Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido … · 2017-10-19 · Resumen y...

$: Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido … · 2017-10-19 · Resumen y Abstract VII Resumen Cuando se perfora una formación se genera una redistribución$
Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a

esfuerzos inducidos por producción de fluidos

Ximena Alejandra Rodríguez Flórez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Procesos y Energía

Medellín, Colombia

2017

Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a

esfuerzos inducidos por producción de fluidos

Ximena Alejandra Rodríguez Flórez

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería - Ingeniería de Petróleos

Director:

Ph.D. José Gildardo Osorio Gallego

Línea de Investigación:

Daño geomecánico

Grupo de Investigación:

Grupo de Investigación en Geomecánica Aplicada - GIGA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de Procesos y Energía

Medellín, Colombia

2017

IV Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a esfuerzos inducidos por producción

de fluidos

“En tu luz aprendo cómo amar. En tu

belleza cómo hacer poemas. Bailas dentro

de mi pecho, donde nadie te ve, pero a

veces yo lo hago… y esa luz se convierte

en este arte.”

-Rumi-.

http://lifeder.com/frases-rumi/

Agradecimientos

Gracias a mis padres por ser mi ejemplo de vida.

Gracias a mis hermanos, sobrinos, tías y primos por su amor, apoyo y ánimo

incondicional.

Gracias a mis viejos amigos (Glo, Kathica, Camilín...) por su cariño y por

recordarme siempre de lo que soy capaz... Y a mis nuevos amigos (Ele, “los

petroleros”, la familia scout, los de la oficina, los del club de lectura..) gracias por

acompañarme en esta aventura. Especialmente, gracias a ti, Felipe Acevedo, por

sufrir y reír conmigo cada línea del código.

Gracias a ti, Juan Pablo Moreno Cárdenas, por tu cordialidad, apoyo, ayuda y

tiempo en cada una de las dudas (“dudas locas”- como yo le llamaba-), que me

ayudaste a resolver.

Gracias a ti, profesor José Gildardo Osorio. Sé que este tipo de “formalismos” no

son necesarios, pero no podía dejar pasar la oportunidad de agradecer su apoyo

incondicional en mi crecimiento profesional. Gracias por enseñarme a entender que

el sentido de la profesión no está en resolver una duda, sino en despertar la mente

para dejar que las dudas la invadan.

A ti Lion, gracias! Porque bajo todas las circunstancias vividas, siempre me diste y

me ayudaste a encontrar la razón más importante para seguir este camino.

Gracias Dios… “Cuando la gratitud es tan absoluta, sobran las palabras”, -Álvaro Mutis-

Mena Rf.

Resumen y Abstract VII

Resumen

Cuando se perfora una formación se genera una redistribución de esfuerzos en los alrededores

del pozo lo que puede inducir disminución en la permeabilidad (daño geomecánico - DG)

particularmente en sistemas naturalmente fracturados. Esto ha despertado interés en la

industria y ha permitido el desarrollo de múltiples técnicas de caracterización estática de las

fracturas naturales, así como su deformabilidad con el estado de esfuerzos (caracterización

dinámica). Por otro lado, los estudios acerca de la deformabilidad de las fracturas con

esfuerzos han sido, en muchos casos, limitados y asumidos en escenarios ideales que no

representan las condiciones in-situ del pozo. Si se desea mitigar el daño geomecánico debido

a esfuerzos inducidos por producción de fluidos es necesario entender la variabilidad espacial

y temporal de la permeabilidad de las fracturas naturales en función de la deformabilidad de la

fractura con los esfuerzos a condiciones in-situ.

Este estudio desarrolla un modelo analítico que acopla los atributos estáticos de las fracturas

naturales, las propiedades geomecánicas de la roca, los esfuerzos en los alrededores del pozo

y los esfuerzos normal y de cizalla al plano de fractura, en modelos de permeabilidad de las

fracturas naturales. La aplicación de modelos de permeabilidad en función del esfuerzo

efectivo normal al plano de fractura evidencia variaciones considerables de la permeabilidad

de la fractura en los alrededores del pozo, especialmente en la dirección del esfuerzo horizontal

mínimo porque es perpendicular al esfuerzo horizontal máximo. La apertura y la frecuencia de

la fractura, la orientación del plano de fractura, la orientación del esfuerzo horizontal máximo y

del esfuerzo horizontal mínimo, la tasa de flujo, y la posición tangencial del pozo son

propiedades que tienen alta influencia sobre el comportamiento de la permeabilidad de las

fracturas. Por su parte, propiedades de la roca, como la relación de Poisson, no tienen un

impacto a destacar sobre las variaciones de la permeabilidad de las fracturas.

Palabras clave: fracturas naturales, modelos de permeabilidad de fractura, daño

geomecánico, estado de esfuerzos in-situ, atributos estáticos, modelo geomecánico, esfuerzos

en los alrededores del pozo.

VIII Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a esfuerzos inducidos por producción

de fluidos

Abstract

When a formation is drilled a redistribution of the stress around the wellbore is generated,

maybe triggering a decrease in the permeability (Geomechanical Damage –GD), particularly in

natural fractured systems. This has catched the attention to the industry and it has lead the

development of several techniques of static characterization as well as its deformability with the

stress state (dynamic characterization). On the other hand, studies on the deformability of

fractures with stresses have been, in many cases, limited and performed made under ideal

conditions that do not represent the in-situ state of the well. In order to mitigate the

geomechanical damage is necessary to understand the spatial and temporal variability of the

permeability of the natural fractures as function of the deformability of fractures with stresses at

in-situ conditions.

This study develops an analytical model that couples the static attributes of natural fractures,

the rock geomechanical properties, the stresses around the wellbore and the normal and shear

stresses to fracture plane, with natural fractures permeability models. The application of the

permeability models as function of effective stress normal to the fracture plane shows

considerable variations in fracture's permeability in the near-wellbore region, especially in the

direction of the minimum horizontal stress because it is perpendicular to the maximum

horizontal stress. The fracture's width and frequency, the orientation of the fracture's plane, the

orientation of the maximum and minimum horizontal stress, the flow rate and the tangential

position are all properties that highly influence the behavior of the fracture's permeability. On

the other hand, rock properties like the Poisson´s ratio, do not significantly impact the variations

of the permeability of the fractures.

Keywords: natural fractures, permeability fracture models, geomechanical damage, in-situ

stress state, static attributes, geomechanical model, stresses around the well.

Contenido

Pág.

1. Estado del arte........................................................................................................ 15 1.1 Daño de formación de tipo geomecánico ......................................................... 15 1.2 Caracterización estática de fracturas naturales ................................................ 20 1.3 Modelos de permeabilidad ............................................................................... 25

2. Marco teórico .......................................................................................................... 33 2.1 Caracterización de fracturas naturales (FN) ..................................................... 33

2.1.1 Fuentes de información para caracterizar FN ................................................ 34 2.1.2 Atributos de las FN ........................................................................................ 37 2.1.3 Propiedades petrofísicas de las FN ............................................................... 43 2.1.4 Clasificación de los yacimientos naturalmente fracturados ............................................................................................................... 45

2.2 Modelo geomecánico ....................................................................................... 46 2.2.1 Cálculo de esfuerzos principales ................................................................... 47 2.2.2 Cálculo esfuerzos principales luego de perforar el pozo ..................................................................................................................... 60 2.2.3 Cálculo de propiedades elásticas de la roca .................................................. 62 2.2.4 Cálculo de propiedades de resistencia de la roca .......................................... 66 2.2.5 Cálculo presión de poro ................................................................................. 68

2.3 Esfuerzos en los alrededores del pozo ............................................................. 72 2.3.1 Esfuerzos vírgenes o “superceros” ................................................................ 76

2.4 Esfuerzos normal y de cizalla sobre el plano .................................................... 79 2.5 Modelos de permeabilidad ............................................................................... 82

2.5.1 Modelos de apertura de fractura .................................................................... 82 2.5.2 Modelos de permeabilidad de fractura en función de esfuerzos efectivos .............................................................................................. 88 2.5.3 Modelos de permeabilidad de fractura en función de la apertura de fractura ......................................................................................... 94

2.6 Presión de poro ................................................................................................ 97

3. Arquitectura del modelo ...................................................................................... 101 3.1 Modelo conceptual ..........................................................................................101 3.2 Arquitectura del modelo...................................................................................102

3.2.1 Creación de datos de la malla: ..................................................................... 104 3.2.2 Clasificación de nodos de la malla: .............................................................. 104 3.2.3 Cálculo de permeabilidad: ........................................................................... 105 3.2.4 Cálculo de la presión de poro: ..................................................................... 106 3.2.5 Cálculo porcentaje de error y tolerancia: ...................................................... 106

2 Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a esfuerzos

inducidos por producción de fluidos

4. Análisis de Resultados ........................................................................................ 107

4.1 Resultados caso base ..................................................................................... 108 4.1.1 Impacto del esfuerzo normal efectivo sobre la permeabilidad de las fracturas ............................................................................... 109 4.1.2 Impacto de la apertura de las fracturas sobre la permeabilidad de las fracturas ............................................................................... 114 4.1.3 Impacto de la orientación del plano de fractura sobre la permeabilidad de las fracturas .................................................................. 118 4.1.4 Impacto de la tasa de flujo sobre la permeabilidad de las fracturas ...................................................................................................... 120

4.2 Análisis de sensibilidad ................................................................................... 121

5. Conclusiones y recomendaciones ..................................................................... 125 5.1 Conclusiones .................................................................................................. 125 5.2 Recomendaciones y retos ............................................................................... 127

Lista de figuras

Pág.

Figura 2.2-1: Representación esquemática del concepto de

esfuerzo..................................................................................................................................... 47

Figura 2.2- 2: Clasificación Andersiana del régimen de esfuerzos. ......................................... 48

Figura 2.2-3: Esquema del esfuerzo vertical o presión del

overburden debido al peso de los sedimentos. ........................................................................ 49

Figura 2.2-4: Registro de densidad con perfil de corrección

de Miller. .................................................................................................................................... 51

Figura 2.2-5: A-Montaje de la prueba LOT y XLOT; B-Interpretación

gráfica de la respuesta de la presión apertura, propagación y cierre

de una fractura hidráulica (análisis LOT). ................................................................................. 52

Figura 2.2-6: Representación gráfica de una prueba XLOT. ................................................... 54

Figura 2.2-7: Representación gráfica de la teoría friccional:

A- Estado de esfuerzos en equilibrio; B- Pocas fracturas están

orientadas favorablemente para su reactivación; C- Varios sets de

fracturas se encuentran orientados favorablemente para su

reactivación. .............................................................................................................................. 57

Figura 2.2-8: A- Representación gráfica del polígono de esfuerzos;

B- Representación gráfica del polígono de esfuerzos bajo condiciones

de una presión de poro alta. ..................................................................................................... 58

3

Figura 2.2-9: Sistema físico de un breakout (falla por cizalla). ................................................. 59

Figura 2.2-10: Interpretación de un registro de imagen: la falla por

cizalla relacionada a la dirección de 𝑆ℎ y la falla inducida relacionada

a la dirección de 𝑆𝐻.. ................................................................................................................. 59

Figura 2.2-11: Variaciones de los esfuerzos principales en la cercanía

del pozo. .................................................................................................................................... 61

Figura 2.2-12: Relación lineal entre la carga aplicada y la deformación. ................................. 62

Figura 2.2-13: Representación gráfica de la deformación lateral y axial

de una muestra sometida a una carga ...................................................................................... 63

Figura 2.2-14: Representación gráfica de la trayectoria de las ondas

compresionales y de cizalladura. .............................................................................................. 63

Figura 2.2-15: Ejemplo del perfil dinámico de la relación de Poisson y

el módulo de Young dinámico y corregido con datos estáticos. ............................................... 65

Figura 2.2-16: Representación esquemática de la definición de presión

normal, sobrepresión y subpresión. .......................................................................................... 69

Figura 2.2-17: Representación gráfica del método de profundidades

equivalentes para el cálculo de la presión de poro. .................................................................. 70

Figura 2.2-18: Representación gráfica de la correlación de Eaton para

el cálculo de la presión de poro. ................................................................................................ 71

Figura 2.2-19: Perfil de presión de poro de la formación Vaca Muerta

en Argentina. ............................................................................................................................. 72

Figura 2.3-1: Estado de esfuerzos antes de perforar el pozo. .................................................. 73

Figura 2.3-2: Estado de esfuerzos al perforar el pozo y reemplazar

el material rocoso por fluido de perforación. ............................................................................. 73

Figura 2.3-3: A- Sección de un modelo cilíndrico de un pozo perforado;

B- esfuerzos sobre un elemento de la pared del pozo. ............................................................ 73

Figura 2.3-4: Ilustración distancia radial, distancia tangencial y radio

del pozo. .................................................................................................................................... 79

Figura 2.4-1: Esfuerzos normal y de cizalla actuando sobre un

plano de fractura. ....................................................................................................................... 80

Figura 2.4- 2: Componentes 𝑆𝑇𝑋, 𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍 del vector de esfuerzos

𝑆𝑇 que actúa sobre la superficie. .............................................................................................. 81

Figura 2.5-1: Efecto de la presión de confinamiento neta sobre la

capacidad de flujo de la fractura. .............................................................................................. 83

Figura 2.5-2: Modelo constitutivo del comportamiento de la apertura

de fractura bajo condiciones de esfuerzo normal compresivo. ................................................. 84

Figura 2.5-3: Variación de la permeabilidad en función de los

esfuerzos efectivos. ................................................................................................................... 89

Figura 2.5-4: Deformabilidad de una fractura en función de esfuerzos

efectivos: estado inicial, estado actual y cierre de la fractura. .................................................. 90



Figura 2.5-5: Comparación modelo experimental y teórico de las

variaciones de permeabilidad en función de esfuerzos efectivos. ........................................... 92

Figura 2.5-6: Permeabilidad normalizada vs esfuerzos. .......................................................... 93

Figura 2.5-7: Comportamiento no lineal de la apertura de las

fracturas bajo esfuerzos normales. ........................................................................................... 95

Figura 2.5-8: Variaciones de 𝐾𝑓 del modelo Barton-Bandis y

otros, para 𝑆´𝑛 > 0. ................................................................................................................. 97

Figura 2.6-1: Esquema representativo de las variaciones de

permeabilidad promedio y presión de poro a un radio y una

profundidad fija. ....................................................................................................................... 100

Figura 2.6- 2: Esquema representativo del caudal total (𝑄)

del sistema y de la porción de caudal (𝑄´) asociada a

cada profundidad. ................................................................................................................... 100

Figura 3-1: Modelo conceptual para un diagnóstico del daño

geomecánico por cierre de fracturas. ..................................................................................... 102

Figura 3-2: Diagrama de flujo del modelo analítico para el

diagnóstico del daño geomecánico por cierre de fracturas. ................................................... 103

Figura 3-3: Ilustración del diseño de la malla en tres dimensiones:

dirección radial (𝑟𝑖), dirección tangencial (𝜑𝑗) y dirección axial (𝑧𝑘). ..................................... 104

Figura 4-1: Variaciones de permeabilidad del plano de fractura,

en coordenadas cartesianas - modelo Buchsteiner y otros. .................................................. 110

Figura 4-2: Variaciones de permeabilidad de fractura en función

de la distancia radial y la distancia tangencial en coordenadas de

pozo, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡], - modelo Buchsteiner y otros...................................................... 111

Figura 4-3: Variaciones de la permeabilidad de fractura en función

del esfuerzo efectivo normal al plano de fractura a una profundidad

fija (𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]) - modelo Buchsteiner y otros. ................................................................ 112

Figura 4-4: Relación 𝑆´𝑛𝑆 ∗ vs 𝐾𝑓𝐶ℎ𝑒𝑛𝐾𝑓0, para

𝑧𝑘 = −345,−349, −353,−357,−361 [𝑓𝑡], – modelo Chen y otros. ....................................... 113


de la posición tangencial para diferentes radios y a una profundidad

fija (𝑧𝑘 = −353) - modelo Buchsteiner y otros. ....................................................................... 114

Figura 4-6: Variaciones de permeabilidad de fractura en coordenadas

cartesianas –modelo Barton-Bandis y otros. .......................................................................... 115


de la distancia radial y la posición tangencial del pozo, para

𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡], - modelo Barton-Bandis y otros. ................................................................... 116

Figura 4-8: Relación permeabilidad de fractura y apertura de

fractura utilizando permeabilidad de fractura del modelo Bok y

5

otros, con apertura de fractura de Barton-Bandis y otros,

para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]. ............................................................................................................... 117

Figura 4-9: Variaciones de apertura de fractura en función de

la distancia radial y tangencial, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡] – modelo

Barton-Bandis y otros. ............................................................................................................. 117

Figura 4-10: Relación 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 vs 𝑆´𝑛, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]. ................................................ 118

Figura 4-11: Esquema representativo, sobre los resultados del

caso base, de una fractura vertical orientada en la dirección

de 𝑆ℎ y de 𝑆𝐻, - modelo Buchsteiner y otros. ......................................................................... 119

Figura 4-12: Variaciones de la permeabilidad de fractura en

función de la orientación del plano de fractura en la dirección

de 𝑆ℎ y 𝑆𝐻, para 𝑧𝑘 = −355 [𝑓𝑡] - modelo Buchsteiner y otros. ............................................ 120

Figura 4-13: Variaciones de la permeabilidad de fractura en

función de la tasa de flujo, para 𝑧𝑘 = −352 𝑓𝑡 y 𝜑𝑗 = 45 [°].

- modelo Buchsteiner y otros. .................................................................................................. 121

Figura 4-14: porcentaje de cambio de la apertura de fractura

en función de la caída de presión - modelo de Lamb. ............................................................ 122

Figura 4-15: porcentaje de cambio de la apertura de fractura

en función de la relación de Poisson, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]-

modelo de Rong y otros. ......................................................................................................... 122

Figura 4- 16: porcentaje de cambio de la permeabilidad de

fractura en función de 𝑆´𝑛 , para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de

Buchsteiner y otros. ................................................................................................................. 123

Figura 4-17: porcentaje de cambio de la permeabilidad de

fractura en función de 𝑆´𝑛 , para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de

Chen y otros. ........................................................................................................................... 123

Figura 4-18: porcentaje de cambio de la permeabilidad de

fractura en función de la frecuencia de la fractura, para

𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de Bok y otros, con apertura de

Barton-Bandis y otros. ............................................................................................................. 124

Figura 5-1: Ilustración de pseudo-segmentos verticales a lo

largo de un pozo inclinado....................................................................................................... 128

Figura A1-1: Ilustración datos de salida subrutina 1 -componentes de la dirección radial,

tangencial y axial, respectivamente-. ...................................................................................... 135

Figura A1-2: Ilustración datos de salida subrutina 1 –puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗, 𝑧𝑘) de la malla -. ......... 136

Figura A1-3: Vista en planta del pozo. Relación ejes coordenadas cartesianas con la distancia

radial de la malla...................................................................................................................... 137

Figura A1-4: Vista en planta del pozo. Relación ejes coordenadas cartesianas con la distancia

tangencial. ............................................................................................................................... 138

Figura A1-5: Eje axial del pozo corresponde al eje zeta del sistema de coordenadas

cilíndricas y del sistema de coordenadas cartesianas. ........................................................... 138

Figura A1-6: Vista en planta de los ejes del sistema cilíndrico (𝑟, 𝜑) vs los ejes del sistema

cartesiano (𝑋, 𝑌). ...................................................................................................................... 139



Figura A1-7: Relación geométrica entre el sistema de coordenadas cartesianas y el sistema

de coordenadas cilíndricas. .................................................................................................... 140

Figura A1-8: Registro de imagen UBI, pozo XR1. .................................................................. 142

Figura A1-9: Ilustración datos de salida subrutina 3 – componentes 𝐴,𝐵, 𝐶 y 𝐷 del plano de

fractura-. .................................................................................................................................. 142

Figura A1-10: Representación gráfica de la distancia vertical entre la profundidad 𝑧𝑘, de un

punto cualquiera de la malla, y la profundidad del plano de fractura. .................................... 143

Figura A1-11: Ilustración datos de salida subrutina 4 - nodos asociados a propiedades de

matriz y de fractura, para 𝑧𝑘 = 0 𝑦 𝑧𝑘 = −353 -. .................................................................... 144

Figura A1-12: Ilustración datos de salida subrutina 5 – componentes del vector normal

unitario-. .................................................................................................................................. 146

Figura A1-13: Posicionamiento del ángulo 𝜃 en función del cuadrante I y cuadrante II de la

dirección del esfuerzo horizontal máximo. ............................................................................. 149

Figura A1-14: Posicionamiento del ángulo 𝜃 en función del cuadrante III y cuadrante IV de la

dirección del esfuerzo horizontal máximo. ............................................................................. 149

Figura A1-15: Esquema representativo de la permeabilidad promedio para todo el sistema

(𝑟𝑖,𝑗, 𝑧𝑘) de la malla. ............................................................................................................. 155

Lista de tablas

Pág.

Tabla 2.2-1: Clasificación Andersiana del régimen

de esfuerzos. ............................................................................................................................. 48

Tabla 2.2-2: Correlaciones propiedades elásticas en

función de dos de variables elásticas. ...................................................................................... 65

Tabla 3-1: Datos de entrada en Python, del caso base. ........................................................ 107

Tabla A1-1: Variables declaradas en la programación

orientada a objetos.................................................................................................................. 131

Tabla A1-2: Variables implementadas en la generación

de la malla - coordenadas cilíndricas. .................................................................................... 132

7

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad

𝑎𝑧 Azimut del pozo [°] 𝑎𝑧𝑆𝐻

Azimut del esfuerzo máximo

𝐴 Sección transversal de la muestra [𝑓𝑡2] 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Constantes ecuación del plano de fractura 𝐴𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 Constante modelo Bowers

𝐴𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 Parámetro de ajuste

𝐴𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 Constante correlación Gardner

𝐴𝑅𝑜𝑛𝑔 Constante modelo de Rong y otros

𝑏 Espaciamiento de fractura [𝑓𝑡] 𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑓𝑚 Profundidad de la base de la formación [𝑓𝑡] 𝑏𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 Constante de apertura de la superficie de la

fractura (Buchsteiner).

𝐵 Coeficiente volumétrico del petróleo

𝐵𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 Constante modelo Bowers

𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 Factor conductividad/porosidad [𝑚𝑑1/3]

𝐵𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 Constante correlación Gardner

𝐵𝑅𝑜𝑛𝑔 Constante modelo de Rong y otros

𝐶𝑜 Cohesión [𝑝𝑠𝑖] 𝑐𝑓 Compresibilidad de la fractura [ 𝑝𝑠𝑖−1]

𝑑 Amplitud de la fractura [𝑓𝑡] 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 Número de nodos más 1 en la dirección radial [𝑓𝑡] 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑝ℎ𝑖 Número de nodos más 1 en la dirección

tangencial [𝑓𝑡]

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 Número de nodos más 1 en la dirección axial [𝑓𝑡] 𝐷𝑇 Tiempo de viaje de la onda del registro sónico [µs/ft] 𝐷𝑇𝑚𝑙 Tiempo de viaje del sónico en la línea de lodo [µs/ft] 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟_𝑓𝑚 Diferencia entre la base y el tope de la

formación de interés [𝑓𝑡]

𝐸 Módulo de Young [𝑝𝑠𝑖] 𝐸𝑡 Constante de ecuación de Eaton

𝑓 Frecuencia de fracturas [# 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠/𝑓𝑡]

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑇𝑜𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 Es el valor de tolerancia permitido para

establecer si un punto pertenece o no al plano de fractura

𝑓𝑟𝑠 Esfuerzo de apertura de fractura [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] 𝑔 Constante gravitacional [cm/s2] G Módulo de cizalladura [psi] ℎ Altura de la muestra y valor promedio de la

distribución de rugosidad de la fractura (Buchsteiner).

[𝑓𝑡],

𝑖𝑛 Inclinación del pozo [°] 𝑖 Contador asociado a la dirección radial

𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 Invariantes

𝑗 Contador asociado a la dirección tangencial

𝐽𝐶𝑆 Resistencia compresiva [psi] 𝐽𝑅𝐶 Coeficiente de rugosidad

𝑘 Contador asociado a la dirección axial



𝐾𝑑 Permeabilidad relacionada a los efectos de

dilatación de la fractura

[𝑚𝐷]

𝑘𝑛 Rigidez de la fractura [psi/ft] 𝐾 Permeabilidad [𝑚𝐷] 𝐾𝐵𝑢𝑙𝑘 Módulo de compresibilidad [𝑝𝑠𝑖] 𝐾𝑐𝑐𝑓 Permeabilidad al cierre de la fractura [𝑚𝐷]

𝐾𝑓 Permeabilidad de fractura [𝑚𝐷]

𝐾ℎ𝑓 Permeabilidad fractura hidráulica [𝑚𝐷]

𝐾 Permeabilidad promedio (fractura + matriz) [𝑚𝐷] 𝐾𝑚 Permeabilidad de matriz [𝑚𝐷] 𝐾𝑚 Permeabilidad promedio de matriz [𝑚𝐷] 𝐾𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 Parámetro de ajuste de la correlación Miller

𝐾𝑛 Permeabilidad relacionada a los efectos de cierre de la fractura

[𝑚𝐷]

𝐾𝑟𝑐𝑓 Permeabilidad residual del cierre de la fractura

[𝑚𝐷]

𝐿 Longitud de fractura en dirección del flujo [𝑓𝑡] 𝑙𝑥𝑥´, 𝑙𝑥𝑦´, 𝑙𝑥𝑧´, 𝑙𝑦𝑥´, 𝑙𝑦𝑦´, 𝑙𝑦𝑧´,

𝑙𝑧𝑥´,𝑙𝑧𝑦´, 𝑙𝑧𝑧´

Cosenos directores de la matriz de transformación de esfuerzos principales expresados en coordenadas de pozo.

𝑛𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 Parámetro de ajuste, correlación Miller.

𝑛11, 𝑛12, 𝑛13 Componentes del coseno director 𝑣1⃗⃗⃗⃗



𝑁 Número de nodos + 1

𝑝𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 Presión asumida en los cálculos [𝑝𝑠𝑖] 𝑝𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 Presión calculada [𝑝𝑠𝑖] 𝑝𝑖 Presión límite interno [𝑝𝑠𝑖] 𝑝𝑖+1 Presión límite externo [𝑝𝑠𝑖] 𝑝𝑓 Presión de fluido en la fractura [𝑝𝑠𝑖]

𝑝𝑝 Presión de poro [𝑝𝑠𝑖]

𝑝𝑤 Presión de fondo del pozo [𝑝𝑠𝑖] 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, Puntos pertenecientes al plano de fractura.

𝑄 Tasa de flujo a través de la fractura (oil) [𝑆𝑇𝐵/𝑑] 𝑄´ porción de la tasa de flujo a través de la

fractura en función de la profundidad [𝑆𝑇𝐵/𝑑]

𝑟 Radio de la muestra o posición radial. [𝑓𝑡] 𝑟𝑒𝑥𝑡 Radio externo de la malla [𝑓𝑡] 𝑟𝑖 Radio del límite interno [𝑓𝑡] 𝑟𝑤 Radio del pozo [𝑓𝑡] 𝑟𝑖+1 Radio límite externo [𝑓𝑡] 𝑆 Esfuerzo [𝑝𝑠𝑖] 𝑆∗ Esfuerzo efectivo de referencia [𝑝𝑠𝑖] 𝑆1 Esfuerzo principal efectivo máximo luego de

perforar el pozo

[𝑝𝑠𝑖]

𝑆2 Esfuerzo principal efectivo intermedio luego de perforar el pozo

[𝑝𝑠𝑖]

𝑆3 Esfuerzo principal efectivo mínimo luego de perforar el pozo

[𝑝𝑠𝑖]

𝑆𝑐 Resistencia uniaxial compresiva [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝑐 Esfuerzo efectivo de cierre [𝑝𝑠𝑖] 𝑆ℎ Esfuerzo horizontal mínimo [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝐻 Esfuerzo horizontal máximo [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝑖𝑗 Matriz tensor de esfuerzos

9

𝑆𝑚𝑎𝑥 Esfuerzo principal máximo [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] 𝑆𝑚𝑒𝑑 Esfuerzo principal intermedio [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] 𝑆𝑚𝑖𝑛 Esfuerzo principal mínimo [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] 𝑆𝑛 Esfuerzo normal [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝑟 Esfuerzo radial [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝑅𝑜𝑛𝑔 Relación esfuerzo normal y esfuerzo principal

máximo del modelo de Rong y otros

𝑆𝑇 Esfuerzo total [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝑣 Esfuerzo vertical principal o esfuerzo de

overburden

[𝑝𝑠𝑖]

(𝑆´𝑣)𝑍𝑂 Esfuerzo efectivo vertical a la presión normal de la formación – ecuación de Eaton.

[𝑝𝑠𝑖]

(𝑆´𝑣)𝑍𝑁 Esfuerzo efectivo vertical actual, ecuación de Eaton.

[𝑝𝑠𝑖]

𝑆𝑥0, 𝑆𝑦

0, 𝑆𝑧0, 𝜏𝑥𝑦

0, 𝜏𝑦𝑧0, 𝜏𝑧𝑥

0 Esfuerzos superceros [𝑝𝑠𝑖]

𝑆𝑧 Esfuerzo axial [𝑝𝑠𝑖] 𝑆𝜃 Esfuerzo tangencial [𝑝𝑠𝑖] 𝑇𝑜𝑙𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 Valor máximo permitido para aceptar la

presión calculada.

𝑇𝑜𝑙𝑧 Distancia vertical entre la profundidad del plano de fractura y un punto de la malla

𝑡𝑜𝑝𝑒_𝑓𝑚 Profundidad de la tope de la formación [𝑓𝑡]

𝑣1⃗⃗⃗⃗ = [

𝑛11

𝑛12

𝑛13

] Coseno director del esfuerzo principal máximo luego de perforar el pozo

𝑣2⃗⃗⃗⃗ = [

𝑛21

𝑛22

𝑛23

] Coseno director del esfuerzo principal intermedio luego de perforar el pozo

𝑣3⃗⃗⃗⃗ = [

𝑛31

𝑛32

𝑛33

] Coseno director del esfuerzo principal mínimo luego de perforar el pozo

𝑣𝑓 Relación de Poisson

𝑉𝑝 Velocidad onda compresional u onda P [𝑐𝑚/𝑠]

𝑉𝑠 Velocidad onda cizalladura u onda S [𝑐𝑚/𝑠] 𝑉𝑗 Cierre máximo de la fractura bajo el esfuerzo

normal efectivo

𝑉𝑚 Cierre máximo de la fractura [𝑓𝑡]

𝑉𝑛⃗⃗ ⃗ Vector normal al plano de fractura.

[𝑉𝑛1, 𝑉𝑛2, 𝑉𝑛3] Componentes del vector normal al plano de fractura

𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑣3⃗⃗⃗⃗ Vectores propios asociados a 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, respectivamente.

𝑊 Apertura de la fractura [𝑓𝑡] 𝑊𝐷 Profundidad columna de agua [𝑓𝑡] 𝑋 Coordenada equis del sistema cartesiano 𝑌 Coordenada ye del sistema cartesiano 𝑍 Coordenada zeta del sistema cartesiano 𝑧 Posición axial de los puntos en la malla [𝑓𝑡] 𝑧𝑘´ Profundidad calculada en función de la

profundidad real de la formación [𝑓𝑡]

𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 Ubicación vertical de un plano de fractura

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 Diferencia entre la presión asumida y la presión calculada

[%]



%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥 Valor máximo de todos los puntos de la malla

de la diferencia entre la presión asumida y la presión calculada

[%]

Símbolos con letras griegas

Símbolo Término Unidad

𝛼 Constante de Biot

𝛼𝑗𝑖𝑛 Factor que relaciona la permeabilidad inicial

𝜀 Deformación

𝜀𝑡 Deformación perpendicular a la carga aplicada

𝜀𝑣 Deformación paralela a la carga aplicada

𝜃 Posición tangencial de los puntos de la malla en función de 𝑆𝐻

[°]

λ Constante de Lamé [𝑝𝑠𝑖] µ viscosidad del fluido o coeficiente de fricción

interna [𝑐𝑝],

𝜌𝑏 Densidad de roca [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜌𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 Densidad correlación de Gardner [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜌𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 Densidad de matriz [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜌𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 Densidad correlación de Miller [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜌𝑠𝑒𝑎 Densidad del agua de mar [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜌𝑤 Densidad del agua [𝑔/𝑐𝑚3] 𝜏𝑟𝜃 Esfuerzo de cizalla entre el eje radial y

tangencial [psi] [𝑝𝑠𝑖]

𝜏𝑟𝑧 Esfuerzo de cizalla entre el eje radial y axial [𝑝𝑠𝑖] 𝜏𝑠 Esfuerzo de cizalla [𝑝𝑠𝑖] 𝜏𝑧𝜃 esfuerzo de cizalla entre el eje axial y

tangencial [𝑝𝑠𝑖]

∅ Porosidad [𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛] ∅𝑎 Porosidad del sedimento a grandes

profundidades

[𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛]

∅𝑏 porosidad del sedimento como un parámetro de ajuste

[𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛]

𝜑𝑏 ángulo de fricción interna [𝑟𝑎𝑑] Posición tangencial de los puntos en la malla [°] 𝜔 Ángulo medido entre el azimut del pozo y el

esfuerzo máximo [°]

Subíndice Símbolo Término

0 Primera posición o valor inicial

1/2 Valor medio (o mitad) de la variable

𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 Calculado con el modelo de Barton-Bandis y otros

𝐵𝑜𝑘 Calculado con el modelo de Bok y otros

𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 Calculado con el modelo de Buchsteiner y otros

𝐶ℎ𝑒𝑛 Calculado con el modelo de Chen y otros

𝑖 y 𝑟 Asociados a posición radial de la malla

11

𝑗 y 𝜑 Asociados a posición tangencial de la malla

𝐽𝑖𝑛 Calculado con el modelo de Jin y otros

𝐿𝑎𝑚𝑏 Calculado con el modelo de Lamb

𝐿𝑒𝑖 Calculado con el modelo de Lei y otros

𝑘 y 𝑧 Asociados a posición axial de la malla

𝑛 Última posición o valor final

𝑅𝑜𝑛𝑔 Calculado con el modelo de Rong y otros

𝑥 𝑜 𝑋 En la dirección equis

𝑦 𝑜 𝑌 En la dirección ye

𝑧 𝑜 𝑍 En la dirección zeta

𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘 Calculado con el modelo de Zoback

Superíndices Superíndice Término

´ Esfuerzo efectivo

Símbolos matemáticos Símbolo Término

𝜕 Diferencial

∇ Gradiente

∆ Delta

Abreviaturas

Símbolo Término

𝐷𝐺 Daño geomecánico

𝐹𝐵𝑃 Formation breakdown pressure

𝐹𝐶𝑃 Fracture closure pressure

𝐹𝐼𝑇 Formation integrity test

𝐹𝑁 Fracturas naturales

𝐹𝑃𝑃 Fracture propagation pressure

𝐺𝑅 Gamma ray

𝐼𝑆𝐼𝑃 Instantaneous shut-in pressure

𝐿𝑂𝑃 Leak off pressure

𝐿𝑂𝑇 Leak off test

𝑀𝐷 Measured depth o profundidad real

𝑁𝑇𝐶 Normal compactation trend

𝑆𝑅𝑇 Step rate test

𝑇𝐸𝐶 Constante tectónica

𝑈𝐶𝑆 Uniaxial compressive stress

𝑋𝐿𝑂𝑇 Extended leak off test



Introducción

Un yacimiento naturalmente fracturado bajo el estado de esfuerzos in-situ corresponde a

un sistema en equilibrio. El estado de esfuerzos en las cercanías del pozo cambia cuando

los sistemas son perforados para generar el hueco del pozo. El reemplazamiento de la

roca por fluidos de perforación aumenta la anisotropía de esfuerzos en la cara del pozo y

varía las propiedades intrínsecas de la roca.

