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Trigonometría del triángulorectángulo

L E C C I Ó N

12.1CONDENSADA

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 12 177©2010 Key Curriculum Press

(continúa)

En esta lección

● aprenderás sobre razones trigonométricas asociadas a un triángulo rectángulo

● usarás razones trigonométricas para hallar las longitudes laterales desconocidas de un triángulo rectángulo

● usarás inversos trigonométricos para hallar medidas de ángulos desconocidas en un triángulo rectángulo

Supón que elevas una cometa. Hay un viento fuerte, por lo tanto la cuerda está tensa. Has marcado la cuerda, por lo tanto sabes cuánta cuerda has soltado y puedes medir el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. Puedes usar una razón trigonométrica para hallar la altura de la cometa. En esta lección aprenderás cómo.

La trigonometría relaciona las medidas angulares de los triángulos rectángulos con las longitudes de sus lados. Primero, recuerda que los triángulos que tienen las mismas medidas angulares son semejantes, y por lo tanto las razones de sus lados correspondientes son iguales. Los triángulos rectángulos tienen nombres especiales para las razones.

Para cualquier ángulo agudo A de un triángulo rectángulo,

A

B

C

b

c

aEste cateto esopuesto a A.

Hipotenusa

Este cateto esadyacente a A.

el seno (sin) de �A es la razón entre la longitud del cateto opuesto a �A y la longitud de la hipotenusa.

sin A � cateto opuesto��hipotenusa � �

ac�

El coseno (cos) de �A es la razón entre la longitud del cateto adyacente a �A y la longitud de la hipotenusa.

cos A � �cat

het

iop

oatdenya

ucseante� � �

bc�

La tangente (tan) de �A es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

tan A � cateto opuesto��cateto adyacente � �

ab�

Lee el Ejemplo A en tu libro y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO Halla la longitud desconocida, c.

25

14

AC

c

B

� Solución Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25° y deseas hallar la longitud de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno.

sin 25° � �1c4�

c � 14�sin 25°

� 33.13

Lección 12.1 • Trigonometría del triángulo rectángulo (continuación)

178 CHAPTER 12 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

©2010 Key Curriculum Press

El inverso de una función trigonométrica da la medida del ángulo que tiene una razón dada. Por ejemplo, sin 30° � 1 _ 2 , por lo tanto sin �1 � 1 _ 2 � � 30°. El Ejemplo B en tu libro usa el inverso de la función tangente. Lee el ejemplo atentamente.

Investigación: Escalones empinadosLee el párrafo de apertura de la investigación en tu libro. Completa los Pasos 1–4 de la investigación y después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 1 Primero dibuja un escalón con la máxima distancia vertical y la mínima distancia horizontal.

Sea x el ángulo de inclinación. Dado que tanto el piso como la distancia

10 in.

7.75 in.

x

x

horizontal son horizontales (y, de este modo, paralelos), el ángulo entre la distancia horizontal y la hipotenusa también es x. Conoces la longitud de los lados opuestos y adyacentes, por lo tanto usa la tangente para resolver para x.

tan x � 7.75 ____ 10

x � tan �1 � 7.75 ____ 10 � � 37.8°

El ángulo de inclinación es de aproximadamente 38°.

Paso 2 Dos tramos de escalera que siguen tanto el código como la regla general son una serie con una unidad de distancia horizontal de 11 in y una unidad de distancia vertical de 6.5 in, y un tramo de una unidad de distancia vertical de 11.5 in y una unidad de distancia vertical de 6 in. Los ángulos de inclinación respectivos para estos tramos de escalera se obtienen por tan�1 � 6.5

__ 11 � � 30.6° y tan�1 � 6 ___ 11.5 � � 27.6°.

Un ejemplo de un tramo de escalera que sigue la regla común pero no el código es un tramo con una unidad de distancia vertical de 8.75 in y una unidad de distancia vertical de 8.75 in. El ángulo de inclinación para este tramo se obtiene por tan�1 � 8.75

___ 8.75 � � 45.0°.

Paso 3 Consulta la foto y el diagrama de la página 682 en tu libro.

a. Existe una infinidad de diseños posibles, pero no todos los diseños siguen los códigos dados en el Paso 1. Por ejemplo, una escalera con una unidad de distancia vertical de aproximadamente 15.6 in y una unidad de distancia vertical de 41 in se ajustaría al ángulo de inclinación de 20.8° pero no seguiría el código, porque la distancia vertical es muy alta.

b. Para hallar la solución, sea r la unidad de distancia horizontal. Entonces la unidad de distancia vertical será representada por 17.5 � r. Para hallar r, usa la razón tangente.

tan 20.8° � 17.5 � r ________ r

0.3799 � 17.5 � r ________ r

0.3799r � 17.5 � r

1.3799r � 17.5

r � 17.5 ______ 1.3799

r � 12.68 in

Por lo tanto la distancia horizontal es 12.68 in y la distancia vertical es 17.5 – 12.68 � 4.82 in.

