12.1INTRODUCCION12.6PRUEBA EXACTADE FISHER 12.2 12.3 12.4 12.5 PROPIEDADES MATEMATICAS DE LADISTRIBUCIONJICUADRADA PRUEBA DE BONDADDE AJUSTE PRUEBA DE INDEPENDENCIA PRUEBA DE HOMOGENEIDAD 12.7 12.8 12.9 RIESGORELATIVO,RAZON DE LOSGRAnOS DE PROBABILIDAD. Y ESTADiSTICA MANTELHAENSZEL ANAuSIS DE SUPERVIVENCIA RESUMEN 12.1INTRODUCCION En los capitulos en que se estudia la estimacion y prueba de hipotesis semenciona brevemente la distribucionji-cuadrada para construir intervalos de confianza y probar hipotesis acerca de la variancia de la poblacion.Esta distribucion, que es una de las mas utilizadas en estadistica, tiene usos adicionales. Algunos de los mis commies se preseritan en este capitulo junto con un estudio mas completo de la distribucion. La sjguiente seccion inicia con este estudio. La distribucion ji-cuadrada es la tecnica estadistica utilizada con mayor frecuencia para el analisis de conteo 0datos de frecuencias.Por ejemplo, es posible saber para una muestra de pacientes hospitalizados cuantos son varones y cuantos son mujeres.Para la misma muestra,tambien es posible saber cuantos tienen seguro de vida particular, cuantostienen seguro para gastos medicos y cuantos tienen asistencia medica. Esposible saber, para la poblaCion de la que se extrajo la muestra, siel tipo de seguro de vida esdiferente de acuerdo con el sexo.Para otra muestra de pacientes es posible tener frecuencias para cada categorfa de diagnostico representado y para cada area geografica representada. Esposible que se quiera saber si,en la poblacion de la que se extrajo la muestra, 571 572CAPiTULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS existe una relacion entre las areas de residencia y los diagnosticos.En este capitulose estudiari como utilizar el anaIisis de ji-cuadrada para contestar este tipo de preguntas.. Existen otras tecnicas estadisticas que pueden utilizarse para analizar datos de frecuencia en un esfuerzo por responder otros tipos de preguntas. En este capitulo tambien sede estas tecnicas. 12.2PROpmDADES MATEMATICAS DE IA DISTRlBUCJ(}N JI-CUADRADA Ladistribucion ji-cuadradapuedededucirseapartir deladistribucionnormal. Suponga que apartir de una variable aleatoria Yquesigue una distribucion normal, con media II y variancia (52,se eligen muestras aleatorias e independientesde tamaiio n=I.Cada valor seleccionado puede transformarse en la variable normal estandar :i:a traves de la formula: z = ~ (12.2.1) a Cada valor de z puede elevarse al cuadrado para obtener Z2.Cuando seestudia la distribucion muestral de Z2,se observa que sigue una distribuci6nji-cuadrada con 1 grado de libertad. Esto es, X2 Y- llJ2 - --.=Z2(I)(a Ahora suponga que seeligen muestras aleatorias e independientes de tamaiio n= 2dela poblaci6n de valoresde Y,que sigue una distribuci6nnormal.Dentro de cada muestra, es posible transformar cada valor de y en la variable normal estandar z y elevarla al cuadrado como se hizo anteriormente. Si se suman los valores resultantes de Z2para cada muestra,puede designarse esta suma con ya que sigue la distribucionji-cuadrada con 2 gradosde libertad, que es el numero de terminos independientes elevados al cuadrado que se sumaron. Puede repetirse el procedimientopara cualquier tamaiiodemuestra n. En cada caso, la suma de los valores Z2resultantes tendra una distribuci6n ji-cuadrada, con ngrados de libertad. En general, setiene que 'X2Z2)+72 +"'+Zn2(12.2.2)(n)-2 12.2PROPIEDADES MATEMATICAS DE LADISTRIBUCION JI-CUADRADA573 sigue una distribucionji-cuadrada con n grados de libertad. La formula matematica dela distribucionji-cuadrada es la siguiente: (12.2.3) donde e es elnumero irracionaI2.71828 .. y k es el numero de grados de libertad. La variable use designa porlo general con la letra griegaji (x), y en consecuencia;la distribucionseconocecomo distribucion ji-cuadrada. En el capitulo 6se menciona que la distribucion ji-cuadrada se encuentra tabulada en la tabla F.En lassigui!