Entender el comportamiento, durante y después de la producción, de los sistemas

naturalmente fracturados es un rol importante en la productividad de yacimientos de

petróleos y gas natural ya que de las fracturas depende la trayectoria del flujo de fluidos y

la permeabilidad de la roca de interés.

La redistribución de esfuerzos en los alrededores del pozo puede inducir disminución en

la permeabilidad, lo que comúnmente se conoce como daño geomecánico (DG).

Estudiar el daño geomecánico debido al cierre de fracturas ha despertado interés en la

industria. En consecuencia, ha permitido el desarrollo de múltiples técnicas de

caracterización estática de las fracturas naturales así como el avance en estudios sobre el

análisis de la deformabilidad de las fracturas con el estado de esfuerzos (caracterización

dinámica).

Las metodologías de caracterización estática y dinámica de las fracturas naturales son

estudios que han sido reportados en la literatura de manera independiente, es decir, no es

común encontrar metodologías que se integren entre sí.

Por un lado, los geólogos se han enfocado en determinar las propiedades físicas y

cualitativas de las fracturas naturales. Siendo la apertura, la orientación, el espaciamiento,

la frecuencia, la geometría y la forma de las fracturas los atributos estáticos comúnmente

destacados. Por otro lado, los geomecánicos y petrofísicos, analizan el comportamiento de

la deformabilidad de las fracturas en función del estado de esfuerzos. Los estudios de la

13

deformabilidad de las fracturas con esfuerzos han sido limitados y asumidos, en muchos

casos, en escenarios ideales que no representan las condiciones in-situ del pozo.

A pesar de las fuertes suposiciones y limitaciones de los modelos, los resultados obtenidos

de ambas caracterizaciones son útiles. Pero un análisis completo e integral de valoración

del daño geomecánico por cierre de fracturas debido a esfuerzos inducidos por la

producción de fluidos, debe necesariamente integrar particularidades de ambas

caracterizaciones. Es decir, los estudios de caracterización dinámica y estática de las

fracturas naturales, vistos de manera independiente, representan tan solo un insumo para

generar un análisis completo del daño geomecánico.

El objetivo de esta investigación es acoplar, en un modelo analítico, los atributos que

caracterizan las fracturas naturales (apertura, frecuencia, geometría, etc.), con el modelo

geomecánico del pozo (propiedades elásticas y de resistencia de la roca, esfuerzos

principales, etc.), con los esfuerzos inducidos por producción de fluidos y con modelos de

permeabilidad de las fracturas. El acoplamiento de esta información se realiza mediante

programación orientada a objetos en Python 5.2.0.

El análisis de resultados incluye el impacto de la permeabilidad a causa de variables como

esfuerzos efectivos normales al plano de fractura, apertura de la fractura, tasa de flujo,

orientación del plano de fractura y posición tangencial de la malla. Adicionalmente, bajo

diferentes escenarios, un análisis de sensibilidad es desarrollado para analizar la

sensibilidad de la permeabilidad de fractura debido a los cambios de apertura, drawdown,

frecuencia de fractura, esfuerzos efectivos y relación de Poisson.

1. Estado del arte

En este capítulo se exponen investigaciones en daño de formación de tipo geomecánico,

caracterización de atributos de fracturas naturales y modelos de permeabilidad de fracturas

naturales. De los trabajos expuestos a continuación se destacan los criterios, modelos,

suposiciones y herramientas empleadas para analizar, directa o indirectamente, desde

diferentes perspectivas las variaciones de permeabilidad de las fracturas naturales debido

a variaciones en las propiedades intrínsecas de las formaciones. La finalidad de este

capítulo es hacer una revisión general en la literatura geomecánica, de los estudios hasta

ahora desarrollados, que relacionen las variaciones de la permeabilidad de las fracturas

naturales en función del estado de esfuerzos en los alrededores del pozo.

1.1 Daño de formación de tipo geomecánico

Bennion, 1999, 2002, define el daño de formación como “algún proceso que causa

reducción a la productividad natural inherente de una formación productora de gas o

petróleo o una reducción en la inyección de agua o gas en un pozo inyector”. Los

mecanismos químico, termodinámico, mecánico y/o biológico son las clasificaciones más

generales que caracterizan el daño de formación. Existen daños de formación reversibles

e irreversibles. Siendo esto verdadero, el daño de formación no puede ser impedido pero

si puede ser minimizado en gran medida. De allí el alto impacto en productividad que

propende al desarrollo y aplicación de nuevas tecnologías.

Herramientas petrográficas como difracción de rayos X (DRX), microscopía electrónica de

barrido (SEM) y análisis de secciones delgadas se usan para caracterizar las secuelas de

la invasión de fluidos en la formación. De esta manera Kersey, 1986, logra identificar,

caracterizar y cuantificar a nivel micro las fracturas, microfracturas y canales conductivos

dañados. Adicionalmente, para Krueger, 1988, los canales conductivos también se ven

afectados por la presencia de arcillas y por el grado de consolidación de las formaciones.

16 Daño geomecánico de sistemas naturalmente fracturados debido a esfuerzos inducidos por

producción de fluidos

Para Porter, 1989; Tovar, J., y Salazar, 2007, el daño de formación principalmente es el

resultado del efecto invasivo de los fluidos utilizados en las operaciones de perforación,

cementación, producción, completamiento, estimulación química, estimulación térmica y

fracturamiento. Con la implementación de técnicas experimentales y simulación

matemática Ohen, H.A., y Civan, 1989, 1990; Volk, L.J., Gall, B.L., Raible, C.J. & Carroll,

1983, evalúan y cuantifican el daño de formación por invasión de fluidos en dichas

operaciones. Por otro lado, Maly, 1976, propone reducir las variaciones negativas en

productividad al implementar “fluidos limpios” en la perforación y al proteger al máximo la

invasión de estos hacia los poros y las fracturas de la formación productora .

Particularmente, las investigaciones sobre el daño de formación de tipo geomecánico

habían sido hasta hace un par de décadas un problema que despertaba poco interés en la

industria. Actualmente es un tema acogido, estudiado y discutido desde diferentes,

especializadas y multidisciplinarias perspectivas. El daño de formación geomecánico

corresponde al deterioro de la permeabilidad en los alrededores del pozo inducidos por la

alteración de los esfuerzos debido a variaciones en la presión (∆𝑝) y en la temperatura

(∆𝑇°). Las variaciones en ∆𝑝 y ∆𝑇° pueden alterar definitivamente las propiedades del flujo

de fluidos y las propiedades de la roca (tanto de matriz como de fracturas). Además, las

alteraciones conllevan al cambio permanente de las propiedades intrínsecas de la

formación tales como cedencia, rigidez, plasticidad, porosidad, permeabilidad, densidad,

etc.

La permeabilidad de los reservorios es controlada por la dirección y magnitud del esfuerzo

horizontal máximo. De ahí la estrecha relación entre los cambios en productividad y las

variaciones en la trayectoria de esfuerzos. La producción e inyección de fluidos en las

formaciones de interés genera un cambio en la trayectoria de esfuerzos del sistema. Es

así como la anisotropía de esfuerzos afecta directamente el medio poroso de la matriz y la

geometría de las fracturas.

Las variaciones en tiempo y espacio de la permeabilidad, debido al daño geomecánico, se

han apreciado más significativas cuando se propician por mecanismos de tipo

termodinámico y mecánico o una combinación de ambos. Bentosa, 2010, identifica y

propone factores mecánicos controlables y no controlables para reducir los efectos

Estado del arte 17

negativos de la anisotropía de esfuerzos, los cuales son altamente influyentes en la

productividad del pozo. La trayectoria del pozo (azimut e inclinación) y el peso y tipo de

lodo son propuestos como factores controlables. Por otro lado, el estado de esfuerzos, la

presión de poro, las propiedades elásticas y de resistencia de la roca son factores poco o

no controlables.

Así mismo, los efectos térmicos también tienen daños significativos sobre las

características físicas de la matriz y de las fracturas. La tasa de inyección de fluidos y la

temperatura a la que se inyecta este pueden ser controladas. Efectos de la roca

(matriz+fracturas) como deformaciones, dilatación, cambios en la estructura interna de los

granos y deslizamiento entre las fracturas son analizados en condiciones de laboratorio.

Es así como Gupta, A., y Civan, 1994, analizan los resultados de los experimentos hechos

“con y sin temperatura”. Para la misma litología encuentran altas diferencias en las

pruebas. Además, los autores encuentran una relación estrecha entre las zonas con mayor

radio de afectación por daño geomecánico y las altas temperaturas inducidas en la

perforación.

En su investigación, Tovar, J., y Salazar, 2007, encuentran que la reducción en

permeabilidad de un reservorio de areniscas (de las muestras analizadas en su trabajo)

depende esencialmente de propiedades petrofísicas (especialmente de la porosidad) y de

los mecanismos mecánicos relacionados al modo en que falla la roca. La zona deformada

(zona de cedencia o plasticidad) puede ser identificada, cuantificada y removida al

discriminar los intervalos de afectación por cada mecanismo. La desagregación del daño

de formación facilita la identificación de los mecanismos que causan daño de formación

geomecánico.

Por otra parte, para Rhett, D.W. y Teufel, 1992, la permeabilidad de la matriz y la

compresibilidad del volumen poroso son medidas determinantes para la explotación de un

reservorio. Las mediciones en laboratorio en condiciones hidrostáticas (isotropía de

esfuerzos) generan confusiones y no representan las condiciones reales del sistema. El

estudio basado en areniscas del Mar del Norte, revela la estrecha relación entre las

variaciones de permeabilidad en función de los esfuerzos efectivos. En este caso, los

autores sugieren que el daño geomecánico por cierre de fracturas puede manejarse



incluyendo un modelamiento del reservorio, involucrando las trayectorias de esfuerzos

(stress path) medidas periódicamente en condiciones in-situ (no isotrópico).

En pruebas de laboratorio, Al-Harthy, S.S., Dennis, J.W. & Jing, X.D., y Marsden, 1998;

Crawford, B.R., y Smart, 1994, estiman la anisotropía de esfuerzos, bajo condiciones

semejantes a la realidad, por medio de “la verdadera prueba triaxial”. En “la verdadera

prueba triaxial” los esfuerzos principales vertical (𝑆𝑣), horizontal mínimo (𝑆ℎ) y horizontal

máximo (𝑆𝐻) son diferentes (𝑆𝑣 ≠ 𝑆ℎ ≠ 𝑆𝐻). La comparación de resultados entre “la

verdadera prueba triaxial” y una triaxial convencional (𝑆𝑣 ≠ 𝑆ℎ = 𝑆𝐻) muestra diferencias

marcadas, para la misma roca y bajo condiciones de esfuerzos equivalentes. Las

diferencias en los resultados fueron atribuidas principalmente a las heterogeneidades

litológicas relacionadas con las laminaciones de la formación. Los autores también

destacan como resultado de ambas pruebas, la relación de la permeabilidad en función del

estado de esfuerzos; ya que, para rocas de permeabilidad baja, respecto a rocas de

permeabilidad media a alta, se observó una disminución mayor de la permeabilidad.

Soares, A. C., y Ferreira, 2002, proponen una metodología para analizar las deformaciones

de los reservorios debido al aumento de los esfuerzos efectivos por producción de fluidos.

La metodología planteada implementa pruebas de deformación uniaxial, mediciones de

permeabilidad (sólo en dirección axial) y mediciones de las ondas S y P (para identificar

las estructuras en la roca como respuesta a las variaciones de velocidad). La zona plástica,

la zona elástica y la trayectoria de esfuerzos asociada a cada tipo de deformación son

determinadas. En ambos casos, la trayectoria de esfuerzos evidencia una fuerte relación

entre la deformación de la roca y el aumento de los esfuerzos efectivos.

De las pruebas de laboratorio se estudia el impacto de los esfuerzos sobre las propiedades

petrofísicas de la roca y de las fracturas, con los cuales se construyen modelos para mitigar

el daño geomecánico. Aunque los montajes experimentales no representen las

condiciones reales de la formación, otorgan resultados cercanos a la realidad. En algunas

ocasiones el problema está en la obtención de los especímenes de las formaciones. Por

esta razón, Pan, Y.W., Hsieh, M.H. y Liao, 2008, 2007, proponen la adquisición de datos a

partir de pruebas mecánicas virtuales. Con su aplicación los autores simulan y analizan el

comportamiento de una matriz de material coluvial (depósito con bloques angulosos de

Estado del arte 19

pizarra y partículas arcillosas). Del estudio se obtiene que la resistencia de la roca, la

orientación de los bloques de matriz y el tamaño de la muestra analizada son las

principales variables que alteran el estado de esfuerzos y el comportamiento mecánico del

depósito.

Particularmente, el monitoreo continuo de la evolución del estado de apertura o cierre de

las fracturas en diferentes tiempos de producción es posible en condiciones in-situ. Con la

interpretación de la microsismisidad producida en la inyección de fluidos se identifican y

delimitan espacialmente atributos de las fracturas. Es así como Tarrahi, M., Jafarpour, B.,

y Ghassemi, 2013, mapean la distribución espacial de los canales conductivos de las

fracturas y determinan las propiedades geomecánicas de la roca (permeabilidad, 𝑈𝐶𝑆,

cohesión, módulo de Young). Finalmente, el estudio permite visualizar, a lo largo del

tiempo, el comportamiento de la deformabilidad de las fracturas en función de sus

propiedades físicas.

Bin, Z.H., Amar, T., Altunbay, M., y Barr, 1995, relacionan las fuertes declinaciones de la

productividad del reservorio con la anisotropía de esfuerzos debido a producción de fluidos

y a la litología de la roca. Los autores exponen que la textura de la roca, la mineralogía, la

presencia y tipo de arcilla, y las diferencias en compactación (laminaciones irregulares)

son variables relacionadas con la “sensibilidad” de la formación ante esfuerzos. Además,

las diferencias de compactación debidas a la heterogeneidad mineralógica y a la

naturaleza de la roca son las características que principalmente se asocian a la producción

de irregularidades sobre los canales de flujo de la formación, tanto del medio poroso como

de las fracturas.

Metodologías descriptivas de análisis de la productividad de reservorios “sensibles a

esfuerzos” se emplean para el diagnóstico del daño geomecánico por cierre de fracturas.

Sijing, W., y Xingtang, 1991, desarrollan un sistema de clasificación cualitativo de

estabilidad de la corteza. La clasificación divide una región estructural entre estable,

esencialmente estable, subestable e inestable. La integración de características sísmicas

y geofísicas son la base de esta metodología. En las zonas de mayor complejidad

estructural son identificados la diagénesis y los límites de las estructuras. La identificación

y mapeo de zonas naturalmente fracturadas, que en general son estructuralmente

complejas, involucra un avance en la detección temprana de posible daño geomecánico.



Laurence, 2000, expone la importancia de la multidisciplinariedad en los estudios de

caracterización del daño geomecánico (modelos: experimentales, numéricos, analíticos,

cualitativos, etc). El autor propone un flujo de trabajo integral para diagnosticar y remediar

el daño de formación geomecánico. La integración de datos experimentales (en las

condiciones más semejantes a la realidad), el comportamiento local de los esfuerzos del

pozo y de las propiedades de la roca, y la arquitectura del reservorio son parte fundamental

de este flujo de trabajo.

1.2 Caracterización estática de fracturas naturales

Estudios sobre la caracterización sistemática de los atributos de las fracturas naturales (su

forma, tamaño, geometría, orientación, apertura, frecuencia, etc.) han sido desarrollados

en las últimas décadas. A continuación, se destacan algunos estudios encontrados en la

literatura.

Autores afirman que las fracturas proveen trayectorias de flujo a diferentes escalas y que

el mejoramiento de la permeabilidad depende básicamente de atributos como densidad,

orientación y conductividad hidráulica de los diferentes planos de debilidad. Estos y otros

atributos son medidos generalmente por medio de registros de imágenes. Barton, C.A.,

Zoback, M.D., y Moos, 1995; Jadoon, I.A.K., Bhatti, K.M., Siddiqui, F.I., Jadoon, S.K.,

Gilani, S.R.H., y Afzal, 2007; Jambayev, 2012; Kilpatrick, J.E., Eisner, L., Williams S.S.,

Cornette, B., y Hall, 2010; Schlumberger, 2016; Shafiei, A. y Dusseault, 2012, obtienen

descripciones detalladas de los atributos de las fracturas a partir de los registros obtenidos

por el borehole televiewer (BHTV), el formation microscanner (FMI) y el ultrasonic borehole

imager (UBI). Particularmente, Jambayev, 2012, obtiene la intensidad, el tamaño, la forma

y la orientación de las fracturas a partir de registros de imágenes para la construcción de

un modelo geológico en 3D. Los fundamentos del modelo se basan en configuraciones

DFN (red de fracturas discretas). Finalmente, con el modelo se obtiene una representación

realista del comportamiento dinámico de las fracturas y su relación con el patrón de flujo.

Jadoon, I.A.K., Bhatti, K.M., Siddiqui, F.I., Jadoon, S.K., Gilani, S.R.H., y Afzal, 2007, dan

gran valor y utilidad a las descripciones obtenidas de afloramientos para complementar la

información obtenida de los registros de imágenes. Particularmente, Ferer, M.V., Dean,

B.H., y Mick, 1996; Wang, C., Xu, A., Zhao, L., Wu, Q., y Zeng, 2013, implementan

Estado del arte 21

descripciones de superficie (escala macro) con registros de imágenes (escala micro) para

el desarrollo de modelamientos geométricos fundamentales para un análisis fractal.

Shafiei, A. y Dusseault, 2012, a partir de la correlación entre registros de imágenes, análisis

de núcleos, descripción de afloramientos e interpretación geológica y sísmica proponen la

construcción de un modelo geológico-estructural, que denominan como un “modelo

completo”. El modelo determina las características físicas de las discontinuidades y su

naturaleza. Adicionalmente, el modelo sirve como base de la reconstrucción de la historia

de evolución del estado de esfuerzos sobre las fracturas. Con la aplicación de un modelo

similar, Song, x., Shen, P., Yuan, S., y Cao, 2000, proponen un modelo para determinar la

distribución espacial detallada y minuciosa de los diferentes sets de fracturas.

Laubach, S.E., y Doherty, 1999, desarrollan una herramienta para detectar y determinar la

frecuencia y distribución de las fracturas y microfracturas usando núcleos orientados. La

metodología resultante consiste en un mapeo espacial de la distribución de las

discontinuidades del área de interés. Finkbeiner, T., Barton, C.A., y Zoback, 1997,

caracterizan las fracturas a partir del logueo de muestras y de la interpretación de registros

convencionales (caliper y de temperatura). De esta manera los autores trabajan

identificando fracturas potencialmente abiertas o críticamente estresadas. Las

características litológicas, morfológicas y la distribución de las fracturas hacen parte de los

outputs del modelo. La aplicación del modelo comprende el análisis de los esfuerzos

principales sobre los planos de debilidad al analizar la deformabilidad de las fracturas en

función de los esfuerzos y de la profundidad.

Barton, C.A., Zoback, M.D., y Moos, 1995, en su investigación logran determinar las

orientaciones de fractura favorables para una producción de fluidos óptima en función del

estado de esfuerzos. Dorta, G., Boujana, M., Zerpa, L., Ramonez, M., Velasquez, C., y

Castillo, 2001, en su investigación destacan la orientación de las fracturas como el atributo

más influyente en las variaciones de permeabilidad. Por otro lado, Song, X., Zhu, Y., Iiu,

Q., Chen, J., Ren, D., Li, Y., Wang, B., y Liao, 1998, proponen la configuración estructural

y la litología de la roca como las principales características que determinan la frecuencia,

distribución espacial e interconectividad de los canales de flujo de los sets de fractura.



Barton, C.A., y Zoback, 2000, a partir de imágenes acústicas, eléctricas y ópticas del pozo,

proponen una metodología de caracterización de fracturas naturales. Adicionalmente, los

autores proponen una serie de parámetros de diferenciación entre las fracturas naturales

y las fracturas inducidas.

Safari, M.R. y Ghassemi, 2010; Zhou, X., y Ghassemi, 2009, proponen un modelo de flujo

en 3D totalmente acoplado bajo condiciones poroelásticas, para analizar las

deformaciones producidas por la perturbaciones del medio. Es así como los autores

evalúan la variación temporal de la apertura y del deslizamiento de una cara de fractura

sobre otra. Las variaciones en apertura y posicionamiento de los planos de fractura, entre

sí, son atribuidas a los cambios en la anisotropía de esfuerzos desencadenada por la

perforación, producción e inyección de fluidos.

Baker, R.O., y Kuppe, 2000, proponen un modelo numérico para evaluar la doble porosidad

de los reservorios naturalmente fracturados. Así mismo, Ordoñez, A., Peñuela, G., Idrobo,

E.A., y Medina, 2001, implementan la técnica de balance de materiales aplicada para

simular la historia de producción y el performance de los sistemas fracturados. Así, los

autores calibran el volumen de hidrocarburo y el tensor de permeabilidad para cada punto

evaluado en el reservorio. Por su parte Paluszny, A., y Matthai, 2008, calculan la

permeabilidad efectiva del sistema (matriz-fractura) desarrollando algoritmos basados en

métodos de elementos finitos. La geometría de la fractura y la apertura se proponen como

los factores más influyentes en las variaciones de flujo.

Hosseinian, A., Rasouli, V., y Bahrami, 2010, afirman la dificultad de simular el efecto de

la morfología de la fractura, especialmente de la rugosidad. Para esto, los autores,

desarrollan un modelo numérico y analítico con perfiles de velocidad sintética y la

aplicación del software Fluent (aplicado a la dinámica de fluidos computacional). Los

autores encuentran que la apertura de las fracturas de menor tamaño se encuentran

mayormente influenciadas por la trayectoria del flujo de fluidos que por su geometría,

rugosidad o forma.

Norbeck, J., Fonseca, E., Griffiths, D.V. y Wong, 2012, desarrollan un algoritmo

matemático. Los datos de entrada de su simulador son obtenidos a partir de los reportes

Estado del arte 23

de las perforaciones (bajo condiciones underbalance). La concentración de hidrocarburo

total y el volumen del peso del lodo son las variables de entrada de mayor peso. En la

práctica, el modelo estima la distribución espacial de las fracturas y su permeabilidad. Los

autores sustentan la confiabilidad del modelo y afirman las ventajas económicas de su

aplicación ya que sugieren la omisión del uso de registros de imágenes. Los reportes

diarios de perforación representan una fuente de información valiosa de “primera mano”.

Los reportes permiten identificar eventos asociados a influjos y pérdidas de circulación del

lodo de perforación. Con esta información Dyke, C.G., Wu, B., y Milton, 1995, proponen la

identificación de zonas potencialmente conductivas y productivas. Las pequeñas pérdidas

de fluidos proporcionan un medio preciso para detectar fracturas naturales y lograr su

mapeo. Por otro lado, con el registro y caracterización de los cuttings de perforación, de la

mano de estudios de deformación de la roca (y de los minerales que la componen), Tahibi,

M., Ironian, N., y Fraw, 1982, determinan la localización espacial del sistema de fracturas

de un reservorio.

La diversidad de estudios de caracterización de las características físicas y morfológicas

de las fracturas también incluye conceptos y herramientas geofísicas. Algunos trabajos a

destacar son los de Hosseinian, A., Rasouli, V., y Bahrami, 2010; LaBarre, E.A., y Davis,

2008; Projects, 1996; Schlumberger, 2016; Shekhar, R. y Gibson, 2005. Algunas

investigaciones netamente basadas en la interpretación sísmica son las de Eftekharifar,

M., y Sayers, 2011; Gray, D., Roberts, G., y Head, 2002. Particularmente, Hennington,

1980; Laongsakul, P., Durrast, 2011; Wang, Z., Xie, H., Peng, G., Zheng, D., Shen, F., y

Zhang, 2012, integran a la sísmica los registros de resistividad, los datos de perforación

(logging) y los registros de imágenes, para determinar de manera más puntual la

distribución espacial de las discontinuidades de un área determinada.

Ouenes, A., Robinson, G., Zellou, A., Balogh, D., y Araktingi, 2005, proponen una

metodología de superposición de modelos sísmicos, geoestadísticos, geomecánicos,

geológicos y de permeabilidad. Dicha superposición, permite entender los contrastes entre

los diferentes sets de fracturas. Finalmente, con los contrastes de las fracturas se logra

una caracterización en función de los atributos sísmicos. Atributos sísmicos como la

anisotropía azimutal es usada para proveer mediciones relacionadas a la intensidad y

orientación de las fracturas de un sistema. Horne, 2003; Schlumberger, 2016; Van Dok,

2000, sustentan esta afirmación, debido a que la presencia de fracturas genera variaciones



en la dirección, velocidad y amplitud de las ondas sísmicas. Particularmente, Horne, 2003,

define una geométrica detallada de las fracturas con atributos sísmicos analizados

respecto al azimut. Adicionalmente, con un perfil sísmico vertical (VSP) logra la medición

de la anisotropía inducida por las fracturas. Para Shekhar, R. y Gibson, 2005, los atributos

sísmicos como la atenuación y la dispersión de las ondas sísmicas se encuentran

intimamente influenciados con el tamaño de la fractura y la permeabilidad de la matriz.

A partir de tomografías sísmicas (Pyrak, L.J., Montemagno, C., Yang, G., Cook, N., y Miyer,

1995) y de registros de micro-resistividad (Mantilla, M., y Davila, 2015) se establecen

tendencias y patrones de dirección y buzamiento de los sets de fracturas. Cada

investigación, por su parte, sugiere patrones de diferenciación entre los planos de fracturas

y los planos de estratificación inherentes de la formación. Por otra parte, Chi, L., y Heidari,

2014, con imágenes de resonancia magnética nuclear (RMN), evalúan cuantitativamente

sistemas con multi-porosidad (fracturas, microfracturas, matriz, etc.). Los análisis muestran

una distribución de los datos sensibles al ancho, forma y concentración de las fracturas.

Otros estudios a destacar aplicados a la caracterización de los atributos de las fracturas

son basados en pruebas experimentales. Hakami, E., y Larsson, 1996, proponen una

metodología de comparación de datos de apertura de fractura obtenidos de manera

diferente. Los datos a comparar son la apertura de la fractura medida geométricamente

con la apertura de la fractura obtenida en laboratorio, media a través de la inyección de

flujo. Los autores concluyen que la correlación espacial y la distribución de la apertura para

ambos escenarios fueron proporcionales. Por otro lado, Yeo, I.W., De Freitas, M.H., y

Zimmerman, 1998, comparan resultados, de aperturas y de anisotropía de esfuerzos de

cizalla sobre el plano de fractura, obtenidos de forma experimental y con simulaciones

numéricas. Los resultados, obtenidos de diferentes fuentes, muestran altas discrepancias

asociadas al error de las herramientas experimentales. Con la aplicación de pruebas

experimentales, Bandis, S.C., Lumsden, A.C., y Barton, 1983; Gentier, S.S., y Hopkins,

1997, cuantifican la relación entre atributos como apertura, rugosidad y resistencia de la

roca con la deformabilidad de las fracturas (en función del esfuerzo normal y de cizalla).

Por su parte, Nelson, 1979, propone modelos de laboratorio para generación y posterior

análisis de fracturas. El autor basa el diseño de sus experimentos en el sistema de

Estado del arte 25

clasificación de fracturas de Stearns y Friedman. Con la aplicación de esta metodología,

la distribución de fractura y la deformación asociada son fácilmente predecidas.

Adicionalmente, esta metodología propone un sistema clasificatorio de las fracturas

naturales en función de los resultados obtenidos.

Alpay, 1973; Mohr, 1966; Rich, 1928, proponen la aerofotografía como una herramienta

poco utilizada en la industria pero muy útil para caracterizar fracturas, especialmente

cuando se tienen dificultades de acceso al área de interés. La aplicación de esta

metodología permite definir un panorama regional y amplio del sistema tectónico y

estructural de la zona. Estando dentro del campo prospecto, se imposibilita determinar la

geología estructural regional del reservorio. Los autores afirman, que en caso de requerir

un alto detalle de la caracterización de las fracturas, la metodología pierde aplicabilidad.

Para estos casos, en que se desea un alto detalle de las fracturas, Overbey, W.K., Yost,

L.E., y Yost, 1988, sugiere el uso de “video-logging”. Con la aplicación de “video-logging”

se logra una definición, alta resolución y detalle minucioso de las características de las

fracturas naturales en la cara del pozo.

1.3 Modelos de permeabilidad

Lorenz, 1999, argumenta que la capacidad de producción de los reservorios está

relacionada con la interacción entre los cambios de presión de fluidos, los esfuerzos del

reservorio y la permeabilidad de las fracturas naturales durante la producción y/o inyección.

Para el autor, la producción de los reservorios naturalmente fracturados depende

principalmente de la capacidad de flujo y de los atributos de las fracturas como geometría,

apertura, interconectividad, orientación, frecuencia, entre otros. Por otro lado, la litología

del reservorio, el confinamiento de los esfuerzos y la presión de poro también influyen

directamente en las variaciones de permeabilidad de las fracturas. Debido a esto, múltiples

estudios son desarrollados para entender la capacidad de flujo de las discontinuidades en

función de la sensibilidad a los esfuerzos. A continuación, se destacan algunos de estos

trabajos.

La deformación de las rocas se evidencia en un cambio completo del volumen poroso con

una permeabilidad que decrece continuamente. A partir de pruebas uniaxiales y triaxiales,

Azeemuddin, M.R., Roegiers, J., Suri, P., Zaman, M.R., y Kukreti, 1995, estudian las



variaciones de permeabilidad sobre rocas de tipo calizas y areniscas. En la investigación,

bajo la prueba uniaxial e inicios de la prueba triaxial la permeabilidad disminuyó

continuamente con el incremento de la presión de confinamiento para ambos tipos de roca.

Pero, al continuar la prueba triaxial, los autores destacan un pequeño aumento de la

permeabilidad, atribuido al fenómeno de la dilatancia.

Gale, 1982, argumenta, a partir de pruebas triaxiales, que las rocas fracturadas

naturalmente exhiben una deformación permanente debido a las variaciones de esfuerzos.

El autor destaca en su investigación que esto se debe al fenómeno de histéresis

(deformación no lineal). Análogamente, con la aplicación de pruebas triaxiales, Takahashi,

M., y Koide, 1995, evalúan las variaciones de permeabilidad en función de los esfuerzos

principales. Imágenes del radio, perímetros y orientación de los poros son complemento

del estudio para una evaluación óptima del comportamiento de la permeabilidad debido a

efectos de compactación. De manera similar, Bruno, M.S., Bovberg, C.A., y Nakagawa,

1991; Holt, 1990; McKee, C.R., Bumb, A.C., Koenig, 1988; Oskan, 2013; Teufel, 1987;

Zhang, J., Bai, M., Roegiers, J.C. y Liu, 1999, trabajan experimentalmente para entender

la influencia de la anisotropía de esfuerzos sobre los cambios de permeabilidad del

sistema.

Petunin, V., Tutuncu, A.N.., Prasad, M., Kazemi, H., y Yin, 2011 calculan la permeabilidad

y porosidad en núcleos homogéneos y fracturados de areniscas y carbonatos. Un

permeámetro a diferentes cargas es implementado en dicha investigación. Los datos

obtenidos son incorporados en el modelo Carman-Kozeny. La ecuación Carman-Kozeny

relaciona la permeabilidad del sistema en función de la porosidad, tortuosidad, el área del

plano de fractura y un factor que relaciona su forma. De esta manera, los autores

encuentran que la permeabilidad de la roca carbonatada fue mucho más sensible a las

variaciones de esfuerzos, respecto a las areniscas. En cuanto a las muestras fracturadas,

con la aplicación del modelo, se determina la porosidad de fractura y la porosidad de

matriz, y las permeabilidades asociadas a cada medio. Finalmente, con la investigación se

destaca el impacto de la litología y el fracturamiento de las rocas sobre la capacidad de

deformación en función de los esfuerzos.

Estado del arte 27

Jones, 1975, diseña núcleos con sets de fracturas planares. Experimentalmente, somete

las muestras a niveles de compresión bajos y muy altos, y se mide la permeabilidad en

cada caso. Los datos calculados son llevados al modelo de Lamb. El modelo de Lamb

relaciona la apertura de la fractura en función del área transversal de la muestra, el

diámetro, la viscosidad del fluido y la permeabilidad. La apertura efectiva de la fractura es

proporcional a la raíz cúbica de la permeabilidad. La investigación muestra que al aumentar

la presión de confinamiento la disminución de permeabilidad de fractura es mucho mayor

a la disminución de permeabilidad de la matriz. El autor da validez a la aplicación del

modelo de Lamb, aunque reconoce que los valores de porosidad y permeabilidad son

idealizados debido a que el experimento no tiene en cuenta la rugosidad de la fractura ni

una forma más realística de ésta.

A su vez, para un medio fracturado Zhang, J., Bai, M., Roegiers, J.C., Wang, J., y Liu,

2000, determinan experimentalmente la relación entre la permeabilidad y los esfuerzos

normal y de cizalla. El modelo de Walsh es implementado para analizar los resultados

experimentales obtenidos al aplicar diferentes cargas a núcleos de diferente litología. La

ecuación empírica relaciona la permeabilidad en función del esfuerzo normal efectivo

inicial, de la permeabilidad inicial, de la geometría de la fractura y del esfuerzo efectivo.

Los resultados experimentales evidencian variaciones fuertes en la permeabilidad de las

fracturas en función del cambio de esfuerzos. Para los autores controlar la apertura de la

fractura, la configuración de cargas externas y la deformación de la roca puede controlar

las fuertes variaciones de permeabilidad del medio fracturado.

Con análisis de núcleos y datos de well testing, Ostensen, 1897, estudia como la caída de

presión (drawdown) afecta la permeabilidad del reservorio. En sus pruebas, el autor estima

una reducción del 30% de la permeabilidad debido a la dependencia de esfuerzos. De la

investigación se concluye que la producción depende de la relación permeabilidad-

esfuerzos en función del drawdown. A partir de un transient test, Pinzon, C.L., Chen, H.Y.,

y Teufel, 2001, determinan que la dependencia tiempo-taza de presión (de un transient

test), valores anormales del drawdown y valores anormales del skin son características

diagnósticas que determinan si un sistema permeable es sensible o no a esfuerzos. Por

otro lado, Bin, Z.H., Amar, T., Altunbay, M., y Barr, 1995, comparan resultados entre

pruebas de drawdown y pruebas de restauración (build up tests). Los autores proponen un

análisis de las variaciones de permeabilidad debido a esfuerzos sobre una arena altamente



permeable. La investigación encuentra que ambos test son necesarios y complementarios

para describir y evaluar variaciones de permeabilidad de un reservorio. Además, se

encuentra una dependencia completa de las variaciones permeabilidad-esfuerzos. Otra

investigación que implementa estas técnicas es la de Chen, H.Y., Hidayati, D.T., y Teufel,

1998.

Economides, M.J., Buchsteiner, H., Warpinski, 1994, analizan el comportamiento de las

fracturas en función del tiempo, a una presión de flujo constante durante un step pressure

test (SPT). Los datos son analizados con el modelo de Buchsteiner. La ecuación de

Buchsteiner, relaciona la permeabilidad de la fractura en función del factor conductividad-

porosidad, del esfuerzo efectivo del cierre de la fractura y del esfuerzo efectivo actual. El

modelo permite calcular la permeabilidad de dos sets de fracturas teniendo en cuenta la

direccionalidad hidráulica de la misma. Este modelo también es aplicado por Buchsteiner,

H., Warpinski, 1993, para determinar características direccionales de la capacidad

hidráulica de las fracturas en función del esfuerzo normal.

Trabajando sobre núcleos de areniscas, Worthington, 2004, propone una expresión

polinómica de grados tres para cuantificar la respuesta de la permeabilidad bajo esfuerzos

hidrostáticos. Análogamente, Abass, H.H., Ortiz, I., Khan, M.R., Beresky, J.K., Aramco, S.,

y Sierra, 2007, para núcleos de rocas de tipo carbonatadas, proponen un modelamiento

de la disminución de la permeabilidad de la matriz, de las fracturas naturales y de las

fracturas hidráulicas debido al incremento de los esfuerzos efectivos.

