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Curvas maravillosas

Vicente Viana Martnez Pg 1

CURVAS MARAVILLOSAS

1.- Introduccin

A pesar del sugerente ttulo, el contenido de este trabajo no tiene nada de contenido ertico. Ms bien vamos a tratar con figuras geomtricas planas.

Previamente, repasemos el concepto matemtico de funcin. Una funcin es una relacin entre dos o ms variables, expresable trminos matemticos.

y = f (x1, x2, x3, )

Nosotros vamos a tratar en este trabajo, nicamente con funciones de una sola variable.

y = f(x)

2.- Tipos de funciones

Dado que vamos a limitar nuestro estudio a curvas en el plano y un punto en el plano tiene dos grados de libertad, trabajaremos con UNA sola variable.

Una coordenada puede variar libremente, pero la otra est obligada a tomar determinados valores, condicionados por la expresin matemtica que define la funcin.

La variable independiente puede tomar cualquier valor. La variable dependiente o funcin va tomando valores, en funcin de la primera. Habitualmente, en Matemticas, la variable inde-pendiente la simbolizamos con la letra x y la variable dependiente con la letra y.

Cuando la variable y est despejada, a un lado del smbolo de igualdad, decimos que la fun-cin est en forma explcita.

y = 2x3 3x + 10

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Cuando la x y la y estn unidas entre s, mediante operadores matemticos decimos que la funcin est expresada en forma implcita.

x2y2 xy = 1

Cuando la x y la y estn relacionadas en ecuaciones separadas, por un parmetro comn "t", decimos que la funcin est expresada en forma paramtrica. Obviamente despejando el parme-tro "t" en una de las ecuaciones y sustituyendo en la otra, obtendramos la funcin en forma impl-cita.

x = cos3 t

y = sen3 t

3.- Representaciones grficas

En todo caso lo que a nosotros nos interesa es la representacin grfica de las funciones. Para ello utilizaremos las formas de representacin; cartesiana, polar y paramtrica.

1) Coordenadas cartesianas o rectangulares La x la representaremos en el eje horizontal, llamado eje de abscisas y la variable y en el

eje vertical, llamado eje de ordenadas. Cada pareja de valores P (x, y) representa un punto en el plano. La unin del conjunto de puntos conforma una lnea (recta o curva) que nos permite visua-lizar grficamente la funcin.

X

Y

O

P(x,y)

y = f(x)

X

Y

O

P(x,y)

y

x

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2) Coordenadas polares

Podemos representar un punto en el plano conociendo la distancia r del origen al punto y el

ngulo (en radianes) que forma ese radio con el eje horizontal.

3) Coordenadas paramtricas Podemos representar la posicin de un punto usando la llamada forma paramtrica. Con

esta forma, las coordenadas x e y son ambas funcin de un parmetro comn t. Se expresa como.

x = x(t) y = y(t)

Dando distntos valores a t, obtenemos todos los puntos P(x,y) que conforman el desarrollo de la curva.

RESUMEN:

Forma rectangular : y = f(x)

Forma polar: r = r()

Forma paramtrica:

X O

P(r,)

r

x = x(t) y = y(t)

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4.- Software para representacin de funciones

Es evidente que la representacin grfica supone ir calculando uno a uno cada punto de la funcin y luego unirlos. Salvo en el caso de una recta, que con tan solo dos puntos, podemos di-bujar la funcin completa, en el resto de los casos, el proceso manual es realmente penoso y en-tretenido.

Por ello, resulta de gran inters disponer de una herramienta informtica que nos ahorre ese trabajo. El programa elegido con el que vamos a trabajar es el Advanced Graphics.

Advanced Graphics es un sencillsimo programa de poco ms de 1 Mb de tamao, que una vez instalado en nuestro ordenador, nos permite visualizar, entender y analizar las propiedades de una funcin matemtica de forma perfectamente comprensible gracias a su agradable entorno gr-fico.

