d Amortization Credits 2

El primer trmino es igual a los intereses del primer periodo:

I1 = C(i/p) I1 = a1El ltimo es:

Inp = A(i/p) Inp = an

Inp = (C/np)(i/p) A = C/np

o Inp = Ci/(np)p

y la suma es entonces:

I = (np/2)[Ci/p + Ci/(np)p] Sm

= (m/2)(a1 + an)I = (np/2)[Cinp/pnp + Ci/npp] a/b = ac/bc

Si se factoriza ci/npp dentro de los corchetes y se cancela np, se obtiene la frmula del si-guiente

324 Captulo 6: Amortizacin de crditos

Teorema 6.2

El cargo total por concepto de intereses en la amortizacin constante de un crdito est dadopor

I = (Ci/2p)(np + 1)donde las literales tienen el significado de antes. (Vase el teorema 6.1, por ejemplo).

solucin

Ejemplo 3

Halle los intereses que le cargan al hospital del ejemplo 2, con la ecuacin del teorema 6.2.

Los valores a sustituir son:

C = 163,212.609 i = 0.0964 p = 4 y n = 2, entonces:I = [163,212.609(0.0964)/8](8 + 1)I = (1,966.711939)(9)

o I = $17,700.41Resultado que puede comprobarse sumando los nmeros de la tercera columna del cuadrode amortizacin.

3256.4: Amortizacin constante

Ejercicios6.4

1. Cul es la caracterstica principal de la amortizacin constante?2. Cmo se calculan los intereses en la amortizacin constante?3. Obtenga los primeros 3 abonos bimestrales que amortizan constantemente una deuda de

$45,000 en 2 aos a una tasa del 22% de inters capitalizable por bimestres.4. Cunto se carga por intereses en el problema 3?5. De cunto fue un crdito automotriz que se amortiza de manera constante con 30 rentas

mensuales a una tasa de inters del 12.36% nominal mensual? Considere que el primer abo-no es por $5,000.

6. La diferencia entre 2 abonos mensuales sucesivos, que se hacen para amortizar en formaconstante una deuda es de $50. De cunto fue la deuda? Por qu cantidad es el primero delos pagos, si la tasa de inters es del 9.6% capitalizable por meses? Suponga 8 meses de pla-zo y calcule los intereses.

7. Cuntas rentas semanales se necesitan para amortizar en forma constante un crdito de$21,000, si el primero es por $1,550 y se cargan intereses a una tasa del 12.48% capitaliza-ble por semanas?

8. Con qu tasa de inters capitalizable por semanas se amortiza de forma constante, en 20 se-manas, un crdito por $75,000, si el ltimo abono semanal es de $3,760?

9. Haga el cuadro de amortizacin constante, si una motocicleta de $23,200 se paga con 8 men-sualidades y se tiene un cargo del 13.2% de inters compuesto por meses.

10. Una exportadora de artesanas realiz una operacin crediticia por US$30,000, a una tasa de inters del 12.72% capitalizable por meses y a 10 mensualidades. Suponiendo una amorti-zacin constante, determine:a) El monto total por intereses.b) Con cunto se cancela la deuda al efectuar el quinto pago?c) El cuadro de amortizacin.

11. Con cuntos pagos quincenales que se reducen $15 cada quincena se amortiza constante-mente el precio de una computadora de $16,500, si se carga una tasa de inters del 10.56%anual capitalizable por meses? Obtenga los intereses.

12. Un crdito en mercanca por $47,500 se amortiza constantemente con 16 mensualidades.De cunto son las tres primeras, si la tasa de inters es del 21.6% capitalizable por meses,y la primera se hace 3 meses despus de la compra?

13. El primer abono quincenal para amortizar un prstamo de forma constante es de $825, la ta-sa de inters es del 19.2% anual convertible quincenalmente y el plazo es a 9 meses. Porqu cantidad fue el prstamo?


14. Para completar la colegiatura semestral de sus hijos, el licenciado Mendoza consigue unprstamo de $68,000 a una tasa de inters efectivo del 13%. De cunto son los primeros 3pagos quincenales de un total de 8? Cunto paga por concepto de intereses? Considere quela amortizacin es constante y haga el cuadro de amortizacin.

15. Cuntos pagos bimestrales sern necesarios para amortizar de forma constante un crditode $75,000? Suponga que el primero es por $8,600 y que la tasa de inters es del 14.1% ca-pitalizable por bimestres. A cunto ascienden los intereses?

16. Un crdito automotriz se amortiza mediante 5 mensualidades de $8,000 y 38 rentas quince-nales posteriores, con amortizacin constante a una tasa del 12.03% anual capitalizable pormeses. Suponiendo que la primera de estas 38 rentas es por $4,500, por cunto fue el adeu-do? Haga el cuadro de amortizacin en sus primeros siete renglones y el ltimo. De cun-to es el saldo insoluto luego de hacer el pago 18?

17. Una deuda se amortiza con 25 rentas mensuales de $5,400 a una tasa del 9.12% de intersnominal mensual. De cunto sern las primeras tres y la ltima renta mensual, si se amor-tizara constantemente en el mismo plazo?

18. Por cunto se contrata un crdito que se amortiza constantemente con 30 rentas quincena-les, si la primera es de $4,250 y la tasa de inters es del 13.92% compuesto por quincenas?A cunto ascienden los derechos adquiridos por el deudor luego del pago 20?