Paso 4 Usa la función tangente y que sea x el ángulo de inclinación. Usando tan x � 1 __ 16 , x � tan�1 � 1 __ 16 � � 3.58° y usando tan x � 1 __ 20 , x � tan�1 � 1 __ 20 � � 2.86°. Por lo tanto el ángulo debe estar entre 2.86° y 3.58°.


La Ley de los senos

En esta lección

● descubrirás y aplicarás la Ley de los senos, que describe una relación entre los lados y los ángulos de un triángulo oblicuángulo

Has investigado las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Ahora investigarás las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos no rectángulos, o triángulos oblicuángulos (oblique).

Investigación: Triángulos oblicuángulosPaso 1 Dibuja un triángulo acutángulo ABC. Rotula el lado opuesto a A

B a

hc b

C

�A como a, el lado opuesto a �B como b, y el lado opuesto a �C como c. Después, dibuja la altitud que va de �A a

___ BC . Rotula la altitud

como h. A la derecha está el ejemplo.

Paso 2 Del diagrama, puedes escribir las siguientes ecuaciones:

sin B � �hc� ó h � c sin B

sin C � �hb� ó h � b sin C

Como ambos c sin B y b sin C son iguales a h, también son iguales entre sí. Es decir,

c sin B � b sin C

Al dividir ambos lados de la ecuación anterior entre bc, se obtiene:

�sin

b B� � �

sinc

C�

Paso 3 Ahora, dibuja la altitud que va desde �B a ___

AC y rotúlala como j. Usando un método parecido al del Paso 2, debes hallar que:

�sin

a A� � �

sinc

C�

(¡Asegúrate de que puedes derivar esta ecuación por tu cuenta!)

Pasos 4 y 5 Puedes combinar las proporciones de los Pasos 2 y 3 para escribir una proporción extendida:

�sin

a A� � �

sinb

B� � �sin

c C�

El triángulo que dibujaste en el Paso 1 es acutángulo. ¿Crees que la misma proporción será válida para los triángulos obtusángulos?

Paso 6 Dibuja un triángulo obtusángulo ABC y mide cada ángulo y A

BC

126 23

31 6.3 cm

4 cm

3 cmlado. Éste es un ejemplo.

Halla �sin

a A�, �

sinb

B�, y �sin

c C� para tu triángulo. Para el triángulo a la derecha:

�sin

a A� � �

sin4 31°

� 0.13 �sin

b B� � �

sin3 23°

� 0.13 �sin

c C� � sin 126°

_______ 6.3 � 0.13

Por lo tanto, parece que �sin

a A� � �

sinb

B� � �sin

c C� es válido para triángulos

obtusángulos también.

(continúa)

L E C C I Ó N

12.2CONDENSADA

Lección 12.2 • La Ley de los senos (continuación)



El Ejemplo A en tu libro aplica lo que has aprendido en la investigación a un problema real. Lee el ejemplo atentamente. La relación que descubriste en la investigación se llama Ley de los senos. Se resume en el recuadro “Law of Sines” (Ley de los senos) en tu libro.

El Ejemplo B muestra cómo aplicar la Ley de los senos para hallar la longitud desconocida de un lado de un triángulo, cuando conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. Lee el ejemplo atentamente. Prueba tu entendimiento, hallando la longitud del lado

___ AC . (Sugerencia: Primero necesitarás hallar la medida

de �B.) Debes hallar que la longitud de ___

AC es aproximadamente 15.4 cm.

También puedes usar la Ley de los senos para hallar la medida desconocida de un ángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados. Sin embargo, en este caso puedes hallar más de una solución. Como ayuda para entender por qué puede haber más de una solución, observa los diagramas en la página 693 de tu libro y lee el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo.