Existen otros programas informticos como Derive o MatLab muchsimo ms potentes y en muchos casos preferibles. Son excelentes programas matemticos muy completos entre cuyas ex-tenssimas posibilidades est incluida la representacin de funciones. En el caso de Advanced Graphics se trata de un programa exclusivamente para la representacin de funciones en 2-D y como nicos complementos permite obtener la funcin derivada y el clculo de integrales defini-das (reas) Eso s, permite el uso de coordenadas rectangulares, polares y paramtricas, inclu-yendo tambin la posibilidad de presentar varias funciones en la pantalla usando distintos colores y distintos grosores en el trazo, as como encontrar puntos de corte, ceros de la funcin y tablas de valores.

El programa es muy intuitivo y prcticamente no es necesario aprender ningn extenso ma-nual. De todas formas, cuando se est un cierto tiempo sin usarlo se hace necesario repasar las op-ciones ms interesantes y por ello la conveniencia de contar con este breve manual.

Este programa puede ser de gran utilidad para los alumnos y profesores de Secundaria como elemento didctico y tambin para alumnos de Bachillerato y Universidad, principalmente en la enseanza y aprendizaje de las Matemticas, comenzando por la representacin de funciones sen-cillas y posteriormente con el anlisis funcional. Encontrar los ceros de funciones polinmicas, vi-sualizar la funcin derivada, o el clculo de integrales definidas son aspectos importantes y muy frecuentes en la prctica diaria docente.

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Aspectos que se comprenden muchsimo mejor cuando puede visualizarse la funcin mate-mtica, escrita algebraicamente, sobre la pantalla del ordenador o bien imprimindola sobre papel usando colores. No menos importante es el uso de las funciones en coordenadas polares y param-tricas aspectos que siempre aparecen desdibujados en los contenidos curriculares.

Igualmente, en Fsica y en Qumica, a la hora de obtener ecuaciones del movimiento, tra-yectorias, encuentros, grficas del movimiento ondulatorio, etc. junto con la no menos importante representacin de tablas de valores obtenidos en las prcticas de laboratorio, el programa resulta muy prctico y de una gran ayuda didctica por su capacidad de visualizar ciertos fenmenos f-sico-qumicos.

Tambin para los profesores que deseen editar apuntes, escribir libros de texto, etc o bien alumnos que vayan a presentar trabajos, memorias, proyectos, Advanced Graphics les permite obtener grficas de funciones para posteriormente exportarlas como ficheros grficos con exten-sin "bmp" e insertar esa imagen en el texto en el que estn trabajando.

5.- Utilidades de las curvas matemticas

El estudio de las curvas (funciones) matemticas, junto con sus propiedades, vinculaciones y representaciones, constiuye un extenso, atrayente y no totalmente explorado tema dentro de las Matemticas. De la pura belleza formal se ha pasado a importantes aplicaciones dentro del mundo de la ingeniera, ya sea en pequeos mecanismos o en megaestructuras, aparte de su utilizacin en arquitectura, diseo, representaciones artsticas, sin olvidarnos de sus aplicaciones en Mecnica celeste y el estudio de las formas geomtricas de algunas formas de vida.

Es realmente fascinante que la Naturaleza, ya sea a nivel puramente visual como a nivel es-

tructural pueda llegar a describirse en formas geomtricas perfectamente reproducibles como fun-ciones matemticas.

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6.- Las primeras curvas. Curvas histricas

1) Cardioide vdeo cardioide video cardioide2 videocardioide3 r = 4(1 cos )

2) Caracol de Pascal r = 4cos - 3 video caracol Pascal video caracol Pascal2

3) Astroide video astroide

32

32

32

ayx =+

4) Cisoide de Diocles video cisoide Diocles

=

cos

sen10r

2

5) Concoide de Nicomedes video concoide Nicomedes

10cos

2r

=

La cardioide es la ms sencilla de las epicicloides: es la curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar alrededor de otra circunferencia de igual radio.