19. Cuntos pagos son necesarios para amortizar constantemente un crdito de $60,000? Su-ponga que son trimestrales, el primero es por $10,200 y la tasa de inters es del 13.3% anualcompuesto por trimestres.

En los problemas del 20 al 36 seleccione la opcin correcta, justificndola.20. Cul es el primer abono semanal que amortiza de forma constante un crdito de $19,600

con intereses del 12.74% anual capitalizable por semanas? Suponga que son 25.a) $864.05 b) $921.25 c) $832.02 d) $796.04 e) Otra

21. A cunto ascienden los intereses en el problema 20?a) $624.26 b) $568.24 c) $695.32 d) $702.48 e) Otra

22. Por qu cantidad es un crdito que se amortiza constantemente con 20 rentas mensuales?Suponga intereses del 9.63% nominal mensual y que la ltima renta es de $3,500.a) $70,845.23 b) $75,421.05 c) $69,442.72 d) $71,396.45 e) Otra

23. La diferencia entre dos pagos sucesivos en la amortizacin constante de un crdito es de$1,250. De qu cantidad fue tal crdito si son 13 pagos bimestrales con el 14.4% de inte-rs anual compuesto por bimestres?a) $560,398.05 b) $600,369.43 c) $705,421.36 d) $677,083.33 e) Otra

24. Cunto dinero se paga por concepto de intereses en el problema 23?a) $125,421.42 b) $113,750.00 c) $119,409.08 d) $121,485.45 e) Otra

25. Un crdito de $85,000 se amortiza de manera constante con intereses del 9.06% nominalmensual. De cunto es la segunda renta si son 15?a) $6,265.63 b) $7,043.21 c) $6,009.45 d) $6,593.38 e) Otra

3276.4: Amortizacin constante

26. Con cunto dinero se cancela la deuda del problema 25 al efectuar el dcimo pago?a) $38,463.95 b) $30,962.75 c) $34,256.70 d) $32,905.78 e) Otra

27. El ltimo pago semanal de un total de 50, en la amortizacin constante de un capital con in-ters del 9.1% anual convertible por semanas, es de $1,950. De cunto es el capital?a) $97,329.67 b) $103,413.31 c) $98,794.58 d) $110,913.06 e) Otra

28. Cunto dinero se carga por concepto de intereses en el problema 27?a) $4,721.41 b) $4,343.34 c) $5,063.28 d) $5,328.01 e) Otra

29. De cunto es la deuda que se amortiza de forma constante con intereses del 11.6% anualcapitalizable por meses, considerando que el primero de 8 abonos bimestrales es de$17,250?a) $135,421.03 b) $130,963.08 c) $110,495.01 d) $119,437.68 e) Otra

30. En el problema 29, a cunto ascienden los derechos adquiridos por el deudor luego de ha-cer el quinto pago?

a) $74,648.55 b) $44,789.13 c) $62,428.05 d) $70,987.83 e) Otra31. Un crdito automotriz se amortiza con 5 pagos mensuales de $15,000 y despus 36 mensua-

lidades, que decrecen con amortizacin constante e intereses del 13.44% anual capitalizablepor meses. De qu tamao fue el crdito si la diferencia entre dos pagos sucesivos es de$45?a) $193,285.43 b) $215,910.43 c) $209,352.47 d) $203,641.70 e) Otra

32. Cunto pag por intereses el comprador del automvil en el problema 31?a) $45,795.33 b) $40,260.39 c) $42,563.31 d) $38,708.48 e) Otra

33. Cuntos pagos trimestrales se necesitan para amortizar un crdito de $75,000, consideran-do que la tasa de inters es del 12.8% nominal trimestral y que el primero es por $4,900?a) 35 b) 30 c) 32 d) 37 e) Otra

34. Cul es el saldo insoluto luego de hacer el vigsimo tercer pago en el problema 33?a) $15,600 b) $17,500 c) $18,350 d) $19,260 e) Otra

35. A cunto ascienden los derechos transferidos al deudor, luego de hacer el 12o pago en laamortizacin de un crdito de $35,000? Suponga que son 20 abonos semanales con intere-ses del 9.88% nominal semanal y la amortizacin es constante.

a) $19,850 b) $20,700 c) $21,000 d) $18,900 e) Otra36. El ltimo abono mensual que amortiza de forma constante un crdito de $127,500 con car-

gos del 10.20% nominal mensual es de $63.75. Cuntos son necesarios?a) 18 b) 20 c) 21 d) 17 e) Otra

A diferencia de los sistemas anteriores, aqu tanto la renta como la amortizacin son variables,y la variacin puede ser aritmtica o geomtrica y variar pago tras pago o en grupos de pagos.

A la sucesin de rentas que varan de forma aritmtica se le llama gradiente uniforme, o gra-diente aritmtico; y a la diferencia entre dos rentas sucesivas, gradiente, que se denota con d.

Las rentas que varan de forma geomtrica se denominan serie en escalera o serie gradien-te, y la razn entre dos rentas sucesivas se llama gradiente geomtrico.

Variacin aritmtica


6.5 Amortizacin de renta variable

solucin

Ejemplo 1

Deduccin de frmula

Obtenga las 5 rentas mensuales vencidas que amortizan un capital de $60,000 con interesesdel 10.80% nominal mensual, suponiendo que cada uno es $1,000 mayor que el anterior.