=ntes seccionessemencionanotrosusosdeestatablaconformesevan necesitando. La media y la variancia de la distribucion ji-cuadrada son, respectivamente, k y 2k.EI valor modal de esta distribucion es k - 2 para valores de k mayores 0iguales que 2, y cero para k=1. La forma de la distribucion ji-cuadrada para varios valores de k se muestra en la figura6.9.1.En esta figuraseobservaquelasformaspara k1 Y k2sonmuy distintas de la formageneral de la distribucion para k>2.En esta figuraseobserva tambien que ji-cuadrada toma valores entre 0 e infinito. No puede tomar valores negativos, ya que es la suma de valores elevados al cuadrado. Una caracteristica final de la distribucion ji-cuadrada que valela pena hacer notar es que lasuma de dos0mas variables independientes de ji-cuadrada sigue tambien una distribucion ji-cuadrada. Tipos de pruebas deji-cuadradaEn este capftulose hace uso de la distribucionjiccuadrada para probar hipotesis cuando los datos disponibles para el analisisestan en forma de frecuencias.Estos procedimientos para probar hipotesis se estudian bajo el titulo de prueba de bondad deajuste, prueba de independencia yprueba dehomogeneidad.Sepone de manifiesto que,en cierto sentido, todas las pruebas de ji-cuadrada que se utilizan pueden ser consideradas como pruebas de bondad de ajuste con las que se prueba precisamente la bondad de ajuste en las frecuencias observadas con respecto a las frecuencias que sesi los datos se obtuvieran bajo alguna hipotesis 0teoria en particular. Sin embargo, se reserva la expresion"bondad de ajuste" para utilizarla en un sentido mas estricto, es decir para referirse a la comparacion de la distribuci6n de una muestra con alguna distribucion teorica que se supone describe a la poblacion de la cual se extrajo. Lajustificacion del uso de la distribucion en estassituacionesse atribuye aKarl Pearson (1),quien demostroque la distribucionji-cuadrada puedeemplearse como prueba delacongruenciaentreobservacionehipotesis,siemprequelosdatos en forma de frecuencias.Un tratamiento mas extenso de la distribucion ji-cuadrada se encuentra en el1ibro de Lancaster (2).Nikulin y Greenwood (3)ofrecen mecanismospracticos para realizar pruebas de ji-cuadrada. Comparaci6n dejrecuencias observadas y esperadasLa estadfsticajicuadrada es mas adecuada para utilizarse con variables de clasificacion como estado civil, cuyos val ores son casado, soltero, viudo y divorciado. Los datos cuantitativos 574CAPITULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS que se utilizan para el calculo de la estadistica de prueba son frecuencias asociadas con cada una de las categorias de una 0mas variables incluidas en el analisis.Existen dostipos de frecuenciasen las que se centra el interes de esta parte dellibro: frecuencias observadas yfrecuenciasesperadas.Las frecuencias observadas son el n6mero de objetos 0individuos en la muestra que caen dentro de las diversas categorias de la variable de interes. Por ejemplo, si setiene una muestra de 100 pacientes hospitalizados se puede observar que 50 son