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6) Folio de Descartes vdeo folio Descartes

+

= 33 sencos

cossen3r

7) Lemniscata de Bernouilli video leminiscata Bernouilli = 2cos2r

8) Lemniscata de Geromo

9) Cocloide video cocloide

ttsen

ar =

10) Concoide de Pascal

( )2

22

xaxa

xky +

=

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11) Bicorne video Bicorne x = asen t

( )tcos2tcos

ay2

=

12) Curtica periforme

( )xaxb1y 3 =

13) Curva de Lam

1by

a

x22

=

+

14) Parbola de Neile o semicbica video parabola Neile 3 2xay =

15) Nefroide video nefroide video nefroide2 ( )( )( )( )t3sentsen3ay

t3costcos3ax=

=

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16) Serpentina video serpentina Newton

( )22 dxxday

+=

17) Tricspide o deltoide x = a(2cos t + cos 2t) y = a(2sen t - sen 2t)

18) Tridente de Newton

( )dxcxbxax

1y 23 +++=

19) Trisectriz de Mac Laurin ( )( )xa

xa3xy

+

=

20) Bruja de Agnesi

22

3

a4xa8y

+=

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21) Estrofoide de Newton x = asen t

y = atg t(1 - sen t)

22) Curva del diablo

t2cosabr 2

22 +=

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7.- Las espirales y los folios

1) Espiral de Arqumedes r = 0,8

2) Espiral logartmica r = 2e0,3

3) Espiral de Fermat tar =

4) Espiral hiperblica

ta

r =

5) Lituus

ta

r =

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6) Folios r = sen 2

r = sen 6

7)Trifolio r = acos 3t

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8.- Las cicloides

Forman un conjunto de curvas que representan el lugar geomtrico de los puntos situados sobre una rueda (circunferencia generatriz) cuando sta gira uniformemente sin resbalar sobre una superficie lisa.

a) Si el punto est sobre la periferia de la circunferencia gene-ratriz a una distancia del centro = radio r, se forma la cicloide co-mn.

x = 2t 2sen t

y = 2(1 cos t)

El rea encerrada por un arco de ci-cloide es igual a 3 veces el rea del crculo generatriz. En esa posicin el rea del cr-culo (en blanco) es igual a cada una de las zonas sombreadas de los lados.

La longitud del arco de cicloide es igual a 4 veces la longitud del dimetro del crculo gene-rador

b) Si el punto est sobre el radio de la circunferencia genera-triz a una distancia < r, se forma una cicloide acortada.

x = 2t 4sen t

y = 2 4cos t

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c) Si el punto est situado a una distancia del centro de la circunferencia generatriz > r, se forma una cicloide alargada.

x = 4t 2sen t

y = 4 2cos t

La cicloide alargada se puede visualizar en las rue-das de los trenes. Curiosamente en un tren en marcha existen algunos puntos que, en un instante determinado, se mueven hacia atrs.

d) La braquistocrona es la curva que proporciona la trayectoria de un cuerpo que cae libremente entre dos puntos cualesquiera en un tiempo mnimo.

Se demuestra que esa curva es justamente un segmento de cicloide comn invertido.

e) Si hacemos rodar una moneda sobre otra del mismo tamao, el punto de contacto ir desplazndose a lo largo de la moneda fija.

Cundo ese punto ha avanzado hasta la mitad de la circunferencia, ve-mos que la moneda mvil (la ruleta) vuelve a quedar boca arriba.

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f) Puede suceder que una rueda pequea gire sin deslizar por el interior de otra circunferen-cia de radio mayor. Un punto cualquiera de la circunferencia pequea describe un lugar geom-trico, una curva llamada hipocicloide.

Coprnico demostr que cuando un crculo rueda dentro de otro crculo de radio doble, cada punto de la circunferencia del cr-culo pequeo describe una lnea recta.

