Matemática Discreta Actividad Didáctica 4 Composición de dos relaciones

Actividad Didáctica 4

Composición de dos relaciones

Introducción

El producto booleano de dos matrices booleanas A[aij] y B[bij] de ordenes m k y k x n

respectivamente, es decir, el número de columnas de la matriz A tiene que ser igual al número

de filas de la matriz B, denotado como A B, es la matriz de C[cij] de orden m n cuyo

elemento (i, j) es cij donde

cij = (ai1 ai1) (ai2 ai2) … (aik akj)

Por ejemplo, calcular el producto booleano de A y B donde

A B =

=

TIP: El producto de matrices booleanas es similar al producto de matrices, pero en realidad es

más sencilla de obtener. Solo hay que seguir los siguientes pasos:

Seleccionar la fila de la matriz A y la columna de la matriz B y colocar una al lado de la otra.

Comparar los pares correspondientes. Basta que uno de los pares conste de dos 1 para que cij = 1, de otro modo cij = 0.

La matriz de la composición de dos relaciones puede hallarse usando el producto

booleano de las matrices de las relaciones. En particular, supóngase que R es una relación de A

en B y que S es una relación de B en C, supóngase que A, B y C tienen m, n y p elementos

respectivamente. Sean MSR = [tij], MR = [rij], MS = [Sij] las matrices asociadas a SR, R y S,

respectivamente (estas matrices son mp, mn y np, respectivamente). El par ordenado (ai,

cj) pertenece a SR si y sólo si, existe un elemento bk tal que (ai, bk) pertenece a R y (bk, cj)

pertenece a S. Se sigue que tij = 1, si y sólo si, rik = sjk =1 para algún k.

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Por definición del producto booleano, esto significa que MSR = MR MS.

Derive es un potente programa desarrollado Texas Instruments (TI) para el cálculo

matemático avanzado: variables, expresiones algebraicas, ecuaciones, funciones, vectores,

matrices, trigonometría, etc. Ya no se lo comercializa, y su desarrollo paso ahora como un

nuevo producto el TI-Nspire y ya no se vende por separado. Derive no era gratuito, pero puede

buscar en Internet un demo del mismo por 30 días.

Wiris (http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/index.html) es un editor y

calculadora de álgebra computacional usado en línea. Existe la versión Wiris Little que se

trabaja fuera de línea. Ha sustituido con gran éxito al programa Derive. Permite realizar

operaciones numéricas de todo tipo con cantidades naturales, enteras, fraccionarias, decimales

o incluso con números radicales; resuelve ecuaciones y sistemas, etc. Es capaz de operar con

matrices, calcular matrices inversas, traspuestas o determinantes.

Actividad: Comprobar con el programa Derive o el Wiris si se encuentra algún otro, que

MSR = MR MR. Para esto has que realizar los siguientes pasos:

Operación Instrucción y/o resultado

1. Definir los conjuntos A, B y C.

2. Definir R una relación de A en B y

S es una relación de B en C.

3. Obtener SR.

4. Obtener la matriz de relación de SR

(MSR).

5. En derive escribir la matriz de relación

de R (MR).

6. Con derive escribir la matriz de relación

de S (Ms).

7. Con derive obtener el producto

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booleano MR MS. Verificar que es la

misma matriz que MSR.

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