casados, 30 son solteros,15 son viudos y cinco . son divordados.Las frecuencias esperadas son el numerode individuos uobjetos en la muestra que se esperaria observar sialguna hip6tesis nula respecto a la variable es verdadera. Porejemplo, la hipotesis nula puede ser que las cuatro categorfas de estado civiltienen igual representaci6n dentro de lapoblaci6n de laque se extraja la muestra. En este caso se esperaria queen esteejemplo hubiera 25 casados, 25solteros,25 viudos y 25divorciados. Estadistica de prueba de ji-cuadradaEn este capitulo laestadisticade prueba para probar la ji-cuadrada es (12.2.4) Cuandola hip6tesis nula es verdadera, Xl sigue una distribuci6n casi como X2 con k - rgrados de libertad.En ladeterminacion de losgradosde libertad, k es igual al numero de grupos para los que las frecuenciasobservadas y esperadas estan disponibles, y tes el numero de restricciones impuestas sobre las comparaciones dadas.Una restriccion esimpuesta cuando se fona la suma de las frecuencias esperadas para quesea igual alasuma de frecuenciasobservadas, y la restriccion adicional es impuesta para cada parametro que sea estirriado a partir de la muestra. En:la ecuacion12.2.4,0, es la frecuencia observada para la i-esima categoria de la variable deinteres, y E,es la frecuencia esperada (dado queH es verdadera) o para la i-esima categoria. La cantidad Xl es una medida del grado en que los pares de frecuencias observadas y esperadas concuerdan en una situacion dada.Como se vera, la naturaleza deXlestalque,cuandohayunacongruenciamuyestrechaentrelafrecuencia observada yla esperada, el valor de X2es Inuy pequeno, y cuando la congruencia es pobre, dicho valor es muy grande. Por consiguiente, solo un valor suficientemente grande de X2causa el rechazo de la hipotesis nula. Sihayuna congruencia exactaentrelasfrecuenciasobservadas ylasquese esperan,dado que Hoes verdadera,eltermino 0,en la ecuacion12.2.4 sera igualaceropara cadapar defrecuencias,observadayesperada.Talresultado proporciona un valor de X2igual acero, y no es p0sible rechazar Ho. Cuando existe incongruencia entre las frecuencias observadas y las esperadas, dado que Hoes verdadera, al menos uno de losterminos de 0, - E;de laecuacion 12.2.4 sera un numero diferente de cero.En general,entre maspobre sea la congruencia entre 0; y Ei'tales valores diferentes de cera seran mayores, mas frecuentes o ambas cosas. Como se menciona en lineas anteriores, si talcongruencia entre 0; y 12.3PRUEBA DEBONDADDE AJUSTE515 E, es 10 suficientemente pobre (10que dara como resultado un valor suficientemente grande de XI),es po sible rechazar Ho' Cuandoexisteincongruencia entrelafrecuenciaobservada y laesperada,la diferencia puede ser positiva 0negativa. Esto depende de emil de las dos frecuencias es la mas grande. Dado que la medida de congruencia, XI,es la suma de las can tid ades que la componen, cuyas magnitudes dependen de la resta 0; - E"a las diferencias positiva ynegativa debeadjudicarseleselmismo valor.Esto selogra elevandoal cuadrado cada una de las diferencias de 0. - E..AI dividir las diferencias al cuadra-II do entre la frecuencia esperada respectiva,la cantidad se convierte en un medido en unidades originales. La suma de estos terminos,(OJ- E/ / E"da como resultado XI,una estadfstica resumida quereflt::jael grado de congruencia global entre frecuencias observadas y esperadas. Regia de decisiOnLa cantidad L[(Oj-E,>2/E,lsera pequefia 5ilasfrecuencias observadas y esperadasestan muycerca ysera