escriba las siguientes razones como una fracción y reduzca a los términos de menor valor.

1.- La razón de 5 kg a 15 kg

2.- $ 16 : $12

3.- 16 ÷ 4

4.- 1 mililitro a 1 centilitro

5.- 5x a 10x

6.-

Escriba la inversa de las siguientes razones:

7.- La razón de 6m a 18 m

8.-

9.- 5 : 8

10.- 15 a 21

11. Hallar la razón de:

a) 60 y 12

b)

c) 5:6 y 3:5

d) 3/8 y 0,02

12. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años.

13. Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.

14. Cite tres pares de números cuya razón sea . 15. Cite tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.

16. La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿Cuál es el mayor? 17. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor.

18. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor?

Proporción

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Se simboliza 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 , también a:b :: c:d, y se lee a es a b como c es a d.

Constante de proporcionalidad

Teorema fundamental de las proporciones

Si 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 se cumple que 𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐

En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los

extremos.

La proporción podrá escribirse en tres formas diferentes:

15 : 20 : : 3 : 4

15 : 20 = 3 : 4

Las dos últimas formas son las más comunes. Todas estas formas se leen "15 es a 20 como 3 es a 4", En otras palabras, 15 tiene la misma relación con 20 que 3 la tiene con 4.

c

Un aspecto de la extrema importancia de las proporciones es que si se dan tres términos el cuarto podrá determinarse resolviendo una simple ecuación.

Es evidente, de la observación de la última forma, , que una proporción es una ecuación fraccionaria. Por tanto, todas las reglas para las ecuaciones fraccionarias (en Q) se aplican aquí.

Propiedades de las proporciones

1. Si 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 se cumple que

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏 y

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑐

𝑑

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los

antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera

de las razones.

2.

Si 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 entonces

𝑎

𝑐=

𝑏

𝑑 y Si

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 entonces

𝑏

𝑎=

𝑑

𝑐

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción

no varía.

Cuarta proporcional

Es uno cualquiera de los términos de una proporción.

Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos

términos.

Media proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales . Para

calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz

cuadrada del producto de los extremos.

Tercera proporcional

En una proporción continua , se denomina tercero proporcional a cada uno

de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales,

dividido por el término desigual.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Razon.html http://www.vitutor.com/di/p/a_2.html

“La derrota no es el peor de los fracasos. No intentarlo es el verdadero fracaso”

EJERCICIOS I PARTE Taller 1 (Puntos 1-4)

1. Simboliza las siguientes razones:

a. De 2 a 4 b. De 9 a 8

c. De 1 a 1,5 d. De 5 a 20

2. Escribe una razón igual a la razón: a. De 100 a 10 b. De 5 a 20

c. De 3 a 5 d. De 2,5 a 2

3. Completa la proporciones:

a. 5

9=

18

b. 4

16=

44

c. 5

= 20

24

d. 23

= 14

13

e. 1.5

9=

9

f. 28

= 140

g. 4

5=

7.2

h. 35

= 77

i. 25

= 100

j. 1.5

6=

30

k. 12

10=

11

l. 2

3=

15=

21

m. 2

=3

9=

4

4. Responde: a. Si la razón entre dos números es

igual a 2, ¿Cuántas veces es mayor uno de los números que el otro?

b. Si la razón de a a b es mayor que 1. ¿Cuál de los dos es mayor a o b?

c. Si la razón de a a b es igual 1. ¿Cómo son los números?.

Taller 1B (5-19)

5. En un curso de 30 estudiantes hay 18

mujeres y en otro curso de 36 estudiantes hay 20 mujeres. ¿Es igual en los cursos la razón del número de mujeres al número de hombres?

6. En un hospital la razón del número de camas al número de habitaciones es del triple. ¿Cuántas habitaciones hay si el número de camas es de 531?

7. De acuerdo al ejercicio anterior ¿Cuál es la razón del número de habitaciones al número de camas?

8. En un juego de cartas, la razón del número de cartas al número.

9. participantes es de 15 : 3. ¿Cuántas

cartas corresponderían a cada participante?

10. Se preparan 50 ml de una solución al mezclar de 10 ml de vinagre con agua. a. ¿Cuál es la razón entre la

cantidad de agua y la cantidad de vinagre?

b. Si se quiere preparar una solución con 200 ml de agua, ¿Qué cantidad de vinagre se debe utilizar?

11. Encuentra el valor de n en cada una de las siguientes proporciones

a. 1500

2=

𝑛

10 b.

8

𝑛=

10

15 c.

50

𝑛=

25

4 d.

4

5=

𝑛

100 e.

𝑛

3=

2

7

12.

13. En una excursión porcada29 pasajes vendidos, la compañía de turismo obsequia dos pasajes. ¿Cuántas personas como mínimo debieron ir a la excursión si el grupo recibió 6 pasajes de cortesía?

14. Cecilia camina 17 Km en 4 ¼ horas, ¿Cuánto podría caminar en 6 horas al mismo ritmo?

15. La persona encargada de la cocina de un hotel sabe que para preparar 140 porciones de sopa, necesita 35 libras

de espinacas. ¿Cuántas libras de espinaca necesitaría para preparar 25 porciones?

16. Si 5

15=

14

𝑥, cuál es la razón de x a 15?

17. Para preparar una solución, se vierten 25 ml de ácido sulfúrico en 10 ml de agua. ¿Qué cantidad de agua se requiere para preparar una solución con las mismas características si se dispone de 30 ml de ácido sulfúrico?

17.

18.

19.

MAGNITUD: Una magnitud es una cualidad a la cual se puede asignar medida. PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Dos magnitudes están en correlación directa, o están directamente correlacionadas, cuando al aumentar una de ellas la otra también aumenta o al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Dos magnitudes están en proporción directa, o son directamente proporcionales, si además de estar directamente correlacionadas, la razón de la medida de una de ellas a la respectiva medida de la otra es siempre la misma. PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Dos magnitudes están en correlación inversa, o están inversamente correlacionadas, cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye. Dos magnitudes están en proporción inversa, o son inversamente proporcionales, si además de estar inversamente correlacionadas, el producto de cada medida de una magnitud por la respectiva medida de la otra es siempre el mismo.

EJERCICIOS II PARTE 19.

20. 21.

22. Justifica por qué el dinero a pagar por un producto y el peso de dicho producto son directamente proporcionales.

23. 24.

31. En una fábrica se midió el tiempo en producir 1000 artículos cuando se utiliza diferente número de máquinas. Los datos obtenidos fueron:

Número de máquinas 1 2 3 4 5

Tiempo de producción (horas) 18 15 12 9 6

Determina si hay correlación inversa, proporcionalidad inversa o ninguna. 32. Un automóvil se desplaza 60 km/h desde una ciudad A hasta una ciudad B que dista 300 km. La tabla muestra la distancia que los separa de la ciudad B en cada hora que ha transcurrido. Determina si hay correlación inversa, proporcionalidad inversa o ninguna.

Tiempo (horas) 1 2 3 4

Distancia a B ( km) 240 180 120 60

33. La tabla muestra la velocidad de un automóvil y el tiempo que tarda cada rueda en dar una vuelta. Determina si hay correlación inversa, proporcionalidad inversa o ninguna.

Velocidad (km/h) 20 30 45 60

Tiempo – vueltas(s) 0.45 0.3 0.2 0.15

Matemática en Construcción 7 Oxford University Press