Si la rodadura se realiza por el exterior del crculo, las curvas engendradas se llaman epicicloides.

La relacin de radios entre el crculo fijo R (base) y el crculo mvil (ruleta) r, da lugar a distintas situaciones.

Cuando r

R es irracional, un punto a de la ruleta que ha estado en contacto con otro punto b

de la base, NO volvern a coincidir jams, independientemente del nmero de vueltas que d.

Cuando r

R es un nmero racional, S volvern a coincidir.

Cuando r

R es un nmero entero, a retorna a b, al completar la ruleta una revolucin y ten-

dr r

R culminaciones

La deltoide de la figura corresponde a una hipocicloide de r

R = 3

La astroide de la figura corresponde a una hipocicloide de r

R = 4

Cuando r

R = 2, se produce una situacin curiosa, la hipocicloide degenera convirtindose

en una recta (el dimetro de la base). (ver hiptesis de Coprnico).

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Las epicicloides producen un tipo de curvas interesantes. Esa figura se genera cuando los radios de la base y de la ruleta son igua-les y el punto pertenece a la periferia de la ruleta. En ese caso, se forma una cardioide.

9.- Las cnicas

Las cnicas representan una familia de curvas planas que tienen en comn ser el resultado de la interseccin de un plano con una superficie cnica.

Si el plano es paralelo a la base del cono se obtiene una circunferencia. Si el plano corta oblicuamente a la superficie cnica se obtiene una elipse. Si el plano es paralelo a la generatriz del cono obtenemos una parbola. Si el cono es perpendicular a la base del cono obtenemos dos ramas de hiprbola.

1) La circunferencia La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro. En un sistema de coordenadas XOY.

C .......... representa el centro, de coordenadas (a,b) P .......... representa un punto genrico de la circunferencia de coordenadas (x, y) r ........... representa el radio de la circunferencia.

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El crculo es la figura geomtrica que encierra un rea mxima, para un mismo valor de su permetro.

Haciendo girar el crculo alrededor de un dimetro, obtenemos una esfera, la cual encierra un volumen mximo para una superficie dada.

La Naturaleza adopta estructuras esfricas de manera natural, es la forma de mxima estabili-dad.

Las gotas de lluvia tienen forma esfrica. Pompas de jabn. Los cuerpos celestes; planetas, so-les son de forma esfrica.

En ingeniera, para disminuir costes, se usan recipientes esfricos o cilndricos con bases semiesfricas para el almacenaje y transporte de lquidos, combustibles, etc.

Adems, la distribucin de esfuerzos en sus paredes es homognea. Los arcos semicirculares permiten salvar amplios vanos en ingeniera (puentes, viaductos, cu-

biertas). Los esfuerzos se distribuyen de forma que el vano es estable, no rompe por el centro, pero a cambio transmite grandes esfuerzos horizontales en los apoyos.

Desde Pitgoras, Platn, Aristteles, Ptolomeo, Coprnico, se le han atribuido a la cir-cunferencia unas propiedades de perfeccin, por encima de cualquier otra curva.

Por ello se pens durante milenios que los objetos celestes describan rbitas circulares.

2) La elipse

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos de un plano cuya suma de las distancias a dos fijos, llamados focos, dan una cantidad constante.

AA = 2a ................. representa el eje mayor de la elipse (a = semieje mayor) BB = 2b .................. representa el eje menor de la elipse (b = semieje menor) FF= 2c .................... representa la distancia focal (c = semidistancia focal) FM = r, FM = r ...... representan los radios vectores

la distancia focal c es menor que el semieje mayor a. c < a

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el cociente ea

c= se llama excentricidad de la elipse. Indica su mayor o menor achatamiento.

La excentricidad oscila entre los valores (0 1). Si la excentricidad vale 0, estamos ante una circunferencia. Si la excentricidad vale 1 estamos

ante una lnea recta.

Y en forma explcita.