muygrandesilasdiferenciasson muy gr;mdes. EIvalor calculadode XIsecompara contra el valor tabuladode X2con k - r grados qe libertad. La regIa de decision, entonces, es:rechazar Hosi XI es mayor 0 igual que elvalor tabulado dex2 para el valor seleccionado de a.. 12.3PRUEBADEBONDADDEAJUS'm Como se menciona en parrafos anteriores, una prueba de bondad de ajuste es conveniente cuando sequiere decidir 8iexiste incompatibilidad entre la distribuci6n de frecuencias observadas y alguna distribucion predeterminada 0hipotetica. Por ejemplo,podrfa ser necesariodeterminar S1una muestra de valores ob5ervados para alguna variable aleatoria es compatible con la hip6tesis de que dicha muestra se extrajo de una poblaci6n de valores con distribucion normal. EIprocedimiento para llegar a una decisi6nconsiste en colocar los valores en categorfas 0 intervalos de clase mutuamente excluyentes y observar la frecuencia de ocurrencia de los valores en cadacategorfa. aplicarse entonces 10 que se sabe acerca de las distribuciones normales para determinar las frecuencias que podrfan esperarse para cada categorfa sila muestra hubiera provenido de una distribuci6n normal. Si la discrepancia es' de tal magnitud que pudiera deberse al azar,se conduye que la muestra puede haber sido extrafda de una poblaci6n con distribuci6n norma1. De manera semejante,pueden llevarse acabopruebas de bondad de ajuste en casos donde la distribuci6n planteada en la hip6tesis es la de tipo binomial, de Poisson 0 cualquier otra distribuci6n. Acontinl:lacioq con mas detalle mediante algunos ejemplos de prueba de hip6tesis de,bondad de ajuste. EJEMPLO12.3.1Distribucion normal; Ungrupodeinvestigadores,alllevaracaboun estudioacercadehospitales en EstadosUnidos de Norteamerica, reuni6 datos sobre una muestra de 250 institudones. Elequipo calcul6 para cada hospitalla tasa de ocupaci6n, una variable que muestra, para un periodode12meses,la raz6n entre cursodiario promedio y el 576CAPITULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANAuSIS DE FRECUENCIAS TABlA12.3.1. Resultados del estudio de ejemplo 12.3.1 Tasa de ocupacion de pacientes internos.Numero de hospitales 0.0a39.916 40.0a49.918 50.0a59.922 60.0a69.951 70.0a79.962 80.0a89.955 90.0a99.922 100.0a109.94 Total250 numero promedio de camas desocupadas.La muestra proporciono la distribucion de las razones (expresadas como porcentajes), que se muestra en la tabla12.3.1. Se desea sabersi los datos proporcionan suficiente evidencia para indicar que la muestra no proviene de una poblacion quesigue una distribucion normal. SoIuci6n: 1.Datos.Vease la tabla12.3.1. 2.Supuestos.Se supone que la muestra disponible para el amilisis es una muestra aleatoria simple. 3.Ho:en la poblacion de laque se extrajo lamuestra,lastasasde ocupacion siguen una distribucion normal. HA:la poblacion muestreada no sigue una distribucion normal. 4.Estadistica de prueba.La estadfstica de prueba es 5. Distribuci6n de Ia estadistica de prueba.Cuando la hipotesis nula es verdadera, la estadistica de prueba sigue una distribucion casi como ji-cuadrilda con k :....r grados de libertad. Mas adelante se calculan k y r. 6.RegIadedecisi6n.'.Se rechazaHosielvalorcalculadode J(2es igual 0mayor que el valor crftico de ji-cuadrada. 