Existen numerosas correlaciones, modelos numéricos, algoritmos, ecuaciones analíticas y

simulaciones que representan el cambio de permeabilidad de las fracturas. Cada autor

propone una evaluación desde diferentes variables. Algunas teorías asumiendo

condiciones ideales y otras más realísticas. Particularmente, Cho, Y., Apaydin, O.G., y

Ozkan, 2012; Min, K.B., Rutqvist, J., Tsang, C.F., y Jing, 2004; Raghavan, R., y Chin, 2002,

2004, desarrollan correlaciones para analizar las variaciones de la permeabilidad de las

fracturas y del sistema matriz-fractura. En general, los modelos propuestos por estos

autores apuntan al análisis de la baja en permeabilidad en función de las fuertes

variaciones de la presión durante la producción.

Estado del arte 29

A partir de un modelamiento numérico, Bai, M., Meng, F., Roegiers, J., y Green, 2002,

proponen una interpretación matemática de los resultados de una prueba de presión de

flujo Darcy obtenida durante una prueba experimental. Con el modelo basado en métodos

de elementos finitos se calcula el flujo de fluidos en la dirección horizontal y vertical. Los

autores encuentran que la permeabilidad en ambas direcciones de flujo se ven afectadas

por los esfuerzos. Por su parte, Reza, M., Trevor, O., Queena, C., Hamed, C., Blair, N.,

Uno, M., y Chris, 2013, comparan resultados de modelos numéricos, semi-analíticos y

analíticos en respuesta al comportamiento de las facturas bajo la modificación de los

esfuerzos por procesos de inyección y depletamiento. Multu, O., y Pollar, 2006, proponen

un algoritmo matemático que determina el estado de apertura o cierre de las fracturas

teniendo en cuenta el impacto de la fricción de las discontinuidades, debido a la rugosidad.

De manera similar, Archer, 2008; Bagheri, M., y Settari, 2005; Bai, M., Meng, F., Roegiers,

J.C., y Green, 2002; Bertuzzi, F., Sanfilippo, F., Bngnoli, M., y Parravicini, 1998; Davies,

J.P., y Davies, 1999, 2001; Du, J., y Wong, 2002; Farahmand, K., y Diederichs, 2014;

Giraldo, L., Chen, H.Y., y Teufel, 2000; Kasap, E., y Bush, 2003; Min, K.B., Rutqvist, J.,

Tsang, C.F., y Jing, 2004; Morita, N., Gray, K.E., Kim, C.M., y Hughes, 1981; Raghavan,

R., y Chin, 2004; Yuting, D., Xudong, J., Yingfeng, M., y Pingya, 2000, proponen en sus

investigaciones modelos numéricos para analizar la anisotropía de la permeabilidad de

las fracturas generada por la perturbación del estado de esfuerzos durante la perforación.

Chin, L.Y., Raghavan, R., y Thomas, 1998, desarrollan un simulador geomecánico

completamente acoplado al flujo de fluidos para entender la dependencia de la

permeabilidad ante la variación de esfuerzos. Los efectos de compactación, por si mismos,

no son un factor que afecten las variaciones de presión. La presión se afecta

significativamente cuando la compactación y las variaciones de permeabilidad (en

conjunto) varían en función de los esfuerzos efectivos. Los autores enfatizan en que el

aumento continuo en los esfuerzos es el factor que principalmente gobierna las variaciones

de permeabilidad de un reservorio.

A partir de su simulador acoplado, Osorio, J.G., Chen, H.Y., y Teufel, 1997, determinan

que la permeabilidad de un medio poroso es función del tiempo. A medida que aumenta el

tiempo de producción la distribución de la permeabilidad decrece. Adicionalmente, los

autores señalan que la máxima disminución de permeabilidad ocurre en los alrededores

más cercanos del pozo. Es decir, la permeabilidad se mantiene en las áreas más lejanas



del pozo. Por otra parte, los cambios de permeabilidad pueden estar sujetos a variaciones

litológicas. Particularmente, para Osorio, J.G., Chen, H.Y., Teufel, L.W., y Schaffer, 1998,

el módulo elástico o módulo de Young es una de las variables que controla, fuertemente,

las diferencias de reducción de permeabilidad de las diferentes capas de roca del

reservorio.

De manera similar con el desarrollo de simuladores acoplados Benavides, Y., Maya, G.A.,

y Osorio, 2005; Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000; Ojagbohunmi, S., Chalaturnyk, R., y

Leung, 2012; Pinzon, C.L., Chen, H.Y., y Teufel, 2001; Raghavan, R., y Chin, 2002,

atribuyen las fuertes variaciones de la permeabilidad de las fracturas al cambio en el estado

de esfuerzos y en la presión de poro del sistema. Particularmente Jin, M., Somerville, J., y

Smart, 2000, destacan daños significativos sobre los reservorios sensitivos a esfuerzos

debido al efecto de histéresis.

A partir de un estudio paramétrico Guerrero, H.J., Osorio, J.G., y Teufel, 2000, interpretan

estadísticamente los resultados de su modelo acoplado de flujo de fluidos con

geomecánica. De allí los autores concluyen que la permeabilidad del reservorio, la relación

del radio y el módulo elástico son los factores que más afectan el índice de productividad.

Por otro lado, Bin, Z.H., Amar, T., Altunbay, M., y Barr, 1995, a partir de registros

convencionales, descripciones geológicas y petrográficas analizan la relación de la

productividad con la sensibilidad a esfuerzos de un campo. El soporte geológico evidencia

que la sensitividad de la permeabilidad ante los esfuerzos incrementa cuando la calidad

de la roca decrece. El tipo de roca, el tamaño de grano, la mineralogía y la presencia de

arcilla son variables que influyen en la disminución acelerada de la permeabilidad.

A partir de registros convencionales y de registros de imágenes Barton, C.A., Zoback, M.D.,

y Moos, 1995, determinan la orientación y magnitud de los esfuerzos, la geometría de la

fractura y la temperatura de la formación. De esta forma, los autores determinan la

distribución espacial de los canales hidráulicos de las fracturas. La orientación óptima de

las fracturas es determinada con la teoría del círculo de Mohr. Finalmente, los autores

establecen las condiciones favorables de permeabilidad de las fracturas en función del

estado de esfuerzos. Análogamente, aplicando la teoría del círculo de Mohr, Chen, H.Y., y

Teufel, 2001, proponen una metodología para analizar el comportamiento de los esfuerzos

Estado del arte 31

del reservorio durante la producción e inyección de fluidos. De la investigación, los autores

destacan que las variaciones en los esfuerzos horizontales totales generan diminución de

la compresión de la roca, durante la producción, y aumento de la compresión de la roca

durante la inyección.

Chen, S., Jacobi, D., Kwak, H., Altunbay, M., y Kloos, 2008, analizan los efectos del

ambiente depositacional y la diagénesis post-depositacional sobre las variaciones de la

permeabilidad del sistema. Los autores trabajan el modelo de permeabilidad de Coates

basado en la conectividad entre los poros. La mineralogía es determinada como una

variable que influye en la “capacidad de relajación” de la formación. La “capacidad de

relajación” de la formación hace referencia a las variaciones de tamaño, forma e

interconectividad de los poros debido a procesos de diagénesis y compactación. Las

variaciones en las características intrínsecas del poro se encuentran íntimamente

relacionados a la litología de la roca. Particularmente, Poe, J., y Butsch, 2003, aplican el

modelo de Coates, para un análisis similar, tomando como fuentes de información los

registros convencionales.

Vega, 2012, atribuye la disminución de reservas a los efectos geomecánicos de colapso y

cierre de las fracturas naturales debido al aumento de esfuerzos efectivos. La investigación

comprende varias de las metodologías y técnicas mencionadas anteriormente. Datos de

producción, propiedades de la roca, medidas de presión e interpretación geológica son la

base fundamental de este estudio.

La aplicación conjunta e integral de metodologías experimentales, teóricas, numéricas,

petrológicas, geomecánicas, y/o geológicas logra una evaluación y monitoreo de los

cambios de la permeabilidad de los sistemas matriz-fractura en función de la evolución de

la trayectoria de esfuerzos. Identificando y controlando las variables que generan mayor

afectación en las variaciones de permeabilidad se espera tener el control de las pérdidas

económicas que anualmente se reportan en la industria.

2. Marco teórico

Este capítulo presenta una descripción de conceptos y metodologías clave para la

construcción del modelo analítico, para el diagnóstico del daño geomecánico por cierre de

fracturas debido a esfuerzos inducidos por producción de fluidos.

2.1 Caracterización de fracturas naturales (FN)

En su libro, Aguilera, 1995, expone aspectos geológicos de las fracturas y de los

reservorios naturalmente fracturados. El autor destaca la definición, hecha por Stearns,

donde describe una fractura natural como una discontinuidad planar macroscópica que

ocurre cuando los esfuerzos exceden la resistencia de la roca. También, señala la

definición de Nelson, quien propone que la fractura de un reservorio es una discontinuidad

planar macroscópica de la roca que ocurre de manera natural debido a la deformación o

diagénesis física.

Por su parte, un reservorio naturalmente fracturado está conformado por partes de un

sistema petrolífero con múltiples sets de fracturas creadas de manera inherente. Todas las

formaciones contienen fracturas en menor o mayor cantidad. La presencia de las fracturas

influye en la calidad y rendimiento de las rocas reservorio. Las fracturas controlan el

comportamiento de los canales permeables de la formación a lo largo de la vida productiva

del pozo. Esto implica para Aguilera, 1995, que las fracturas pueden tener un impacto

negativo o positivo sobre la trayectoria del flujo de fluidos.

Analizar el comportamiento de las fracturas implica describir sus características físicas. La

caracterización estática es el análisis descriptivo de los atributos físicos de las fracturas

naturales. Las investigaciones destacan la orientación de los planos de fractura, la

frecuencia (o intensidad), la apertura, el relleno, el espaciamiento, la geometría (o forma)

y la rugosidad como los atributos más importantes para analizar las variaciones de



permeabilidad de los reservorios fracturados naturalmente. Múltiples herramientas y

métodos son fuentes que permiten obtener información de los atributos de las fracturas

naturales. La Figura 2.1-1, ilustra algunos de los atributos de los sistemas de fracturas.

Figura 2.1-1: Representación de atributos que caracterizan las fracturas naturales:

orientación, espaciamiento, apertura, frecuencia y geometría.

Modificado de Sanderson, 2007.

Algunos aspectos importantes de las fracturas naturales se destacan a continuación.

2.1.1 Fuentes de información para caracterizar FN

Nelson, 2001, expone que la presencia y atributos de las fracturas en un pozo se puede

determinar de manera directa e indirecta. Las observaciones en afloramiento, las

descripciones de núcleo, cuttings de perforación y cámaras en el fondo del pozo son

métodos directos de identificación de los sets y características de las fracturas presentes

en la formación. Aguilera, 2003; Nelson, 2001, exponen el logueo de núcleos como el

método más eficiente para la detección de las fracturas naturales. Debido a la dificultad de

obtener la muestra, el análisis de núcleos no se considera un buen método de

caracterización si se tiene un fracturamiento muy intenso. Por otro lado, los registros y

pruebas de evaluación del pozo, pruebas de fluidos, y el manejo de datos de las

propiedades de la roca se proponen como métodos indirectos para la evaluación de las

fracturas (Nelson, 2001).

Marco teórico 35

Los métodos directos suelen ser más costosos que los métodos indirectos. Los métodos

directos brindan información más completa y detallada de la caracterización de las

fracturas naturales. A pesar de esto, los registros de pozo como métodos indirectos son

usualmente muy utilizados en la industria petrolera para la obtención de la orientación, la

frecuencia, la litología, la apertura, la forma, el tipo y la distribución espacial de las

fracturas, entre otros.

Dentro de los registros de evaluación del pozo Universidad de Buenos Aires, 2010, destaca

los registros de imágenes como fuentes de información completa. Son los UBI (ultrasonic

borehole imaging), ARI (azimuthal resistivity imaging) y FMI (formation microimager)

herramientas de imágenes micro-acústicas y micro-resistivas azimutales, denominadas

como registros de imágenes. Particularmente, las imágenes micro-resistivas (ARI y FMI)

producen valores de resistividad en donde se realzan los contrastes “resistivos”

relacionados a las propiedades mineralógicas y a la litología de las rocas. La Figura 2.1-2,

ilustra las variaciones de resistividad de diferentes litologías. Alarcón, 2005, señala que los

colores oscuros son relacionados a bajas resistividades (por ejemplo: lutitas) y los colores

claros a altas resistividades (por ejemplo: areniscas y calizas).

Figura 2.1-2: Interpretación de contrastes resistivos de imágenes eléctricas.

Tomado de Alarcón, 2005.

Aunque la herramienta UBI es altamente sensible a variaciones en la pared del pozo, no

permite identificar cambios litológicos. Palma, G.J., y Valderrama, 2006, proponen los



registros UBI como una herramienta fundamental para la identificación de fracturas

naturales, fracturas inducidas, planos de estratificación y breakouts. De esta manera, los

autores determinan la orientación de las fracturas presentes en la formación.

La Figura 2.1- 3-A, muestra los transductores rotativos que componen la herramienta UBI.

Los transductores actúan como emisores y receptores de las ondas. Schlumberger, 2002,

diseña un transductor que transmite un pulso ultrasónico y recibe un pulso reflejado. La

Figura 2.1- 3-B muestra la presentación típica de un registro UBI. La imagen consiste en

una “fotografía” perimetral del pozo. La herramienta es inadecuada para detectar fracturas

con espesores despreciables (una de las desventajas respecto a los métodos directos).

Adicionalmente, identificando del UBI las fracturas por cizalla y las fracturas por tensión se

logra obtener un estimado de la orientación de los esfuerzos principales del sistema.

Figura 2.1- 3: A- Set de transductores herramienta UBI; B- registro de imagen UBI.

Tomado de Schlumberger, 2002.

Como se ilustra en la Figura 2.1-4, de los registros de imagen se pueden identificar

diferentes tipos de estructuras como: fracturas naturales, fracturas inducidas, breakouts,

planos de estratificación, tipo de fractura (de alta o baja calidad), orientación y buzamiento

de las estructuras, entre otros. Particularmente, esta investigación trabaja con datos ya

interpretados de los registros de imágenes.

Marco teórico 37

Figura 2.1-4: Interpretación de diferentes estructuras sobre un registro UBI del pozo XR1.

2.1.2 Atributos de las FN

Los atributos físicos más destacados de las fracturas naturales son:

2.1.2.1 Orientación:

Chica, 1984, define la orientación como la disposición de un plano o línea estructural en el

espacio. Por lo general la orientación es relacionada con coordenadas geográficas y con

el plano horizontal. El rumbo y la inclinación de los planos de fractura son componentes de

la orientación. El rumbo es el ángulo horizontal entre una línea y una dirección de

coordenadas específicas (generalmente respecto al norte o sur). Por otro lado, la

inclinación es el ángulo definido por una línea y su proyección vertical.

La notación de la orientación puede ser dada en tres formas diferentes. Dicha notación

esta siempre dada por dos factores separados por un slash (“/”). Rumbo/buzamiento

(strike/dip), Azimut del buzamiento/buzamiento (dip azimut/dip) y Azimut/buzamiento son

los tipos de datos en que se puede representar la orientación de un plano. Abad, 2016,

destaca la importancia de entender el tipo de dato que da el geólogo o la herramienta

implementada. De esta manera se evitan interpretaciones erróneas de la disposición de



los planos de fractura, ya que cada tipo de escritura de los datos de orientación de las

fracturas representa un concepto estructural diferente.

Como se mencionó anteriormente, los registros de imágenes son usualmente apropiados

y muy utilizados en la industria para la obtención de la orientación de las fracturas. Las

imágenes del pozo pueden ser generalmente orientadas respecto al norte o respecto al eje

mayor del pozo (en el caso de un pozo inclinado). La orientación tomada de los registros

de imágenes se interpreta generalmente en términos de azimut del

buzamiento/buzamiento (dip azimut/dip).

La interpretación de la orientación de las fracturas, a partir de los registros de imágenes,

incluye la representación gráfica de los diferentes sets de fracturas mediante diagramas

de rosas y diagramas de polos. La Figura 2.1-5 ilustra la tendencia de la orientación

obtenida para una zona, del pozo XR1, que contiene fracturas de alta calidad. Las

formaciones contienen múltiples fracturas pero no todas aportan significativamente a la

productividad del pozo. De allí la clasificación entre fracturas de alta calidad y baja calidad.

Una familia de fracturas puede ser clasificada de alta calidad si tiene una frecuencia de

fractura media a alta, una buena distribución espacial (en la zona de interés), una

orientación favorable respecto a la orientación de los esfuerzos y una amplitud acústica

alta.

Figura 2.1-5: Diagrama de polos y diagrama de rosas de una sección del pozo XR1 con

fracturas naturales de alta calidad.

Marco teórico 39

2.1.2.2 Frecuencia (índice o intensidad):

La frecuencia de las fracturas (𝑓) se define en la ecuación (2.1-1) como el número de

fracturas (# 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠) por unidad de área. Generalmente, en la industria se determina

la intensidad de las fracturas por unidad de longitud (𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 [𝑓𝑡]).

𝑓 = # 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠

𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑑 ................................................................................................... (2.1-1)

El número de fracturas corresponde al total de fracturas naturales existentes (o

interpretadas en el registro). La profundidad corresponde a la diferencia de profundidades

de la potencial zona de interés. La profundidad de interés se evalúa con la profundidad real

(measured depth, 𝑀𝐷) hallada entre la diferencia de la profundidad base y la profundidad

tope de la zona a evaluar, ecuación (2.1-2).

𝑓 = # 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠

𝑀𝐷𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑀𝐷𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ............................................................................................... (2.1-2)

Algunos autores relacionan la frecuencia con el grado de fragilidad de la roca. Por ejemplo,

Nelson, 2001, propone la relación de la litología y el tamaño de grano en función de la

intensidad de la fractura. Como se ilustra en la Figura 2.1-6, un alto grado de fracturamiento

se relaciona estrechamente con tamaños de grano pequeño. A pesar de esto, la figura

también muestra que la litología influye en la resistencia y ductilidad de las rocas. Es decir,

un fracturamiento intenso también se asocia a una alta cantidad de minerales frágiles (de

baja dureza) presentes en la formación.



Figura 2.1-6: Diagrama de barras que muestra la intensidad de las fracturas en función de

la litología y el tamaño de grano.

Tomado de Nelson, 2001.

2.1.2.3 Apertura:

La apertura es la distancia entre dos planos que conforman la fractura. Autores como

Nelson, 2001, relacionan la apertura de la fractura con el diámetro ya que es la medida

perpendicular a la dirección del plano de fractura. Las fracturas naturales presentan

diferentes morfologías por lo cual es probable que se encuentren abiertas o mineralizadas

(rellenas de material).

La resistencia de la roca fracturada es función del relleno de las fracturas. Suarez, 2016,

propone la mineralogía del material del relleno, gradación y tamaño de las partículas,

contenido de agua y permeabilidad, movimientos anteriores, rugosidad y fracturamiento de

las paredes, ancho, grado de meteorización y potencial de expansión del relleno como los

principales factores que controlan la resistencia del relleno de las fracturas y por ende el

comportamiento mecánico de las mismas.

Marco teórico 41

La apertura de las fracturas puede ser leída en superficie, es decir, directamente desde el

afloramiento. El valor de apertura de fractura leído en superficie no puede asumirse “igual”

en profundidad debido a que la carga del overburden y la orientación de los esfuerzos

tienden a cerrar la fractura en profundidad. Es posible que la orientación de los esfuerzos

pueda desfavorecer (Figura 2.1-7-A) o favorecer (Figura 2.1-7-B) la apertura de la fractura.

De esta manera, las lecturas más confiables para estimar un valor de apertura son a partir

de la interpretación de núcleos de perforación y registros de imágenes. Particularmente, el

modelo propuesto asume la apertura del plano de fractura de interés como un dato de

entrada. El dato de entrada puede provenir de un registro de imagen o de una prueba

experimental.

2.1.2.4 Espaciamiento:

El espaciamiento es la distancia promedio entre una fractura y otra o el espaciamiento

entre diferentes sets de fracturas. El espaciamiento se mide perpendicularmente entre los

planos de fracturas con orientaciones predominantes. Nelson, 2001, propone la

composición, el tamaño de grano, la porosidad, el espesor de las capas y la configuración

estructural como parámetros geológicos que afectan el espaciamiento de las fracturas.

Nelson, 2001, expone algunas características de las rocas y las fracturas en función del

espaciamiento:

- Rocas fracturadas con bajas porosidades tienen menor espaciamiento entre sí

respecto a rocas muy porosas.

- Los tamaños de grano pequeños incrementan la resistencia a la compresión y a la

tensión de la formación. Esto puede inferir una roca más “apretada”, lo que implica

menor espaciamiento entre las discontinuidades.

- El peso del overburden aumenta en profundidad en función del espesor de las

capas. Similar al caso anterior, el espaciamiento entre las discontinuidades

disminuye cuando se tienen amplios espesores de la formación.

- La exposición de las discontinuidades a una configuración tectónica activa influye

en la magnitud del espaciamiento.



En caso de ser un dato necesario para la ejecución del modelo, el espaciamiento entre

fracturas correspondería a un dato de entrada para el modelo.

Figura 2.1-7: Representación esquemática de la apertura de una fractura en función de la

orientación de los esfuerzos. Asumiendo, 𝑆𝐻 > 𝑆𝑣, se tiene: A- estado de esfuerzos

desfavorable que propende el cierre de fractura; B- estado de esfuerzos favorable que

propende la apertura de la fractura.

2.1.2.5 Rugosidad:

La rugosidad es la textura superficial o conjunto de irregularidades de la cara de la fractura.

Múltiples clasificaciones han sido desarrolladas para estandarizar las descripciones. A

pesar de esto, la rugosidad es una propiedad muy cualitativa y subjetiva. La Figura 2.1-8,

ilustra la escala descriptiva de las rugosidades propuesta por Hoek. Por su parte, la

clasificación de rugosidad de discontinuidades más implementada corresponde a la

propuesta por Barton (ver Camacho, J.F., Reyes-Ortiz, O., Nieto, A., Millán, S., y Rincón,

2009.). El contacto entre las dos caras de fractura puede ser discontinuo, escalonado-

rugoso, escalonado-liso, escalonado-perfectamente liso (pulido), ondulado-rugoso,

ondulado-liso, ondulado-perfectamente liso (pulido), planos-rugosos irregulares, planos

lisos, planos-perfectamente lisos (pulido) y rellenos (no hay contacto de los planos de

fractura). Una rugosidad compleja en las fracturas propende canales de flujo irregulares

beneficiosos para mantener la apertura de la fractura. En caso de ser una variable

necesaria, la rugosidad corresponde a un dato de entrada para el modelo.

Marco teórico 43

Figura 2.1-8: Escala de observación descriptiva de las rugosidades, propuesta por Hoek-

1981.

Tomado de Camacho, J.F., Reyes-Ortiz, O., Nieto, A., Millán, S., y Rincón, 2009.

2.1.3 Propiedades petrofísicas de las FN

2.1.3.1 Porosidad:

La porosidad (∅) representa el espacio del volumen poroso en la roca. La porosidad se

calcula dividiendo el espacio vacío sobre el volumen total de la roca, ecuación (2.1-3). En

su libro Aguilera, 1995, propone dos tipos de porosidad, porosidad primaria y porosidad

secundaria. La porosidad primaria es aquella que se crea cuando el sedimento es

depositado por primera vez. De esta manera, el sedimento se solidifica (se vuelve roca)

guardando de manera inherente las características de los poros (Figura 2.1-9-A).

∅ =𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑜

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙∗ 100.......................................................................................... (2.1-3)

Por otro lado, Aguilera, 1995, describe la porosidad secundaria o porosidad inducida como

el resultado de procesos geológicos posteriores a la depositación de la roca. En general,

procesos de solución, dolomitización, recristalización y fracturamiento (Figura 2.1-9-B) son

desencadenantes de porosidad secundaria. El autor plantea que esta porosidad es más

común en reservorios carbonatados que en areniscas, shales y rocas cristalinas.



Figura 2.1-9: Representación esquemática de la porosidad primaria (intergranular) y de la

porosidad secundaria (por fracturamiento).

Tomado de Sánchez, 2014.

La porosidad de un yacimiento naturalmente fracturado es la suma de la porosidad primaria

(atribuida a la matriz) y la porosidad secundaría (relacionada a las fracturas). El valor de

porosidad implementado en el modelo se asume como un dato de entrada.

2.1.3.2 Permeabilidad:

Aguilera, 1995, define la permeabilidad como la capacidad de flujo del medio poroso. Se

puede interpretar como la medida de la capacidad del medio poroso para transmitir fluidos.

La permeabilidad también puede clasificarse como primaria y secundaria. La

permeabilidad primaria es relacionada a la permeabilidad de la matriz de la roca. La

permeabilidad secundaria es referida a las fracturas y a la solución de los poros.

2.1.3.2.1 Permeabilidad de la matriz:

La matriz de la roca es el material más fino que compone la roca. Esta masa de roca

envuelve granos grandes de minerales y clastos.

Al igual que la porosidad primaria, la permeabilidad primaria es relacionada con los

procesos de formación de la roca. Es decir, la permeabilidad primaria (atribuida a la matriz)

es la permeabilidad intrínseca que adquirió el sedimento al depositarse y compactarse.

La permeabilidad de la matriz corresponde a un dato de entrada del modelo, y será

constante para todo el sistema matriz-fractura.

2.1.3.2.2 Permeabilidad de fractura:

La permeabilidad secundaria es relacionada a la presencia de microfracturas, fracturas,

fallas y cualquier estructura producto de variaciones en los esfuerzos. Dichas estructuras

crean canales de flujo que pueden aumentar la permeabilidad del sistema. Para Ariza,

Marco teórico 45

E.P., y Sandoval, 2006, la permeabilidad de las fracturas representa la capacidad de las

fracturas para permitir el desplazamiento de fluidos.

La permeabilidad de las fracturas aumenta cuando las fracturas se encuentran abiertas y

no mineralizadas ni rellenas. En la literatura existen múltiples técnicas, modelos y

ecuaciones que logran estimar de forma numérica y/o analítica la permeabilidad de las

fracturas. Los diferentes modelos implementados en el cálculo de permeabilidad de

fractura en el capítulo 2.5.

2.1.4 Clasificación de los yacimientos naturalmente fracturados

Nelson, 2001, expone que el origen, la continuidad y la interacción entre el flujo y las

fracturas son la base de la clasificación para reservorios fracturados. La clasificación,

expuesta en la Figura 2.1-10, estima la calidad de los reservorios en función de la

porosidad y de la permeabilidad de las fracturas.

Los reservorios “tipo I”, tienen fracturas que proveen características de un reservorio

esencialmente poroso y permeable. Es decir, las fracturas son permeables y tienen alta

capacidad de almacenamiento. La matriz no tiene (o tiene muy poca) porosidad y

permeabilidad.

Por su parte, los reservorios “tipo II”, tienen fracturas que proveen la permeabilidad

esencial del reservorio. La capacidad de almacenaje está en la matriz.

Los reservorios “tipo III”, tienen una matriz con buena porosidad y permeabilidad.

Adicionalmente, las fracturas son contribuyentes en el aumento de la permeabilidad. Y, los

reservorios “tipo IV o M”, tienen un matriz con altas porosidades y permeabilidades. El

aporte de hidrocarburo se atribuye únicamente a la matriz. Las fracturas no adicionan

porosidad ni permeabilidad al sistema.

Nelson, 2001, señala que generalmente los yacimientos naturalmente fracturados son

vistos como un problema debido a los retos técnicos y a los costos económicos que

implican mantener la productividad de las formaciones fracturadas. Debido a esto, el autor

propone alternativas que pueden mejorar el rendimiento óptimo de los reservorios. La



cuantificación en descripciones geológicas y petrofísicas, la interpretación de la evaluación

de la historia de producción, el modelamiento del reservorio en el tiempo de producción,

son aspectos propuestos para controlar lograr mantener la producción de este tipo de

reservorios.

Figura 2.1-10: Diagrama porcentual porosidad del reservorio vs permeabilidad del

reservorio (porcentaje debido a la matriz y porcentaje debido a las fracturas).

Tomado de Nelson, 2001.

Se debe cambiar la percepción de que los reservorios sensibles a esfuerzos, como lo son

las rocas naturalmente fracturadas, representan complicaciones fatalistas para la industria.

Las fracturas de cada tipo de reservorio (tipo I, tipo II y tipo III) contienen características

positivas inherentes de las fracturas que propenden una alta productividad. Por ejemplo,

con la aplicación de modelos de diagnóstico de la deformabilidad de las fracturas en

función de los esfuerzos, se puede lograr un buen manejo y control de la productividad de

este tipo de yacimientos a lo largo del tiempo productivo. Para un mayor énfasis de las

potencialidades y las ventajas de los reservorios fracturados naturalmente, se sugiere

revisar las páginas 107-110 de Nelson, 2001.

2.2 Modelo geomecánico

Un modelo geomecánico es aplicado para analizar el comportamiento de la roca y de los

fluidos que contiene. La roca intervenida mediante cualquier operación mecánica varía sus

características intrínsecas. Magnitud y orientación de esfuerzos principales, propiedades

Marco teórico 47

elásticas y de resistencia de la roca y presión de poro son las variables que componen un

modelo geomecánico.

2.2.1 Cálculo de esfuerzos principales

El esfuerzo se define como la fuerza en un punto (P) por unidad de área (Figura 2.1-2).

Zoback, 2007a, sugiere que aplicar el concepto de esfuerzos sobre la corteza de la tierra

implica diferenciar entre el mayor, el intermedio y el menor de los esfuerzos. La

comprensión de la relación de los tres esfuerzos principales permite estudiar el estado de

esfuerzos actual. La nomenclatura de esfuerzos principales fue originalmente propuesta

desde la clasificación de fallas de Anderson como esfuerzo vertical o esfuerzo del

overburden (𝑆𝑣), esfuerzo horizontal mínimo (𝑆ℎ) y esfuerzo horizontal máximo (𝑆𝐻).

La clasificación de fallas de Anderson es una clasificación dinámica de las fallas a partir

de la relación ortogonal de tres vectores principales de esfuerzos (𝑆𝑣, 𝑆ℎ y 𝑆𝐻). La magnitud,

orientación e interacción de los esfuerzos principales dependen de la configuración

tectónica de cada lugar. La Tabla 2.2-1 y la Figura 2.2-1 describen los tres principales tipos

de fallas clasificados en función de la relación, entre sí, de los vectores de esfuerzos. De

la Tabla 2.2-1, las variables 𝑆𝑚𝑎𝑥, 𝑆𝑚𝑒𝑑 y 𝑆𝑚𝑖𝑛 corresponden a los esfuerzos principales

máximo, intermedio y mínimo, respectivamente.

Figura 2.2-1: Representación esquemática del concepto de esfuerzo.

Tomado de: Osorio, 2015i.



Tabla 2.2-1: Clasificación Andersiana del régimen de esfuerzos.

REGIMEN ESFUERZOS

𝑺𝒎𝒂𝒙 𝑺𝒎𝒆𝒅 𝑺𝒎𝒊𝒏

Normal 𝑆𝑣 𝑆𝐻 𝑆ℎ

De rumbo 𝑆𝐻 𝑆𝑣 𝑆ℎ

Inverso 𝑆𝐻 𝑆ℎ 𝑆𝑣

Información tomada de Zoback, 2007a.

Figura 2.2- 2: Clasificación Andersiana del régimen de esfuerzos.

Modificado de Osorio, 2015b.

El cálculo de los esfuerzos principales involucra múltiples metodologías y herramientas.

Algunos métodos son expuestos a continuación.

2.2.1.1 Esfuerzo vertical (𝑺𝒗):

Para cualquier punto (P) en el espacio, el esfuerzo vertical también llamado presión del

overburden equivale al peso de la formación más los fluidos que contenga (agua e

hidrocarburos, Figura 2.2-3). La ecuación (2.2-1) representa la integración de la densidad

de la roca (𝜌𝑏) hasta la profundidad de interés (por ejemplo, la profundad de la base de la

formación, 𝑧𝑘𝑛). La ecuación (2.2-2) representa el cálculo del esfuerzo vertical costa afuera

(off shore). La densidad del agua de mar (𝜌𝑠𝑒𝑎) y la profundidad de la columna de agua

(𝑊𝐷) deben ser adicionadas a la ecuación. La variable 𝑔 representa la constante

gravitacional.

Marco teórico 49

𝑆𝑣𝑜𝑛_𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒= ∫ 𝜌𝑏(𝑧𝑘𝑛) ∗ 𝑔 ∗ 𝑑𝑧

𝑧𝑘𝑛

𝑧𝑘0 .......................................................................... (2.2-1)

𝑆𝑣𝑜𝑓𝑓_𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒 = ∫ 𝜌𝑏(𝑧𝑘𝑛) ∗ 𝑔 ∗ 𝑑𝑧𝑧𝑘𝑛

𝑧𝑘0+ (𝜌𝑠𝑒𝑎 ∗ 𝑊𝐷) ................................................ (2.2-2)

Figura 2.2-3: Esquema del esfuerzo vertical o presión del overburden debido al peso de

los sedimentos.

Para calcular el esfuerzo vertical es necesario tener un registro de densidad. El registro de

densidad suele estar incompleto o presentar inconsistencias (especialmente en las zonas

más superficiales del pozo). De esta manera, puede superponerse con un registro caliper

para dar mayor confianza a la interpretación de los datos. También es posible utilizar los

datos de un registro sónico, con modelos teóricos e información de pozos offset para el

completamiento y calibración del registro de densidad.

Cualquier registro utilizado para generar un modelo geomecánico debe ser calibrado. El

registro de densidad puede ser calibrado teórica y experimentalmente. Múltiples

correlaciones empíricas existen para calibrar los registros de densidad. La correlación de

Miller es una de las más utilizadas (𝜌𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟). La Figura 2.2-4, ilustra un perfil de densidad

contrastado con la curva teórica de Miller (curva negra). La ecuación (2.2-3), expuesta en

Osorio, 2015c, describe numéricamente la correlación de Miller.



𝜌𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 = 𝜌𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(1 − ∅) + 𝜌𝑤∅ .............................................................................. (2.2-3)

Donde 𝜌𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 equivale a la densidad de la matriz, 𝜌𝑤 es la densidad del agua y ∅

representa la porosidad del sedimento. ∅, expresado en la ecuación (2.2-4), es función de

∅𝑎 que corresponde a la porosidad del sedimento a grandes profundidades, de ∅𝑏 que

corresponde a la porosidad del sedimento como un parámetro de ajuste, de 𝐾𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 que

corresponde a un parámetro de ajuste que varía entre [0,002 − 0,004], de 𝑛𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 que

corresponde a un parámetro de ajuste entre [1-1,3] y de una profundidad, 𝑧𝑘.

∅ = ∅𝑎 + ∅𝑏𝑒𝐾𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟(𝑧𝑘)1/𝑛𝑀𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 ............................................................................... (2.2-4)

La ecuación (2.2-5) corresponde a la ecuación de Gardner. La ecuación también es

empleada para corregir y generar perfiles de densidad a partir de registro sónico dipolar.

𝜌𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 = 𝐴𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 (106

𝐷𝑇)𝐵𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟

............................................................................ (2.2-5)

Donde 𝜌𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟corresponde a la densidad calculada con el modelo de Gardner, 𝐷𝑇

representa el tiempo de viaje de la onda del registro sónico, 𝐴𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 es una constante

(típicamente es 0,23) y 𝐵𝐺𝑎𝑟𝑑𝑛𝑒𝑟 es otra constante (típicamente es 0,25).