Como se aprecia en la figura 6.1, de cada renta se obtiene su valor actual con la frmula delinters compuesto. La suma de los 5 debe ser igual a los $60,000.

R1 R2 R3 R4 R5

1 2 3 4 5

C1C2C3C4C5

60,000

FIGURA 6.1

El plazo para el primero es un mes, para el segundo son dos y para el ltimo son cinco meses:

C1 = R1(1 + 0.1080/12)1C2 = R2(1 + 0.009)2C3 = R3(1.009)3C4 = R4(1.009)4C4 = R4(1.009)5

y puesto que cada uno es $1,000 mayor que el anterior, estos cinco capitales se escriben como:

3296.5: Amortizacin de renta variable

C1 = R1(1.009)1 o C1 = R1(1.009)1C2 = (R1 + d)(1.009)2 o C2 = R1(1.009)2 + d(1.009)2 d = 1,000C3 = (R1 + 2d)(1.009)3 o C3 = R1(1.009)3 + 2d(1.009)2C4 = (R1 + 3d)(1.009)4 o C4 = R1(1.009)4 + 3d(1.009)3

y C5 = (R1 + 4d)(1.009)5 o C5 = R1(1.009)5 + 4d(1.009)4La suma S1 de los primeros trminos, los que estn en el recuadro, de estos 5 capitales, fac-torizando R1 es:

S1 = R1[(1.009)1 + (1.009)2 + (1.009)3 + (1.009)4 + (1.009)5]y la suma entre los corchetes es una serie geomtrica con un primer trmino a1 = (1.009)1,la razn comn es tambin r = (1.009)1 y el nmero de trminos es 5; entonces:

S1 = R1 S = a1

S1 = R1

S1 = R1 o

esto es,S1 = R1(4.867784789)

Note que S1 es el capital, es decir, el valor presente de una anualidad ordinaria de 5 rentas R1.Por otro lado la suma de los segundos trminos, los que no estn en el recuadro, forman

una serie aritmtico-geomtrica cuya suma puede comprobarse, sin considerar la diferenciad, est dada por:

S1 =

donde el significado de todas las literales es el mismo de antes.En este caso, tal suma es, entonces:

S2 =

S2 = 0.000781516/0.000081 o S2 = 9.648344444y como la diferencia es d = $1,000, al multiplicar queda que S2 = 9,648.34Consecuentemente, puesto que C = S1 + S2, se tiene

60,000 = R1(4.867784789) + 9,648.34de donde

R1 = (60,000 9,648.34)/4.867784789o R1 = $10,343.85Para las 4 rentas restantes se suman sucesivamente los $1,000. Se deja como un interesante ejer-cicio, hallar el valor presente de cada una para luego sumarlos y corroborar que suman $60,000.

Lo anterior se resume en el siguiente:

1 1 5 12 0 108 1 0 0090 009

5

2 + +

([ ( / )( . )]( . )

. )

1 1 12

+ + ( )( / )( / )ni i pi p

np

S R aa1 11 1=

=

51 (1.009)0.009

1 (1.009)1.009 1

5

11.009

1 (1.009)1 (1.009)

5

1

=

a ba

b1 1

11

r

r

n

(1.009) 1 [(1.009) ]1 (1.009)

11 5

1


Teorema 6.3

Un crdito C al inicio del plazo se amortiza con np rentas vencidas, que varan aritmticamen-te segn la ecuacin

C = T(R1) + V(d)donde T =

V = *Adems,

R1 es la primera rentad es el gradiente, la diferencia entre dos pagos sucesivosn es el plazo en aos,p es la frecuencia de conversin i es la tasa de inters anual capitalizable en p periodos por ao

Por supuesto que estas frmulas son vlidas para rentas que decrecen, es decir, para d negativa.

1 1 12

+ + ( ( / ))( / )( / )

np i p i pi p

np

1 1 + ( / )/i p

i p

np

solucin

Ejemplo 2

Haga el cuadro de amortizacin del crdito del ejemplo 1 y determine los intereses.

a) Sirva este cuadro para comprobar las frmulas. Se comienza escribiendo la primera ren-ta en la segunda columna, y la deuda C en la ltima.

Los intereses del primer periodo son:

I1 = 60,000(0.009) I = C(i/p)o I1 = $540

La primera amortizacin es, por lo tanto:

A1 = 10,343.85 540, o A1 = 9,803.85, ya que R = A + I

que se anota en la cuarta columna

* Note usted que como (np)(i/p) es igual a ni, el primer parntesis se puede expresar como (1 + ni), pero es msprctico dejarlo as para las operaciones.


b) Los intereses se obtienen sumando los valores de la tercera columna, pero cuando no setiene el cuadro basta con encontrar el total pagado, para luego restar el crdito. El totalque se paga es una serie aritmtica con a1 = 10,343.85, la primera renta en este ejemplo,y d = 1,000, la diferencia comn, es

M = (5/2)[2(10,343.85) + 4(1,000)] S = (n/2)[2a1 + (n 1)d]M = $61,719.25I = 61,719.25 60,000

o I = $1,719.25

Periodo Renta (R) Intereses (I) Amortizacin (A) Saldo insoluto (S)

