Mario DalcínTutor: Dr. Javier Lezama

Seminario de Investigación en Matemática Educativa III

Programa de Doctorado, CICATA – IPN, MéxicoMontevideo, junio 2009

Un estudio sobre la iniciación al pensamiento deductivo

en la formación de profesores de matemática.El caso de la geometría.

¿Cuál es el problema?

De acuerdo con los fines de la Educación Media Superior de Uruguay ésta debe posibilitar que los estudiantes puedan:

•desarrollar las competencias para seguir aprendiendo en niveles superiores;•tomar decisiones en situaciones nuevas e imprevistas;•ser capaces de enmarcar y orientar los conocimientos, producciones y decisiones en valores universales consensuados socialmente;•estimular y desarrollar la capacidad de crear e innovar, a los efectos de hacerlo competente para promover sus propios aportes a la sociedad y a la cultura.

¿Cuáles son los resultados obtenidos con la actual enseñanza?

En las conclusiones de la prueba de matemática de CEPAL (1994) con un doble objetivo: “...identificar los conocimientos matemáticos efectivamente incorporados por los estudiantes a lo largo de casi doce años de educación formal y ...captar la capacidad de razonamiento adquirida en tal período de escolarización.

sólo 1 de cada 15 estudiantes alcanza el 60% del puntaje

sólo 1 de cada 5 estudiantes alcanza el 41% del puntaje

1 de cada 3 estudiantes logra menos de 5 puntos. Dicho de otra forma, su rendimiento no le permite a ese estudiante alcanzar el décimo del puntaje de la prueba. En este sentido, poco importa cuál sea la orientación de los estudios en este resultado, ya que con los ejercicios de lógica o de uso social que sólo reclaman conocimientos aritméticos básicos un estudiante podría lograr 24 puntos.”

¿Cuál es la situación de la enseñanza de la geometría en la Enseñanza Media de nuestro país?

En vías de extinción… y esto hasta podría ser bueno.

¿Qué hay detrás de esto?

En Uruguay, la geometría euclidiana ha sido el lugar tradicional en el cual iniciar a los estudiantes en el pensamiento deductivo y en la estructura de la matemática, sirviendo la geometría euclidiana para presentar un sistema axiomático.

Surge así la necesidad de pensar en alternativas donde la enseñanza de la matemática contribuya efectivamente a los fines que se plantea la Enseñanza Media.

Consideramos que un factor importante en esa búsqueda de alternativas es una adecuada formación de los docentes de matemática.

Nuestro trabajo se centra en el papel que pueda tener la geometría euclidiana en dicha formación.

Preguntas generales que se plantean: • ¿Qué puede aportar a la formación de un profesor la enseñanza de la geometría euclidiana?

• ¿Qué tienen para aportar el aprendizaje de la geometría euclidiana al estudiante de enseñanza media (destinatario último de la formación que reciba el estudiante de profesorado?

• ¿El pensamiento deductivo tiene un papel a jugar en la formación de personas en la sociedad de hoy? ¿Qué tipo de personas? • ¿Para qué queremos enseñar geometría euclidiana a un estudiante de profesorado de matemática?

¿Cuál es la situación de los estudiantes?

Aproximadamente la mitad de los estudiantes que ingresan al profesorado de matemática, donde hay un único curso de geometría euclidiana en primer año, las pruebas que elaboran frente a situaciones geométricas son pragmáticas (que apelan a hacer mediciones sobre una figura o que recurren a un caso particular donde sí justifican deductivamente para después decir que se cumple para todos los casos).

Marco teórico

Kuzniak plantea tres geometrías:

Geometría I. La geometría natural. La fuente de validación es la realidad, el mundo sensible. Hay una cierta confusión entre el modelo y la realidad. La deducción se hace centralmente mediante la percepción y el uso de instrumentos.

Geometría II. La geometría axiomática natural. La fuente de validación se basa sobre lo hipotético deductivo en un sistema axiomático lo más preciso posible. Pero dicho sistema axiomático se mantiene lo más fiel posible a la realidad.

Geometría III. La geometría axiomática formalista. Se cortan los lazos de la geometría con la realidad. El razonamiento lógico se impone y los axiomas no se basan en lo sensible, en lo real.