Los registros obtenidos aplicando la correlación de Miller y la correlación de Gardner,

ecuación (2.2-3) y (2.2-5), respectivamente, se deben ajustar para ser empleados en la

calibración del registro de densidad. Generalmente se lleva la curva teórica a datos

estáticos obtenidos en pruebas de laboratorio. Si no es posible un dato estático, se puede

calibrar (o “amarrar”) los registros a datos obtenidos de algún pozo cercano (pozos offset).

El pozo cercano debe reunir la mayor cantidad de similitudes geológicas y estructurales.

Marco teórico 51

Figura 2.2-4: Registro de densidad con perfil de corrección de Miller.

Tomado de Osorio, 2015c.

2.2.1.2 Esfuerzo horizontal mínimo (𝑺𝒉):

El esfuerzo horizontal mínimo es usualmente estimado a partir de técnicas de pruebas in-

situ que implican generación de fracturas. Las técnicas empleadas miden la respuesta de

la presión de apertura, propagación y cierre de un fracturamiento hidráulico (o fractura

inducida).

Osorio, 2015d, expone que las técnicas más conocidas para el cálculo del esfuerzo

horizontal mínimo son leak off test (LOT), extended leak off test (XLOT), step rate test

(SRT) y eventos relacionados a la perforación (ballooning o breathing).

Una prueba LOT mide la presión requerida para inducir una fractura. Con la LOT se logra

determinar el esfuerzo mínimo. Adicionalmente, el esfuerzo mínimo permite ajustar

parámetros para el diseño del pozo. El peso límite del lodo es determinado para mantener

la integridad del casing y la integridad de la formación. La prueba LOT inicia con el

asentamiento de casing, como se ilustra en la Figura 2.2-5-A. La formación de interés se

deja “destapada” mientras el resto del pozo se encuentra revestido. Se cierra el pozo y se



presuriza aumentando el peso de lodo. Generalmente la prueba se aplica en formaciones

de shale. La Figura 2.2-5-B, ilustra cada una de las etapas de la prueba.

Durante el desarrollo de la LOT, la roca y las fracturas tienen el siguiente comportamiento:

En el “punto 1”, durante el inicio de la prueba se tiene una linealidad de la presión en

función del tiempo como una respuesta elástica de la roca. Hasta el punto 2 se conserva

el comportamiento elástico en el sistema.

Particularmente, el “punto 2” se conoce como LOP (leak off pressure). Los fluidos

empiezan a invadir la roca. La roca empieza a romperse pero no necesariamente se

fractura. Cuando la roca llega a este estado se conoce como FIT (formation integrity test).

Algunos perforadores e ingenieros de la industria temen sobrepasar la el valor de la FIT

por temor a tener pérdidas de circulación y pérdidas de la integridad de la formación.

Razones que Osorio, 2015d, expone no tienen sentido y hacen parte únicamente de un

mito. El esfuerzo principal mínimo se encuentra por encima del valor de la FIT. Osorio,

2015d, afirma que se ha encontrado que el valor de 𝑆ℎ corresponde a un valor entre el 5-

10% del valor de la FIT.

Figura 2.2-5: A-Montaje de la prueba LOT y XLOT; B-Interpretación gráfica de la respuesta

de la presión apertura, propagación y cierre de una fractura hidráulica (análisis LOT).

Tomado de Osorio, 2015d.

Marco teórico 53

El “punto 3” es llamado como FBP (formation breakdown pressure). La formación se rompe

generando la aparición de fracturas. La presión se incrementa haciendo que la fractura se

propague hasta que su tamaño se estabilice en un solo valor de presión. En este punto es

importante destacar que las fracturas por tensión se generan perpendiculares al esfuerzo

mínimo. Por su parte las fracturas por cizalla (breakouts) se encuentran paralelos al

esfuerzo mínimo.

Ya para el ”punto 4” (FPP, fracture propagation pressure) se estabiliza una presión de

apertura de fractura. Esto permite una propagación estable de la fractura dentro de la

formación. El régimen de flujo es lineal.

El “punto 5” conocido como ISIP (instantaneous shut-in pressure). Esta es la etapa de la

prueba donde la presión decrece después de desviarse de la trayectoria estable. En este

punto la fractura inicia a cerrarse. El régimen de flujo pasa de lineal a radial.

En el “punto 6” o FCP (fracture closure pressure) las nuevas fracturas creadas se cierran.

Este dato corresponde al verdadero valor de 𝑆ℎ. Los fluidos y la formación que los contiene,

buscan un estado de equilibrio. Y finalmente, el “punto 7” o Bleed-off ocurre el cierre de

bombas.

Este ciclo se repite hasta tres veces. A partir del segundo ciclo la prueba toma el nombre

de XLOT. Como se ilustra en la Figura 2.2-6, es posible que en los ciclos posteriores se

obtenga un valor diferente de FCP. Osorio, 2015d, atribuye la diferencia entre el primer

pico y el segundo pico es debido al aumento de la resistencia a la tensión de la roca ya

que la apertura, cierre y reapertura de la fractura genera “stress-cage” (o puenteo) que

ocasiona la depositación de material de relleno dentro de la fractura).

Para ampliar la metodología del cálculo del esfuerzo mínimo a partir de las pruebas step

rate test (SRT) y eventos relacionados a la perforación (ballooning o breathing), se sugiere

revisar Mandal, D., Qazi, A., Abdullan, S., Bu-Quaris, A., y Hughes, 2005; Osorio, 2015d;

Zoback, 2007a.



Figura 2.2-6: Representación gráfica de una prueba XLOT.

Tomado de Osorio, 2015d.

Los datos de fracturamiento hidráulico dan un valor puntual de 𝑆ℎ (dentro de la formación

de interés). Estos datos sirven como un valor estático para la calibración del perfil dinámico.

A partir de correlaciones empíricas y con la implementación de registros se calcula el perfil

dinámico de 𝑆ℎ. La correlación empírica más conocida y usada es la correlación de Eaton,

la cual se sustenta en la teoría de la elasticidad. La ecuación (2.2-6) describe el esfuerzo

mínimo en función de la relación de Poisson (𝑣𝑓), del esfuerzo vertical y de la presión de

poro (𝑝𝑝). Esta ecuación asume que el esfuerzo horizontal mínimo y el esfuerzo horizontal

máximo (𝑆𝐻) son iguales. La relación 𝑆ℎ=𝑆𝐻 es cierta, solamente cuando la configuración

tectónica de los sistemas es relacionada a una cuenca pasiva. Debido esto, la ecuación

(2.2-6) es modificada adicionando una constante tectónica, denominada 𝑇𝐸𝐶. Así,

modificando la ecuación (2.2-6) se obtiene la ecuación (2.2-7). Para Osorio, 2015d, la

variable 𝑇𝐸𝐶 no representa una condición tectónica. Para el autor, 𝑇𝐸𝐶, corresponde a un

parámetro de ajuste de la ecuación de Eaton que no tiene relación con la configuración

tectónica de los sistemas. 𝑇𝐸𝐶 varía entre [0,2 - 3].

𝑆ℎ = (𝑣𝑓

1−𝑣𝑓) (𝑆𝑣 − 𝑝𝑝) + 𝑝𝑝 ................................................................................... (2.2-6)

𝑆ℎ = ((𝑣𝑓

1−𝑣𝑓) (𝑆𝑣 − 𝑝𝑝) + 𝑝𝑝) + 𝑇𝐸𝐶 ..................................................................... (2.2-7)

Marco teórico 55

Para obtener el perfil dinámico del esfuerzo mínimo se debe calcular el perfil de la relación

de Poisson a partir del registro sónico compresional y de cizalla. Luego, se calcula el perfil

de 𝑆𝑣 y el perfil de 𝑝𝑝. Cada uno de estos perfiles dinámicos (𝑣𝑓 , 𝑆𝑣 y 𝑝𝑝) debe ser calibrado,

previamente, con datos de laboratorio (datos estáticos) y/o con datos de pozos off-set. Así,

las curvas de 𝑣𝑓 , 𝑆𝑣 y 𝑝𝑝 son ajustadas a la ecuación (2.2-7), y se obtendría el registro de

𝑆ℎ sin calibrar.

El perfil de 𝑆ℎ se calibra ploteando los puntos obtenidos de las pruebas de fracturamiento

hidráulico (LOT, XLOT, SRT, etc). Teniendo en cuenta que se deben conservar valores

lógicos, si el perfil 𝑆ℎ no coincide con los puntos medidos en la prueba de presión, se debe

modificar la constante de ajuste 𝑇𝐸𝐶, prevaleciendo la guía de los datos estáticos sobre

los dinámicos.

2.2.1.3 Esfuerzo horizontal máximo (𝑺𝑯):

De los tres esfuerzos principales, el esfuerzo horizontal máximo es el menos sencillo de

calcular. A diferencia del esfuerzo horizontal mínimo y del esfuerzo vertical, no existe un

método de cálculo directo. La teoría de fallas de Anderson, la teoría Coulomb, el polígono

de esfuerzos, (aplicación teoría friccional), la interpretación de breakouts, las correlaciones

empíricas y las pruebas de laboratorio son las principales metodologías que se combinan

para obtener un valor estimado de 𝑆𝐻.

Como se menciona al comienzo de este capítulo, la teoría de fallas de Anderson es

utilizada para determinar la relación entre los esfuerzos principales (Modificado de Osorio,

2015b.Tabla 2.2-1). Lo anterior, debido a que la posición y la relación de los vectores de

esfuerzos es función del ambiente geológico. Por su parte, la teoría friccional (teoría

Coulomb) representada en la ecuación (2.2-8). Osorio, 2015e, expone que la teoría

friccional parte del concepto que “una discontinuidad (falla o fractura) puede deslizarse (o

reactivarse) si la relación entre el esfuerzo normal efectivo (𝑆´𝑛) y el esfuerzo de cizalla

(𝜏𝑠) excede el valor del coeficiente de fricción interna (𝜇)”

𝑆´𝑛

𝜏𝑠 ≥ 𝜇 .................................................................................................................. (2.2-8)



La ecuación (2.2-9) describe la definición de esfuerzo normal efectivo. 𝑆´𝑛 es función del

esfuerzo normal total, 𝑆𝑛, de la presión de poro y del coeficiente de Biot, 𝛼. La variable 𝛼,

define la contribución de la presión de poro. Físicamente 𝛼 es función de las propiedades

elásticas del material. El rango de 𝛼 es 0 ≤ 𝛼 ≤ 1. Si 𝛼 = 0, representa un material sólido

muy compacto. Si 𝛼 = 1, representa un material poroso y muy elástico que es altamente

influenciable por la presión de poro.

𝑆´𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝛼𝑝𝑝 ..................................................................................................... (2.2-9)

La ecuación (2.2-10), descrita en Osorio, 2015e, se obtiene aplicando la definición de

esfuerzo efectivo, ecuación (2.2-9), en la ecuación (2.2-8). En la ecuación (2.2-10), las

variables 𝑆´𝑚𝑎𝑥 y 𝑆´𝑚𝑖𝑛 corresponden a los esfuerzos efectivos principales máximo y

mínimo, respectivamente.

𝑆´𝑚𝑎𝑥

𝑆´𝑚𝑖𝑛=

𝑆𝑚𝑎𝑥−𝑝𝑝

𝑆𝑚𝑖𝑛−𝑝𝑝≤ [√ 𝜇2 + 1 + 𝜇]

2= 𝑓(𝜇) ............................................................. (2.2-10)

La Figura 2.2-7-A, ilustra que cuando 𝜇 es mayor que (𝑆´𝑛𝑖

𝜏𝑠𝑖), el sistema se encuentra en

equilibrio. Por su parte, la Figura 2.2-7-B, ilustra que si (𝑆´𝑛𝑖

𝜏𝑠𝑖), es un poco mayor que 𝜇, el

sistema inicia a desequilibrarse. Y finalmente, la Figura 2.2-7-C, muestra que si (𝑆´𝑛𝑖

𝜏𝑠𝑖), es

mayor que 𝜇, el sistema se encuentra en desequilibrio.

A partir de la ecuación (2.2-10), se obtiene una ecuación representativa de la teoría

friccional para cada régimen de esfuerzos. Las ecuaciones (2.2-11) a (2.2-13) representan

la teoría friccional para el régimen de esfuerzos normal, inverso y de rumbo,

respectivamente.

Para 𝑆𝑣 ≥ 𝑆𝐻 ≥ 𝑆ℎ:

𝑆ℎ ≥ (𝑆𝑣−𝑝𝑝)

[√ 𝜇2+1 + 𝜇]2 + 𝑝𝑝 ............................................................................................. (2.2-11)

Marco teórico 57

Para 𝑆𝐻 ≥ 𝑆ℎ ≥ 𝑆𝑣:

𝑆𝐻 ≤ [√ 𝜇2 + 1 + 𝜇]2(𝑆𝑣 − 𝑝𝑝) + 𝑝𝑝 .................................................................... (2.2-12)

Para 𝑆𝐻 ≥ 𝑆𝑣 ≥ 𝑆ℎ:

𝑆𝐻 ≤ [√ 𝜇2 + 1 + 𝜇]2(𝑆ℎ − 𝑝𝑝) + 𝑝𝑝 .................................................................... (2.2-13)

Figura 2.2-7: Representación gráfica de la teoría friccional: A- Estado de esfuerzos en

equilibrio; B- Pocas fracturas están orientadas favorablemente para su reactivación; C-

Varios sets de fracturas se encuentran orientados favorablemente para su reactivación.

Tomado de Osorio, 2015e.

Por otro lado, Zoback, et al 1987, 1990 en Zoback, 2007a, proponen el polígono de

esfuerzos basados en las ecuaciones (2.2-11) a (2.2-13). El polígono de esfuerzos es una

ilustración gráfica que representa rangos de la magnitud de los esfuerzos principales,

según el caso. El polígono de esfuerzos define un rango de magnitudes de 𝑆𝐻 más no un

único valor. Para conocer el detalle de la construcción del polígono de esfuerzos se sugiere

revisar el capítulo 4 de Osorio, 2015e; Zoback, 2007a.



La Figura 2.2-8-A, ilustra un rango de magnitud de 𝑆ℎ y 𝑆𝐻 para una profundidad y una

presión de poro específica, y un coeficiente de fricción interna conocido. Por su parte, la

Figura 2.2-8-B, muestra que el efecto de un sistema de esfuerzos anisotrópico (𝑆𝑣 ≠ 𝑆ℎ ≠

𝑆𝐻) con una presión de poro alta tiende a un comportamiento isotrópico (𝑆𝑣 = 𝑆ℎ = 𝑆𝐻).

Por otro lado, las pruebas de laboratorio y la interpretación de las fallas por cizalla

(breakouts) permiten estimar un valor aproximado del esfuerzo principal máximo. La Figura

2.2-9, representa el sistema físico de un breakout producto del vencimiento de la

resistencia a la tensión de la roca (𝑈𝐶𝑆). La correlación de la ecuación (2.2-14) describe al

esfuerzo máximo como función del 𝑈𝐶𝑆 de la roca, de las variaciones de presión (∆𝑃), del

esfuerzo mínimo, y de un ángulo (ω) medido entre el azimut y 𝑆𝐻 (Figura 2.2-9).

𝑆𝐻 =𝑈𝐶𝑆 + 2𝑝𝑝 + ∆𝑃 − 𝑆ℎ(1+𝑐𝑜𝑠2ω)

1 − 2(𝑐𝑜𝑠2ω) ................................................................................ (2.2-14)

Figura 2.2-8: A- Representación gráfica del polígono de esfuerzos; B- Representación

gráfica del polígono de esfuerzos bajo condiciones de una presión de poro alta.

Tomado de Zoback, 2007a. Finalmente, con lo expuesto en los numerales 2.2.1.1 a 2.2.1.3, es posible estimar la

magnitud de los esfuerzos principales vertical, horizontal mínimo y horizontal máximo.

La orientación de los esfuerzos principales es determinada por observaciones de pozo,

indicadores geológicos recientes (en superficie o en profundidad) y mecanismos focales

de sismos. Adicionalmente, los registros de imagen son una “fotografía” perimetral del pozo

que otorgan una de las mejores fuentes de información. Como se mencionó en el capítulo

Marco teórico 59

2.1, los registros de imágenes permiten la interpretación de breakouts y fallas de tensión.

Siendo la dirección de los breakouts relacionada a la dirección del esfuerzo horizontal

mínimo. Por su parte, la dirección de las fracturas inducidas es relacionada a la dirección

del esfuerzo horizontal máximo. (Ver Figura 2.2-10). Aplicando estas interpretaciones de

los registros de imagen a la teoría de fallas de Anderson, se logra establecer una relación

de la orientación entre los tres esfuerzos principales.

Figura 2.2-9: Sistema físico de un breakout (falla por cizalla).

Tomado de Osorio, 2015e.

Figura 2.2-10: Interpretación de un registro de imagen: la falla por cizalla relacionada a la

dirección de 𝑆ℎ y la falla inducida relacionada a la dirección de 𝑆𝐻..

Tomado de Osorio, 2015b.



2.2.2 Cálculo esfuerzos principales luego de perforar el pozo

Las perturbaciones ocasionadas por la perforación del pozo inducen nuevos esfuerzos en

los alrededores del pozo. La Figura 2.2-11, ilustra que en el área más cercana a la pared

del pozo se genera una redistribución de los esfuerzos debido a la perforación. Allí mismo,

Osorio, 2015a ilustra como la densidad del lodo de perforación, en general de presión de

fondo, también afecta el campo de esfuerzos más cercano al pozo.

Para calcular los esfuerzos principales luego de perforar el pozo se debe dar solución a la

ecuación o polinomio característico, representado por la ecuación (2.2-15), donde 𝑆

representa un esfuerzo.

𝑆3 − 𝐼1𝑆2 + 𝐼2𝑆 − 𝐼3 = 0 ........................................................................................ (2.2-15)

La solución de polinomio representado por la ecuación (2.2-15) arroja tres raíces que

corresponden a la magnitud de los nuevos esfuerzos principales luego de que se ha

perforado el pozo. Las invariantes 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 están dadas por las ecuaciones (2.2-17) a (2.2-

19), y son función de las componentes de la matriz tensor de esfuerzos en los alrededores

del pozo, ecuación (2.2-16).

𝑆𝑖𝑗 = [

𝑆𝑟 𝜏𝑟𝜃 𝜏𝑟𝑧

𝜏𝜃𝑟 𝑆𝜃 𝜏𝜃𝑧

𝜏𝑧𝑟 𝜏𝑧𝜃 𝑆𝑧

] ............................................................................................. (2.2-16)

Las componentes de la matriz tensor de esfuerzos son: 𝑆𝑟 que corresponde al esfuerzo

radial, 𝑆𝜃 que corresponde al esfuerzo tangencial, 𝑆𝑧 que corresponde al esfuerzo axial,

𝜏𝑟𝜃 que corresponde al esfuerzo de cizalla entre el eje radial y tangencial, 𝜏𝑟𝑧 que

corresponde al esfuerzo de cizalla entre el eje radial y axial y 𝜏𝑧𝜃 que corresponde

al esfuerzo de cizalla entre el eje axial y tangencial.

𝐼1 = 𝑆𝑟 + 𝑆𝜃 + 𝑆𝑧 ................................................................................................... (2.2-17)

𝐼2 = 𝑆𝑟𝑆𝜃 + 𝑆𝜃𝑆𝑧 + 𝑆𝑧𝑆𝑟 − 𝜏2𝑟𝜃 − 𝜏2

𝜃𝑧 − 𝜏2𝑧𝑟 ........................................................ (2.2-18)

Marco teórico 61

𝐼3 = 𝑆𝑟𝑆𝜃𝑆𝑧 − 𝑆𝑟𝜏2𝜃𝑧 − 𝑆𝜃𝜏

2𝑧𝑟 − 𝑆𝑧𝜏

2𝑟𝜃 + 2𝜏𝑟𝜃𝜏𝜃𝑧𝜏𝑧𝑟 ............................................ (2.2-19)

Figura 2.2-11: Variaciones de los esfuerzos principales en la cercanía del pozo.

Tomado de Osorio, 2015a.

La mayor de las raíces corresponde al esfuerzo principal máximo luego de perforar el pozo

(𝑆1), la raíz intermedia corresponde al esfuerzo intermedio principal luego de perforar el

pozo (𝑆2), y la menor de las raíces corresponde al esfuerzo mínimo principal luego de

perforar el pozo (𝑆3). De esta manera se cumple que 𝑆1 > 𝑆2 > 𝑆3.

Por otro lado, la orientación de los esfuerzos principales luego de perforar el pozo se

obtiene calculando los cosenos directores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑣3⃗⃗⃗⃗ . El vector de cosenos directores del

esfuerzo principal máximo, 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , se obtiene de la solución del sistema de ecuaciones

generado por la ecuación (2.2-20), donde las incógnitas son los cosenos directores

𝑛11, 𝑛12 y 𝑛13. Para evaluar los cosenos directores correspondientes a los esfuerzos

intermedio y mínimo se procede de forma similar.

[

𝑆𝑟 − 𝑆1 𝜏𝑟𝜃 𝜏𝑟𝑧

𝜏𝜃𝑟 𝑆𝜃 − 𝑆1 𝜏𝜃𝑧

𝜏𝑧𝑟 𝜏𝑧𝜃 𝑆𝑧−𝑆1

] ∗ [

𝑛11

𝑛12

𝑛13

] = 0 ................................................................... (2.2-20)



En resumen, la orientación de los esfuerzos principales luego de perforar el pozo son 𝑣1⃗⃗⃗⃗ =

[

𝑛11

𝑛12

𝑛13

] ; 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = [

𝑛21

𝑛22

𝑛23

] ; 𝑣3⃗⃗⃗⃗ = [

𝑛31

𝑛32

𝑛33

], asociados a 𝑆1, 𝑆2, 𝑦 𝑆3, respectivamente.

2.2.3 Cálculo de propiedades elásticas de la roca

La acción de la fuerza no sólo mueve los materiales sino que también los deforma. Un

estudio de la Universidad del país Vasco - FCI, 2014, afirma que los materiales recuperan

total o parcialmente la forma y tamaño inicial una vez desaparecida la fuerza que actuó

sobre ellos. La deformación de los materiales se encuentra íntimamente relacionada con

la estructura y composición mineralógica. A pesar de esto, las variables elásticas como la

relación de Poisson (𝑣𝑓), el módulo de Young (𝐸), el módulo de cizalladura (𝐺), el módulo

de compresibilidad o Bulk (𝐾𝐵𝑢𝑙𝑘) y la constante de Lamé (λ) son propiedades que

describen la deformación de las rocas a un nivel más macroscópico.

2.2.3.1 Módulo de Young:

El módulo de Young es también conocido como módulo elástico. Como se evidencia en la

Figura 2.2-12, el módulo de Young corresponde a la relación lineal entre el esfuerzo

aplicado y la deformación resultante (𝜀). El módulo de Young mide la rigidez de la roca, es

decir la resistencia de una muestra a ser comprimida por un esfuerzo uniaxial.

Figura 2.2-12: Relación lineal entre la carga aplicada y la deformación.

Tomado de Osorio, 2015f.

Marco teórico 63

2.2.3.2 Relación de Poisson:

La relación de Poisson relaciona la deformación perpendicular (𝜀𝑡) y la deformación

paralela (𝜀𝑣) a la carga, respectivamente. La Figura 2.2-13, ilustra que la relación de

Poisson mide la expansión lateral relativa a la contracción longitudinal.

Figura 2.2-13: Representación gráfica de la deformación lateral y axial de una muestra sometida a una carga


Para calcular el perfil dinámico del módulo de Young y de la relación de Poisson es

necesario conocer las velocidades de las ondas compresionales u onda P (𝑉𝑝) y de las

ondas de cizalla u ondas S (𝑉𝑠). El registro sónico es una de las fuentes más útiles para

obtener esta información.

La Figura 2.2-14, representa gráficamente la trayectoria que recorren las ondas 𝑉𝑝 y 𝑉𝑠 al

correr los registros. Es importante anotar que se deben convertir los tiempos de tránsito,

tomados en los registros, a velocidades de onda (𝑉𝑝 y 𝑉𝑠).

Figura 2.2-14: Representación gráfica de la trayectoria de las ondas compresionales y de cizalladura.




Las ecuaciones (2.2-21) y (2.2-22) representan el cálculo de las velocidades en función de

la densidad de la roca, la constante de Lamé y el módulo de cizalladura.

𝑉𝑝 = √λ+2G

𝜌𝑏 ............................................................................................................. (2.2-21)

𝑉𝑠 = √G

𝜌𝑏................................................................................................................. (2.2-22)

Con las ecuaciones (2.2-23) a (2.2-27) es posible determinar un valor de 𝐸, 𝑣𝑓 , 𝐺, 𝜆 y 𝐾𝐵𝑢𝑙𝑘

en función de las ondas P y S.

𝐸 = 𝜌𝑉𝑠2 3𝑉𝑝

2−4𝑉𝑠2

𝑉𝑝2−𝑉𝑠

2 .................................................................................................. (2.2-23)

𝑣𝑓 = 𝑉𝑝

2−2𝑉𝑠2

2(𝑉𝑝2−𝑉𝑠

2) ....................................................................................................... (2.2-24)

𝐺 = 𝜌𝑉𝑆2 ................................................................................................................ (2.2-25)

λ = 𝜌𝑉𝑃2 − 2𝜌𝑉𝑠

2 ................................................................................................... (2.2-26)

𝐾𝐵𝑢𝑙𝑘 = 𝜌𝑉𝑃2 −

4

3𝜌𝑉𝑠

2 ............................................................................................. (2.2-27)

A partir de la aplicación de las ecuaciones (2.2-23) a (2.2-27) se puede obtener un perfil

dinámico de la variable elástica deseada. Con la Figura 2.2-15, Osorio, 2015g, ilustra el

perfil dinámico de la relación de Poisson y del módulo de Young antes de ser calibrado

(perfil naranjado, 𝑣𝑓, y perfil azul, 𝐸) y después de ser calibrado con datos estáticos (perfil

café, 𝑣𝑓 , y perfil morado, 𝐸). Como se ha mencionado a lo largo de este capítulo, para que

los datos del modelo geomecánico tengan confiabilidad, los perfiles dinámicos deben ser

calibrados con datos estáticos. Los datos estáticos, para calibrar las propiedades elásticas

de la roca, son usualmente obtenidos a partir de pruebas de laboratorio y correlación con

pozos off-set. Existen correlaciones empíricas que relacionan dos variables elásticas en

función de las demás. Por esta razón, no es necesario realizar este procedimiento con

Marco teórico 65

todas las variables. Es suficiente conocer al menos dos de las cinco variables elásticas.

Osorio, 2015f, expone la Tabla 2.2-2 que describe algunas de estas correlaciones.

Tabla 2.2-2: Correlaciones propiedades elásticas en función de dos de variables elásticas.


Figura 2.2-15: Ejemplo del perfil dinámico de la relación de Poisson y el módulo de Young

dinámico y corregido con datos estáticos.

Tomado de Osorio, 2015g.



2.2.4 Cálculo de propiedades de resistencia de la roca

Hurliman, 2016, define la resistencia de la roca como la propiedad que describe la

capacidad que tiene la roca para soportar tensiones por cizalla, por compresión, por

tracción, etc. El 𝑈𝐶𝑆 (resistencia a la compresión uniaxial), el ángulo de fricción interna (𝜑𝑏)

y la cohesión (𝐶𝑜) son las propiedades de resistencia más comúnmente calculadas.

2.2.4.1 Resistencia a la tensión uniaxial:

El 𝑈𝐶𝑆 es el esfuerzo de compresión axial máximo que puede tolerar una muestra de roca

bajo condiciones no confinadas. El 𝑈𝐶𝑆 es usualmente obtenido de pruebas uniaxiales de

laboratorio o a partir de correlaciones empíricas. Osorio, 2015g, recopila algunas

correlaciones del 𝑈𝐶𝑆 según la litología de las rocas. Las ecuaciones (2.2-28) a (2.2-34)

representan correlaciones empíricas del 𝑈𝐶𝑆 en función del módulo de Young y del registro

sónico. Las correlaciones empíricas han sido desarrolladas a partir de datos de campo de

un lugar específico, tipo de roca o formación particular. De allí la importancia de calibrar

los perfiles dinámicos con datos estáticos propios del campo de estudio.

Correlación para areniscas y limolitas,

𝑈𝐶𝑆 = 185165𝑒−0,037𝐷𝑇𝜌 ........................................................................................ (2.2-28)

𝑈𝐶𝑆 = 3668𝑒4,14∗10−7𝐸 ........................................................................................... (2.2-29)

Correlación para shales,

𝑈𝐶𝑆 = 2,12 ∗ 109 𝐷𝑇𝜌−2,93 ...................................................................................... (2.2-30)

𝑈𝐶𝑆 = 2,05 ∗ 109 𝐷𝑇𝜌−3 ......................................................................................... (2.2-31)

Correlación para calizas y dolomitas,

𝑈𝐶𝑆 = (7682

𝐷𝑇𝜌)1,82

..................................................................................................... (2.2-32)

Marco teórico 67

𝑈𝐶𝑆 = 102,44+

109,14

𝐷𝑇𝜌 ................................................................................................. (2.2-33)

Correlación para cualquier tipo de roca,

𝑈𝐶𝑆 = 248,7𝐸2 + 2458𝐸 ........................................................................................ (2.2-34)

2.2.4.2 Ángulo de fricción interna:

El ángulo de fricción interna es la representación matemática del coeficiente de fricción

interna, µ, ecuación (2.2-35). µ representa la capacidad que tienen dos superficies en

contacto de oponerse al deslizamiento. El tamaño, forma, densidad y distribución de los

granos de roca son las características que más impactan el comportamiento de µ.

Adicionalmente, el ángulo de fricción interna se logra obtener de pruebas de laboratorio y

de la interpretación gráfica del círculo de Mohr.

µ = 𝑡𝑎𝑛 (𝜑𝑏) ......................................................................................................... (2.2-35)

Las ecuaciones (2.2-36) y (2.2-37), descritas en Osorio, 2015g, calculan 𝜑𝑏 en función de

la velocidad de la onda P.

𝜑 [𝑟𝑎𝑑] = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑉𝑝−1

𝑉𝑝+1) ......................................................................................... (2.2-36)

𝜑 [°] = 18.532𝑉𝑝0,5148 ........................................................................................... (2.2-37)

2.2.4.3 Cohesión:

La cohesión es la propiedad que describe la capacidad de adherencia entre los granos que

componen la roca. En otras palabras, describe que tan compactos o juntos se encuentran

unos granos de otros. Al igual que el coeficiente de fricción interna, la cohesión también se

afecta por el tamaño, forma, densidad y distribución de los granos de roca. También es

posible obtener un valor aproximado de la cohesión a partir de pruebas de laboratorio y de



la interpretación del círculo de Mohr. Correlaciones empíricas para el cálculo de la cohesión

son reportadas en la literatura geomecánica. La ecuación (2.2-38) describe la cohesión en

función del 𝑈𝐶𝑆 y del ángulo de fricción interna. Los datos de 𝑈𝐶𝑆 y 𝜑𝑏 a involucrar en la

ecuación deben estar previamente calibrados, para garantizar un valor certero de 𝐶𝑜.

𝐶𝑜 = 𝑈𝐶𝑆

2 𝑡𝑎𝑛(𝜋

4+

𝜑𝑏2

) ...................................................................................................... (2.2-38)

2.2.5 Cálculo presión de poro

Las rocas se depositan y compactan a lo largo del tiempo geológico. Durante este proceso

algunos fluidos quedan atrapados entre los poros y el fluido atrapado genera una presión.

Esta presión es conocida como presión de poro.

Las arcillas tienen una estructura interna laminar que favorece el acomodamiento entre un

grano y otro. Debido a esto, los shales (lutitas) formados principalmente por arcillas son

rocas impermeables. Los fluidos quedan aún más atrapados lo que genera presiones

anormales en la formación (sobrepresión o subpresión). Las formaciones de shale son

altamente utilizadas para detectar zonas sobrepresionadas y con facilidad calcular la

presión de poro.

Las formaciones tienen una presión de poro “normal”. Esta presión de poro normal tiene

una tendencia denominada tendencia de compactación normal (NCT – normal

compactation trend). El gradiente de presión de poro normal es de 0,43 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]. La Figura

2.2-16, ilustra como la presencia de shale, asociadas a zonas sobrepresionadas, y como

los efectos de depletamiento de la roca, relacionado a subpresiones, generan fuertes

variaciones en la presión de poro. De no controlarse, ambos fenómenos (sobrepresiones

y subpresiones) desencadenan inestabilidad del pozo y un riesgo para el personal de

trabajo y áreas circundantes.

Para calcular 𝑝𝑝 se deben implementar registros de densidad, resistividad y/o sónico.

Siendo el registro sónico el más recomendado para el cálculo de 𝑝𝑝. Adicionalmente, se

Marco teórico 69

implementa un registro gamma ray (GR) el cual es útil para diferenciar litologías entre

arenas y arcillas.

A medida que aumenta la profundidad se disminuye el espacio poroso. Debido a esto, el

registro sónico muestra un aumento de la velocidad, ya que la roca tiene menor presencia

de fluidos. Las zonas sobrepresionadas tienen una presión de poro mayor. Visto en el

registro sónico, una zona sobrepresionada muestra un aumento, respecto a la NCT, de la

velocidad de propagación de la onda.

Figura 2.2-16: Representación esquemática de la definición de presión normal, sobrepresión y subpresión.

Tomado de Osorio, 2015h.

Existen correlaciones para calcular la presión de poro en función de las velocidades de las

ondas. La ecuación (2.2-39) muestra la ecuación sónica de Bowers donde 𝐷𝑇𝑚𝑙 es el

tiempo de viaje del sónico en la línea de lodo, y 𝐴𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 y 𝐵𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 son constantes

empíricas.

𝐷𝑇 = 106

106

𝐷𝑇𝑚𝑙+(𝐴𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 )(𝑆´𝑛)(𝐵𝐵𝑜𝑤𝑒𝑟𝑠 )

............................................................................. (2.2-39)

La ecuación (2.2-40), representa el método de profundidades equivalentes implementado

para el cálculo de la presión de poro. Donde sólo para el ejemplo de la Figura 2.2-17, el

punto 𝐴 y el punto 𝑍 representan las profundidades de interés.



(𝑝𝑝)𝑍= (𝑝𝑝)𝐴

+ [(𝑆𝑣)𝑍 − (𝑆𝑣)𝐴] ............................................................................ (2.2-40)

Figura 2.2-17: Representación gráfica del método de profundidades equivalentes para el

cálculo de la presión de poro.

Tomado de Osorio, 2015h. Finalmente, la ecuación (2.2-41) muestra la correlación empírica de Eaton para el cálculo

de la presión de poro. En la correlación, la variable (𝑆´𝑣)𝑍𝑂 es el esfuerzo efectivo vertical

a la presión normal de la formación, (𝑆´𝑣)𝑍𝑁 es el esfuerzo efectivo vertical actual,

∆𝑡𝑍𝑁 𝑦 ∆𝑡𝑍𝑂 son los valores leídos del sónico (ver Figura 2.2-18), y 𝐸𝑡 es la constante de

Eaton (generalmente toma el valor de 3, pero depende de la configuración tectónica de

cada sistema).

(𝑆´𝑣)𝑍𝑂

(𝑆´𝑣)𝑍𝑁= [

∆𝑡𝑍𝑁

∆𝑡𝑍𝑂]𝐸𝑡

..................................................................................................... (2.2-41)

Como se mencionó anteriormente, los shales son determinantes para definir la NCT. El

registro GR es muy útil en estos casos, para evitar el impacto de la mineralogía en la

definición de la presión normal. Se sugiere definir las zonas de shale con un GR>90 API,

de esta manera se garantiza la selección de una zona sobrepresionada relacionada a

shales.