22xa

a

by =

b,2) Formas elpticas

1by

a

x2

2

2

2

=+

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b,3) Elipse. Construccin grfica (1)

Tomemos un cordel y fijemos sus extremos mediante dos chinchetas A y B al plano, de forma que el cordel quede suelto, con una cierta holgura.

Con la ayuda de un lpiz estiramos hasta que el hilo quede tenso.

Desplazamos el hilo sobre el papel, manteniendo en todo momento el cordel tenso. De esa forma dibujamos una semielipse. Pasando el lpiz al otro lado del hilo dibujaremos la otra semielipse.

Los puntos fijos A y B son los focos de la elipse.

b,3) Elipse. Construccin grfica (2) Dibuja y recorta un crculo de cartulina

de unos 16 cm de dimetro. A unos 2 cm del borde marca un punto

A.

Pliega el crculo a lo largo de una cuerda cualquiera PQ, pero de forma que el borde de la cartulina pase por A. Seala con un lpiz la marca de plegado PQ.

Una vez desdoblado, repite el proceso con otra cuerda P'Q' y vuelve a marcar la lnea de plegado con un lpiz.

Repitiendo el proceso varias veces, esas lneas de plegado delimitan una elipse. Son l-neas tangentes a la elipse y se llaman envol-

ventes de la elipse.

c,3) Curiosidades. Mesa de billar elptica

En una mesa de billar elptica, la trayectoria de la bola gol-peada de forma que NO pase entre los focos, es una lnea que-brada cuyos tramos son tangentes a una elipse ms pequea con los MISMOS focos que la elipse inicial.

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Si la tacada inicial hace pasar la bola entre los focos, volver a pasar entre ellos al rebotar en la banda. Por lo tanto, continuar siempre de igual modo. Su trayectoria consistir en tangentes a una hiprbola con iguales focos que la elipse.

Si la bola pasa por uno de los focos, despus de rebotar en una banda pasar por el otro foco. Al cabo de unos cuantos rebotes, su trayectoria se aproxima mucho al eje de la elipse.

c,3) Curiosidades. espejo elptico Si curvamos una estrecha franja metlica bien pu-

lida en forma de elipse y colocamos en uno de sus focos F1 una fuente de luz, despus de reflejarse en la lmina metlica, los rayos de luz convergern en el otro foco F2 . En ese punto se ver pues, una fuente de luz, imagen de la primera.

c,4) rea y longitud de una elipse rea de una elipse: ............. A = piab Longitud de una elipse: ...... L = ...??? Curiosamente, NO existe ninguna frmula exacta que nos d el valor de la longitud de una

elipse. Se trata de resolver una integral elptica de segunda especie. Para valores prximos de a y b.

( )baL +pi Frmula de Ramanujan, mayor precisin.

( ) ( )[ ]b3aba3)ba(3L +++pi

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3) La parbola

La parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz), fijos en el plano

c,2) Ecuacin de la parbola

Por definicin de la parbola, el punto O equidista del foco F y del punto D.

( )22

0y2p

xMF +

=

2p

xMN +=

MF = MN

22

y2p

x +

=

2p

x +

Elevando al cuadrado y agrupando.

Si el parmetro p fuera negativo, la parbola se sita a la izquierda del eje de ordenadas. La ecuacin anterior corresponde a una parbola con el eje coincidente con el eje de absci-

sas.

Si el eje de la parbola fuera vertical, entonces la ecuacin anterior se transforma en.

F ............... es el foco de la parbola DD............ es la directriz de la parbola FM ............ radio vector DX ............ eje de la parbola A ............... vrtice la parbola FD = p ...... parmetro de la parbola

y2 = 2px

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x2 = 2py

2xp2

1y =

Si el parmetro p fuera negativo, la parbola se sita por debajo del eje de abscisas.

c,3) Trazado de una parbola Trazamos la recta D1D2 y tomamos un punto cualquiera F, exterior

a la misma.