EJEMPLO En el �ABC, la medida de �A es 30°, la longitud del lado ___

AB es 8 cm y la longitud del lado

___ BC es 5 cm. Dibuja y rotula dos triángulos que se ajusten a

esta descripción. Para cada triángulo, halla las medidas de �B y �C y la longitud del lado

___ AC .

� Solución A continuación están las dos posibilidades.

A A

B

b b

B

C C30 30

5 cm5 cm

8 cm 8 cm

Para hallar una medida posible de �C, usa la Ley de los senos.

�sin

5 30°� � �

sin8

C�

sin C � �8 sin

5 30°�

C � sin�1 ��8 sin5

30°�� 53.1°

La medida de �C es 53.1°, por lo tanto la medida de �B es 180° � (30° � 53.1°), ó 96.9°. Para hallar la longitud de

___ AC , usa la Ley de los senos otra vez.

�sin

5 30°� � �

sin 9b6.9°

�

b � �5 s

siinn

9360.°9°� � 9.9 cm

La longitud de ___

AC es 9.9 cm.

La otra posible medida para �C es el suplemento de 53.1°, ó 126.9°. Entonces, la medida de �B es 180° � (30° � 126.9°), ó 23.1°. Usa la Ley de los senos para hallar la longitud de

___ AC .

�sin

5 30°� � �

sin 2b3.1°

�

b � �5 s

siinn

2330.°1°� � 3.9 cm

La longitud de ___

AC es 3.9 cm.


(continúa)

La Ley de los cosenos

En esta lección

● usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo, cuando conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo formado por éstos

● usarás la Ley de los cosenos para hallar las medidas desconocidas de un triángulo cuando conoces las longitudes de sus tres lados

Puedes usar la Ley de los senos para hallar las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos de un triángulo, si conoces las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado; o alternativamente si conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de esos lados.

El Ejemplo A en tu libro da las longitudes de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre los lados, y debes hallar la longitud del tercer lado. La Ley de los senos no se puede aplicar en esta situación. Analiza la solución para ver cómo hallar la longitud desconocida.

Si utilizas el procedimiento del Ejemplo A en un caso general donde dan las longitudes de dos lados, a y b, de un triángulo ABC y la medida del ángulo comprendido entre ellos, C, obtienes la Ley de los cosenos:

c2 � a2 � b2 � 2ab cos C

donde c es opuesto a �C. Observa que esto se parece al Teorema de Pitágoras con un término extra, �2ab cos C. (De hecho, si C es un ángulo recto, entonces cos C es 0, y la ecuación se convierte en el Teorema de Pitágoras.) Lee el texto del recuadro “Law of Cosines” (Ley de los cosenos) en la página 699 de tu libro y estudia los diagramas que siguen al recuadro.

Investigación: A la vuelta de la esquinaLee la investigación en tu libro. Si tienes los materiales y algunas personas A

B

C

c2 m

2.5 m

43

que te ayuden, haz la investigación. Si no, puedes usar el diagrama de la derecha. Completa la investigación por tu cuenta y después compara tus resultados con los siguientes.

Conoces las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido, por lo tanto puedes usar la Ley de los cosenos para hallar la longitud del tercer lado.

c2 � a2 � b2 � 2ab cos C Ley de los cosenos.

c2 � 2.52 � 22 � 2(2.5)(2) cos 43° Sustituye los valores conocidos.

c2 � 6.25 � 4 � 10 cos 43° Multiplica.

c � ��10.25 � 10 cos 43° Resuelve para c.

c � 1.71 Evalúa.

La distancia entre las dos “ciudades” es aproximadamente 1.71 metros.

L E C C I Ó N

12.3CONDENSADA

Lección 12.3 • La Ley de los cosenos (continuación)



Para hallar las medidas desconocidas en el Ejemplo B, la Ley de los cosenos se aplica dos veces. Intenta hallar las medidas desconocidas por tu cuenta, y luego lee la solución. Tanto la investigación como el Ejemplo B dan las longitudes de dos lados y la medida del ángulo incluido. También puedes usar la Ley de los cosenos si conoces las longitudes de los tres lados. El siguiente ejemplo te muestra cómo.

EJEMPLO Halla la medida de los ángulos.

A

B

C

5.1 cm3.5 cm

2.0 cm

� Solución Empieza usando la Ley de los cosenos para hallar la medida de �C.

c2 � a2 � b2 � 2ab cos C Ley de los cosenos.