Marco teórico 71

Osorio, 2015h, resume el cálculo de la presión de poro en los siguientes pasos: recoger y

examinar los datos a implementar (sísmica, registros de pozo, datos de perforación, etc);

calcular el perfil de esfuerzo vertical; seleccionar el registro de pozo que relacione la

porosidad (sónico, densidad, resistividad, etc); trazar el perfil de litología diferenciando las

secciones de arcilla (shale) de las de arena, trazar el perfil del tren de compactación

normal; estimar una línea de porosidad normal (NCT) a partir de los datos de shale y

areniscas (los puntos rojos de la Figura 2.2-19, representan los puntos con GR>90API);

seleccionar el método más adecuado para calcular la porosidad; computar los datos

necesarios para estimar la presión de poro; y, calibrar el perfil de presión de poro obtenido

con datos de laboratorio, datos de pozos off-set o datos de perforación.

Figura 2.2-18: Representación gráfica de la correlación de Eaton para el cálculo de la presión de poro.


Para ampliar el detalle de modelos del cálculo de la presión de poro y mecanismos de

sobrepresión se sugiere revisar el capítulo 2 de Zoback, 2007a, y la documentación de

Osorio, 2015h.



Figura 2.2-19: Perfil de presión de poro de la formación Vaca Muerta en Argentina.


2.3 Esfuerzos en los alrededores del pozo

La Figura 2.3-1, representa un estado de esfuerzos isotrópicos bajo condiciones in-situ de

la formación. El esfuerzo vertical, el esfuerzo horizontal mínimo y el esfuerzo horizontal

máximo corresponden a los esfuerzos in-situ del yacimiento. Por otro lado, la Figura 2.3-2

ilustra un cambio en el estado de esfuerzos en la cara del pozo debido a la perforación. La

cara del pozo es el área más sensible al daño geomecánico debido a que allí se produce

la mayor concentración de esfuerzos.

Cuando se reemplaza el material rocoso por fluido de perforación los esfuerzos principales

𝑆𝑣 , 𝑆ℎ y 𝑆𝐻 varían. Adicionalmente, se crean unos nuevos esfuerzos en la cara del pozo y

sus alrededores más cercanos. El esfuerzo radial (𝑆𝑟), el esfuerzo tangencial (𝑆𝜃) y el

esfuerzo axial (𝑆𝑧) son los nuevos esfuerzos generados por las perturbaciones de la

perforación. Es decir que la productividad del pozo puede ser más afectada por 𝑆𝑟, 𝑆𝜃 y 𝑆𝑧

que por los mismos esfuerzos principales in-situ de la formación.

El esfuerzo radial es el esfuerzo que actúa en la dirección radial del pozo. La magnitud del

esfuerzo radial debe ser compensada con la presión del pozo (𝑝𝑤) para que no ocurra

desmoronamiento desde la cara de la formación hacia el hueco del pozo. El esfuerzo

tangencial, como su nombre lo indica es el esfuerzo que actúa tangente a la circunferencia

del pozo (entre 0° − 360°). Y el esfuerzo axial es el esfuerzo que actúa a lo largo del eje

axial del pozo. (Ver Figura 2.3-3-A,B).

Marco teórico 73

Figura 2.3-1: Estado de esfuerzos antes de perforar el pozo.


Figura 2.3-2: Estado de esfuerzos al perforar el pozo y reemplazar el material rocoso por

fluido de perforación.


Figura 2.3-3: A- Sección de un modelo cilíndrico de un pozo perforado; B- esfuerzos sobre

un elemento de la pared del pozo.

Modificado de Fjaer, E., Holt, R.M., Horsrud, P., Raaen, A.M., y Risnes, 2008.



La perforación genera anisotropía de esfuerzos que afecta la trayectoria de esfuerzos

actuantes en el pozo. Por esta razón, una de las etapas importantes de la presente

investigación es el cálculo del tensor de esfuerzos efectivos en los alrededores del pozo.

Este estudio implementa las ecuaciones de Kirsch referenciadas en Fjaer, E., Holt, R.M.,

Horsrud, P., Raaen, A.M., y Risnes, 2008; Osorio, 2015a; Zoback, 2007b. Kirsch, propone

las ecuaciones (2.3-1) a (2.3-6) que representan una solución elástica general del cálculo

de los esfuerzos en los alrededores del pozo. El contexto de las ecuaciones de Kirsch, se

plantea para un pozo desviado con esfuerzos horizontales anisotrópicos. Aun así, las

ecuaciones también son aplicables para calcular la matriz tensor de esfuerzos en pozos

verticales. Para determinar la matriz del tensor de esfuerzos en los alrededores del pozo,

ecuación (2.2-16), sólo se calculan seis de sus componentes ya que la matriz es simétrica.

Los esfuerzos en los alrededores del pozo son función directa de los esfuerzos

“superceros” (𝑆𝑥0, 𝑆𝑦



0), del radio del pozo (𝑟𝑤), de la presión de fondo

del pozo (𝑃𝑤), de la relación de Poisson (𝑣𝑓), del radio (𝑟) y de la posición tangencial (𝜃).

Los esfuerzos radial, tangencial y axial y las componentes de cizalla, de la solución de

Kirsch, son:

𝑆𝑟 = 𝑆𝑥

0+ 𝑆𝑦0

2 (1 −

𝑟𝑤2

𝑟2) + 𝑆𝑥

0−𝑆𝑦0

2 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4 − 4𝑟𝑤2

𝑟2) cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦0 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4 − 4𝑟𝑤2

𝑟2) sin 2𝜃 + 𝑃𝑤𝑟𝑤2

𝑟2

.............................................................................................................................. (2.3-1)

𝑆𝜃 = 𝑆𝑥

0+ 𝑆𝑦0

2 (1 +

𝑟𝑤2

𝑟2) − 𝑆𝑥

0−𝑆𝑦0

2 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4) cos2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦0 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4) sin2𝜃 − 𝑃𝑤𝑟𝑤2

𝑟2 ........ (2.3-2)

𝑆𝑧 = 𝑆𝑧0 − 𝑣𝑓 [2(𝑆𝑥

0 − 𝑆𝑦0)

𝑟𝑤2

𝑟2 cos2𝜃 + 4𝜏𝑥𝑦0 𝑟𝑤

2

𝑟2 sin2𝜃] .............................................. (2.3-3)

𝜏𝑟𝜃 = 𝑆𝑦

0− 𝑆𝑥0

2(1 − 3

𝑟𝑤4

𝑟4 + 2𝑟𝑤2

𝑟2) sin2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦0 (1 − 3

𝑟𝑤4

𝑟4 + 2𝑟𝑤2

𝑟2) cos 2𝜃 .......................... (2.3-4)

𝜏𝜃𝑧 = (−𝜏𝑥𝑧0 sin 2𝜃 + 𝜏𝑦𝑧

0 cos 2𝜃) (1 +𝑟𝑤2

𝑟2) .............................................................. (2.3-5)

Marco teórico 75

𝜏𝑟𝑧 = (𝜏𝑥𝑧0 cos 2𝜃 +𝜏𝑦𝑧

0 sin2𝜃) (1 −𝑟𝑤2

𝑟2) ................................................................. (2.3-6)

La solución de Kirsch no considera una presión de flujo en el fondo del pozo, es decir que

la presión de la formación es igual a la presión del pozo. En otras palabras, Kirsch no

considera flujo a través de la cara del pozo lo que hace que no exista comunicación entre

el pozo y la formación.

Dicha consideración implica que el cambio en los esfuerzos totales se ve más afectado por

el reemplazamiento de la roca por hueco (debido a la perforación) que por las variaciones

en la presión. Esta afirmación implica una limitación del fenómeno físico real ya que los

esfuerzos radial, tangencial y axial efectivos que actúan sobre el esqueleto sólido de la

roca están afectados por la presión de poro. Contrarrestando dicha suposición, se aplica

el concepto de esfuerzo efectivo (𝑆´) sobre la definición de los esfuerzos radial, tangencial

y axial. La ecuación (2.3-7), describe 𝑆´ en función del esfuerzo total y de la presión de

poro.

𝑆´ = 𝑆𝑇 − 𝛼𝑝𝑝 ...................................................................................................... (2.3-7)

Las ecuaciones (2.3-1) a (2.3-3), son modificadas aplicando la definición de esfuerzo

efectivo. Luego, las ecuaciones (2.3-8) a (2.3-10), describen los esfuerzos efectivos radial,

tangencial y axial.

𝑆´𝑟 = [𝑆𝑥

0+ 𝑆𝑦0

2 (1 −

𝑟𝑤2

𝑟2) + 𝑆𝑥

0−𝑆𝑦0

2 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4 − 4𝑟𝑤2

𝑟2) cos2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦0 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4 − 4𝑟𝑤2

𝑟2) sin2𝜃 +

𝑃𝑤𝑟𝑤2

𝑟2] − (𝛼𝑝𝑝 ) ...................................................................................................... (2.3-8)

𝑆´𝜃 = [𝑆𝑥

0+ 𝑆𝑦0

2 (1 +

𝑟𝑤2

𝑟2) − 𝑆𝑥

0−𝑆𝑦0

2 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4) cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦0 (1 + 3

𝑟𝑤4

𝑟4) sin 2𝜃 − 𝑃𝑤𝑟𝑤2

𝑟2] − (𝛼𝑝𝑝 )

.............................................................................................................................. (2.3-9)



𝑆´𝑧 = [𝑆𝑧0 − 𝑣𝑓 [2(𝑆𝑥

0 − 𝑆𝑦0)

𝑟𝑤2

𝑟2 cos 2𝜃 + 4𝜏𝑥𝑦0 𝑟𝑤

2

𝑟2 sin 2𝜃]] − (𝛼𝑝𝑝 ) ............................. (2.3-10)

Por su parte, las ecuaciones (2.3-4) a (2.3-6) no son modificadas ya que los esfuerzos de

cizalla 𝜏𝑟𝜃, 𝜏𝜃𝑧, 𝜏𝑟𝑧 no se ven afectados por la presión de poro.

Para calcular los esfuerzos en los alrededores del pozo, ecuaciones (2.3-4) a (2.3-6) y (2.3-

8) a (2.3-10), se debe calcular previamente los esfuerzos vírgenes, los cosenos directores

de la matriz de transformación y los esfuerzos principales.

2.3.1 Esfuerzos vírgenes o “superceros”

Los esfuerzos “superceros” son los esfuerzos vírgenes de la formación. Los esfuerzos

vírgenes corresponden a los esfuerzos iniciales (o in-situ) de la formación llevados al

sistema de coordenadas del pozo. La matriz de esfuerzos vírgenes es una matriz simétrica

de tamaño 3x3. Las ecuaciones (2.3-11) a (2.3-16) describen matemáticamente las

componentes de los esfuerzos vírgenes.

En las ecuaciones (2.3-11) a (2.3-16), descritas en Fjaer, E., Holt, R.M., Horsrud, P.,

Raaen, A.M., y Risnes, 2008, los términos 𝑆𝑥0, 𝑆𝑦



0 corresponden a las

componentes de la matriz de esfuerzos vírgenes. El super índice cero denota el estado in-

situ en el sistema de coordenadas del pozo.

𝑆𝑥0 = 𝑙𝑥𝑥´

2𝑆𝐻 + 𝑙𝑥𝑦´2𝑆ℎ + 𝑙𝑥𝑧´

2𝑆𝑣 ........................................................................... (2.3-11)

𝑆𝑦0 = 𝑙𝑦𝑥´

2𝑆𝐻 + 𝑙𝑦𝑦´2𝑆ℎ + 𝑙𝑦𝑧´

2𝑆𝑣 ............................................................................ (2.3-12)

𝑆𝑧0 = 𝑙𝑧𝑥´

2𝑆𝐻 + 𝑙𝑧𝑦´2𝑆ℎ + 𝑙𝑧𝑧´

2𝑆𝑣 ............................................................................ (2.3-13)

𝜏𝑥𝑦0 = 𝑙𝑥𝑥´𝑙𝑦𝑥´𝑆𝐻 + 𝑙𝑥𝑦´𝑙𝑦𝑦´𝑆ℎ + 𝑙𝑥𝑧´𝑙𝑦𝑧´𝑆𝑣 ................................................................. (2.3-14)

Marco teórico 77

𝜏𝑦𝑧0 = 𝑙𝑦𝑥´𝑙𝑧𝑥´𝑆𝐻 + 𝑙𝑦𝑦´𝑙𝑧𝑦´𝑆ℎ + 𝑙𝑦𝑧´𝑙𝑧𝑧´𝑆𝑣 ................................................................ (2.3-15)

𝜏𝑧𝑥0 = 𝑙𝑧𝑥´𝑙𝑥𝑥´𝑆𝐻 + 𝑙𝑧𝑦´𝑙𝑥𝑦´𝑆ℎ + 𝑙𝑧𝑧´𝑙𝑥𝑧´𝑆𝑣 ................................................................. (2.3-16)

Los esfuerzos vírgenes son función de la magnitud de los esfuerzos principales y de los

cosenos directores de la matriz de transformación (𝑙𝑥𝑥´, 𝑙𝑥𝑦´, 𝑙𝑥𝑧´, 𝑙𝑦𝑥´, 𝑙𝑦𝑦´, 𝑙𝑦𝑧´, 𝑙𝑧𝑥´,𝑙𝑧𝑦´, 𝑙𝑧𝑧´).

2.3.1.1 Cosenos directores de la matriz de transformación:

La matriz de transformación de cosenos directores realiza un cambio de un sistema

coordenado de pozo vertical a un sistema coordenado de pozo inclinado. Fjaer, E., Holt,

R.M., Horsrud, P., Raaen, A.M., y Risnes, 2008, señalan que la transformación de un

sistema coordenado de pozo vertical a un sistema coordenado de pozo inclinado implica

una rotación del azimut del pozo (𝑎𝑧) alrededor del eje axial de pozo. Adicionalmente,

implica una rotación de la inclinación del pozo (𝑖𝑛) alrededor del eje correspondiente a la

dirección del esfuerzo principal mínimo.

Matemáticamente hablando la matriz de transformación entre sistemas coordenados

corresponde al cálculo de los cosenos directores. Las ecuaciones (2.3-17) a (2.3-25),

descritas en Fjaer, E., Holt, R.M., Horsrud, P., Raaen, A.M., y Risnes, 2008, representan

el cálculo de los cosenos directores. Los cosenos directores son función del azimut (𝑎𝑧) e

inclinación del pozo (𝑖𝑛), ambos medidos respecto al norte geográfico. Los subíndices,

𝑙𝑖𝑗´, corresponden al coseno del ángulo entre el eje 𝑖´ y el eje 𝑗´.

Aunque para el caso de pozo vertical no exista transformación hacia un sistema

coordenado de pozo inclinado, es necesario aplicar las ecuaciones (2.3-17) a (2.3-25),

para obtener un valor de 𝑙𝑥𝑥´, 𝑙𝑥𝑦´, 𝑙𝑥𝑧´, 𝑙𝑦𝑥´, 𝑙𝑦𝑦´, 𝑙𝑦𝑧´, 𝑙𝑧𝑥´,𝑙𝑧𝑦´ y 𝑙𝑧𝑧´. Para un pozo vertical el

azimut y la inclinación del pozo son iguales a cero grados (𝑎𝑧 = 𝑖𝑛 = 0°).

𝑙𝑥𝑥´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑧) 𝑐𝑜𝑠(𝑖𝑛) ............................................................................................ (2.3-17)

𝑙𝑥𝑦´ = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑧) 𝑐𝑜𝑠(𝑖𝑛) ............................................................................................ (2.3-18)



𝑙𝑥𝑧´ = −𝑠𝑒𝑛(𝑖𝑛) ....................................................................................................... (2.3-19)

𝑙𝑦𝑥´ = −𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑧) ..................................................................................................... (2.3-20)

𝑙𝑦𝑦´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑧) ........................................................................................................ (2.3-21)

𝑙𝑦𝑧´ = 0 ................................................................................................................... (2.3-22)

𝑙𝑧𝑥´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑧) 𝑠𝑒𝑛(𝑖𝑛) ............................................................................................. (2.3-23)

𝑙𝑧𝑦´ = sen(𝑎𝑧) 𝑠𝑒𝑛(𝑖𝑛) ............................................................................................ (2.3-24)

𝑙𝑧𝑧´ = 𝑐𝑜𝑠(𝑖𝑛) ......................................................................................................... (2.3-25)

2.3.1.2 Esfuerzos principales:

Los valores de esfuerzos principales in-situ son calculados a partir de un gradiente de

esfuerzo. Para cada esfuerzo principal el gradiente de esfuerzo se asume constante a lo

largo de la formación.

En la ecuación (2.3-26) el esfuerzo, 𝑆, representa alguno de los esfuerzos principales.

Siendo algunos de los esfuerzos principales: el esfuerzo principal vertical, el esfuerzo

horizontal mínimo o el esfuerzo horizontal máximo. La profundidad implementada para el

cálculo del gradiente de esfuerzos es la profundidad real de la formación

(𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑_𝑓𝑚). ∇𝑆 representa el gradiente de esfuerzos principales.

𝑆 = 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑_𝑓𝑚 [𝑓𝑡] ∗ ∇𝑆 [𝑝𝑠𝑖

𝑓𝑡] ........................................................................ (2.3-26)

Marco teórico 79

2.3.1.3 Radio del pozo (𝒓𝒘):

El radio del pozo corresponde al segmento lineal que une el centro de un círculo con su

circunferencia. En el caso particular, corresponde a la distancia entre el centro del hueco

(borehole) y la cara de la formación de interés, (Figura 2.3-4).

2.3.1.4 Distancia radial (𝒓):

La distancia radial corresponde a la distancia lateral medida desde la cara del pozo hasta

el área de interés, es decir hasta el radio de investigación (Figura 2.3-4). El cálculo de la

distancia radial se describe detalladamente en la sección A1 y A8 del Anexo A.

2.3.1.4 Distancia tangencial (𝜽):

La distancia tangencial es equivalente a la circunferencia del pozo o distancia angular,

medida en ángulos entre 0°-360°, (Figura 2.3-4). El cálculo de la distancia tangencial se

describe a continuación en la sección A1 y A8 del Anexo A.

Figura 2.3-4: Ilustración distancia radial, distancia tangencial y radio del pozo.

2.4 Esfuerzos normal y de cizalla sobre el plano

El esfuerzo normal de un plano de fractura (𝑆𝑛) es la fuerza sobre área que actúa

perpendicular a la cara de la fractura. El esfuerzo normal se encuentra íntimamente

relacionado con la apertura o cierre de la fractura, por ende, afecta directamente la

permeabilidad del sistema fracturado (Figura 2.4-1).



Por otro lado, el esfuerzo de cizalla de un plano de fractura (𝜏𝑆) es la fuerza sobre área que

desliza una cara de la fractura sobre otra (Figura 2.4-1). Algunos autores, Giwelli, A.A.,

Matsuki, K., Sakaguchi, K., Kizaki, A., Sekino, H., y Okatsu, 2011; Lertsuriyakul, C.,

Tepnarong, P., y Fuenkajorn, 2012, plantean que al igual que el esfuerzo normal es posible

que el esfuerzo de cizalla también controle la permeabilidad de la fractura.

Figura 2.4-1: Esfuerzos normal y de cizalla actuando sobre un plano de fractura.

Tomado de Osorio, 2015i.

Kelly, 2015, expone el análisis en tres dimensiones de los esfuerzos y la deformación a

partir de la ley de Cauchy. La ley de Cauchy descrita con la ecuación (2.4-1), descrita en

Kelly, 2015, establece que la normal a una superficie está relacionada con el esfuerzo

total (𝑆𝑇) actuando sobre la superficie. Donde 𝑆𝑇 es función de la matriz del tensor de

esfuerzos en los alrededores del pozo, y un vector normal al plano de fractura (𝑉𝑛⃗⃗ ⃗).

𝑆𝑇 = 𝑆𝑖𝑗 ∗ 𝑉𝑛⃗⃗ ⃗ ............................................................................................................ (2.4-1)

Al aplicar la ley de Cauchy se calculan las componentes de las direcciones 𝑋, 𝑌, y 𝑍 de los

esfuerzos que actúan sobre el plano de fractura. Estas componentes son 𝑆𝑇𝑋, 𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍.

Donde 𝑆𝑇𝑋 corresponde al esfuerzo total en la dirección 𝑋, 𝑆𝑇𝑌 corresponde al esfuerzo

total en la dirección 𝑌 y 𝑆𝑇𝑍 corresponde al esfuerzo total en la dirección 𝑍.

Marco teórico 81

La Figura 2.4-2, ilustra las componentes del vector de esfuerzos, 𝑆𝑇, que actúa sobre la

superficie.

Figura 2.4-2: Componentes 𝑆𝑇𝑋, 𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍 del vector de esfuerzos 𝑆𝑇 que actúa sobre la

superficie.

Tomado de Osorio, 2015i.

La ecuación (2.4-2), definida en Kelly, 2015, representa la proyección del esfuerzo total

sobre el vector normal al plano de fractura. De esta manera, se obtiene un esfuerzo normal

al plano de interés (𝑆𝑛).

𝑆𝑛 = 𝑆𝑇 ∗ 𝑉𝑛 ⃗⃗ ⃗⃗ .......................................................................................................... (2.4-2)

El esfuerzo normal es función del vector de esfuerzos que actúa sobre la superficie 𝑋, 𝑌, 𝑍

y del vector normal al plano de fractura. Por otro lado, la ecuación (2.4-3), expuesta en

Kelly, 2015, representa el cálculo del esfuerzo de cizalla, 𝜏𝑆, en función del vector de

esfuerzos que actúa sobre la superficie 𝑋, 𝑌, 𝑍 y del esfuerzo normal al plano de fractura.

𝜏𝑆 = √|𝑆𝑇|2−(𝑆𝑛)

2 ............................................................................................... (2.4-3)



2.5 Modelos de permeabilidad

Los sistemas naturalmente fracturados adicionan capacidad de almacenamiento y

producción en las formaciones productoras. Para Jones, 1975, las variaciones en el

comportamiento de las fracturas conlleva a cambios en el performance del reservorio. La

producción de fluidos genera anisotropía de la permeabilidad. Osorio, 2002, expone el

daño de formación permanente y la reducción en las tasas de producción como

consecuencias significativas del daño de la permeabilidad en sistemas naturalmente

fracturados.

Esta investigación aplica métodos teóricos y experimentales para calcular la permeabilidad

de las fracturas naturales. Los modelos seleccionados y expuestos a continuación pueden

ser clasificados, a grandes rasgos, como: modelos de apertura de fractura en función de

atributos geomecánicos tales como esfuerzos, propiedades elásticas y de resistencia,

entre otros; modelos de permeabilidad de fractura en función de esfuerzos efectivos y

modelos de permeabilidad de fractura en función de la apertura de la fractura. La

información obtenida de los modelos de apertura suministra datos de entrada para los

demás modelos expuestos.

Específicamente, los modelos expuestos en este trabajo son función de variables como los

atributos de las fracturas naturales (frecuencia, longitud, geometría, etc.); las propiedades

físicas (porosidad, conductividad, etc.), elásticas (módulo de Young, relación de Poisson,

módulo de cizalladura, constante de Lamé, etc.) y de resistencia de la roca (UCS,

coeficiente de rugosidad, rigidez, compresibilidad, etc.); los esfuerzos efectivos en los

alrededores del pozo; los esfuerzos normal y de cizalla del plano de fractura; y las

propiedades del flujo (caudal, presión, viscosidad, etc.)

2.5.1 Modelos de apertura de fractura

A continuación, se describen algunos modelos para calcular la apertura de la fractura en

función de esfuerzos normal y de cizalla sobre el plano, propiedades elásticas y de

resistencia de la roca, apertura inicial de la fractura, entre otros.

Marco teórico 83

2.5.1.1 Modelo de Lamb:

El modelo de Lamb es un modelo experimental. El experimento es diseñado con núcleos

de fracturas planares. Jones, 1975, analiza la relación entre la ley de Darcy y el modelo de

Lamb. De esta manera, el autor observa que la apertura efectiva de la fractura es

proporcional a la raíz cúbica de la permeabilidad (𝑊 ∝ 𝑘𝑓1/3) . La ecuación (2.5-1),

descrita en Jones, 1975, es la expresión analítica resultante del modelo de Lamb. Donde

𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏 [𝑐𝑚] corresponde a la apertura efectiva de la fractura calculada con el modelo de

Lamb, 𝑄 [𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛] es la tasa de flujo a un diferencial de presión (∆𝑝 [𝑝𝑠𝑖]), µ [𝑐𝑝] es la

viscosidad del fluido, 𝐿 [𝑐𝑚] es la longitud de la fractura y 𝑑 [𝑐𝑚] es la amplitud de la

fractura.

𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏3 =

12𝑄𝜇𝐿

𝑑∆𝑝 ..................................................................................................... (2.5-1)

La Figura 2.5-1, muestra la estrecha relación entre la presión de confinamiento y la

capacidad de flujo de la fractura. El autor afirma que las variaciones en la presión de

confinamiento afectan directamente el comportamiento de los canales de flujo de la

formación. La capacidad de flujo de la fractura es directamente relacionada con la apertura

efectiva de la misma. Luego, la apertura de la fractura se ve afectada por las altas

presiones de confinamiento. La fractura se cierra cuando el tamaño de los poros y la

permeabilidad disminuyen debido al aumento de la presión de confinamiento. Para una

descripción más detallada del modelo de Lamb se sugiere revisar Jones, 1975.

Figura 2.5-1: Efecto de la presión de confinamiento neta sobre la capacidad de flujo de la fractura.

Tomado de Jones, 1975.



2.5.1.2 Modelo de Lei y otros:

Lei, Q., Latham, J.P., Xiang, J., y Lang, 2014, usan el método de red de fracturas discretas

(DFN) para describir un sistema fracturado anisotrópico que implica planos horizontales,

relacionados a la estructura de la roca, y planos verticales, relacionados a las familias de

fracturas más persistentes.

El modelo propuesto implementa la deformabilidad de los bloques matriciales, la

heterogeneidad de las fracturas (en función de los esfuerzos), el deslizamiento y apertura

de las paredes de las fracturas y la distribución de variabilidad de la fractura. El modelo es

diseñado para simular en tres dimensiones la respuesta geomecánica de la apertura de

las fracturadas bajo esfuerzos in-situ. La Figura 2.5-2, muestra el modelo constitutivo

diseñado que evidencia el control del comportamiento de la apertura de las fracturas en

función del esfuerzo normal compresivo.

Figura 2.5-2: Modelo constitutivo del comportamiento de la apertura de fractura bajo

condiciones de esfuerzo normal compresivo.

Tomado de Lei, Q., Latham, J.P., Xiang, J., y Lang, 2014.

La ecuación (2.5-2) y (2.5-3), definidas en Bandis, S.C., Lumsden, A.C., y Barton, 1983;

Lei, Q., Latham, J.P., Xiang, J., y Lang, 2014, son propuestas para calcular la apertura

inicial de la fractura (𝑊0_𝐿𝑒𝑖, [𝑚𝑚]) y la apertura actual de la fractura (𝑊𝐿𝑒𝑖, [𝑚𝑚]),

respectivamente.

Marco teórico 85

𝑊0_𝐿𝑒𝑖 = 𝐽𝑅𝐶

5 (0.2

𝑆𝑐

𝐽𝐶𝑆− 0.1) ................................................................................... (2.5-2)

𝑊𝐿𝑒𝑖 = 𝑊0_𝐿𝑒𝑖 −1

1

𝑉𝑚+

𝑘𝑛0𝑆𝑛

.......................................................................................... (2.5-3)

Donde 𝐽𝑅𝐶 corresponde al coeficiente de fricción (joint roughness coefficient), 𝐽𝐶𝑆 [𝑀𝑃𝑎]

es la resistencia compresiva (joint compressive strength), 𝑆𝑐 es equivalente a la resistencia

a la compresión uniaxial o 𝑈𝐶𝑆 [𝑀𝑃𝑎], 𝑉𝑚 [𝑚𝑚] equivale a cierre máximo de la fractura y

𝑘𝑛0[𝑀𝑃𝑎/𝑚𝑚] corresponde a la rigidez inicial de la roca. El modelo desprecia los efectos

de intemperie sobre la roca, lo que asume 𝑆𝑐 igual a 𝐽𝐶𝑆.

Yanrong, L., y Yongbo, 2015, describen la ecuación (2.5-4) para el cálculo de 𝐽𝑅𝐶.

𝜏𝑠 = 𝑆𝑛 [tan(𝐽𝑅𝐶 ∗ (𝐿𝑂𝐺 (𝐽𝐶𝑆

𝑆𝑛 ) + 𝜑𝑏)] .................................................................... (2.5-4)

De la ecuación (2.2-34) se obtiene la ecuación (2.5-5), donde:

𝜑𝑏 = 𝑡𝑎𝑛−1(µ) ...................................................................................................... (2.5-5)

De la ecuación (2.5-4) se despeja 𝐽𝑅𝐶 y se obtiene la ecuación (2.5-6):

𝐽𝑅𝐶 = [𝑡𝑎𝑛−1(𝜏𝑠/𝑆𝑛)]−𝜑𝑏

𝐿𝑂𝐺(𝐽𝐶𝑆/𝑆𝑛) ........................................................................................... (2.5-6)

Lei, Q., Latham, J.P., Xiang, J., y Lang, 2014 proponen las ecuaciones (2.5-7) y (2.5-8)

para calcular 𝑘𝑛0 y 𝑉𝑚, respectivamente.

𝑘𝑛0 = (−7.15) + (1.75𝐽𝑅𝐶) + (0.02)(𝐽𝐶𝑆/𝑊0_𝐿𝑒𝑖) .................................................. (2.5-7)



𝑉𝑚 = (−0.296) − (0.0056𝐽𝑅𝐶) + 2.241(𝐽𝐶𝑆/𝑊0_𝐿𝑒𝑖)

−0.245 ....................................... (2.5-8)

Para un mayor detalle del modelo, se sugiere revisar Bandis, S.C., Lumsden, A.C., y

Barton, 1983; Lei, Q., Latham, J.P., Xiang, J., y Lang, 2014; Yanrong, L., y Yongbo, 2015.

2.5.1.3 Modelo de Rong y otros:

Rong, G., Peng, J., Wang, X., Liu, G., y Hou, 2013, basados en una simulación numérica

proponen un modelo tridimensional de la apertura de la fractura (𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔) en función de

constantes elásticas (λ, G) y de resistencia de la roca (𝜑𝑏), y de los esfuerzos normal y de

cizalla. La ecuación original se encuentra en función del esfuerzo normal total. Para la

aplicación a este modelo, la variable de esfuerzo normal es reemplazada por el esfuerzo

normal efectivo.

El modelo planteado por la ecuación (2.5-9) es descrito por Rong, G., Peng, J., Wang, X.,

Liu, G., y Hou, 2013. Donde 𝐴𝑅𝑜𝑛𝑔 y 𝐵𝑅𝑜𝑛𝑔 se calculan con las ecuaciones (2.5-10) y (2.5-

11), respectivamente. Y el factor 𝑆𝑅𝑜𝑛𝑔 corresponde a la relación entre el esfuerzo normal

efectivo y el máximo valor de esfuerzo principal máximo.

𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔 =(1−𝐴𝑅𝑜𝑛𝑔)(1−𝐵𝑅𝑜𝑛𝑔)

(1−𝐴𝑅𝑜𝑛𝑔𝐵𝑅𝑜𝑛𝑔)∗ (𝑊0_𝑅𝑜𝑛𝑔) .................................................................... (2.5-9)

𝐴𝑅𝑜𝑛𝑔 = 1 − 𝑒(− 𝑆𝑛

λ+2G) .............................................................................................. (2.5-10)

𝐵𝑅𝑜𝑛𝑔 = 1 − 𝑒(

1

2G)[((𝑡𝑎𝑛−1(𝜏𝑠/𝑆𝑅𝑜𝑛𝑔)−(𝜑𝑏))∗(|𝜏𝑠|))−(

𝑆𝑅𝑜𝑛𝑔

2) (ln (1+(|𝜏𝑠|

2/𝑆𝑅𝑜𝑛𝑔2)))]

................. (2.5-11)

En las ecuaciones (2.5-10) y (2.5-11) las variables 𝑆𝑛, 𝜏𝑠, 𝐺 y 𝜆 están en [𝑀𝑃𝑎].

Adicionalmente, en este modelo las aperturas son dadas en [𝑚𝑚]. Para un mayor detalle

del modelo revisar a Rong, G., Peng, J., Wang, X., Liu, G., y Hou, 2013.

Marco teórico 87

2.5.1.4 Modelo de apertura Barton-Bandis y otros:

El modelo Barton-Bandis y otros, expuesto en Bandis, S.C., Lumsden, A.C., y Barton, 1983;

Tao, 2010, comprende un desarrollo numérico para el cálculo de la apertura y de la

permeabilidad de la fractura. Este numeral describe, únicamente, los elementos necesarios

que el autor propone para el cálculo de la apertura de la fractura.

La ecuación (2.5-12), referenciada en CMG, 2016, calcula la apertura de la fractura con

el modelo de Barton-Bandis (𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 [𝑓𝑡]). Para este modelo, la apertura de la fractura es

función de la apertura inicial de la fractura (𝑊0 [𝑓𝑡]) y del cierre de la fractura bajo el efecto

del esfuerzo normal efectivo (𝑉𝑗).

𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 = 𝑊0 − 𝑉𝑗 .................................................................................................. (2.5-12)

La ecuación (2.5-13) describe la variable 𝑉𝑗. 𝑉𝑗 es función del esfuerzo normal efectivo, de

la rigidez inicial de la fractura (𝑘𝑛0 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]) y del cierre máximo de la fractura (𝑉𝑚 [𝑓𝑡]).

𝑉𝑗 =𝑆´𝑛

𝑘𝑛0+(𝑆´𝑛/𝑉𝑚) ..................................................................................................... (2.5-13)

La ecuación (2.5-14) describe la variable 𝑉𝑚. 𝑉𝑚 es función de la 𝑊0, del valor residual de

la permeabilidad al cierre de la fractura (𝐾𝑟𝑐𝑓 [𝑚𝑑]) y de la permeabilidad al cierre de la

fractura (𝐾𝑐𝑐𝑓 [𝑚𝑑]), (ver Figura 2.5-8).

𝑉𝑚 = 𝑊0 [1 − (𝐾𝑟𝑐𝑓

𝐾𝑐𝑐𝑓)1/4

] .......................................................................................... (2.5-14)

Otros detalles del modelo Barton-Bandis son expuestos a continuación en la sección 2.5.3.

Para un mayor detalle de las ecuaciones (2.5-12) a (2.5-14) se sugiere revisar Bandis,

S.C., Lumsden, A.C., y Barton, 1983; CMG, 2016.



2.5.1.5 Modelo de Zoback:

Zoback, 2007b, expone que las fracturas abiertas pueden ser identificadas en afloramiento

y pueden ser vistas como micro-fracturas en núcleos de roca. Las micro-fracturas pueden

contribuir de manera incierta al flujo de fluidos a profundidad, debido a que la presión que

ejercen los esfuerzos sobre la roca disminuye la apertura de las fracturas.

El autor expone una ecuación experimental para considerar el flujo a través de una fractura.

Inicialmente con la ecuación (2.5-15) se asume un flujo paralelo a través de una fractura

planar. Donde la tasa de flujo volumétrica es función del espaciamiento entre las fracturas

(𝑏 [𝑐𝑚]), la viscosidad del fluido y un gradiente de presión (∇𝑝).

𝑄 =𝑏3

12𝜇∇𝑝 .............................................................................................................. (2.5-15)

El autor pretende proponer un modelo más relevante para determinar el flujo a través de

una fractura abierta. La ecuación (2.5-16), expuesta en Zoback, 2007b, describe la

apertura máxima de una fractura en función de la presión de fluido en la fractura (𝑝𝑓 [𝑀𝑃𝑎]),

del esfuerzo principal mínimo (𝑆𝑚𝑖𝑛 [𝑀𝑝𝑎]) , de la longitud de la fractura (𝐿, [𝑚]), de la

relación de Poisson y del módulo de Young (𝐸, [𝑀𝑃𝑎]).

𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘 =2(𝑝𝑓−𝑆𝑚𝑖𝑛)𝐿(1−𝑣𝑓

2)

𝐸 .................................................................................... (2.5-16)

2.5.2 Modelos de permeabilidad de fractura en función de esfuerzos efectivos

A continuación se exponen algunos modelos de permeabilidad de fractura en función,

principalmente, de los esfuerzos efectivos.