7.CaIculodeIaestadistic;:adeprueba.Puestoquelamedia y la variancia de la distribucion hipotetica no se especifican,esnecesario usar los datos de la muestra para estimarlas. Estos. parametros, 0 57712.3PRUEBA DEBONDAD DE AJUSTE sus estimaciones, seran necesarios para calcular la frecuencia que se espera para cada intervalo de clase cuando la hip6tesis nula es verdadera. La media y la desviaci6n estandar que se calcula a partir de los datos agrupados de la tabla12.3.1son: x=69.91 s = 19.02 Comosiguientepaso en elanalisis,debe obtenerse,para cada intervalo de clase,la frecuenciade ocurrencia de los valoresque se esperarfan sila hip6tesis nula fuera verdadera, es decir,8ien efecto la muestra hubiera sidoextraida de una poblacion de valores con distribuci6n normal.Para esto,primero sedetermina la frecuencia relativa esperada de ocurrencia de los valores para cada intervalo de clase y despues semultiplican estas frecuenciasrelativasesperadas por el numero totalde valorespara obtener el numerode valores esperado paracada interva\o. Frecuencias relativas esperadas En la secci6n dedicada al estudio de la distribuci6n normal, se aprendi6 que la frecuencia relativa de ocurrencia de los val ores menores 0 igualesaalgilnvalorespecificado,porejemplo xO'delavariable aleatoriaX condistribuci6n normal es igual al area bajo la curva a la izquierda de x 'que se representa por medio del area sombreada eno la figura12.3.1. EI valor numerico de esta area se obtiene al convertir a Xoen una desviaci6n normal estandar mediante la f6rmula Zo= (xo -I!) /0"Yencontrando el valor correspondiente en la tabla D.EI uso de este procedimiento permite obtener las frecuencias relativas esperadas que corre,sponden a cada uno de los intervalos de clase de la tabla12.3.1.Los valores de I! yO"seestiman conxy s como se calculan apartirde losdatos agrupadosdela muestra.EIprimer paso consiste en obtener los val ores de Zcorrespondientes allimite inferior decada intervalodeclase.EIarea entredosvaloresde z sucesivosdara la frecuenciarelativa esperada de ocurrencia de los valores para el intervalo de c1ase correspondiente. XoX FIGURA 12.3.1Distribuci6n normal que muestra la frecuencia relativa de ocurrencia de valoresmenores 0iguales que xO'EIarea sombreada representa la frecuencia relativa de ocurrencia de valores menores 0iguales que xO' 578CAPITULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISISDE FRECUENCIAS Por ejempl0, para obtener la frecuencia relativa esperada de ocurrenciadelosvaloresen elintervalode40.0a49.9,seprocede como sigue: 40.069.911 57 El valor de z correspondiente a X40.0esz==- . 19.02 50.0-69.911 05 El valor de z correspondiente a X50.0 es z == - . 19.02 En la tabla D se encuentra que el area a la izquierda de -1.05 es de .1469, y el area a la izquierda de -1.57 es de .0582. El area entre -1.05 y -1.57esigual a.1469.0582==.0887,queesigual ala frecuenciarelativa esperadade ocurrencia de val ores de la tasade ocupaci6n dentro del intervalo de 40.0 a49.9.Esto indica que sila hip6tesis hula es verdadera, es decir,silos valores de ocupaci6n siguenuna distribuci6nnormal,deberiaesperarsequeel8.87por ciento de los valores en la muestra esten entre 40.0 y 49.9. Cuando semultiplica el.tamafio totalde la muestra,250,por .0887,se encuentraquelafrecuenciaesperada para elintervaloesde22.18 . . Calculos similares proporcionan las frecuencias esperada para otros intervalos, como los que se muestran en la tabla12.3.2. Comparacion de frecuencias observadas y esperadas Ahora,setieneinteresen examinarlasmagnitudes de lasdiscrepancias entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, ya que se observa que los dos conjuntos de frecuenciasno concuerdan. Se sabe que, aun cuando la muestra se extrajera de una poblaci6n cuyosvaloressiguen una distribuci6nnormal,la variabilidad TABlA12.3.2Intervalos de clase y frecuencias esperadas para el ejemplo 12.3.1. Z= (x;xJ/s Frecuencia En ellimite inferiorrelativaFrecuencia Intervalo de clasedel intervaloesperadaesperada 5.991, se rechaza H' o 9.Conclusion.Se conduye que el rasgo no se distribuye de acuerdo con la proporcion 1 :2: 1. 