Geom I

Geom II

Geom III

Formar es transitar hacia arriba

Formar es transitar hacia arriba y hacia abajo

Geom III

Geom II

Geom I

Geometría dinámica experimental (Acosta, 2005)

práctica geométrica que privilegia la observación y manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de la computadora, con la intención de emitir conjeturas sobre las propiedades geométricas de dichos objetos, conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medición y la construcción de objetos auxiliares.

La invalidación de una conjetura en geometría experimental puede considerarse equivalente a una demostración de su falsedad por medio de un contraejemplo. Las conjeturas que no sean invalidadas por la experiencia se consideran verdaderas, en espera de una demostración formal.

¿Qué se quiere investigar?

Producto Proceso

Axiomas Axiomatizar

Definición Definir

Clasificación Clasificar

Demostración Elaborar pruebas/demostraciones de proposiciones verdaderas y falsas

Generalización/Caso particular Generalizar/Particularizar

Teorema Conjeturar, Formular teoremas

¿Es factible involucrar –en el ámbito de la geometría euclidiana-, a estudiantes de primer año de profesorado, en los procesos de la actividad matemática? ¿Cuáles son los productos que se obtienen mediante esta vía?

¿Es factible formar a estudiantes de primer año de profesorado, en los procesos de la actividad matemática haciéndoles transitar explícitamente entre la dimensión de la geometría natural (Geom. I) y la dimensión de la geometría axiomática natural (Geom. II)?

Se podría enmarcar la anterior pregunta en el contexto de esta otra:

¿Es posible resignificar la organización axiomática de la geometría euclidiana en la formación inicial de profesores de matemática?

¿Desde donde ver las cosas? Parte 2

Según la socioepistemología:

En vez de prestar atención a la idea matemática en el exclusivo contexto de otras ideas matemáticas, como existentes fuera de un contexto histórico y cultural determinados, la socioepistemología busca determinar las prácticas sociales que se desarrollaron en ciertos escenarios específicos y que dieron origen a dichos conceptos. La socioepistemología deja de concebir la actividad matemática aislada, en abstracto, para pensarla como una actividad humana más en el conocimiento del mundo. Esto implica reconocer una concepción amplia y cambiante de lo que es la matemática dado que en cada escenario es algo distinto.

Tratando de seguir el esquema metodológico para la investigación socioepistemológica (Seminario II), donde una vez reconocido un fenómeno didáctico se procedería a hacer una revisión socioepistemológica que daría los fundamentos para formular una epistemología de prácticas, que indagué sobre los orígenes de la geometría y tratando de identificar distintas prácticas en la conformación de la geometría.

Nuestras concepciones de la verdad altamente desarrolladas y los criterios que una afirmación debe satisfacer para ser considerada verdadera (coherencia interna, por ejemplo, o correspondencia con una realidad externa) generalmente no existen en las culturas orales y, si se explicaran a un miembro de una cultura oral probablemente resultarían bastante inútiles. Más bien, el principio operativo entre los ágrafos es el de la creencia sancionada (la sanción en cuestión emerge del consenso de la comunidad). (Lindberg, 2002, p. 33)

En Egipto podían darse historias encontradas sin la conciencia del conflicto. Pero entre los cosmólogos griegos, que eran más críticos, la multiplicidad de las tesis conflictivas y usualmente dogmáticas de los distintos cosmólogos llevó a la pregunta: ¿Cómo podemos decidir entre estas teorías encontradas? ¿Qué historia deberíamos preferir? Popper (1999, El mundo de Parménides, p. 159)

Debemos destacar que el sacerdote-astrónomo babilonio no hizo esto por medio del uso de modelos geométricos, como lo harían los astrónomos griegos, sino simplemente a través de la utilización de métodos numéricos que extrapolaban observaciones pasadas al futuro. (Lindberg, 2002, p. 41) En el mismo sentido dice Teresi (2004, p. 122)Desde el principio los babilonios resolvieron problemas geométricos elementales de una manera algebraica. Optaron por explicar los movimientos de los cuerpos celestes de un modo básicamente temporal, lo contrario de lo que hicieron los griegos, que optaron por la explicación espacial, es decir geométrica.