3.52 � 5.12 � 2.02 � 2(5.1)(2.0) cos C Sustituye los valores conocidos.

12.25 � 30.01 � 20.4 cos C Multiplica.

�17.76 � �20.4 cos C Resta 30.01 de ambos lados.

cos C � �1270.7.4

6� Resuelve para cos C.

C � cos�1��1270.7.46�� Toma el inverso del coseno en ambos lados.

C � 29.5° Evalúa.

Ahora, usa la Ley de los senos para hallar la medida de �B.

�sin

c C� � �

sinb

B� Ley de los senos.

�sin

3 2.59.5� � �

si2n.0

B� Sustituye los valores conocidos.

sin B � �2.0 si

3n.5

29.5°� Resuelve para sin B.

B � sin�1��2.0 si3n.5

29.5°�� Toma el inverso del seno en ambos lados.

B � 16.3° Evalúa.

Para hallar la medida de �A, usa el dato de que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

A � 180° � (29.5° � 16.3°) � 134.2°

Lee el resto de la lección en tu libro, que resume lo que has aprendido en esta lección y en la anterior.


(continúa)

Ampliar la trigonometría

En esta lección

● ampliarás las definiciones de seno, coseno y tangente para incluir ángulos de cualquier medida

● hallarás el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de rotación

● usarás los ángulos de referencia para hallar el seno, el coseno y la tangente

x

y

II I

IVIII

de los ángulos relacionados

En la Lección 12.1, aplicaste las definiciones dadas para seno, coseno y tangente a los ángulos agudos en los triángulos rectángulos. En esta lección, ampliarás las definiciones para aplicarlas a ángulos de cualquier tamaño. Recuerda que los ángulos en los planos de coordenadas se miden comenzando desde el eje positivo x y se mueven en el sentido opuesto a las manecillas del reloj por los Cuadrantes I, II, III y IV.

Investigación: Ampliar las funciones trigonométricasLee el Procedure Note (Nota del procedimiento) y estudia el ejemplo del Paso 1. Después analiza la investigación en tu libro. Cuando termines, compara tus respuestas con los siguientes resultados. Asegúrate de que tu calculadora esté configurada en grados.

Paso 1 Las respuestas de muestra usan el punto (4, 0) como punto de partida para cada ángulo. Tus respuestas para las coordenadas y la longitud de los segmentos variarán dependiendo del punto de partida que escogiste, pero los resultados de seno, coseno y tangente deben ser iguales a los siguientes.

a. y

x

4

–4

–4 4

135

sin 135° � 0.707, cos 135° � �0.707 y tan 135° � �1. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (�2.8, 2.8). La longitud del segmento es aproximadamente �

_____________ (�2.8) 2 � 2.8 2 � 3.96 unidades.

b. y

x

4

–4

–4 4

210

sin 210° � 0.5, cos 210° � �0.866 y tan 210° � �0.577. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (�3.5, �2). La longitud del segmento es aproximadamente �

_______________ (�3.5) 2 � (�2) 2 � 4.03 unidades.

L E C C I Ó N

12.4CONDENSADA

Lección 12.4 • Ampliar la trigonometría (continuación)



c. y

x

4

–4

–4 4

270

sin 270° � �1, cos 270° � 0 y tan 270° es indefinida. Las coordenadas del punto rotado son (0, �4). La longitud del segmento es �

__________ 0 2 � (�4) 2 � 4

unidades.

d. y

x

4

–4

–4 4

320

sin 320° � �0.643, cos 320° � �0.766 y tan 320° � �0.839. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (3.1, �2.6). La longitud del segmento es aproximadamente �

_____________ 3.1 2 � (�2.6) 2 � 4.05

unidades.

e. y

x

4

–4 4–100

sin �100° � �0.985, cos �100° � �0.174 y tan �100° � 5.671. Las coordenadas del punto rotado son aproximadamente (�0.7, �3.9). La longitud del segmento es aproximadamente

� ________________

( �0.7) 2 � (�3.9) 2 � 3.96 unidades.

Paso 2 Los resultados se resumen a continuación. Según estos resultados

puedes deducir esta hipótesis, el seno es coordenada y _______________

longitud del segmento , el coseno es

coordenada x _______________

longtitud del segmento y la tangente es coordenada y

__________ coordenada x

.