10.Valor de p.Dado que 13.71>10.597, el valor p para la prueba es p - Chisquare TestMTB>CHISQUAREC1-C3 Teclear Cl-C3 en Columns containing the table. Clic OK. Resultados: Prueba de ji-cuadrada Expectedcountsareprintedbelowobservedcounts C1C2C3Total 12341037 12.726.9417 .34 210143559 20.2811.0627.66 Total33184596 Chisq=8.311+1.244+3.110+ 5.212+0.780+1. 95020.606 Of=2,p=0.000 FIGURA 12.4.1Procedimiento MINITAB y resultados para el amilisis deji-cuadrada de losdatos en la tabla 12.4.3. FrecuenciasesperadaspequeiiasEs posible encontrar el problema del manejo de frecuencias esperadas pequenas que se estudia enla secci6n anterior cuando se analizan los datos de las tablasde contingencia. Aunque no hay consenso de c6momanejar este problema,muchosautoressiguen la regIade Cochran(5).EI autorsugiere que para tablas de contingencia con mas de1grado de libertad, 10 minimo esperado permisible es1 simenos de 20 por ciento de las casillastienen frecuencias esperadas menoresque 5.Para cumplir con esta-regla,los renglones y columnas adyacentes pueden combinarse ruando se considere 16gico hacerlo con --------- ----------------------- -------594CAPITULOl2DISTRIBUCION JI-CUADRADA Y ANALISIS DE FRECUENCIAS TheSASSystem TABLEOFHPVBYHIV HPVHIV Frequency Percent RowPct ColPctSSATotalJ iSS -------- ---- ---------- ---J N p 35 36.46 59.32 77.78 10 10.42 27.03 22.22 14 14.58 23.73 77.78 4 4.17 10.81 22.22 10 10.42 16.95 30.30 23 23.96 62.16 69.70 59 61.46 37 38.54 Total45183396 46.8818.7534.38100.00 STATISTICSFORTABLEOFHPVBYHIV StatisticDFValue Prob Chi-Square LikelihoodRatioChi-Square Mantel-HaenszelChi-Square PhiCoefficient ContingencyCoefficient Cramer'sV 2 2 1 20.606 20.769 16.964 0.463 0.420. 0.463 0.000 0.000 0.000 SampleSize:::96 .FIGURA 12.4.2Impresi6n parcial de resultados de SAS 3.841, serechazaH ' o 9.Conclusion.Seconcluye que sfexiste relacion entre laprofilaxis antibiotica perioperatoria y la necesidad de tratamiento antibiotico 622CAPiTULO 12DISTRIBUCION JI-CUADRADA YANALISISDE FRECUENCIAS TABlA 12.7.7Pacientes sometidos a cirugia de seno 0a hemiorrafia estraficados por tipo de cirugia y clasificados segUn condici6n de caso y factOl' de riesgo Estrato 1 (cirugfa de seno) Factor de riesgoa Casosb No casosTotal Presente43260303 Ausente26277303 Total69537606 Estrato 2(hemiorrafia) Factor de riesgoa Casosb NocasosTotal Presente25286311 Ausente14287301-_..Total39573612 "Elfactor de riesgo no recibi6 profilaxis antibi6tica perioperatoria. Un caso esun paciente querequiri6tratamientopostoperatorio con antibi6tico por cualquier motivo. postoperatorioenpacientesquesesometenacirugiadeseno0 herniorrafia. 10.Valor de p.Puesto que6.635.005. Ahora se ilustra el calculo del estimador Mantel-Haensze1 de la raz6n comun de los grados de probabiIidad. FJEMPLO 12.7.4 Los datos de la tabla12.7.6 serviran para calcular la raz6n comun de los grados de probabilidad. Soluci6n:A partir de los datos estratificados de la tabla 12.7.7 se calcula e1numc rador de la raz6n como sigue: (a,d/n,)+ (a2dln2) =[(43)(277)/606]+ [(25)(287)/612] =3l.378972 El denominador de la raz6n es (bh/n,)+ (b2cln2)[(260)(26)/606]+ [(286)(14)/612J =17.697599 Ahora,conlaecuaci6n12.7.7secalculalaraz6ncomundelos grados de probabiIidad /"'-.. ORMH =31.378972/17.697599 =l.77 EJERCICfOS623 A partir de losresultados seestima que lospacientes sometidos a cirugia de seno 0herniorrafia que no reciben cefonicid tienen 1.77 veces mas probabilidad de requerir tratamiento antibi6tico postoperatorio por cualquier motivo que los pacientes que sf reciben cefonicid. FJERCICIOS 12.7.1Herrera et al.