•es concreto, aplicado a casos particulares de índole práctica

•poseían lo que llamamos técnica: reglas prácticas; pero no tenían una preocupación teórica. Casi siempre los guía un fin utilitario, no interesan los por qué, sino los cómo.

•uso de procedimientos empíricos basados en la experiencia (poseían instrumentos de observación), pero sus conocimientos no fueron probados o fundamentados. Las soluciones son aproximadas. La justificación de los resultados no se obtiene por deducción sino por la evidencia sensible.

•pensamiento mítico: explicaciones del surgimiento del mundo y de la realidad apelando a fuerzas sobrenaturales o dioses, de forma ilógica –sin relacionar causas y efectos-; también no poseen justificación –son acríticos- y dogmáticos –exigen credibilidad para su admisión. El mito narra acontecimientos concretos que muestran que el mundo es como es porque debe ser así, facilitando la defensa del orden establecido.

•es esotérico (reservado, oculto, secreto), y en consecuencia, no susceptible de ser enseñado, es ‘revelado’, se transmite a través de la clase sacerdotal.

•La racionalidad: saber fundamentado, implicando la afirmación de algo mediante la argumentación, y por ello no dogmático. Ahora la reflexión es libre y crítica.

•Un saber metódico, sistemático, demostrable, no revelado. En Oriente el que sabe es depositario de secretos divinos, es sacerdote, profeta, mago. Es una novedad el pensador, el que hace profesión de pensar por sí mismo.

•Preocupación por el por qué y el cómo se originan los fenómenos, lo que permite la especulación teórica.

•Es un conocimiento abstracto y general, en el que se supera la aplicación al caso concreto.

•Las explicaciones recurren a la experiencia común y a la propia naturaleza, y no a fuerzas místicas o dioses para dar cuenta de la realidad. Se excluye lo sobrenatural y la asimilación implícita establecida por el mito entre fenómeno físico y agente divino, rechazando el influjo astral sobre el destino de los hombres.

¿Qué veracidad tienen de los sentidos? El problema se originó a partir de la observación de que los sentidos en ocasiones nos ‘engañan’ –como cuando una barra recta sumergida oblicuamente hasta la mitad en el agua, parece quebrada-, así como la constatación de que un mismo objeto afecta de forma distinta a personas diferentes –un ejemplo corriente en la Antigüedad era la miel, que resulta amarga al enfermo de ictericia-. (Schrödinger, 1997, p. 40)

A Parménides (alrededor del 480 a. C.) se atribuyen los siguientes descubrimientos astronómicos:

•Que el Lucero (Venus) del alba y el Lucero vespertino son el mismo. •Que la Tierra tiene forma de esfera•Que las fases de la luna se deben a las distintas formas en que vemos desde la Tierra su hemisferio iluminado por el Sol

Este parece ser el origen en el pensamiento de Parménides de que los sentidos nos engañan: la observación de que la Luna crece y decrece en el transcurso de lo días es engañosa, en realidad la Luna no hace nada de eso, son cambios aparentes, inexistentes. La observación del cambio, del movimiento no es de confiar, puede que los movimientos que se observan no existan, como la Luna que siempre es un globo esférico. Pero el descubrimiento de que la Luna no crece ni decrece se hizo a su vez con ayuda de la observación de que la Luna siempre parece estar mirando al Sol (Por siempre volviendo su mirada/Hacia los rayos de Helios), lo que -por medio de la razón- significa que recibe la luz del Sol. La observación, entonces, puede conducir a la falsedad de la observación: tenemos aquí prueba indirecta de la falsedad, una reducción al absurdo. La posición defendida por Parménides refuta la postura empirista y de la existencia del cambio.