Ángulo Seno Coseno Tangente

135° 2.8 ____ 3.96 � 0.71 �2.8 _____ 3.96 � �0.71 2.8 _____ �2.8 � 1

210° �2 ____ 4.03 � �0.50 �3.5 _____ 4.03 � �0.87 �2 _____ �3.5 � 0.57

270° �4 ___ 4 � �1 0 __ 4 � 0 �4 ___ 0 es indefinida

320° �2.6 _____ 4.05 � �0.64 3.1 ____ 4.05 � �0.77 �2.6 _____ 3.1 � �0.84

�100° �3.9 _____ 3.96 � �0.98 �0.7 _____ 3.96 � �0.18 �3.9 _____ �0.7 � 5.6

(continúa)


Paso 3

x

y

4

4

–4

–4

(–3, 1)

La longitud del segmento es � __________

(�3) 2 � 1 2 � � ___

10 . Usando el método del Paso 2, sin A � 1

____ �

___ 10 , cos A � �3

____ �

___ 10 y tan A � 1

___ �3 . La calculadora da que sin�1 � 1 ____

� ___

10 � � 18.43°

y tan�1 � 1 ___ �3 � � 18.43°. Este ángulo está en el Cuadrante I;

por lo tanto no se corresponde con el diagrama. Sin embargo, usando la calculadora, cos�1 � �3

____ �

___ 10 � � 161.57°. Este ángulo parece corresponder con el diagrama.

Paso 4 Las definiciones están en la caja de definiciones en la página 707 de tu libro. Lee estas definiciones atentamente.

Lee el párrafo anterior al Ejemplo A y después analiza los Ejemplos A y B en tu libro. Si necesitas repasar los triángulos rectángulos, lee “Refreshing Your Skills” (Repasar tus habilidades) del Capítulo 12 en tu libro. A continuación, hay otro ejemplo similar al Ejemplo A.

EJEMPLO Halla el seno, el coseno y la tangente de 150° sin la calculadora.

� Solución Rota un punto 150° desde el eje positivo x en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. La imagen del punto está en el Cuadrante II, 30° sobre el eje x. El ángulo de referencia es 30°. El seno, el coseno y la tangente de un ángulo de referencia de 30° son 1 _ 2 , �

__ 3 ___ 2 y 1

___ �

__ 3 , respectivamente.

x

y

4

4

–4

–4

150

30

Dado que la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva en el Cuadrante II, sin 150° � 1 _ 2 , cos 150° � � �

__ 3 ___ 2 , y tan 150° = � 1

___ �

__ 3 .

Lección 12.4 • Ampliar la trigonometría (continuación)

Introducción a los vectores


(continúa)

En esta lección

● entenderás vectores como distancias directas

● representarás la suma, resta y multiplicación escalar de vectores

● usarás vectores para resolver problemas

● convertirás vectores de una forma a otra

Algunas cantidades, como la distancia, la velocidad y la aceleración, pueden tener direcciones asociadas con ellas. Estas cantidades dirigidas se pueden representar con vectores, los cuales se pueden considerar como segmentos de rectas dirigidas. El segmento de recta tiene una longitud, llamada magnitud, y una dirección. Puedes representar los vectores como un segmento con punta de flecha en uno de los extremos, llamado cabeza o punta. La cola es el otro extremo del vector. Los vectores se pueden representar de muchos modos. La forma polar de un vector da la magnitud y el ángulo que forma el vector con el eje positivo x. Por ejemplo, 3�150° representa un vector de 3 unidades de largo dirigido 150° en el sentido opuesto a las manecillas del reloj desde el eje positivo x. La forma rectangular de un vector da el cambio horizontal y vertical desde la cola hasta la cabeza. Por ejemplo, � �3 �

__ 3 _____ 2 , 3 _ 2 � representa un cambio horizontal de �3 �

__ 3 _____ 2 , y un

cambio vertical de 3 _ 2 .

Los vectores equivalentes tienen la misma magnitud y dirección, sin importar donde están localizados en un plano de coordenadas. 3�150° y � �3 �

__ 3 _____ 2 , 3 _ 2 � son

vectores equivalentes.

La investigación explora algunas de las propiedades de la resta y la suma de vectores. Observa que

__ › a y a son dos modos de designar un vector. En la

ecuación a � b � c; las letras en engrita a, b y c representan vectores, y c es el vector resultante del cálculo.

Investigación: Suma y resta de vectoresAnaliza toda la investigación en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.

Pasos 1 a 3

x

y

6

4

2

6420

b

a c

La forma rectangular de c es 6, 4.