2.5.2.1 Modelo de Buchsteiner y otros:

Los reservorios naturalmente fracturados son yacimientos sensibles o sensitivos a

esfuerzos. La Figura 2.5-3 representa, cualitativamente, las potenciales variaciones de

permeabilidad de una fractura por el aumento de los esfuerzos efectivos, debido a

Marco teórico 89

variaciones en la presión de poro, inducidas por la producción e inyección de fluidos.

Analizando este fenómeno, Buchsteiner, H., Warpinski, 1993, plantean un modelo de

permeabilidad de fractura en función de los cambios en los esfuerzos efectivos.

La ecuación (2.5-17) representa la permeabilidad de la fractura vs el esfuerzo efectivo. El

modelo hace referencia al contacto rugoso de superficies opuestas. Las altas rugosidades

son supuestas mediante una distribución exponencial. La permeabilidad de fractura,

𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟, a un esfuerzo efectivo determinado, 𝑆´, se relaciona con la permeabilidad

inicial de fractura, 𝐾𝑓0_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟, a un esfuerzo efectivo de referencia, 𝑆∗. La ecuación (2.5-

17), definida en Buchsteiner, H., Warpinski, 1993, es conocida inicialmente como el

modelo de Walsh. En la ecuación (2.5-17), ℎ es el valor promedio de la distribución de

rugosidad, 𝑊1/2 es la mitad de la apertura de la fractura, 𝑏𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 es una constante de

apertura de la superficie de la fractura.

𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟

𝐾𝑓0_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟= [1 − √

2ℎ

𝑊1/2 𝑙𝑛 (

𝑆´

𝑆∗)]3

[1− 𝑏𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟(𝑆

´−𝑆∗)

1+ 𝑏𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟(𝑆´−𝑆∗)

]........................................ (2.5-17)

Figura 2.5-3: Variación de la permeabilidad en función de los esfuerzos efectivos.

El modelo de Walsh tiene fuertes suposiciones respecto al comportamiento de la fractura.

La forma, relleno (o mineralización), la apertura, la estructura poral y el comportamiento de

una fractura representa un desafío complejo de integrar en los modelos de fractura. Es así

como Buchsteiner, H., Warpinski, 1993, reconocen las limitaciones del modelo de Walsh y

lo proponen como una herramienta de análisis y no como un modelo predictivo.



Osorio, 2002, expone que Walsh encontró que el término lineal de la ecuación (2.5-17)

podía ser despreciado excepto para esfuerzos efectivos muy altos, como se observa en la

Figura 2.5-4. Así, reescribiendo la ecuación (2.5-17) se obtiene la ecuación (2.5-18) para

esfuerzos efectivos no muy altos.

𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟

𝐾𝑓0_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟= [1 − √

2ℎ

𝑊1/2 𝑙𝑛 (

𝑆´

𝑆∗)]3

....................................................................... (2.5-18)

Figura 2.5-4: Deformabilidad de una fractura en función de esfuerzos efectivos: estado

inicial, estado actual y cierre de la fractura.

Tomado de Osorio, 2002.

La ecuación (2.5-18) se puede escribir de la siguiente forma, donde, 𝐴𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 y

𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 son constantes.

𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 = [𝐴𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 + 𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 [𝑙𝑛(𝑆´)]] 3 ............................................. (2.5-19)

Como se ilustra en la Figura 2.1-4, cuando el esfuerzo efectivo es igual al esfuerzo efectivo

de cierre, 𝑆𝑐, (𝑆´ = 𝑆𝑐) hay cierre de fractura lo que hace la permeabilidad de fractura igual

a cero. De esta forma, aplicando esta definición en la ecuación (2.3-19) se tiene obtiene la

ecuación (2.5-20).

𝐴𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 = 𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟(𝑙𝑛(𝑆𝑐)) ......................................................................... (2.5-20)

Marco teórico 91

Reemplazando la ecuación (2.5-20) en la ecuación (2.5-19), se tiene:

𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 = [𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 [𝑙𝑛 (𝑆𝑐

𝑆´)]]

3

................................................................. (2.5-21)

La ecuación (2.5-21), descrita en Buchsteiner, H., Warpinski, 1993, representa la

permeabilidad de fractura (𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟) en función de los esfuerzos efectivos. Para una

descripción más detallada del modelo se sugiere revisar a Buchsteiner, H., Warpinski,

1993; Economides, M.J., Buchsteiner, H., Warpinski, 1994; Osorio, 2002.

2.5.2.2 Modelo de Chen y otros:

El modelo de Chen, propuesto por Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015, expone una correlación

teórica entre la permeabilidad de un shale y los esfuerzos efectivos. La ecuación (2.5-22),

descrita en Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015, representa la correlación de permeabilidad de

fractura obtenida en este modelo (𝐾𝑓_𝐶ℎ𝑒𝑛). Siendo la permeabilidad de fractura función del

estado de esfuerzos efectivos actual y de referencia (𝑆´ y 𝑆∗, respectivamente), de la

permeabilidad inicial de la fractura (𝐾𝑓0) y de la compresibilidad de la fractura 𝑐𝑓.

𝐾𝑓_𝐶ℎ𝑒𝑛 = [𝐾𝑓0 (𝑒−3𝑐𝑓(𝑆´−𝑆∗))] ................................................................................. (2.5-22)

Adicionalmente en la investigación, los autores analizan el comportamiento de la

compresibilidad de la fractura en función de la composición mineralógica del relleno o

mineralización de la misma. Los autores encuentran que la influencia de las propiedades

elásticas de la roca tiene alto impacto sobre el comportamiento de las fracturas.

Particularmente, los autores destacan una variación en la anisotropía del módulo de Young

cuando cambia la permeabilidad de la fractura debido a la caída de presión (drawdown).

El modelo es validado satisfactoriamente con datos de laboratorio de diferentes muestras

de shale gas.

La Figura 2.5-5, muestra simultaneidad entre los resultados obtenidos entre las pruebas

de laboratorio y la aplicación de la ecuación (2.5-22). Adicionalmente, la Figura 2.5-5,

evidencia la estrecha relación en la disminución de la permeabilidad de la fractura debido

al aumento de los esfuerzos efectivos. Para una descripción más detallada del modelo se

sugiere revisar a Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015.



Figura 2.5-5: Comparación modelo experimental y teórico de las variaciones de

permeabilidad en función de esfuerzos efectivos.

Tomado de Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015.

2.5.2.3 Modelo de Jin y otros:

Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000, desarrollan un modelo de simulación acoplada en

tres dimensiones para reservorios sensibles a esfuerzos. Las correlaciones entre la

permeabilidad, los esfuerzos y los parámetros de la roca son obtenidas numérica y

gráficamente de pruebas de laboratorio. El modelo desarrollado involucra datos

experimentales de la respuesta de la permeabilidad a diferentes cargas de esfuerzos en

condiciones uniaxiales y triaxiales. Ciertamente, los autores distinguen la relación

deformabilidad-esfuerzos vinculada a las variaciones de apertura y de permeabilidad de

las fracturas (Figura 2.5-6). A pesar de esto, el fundamento teórico de este modelo parte

de conceptos básicos como porosidad, permeabilidad y compresibilidad.

La ecuación (2.5-23), descrita en Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000, muestra la relación

entre la permeabilidad de la fractura y la porosidad inicial (𝐾𝑓0, ∅0, respectivamente), la

permeabilidad de la fractura y porosidad actual (𝐾𝑓 , ∅, respectivamente) y un factor 𝑛 que

representa el espacio poroso como un conjunto de canales planos. Generalmente 𝑛 = 3,

aunque los autores reportan un valor de 𝑛 = 10 implementado en un estudio de areniscas.

𝐾𝑓

𝐾𝑓0= (

∅

∅0)𝑛 ............................................................................................................ (2.5-23)

Marco teórico 93

Figura 2.5-6: Permeabilidad normalizada vs esfuerzos.

Tomado de Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000.

La ecuación (2.5-24), describe la permeabilidad en función de los esfuerzos. La ecuación

(2.5-24) es equivalente a la ecuación (2.5-22) del modelo de Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015.

𝐾𝑓 = [𝐾𝑓0(𝑒−3𝑐𝑓(𝑆−𝑆∗))] .......................................................................................... (2.5-24)

Donde la permeabilidad de fractura es función de la permeabilidad inicial, la

compresibilidad, el esfuerzo actual (𝑆) y el esfuerzo de referencia (𝑆∗).

El modelo Jin, descrito por Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000, es desarrollado ajustando

las ecuaciones (2.5-23) y (2.5-24) a pruebas experimentales. La ecuación (2.5-25) describe

la permeabilidad de fractura del modelo de Jin y otros (𝐾𝑓_𝐽𝑖𝑛).

𝐾𝑓_𝐽𝑖𝑛 = 𝐾𝑓0 [(𝛼𝑗𝑖𝑛∅0) + (1 − 𝛼𝑗𝑖𝑛∅0)𝑒[2(∅0)

2𝑐𝑓(𝑆−𝑆∗)]] .............................................. (2.5-25)

Donde 𝐾𝑓_𝐽𝑖𝑛 es función de la permeabilidad inicial de la fractura, de la porosidad inicial, de

la compresibilidad, de los esfuerzos (actual y de referencia), y de un factor, 𝛼𝑗𝑖𝑛, que se

relaciona a la permeabilidad inicial de la fractura. 𝛼𝑗𝑖𝑛 es igual a 1 para 𝐾𝑓0 < 100 𝑚𝑑.



Mientras que para valores altos de 𝐾𝑓0, 𝛼𝑗𝑖𝑛 = 3. Para una descripción más detallada del

modelo se sugiere revisar a Jin, M., Somerville, J., y Smart, 2000.

2.5.3 Modelos de permeabilidad de fractura en función de la apertura de fractura

A continuación se exponen algunos modelos de permeabilidad de fractura en función,

principalmente, de la apertura de la misma.

2.5.3.1 Modelo de Bok y otros:

Min, K.B., Rutqvist, J., Tsang, C.F., y Jing, 2004, investigan la dependencia de la

permeabilidad y los esfuerzos en sistemas fracturados. Los autores consideran en las

fracturas los efectos de una deformación normal no lineal y dilatación por cizalladura.

El modelo Bok corresponde a un modelo experimental y teórico. Los autores plantean una

serie de pruebas experimental para calcular los cambios de permeabilidad bajo diferentes

condiciones de cargas. Adicionalmente, experimentos numéricos bajo diferentes

escenarios del estado de esfuerzos son analizados para analizar las variaciones de

permeabilidad de la fractura. De los resultados de las pruebas experimentales se tiene que

los cambios de apertura en la fractura son función del estado de esfuerzos normal y de

cizalla aplicados en el plano de fractura. El esfuerzo normal es relacionado al cierre o

apertura de la fractura. El esfuerzo de cizalla es relacionado con la dilatación de la roca.

La implementación de un modelo (DFN) facilita calcular la permeabilidad de una fractura

en ambas direcciones (dirección x y dirección y). Min, K.B., Rutqvist, J., Tsang, C.F., y Jing,

2004, proponen una correlación empírica para el cálculo de permeabilidad de fractura que

incorpora los efectos del cierre (𝐾𝑛) y dilatación (𝐾𝑑) de la fractura, en la dirección x y y,

respectivamente. Las ecuaciones (2.5-26) y (2.5-27), descritas en Min, K.B., Rutqvist, J.,

Tsang, C.F., y Jing, 2004, definen la permeabilidad de una fractura en función de la

frecuencia equivalente de la fractura (𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 en la dirección x y y, respectivamente), de la

apertura equivalente de la fractura (𝑊𝑥 y 𝑊𝑦 en la dirección x y y, respectivamente), de la

frecuencia equivalente de las fracturas dilatadas (𝑓𝑑𝑥 y 𝑓𝑑𝑦 en la dirección x y y,

respectivamente) y de la apertura equivalente de las fracturas dilatas (𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 en la

dirección x y y, respectivamente).

Marco teórico 95

𝐾𝑓𝑥_𝐵𝑜𝑘 = 𝐾𝑛𝑥 + 𝐾𝑑𝑥 =𝑓𝑥

12(𝑊𝑥)

3 + 𝑓𝑑𝑥

12 (𝑑𝑥)

3 .......................................................... (2.5-26)

𝐾𝑓𝑦_𝐵𝑜𝑘 = 𝐾𝑛𝑦 + 𝐾𝑑𝑦 =𝑓𝑦

12(𝑊𝑦)

3+

𝑓𝑑𝑦

12 (𝑑𝑦)

3 ......................................................... (2.5-27)

La ecuación (2.5-28), descrita en Min, K.B., Rutqvist, J., Tsang, C.F., y Jing, 2004,

corresponde a la definición de donde parten las ecuaciones (2.5-26) y (2.5-27). En la

ecuación (2.5-28), 𝑓 corresponde a la frecuencia de las fracturas y 𝑊 corresponde a la

apertura de las fracturas.

𝐾𝑓_𝐵𝑜𝑘 =𝑓

12(𝑊)3 .................................................................................................... (2.5-28)

La Figura 2.5-7, ilustra un comportamiento no lineal de la apertura de las fracturas en

función del esfuerzo normal efectivo actuando sobre dicho plano.

Figura 2.5-7: Comportamiento no lineal de la apertura de las fracturas bajo esfuerzos normales.

Tomado de Min, K.B., Rutqvist, J., Tsang, C.F., y Jing, 2004

2.5.3.2 Modelo de permeabilidad Barton-Bandis y otros:

La ecuación (2.5-29) describe el modelo de permeabilidad Barton-Bandis. Donde 𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛

corresponde a la permeabilidad de fractura calculada con el modelo Barton-Bandis y otros.

𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 es función de 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛, 𝑊0 y 𝐾𝑐𝑐𝑓 . Las variables 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛, 𝑊0 y 𝐾𝑐𝑐𝑓 son descritas

en detalle en las ecuaciones (2.5-12) a (2.5-14) de la sección 2.5.1.4.



𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 = 𝐾𝑐𝑐𝑓 (𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛

𝑊0)4

≥ 𝐾𝑟𝑐𝑓 ......................................................................... (2.5-29)

La Figura 2.5-8, ilustra el modelo Barton-Bandis y otros, en un diagrama de esfuerzos

efectivos vs permeabilidad de fractura. El modelo Barton-Bandis y otros, describe la

permeabilidad de la fractura como función de la trayectoria del esfuerzo normal efectivo

durante la producción y/o inyección. El manual CMG, 2016, describe las trayectorias de la

Figura 2.5-8, de la siguiente manera:

Trayectoria AB: inicialmente 𝑆´𝑛 es mayor que el esfuerzo de apertura de la fractura (𝑓𝑟𝑠).

En este camino la permeabilidad inicial de la fractura es muy pequeña y la deformabilidad

de la misma en función de los esfuerzos efectivos es reversible.

Trayectoria BC: 𝑆´𝑛 inicia a ser menor que 𝑓𝑟𝑠. La fractura se abre y la permeabilidad de

la fractura aumenta hasta tomar el valor de permeabilidad de una fractura hidráulica 𝐾ℎ𝑓,

para dicho sistema.

Trayectoria CDE: mientras el valor de esfuerzo efectivo sea menor a cero, la permeabilidad

de la fractura será 𝐾ℎ𝑓.

Trayectoria EF y FG: mientras el valor de esfuerzo efectivo inicia a ser mayor que cero y

mayor que 𝑓𝑟𝑠, la permeabilidad de la fractura varía de 𝐾ℎ𝑓 al valor de permeabilidad del

cierre de fractura (𝐾𝑐𝑐𝑓). Luego de tomar el valor de 𝐾𝑐𝑐𝑓, la permeabilidad de la fractura

varía en función de la trayectoria FG, descrita por la ecuación (2.5-26). La trayectoria FG

tiene un valor asintótico relacionado a 𝐾𝑟𝑐𝑓 (línea verde punteada). Barton-Bandis y otros,

exponen que la permeabilidad de la fractura varía reversiblemente en función del esfuerzo

normal efectivo sobre la trayectoria GFED.

Marco teórico 97

Figura 2.5-8: Variaciones de 𝐾𝑓 del modelo Barton-Bandis y otros, para 𝑆´𝑛 > 0.

Tomado de CMG, 2016.

2.6 Presión de poro

Naranjo, 2009 expone que las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos parten de

la definición propuesta en la ley de Darcy y en la ley de conservación de masa.

Adicionalmente, el autor describe la ecuación de difusividad como una herramienta que

permite analizar el comportamiento de la presión del fluido a través de un medio poroso

con el tiempo y con la distancia. La geometría del flujo, el tipo de fluido, el tipo de flujo, las

condiciones iniciales y las condiciones de límite son factores que inciden directamente en

el comportamiento de la presión de fluidos.

Según la geometría del flujo, se puede tener: flujo lineal, flujo esférico y flujo radial. La

ecuación (2.6-1) corresponde a la definición de la ley de Darcy para flujo radial. Donde,

𝑄 [𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛]. corresponde al caudal o tasa de flujo, �̅�[𝑐𝑚2]. corresponde a la

permeabilidad promedio (en función del radio y de la profundidad), 𝐴 [𝑐𝑚2]. corresponde

a la sección transversal de la muestra (definida como 2𝜋𝑟ℎ ), µ [𝑝𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑛]corresponde a la

viscosidad del fluido, 𝜕𝑝 corresponde al diferencial de presión y 𝜕𝑟 corresponde al

diferencial de la distancia radial.

Con la ecuación (2.6-1), descrita en Naranjo, 2009, este modelo aplica y asume

condiciones de un flujo de tipo radial, un fluido de tipo monofásico, unos esfuerzos

constantes a lo largo de la vida del yacimiento, y una permeabilidad constante en función

del radio y de la profundidad.



𝑄 = �̅� 𝐴

µ

𝜕𝑝

𝜕𝑟 ............................................................................................................... (2.6-1)

Partiendo de la ecuación (2.6-1), se llega a la ecuación (2.6-2). Donde 𝑟 [𝑐𝑚] es

equivalente al radio de la muestra, ℎ [𝑐𝑚] es equivalente a la altura de la muestra y 𝐵 es

equivalente al coeficiente volumétrico del petróleo.

𝑄 = (2𝜋𝑟ℎ)�̅�

𝐵µ

𝜕𝑝

𝜕𝑟......................................................................................................... (2.6-2)

Resolviendo la ecuación (2.6-2) se obtienen las ecuaciones (2.6-3) a (2.6-6), descritas en

Lopera, 2009. Desarrollando el diferencial de presión se tiene una presión en el límite

interno (𝑝𝑖) y una presión en el límite externo (𝑝𝑖+1). De manera análoga, se tiene un radio

en el límite interno (𝑟𝑖) y un radio en el límite externo (𝑟𝑖+1).

(2𝜋ℎ)�̅�

𝑄𝐵µ 𝜕𝑝 =

𝜕𝑟

𝑟 ........................................................................................................ (2.6-3)

(2𝜋ℎ)�̅�

𝑄𝐵µ ∫ 𝜕𝑝

𝑝𝑖+1

𝑝𝑖= ∫

𝜕𝑟

𝑟

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖 ......................................................................................... (2.6-4)

(2𝜋ℎ)�̅�

𝑄𝐵µ (𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) = 𝑙𝑛 (

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖) ................................................................................... (2.6-5)

𝑝𝑖 = 𝑝𝑖+1 − [(𝑄𝐵µ

(2𝜋ℎ)�̅�) 𝑙𝑛 (

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖)]................................................................................. (2.6-6)

La ecuación (2.6-6) se puede expresar en sistema de unidades de campo. La ecuación

(2.6-7) calcula la presión inicial asumiéndolas siguientes unidades: 𝑝𝑖+1 en [𝑝𝑠𝑖],

𝑄 en [𝑆𝑇𝐵/𝑑], �̅�en[𝑚𝑑], ℎ en [𝑓𝑡], 𝑟𝑖+1 en [𝑓𝑡], 𝑟𝑖 en [𝑓𝑡] y µ en [𝑐𝑝].

𝑝𝑖 = 𝑝𝑖+1 − [((141,2)𝑄𝐵µ

(ℎ)�̅�) 𝑙𝑛 (

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖)] ............................................................................ (2.6-7)

Marco teórico 99

Para este modelo, se asume que la presión no varía en función del radio, que la presión

en el límite externo o interno de la potencial zona de daño es conocida, y que la

permeabilidad corresponde a un valor promedio de las permeabilidades entre el radio

externo y el radio interno inmediato. Ejemplificando con la Figura 2.6-1, la presión de todos

los puntos de la malla sobre el radio, 𝑟3, corresponde a la presión, 𝑃3, (a una profundidad

fija); para calcular la presión, 𝑃2, asociada al radio, 𝑟2, se debe conocer la presión,𝑃3, que

corresponde a la presión externa respecto a 𝑟2; y, adicionalmente, para calcular, 𝑃2, se

debe conocer la permeabilidad promedio, �̅�2, que corresponde a la permeabilidad

promedio de las permeabilidades asociadas a los radios 𝑟2 y 𝑟3, bajo una misma

profundidad.

El valor de caudal es modificado en función del número de las franjas (𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎) en

que se divide la profundidad a analizar. Luego, con la ecuación (2.6-8), el valor de caudal

se hace proporcional al número secciones de la malla, en función de la profundidad. Donde

𝑄´ corresponde al valor proporcional de caudal a una profundidad fija y 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎

corresponde al número de nodos más 1 de la malla, en la dirección axial del pozo (Ver

capítulo 3.1).

Con la aplicación de la ecuación (2.6-8) el modelo asume que no existe flujo cruzado. Es

decir, que el flujo no fluye en la dirección axial del pozo.

𝑄´ =𝑄

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 .................................................................................................. (2.6-8)

Aplicando la suposición de la ecuación (2.6-8) en la ecuación (2.6-7), se obtiene:

𝑝𝑖 = 𝑝𝑖+1 − [((141,2)𝑄´𝐵µ

(ℎ)�̅�) 𝑙𝑛 (

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖)] .......................................................................... (2.6-9)

Para un mayor detalle del cálculo de permeabilidad promedio y de la presión, se sugiere

revisar las secciones A12 y A13 del Anexo A.



Figura 2.6-1: Esquema representativo de las variaciones de permeabilidad promedio y

presión de poro a un radio y una profundidad fija.

Figura 2.6- 2: Esquema representativo del caudal total (𝑄) del sistema y de la porción de

caudal (𝑄´) asociada a cada profundidad.

3. Arquitectura del modelo

3.1 Modelo conceptual

La Figura 3-1 ilustra un diagrama de flujo que resume las principales componentes del

modelo propuesto para el diagnóstico del daño geomecánico por cierre de fracturas

naturales.

El modelo conceptual reúne de manera sencilla los conceptos necesarios e implementados

para la construcción del modelo propuesto para determinar un diagnóstico del daño

geomecánico por cierre de fracturas.

Se parte de una caracterización estática de las fracturas naturales de donde se debe

conocer al menos la orientación, frecuencia y apertura de la fractura. Adicionalmente, se

debe conocer el modelo geomecánico del pozo que incluye magnitud y orientación de los

esfuerzos principales, propiedades elásticas y de resistencia de la roca y la presión de

poro.

Con la información recolectada hasta el momento, la matriz del tensor de esfuerzos en los

alrededores del pozo es calculada. Luego, los esfuerzos principales luego de perforar el

pozo, y el esfuerzo normal y de cizalla al plano de fractura se calculan con dicha matriz de

esfuerzos. Finalmente, la compilación de estas variables permite la implementación y uso

de los modelos de permeabilidad de fractura en función de variables como propiedades de

la roca, esfuerzo normal y de cizalla al plano de fractura, atributos de las fracturas, entre

otros.

El radio de daño, las variables de mayor afectación (tales como: orientación de las

fracturas, esfuerzos in-situ, anisotropía de esfuerzos, tasa de flujo y propiedades



geomecánicas, etc.) y el grado de impacto son definidos al analizar las variaciones

espaciales de permeabilidad de la fractura en los alrededores del pozo.

Figura 3-1: Modelo conceptual para un diagnóstico del daño geomecánico por cierre de fracturas.

3.2 Arquitectura del modelo

El modelo propuesto es un modelo analítico aplicado para un pozo vertical. La Figura 3-2

corresponde al diagrama de flujo que describe el proceso computacional del código

programado. Este código es una herramienta útil y sencilla que determina de manera

rápida y verás las variaciones de permeabilidad de las fracturas en las áreas más cercanas

al pozo.

El diagrama de flujo se compone a grandes rasgos en cinco secciones: creación datos de

la malla (cuadro azul), clasificación de nodos de la malla (cuadro amarillo), cálculo de

permeabilidad (cuadro verde), cálculo de presión de poro (cuadro morado) y cálculo de

tolerancia y error (cuadro rojo).

Arquitectura del modelo 103

Figura 3-2: Diagrama de flujo del modelo analítico para el diagnóstico del daño

geomecánico por cierre de fracturas.



Una breve descripción de las secciones del diagrama de flujo es:

3.2.1 Creación de datos de la malla:

La malla, ilustrada en la Figura 3-3, se desarrolla en un sistema ortogonal de direcciones

radial, tangencial y axial. Cada una de las direcciones de la malla tiene: un delta

(espaciamiento entre nodos), una componente que asocia la coordenada y un contador

asociado, (Anexo A-sección A.1)

Cualquier punto de la malla es de la forma (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘 ). La coordenada 𝑟𝑖 corresponde al

radio calculado en la posición 𝑖, dada en pies [𝑓𝑡]. La coordenada 𝜑𝑗 corresponde al ángulo

phi calculado en la posición 𝑗, dada en grados sexagesimales [°]. La coordenada 𝑧𝑘

corresponde a la profundidad calculada en la posición 𝑘, dada en pies [𝑓𝑡].

Figura 3-3: Ilustración del diseño de la malla en tres dimensiones: dirección radial (𝑟𝑖),

dirección tangencial (𝜑𝑗) y dirección axial (𝑧𝑘).

3.2.2 Clasificación de nodos de la malla:

Luego de crear los puntos de la malla se continúa con la clasificación de los nodos de la

malla. Como datos de entrada se tienen tres puntos que pertenecen al plano de fractura y

de esta manera el código calcula la ecuación del plano de fractura. Previamente, se hace

Arquitectura del modelo 105

un cambio de coordenadas para convertir cada punto de la malla de coordenadas

cilíndricas a coordenadas cartesianas.

Para cada punto de la malla, se calcula la diferencia entre la profundidad del punto y la

profundidad del plano de fractura. De esta manera, se garantiza que no solamente los

puntos que se encuentran contenidos el plano de fractura serán asociados a “propiedad

de fractura”, sino también los puntos más cercanos al plano (según las indicaciones

determinadas por el usuario). Al final de este proceso todos los puntos de la malla son

clasificados como “propiedad de fractura” o “propiedad de matriz”.

Las ecuaciones y el detalle de la metodología implementada en este proceso son descritas

en Anexo A-sección A.2-A.4.

3.2.3 Cálculo de permeabilidad:

El código recibe un valor de permeabilidad de matriz el cual es asignado a todos los nodos

asociados a “propiedad de matriz”. Por otro lado, a los nodos relacionados a “propiedad

de fractura” se calcula la permeabilidad aplicando los diferentes modelos de permeabilidad

de fractura (ver capítulo 2.5 y Anexo A-sección A.11). El cálculo de permeabilidad de los

nodos de fractura incluye previamente: cálculo de los esfuerzos en los alrededores del

pozo, cálculo de los esfuerzos principales luego de perforar el pozo, cálculo de los

esfuerzos normal y de cizalla, y finalmente cálculo de permeabilidad de fractura (ver Anexo

A-sección A.5-A.10).

Antes de finalizar esta serie de subprocesos, se calcula una permeabilidad promedio por

aro radial para cada profundidad, a partir de un arreglo geométrico. Para el cálculo de la

permeabilidad promedio se tiene en cuenta los nodos asociados a propiedad de matriz y a

propiedad de fractura, por aro radial a una profundidad fija. El detalle de este proceso se

describe en el Anexo A-sección A.12).



3.2.4 Cálculo de la presión de poro:

La presión de poro es calculada implementando la solución analítica para flujo radial en

medio continuo de Darcy.

Cuando se inician el cálculo de permeabilidad de los nodos de fractura, desde el cálculo

del tensor de esfuerzos en los alrededores del pozo, se asume una presión de poro como

dato de entrada. Ya con la aplicación de la solución de Darcy, se realiza un cálculo de la

presión de poro. La implementación de la solución de Darcy trae consigo las siguientes

suposiciones para el modelo: la presión no varía en función de la posición tangencial del

pozo, siempre se conoce la presión interna o externa del pozo (en este caso la externa),

la permeabilidad corresponde a un valor promedio entre dos aros radiales, y se asume que

no existe flujo cruzado. Para un mayor detalle del código, se sugiere revisar Anexo A-

sección A.12.

3.2.5 Cálculo porcentaje de error y tolerancia:

El porcentaje de error se calcula para determinar la diferencia entre la presión asumida

inicialmente y la presión calculada con Darcy. Es así como al comparar el error calculado

con la tolerancia impuesta por el usuario del código, se conoce el verdadero valor de

presión para calcular la permeabilidad de fractura real, (Anexo A-sección A.14). De esta

manera, si la desigualdad entre el porcentaje de error y la tolerancia permitida se cumple,

luego el cálculo de permeabilidad es verídico y se procede a graficar. Sino, se itera desde

el cálculo de esfuerzos en los alrededores del pozo, haciendo que la presión calculada con

la solución de Darcy sea la presión asumida en el punto de inicio de la iteración.

4. Análisis de Resultados

Este capítulo contiene algunos resultados obtenidos al aplicar el modelo desarrollado en

este estudio para el diagnóstico del daño geomecánico por cierre de fracturas naturales.

Para analizar el comportamiento de la deformabilidad de las fracturas naturales en función

de los esfuerzos in-situ se parte de un caso base. Los datos de entrada del modelo, es

decir los datos del caso base, son tomados de información real de campo (registros UBI,

registros convencionales, registros de pozo, datos de producción, etc.), datos de

laboratorio e investigaciones científicas. Por políticas de privacidad de la información

suministrada, no es posible registrar nombres de pozos, ubicaciones, entre otros. La Tabla

4-1 ilustra los datos de entrada del caso base.

Tabla 4-1: Datos de entrada en Python, del caso base.

Nombre de la variable Símbolo Valor Unidad

Ángulo fricción interna 𝜑𝑏 0,5404195 [𝑟𝑎𝑑] Apertura inicial fractura 𝑊0 9,7273E-5 [𝑓𝑡] Azimut pozo 𝑎𝑧 0 [°] Azimut SH 𝑎𝑧_𝑆𝐻 108 [°] Caudal 𝑄 510 [𝑆𝑇𝐵/𝑑] Coeficiente de Biot 𝛼 1 Coeficiente fricción interna 𝜇 0,6 Compresibilidad de fractura 𝐶𝑓 0,0001378952 [𝑝𝑠𝑖−1]

Constante de Lamé 𝜆 1.388.889 [𝑝𝑠𝑖] Diámetro muestra 𝐷 4,66 [𝑓𝑡]

Delta de presión ∆𝑝 3980 [𝑝𝑠𝑖]

Divisiones radio 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 50 [°] Divisiones phi 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑝ℎ𝑖 180 [°] Divisiones zeta 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 400 [°] Esfuerzo de cierre 𝑆𝑐 35.000 [𝑝𝑠𝑖] Esfuerzo inicial 𝑆∗ 15.000 [𝑝𝑠𝑖] Factor conductividad porosidad 𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 1 [𝑚𝑑1/3]

Frecuencia fracturas 𝑓 6 [# 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠/𝑓𝑡]

Gradiente Sh 𝛻𝑆ℎ 0,8 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] Gradiente SH 𝛻𝑆𝐻 1,2 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] Gradiente Sv 𝛻𝑆𝑣 1 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]



Título de la tesis o trabajo de investigación

Inclinación pozo 𝑖𝑛 0 [°] Longitud muestra 𝐿 0,341 [𝑓𝑡] Módulo de cizalladura 𝐺 2.083.333,333 [𝑝𝑠𝑖] Módulo de Young 𝐸 5.000.000 [𝑝𝑠𝑖] Parámetro Jin 𝛼

𝐽𝑖𝑛 1

Permeabilidad cierre fractura 𝐾𝑐𝑐𝑓 1,73 [𝑚𝐷]

Permeabilidad inicial fractura 𝐾𝑓0 1,73 [𝑚𝐷]

Permeabilidad promedio matriz

𝐾𝑚 0,64 [𝑚𝐷]

Permeabilidad residual cierre fractura

𝐾𝑟𝑐𝑓 0,83 [𝑚𝐷]

Presión de fondo 𝑝𝑤 2.500 [𝑝𝑠𝑖] Presión yacimiento o externa 𝑝𝑖+1 6.200 [𝑝𝑠𝑖] Porosidad inicial ∅0 0,1 [𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛]

Puntos de fractura 𝑃1 (0,38; 90; -352) [𝑓𝑡, °, 𝑓𝑡] 𝑃2 (0,38; 270; -354) [𝑓𝑡, °, 𝑓𝑡] 𝑃3 (0,38; 180; -353) [𝑓𝑡, °, 𝑓𝑡]

Radio de pozo 𝑟𝑤 0,375 [𝑓𝑡] Radio externo 𝑟𝑒𝑥𝑡 3 [𝑓𝑡]

Relación de Poisson 𝑣𝑓 0,2

Resistencia compresiva fractura

𝐽𝐶𝑆 15.000 [𝑝𝑠𝑖]

Rigidez inicial de la fractura 𝑘𝑛0 3.000 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡] Tolerancia plano Z 𝑇𝑜𝑙𝑧 0,5 Tolerancia presión 𝑇𝑜𝑙𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 0,1

UCS 𝑆𝐶 15.000 [𝑝𝑠𝑖] Viscosidad 𝜇 1,4 [𝑐𝑝]

4.1 Resultados caso base

El caso base se enmarca en un pozo vertical, de un reservorio convencional, que tiene

como roca productora una arenisca naturalmente fracturada. Las familias de fracturas que

se prefieren para el análisis son las clasificadas como de “alta calidad” (high qualities –

HQ) y de alta frecuencia.

Se realizaron diferentes corridas del código con el fin de analizar el comportamiento de la

permeabilidad de las fracturas en función de diferentes variables. Las variables analizadas

dependen del modelo de permeabilidad o apertura de fractura que se desee implementar

en la corrida. La permeabilidad de la fractura es analizada aplicando modelos de

permeabilidad de fractura en función de esfuerzos y en función de la apertura de la fractura.

Cabe destacar que los modelos seleccionados implican otras variables como propiedades

Análisis de Resultados 109

elásticas y de resistencia de la roca, propiedades petrofísicas, esfuerzos normal y de

cizalla, atributos de las fracturas, esfuerzos principales, entre otros (ver capítulo 2.5).

4.1.1 Impacto del esfuerzo normal efectivo sobre la permeabilidad de las fracturas

El modelo de permeabilidad de Buchsteiner y otros (Buchsteiner, H., Warpinski, 1993;

Economides, M.J., Buchsteiner, H., Warpinski, 1994) es función del esfuerzo efectivo

normal al plano de fractura y del esfuerzo de cierre de la fractura.

La Figura 4-1 ilustra las variaciones espaciales de la permeabilidad de fractura,

representado en función del sistema de coordenadas cartesianas. La Figura 4-1 ilustra un

alto contraste de las variaciones de permeabilidad del plano de fractura entre la cara de la

formación y las áreas más lejanas al pozo. En la cara del pozo la caída de permeabilidad

es máxima y se tiene una disminución de hasta el 77%, respecto a la permeabilidad inicial

de fractura. La caída de permeabilidad en la cara del pozo es máxima porque allí la presión

de poro es mínima y, en consecuencia, el esfuerzo efectivo se hace muy alto, haciendo

que el impacto sobre el cierre de las fracturas sea mayor. A medida que se aleja de la cara

del pozo, se observa un aumento en la permeabilidad, ya que la presión de poro aumenta,

disminuyendo así el efecto de cierre de la fractura dado por el esfuerzo efectivo normal al

plano de fractura.