0 60,000.00

1 10,343.85 540.00 9,803.85 50,196.15

2 11,343.85 451.76 10,892.08 39,304.07

3 12,343.85 353.74 11,990.11 27,313.95

4 13,343.85 245.83 13,098.02 14,215.93

5 14,343.85 127.94 14,215.91 0.02

solucin

Ejemplo 3

Valor presente, intereses, saldo insoluto

Por qu cantidad fue un crdito para maquinaria agrcola, si se amortiz con 15 rentas bi-mestrales a una tasa del 12.78% compuesto por bimestres? Suponga que la primera es por$50,000 y crecen sucesivamente $6,500. Cunto se paga por intereses? Con cunto se li-quida la deuda al hacer el pago nmero 8?

a) En las ecuaciones del teorema 6.3 se sustituyen R1 por $50,000, d por $6,500, i por0.1278, p por 6, puesto que son bimestrales, n por 15/6 = 2.5 aos y np por 15, el nme-ro de rentas.a)

T = o T = 12.72517236

V = (np)(i/p) = 15(0.0213)= 0.3195

o V = 84.07816573

1 1 0 3195 1 0 02130 0213

15

2 + + ( . )( . )

( . )

1 1 0 1278 60 0213

15 + ( . / )

.

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


Entonces, puesto que C = T(R1) + Vd, queda:C = 12.72517236(50,000) + 84.07816573(6,500)

o C = $1182,766.69b) Los intereses son la diferencia entre el total que se paga y el valor de la maquinaria,

I = M C.El total que se paga es igual a la suma de las 15 rentas, que forman una serie aritm-

tica con a1 = 50,000, d = 6,500 y 15 trminos

M = (15/2)[2(50,000) + (14)6,500] S = (n/2)[2a1 + (n 1)d]M = (15/2)(191,000)

o M = $1432,500Entonces, los intereses son:

I = 1432,500.00 1182,766.69 o I = 249,733.31

c) Con las mismas ecuaciones, las del teorema 6.3, se obtiene el saldo insoluto luego de ha-cer el octavo pago. Para ello el nmero de rentas es np = 7, las que faltan, y la primerade esa serie es la novena del total; esto es:

R9 = 50,000 + 8(6,500) an = a1 + (n 1)dR9 = $102,000

Por lo tanto,

T =

o T = 6.439771803

V = (np)(i/p) = 7(0.0213) = 0.1491

o V = 18.77660936

Entonces, el saldo insoluto es:

Saldo = (6.439771803)(102,000) + (18.77660936)(6,500)o saldo = $778,904.68A ste hay que sumar la propia renta R8 en la que hubo 7 incrementos desde la primera;es decir:

R8 = 50,000 + 7(6,500)o R8 = $95,500En consecuencia al efectuar el pago nmero 8 la deuda si liquida con:

778,904.68 + 95,500 = $874,404.68Note que cuando se ha realizado el 53.33% de los pagos, la deuda se ha amortizado ni-camente en 34.1455%. Por qu?

1 1 0 1491 1 02130 0213

7

2 + ( . )( . )

( . )

1 1 02130 0213

7

( . )( . )

Variacin geomtrica

En este sistema de amortizacin, el incremento en las rentas se da en porcentaje y, como antes,con el primer ejemplo se desarrolla una frmula genrica.


solucin

Ejemplo 4

Deduccin de frmula, rentas en una amortizacin

Se compra una computadora de $21,000, con 6 abonos quincenales que crecen 5% sucesiva-mente a una tasa de inters del 12% nominal quincenal. De cunto es cada uno?

Los $21,000 se separan en 6 partes proporcionales C1, C2,. . . C6, cuyo valor futuro debe serigual al valor de cada renta quincenal, es decir, que los 6 capitales son

C1 = R1(1 + 0.12/24)1 C = M(1 + i/p)npC2 = R2(1.005)2o

C6 = R6(1.005)6, dado que el plazo crece con la rentaComo cada pago es un 6% mayor que el precedente, se cumple que el Ksimo es:

RK = RK1 + (0.06)RK1 o RK = (1.06)RK1Y si denotamos con t al parntesis, es decir t = 1.06, entonces, t en general es t = 1 + f, don-de f es la tasa de incremento en los pagos. Es claro que si f es negativo, entonces r < 1 y lospagos se reducen en lugar de crecer.

Tambin es cierto que si R1 es la primera renta, entonces:

R2 = R1(1 + f) o R2 = R1(t)R3 = R2(1 + f) o R3 = R2(t), R3 = R1(t)(t) o R3 = R1(t2)

y continuando de esta manera, el Ksimo abono es expresable en trminos del primero, co-mo RK = R1(rK1).

La suma de los 6 capitales, puesto que R1 es factor comn es, por lo tanto:

Suma = R1[(1.005)1 + t(1.005)2 + t2(1.005)3 + ... + t5(1.005)6] t = 1 + fLa suma entre corchetes es una serie geomtrica con 6 trminos y como tal se evala con el teo-rema 2.4, donde el primero es a1 = (1.005)1 o a1 = 1/1.005. La razn comn es r = t(1.005)1porque r = a2/a1, por ejemplo. Entonces, la suma es:

Suma = R1 Sn = a1

(A) Suma = R1 (1.005)(1.005)1 = 11 1 0051 005 16

( / . ). ( )

t

t

11

r

r

n11 005

1 1 0051 005

1 6

1.