¿Acaso Parménides y Zenón no se levantaban por la mañana, disfrutaban de un buen desayuno y se dirigían a la plaza pública para un duro día de filosofar? ¿Y no se daban cuenta de que esto requería que se movieran? Sin duda. Ambos sabían perfectamente lo que la experiencia enseña, pero la cuestión era si la experiencia era fiable. ¿Qué hace uno si la experiencia sugiere la realidad del cambio, mientras que la pulcra argumentación (con la debida atención a las reglas de la lógica) enseña sin ambigüedad su imposibilidad? Para Parménides y Zenón la respuesta era clara: el proceso racional debe prevalecer. (Lindberg, p. 61)

Protágoras (alrededor del 490 a. C.) frente a la pregunta si es la razón o los sentidos lo que constituye la fuente de acceso a la verdad y por tanto a la realidad propiamente dicha, no duda en afirmar que son los sentidos. Para el sofista Protágoras las percepciones de los sentidos son lo único realmente existente, el único material a partir del cual se construye nuestra imagen del mundo.

Su sentencia “el hombre es la medida de todas las cosas” es extendida por algunos comentaristas más allá de su teoría sensorial pudiendo abarcar una postura frente a la vida social y política: que los asuntos humanos fueran ordenados por leyes generadas por el mismo hombre y no derivadas de algún tipo de tradición o superstición. En este sentido se expresa ante la religión: “Con respecto a los dioses, no puedo saber si existen o no existen; tampoco puedo saber cómo es su figura, pues muchas cosas dificultan un conocimiento seguro al respecto: la oscuridad del tema y la brevedad de la vida humana.”

Demórito (alrededor del 460 a.C.)¿Cuál es la relación entre intelecto y sentidos? “De manera ostensible hay color, dulzor, amargura, verdaderamente sólo hay átomos y el vacío”, mientras que los sentidos responden: “Pobre intelecto, ¿esperas acaso vencernos mientras de nosotros tomas prestada tu evidencia? Tu victoria es tu derrota”.

“Demócrito sostenía que la pura construcción intelectual (que en su imagen del mundo había suplantado el mundo efectivo de luz y color, de sonido y fragancia, dulzura, amargura y belleza) no estaba basada realmente sino en las percepciones sensibles ostensiblemente expulsadas de la primera.” (Schrödinger, 1997, pp. 50-51)

… para Platón, los entes matemáticos no coincidían con los números y con las figuras geométricas ideales, sino que ocupan una posición ‘intermedia’ entre el mundo ideal y el mundo sensible.

Aristóteles en la Metafísica dice:

Platón afirma que, junto a los seres sensibles y a las formas [= ideas], existen los entes matemáticos intermedios, que difieren de los seres sensibles porque son eternos e inmóviles, y de las formas porque hay muchos semejantes, mientras que cada una de las formas es solamente una.…Los entes matemáticos poseen, a la vez, una característica fundamental de las ideas y una característica típica de las cosas sensibles. Además de ser ‘intermedios’… son también ‘intermediarios’ entre las realidades inteligibles y las sensibles: son los instrumentos mediante los cuales las ideas pueden estar presentes en las cosas y las cosas pueden participar de ellas, ‘imitarlas’. (Reale, 2001, Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta, p. 208)

Parece que la contribución de Platón, en esta difícil coyuntura fue haber insistido en un concepto de geometría rigurosos, que renuncia a la intuición, y que en ese sentido es muy moderno, y haber evitado la crisis por medio de una construcción otnológica: la geometría euclídea, como ‘geometría del ángulo recto’, es la geometría ontológicamente verdadera. Desde esa perspectiva es verosímil que el responsable del fracaso de los primeros ensayos antieuclídeos, hasta su renacimiento en los siglos XVIII y XIX, fuera Platón. Así pues, en justicia habría que llamar a la geometría euclídea ‘geometría platónica’. (Hösle en Reale, Raíces culturales y espirituales de Europa, pág. 65).

3. Qué hacer para construir evidencias de lo que me pregunto?

Ahora, a partir de las Geometrías I, II, III que plantea Kuzniak, podemos analizar: • Cuáles son las concepciones y prácticas de los profesores, • Cuáles son las concepciones y prácticas de los estudiantes, • Analizar los libros de texto de geometría más usados…• Abordar lo histórico-epistemológico para ver las concepciones de egipcios, Tales, Euclides, Hilbert, y hasta hoy en día el trabajo con Geometría Dinámica.