Adicionalmente, la Figura 4-1, ilustra una trayectoria de líneas negras que corresponde a

la dirección del esfuerzo horizontal máximo. La permeabilidad de la fractura en las lejanías

del pozo alcanza valores de hasta a 3,7 [𝑚𝐷]. Estos altos valores de permeabilidad, es

decir los canales de mayor flujo, coinciden con la dirección del esfuerzo horizontal máximo

porque es allí donde hay un mayor esfuerzo que favorece la apertura de la fractura.

Adicionalmente, en la dirección del esfuerzo horizontal mínimo (perpendicular a 𝑆𝐻) se

observa los menores valores de permeabilidad, aun en la lejanía del pozo. Esto ocurre ya

que 𝑆ℎ es considerablemente menor y perpendicular a 𝑆𝐻 y, por tanto, no logra favorecer

la apertura del plano de fractura.




Figura 4-1: Variaciones de permeabilidad del plano de fractura, en coordenadas

cartesianas - modelo Buchsteiner y otros.

La Figura 4-2, ilustra las variaciones de permeabilidad en función de la distancia radial y la

distancia tangencial en coordenadas de pozo, cuando 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]. La profundidad 𝑧𝑘 =

−353 [𝑓𝑡], corresponde a una de las profundidades en la cual el plano de fractura

intercepta la cara del pozo. La Figura 4-2 también muestra la dirección de 𝑆𝐻 y,

perpendicular a esta, la dirección de 𝑆ℎ. La Figura 4-2, ilustra que la permeabilidad de

fractura en la cara del pozo alcanza valores menores a 0,4 [𝑚𝐷] con un radio de afectación

de hasta de 0,5 [𝑓𝑡], especialmente en la dirección del esfuerzo horizontal mínimo,

dirección en la cual, el esfuerzo normal efectivo al plano de fractura es máximo. Por otro

lado, la alineación de los mayores valores de permeabilidad de fractura en la dirección del

esfuerzo horizontal máximo es evidente.


Figura 4-2: Variaciones de permeabilidad de fractura en función de la distancia radial y la

distancia tangencial en coordenadas de pozo, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡], - modelo Buchsteiner

y otros.

Particularmente, la Figura 4-3 ilustra las variaciones de permeabilidad de fractura del

modelo Buchsteiner y otros, en función del esfuerzo normal efectivo al plano de fractura

cuando 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]. La disminución progresiva de la permeabilidad con el aumento de

los esfuerzos efectivos es evidente, ya que al tener valores altos de esfuerzo efectivo

normal al plano de fractura se favorece el cierre de la fractura.

De manera similar, al aplicar el modelo de Chen y otros (Chen, D., Pan, Z., y Ye, 2015),

se evidencia una disminución de la permeabilidad de la fractura en función del esfuerzo

normal efectivo actual, del esfuerzo de referencia y de la compresibilidad de la fractura.




Figura 4-3: Variaciones de la permeabilidad de fractura en función del esfuerzo efectivo

normal al plano de fractura a una profundidad fija (𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]) - modelo Buchsteiner

y otros.

La Figura 4-4, ilustra el comportamiento de la permeabilidad para diferentes profundidades

cercanas a la profundidad 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]. Para los diferentes 𝑧𝑘, representados

gráficamente, se tiene un comportamiento de disminución de la permeabilidad debido a

esfuerzos, en función de la profundidad. Luego, es posible delimitar una zona o distribución

vertical, en donde los esfuerzos efectivos normales al plano de fractura tienen mayor

impacto sobre la permeabilidad de las fracturas.

La disminución de permeabilidad de la fractura es máxima para las profundidades en

donde la fractura intercepta el pozo, ya que es allí donde ocurre la mayor caída de presión,

y por ende la mayor acumulación de esfuerzos. Particularmente, la Figura 4-4, evidencia

una mayor disminución de permeabilidad, para la profundidad 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡], en

comparación con profundidades de fractura cercanas que no interceptan la cara del pozo.


Figura 4-4: Relación 𝑆´𝑛 𝑆∗⁄ vs 𝐾𝑓𝐶ℎ𝑒𝑛𝐾𝑓0⁄ , para 𝑧𝑘 = −345,−349,

−353,−357,−361 [𝑓𝑡], – modelo Chen y otros.

La Figura 4-5 ilustra, para la profundidad 𝑧𝑘 = −353, las variaciones de permeabilidad de

fractura de los radios 𝑟𝑖 = 0,43; 0,69; 1,21; 2,0 𝑦 2,95, en función de la posición tangencial

de la malla. Los valores de permeabilidad de fractura que coinciden con la máxima amplitud

de onda, corresponden a los mayores valores de permeabilidad, y se encuentran alineados

con la dirección del esfuerzo horizontal máximo. Por el contrario, los valores de menor

permeabilidad de fractura se relacionan con los menores valores de permeabilidad y están

alineados con la dirección del esfuerzo horizontal mínimo. La máxima y mínima amplitud

de onda se repite a 180° de la anterior. A medida que la distancia radial aumenta hacia

adentro de la formación, la amplitud de la onda disminuye porque la permeabilidad de

fractura tiende un mismo valor en las lejanías del pozo en donde la perturbación de

esfuerzos es mínima.

Finalmente, al aplicar los modelos de permeabilidad de Buchsteiner y otros, y Chen y otros,

se evidencia fuertemente que la permeabilidad de las fracturas naturales es afectada por

los esfuerzos efectivos actuando sobre el plano de fractura. Adicionalmente, se ratifica el

comportamiento inverso entre los valores de permeabilidad de fractura y los esfuerzos

efectivos normales al plano de fractura.




Figura 4-5: Variaciones de permeabilidad de fractura en función de la posición tangencial

para diferentes radios y a una profundidad fija (𝑧𝑘 = −353) - modelo Buchsteiner y otros.

4.1.2 Impacto de la apertura de las fracturas sobre la permeabilidad de las fracturas

El modelo de permeabilidad de Barton-Bandis (Bandis, S.C., Lumsden, A.C., y Barton,

1983; CMG, 2016) describe la permeabilidad de las fracturas, principalmente, en función

de la apertura de la fractura. A su vez, la apertura de la fractura depende de variables como

la apertura inicial, el cierre máximo de fractura, el esfuerzo efectivo normal al plano, entre

otros.

La Figura 4-6 ilustra la distribución de permeabilidad de fractura que se obtiene al aplicar

el modelo de Barton-Bandis y otros, en coordenadas cartesianas. De la Figura 4-6, se

observa que la permeabilidad de la fractura se hace menor en la dirección del esfuerzo

horizontal mínimo (perpendicular a 𝑆𝐻), especialmente en los alrededores al pozo, ya que


allí la presión de poro es menor y los esfuerzos efectivos son mayores. Y como se

mencionó anteriormente, la dirección de 𝑆ℎ corresponde a la dirección del esfuerzo efectivo

máximo normal al plano de fractura, razón por la cual, en esta dirección, se tiene mayor

cierre de la apertura de las fracturas.

Figura 4-6: Variaciones de permeabilidad de fractura en coordenadas cartesianas –

modelo Barton-Bandis y otros.

La permeabilidad de fractura del modelo Barton-Bandis y otros, corresponden a valores

considerablemente menores, en comparación con las permeabilidades de fractura

obtenidas con el modelo de Buchsteiner y otros (Figura 4-1). Particularmente, para el

modelo de Barton-Bandis y otros, las permeabilidades de fractura máximas son cercanas

a 1,50[𝑚𝐷], mientras que para el modelo de Buchsteiner y otros, las permeabilidades de

fractura máximas alcanzan valores alrededor de 3,7 [𝑚𝐷]. Por otro lado, los menores

valores de permeabilidad en ambos modelos sí son similares y oscilan entre 0,1 − 0,4 [𝑚𝐷].

La Figura 4-7 ilustra las variaciones de la permeabilidad de fractura en función de la

distancia radial y de la posición tangencial, en coordenadas de pozo, para el modelo de

Barton-Bandis y otros. Al igual que la Figura 4-2, los canales de flujo de mayor




permeabilidad se encuentran alineados en la dirección de 𝑆𝐻, porque la magnitud de 𝑆𝐻 en

su dirección, favorece la apertura de las fracturas. En la dirección de 𝑆ℎ, se observan los

menores valores de permeabilidad, especialmente en la cara del pozo y hasta una

distancia radial de 0,4 [𝑓𝑡], en donde la presión de poro tiende a ser muy baja y los

esfuerzos efectivos muy altos.

Figura 4-7: Variaciones de permeabilidad de fractura en función de la distancia radial y la

posición tangencial del pozo, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡], - modelo Barton-Bandis y otros.

El modelo de permeabilidad de Bok y otros es función de la apertura de la fractura y de la

frecuencia de la fractura. El modelo de Bok y otros es aplicado con las aperturas resultantes

del modelo de Barton-Bandis y otros. Como era de esperarse, la permeabilidad de fractura

depende directamente de la apertura de la fractura, como se evidencia en la Figura 4-8.

La variación de permeabilidad y la apertura de las fracturas tienen la misma tendencia,

tanto en las cercanías del pozo como en las lejanías del mismo. Luego, la apertura de la

fractura al igual que la permeabilidad, se hace menor en la dirección de 𝑆ℎ, especialmente

en la cara del pozo donde la baja presión de poro y el máximo esfuerzo efectivo normal al


plano de fractura favorece el cierre de ésta. Por el contrario, los mayores valores de

apertura de fracturan se alinean en la dirección de 𝑆𝐻, tendiendo a un estado de apertura

constante en la lejanía del pozo, en donde la alta presión de poro favorece el estado de

apertura de las fracturas (Figura 4-9).

Figura 4-8: Relación permeabilidad de fractura y apertura de fractura utilizando

permeabilidad de fractura del modelo Bok y otros, con apertura de fractura de Barton-

Bandis y otros, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡].

Figura 4-9: Variaciones de apertura de fractura en función de la distancia radial y tangencial, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡] - modelo Barton-Bandis y otros.




La apertura de la fractura es afectada directamente por los esfuerzos efectivos normales

al plano de fractura, al igual que ocurre con la permeabilidad. La Figura 4-10, evidencia un

patrón de disminución de la apertura de fractura con el aumento del esfuerzo efectivo

normal al plano de fractura, cuando 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡].

Figura 4-10: Relación 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 vs 𝑆´𝑛, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡].

Luego de analizar los resultados obtenidos de los modelos de permeabilidad en función de

la apertura de la fractura se corrobora la estrecha relación en el comportamiento similar de

la apertura y de la permeabilidad de fractura, debido a las perturbaciones.

4.1.3 Impacto de la orientación del plano de fractura sobre la permeabilidad de las fracturas

Para analizar el impacto de la orientación del plano de fractura sobre la permeabilidad de

las fracturas se asume una fractura vertical en la dirección del esfuerzo horizontal máximo

y una fractura vertical en la dirección del esfuerzo horizontal mínimo. Para ejemplificar este

impacto, la Figura 4-11, muestra una representación esquemática de cómo luce una

fractura en la dirección de 𝑆𝐻 (línea amarilla) y en la dirección de 𝑆ℎ (línea anaranjada).


La Figura 4-12 ilustra dos curvas de las variaciones de permeabilidad de fractura a lo largo

de la distancia radial. La curva amarilla corresponde a los resultados obtenidos cuando la

dirección de la fractura toma la misma dirección del esfuerzo horizontal máximo. Por otro

lado, la curva anaranjada corresponde a los resultados obtenidos cuando la orientación del

plano coincide con la dirección del esfuerzo horizontal mínimo.

Figura 4-11: Esquema representativo, sobre los resultados del caso base, de una fractura

vertical orientada en la dirección de 𝑆ℎ y de 𝑆𝐻, - modelo Buchsteiner y otros.

Cuando el plano de fractura se encuentra en la misma dirección de 𝑆𝐻, se tienen mayores

valores de permeabilidad, en comparación, a cuando el plano de fractura se encuentra

orientado en la dirección perpendicular a esta, es decir en la dirección de 𝑆ℎ. Como se ha

mencionado a lo largo de este capítulo, en la dirección de 𝑆ℎ, la permeabilidad es menor

debido a que esta dirección coincide con la dirección del esfuerzo efectivo máximo normal

al plano. Luego, todas las familias de fractura que se encuentren alineadas en la dirección

de 𝑆ℎ tendrán menor apertura de fractura y por ende menor permeabilidad, especialmente

en las cercanías del pozo en donde la presión es menor. Por el contrario, las aperturas de

los sets de fracturas alineados en la dirección de 𝑆𝐻 serán favorecidos por dicha

orientación.




Figura 4-12: Variaciones de la permeabilidad de fractura en función de la orientación del

plano de fractura en la dirección de 𝑆ℎ y 𝑆𝐻, para 𝑧𝑘 = −355 [𝑓𝑡] - modelo Buchsteiner y

otros.

Finalmente, se observa que la orientación del plano de fractura en función del esfuerzo

horizontal máximo y del esfuerzo horizontal mínimo tienen una alta incidencia sobre las

variaciones de permeabilidad, especialmente en cercanías al pozo.

4.1.4 Impacto de la tasa de flujo sobre la permeabilidad de las fracturas

Para analizar el impacto de la tasa de flujo sobre la permeabilidad de las fracturas, se corre

el programa para escenarios con un valor diferente de caudal, aplicando modelo

Buchsteiner y otros. Los tres escenarios para los cuales se propone los diferentes medios

es cuando 𝑄 = 310[𝑆𝑇𝐵/𝑑], 510[𝑆𝑇𝐵/𝑑] y 710[𝑆𝑇𝐵/𝑑]. El valor de caudal del caso base

corresponde a 𝑄 = 510[𝑆𝑇𝐵/𝑑].

La Figura 4-13, ilustra las variaciones de permeabilidad de fractura, a lo largo de la

distancia radial entre 0,38 − 0,9 [𝑓𝑡], para los diferentes escenarios de caudal, cuando 𝑧𝑘 =

−352 [𝑓𝑡] y 𝜑𝑗 = 45 [°]. Es de esperarse que con un menor caudal se tiene una mayor

presión e indirectamente una mayor permeabilidad. Pero, al producir a un mayor caudal,

también se espera que la caída de presión o drawdown sea mayor. Una caída de presión

alta, afecta directamente la permeabilidad de un sistema sensible a esfuerzos,


especialmente en los alrededores más cercanos al pozo, en donde la presión de poro

disminuye aumentando la concentración de esfuerzos efectivos normales al plano de

fractura. Por ejemplo, para 𝑄 = 710[𝑆𝑇𝐵/𝑑], se tienen un escenario con valores más bajos

de permeabilidad respecto a 𝑄 = 310[𝑆𝑇𝐵/𝑑]. Por otro lado, para los tres casos expuestos,

se observa una mayor disminución de la permeabilidad en la cara del pozo, porque allí al

tener un mayor caudal, la presión de fondo es menor, y por ende la permeabilidad de las

fracturas es menor.

Figura 4-13: Variaciones de la permeabilidad de fractura en función de la tasa de flujo,

para 𝑧𝑘 = −352 [𝑓𝑡] y 𝜑𝑗 = 45 [°]. - modelo Buchsteiner y otros.

4.2 Análisis de sensibilidad

Un análisis de sensibilidad consiste en la variación de valores o propiedades para analizar

las fluctuaciones de los resultados. En este caso, a partir de los resultados del caso base,

se varían los valores de algunas variables, implementadas en algunos de los modelos,

para analizar el comportamiento de éstas sobre la apertura y permeabilidad de las

fracturas.

La Figura 4-14 ilustra las variaciones de apertura de fractura en función de la caída de

presión aplicando el modelo de Lamb. Cuando el drawdown es mayor la apertura de

fractura disminuye porque la caída de presión aumenta los esfuerzos efectivos sobre la




cara de la fractura. Por otra parte, cuando la caída de presión es baja, las variaciones en

presión no tienen un impacto negativo tan alto sobre el cierre de la fractura.

Figura 4-14: porcentaje de cambio de la apertura de fractura en función de la caída de

presión - modelo de Lamb.

La Figura 4-15 ilustra las variaciones de apertura de fractura en función de la relación de

Poisson. Es evidente que la relación de Possion, aunque aumente o disminuya, no tiene

un impacto alto sobre la apertura de la fractura, ya que el porcentaje de cambio no supera

el 1%, aplicando el modelo de Rong y otros.

Figura 4-15: porcentaje de cambio de la apertura de fractura en función de la relación de

Poisson, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de Rong y otros.


La Figura 4- 16 ilustra fuertes variaciones de la permeabilidad en función del esfuerzo

normal efectivo al plano de fractura aplicando el modelo de Buchsteiner y otros. Se tienen

grandes aumentos de la permeabilidad de fractura a bajos valores de esfuerzo normal. La

disminución en permeabilidad de fractura, debido al aumento de 𝑆´𝑛 , es un poco más

progresiva y no es tan significativa como los aumentos debido a la disminución de 𝑆´𝑛. Lo

mismo ocurre al aplicar el modelo de Chen y otros, como lo ilustra la Figura 4-17.

Figura 4- 16: porcentaje de cambio de la permeabilidad de fractura en función de 𝑆´𝑛 , para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de Buchsteiner y otros.

Figura 4-17: porcentaje de cambio de la permeabilidad de fractura en función de 𝑆´𝑛 , para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de Chen y otros.




La Figura 4-18 ilustra las variaciones de permeabilidad de fractura en función de la

frecuencia de fractura, aplicando el modelo de Bok y otros, y Barton-Bandis y otros. Es

evidente el gran aumento de la permeabilidad en función del aumento del número de

fracturas por pie. Cuando el número de fracturas por pie disminuye, el modelo Bok y otros,

ilustra disminución en la permeabilidad de la fractura.

Figura 4-18: porcentaje de cambio de la permeabilidad de fractura en función de la

frecuencia de la fractura, para 𝑧𝑘 = −353 [𝑓𝑡]- modelo de Bok y otros, con apertura de

Barton-Bandis y otros.

5. Conclusiones y recomendaciones

Este capítulo presenta las conclusiones obtenidas en los resultados al acoplar en un

modelo analítico atributos de las fracturas naturales, propiedades de la roca, esfuerzos en

los alrededores del pozo, esfuerzos principales y modelos de permeabilidad de fractura. El

modelo desarrollado es aplicado para generar un diagnóstico del daño geomecánico por

cierre de fracturas naturales. Adicionalmente, este capítulo contiene una serie de

recomendaciones a implementar en posibles futuras versiones del modelo.

5.1 Conclusiones

La creación de una malla con sus componentes en la dirección radial, tangencial y axial

permite una división óptima, del sistema matriz-fractura, en nodos de tamaños iguales. La

implementación de las particiones de la malla facilita la atribución de diferentes

propiedades entre un nodo y otro. Los nodos de la malla pueden ser clasificados como

propiedad de matriz o propiedad de fractura en función de la distancia entre el nodo y el

plano de fractura, distancia determinada, a partir de la ecuación del plano de fractura.

El modelo de Kirsch, implementado en el cálculo de los esfuerzos en los alrededores del

pozo, asume que los esfuerzos totales no están afectados por la presión de poro, sino que

el mayor impacto en el sistema ocurre por reemplazar la roca por un hueco. Esta

suposición, no es válida y es contrarrestada en el desarrollo de este modelo al aplicar la

definición de esfuerzos efectivos en el cálculo de esfuerzos en los alrededores del pozo.

Los modelos de permeabilidad de fractura implementados en este estudio son función

directa de la apertura de la fractura y de los esfuerzos efectivos. Además, los modelos

implementados involucran en su cálculo variables como: esfuerzos principales in-situ y




luego de perforar el pozo, propiedades elásticas y de resistencia de la roca (relación de

Poisson, módulo de Young, constante de Lamé, módulo de cizalladura, coeficiente de

fricción interna, 𝑈𝐶𝑆, etc.), y atributos de las fracturas naturales (frecuencia, apertura inicial,

orientación de las fracturas, etc.).

La implementación de dichos modelos permite concluir lo siguiente:

- La disminución progresiva de la permeabilidad y la apertura de fractura con el

aumento de los esfuerzos efectivos es evidente, ya que al tener valores altos de

esfuerzo efectivo normal al plano de fractura se favorece el cierre de ésta,

especialmente en la cara del pozo, en donde la presión de poro disminuye y los

esfuerzos efectivos normales al plano de fractura aumentan. Particularmente, el

modelo Buchsteiner y otros, muestra una disminución de la permeabilidad de hasta

un 77% en la cara del pozo.

- Los canales de mayor flujo de permeabilidad coinciden con la dirección del esfuerzo

horizontal máximo, porque es allí donde hay un mayor esfuerzo que favorece la

apertura de la fractura.

- Los valores más bajos de permeabilidad, aun en la lejanía del pozo, se encuentran

alineados con la dirección del esfuerzo horizontal mínimo, ya que 𝑆ℎ es

considerablemente menor y perpendicular a 𝑆𝐻 y, por tanto, no logra favorecer la

apertura del plano de fractura. Además, la dirección de 𝑆ℎ coincide con la dirección

del esfuerzo máximo efectivo normal al plano de fractura.

- La disminución de permeabilidad de la fractura es máxima para las profundidades

en donde la fractura intercepta el pozo, ya que es allí donde ocurre la mayor caída

de presión, y por ende la mayor acumulación de esfuerzos normales al plano.

- A medida que la distancia radial aumenta hacia adentro de la formación, la

permeabilidad de fractura tiende a un mismo valor en las lejanías del pozo.

Conclusiones y recomendaciones 127

- Con la aplicación de los modelos de permeabilidad y apertura de fractura se logra

estimar un radio de afectación del daño geomecánico por cierre de fracturas.

Adicionalmente, una distribución espacial del daño geomecánico, en función de la

profundidad, puede ser determinada.

- La orientación de una fractura vertical tiene un alto impacto en el comportamiento

de la permeabilidad, ya que cuando el plano de fractura se encuentra en la misma

dirección de 𝑆𝐻, se tienen mayores valores de permeabilidad, en comparación, a

cuando el plano de fractura se encuentra perpendicular a esta, es decir en la

dirección de 𝑆ℎ.

- La tasa de flujo tiene alta incidencia sobre el comportamiento de la permeabilidad.

La permeabilidad de la fractura es menor en la cara del pozo en donde se tiene

mayor caudal porque allí la presión es menor, favoreciendo el cierre de la fractura.

- A las altas tasas de flujo se le relacionan bajos valores de permeabilidad porque la

caída de presión afecta los sistemas sensibles a esfuerzos. Una caída de presión

acelerada hace que la presión disminuya a una mayor velocidad, aumentando la

concentración de esfuerzos en los alrededores más cercanos al pozo.

- La apertura y la frecuencia de la fractura, la orientación del plano de fractura, la

orientación del esfuerzo horizontal máximo y del esfuerzo horizontal mínimo, la tasa

de flujo, y la posición tangencial son propiedades que tienen alta influencia sobre

el comportamiento de la permeabilidad de las fracturas. Por su parte, propiedades

de la roca como la relación de Poisson, aplicadas con el modelo de Rong y otros,

no tienen un impacto a destacar sobre las variaciones de la permeabilidad de las

fracturas.

5.2 Recomendaciones y retos

Los resultados obtenidos, con la aplicación de este modelo, dan una idea preliminar para

diagnosticar el daño geomecánico por cierre de fracturas para un pozo vertical. El modelo

conceptual de la investigación puede ser enriquecido y complementado con la aplicación




de otros criterios. Adicionalmente, la herramienta computacional puede ser mejorada, a

nivel conceptual y a nivel programático, para futuras versiones.

Algunas recomendaciones y retos a futuro son:

- La solución de Darcy, implementada para el cálculo de la presión, es desarrollada

para un pozo vertical. Para poder desarrollar el modelo sobre un pozo inclinado

debe usarse una ecuación analítica, del cálculo de presión, aplicable a pozo

inclinado. De no encontrarse en la literatura, una solución analítica para pozo

inclinado, representa un reto científico. Es posible adaptar metodologías para poder

usar la solución de Darcy a un pozo inclinado. Se recomienda, por ejemplo, la

suposición de pseudo-segmentos verticales a lo largo del pozo (Figura 5-1).

Figura 5-1: Ilustración de pseudo-segmentos verticales a lo largo de un pozo inclinado.

- El análisis de más de un plano de fractura, debido a la cantidad de datos y al tiempo

computacional que conlleva, se hizo dificultosa para esta ejecución del modelo. Se

sugiere la implementación de otras herramientas programáticas en donde se facilite

la inclusión de más de un plano de fractura en el mismo análisis.

- Se sugiere la inclusión de modelos que calculen directamente la permeabilidad de

matriz. De esta forma, no se asume un valor promedio de permeabilidad de matriz

para todo el sistema. Luego, cada nodo relacionado a propiedad de matriz, bajo

sus propias condiciones (en función de la orientación del pozo, la anisotropía de

Conclusiones y recomendaciones 129

esfuerzos, propiedades de la roca, entre otros) tendrá un valor de permeabilidad

más aproximado a las condiciones reales.

- Los nodos de la malla pueden ser clasificados como propiedad de matriz o

propiedad de fractura. Esta clasificación (“a grandes rasgos”) se desarrolló para

que a futuro otras propiedades diferentes a la permeabilidad pudieran ser incluidas

en el modelo.

- Se sugiere el desarrollo de un modelo completamente acoplado, ya que la ley de

Darcy no acopla las variaciones de esfuerzos y el modelo de Kirsch no acopla las

variaciones de presión de poro.

- La adquisición de datos de entrada para la construcción del modelo, muchas veces

representan un reto. Se sugiere, para la industria, la creación de bases de datos

donde se almacene de forma organizada la información (reportes, registros, datos

de laboratorio, entre otros) que se obtienen día a día durante la vida de los pozos.

A. Anexo: Subrutinas código de programación

A continuación se describen una serie de subrutinas cuyo acoplamiento permite evaluar la

variabilidad espacial de la permeabilidad de las fracturas con el estado de esfuerzos

inducidos por operaciones de producción e inyección de fluidos.

Estas subrutinas hacen referencia a la creación de datos de la malla, cálculo de esfuerzos

principales in-situ, determinación de los nodos de la malla relacionados al plano de fractura,

cálculo del vector normal al plano de fractura, cálculo de esfuerzos en los alrededores del

pozo, cálculo de esfuerzos principales luego de perforar el pozo, cálculo de esfuerzos

efectivos, cálculo del esfuerzo normal y de cizalla al plano de fractura, aplicación de

modelos de permeabilidad de fractura, cálculo de permeabilidad promedio y cálculo de

presión de poro.

Python 5.2.0 es el software implementado en la programación del código. El código está

orientado a una programación de objetos. La programación de objetos involucra una

jerarquía que va desde objetos, funciones o métodos hasta atributos. La Tabla A1-1

muestra la clasificación de objetos con algunas de sus funciones y atributos.

Tabla A1-1: Variables declaradas en la programación orientada a objetos

OBJETOS FUNCIONES O MÉTODOS ATRIBUTOS

Formación

calcularEsfuerzosAlrededoresPozo, calcularEsfuerzosPrincipales, calcularEsfuerzosPrincipalesLuegoPerforarPozo, calcularEsfuerzosVirgenes, calcularEspesor, calcularPresionBokLamb, calcularPresionesCalculadas, etc...

apertura_inicial_rong, azimut_SH, coeficiente_biot, delta_SH, errores_presion, presiones_asumidas, presiones_calculadas, pw_por_altura, etc…

Fractura calcularBarton, calcularBok, imprimirModeloBarton, modeloBuchsteiner,

K_fractura_Barton_Lamb, aperturas_max_zoback, K_fracturas_Barton_Lei, etc…



Título de la tesis o trabajo de investigación Título de la tesis o trabajo de investigación

modelosDeAperturaFractura, imprimirPermeabilidadPromedio, etc...

Malla

calcularAngulos, calcularContadorJ, imprimirDivisiones, recorrerPuntos, calcularProfundidades, calcularZprima, etc…

puntos_fractura, puntos_matriz, indice_SH, phi_j, posicion_j_SH, z_k, etc...

Parámetros Parámetros alfa_jin, delta_phi, tasa_flujo, tol_presion, divisiones_zeta, etc...

Plano calcularEsfuerzosNormalesYdeCizalla, hallarVectorNormal, calcularZplanos, imprimirEsfuerzosNormalesYdeCizalla, etc..

esfuerzos_cizalla, esfuerzos_normales, vector_normal, puntos_matriz_en_radio_y_altura, etc...

Pozo hallarMatrizTransformacion, imprimirMatrizTransformacion, etc..

Pw, inclinacion, presion_asumida, azimut, etc...

Fluido Fluido caudal_darcy, factor_volumetrico, viscosidad_darcy, etc...

El modelo analítico es descrito a continuación:

A.1 Subrutina 1- Creación datos de la malla

La función de esta subrutina es crear una malla en tres dimensiones para evaluar la

permeabilidad de una fractura en función del estado de esfuerzos inducidos por

operaciones de producción e inyección de fluidos. La malla se desarrolla en un sistema

ortogonal de direcciones radial, tangencial y axial (el eje axial corresponde al eje del pozo).

La

Tabla A1-2 asocia la variable contador, la variable coordenada cilíndrica y la variable

incremental (delta), en cada dirección ortogonal.

Tabla A1-2: Variables implementadas en la generación de la malla - coordenadas cilíndricas.

Contador Coordenada Delta Dirección

𝑖 = 0, 1, 2, … 𝑖 − 1, 𝑖, 𝑖 + 1,…𝑁𝑟 𝑟𝑖=𝑟0, 𝑟1, 𝑟2, … 𝑟𝑖−1, 𝑟𝑖 , 𝑟𝑖+1. … 𝑟𝑁𝑟 [ft] ∆𝑟 [ft] Radial

Anexo A. Subrutinas código de programación 133

𝑗 = 0, 1, 2, … 𝑗 − 1, 𝑗, 𝑗 + 1,…𝑁𝜑 𝜑𝑗=𝜑0, 𝜑1, 𝜑2, …𝜑𝑗−1, 𝜑𝑗 , 𝜑𝑗+1. …𝜑𝑁𝜑 [°] ∆𝜑 [°] Tangencial

𝑘 = 0, 1, 2, … 𝑘 − 1, 𝑘, 𝑘 + 1,…𝑁𝑧 𝑧𝑘=𝑧0, 𝑧1, 𝑧2, … 𝑧𝑘−1, 𝑧𝑘 , 𝑧𝑘+1. … 𝑧𝑁𝑧 [ft] ∆𝑧 [ft] Axial

La coordenada 𝑟𝑖 corresponde al radio calculado en la posición 𝑖, dada en pies [𝑓𝑡]. La

coordenada 𝜑𝑗 corresponde al ángulo phi calculado en la posición 𝑗, dada en grados

sexagesimales [°], e implementado internamente en radianes. La coordenada 𝑧𝑘

corresponde a la profundidad calculada en la posición 𝑘, dada en pies [𝑓𝑡].

El delta a calcular es usado para estimar el espaciamiento de la malla. El espaciamiento

de la malla es función del número de divisiones deseadas por el usuario y depende del

detalle en que se desee analizar la formación de interés.

Las ecuaciones (A-1) a (A-3) representan numéricamente el espaciamiento en la dirección

radial (∆𝑟), en la dirección tangencial (∆𝜑) y en la dirección axial (∆𝑧), respectivamente. En

Python 5.2.0 la primera posición siempre inicia en cero. Luego, las variables 𝑁𝑟 , 𝑁𝜑 𝑦 𝑁𝑧

representan el número de nodos más 1 en cada una de las direcciones indicadas por el

subíndice. Las ecuaciones son:

Para 𝑖 = 0,1, … ,𝑁𝑟, el ∆𝑟 en la dirección radial está dado por:

∆𝑟=𝑟𝑒𝑥𝑡−𝑟𝑤

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 .................................................................................................. (A-1)

Para 𝑗 = 0,1,… ,𝑁𝜑, el espesor ∆𝜑 en la dirección tangencial está dado por:

∆𝜑=360°

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑝ℎ𝑖 .................................................................................................... (A-2)

Para 𝑘 = 0,1,… ,𝑁𝑘, el espesor ∆𝑧 en la dirección axial está dado por:

∆𝑧=(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟_𝑓𝑚)

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 ................................................................................................... (A-3)




En las ecuaciones (A-1) a (A-3), 𝑟𝑒𝑥𝑡 y 𝑟𝑤 son radio externo y radio del pozo,

respectivamente; 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑝ℎ𝑖 y 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 son el número de

nodos más 1 en las direcciones radial, tangencial y axial, respectivamente; y

𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟_𝑓𝑚 corresponde al espesor de la formación definido como la diferencia entre la

base de la formación y el tope de la formación (𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑓𝑚 − 𝑡𝑜𝑝𝑒_𝑓𝑚).

La Figura 3-3 representa gráficamente las variables definidas para la creación de la malla.

Cada nodo o punto de la malla corresponde a una coordenada (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘).

Para el inicio de los cálculos, el primer dato del radio, que corresponde a la posición 𝑖 = 0,

es 𝑟0 = 𝑟𝑤. El primer dato de phi, que corresponde a 𝑗 = 0, tiene un valor de 𝜑0 = 0°. Por

otro lado, el primer dato de profundidad corresponde al tope de la formación. Al conjunto

de profundidades calculadas en función de las profundidades reales de la formación, es

decir con respecto a la superficie terrestre, se les denomina 𝑧𝑘´. La componente 𝑧𝑘 se

genera al restar el tope de la formación a cada 𝑧𝑘´, es decir 𝑧𝑘 es medido respecto al tope

de la formación. El eje axial es positivo por encima del tope de la formación y es negativo

por debajo de este.

Para ejemplificar esta subrutina, se toman los siguientes datos de entrada: 𝑟𝑒𝑥𝑡 =

3 [ft], 𝑟𝑤 = 0,375 [ft], 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 50 [ft], 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑝ℎ𝑖 = 180 [°], 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎 =

400 [ft], 𝑡𝑜𝑝𝑒_𝑓𝑚 = 15.775 [ft], 𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑓𝑚 = 16.329 [ft], 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟_𝑓𝑚 = 554 [ft]. Aplicando

los datos a las ecuaciones (A-1) a (A-3), se obtienen los siguientes resultados:

∆𝑟=𝑟𝑒𝑥𝑡−𝑟𝑤

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜=

3−0,375

50= 0,0525

∆𝜑=360

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑝ℎ𝑖 =

360

180= 2

∆𝑧=(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟_𝑓𝑚)

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠_𝑧𝑒𝑡𝑎=

554

400= 1,385


Esta subrutina tiene dos archivos de salida. El primer archivo de salida imprime las

componentes de la dirección radial, tangencial y axial, Figura A1-1. “Parte1.1_datos_malla

evidencia que el primer dato del radio, que corresponde a la posición 𝑖 = 0, es 𝑟0 = 𝑟𝑤 =

0,375, y aumenta en función de ∆𝑟= 0,0525. El primer dato de phi, que corresponde a 𝑗 =

0, tiene un valor de 𝜑0 = 0°, y aumenta en función de ∆𝜑= 2 . El primer dato de profundidad

real (𝑧𝑘´) corresponde al 𝑡𝑜𝑝𝑒_𝑓𝑚 = 15.775, y aumenta en función de ∆𝑧= 1,385. El primer

dato de zeta, que corresponde a 𝑘 = 0, es 𝑧0 = 0.

Los puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘) de la malla son generados de manera sistemática a partir de la

combinación de las componentes de la dirección radial, de la dirección tangencial y de la

dirección axial. La combinación de las variables comprende tres ciclos anidados donde la

variable más interna del ciclo es 𝑧𝑘, la variable intermedia del ciclo es 𝜑𝑗, y la variable

externa del ciclo es 𝑟𝑖. La Figura A1-2, ilustra el archivo de salida,

“Parte1.2_puntos_de_la_malla”, con los puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘) de la malla.