[( )( . ) ]( . )

1

t

t


Suma = R1 ab1 = a/b y t = 1.06

o Suma = R1(6.849062564)Esta suma de los 6 capitales debe ser igual al precio de la computadora y por eso:

R1(6.849062564) = 21,000de donde

R1 = 21,000/6.849062564o R1 = $3,066.11El segundo abono y los siguientes se obtienen, claro, multiplicando sucesivamente por 1.06.

Un buen ejercicio para el estudiante es comprobar este resultado encontrando los 6 capi-tales, y ver que su suma sea realmente $21,000.

Para generalizar, observamos que la ecuacin (A) del desarrollo anterior, es decir, la su-ma entre los corchetes, puede expresarse como:

Suma = t = 1 + f y ab1 = a/b

Suma = se cancela el 1

o Suma = invirtiendo los signos en el numerador y el denominador

Al multiplicar esto por R1, la primera renta, resulta la ecuacin del siguiente:

11

1 1+ +

i p i p

np

/ /

1 1 1 + +

[( ) / ( / )]/

i pi p

np

1 1 11 1

+ ++ +

[( ) / ( / )]( / ) ( )

i pi p

np

1 1 06 1 0051 005 1 06

6

( . / . ). .

Teorema 6.4

Un crdito C al inicio del plazo se amortiza con np rentas vencidas variables, geom-tricamente, segn la ecuacin

C =

donde R1 es la primera rentaf es la tasa de variacin geomtricai es la tasa de inters anual capitalizable en p periodos por ao n es el plazo en aos

Rf i p

fi p

np1 1

11

+

+

/ /

Note que C se localiza al inicio el primer periodo, es decir, un periodo antes de la primerarenta y por esto la anualidad es ordinaria.


solucin

Ejemplo 5

Renta, cuadro de amortizacin, intereses, saldo insoluto

Obtenga los primeros renglones del cuadro de amortizacin de un crdito hipotecario de$800,000, abonos mensuales durante 5 aos, una tasa de inters del 20.4% nominal mensualy un incremento constante en los pagos del 1.8%. Calcule el saldo insoluto luego de efectuarel pago 35 y los intereses.

Para hallar el valor de la primera renta, se sustituyen en la ecuacin del ltimo teorema, losvalores siguientes:

La deuda original, C = 800,000La tasa de incremento en las rentas, f = 0.018La tasa de inters, i = 0.204 compuesta por mesesLa frecuencia de conversin y de pagos, p = 12El plazo en aos, n = 5Adems, np = 5(12) = 60 e i/p = 0.204/12 = 0.017

Entonces,

800,000 =

de donde 800,000 =

800,000(0.001) = R1(0.060741353)R1 = 800,000/0.060741353 o R1 = $13,170.60

El segundo pago y los restantes se obtienen multiplicando sucesivamente por 1.018.

R2 = 13,170.60(1.018) = $13,407.67 R3 = 13,407.67(1.018) = $13,649.01, etctera

a) Con estos valores en la segunda columna y la deuda en la quinta, se inicia la tabla deamortizacin.

R1 600 001

1 000983284 1.

.( ) ( )R1

60

0 018 0 0171 0181 017

1. .

.

.

Periodo Renta (R) Intereses (I) Amortizacin (A) Saldo insoluto (S)

0 $800,000.001 $13,170.60 $13,600.00 $429.40 $800,429.402 $13,407.67 $13,607.30 $199.63 $800,629.033 $13,649.01 $13,610.69 $38.32 $800,590.714 $13,894.69 $13,610.04 $284.65 $800,306.07


Note que las primeras dos amortizaciones son negativas, la deuda crece en los primerospagos y comienza a reducirse hasta despus del cuarto.

b) Para evaluar los intereses, se suman los pagos formndose una serie geomtrica con:a1 = 13,170.60, el primer abonor = 1.018, la razn yn = 12(5) = 60, el nmero de trminos

La suma es, entonces,

Suma = 13,170.60

Suma = 13,170.60(106.4739754)Suma = $1402,326.14

Consecuentemente,Intereses = 1402,326.14 800,000.00 I = M C

I = $602,326.14c) El saldo insoluto despus de hacer el pago 35, es igual al valor presente de los 25 que

restan. La misma ecuacin del teorema 6.4 se utiliza con np = 25 y un primer pagoR1, que es igual al pago 36 de los 60, el cual es

R36 = 13,170.60(1.018)35R36 = $24,591.09

porque hubo 35 incrementos del 1.8%

El saldo insoluto es, entonces,

C =

C = 24591,090 (1.024874353 1)C = $611,687.45

Note nuevamente que cuando se ha realizado el 58.33% de los pagos, la deuda se haamortizado tan slo un 23.54%, ya que:

35/60 = 0.583 o 58.33%y (800,000 611,687.45)/800,000 = 0.2354 o 23.54%

24 591 090 018 0 017

1 0181 017

125

, .

. .

.

.

1 1 0181 1 018

11

60

1 ( )

=

.

.

S a rr

n

n

Importante

Antes de concluir esta seccin, es importante sealar que los teoremas 6.3 y 6.4 se emplean no slopara amortizar deudas, sino tambin para distribuir un capital cualquiera C al inicio del plazo, enuna serie de pagos crecientes, como se aprecia en los ejercicios de esta seccin.