Paso 4 i.

x

y

6

4

2

642b

ac

0

ii. y

x–5

3

–3

cd

e

La forma rectangular de c es 6, 4. La forma rectangular de c es 0, 1.

L E C C I Ó N

12.5CONDENSADA

Lección 12.5 • Introducción a los vectores (continuación)



iii. y

x–2 5

3

–3

c

fb

iv. y

x642

6

4

2

0

c

ea

La forma rectangular de c es 3, �1. La forma rectangular de c es 5, 2.

Pasos 5 Si a � � a 1 , a 2 � y b � � b 1 , b 2 �, entonces la suma a � b es � a 1 , a 2 � �

� b 1 , b 2 � � � a 1 � b 1 , a 2 � b 2 �.

Paso 6

i. y

x–3 3

3

–3

–b

a – ba

ii. y

x–2 5

3

–3

b

–ab – a

iii. y

x–5 2

3

–3

d – ed

–e

iv. y

x–2

3

–3

–fe

e – f

Paso 7 Si a � � a 1 , a 2 � y b � � b 1 , b 2 �, entonces la diferencia a � b es

� a 1 , a 2 � � � b 1 , b 2 � � � a 1 � b 1 , a 2 � b 2 �.

Paso 8 Si a � � a 1 , a 2 � y k es un escalar, entonces el producto k · a es

k · � a 1 , a 2 � � �k · a 1 , k · a 2 �.

Paso 9 Las magnitudes de a y b son ⏐a⏐ � � _______

2 2 � 3 2 � � ___

13 y

⏐b⏐ � � _______

4 2 � 1 2 � � ___

17 . Si a � � a 1 , a 2 �, entonces la magnitud de a, indicada

⏐a⏐, es � ________

a 1 2 � a 2 2 .

Los vectores son útiles para representar el movimiento. Lee el Ejemplo A para explorar una aplicación de la suma de vectores.

En ocasiones, la forma polar de un vector es más apropiada. El Ejemplo B explica cómo convertir de forma rectangular a forma polar. Lee el Ejemplo B y asegúrate de que entiendes cómo convertir de una forma rectangular a una forma polar.

Lee el texto posterior al Ejemplo B. Asegúrate de que entiendes cómo convertir un ángulo relativo a un ángulo que dé la dirección de un vector en forma polar. En el Ejemplo C, los vectores se deben convertir de forma polar a forma rectangular para sumarlos. Analiza en Ejemplo C atentamente.

En esta lección

● usarás un parámetro para escribir ecuaciones paramétricas que definen por separado a x e y

● representarás gráficamente ecuaciones paramétricas

● usarás ecuaciones paramétricas para modelar problemas reales

Hasta ahora, has usado ecuaciones para relacionar x e y entre sí. En ocasiones, quieres expresar x e y como funciones separadas de una tercera variable, t, llamada parámetro. Estas ecuaciones paramétricas te ofrecen más información y mejor control sobre los puntos que trazas. Puedes usar ecuaciones paramétricas para expresar las coordenadas x e y como funciones de tiempo.

El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar ecuaciones paramétricas para modelar un problema de movimiento. Lee atentamente el ejemplo A y su solución. Después, lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO A James está remando 30 pies en un bote por un río. Rema a una velocidad de 1 pie/s directamente hacia la costa opuesta. La corriente se dirige perpendicularmente hacia su dirección de remo a una velocidad de 3 pies/s. El poste al cual James quiere atar el bote está río abajo a 100 pies del punto de partida. ¿Llegará James al otro lado del río antes de pasar el poste?

� Solución Sea x la distancia en pies a la que se mueve el bote debido a la corriente, sea y la distancia en pies que James ha remado para atravesar el río; y sea t el tiempo en segundos. Entonces x � 3t e y � t. Representa gráficamente este par de ecuaciones en tu calculadora. Consulta Calculator Note 12C para aprender cómo ingresar y representar gráficamente ecuaciones paramétricas. Usa la ventana adecuada para el contexto.

Puedes dibujar el poste en el punto (100, 30). Si recorres (trace) un punto en la gráfica, verás que James tiene 10 pies de más antes de llegar al poste.

Las ecuaciones paramétricas pueden ayudarte a modelar situaciones complicadas que impliquen movimiento. Muchos pares de ecuaciones paramétricas pueden escribirse con una sola ecuación usando sólo x e y. Si vuelves a escribir un modelo paramétrico como una sola ecuación, entonces tendrás dos modos diferentes de estudiar una situación.