En resumen, los datos que se obtienen de esta subrutina son los espesores ∆𝑟, ∆𝜑, ∆𝑧; los

nodos más 1 𝑁𝑟 , 𝑁𝜑, 𝑁𝑧; las componentes 𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘; y los puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘) que componen

la malla.

Figura A1-1: Ilustración datos de salida subrutina 1 -componentes de la dirección radial,

tangencial y axial, respectivamente-.




Figura A1-2: Ilustración datos de salida subrutina 1 –puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘) de la malla -.

A.2 Subrutina 2- Esfuerzos principales


La función de esta parte del código es generar de manera sistemática valores de esfuerzos

principales a partir de un gradiente de esfuerzo.

La profundidad implementada para el cálculo del gradiente de esfuerzos es la profundidad

real de la formación (𝑧𝑘´). Luego, la ecuación (2.3-26) puede ser reescrita como:

𝑆 = 𝑧𝑘´ [𝑓𝑡] ∗ ∇𝑆 [𝑝𝑠𝑖

𝑓𝑡] .............................................................................................. (A-4)

Los resultados, obtenidos al aplicar la ecuación (A-4), tienen como datos de entrada: ∇𝑆𝑣 =

1 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]; ∇𝑆ℎ = 0,8 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]; ∇𝑆𝐻 = 1,2 [𝑝𝑠𝑖/𝑓𝑡]. El archivo de salida

“Parte2_esfuerzos_principales” corresponde a los resultados de esta subrutina. Los datos

que se obtienen de esta subrutina son los esfuerzos principales (𝑆𝐻 , 𝑆ℎ, 𝑆𝑣) para cada una

de las profundidades asociadas a la coordenada axial 𝑧𝑘 .

A.3 Subrutina 3- Ecuación del plano de fractura

Los datos que describen el plano de fractura se encuentran en función de un sistema de

coordenadas cartesianas. A su vez la malla definida, en la subrutina 1, se encuentra en

función de un sistema de coordenadas cilíndricas. La equivalencia entre un sistema

coordenado y otro está dado por las Figura A1-3 a A1-6. La Figura A1-3, representa la

relación entre las variables que describen la dirección radial de la malla y el sistema de

coordenadas cartesianas. La Figura A1-4, ilustra la relación entre las variables que

describen la dirección tangencial de la malla y el sistema de coordenadas cartesianas. La

Figura A1-5, ilustra que el eje axial del pozo corresponde al eje zeta de la malla y al eje

zeta del sistema cartesiano.

La Figura A1-6, resume la relación que se tiene entre los ejes del sistema cilíndrico (𝑟, 𝜑, 𝑧)

vs los ejes del sistema cartesiano (𝑋, 𝑌, 𝑍). Visto en planta, el punto central del pozo en

coordenadas cilíndricas equivale a (𝑟 = 0, 𝜑 = 0°). De la misma manera, el punto central

del pozo en coordenadas cartesianas equivale a (𝑋 = 0, 𝑌 = 0).

Figura A1-3: Vista en planta del pozo. Relación ejes coordenadas cartesianas con la

distancia radial de la malla.




Figura A1-4: Vista en planta del pozo. Relación ejes coordenadas cartesianas con la

distancia tangencial.

Figura A1-5: Eje axial del pozo corresponde al eje zeta del sistema de coordenadas

cilíndricas y del sistema de coordenadas cartesianas.


Figura A1-6: Vista en planta de los ejes del sistema cilíndrico (𝑟, 𝜑) vs los ejes del sistema

cartesiano (𝑋, 𝑌).

Conociendo la relación entre el sistema de coordenadas cilíndrico y el sistema de

coordenadas cartesiano es posible expresar cualquier punto de la malla (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘) en

función del sistema de coordenadas cartesianas. La Figura A1-7, ilustra la relación

geométrica de ambos sistemas de coordenadas de donde se obtienen las ecuaciones (A-




5) a (A-7). Las ecuaciones (A-5) a (A-7) representan el cambio de sistema coordenado

cilíndrico a sistema coordenado cartesiano.

Figura A1-7: Relación geométrica entre el sistema de coordenadas cartesianas y el

sistema de coordenadas cilíndricas.

𝑋 = 𝑟𝑖cos (𝜑𝑗) ........................................................................................................ (A-5)

𝑌 = 𝑟𝑖sen (𝜑𝑗) ........................................................................................................ (A-6)

𝑍 = 𝑍...................................................................................................................... (A-7)

La ecuación (A-8) representa la forma general de la ecuación de un plano dada en función

de un sistema de coordenadas cartesianas.

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 + 𝐷 = 0 ........................................................................................... (A-8)

Cuando se conocen tres puntos, 𝑃1 =(𝑋1, 𝑌1, 𝑍1), 𝑃2 =(𝑋2, 𝑌2, 𝑍2) y 𝑃3 = (𝑋3, 𝑌3, 𝑍3), la

forma funcional de la ecuación (A-8) incluyendo el valor de las constantes 𝐴, 𝐵 , 𝐶 y 𝐷, se

obtiene mediante la solución del siguiente determinante, ecuación (A-9).

|𝑋 − 𝑋1 𝑌 − 𝑌1 𝑍 − 𝑍1

𝑋2 − 𝑋1 𝑌2 − 𝑌1 𝑍2 − 𝑍1

𝑋3 − 𝑋1 𝑌3 − 𝑌1 𝑍3 − 𝑍1

| = 0 = 𝑈1 − 𝑈2 + 𝑈3 ................................................... (A-9)


Donde,

𝑈1 = (𝑋 − 𝑋1)[[(𝑌2 − 𝑌1) ∗ (𝑍3 − 𝑍1)] − [(𝑌3 − 𝑌1) ∗ (𝑍2 − 𝑍1)]] ............................... (A-10)

𝑈2 = (𝑌 − 𝑌1)[[(𝑋2 − 𝑋1) ∗ (𝑍3 − 𝑍1)] − [(𝑋3 − 𝑋1) ∗ (𝑍2 − 𝑍1)]] ............................ (A-11)

𝑈3 = (𝑍 − 𝑍1)[[(𝑋2 − 𝑋1) ∗ (𝑌3 − 𝑌1)] − [(𝑋3 − 𝑋1) ∗ (𝑌2 − 𝑌1)]] .............................. (A-12)

Para el caso de un plano de fractura, los tres puntos que pertenezcan a dicho plano de

fractura, 𝑃1 =(𝑋1, 𝑌1, 𝑍1), 𝑃2 =(𝑋2, 𝑌2, 𝑍2) y 𝑃3 = (𝑋3, 𝑌3, 𝑍3), se suelen obtener de un

registro de imagen en el sistema de un sistema de coordenadas cilíndricas (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘).

Luego, para obtener 𝑃1, 𝑃2 y 𝑃3 en las ecuaciones (A-9) a (A-12), los puntos (𝑟𝑖, 𝜑𝑗 , 𝑧𝑘)

deben ser expresados en función del sistema de coordenadas cartesianas con las

ecuaciones (A-5) a (A-7).

La Figura A1-8, ilustra un registro UBI del pozo XR1. Esta sección de la formación muestra

fracturas de alta calidad y alta a muy alta intensidad (3 a 6 fracturas por pie). Del plano de

fracturas seleccionado se obtienen los siguientes puntos:

o Punto 1 → 𝑃1 → (𝑟𝑖=𝑟𝑤 = 0,375, 𝜑𝑗= 90°, 𝑧𝑘= -352) con 𝑧𝑘´ = 16.127 [𝑓𝑡]






Figura A1-8: Registro de imagen UBI, pozo XR1.

Los resultados de esta subrutina son impresos en pantalla. La Figura A1-9, ilustra las

componentes 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 calculadas para el plano de fractura seleccionado del pozo XR1.

Figura A1-9: Ilustración datos de salida subrutina 3 – componentes 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 del plano

de fractura-.

A.4 Subrutina 4- Clasificación de nodos: propiedad de fractura y propiedad

de matriz

La función de esta subrutina es determinar si un punto cualquiera (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla esta

sobre o en las cercanías del plano de fractura. Para ello se utiliza una tolerancia permitida


(𝑇𝑜𝑙𝑧) la cual es función de la distancia vertical (eje 𝑍), el punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) y el plano de

fractura.

De la ecuación (A-8) se despeja la variable 𝑍 que corresponde a la ubicación vertical del

plano (𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) en las coordenadas 𝑋 y 𝑌.

𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 𝑍 = −(𝐷+𝐴𝑋+𝐵𝑌)

𝐶 ........................................................................................ (A-13)

De los datos de salida de la subrutina 3, se obtiene los valores para las constantes

𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷, así como 𝑋 y 𝑌. Luego se aplica la ecuación (A-13) y se obtiene 𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 para

cada punto de la malla (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘). Con el valor de 𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜, se aplica la ecuación (A-14) y se

determinar la distancia 𝑇𝑜𝑙𝑧. 𝑇𝑜𝑙𝑧 representa la distancia vertical entre la profundidad 𝑧𝑘

de un punto de la malla y la profundidad del plano de fractura en las coordenadas de 𝑋 y

𝑌, como se ilustra en la Figura A1-10.

𝑇𝑜𝑙𝑧 = ||𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜| − |𝑍𝑘|| .......................................................................................... (A-14)

Figura A1-10: Representación gráfica de la distancia vertical entre la profundidad 𝑧𝑘, de

un punto cualquiera de la malla, y la profundidad del plano de fractura.




Como dato de entrada se tiene un factor de tolerancia 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑇𝑜𝑙_𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 el cual es usado para

“restringir” el valor de tolerancia permitido. Donde, 0 ≤ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑇𝑜𝑙_𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 ≤ 1. Para determinar

si a un nodo se le atribuye propiedades de fractura o matriz, se debe resolver la

desigualdad de la ecuación (A-15). Si la ecuación (A-15) es verdadera, al punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘)

se le asigna propiedades de fractura. De lo contrario, al punto se le asigna propiedades de

matriz.

𝑇𝑜𝑙𝑧 ≤ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑇𝑜𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜∗ ∆𝑧 ..................................................................................... (A-15)

De esta subrutina se obtienen la coordenada 𝑋 y 𝑌, 𝑍𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜, 𝑇𝑜𝑙𝑧 y el tipo de propiedad

atribuida para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla. La Figura A1-11, ilustra el archivo de salida

“Parte4_clasificación_nodos” el cual contiene la clasificación de todos los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘)

de la malla. Adicionalmente, el código imprime el archivo

“Parte4.1_clasificación_nodos_fractura”, el cual contiene únicamente los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘)

de la malla asociados a propiedades de fractura. Y, el archivo

“Parte4.2_clasificación_nodos_matriz” el cual contiene los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla

asociados a propiedades de matriz.

Figura A1-11: Ilustración datos de salida subrutina 4 - nodos asociados a propiedades de

matriz y de fractura, para 𝑧𝑘 = 0 𝑦 𝑧𝑘 = −353 -.


A.5 Subrutina 5- Vector normal a un plano de fractura

La ecuación de un plano de fractura también es posible obtenerla a partir de un punto

𝑃1 =(𝑋1, 𝑌1, 𝑍1) y un vector normal al plano de fractura 𝑉𝑛⃗⃗ ⃗ = [𝑉𝑛1, 𝑉𝑛2, 𝑉𝑛3]. De esta manera,

la ecuación del plano es equivalente a la forma de la ecuación (A-16).

𝑉𝑛1(𝑋 − 𝑋1) + 𝑉𝑛2(𝑌 − 𝑌1) + 𝑉𝑛3(𝑍 − 𝑍1) = 0 ....................................................... (A-16)

De la ecuación (A-16) se obtiene:

𝑉𝑛1𝑋 − (𝑉𝑛1𝑋1) + 𝑉𝑛2𝑌 − (𝑉𝑛2𝑌1) + 𝑉𝑛3𝑍 − (𝑉𝑛3𝑍1) = 0 ........................................ (A-17)

De la ecuación (A-17), se observa que los términos en paréntesis corresponden a

constantes que al simplificarlas representan la variable D de la ecuación (A-8). De esta

forma, las variables 𝐴, 𝐵, 𝐶 que acompañan a 𝑋, 𝑌, y 𝑍 en la ecuación (A-8) corresponden a

las componentes del vector normal 𝑉𝑛1, 𝑉𝑛2 y 𝑉𝑛3, respectivamente.

La función de esta subrutina es crear el vector normal al plano de fractura a partir de las

variables 𝐴, 𝐵, 𝐶 del plano de fractura. Adicionalmente el vector es normalizado. Para

normalizar un vector se debe conocer la norma de dicho vector, ecuación (A-18). Cuando




se normaliza un vector, se obtiene un vector unitario de la misma dirección y sentido que

el vector dado. La normalización se realiza aplicando la ecuación (A-19).

|𝑉𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √𝑉𝑛12 + 𝑉𝑛2

2 + 𝑉𝑛32 .................................................................................... (A-18)

𝑉𝑛⃗⃗ ⃗ = [𝑉𝑛1

|𝑉𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑉𝑛2

|𝑉𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑉𝑛3

|𝑉𝑛|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] .................................................................................................. (A-19)

La Figura A1-12, ilustra los datos de salida de está subrutina. La norma del vector normal

compuesto por las componentes de la ecuación del plano (𝐴, 𝐵 y 𝐶) y el vector normal

normalizado son los datos impresos en pantalla.

Figura A1-12: Ilustración datos de salida subrutina 5 – componentes del vector normal

unitario-.

A.6 Subrutina 6- Matriz de transformación

La función de esta parte del código es calcular los cosenos directores de la matriz de

transformación. Las ecuaciones de cosenos directores, ecuaciones (2.3-17) a (2.3-25),

corresponden a las ecuaciones implementadas en esta subrutina. Para nuestro caso, pozo

vertical, los datos de entrada son: 𝑎𝑧 = 0° e 𝑖𝑛 = 0°.

Los datos de salida que se obtienen de esta subrutina son los cosenos directores de la

matriz de transformación (𝑙𝑥𝑥´, 𝑙𝑥𝑦´, 𝑙𝑥𝑧´, 𝑙𝑦𝑥´, 𝑙𝑦𝑦´, 𝑙𝑦𝑧´, 𝑙𝑧𝑥´,𝑙𝑧𝑦´, 𝑙𝑧𝑧´). Luego de calcular los

cosenos directores, el código imprime en pantalla los resultados.


A.7 Subrutina 7- Esfuerzos vírgenes o “superceros”

La función de esta sección del código es calcular los esfuerzos in-situ de la formación

llevados al sistema de coordenadas del pozo, es decir los esfuerzos vírgenes. Las

ecuaciones (2.3-11) a (2.3-16) representan los esfuerzos vírgenes calculados en esta

subrutina. Los esfuerzos vírgenes son función de la magnitud de los esfuerzos principales

in-situ (subrutina 2) y de los cosenos directores (subrutina 6). Se obtiene una matriz de

esfuerzos “superceros” para cada profundidad 𝑧𝑘 de la malla.

El archivo de salida “Parte7_esfuerzos_virgenes” contiene los resultados de esta

subrutina, la cual contiene las profundidades 𝑧𝑘 y 𝑧𝑘´ y sus respectivos valores de

esfuerzos vírgenes 𝑆𝑥0, 𝑆𝑦



0.

A.8 Subrutina 8- Esfuerzos alrededor del pozo

La función de esta parte del código es calcular el tensor de esfuerzos efectivo en los

alrededores del pozo, para cada (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) asociado a propiedades de fractura. La subrutina

también calcula la posición 𝑗 (contador de la dirección tangencial) de la dirección del azimut

del esfuerzo horizontal máximo (𝑎𝑧𝑆𝐻).

Las ecuaciones implementadas en esta subrutina son: ecuaciones (2.3-8) a (2.3-10) para

el cálculo de los esfuerzos radial, tangencial y axial efectivos. Y las ecuaciones (2.3-4) a

(2.3-6) para el cálculo de los esfuerzos de cizalla. Las ecuaciones de esfuerzos en los

alrededores del pozo tienen como datos de entrada la relación de Poisson (𝑣𝑓), el radio del

pozo (𝑟𝑤), la presión de fondo (𝑃𝑤) y la presión de poro (𝑃𝑝). Adicionalmente, para

implementar Kirsch, los cálculos necesitan conocer: los esfuerzos vírgenes

(𝑆𝑥0, 𝑆𝑦



0); calculados en la subrutina 7; el radio o posición radial, (𝑟),

calculado en la subrutina 1; y la posición tangencial (𝜃), calculada en esta misma subrutina,

como se describe a continuación.

La posición tangencial (𝜃) de las ecuaciones de Kirsch no corresponde a la posición

tangencial (𝜑) de la malla. Para el caso de un pozo vertical, la solución de Kirsch debe

aplicarse haciendo 𝜃 = 0° en la dirección del esfuerzo máximo. Debido a esto, se debe




encontrar la posición 𝑗 (contador 𝑗) al cual corresponde el valor de 𝑎z_𝑆𝐻. Luego, a partir

de la dirección de 𝑎z_𝑆𝐻, la posición tangencial es 𝜃 = 0° y aumenta en sentido antihorario.

Las ecuaciones (A-20) a (A-23) representan el cálculo de la posición 𝑗 de la dirección del

esfuerzo horizontal máximo. La

Figura A1-13 y

Figura A1-14, representan el ángulo que se debe “recorrer” a partir de 𝑗 = 0 (eje x) para

calcular la posición 𝑗 correspondiente a la dirección del esfuerzo horizontal máximo. La

ecuación a emplear para el cálculo de la posición 𝑗 es función del cuadrante en que se

encuentre 𝑎𝑧_𝑆𝐻.

Para 0° ≤ 𝑎𝑧_𝑆𝐻 ≤ 90°,

𝑗 = (90−𝑎𝑧_𝑆𝐻

∆𝜃) − 1 .................................................................................................. (A-20)

Para 91° ≤ 𝑎𝑧_𝑆𝐻 ≤ 180°,

𝑗 = (270°+(180°−𝑎𝑧_𝑆𝐻)

∆𝜃) − 1 ...................................................................................... (A-21)

Para 181° ≤ 𝑎𝑧_𝑆𝐻 ≤ 270°,

𝑗 = (180°+(270°−𝑎𝑧_𝑆𝐻)

∆𝜃) − 1 ...................................................................................... (A-22)

Para 271° ≤ 𝑎𝑧_𝑆𝐻 ≤ 360°,

𝑗 = (90°+(360°−𝑎𝑧_𝑆𝐻)

∆𝜃) − 1 ........................................................................................ (A-23)


Figura A1-13: Posicionamiento del ángulo 𝜃 en función del cuadrante I y cuadrante II de

la dirección del esfuerzo horizontal máximo.

Figura A1-14: Posicionamiento del ángulo 𝜃 en función del cuadrante III y cuadrante IV de

la dirección del esfuerzo horizontal máximo.

Los datos que se obtienen de esta parte del código, en el archivo

”Parte8_esfuerzos_alrededores_pozo”, son las componentes del tensor de esfuerzos

efectivos en los alrededores del pozo 𝑆´𝑟, 𝑆´𝜃, 𝑆´𝑧, 𝜏𝑟𝜃 , 𝜏𝜃𝑧, 𝜏𝑟𝑧 para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de

la malla. Para una mayor claridad de las subrutinas 6 a 8, se sugiere revisar el capítulo 2.3

y la referencia de Fjaer, E., Holt, R.M., Horsrud, P., Raaen, A.M., y Risnes, 2008.




A.9 Subrutina 9- Esfuerzos principales luego de perforar el pozo

La función de esta parte del código es calcular la magnitud y la orientación de los esfuerzos

principales luego de perforar el pozo para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) atribuido a propiedad de

fractura. Como se expone en el capítulo 2.2, la magnitud y la orientación de los esfuerzos

principales luego de perforar el pozo se calcula conociendo los valores y vectores propios

de la matriz tensor de esfuerzos en los alrededores del pozo.

La versión de Python 5.2.0 tiene un operador llamado “LA.eig”. “LA.eig” es una función de

la librería numpy diseñada para calcular los valores y vectores propios de una matriz

cuadrada. En este caso, la matriz cuadrada corresponde a la matriz tensor de esfuerzos

calculada en la subrutina 8. Cuando “LA.eig” es implementada en el código se obtienen

los valores propios (𝑆1, 𝑆2, 𝑦 𝑆3) con su vector propio asociado 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑣3⃗⃗⃗⃗ , respectivamente,

para cada (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) asignado a propiedad de fractura.

La matriz tensor de esfuerzos calculada corresponde a los esfuerzos efectivos en los

alrededores del pozo. Luego, los valores propios calculados en esta subrutina representan

los esfuerzos efectivos principales luego de perforar el pozo (𝑆´1, 𝑆´2, 𝑦 𝑆´3).

“Parte9_matrices_valores_y_vectores_propios” corresponde al archivo de salida que se

obtiene luego de hacer uso de la función “LA.eig”. En el archivo se los valores propios y

los vectores propios asociados a cada matriz tensor de esfuerzos.

A.10 Subrutina 10- Esfuerzo normal y de cizalla al plano de fractura

La función de esta subrutina es calcular los esfuerzos normal y los esfuerzos de cizalla al

plano de fractura de cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) relacionado con propiedad de fractura. Para

calcular el esfuerzo normal al plano de fractura, ecuación (2.4-2), se debe conocer el vector

normal al plano, calculado en la subrutina 5, y las componentes, 𝑆𝑇𝑋, 𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍, del

esfuerzo actuando sobre la superficie (𝑋, 𝑌, 𝑍), calculadas en esta misma subrutina con la

ecuación (2.4-1).

La ecuación (2.4-1) está planteada en función de la matriz tensor de esfuerzos totales. En

este caso, ya que la subrutina 8 calcula la matriz tensor de esfuerzos efectivos, el resultado

que se obtendrá al aplicar la ecuación (2.4-2) es el esfuerzo efectivo normal al plano de


fractura. Por su parte, para calcular el esfuerzo de cizalla al plano de fractura, ecuación

(2.4-3), se debe conocer las componentes, 𝑆𝑇𝑋, 𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍, y el esfuerzo efectivo normal al

plano de fractura, calculados con las ecuaciones (2.4-1) y (2.4-2), respectivamente. El

archivo de salida, ”Parte10_esfuerzo_normal_y_de_cizalla”, imprime las componentes 𝑆𝑇𝑋,

𝑆𝑇𝑌 y 𝑆𝑇𝑍, el esfuerzo normal efectivo y el esfuerzo de cizalla al plano de fractura para

cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) asignado a propiedad de fractura.

A.11 Subrutina 11- Modelos de permeabilidad de fractura

La función de esta subrutina es calcular la permeabilidad de fractura a cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘)

de la malla asociado a propiedad de fractura. La permeabilidad de fractura mediante los

modelos de permeabilidad de fractura son descritos en detalle en el capítulo 2.5.

A.11.1 Modelos de apertura de fractura:

A.11.1.1 Modelo Lamb:

La ecuación (2.5-1) corresponde al modelo de Lamb que calcula la apertura de fractura en

función de la geometría de la fractura, la viscosidad del fluido y las variaciones de presión

del sistema. El código recibe como datos de entrada para el uso de este modelo: la tasa

de flujo (𝑄), la viscosidad del fluido (µ), la longitud de la muestra (𝐿), la sección transversal

rectangular de la muestra (𝐷) y un diferencial de presión (∆𝑝).

El modelo de Lamb, es un modelo sencillo del cual se obtiene un solo valor de apertura,

𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏 , para todos los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla. El modelo de Lamb es impreso en

pantalla.

A.11.1.2 Modelo Lei y otros:

La ecuación (2.5-3) corresponde al modelo de apertura de Lei y otros. La apertura actual

de la fractura es función directa de la apertura inicial de la fractura, del máximo cierre

permitido de la fractura y de la rigidez inicial de la roca. Para el funcionamiento de esta

subrutina se debe ingresar el 𝑈𝐶𝑆, 𝜇 y los esfuerzos 𝑆´𝑛 y 𝜏𝑠 del plano de fractura

(subrutina 10). Con estos datos de entrada el código internamente calcula 𝑊0_𝐿𝑒𝑖 con la

ecuación (2.5-2), 𝐽𝑅𝐶 con la ecuación (2.5-6), 𝑉𝑚 con la ecuación (2.5-7), y 𝑘𝑛0 con la

ecuación (2.5-8).




Finalmente, de esta subrutina se obtiene un valor de 𝑊0_𝐿𝑒𝑖 y 𝑊𝐿𝑒𝑖 para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘)

de la malla asignado a propiedades de fractura. El archivo “Parte11.2_apertura_lei”

contiene los resultados de esta subrutina.

A.11.1.3 Modelo Rong y otros:

La ecuación (2.5-9) describe el modelo de apertura de Rong y otros. Como datos de

entrada del modelo se tiene el coeficiente de Lamé (λ), el módulo de cizalladura (G), el

ángulo de fricción interna (𝜑𝑏), los esfuerzos normal y de cizalla (calculados en la subrutina

10) y la magnitud del esfuerzo principal máximo luego de perforar el pozo (calculadas en

la subrutina 9).

Finalmente, de esta subrutina se obtiene un valor de 𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔 para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de

la malla asignado a propiedades de fractura, impreso en el archivo de salida,

“Parte11.3_apertura_rong”.

A.11.1.4 Modelo de apertura Barton-Bandis y otros:

La ecuación (2.5-12) describe numéricamente el cálculo de apertura de fractura, 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛,

con el modelo propuesto por Barton-Bandis y otros. 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 es función 𝑊0 (dato de

entrada) y de 𝑉𝑗 (dato calculado). 𝑉𝑗 es calculado internamente en el código con la ecuación

(2.5-13).

Para calcular 𝑉𝑗 se implementa el valor de 𝑆´𝑛 (subrutina 10), el valor de 𝑘𝑛0 (dato de

entrada) y el valor de 𝑉𝑚. La ecuación (2.5-14) calcula 𝑉𝑚 en función de los datos de entrada

𝐾𝑟𝑐𝑓, 𝐾𝑐𝑐𝑓 y 𝑊0. El archivo de salida, “Parte11.4_apertura_barton”, imprime 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 para

cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla relacionado a propiedad de fractura.

A.11.1.5 Modelo Zoback:

La ecuación (2.5-16) describe el modelo de apertura de Zoback (𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘). Las variables

𝑝𝑓 , 𝐿, 𝑣𝑓 y 𝐸 corresponden a datos de entrada de este modelo. Adicionalmente, en el

cálculo se implementa el valor de esfuerzo principal mínimo luego de perforar el pozo

obtenido en la subrutina 9. El archivo de salida de esta subrutina,


“Parte11.5_apertura_zoback”, imprime 𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘 para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla

relacionado a propiedad de fractura.

A.11.2 Modelos de permeabilidad de fractura en función esfuerzos efectivos:

A.11.2.1 Modelo Buchsteiner y otros:

La ecuación (2.5-21) describe numéricamente el modelo Buchsteiner y otros. Para aplicar

la ecuación (2.5-21) se tiene como dato de entrada: el factor conductividad-porosidad

(𝐵𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟) y el esfuerzo efectivo de cierre (𝑆c). La variable 𝑆´ mencionada por los

autores, en este caso, se aplica usando el esfuerzo normal efectivo, 𝑆´𝑛, calculado en la

subrutina 10.

El archivo de salida recibe el nombre de “Parte11.6_Kf _buchsteiner” en cual imprime el

valor de 𝐾𝑓_𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟 de cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla relacionado a propiedad de

fractura.

A.11.2.1 Modelo Chen y otros:

El modelo de Chen y otros, es descrito por la ecuación (2.5-22). Los datos de entrada de

esta ecuación son el esfuerzo efectivo inicial, la permeabilidad inicial de la fractura y la

compresibilidad de la fractura. Adicionalmente, el cálculo implementa un esfuerzo efectivo

actual. Chen y otros, aplica los esfuerzos efectivo inicial y actual en términos de esfuerzos

totales. En este código, se implementan los esfuerzos efectivo inicial y actual en función

de la definición de esfuerzo efectivo. Luego, los datos obtenidos en la subrutina 10,

esfuerzo normal efectivo, son implementados en los cálculos de este modelo.

El archivo recibe el nombre de “Parte11.7_Kf_Chen” en cual imprime el valor de 𝐾𝑓_𝐶ℎ𝑒𝑛 de

cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla asociado a propiedad de fractura.

A.11.2.1 Modelo Jin y otros:

La ecuación (2.5-25) describe el modelo de Jin y otros. La permeabilidad calculada con

este modelo (𝐾𝑓_𝐽𝑖𝑛) tiene como datos de entrada la compresibilidad, la porosidad inicial y

un factor relacionado a la permeabilidad inicial (𝛼𝑗𝑖𝑛). Adicionalmente, la ecuación

implementa un esfuerzo actual (𝑆) y un esfuerzo de referencia (𝑆∗). Para efectos de este

modelo, el valor de esfuerzo actual será reemplazado por el esfuerzo normal efectivo (𝑆´𝑛)




obtenido en la subrutina 10 y el valor del esfuerzo de referencia, corresponde a un dato de

entrada.

El archivo de salida recibe el nombre de “Parte11.8_Kf_Jin” en cual imprime el valor de

𝐾𝑓_𝐽𝑖𝑛 de cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla relacionado con propiedad de fractura.

A.11.3 Modelos de permeabilidad de fractura en función de la apertura:

A.11.3.1 Modelo Bok y otros:

Las ecuaciones (2.5-26) y (2.5-27) describen el cálculo de permeabilidad en la dirección x

y en función de los efectos del cierre de fractura y de la dilatación de la misma. Este modelo

en su primera versión implantará la ecuación (2.5-28), calculando la permeabilidad en una

sola dirección del flujo y despreciando los efectos de dilatación. La permeabilidad 𝐾𝑓_𝐵𝑜𝑘

es función de la frecuencia de la fractura (𝑓) y de la apertura de la fractura (𝑊). El valor de

𝑓 corresponde a un dato de entrada y el valor de 𝑊 es reemplazado usando la apertura

calculada con los diferentes modelos de apertura: 𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏, 𝑊𝐿𝑒𝑖, 𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔, 𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘 y 𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛.

El archivo de salida “Parte11.8_Kf _Bok” contiene 𝐾𝑓_𝐵𝑜𝑘, para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘),

asociado a propiedad de fractura, implementando las diferentes aperturas obtenidas con

𝑊𝐿𝑒𝑖,𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔,𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛,𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘. Cuando se implementa 𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏, se obtiene un solo valor para

todo el sistema, el cual es impreso en pantalla.

A.11.3.2 Modelo de permeabilidad Barton-Bandis y otros:

La ecuación (2.5-29) calcula 𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛. 𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛 es función de 𝐾𝑐𝑐𝑓 (dato de entrada), de

la apertura inicial de la fractura y de la apertura actual de la fractura. Este modelo se

implementa usando las diferentes aperturas calculadas: 𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏, 𝑊𝐿𝑒𝑖, 𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔, 𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘 y

𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛.

El archivo de salida “Parte11.9_Kf_Barton” contiene 𝐾𝑓_𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛, para cada punto (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘),

asociado a propiedad de fractura, implementando las diferentes aperturas obtenidas con

𝑊𝐿𝑒𝑖,𝑊𝑅𝑜𝑛𝑔,𝑊𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛,𝑊𝑍𝑜𝑏𝑎𝑐𝑘. Cuando se usa 𝑊𝐿𝑎𝑚𝑏, en los cálculos, se obtiene un solo

valor para todo el sistema, el cual es impreso en pantalla.


A.12 Subrutina 12- Permeabilidad promedio de fractura

La función de esta subrutina es calcular, a partir de un promedio geométrico, la

permeabilidad promedio (�̅�) de un cilindro de roca, entre dos radios consecutivos, para

una profundidad determinada tal como se ilustra en la Figura A1-15. La ecuación (A-24)

describe numéricamente el cálculo del promedio geométrico de las permeabilidades.

�̅� = √𝐾1 ∗ 𝐾2 ∗ 𝐾3 ∗ 𝐾4 ∗. . . 𝐾𝑛𝑛

............................................................................... (A-24)

Figura A1-15: Esquema representativo de la permeabilidad promedio para todo el sistema

(𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) de la malla.

El cálculo de permeabilidad promedio incluye en el cálculo los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) asociados

a permeabilidad de fractura y los puntos (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) asociados a permeabilidad de matriz. En

este trabajo se considera que la permeabilidad de matriz es constante y, por lo tanto, no

varía con el tiempo ni con el espacio

Cada modelo de permeabilidad de fractura, implementado en la subrutina 11, comprende

un cálculo independiente de permeabilidad promedio. Las variables permeabilidad

promedio Buchsteiner (�̅�𝐵𝑢𝑐ℎ𝑠𝑡𝑒𝑖𝑛𝑒𝑟), permeabilidad promedio Chen (�̅�𝐶ℎ𝑒𝑛), permeabilidad

promedio Jin (�̅�𝐽𝑖𝑛), permeabilidad promedio Bok (�̅�𝐵𝑜𝑘) y permeabilidad promedio Barton

(�̅�𝐵𝑎𝑟𝑡𝑜𝑛) hacen referencia a la permeabilidad promedio calculada implementando los

resultados de permeabilidad de fractura referente a cada modelo señalado en el subíndice.




A.13 Subrutina 13- Presión de poro

La función de esta subrutina es calcular la presión para todos los puntos (𝑟𝑖 ,𝑗,𝑧𝑘) de la

malla (incluyendo puntos con propiedad de matriz) aplicando la ley de Darcy para flujo

radial en sistema de unidades de campo.

La ecuación (2.6-9) hace referencia a la ley de Darcy para flujo radial y se aplica de la

siguiente manera:

Conociendo la presión 𝑝𝑖+1 del radio externo (𝑟𝑖+1) y la permeabilidad promedio, �̅�, del

anillo radial entre 𝑟𝑖+1 y el radio inmediatamente anterior (𝑟𝑖), se calcula la presión 𝑝𝑖

asociada a ese radio interno o inmediato (𝑟𝑖). De manera análoga, en cada caso, se

continúan los cálculos hasta llegar a la presión de la cara del pozo (𝑝𝑤).

Por ejemplo, de la Figura A1-15, para calcular 𝑝2 se debe conocer 𝑝3 y �̅�2. 𝑝3 es conocido

del cálculo en el cilindro inmediatamente anterior. �̅�2 es la permeabilidad promedio

asociada a las permeabilidades de todos los puntos de la malla (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘) que se

encuentran entre 𝑟2 y 𝑟3, bajo el mismo 𝑧𝑘.

A.14 Subrutina 14- Porcentaje de error y tolerancia permitida

La función de esta subrutina es calcular un porcentaje de error máximo, para cada punto

de la malla (𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘), en función de la presión asumida inicialmente en los cálculos de los

esfuerzos en los alrededores del pozo y la presión calculada en la subrutina 13.

La ecuación (A-25), describe el cálculo del porcentaje de error (%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟) para cada punto

(𝑟𝑖,𝑗,𝑧𝑘).

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑝𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎−𝑝𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎

𝑝𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎∗ 100% ....................................................................... (A-25)


La ecuación (A-26) propone la desigualdad para analizar si la presión calculada en la

subrutina 13 es cercano al valor de presión asumida con que se iniciaron los cálculos. En

la ecuación (A-26), la tolerancia permitida (𝑇𝑜𝑙𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) corresponde a un dato de entrada y

significa el valor máximo que el usuario “permite” para detener o no las iteraciones del

cálculo de presión. Y %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥 corresponde al valor mayor de todos los %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟

obtenidos para cada punto de la malla.

𝑇𝑜𝑙𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ≥ %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝑚𝑎𝑥 ......................................................................................... (A-26)

Si la desigualdad de la ecuación (A-26) es verdadera, se imprimen los resultados, esto

significa que la presión asumida inicialmente (en el cálculo de esfuerzos efectivos en la

subrutina 8) corresponde al valor real de presión de cada nodo del sistema matriz-fractura.

Luego, si la desigualdad es falsa, el código hace que 𝑝𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 𝑝𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎 y se repite todo

el ciclo desde la subrutina 8. El valor de la presión externa o presión de yacimiento es un

dato de entrada y permanece constante durante todas las iteraciones.

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