Ejercicios6.5

l. Explique brevemente la caracterstica de las amortizaciones de renta variable.2. Qu es una serie gradiente y qu es el gradiente aritmtico?3. Qu es una serie en escalera y qu es el gradiente geomtrico?4. De cunto es el capital que se amortiza con 15 abonos mensuales que crecen $350, si el pri-

mero es por $6,000 y los intereses son del 11.4% anual capitalizable por meses?5. Encuentre los primeros abonos bimestrales que amortizan en 2 aos, un crdito de $1.5 mi-

llones a una tasa del 18% nominal bimestral, suponiendo que cada uno es $6,250 ms gran-de que su predecesor.

6. Por cunto es cada uno de los 8 abonos mensuales que la seora de Mndez hace para pa-gar un refrigerador de $7,500. Suponga que los abonos crecen $40 y que la tasa de inters es del 9.3% compuesto por meses? Obtenga los intereses.

7. Obtenga las primeras 4 rentas quincenales que amortizan en 2 aos un crdito de $500,000,considerando que el primero cubre exactamente los intereses de una tasa del 21% capitali-zable por quincenas y forman una serie gradiente aritmtica. A cunto ascienden los dere-chos transferidos al deudor luego del pago aritmtico 30?

8. Calcule la cantidad de un prstamo que se amortiza con 15 rentas semanales que crecen su-cesivamente un 2%, siendo la primera de $2,350 y la tasa de inters es del 12.48% anualcompuesto por semanas? Con cunto se cancela al hacer el pago 11?

9. Con cuntos pagos quincenales amortiza el seor Villanueva un crdito de $100,000, si elprimero es por $5,400, los siguientes se incrementan en 0.8% y le cargan una tasa del 9.96%de inters nominal quincenal?

10. Cul es el precio de un terreno que se amortiza con un enganche del 25% y 24 rentas men-suales que crecen 2.5%, la primera es por $3,800 y se cargan intereses del 18% anual capi-talizable por meses?

11. Cuntos abonos trimestrales, que crecen un 3%, se necesitan para amortizar una deuda de$75,000? Suponga que la tasa de inters es del 10.2% anual capitalizable trimestralmente yque el primero es por $6,500. Haga un ajuste a la renta redondeando al entero ms cercano.

12. Por qu cantidad es el crdito hipotecario que se amortiza en 5 aos, si la renta mensualcrece 0.5%, la primera fue de $5,750 y la tasa de inters es del 15% anual capitalizable pormeses? Obtenga el saldo insoluto luego de hacer el pago 25.

13. Haga el cuadro de amortizacin, en sus primeros tres renglones y el ltimo, de un crditoque se amortiza con 15 pagos bimestrales que crecen a un ritmo del 1.3% sucesivamente, elprimer pago es de $4,000 y la tasa de inters es del 20.4% compuesto por bimestres.

14. Cunto debe dar a la Universidad un egresado para que otro estudiante de economa restrin-gida disponga de una beca semestral que crezca un 4.8% cada semestre? Suponga que la ta-sa es del 11.3% de inters capitalizable por semestres, que la primera semestralidad, 2 aosdespus del donativo, es por $15,000 y la carrera profesional dura 9 semestres.


15. Cunto deber invertir a una tasa del 13.36% compuesto por meses, el doctor Escalante pa-ra hacer disposiciones mensuales durante 2 aos, considerando que el primer retiro es por$7,500, a los 5 aos despus de la inversin y que crecen:a) $250 cada mes? b) 2.6% cada mes?

16. Cunto podr retirar cada quincena durante 7 meses, una persona que deposita en un ban-co $45,000, ganando intereses a una tasa del 11.28% compuesto por quincenas? Considereque el primero se hace 3 meses despus del depsito y que los retiros:

a) son iguales.b) crecen $200 sucesivamente.c) se incrementan un 2% cada uno.

17. Con intereses a una tasa del 23.4% capitalizable por bimestres, se depositan $150,000 paradisponer de cantidades bimestrales que crecen 2.5%. Durante cunto tiempo se harnlas disposiciones, suponiendo que la primera es por $10,200? Obtenga los intereses.

18. Cuntas disposiciones mensuales pueden hacerse, si se invierten $100,000 en una cuentaque redita una tasa de inters del 9.6% compuesto por meses? Suponga que la primera dis-posicin es por $5,300, a los 6 meses de la inversin, que las disposiciones ulteriores crecen1.5% cada mes, y haga un ajuste con un retiro menor al final.

En los problemas 19 al 32 seleccione la opcin correcta, justificando su eleccin.19. Encuentre el primer abono mensual de los que amortizan en 3 aos un crdito de $750,000,

considerando intereses del 12.6% anual capitalizable por meses y crecen $900 sucesivamente.a) $12,429.32 b) $13,098.42 c) $11,129.49 d) $10,388.32 e) Otra

20. A cunto ascienden los intereses en el problema 19?

a) $178,421.08 b) $190,979.52 c) $185,458.91 d) $189,095.31 e) Otra21. De qu magnitud es el crdito que se amortiza con 15 rentas bimestrales e intereses del

13.2%? Suponga que la primera es de $4,850 y crecen $150 sucesivamente.a) $390,875.31 b) $406,778.64 c) $398,048.39 d) $386,963.37 e) Otra

22. El primer abono mensual de un total de 35 que amortizan una deuda de $560,000 es de$18,750. Cul es la diferencia aproximada entre dos pagos sucesivos, si se consideran inte-reses del 10.08% nominal mensual?