Ecuaciones paramétricas


(continúa)

L E C C I Ó N

12.6CONDENSADA

Lección 12.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación)



Investigación: Paseo paramétricoPasos 1 y 2 Lee los Pasos 1 y 2, y el Procedure Datos registrados

por la persona X

t x

0.1 1.78

0.6 1.71

1.1 1.62

1.6 1.50

2.1 1.43

2.6 1.36

3.1 1.26

3.6 1.19

4.1 1.10

4.6 1.00

5.0 0.95

Datos registradospor la persona Y

t y

0.1 1.95

0.6 2.02

1.1 2.11

1.6 2.12

2.1 2.21

2.6 2.25

3.1 2.32

3.6 2.38

4.1 2.39

4.6 2.47

5.0 2.50

Note de la investigación en tu libro. Asegúrate de que entiendes lo que sucede: Se marca un segmento en una cuadrícula de coordenadas. A medida que una persona camina a lo largo del segmento, un sensor de movimiento (cargado por la persona X) registra cómo cambia la coordenada x de la trayectoria de la persona, y otro sensor (cargado por la persona Y) registra cómo cambia la coordenada y de la trayectoria de la persona.

Ingresa los datos de muestra en tu calculadora y completa el resto de la investigación por tu cuenta. Después compara tus resultados con los siguientes.

Paso 3 Usa tu calculadora para hallar cada recta mediana-mediana. La recta mediana-mediana para los datos (t, x) es x � �0.18t � 1.8.

Paso 4 La recta mediana-mediana para los datos (t, y) es y � 0.10t � 1.98.

Paso 5 A la derecha está la gráfica de los valores (x, y), junto con las gráficas de las funciones paramétricas x � �0.18t � 1.8 e y � 0.10t � 1.98. Las funciones paramétricas parecen ajustarse a los datos.

Paso 6 Al resolver x � �0.18t � 1.8 para t, se obtiene t � x � 1.8 _____ �0.18 . Sustituye t por esta expresión en la ecuación

para y: y � 0.1� x � 1.8 _____ �0.18 � � 1.98.

Paso 7 La gráfica de la derecha muestra los datos (x, y) y la función y � 0.1� x � 1.8 _____ �0.18 � � 1.98 del Paso 6.

Paso 8 Al eliminar el parámetro se obtiene la misma gráfica, pero se pierde la información sobre el tiempo, y no puedes limitar los valores de t para que muestren sólo el segmento de recta realmente recorrido.

(continúa)


Lee el texto que sigue a la investigación y el Ejemplo B. El Ejemplo B explica cómo modelar el movimiento de un proyectil de forma paramétrica. El ejemplo que sigue también se relaciona con el movimiento de proyectiles.

EJEMPLO B Peter patea un balón a un ángulo de 55°, con una velocidad inicial de 75 pies/s. Si su pie hace contacto con el balón a una altura de 3.5 pies por encima del nivel del suelo, ¿qué distancia horizontal recorre el balón antes de pegar en el suelo?

� Solución Traza una figura y halla los componentes x y y de la velocidad inicial.

cos 55° � �7x5� sin 55° � �7

y5�

x � 75 cos 55° y � 75 sin 55°

55

75 pies/s y

x

El movimiento horizontal se ve afectado solamente por la velocidad inicial y el ángulo inicial, de modo que la distancia horizontal se modela por x � 75t cos 55°.

El movimiento vertical se ve afectado por la fuerza de gravedad y la altura inicial. Su ecuación es y � �16t2 � 75t sin 55° � 3.5.

Para saber cuándo el balón toca el suelo, halla t cuando y es 0.

�16t2 � 75t sin 55° � 3.5 � 0

t � �75 sin 55° � ��(75 sin 55°)2 � 4(�16)(3.5)��2(�16)

t � �0.056 ó t � 3.896

Únicamente la respuesta positiva tiene sentido en esta situación. El balón toca el suelo aproximadamente 3.896 segundos después de ser pateado. Para hallar la distancia que recorrió, sustituye este valor de t en la ecuación de x: x � 75(3.896) cos 55° � 167.6. El balón se desplaza de manera horizontal aproximadamente 167.6 pies, ó 56 yardas.

Lección 12.6 • Ecuaciones paramétricas (continuación)

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