(A-l 9) reportaron los resultados de un estudio que involucraba el complemento vitaminico A entre ninos con edades de nueve a72meses en Sudan. Losobjetivos de los investigadores eran probar la eficacia de grandes dosis de vitamina A administrada cada seis mesesparareducir lamortalidad,morbilidadydesnutricioninfantil,eidentificarlos predictores de muerte infantil, entre los que se induye el consumo deficiente de vitamina A. Los ninos estudiados recibieron cada seis meses vitamina A mas vitamina E (grupo de vitamina A)0solo vitamina E(grupo de placebo). A losninos se les hizo seguimiento durante18 meses.Hubo 120 muertes entre los14,343 ninos en elgrupo de vitamina A y 112 muertes entre los14,149 nlnos delgrupo de placebo.Calcule el riesgo relativo entre losindividuos que no recibieron vitamina A.(Esto indica que la vitamina A reduce la mortalidad infantil? 12.7.2El objetivo de un estudio prospectivo realizado por Sepkowitz et al.(A-20) era determinar los factoresderiesgoparaeldesarrollodeneumotoraxenpacientesconelsindromede inmunodeficiencia adquirida(SIDA).De 20pacientes conneumotorax,18tenianantecedentes de uso de pentamidina en aerosol. De 1010 pacientes sin neumot6rax, 336 tenian un historial que indicaba el uso de pentamidina en aerosol. Calcule el riesgo relativo por utilizar pentamidina en aerosol en el desarrollo de neumot6rax en pacientes con SIDA. 12.7.3En un estudio de la fremencia con que se presentan casos de cancer gastrico en las familias, Zanghieri et al.(A-21) querian determinar sila omrrencia del cancer gastrico entre famiIiares estaba relacionado con el histotipo. Los investigadores informaron los siguientes datos: Tipo histoI6gico DifusoIntestinalTotal Familiar+a131225 Familiar - 3572107 Total4884132 aNumero de pacientes con (familiar+) 0sin(familiar-)ocurrencia de neoplasmas gastricos entre familiares de primer grado. FUENTE:GianniZanghieri,CarmelaDiGregorio,CarlaSacchetti, Rossella Fante, Romano Sassatelli, Giacomo Cannizzo, Alfonso Carriero y Maurizio Ponz de Le6n, "Familial ocurrence ofGastric Cancer in the Z-YearExperience ofa Population-Based Registry",Cancer,66,10471051. Calcule la razon de losgrados de probabilidad que puedan utilizar losinvestigadores para contestar a su pregunta. Utilice la prueba deji-cuadrada para determinar si es posible conduir que existe asociaci6n entre omrrencia familiar y tipo histol6gico.Sea a=.05. 624CAPiTULO 12DISTRIBUCI6N JI-CUADRADA Y ANALISISDE FRECUENCIAS 12.7.4Childs et at.(A-22)describieron la prevalencia de anticuerpos contra leptospiras (pequefias espiroquetas aer6bicas) en una poblaci6n citadina, y examinaron los factoresde riesgo asociadas con suero positivo.Losindividuos eran personas que asistfan a una dfnica de enfermedades de transmisi6n sexuaLEntre losdatos recolectados estan los que se muestran en la tabla siguiente; los individuos estan dasificados de manera cruzada de acuerdo con la edad y el estado del titulo de anticuerpos para combatir las leptospiras: Titulos de anticuerpos antileptospiras Edad~ 2 0 0