a) $95.38 b) $195.31 c) $195.31 d) $95.38 e) Otra23. De cunto es la ltima renta quincenal de un total de 30, que amortizan un crdito de

$375,000? Considere cargos del 14% efectivo y que crecen $450 uno tras otro.a) $20,297.62 b) $22,038.18 c) $23,961.09 d) $21,243.43 e) Otra

24. Un crdito de $136,000 se amortiza con 13 rentas mensuales que crecen $450 de forma su-cesiva. De cunto es la primera renta, si se hace 5 meses despus de conseguido el prsta-mo y se cargan intereses del 13.8% anual capitalizable por meses?a) $9,224.86 b) $10,483.09 c) $10,063.47 d) $11,129.37 e) Otra

3396.6: Problemas de aplicacin

25. En el problema 19, cunto se paga por intereses?a) $19,023.18 b) $20,127.34 c) $20,497.23 d) $23,596.31 e) Otra

26. Cunto se recibi en prstamo si se amortiza con 18 rentas bimestrales que crecen 1.8% su-cesivamente? Suponga que la primera renta es de $7,600 y se cargan intereses del 11.4% no-minal bimestral.a) $165,265.41 b) $142,093.08 c) $133,135.27 d) $152,368.87 e) Otra

27. De cunto es el ltimo abono quincenal que amortiza un crdito de $63,000, considerandoque son 20, se cargan intereses del 12.96% nominal quincenal y crecen 2% sucesivamente?a) $4,009.32 b) $4,201.65 c) $3,728.61 d) $4,329.06 e) Otra

28. Cunto se pag por intereses en el problema 22?a) $4,328.35 b) $4,096.31 c) $3,869.28 d) $4,198.93 e) Otra

29. Con cunto dinero se cancela el crdito del problema 22 al hacer el abono nmero 14?a) $22,473.31 b) $24,693.50 c) $26,033.47 d) $25,421.09 e) Otra

30. El abono mensual 20 que amortiza un crdito es de $15,400, los intereses que cargan son del12.9% nominal mensual y en total son 48 rentas que crecen 1.5% cada mes. De cunto fueel crdito?a) $565,306.23 b) $670,423.61 c) $609,285.31 d) $714,903.08 e) Otra

31. Cuntos abonos bimestrales se necesitan para amortizar un crdito de $2760,000, conside-rando que crecen 1.8% sucesivamente, el primero es por $45,000 y los intereses son del13.20% anual capitalizable por bimestre? Haga un ajuste a las rentas.a) 68, la primera de $46,960.35 d) 72, la primera de $44,879.37 b) 70, la primera de $46,073.25 e) Otrac) 71, la primera de $45,121.32

32. La primera renta mensual que amortiza un crdito de $681,787.00 es de $25,000. Cuntose necesita si crecen 1.3% sucesivamente y se cargan intereses del 10.2% anual convertiblepor meses?a) 26 b) 23 c) 28 d) 25 e) Otra

Si bien es cierto que la mayora de los ejemplos resueltos en este captulo son verdaderas apli-caciones, a continuacin plantearemos otros que, por su grado de dificultad o porque represen-tan situaciones muy especficas, no se trataron antes. Se incluyen las anualidades de rentas quevaran en grupos y no de manera sucesiva, una por una, como se vio en la seccin que prece-de. Un ejemplo de lo anterior lo constituyen los crditos del Infonavit,* que en Mxico finan-cian y administran recursos econmicos para que el trabajador adquiera una vivienda, as co-mo el traspaso de terrenos y otros bienes inmuebles cuando no se han amortizado totalmente.

6.6 Problemas de aplicacin

*Para mayor informacin sobre el Instituto consulte la direccin www.infonavit.gob.mx

Traspaso de un bien considerado su plusvala

Porque la situacin econmica es apremiante, o simplemente para cambiarla por otra msamplia, es comn que una persona traspase o trasfiera su vivienda o terreno, antes de pagarlatotalmente; pero cunto debera pedir por ella? Se proponen dos maneras de saberlo y, en am-bos casos, debe suponerse que el comprador y futuro propietario seguir pagando el resto delas mensualidades.

Evaluando el porcentaje, sobre el precio del bien que se traspasa, que ya ha sido transferidoal deudor original, considerando alguna utilidad adicional y la plusvala del propio bien.Calculando el monto en que se traspasa, como si todos los abonos se hubieran hecho enuna cuenta bancaria, por ejemplo.


solucin

Ejemplo 1

El seor Prez adquiere un terreno de $360,000 y lo paga con un anticipo del 25% que amor-tiza con 8 mensualidades, y el 75% restante lo paga en un plazo de 5 aos contados desdeque lo compr (tambin con rentas mensuales). Cunto deber pedir por el terreno, si lotraspasa dos aos antes de concluir el plazo? Suponga intereses del 13.20% anual capitaliza-ble por meses, el valor del terreno ha aumentado por la inflacin y otros factores en un 4.71%en promedio cada trimestre, y los gastos fijos al comprarlo fueron de $45,000.

El valor presente de las 60 mensualidades al iniciar el plazo es igual al 75% del precio.

0.75(360,000) = 270,000Entonces, cada renta mensual es R de la siguiente ecuacin:

270,000 = C = R

o 270,000 = R(43.75298012)de donde

R = 270,000/43.75298012o R = $6,171.01El saldo insoluto luego de efectuar el pago 36, cuando an faltan 24, los que corresponden alos dos aos, es:

C = 6,171.01

C = 6,171.01(20.99260683)o C = 129,545.59

1 1 0110 011

24

( . ).

1 1 +

( / )/i p

i p

npR 1 1 0 132 12

0 011

60 +

( . / ).

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


y los derechos adquiridos por el deudor son:

D = 270,000 129,545.59o D = $140,454.41Lo que ya pertenece al comprador es la suma de estos derechos, el enganche y los gastos fi-jos.

140,454.41 + 0.25(360,000) + 45,000 = 275,454.41El porcentaje en relacin con el precio y los gastos fijos es:

275,454.41/405,000 = 0.680134346

El valor futuro de precio ms gastos fijos, considerando que crecen 4.71% cada trimestre, es:M = 405,000(1.0471)12 360,000 + 45,000 = 405,000

o M = $703,579.11Consecuentemente, el seor Prez deber pedir por su terreno:

(0.680134346)703,579.11 = $478,528.32,sin contar, claro, alguna utilidad adicional por deshacerse de su propiedad.

solucin

Ejemplo 2

Resuelva el ejemplo 1, considerando el problema como una inversin a inters compuestocon la tasa dada.

El valor futuro de los gastos, $45,000, y del enganche tres aos despus es porque0.25(360,000) = 90,000; esto es:

M1 = 135,000(1.011)36o M1 = $200,159.11y el de los 36 abonos que ya se realizaron es:

M2 = 6,171.01(1.011)

M2 = 6,171.01(1.011)(43.87819118)o M2 = $273,751.26y la suma de los dos es:

M1 + M2 = $473,910.37,y en esto deber traspasarse el terreno con este criterio.

( . ).

1 011 10 011

36


solucin

Ejemplo 3

Toma de decisiones al comprar maquinaria

Gracias al Tratado de Libre Comercio (TLC), un empresario tiene las siguientes opciones paracomprar maquinaria para su fbrica textil. Despreciando los costos por transporte y otros, de-cida cul le conviene ms, suponiendo que las tres le ofrecen la misma calidad y factibilidad.Suponga que la amortizacin es gradual.

a) Puede conseguirla en Canad sin enganche, 15 mensualidades vencidas de $21,600 dlarescanadienses y una tasa de inters del 7.2% capitalizable por meses.

b) En Estados Unidos se la ofrecen con un anticipo de US$30,000 y 9 abonos bimestralesiguales al anticipo, con cargos del 6.3% de inters nominal bimestral.

c) En Mxico la puede adquirir al contado en $3230,000. Considere que la paridad actuales de 11.32 pesos mexicanos por dlar estadounidense, y por dlar canadiense de $10.46por cada uno.

a) Para el precio actual en pesos mexicanos comprndola en Canad, se obtiene el valor pre-sente de las 15 rentas mensuales.

C1 = 21,600 C = R

C1 = 21,600(14.30383382)o C = 308,962.8105que en pesos, con la paridad actual, es

C = 308,962.8105(10.46) = $3231,751.00b) El valor presente del enganche y de los 9 abonos bimestrales es el de una anualidad an-

ticipada.

C1 = 30,000(1 + 0.063/6)

C1 = 30,000(1.0105)(9.44595101)o C1 = US$286,354.00que en pesos mexicanos es:

C = 286,354.00(11.32) o C = $3241,527.34Consecuentemente, le conviene comprar la maquinaria en Mxico.

C R i p i pi p

np= +

+

(1 / ) 1 1( ( )/

1 1 01050 0105

10

( . ).

1 1 + ( / )/i p

i p

np1 1 0 072 12072 12

15 +

0

( . / ). /


solucin

Ejemplo 4

Resuelva el problema 3 considerando que la maquinaria se compra 6 meses despus, el d-lar estadounidense aumenta 0.13% cada semana, el canadiense aumenta 13 centavos pormes, el precio en Mxico se incrementa 0.32% cada quincena y las tasas de inters se man-tienen fijas.

Al cabo de 6 meses la paridad de la moneda canadiense ser:

10.46 + 0.13(6) = $11.24y el precio en esas fechas ser:

C = 308,962.8105(11.24)o C = $3472,741.99Cada dlar estadounidense costar:

11.32(1.0012)26 = 11.67853297y el precio en moneda nacional, 6 meses despus de ahora, ser:

C = 286,354.00(11.67853297)o C = $3344,194.63Finalmente, en Mxico costar:

C = 3230,000(1 + 0.0032)12o C = $3356,238.42Por lo tanto, dentro de seis meses se debera comprar en Estados Unidos segn en los resul-tados anteriores.

Ejemplo 5

solucin

Inversin para disposiciones que varan geomtricamente

Cunto debe depositar el seor Daz en una cuenta bancaria que bonifica intereses del 10.4%anual capitalizable por semestres, cuatro aos antes de que su hija comience sus estudiosprofesionales que duran 9 semestres? Suponga que la colegiatura actual es de $35,000 porsemestre, que aumenta 4.8% cada semestre y que debe pagarse al inicio de cada periodo se-mestral. Obtenga los intereses.

a) El diagrama de tiempo de la figura 6.2 puede ayudarnos a entender mejor el planteamientoy solucin del ejercicio.

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