Con una chincheta fijamos el extremo de un cordel de longitud SN al extremo S de la escuadra y el otro extremo lo fijamos con otra chincheta al punto F llamado foco.

Colocamos la punta del lpiz en M, de forma que el cordel quede tenso segn los segmentos FM y MS.

Desplazamos la escuadra a lo largo de la directriz D1D2 y la punta del lpiz, si mantenemos el cordel tenso, dibujar una parbola.

c,4) Curiosidades. Espejo parablico Curvamos una estrecha franja metlica bien pulida dndole

la forma de un arco de parbola. Los rayos de una fuente luminosa situada en el foco F de la

parbola, despus de reflejarse, irn paralelos al eje de la parbola.

De igual forma, rayos de luz paralelos al eje se reflejarn pasando todos ellos por el foco de la parbola.

Ejemplos; los reflectores, los faros de los automviles, las antenas de TV, los espejos de los telescopios re-flectores (de Newton).

Estas superficies pueden obtenerse haciendo girar un vaso cilndrico, conteniendo un lquido, alre-dedor de su eje.

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c,4) Curiosidades. Tiro parablico Al lanzar un objeto con una cierta velocidad inicial v, formando un cierto ngulo con la

horizontal, al principio el objeto va subiendo, pero poco a poco se va frenando hasta caer al suelo de nuevo.

Es el caso del saque de puerta de un portero de ftbol. La curva descrita por el baln es una parbola.

En realidad esto slo es cierto en ausencia de rozamiento con el aire. Esta situacin es aplicable al tiro de proyectiles (balstica), incluido el lanzamiento de bombas

desde un avin. Se comprueba que el mximo alcance se obtiene con un ngulo de lanzamiento de 45. La curva envolvente a todas las trayec-

torias parablicas descritas por un pro-yectil lanzado con la misma velocidad pero con distintos ngulos de lanza-miento es la llamada parbola de segu-ridad.

Los chorros de agua de las fuentes o una manguera de riego, describen tra-yectorias parablicas.

Los cables que sostienen los puentes colgantes, bajo la accin de una carga horizontal uniforme, tiene forma para-

blica.

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4) La hiprbola

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano, cuyas distancias a dos fijos, restadas, dan una cantidad constante.

F y F .......................... focos de la hiprbola r y r ............................ radios vectores (r r = 2a) AA= 2a .................... eje principal o real BB ............................. eje secundario o imaginario FF .............................. distancia focal = 2c A y A ......................... vrtices de la hiprbola

a

c= e ........................... excentricidad de la hiprbola (siempre > 1)

la diferencia de los radios vectores en cualquier punto de la hiprbola = 2a el eje secundario no corta a la hiprbola los ejes de la hiprbola son ejes de simetra

d,1) Ecuacin de la hiprbola De la definicin de hiprbola. MF MF = 2a

( ) ( ) a2ycxycx 2222 =+++ Aislando uno de los radicales, elevando al cua-

drado y simplificando, queda. (c2 a2)x2 a2y2 = a2(c2 a2) c2 a2 = b2

En forma explcita.

1by

a

x2

2

2

2

=

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22 axa

by =

Donde se aprecia que y no es real para valores de x comprendidos entre a y + a.

d,2) Construccin Hiprbola (1) Fijamos dos puntos F1 y F2 (los focos) con dos chinchetas. Al mismo tiempo fijamos la posicin de una regla de forma que

pueda girar alrededor de F1. Tomamos un hilo, de longitud menor que la regla, fijamos un ex-

tremo al extremo de la regla en S y el otro extremo en F2. Ponemos el hilo tenso con la ayuda de la punta de un lpiz M, de

forma que apoye sobre la regla, tal como se indica en la figura. Obsrvese que. (MF1 + MS) - (MF2 + MS) = F1S (MF2 + MS) Girando la regla alrededor del punto fijo F1 y apretando contra

ella el lpiz trazaremos una curva que es la hiprbola. En realidad tra-zamos la parte superior derecha. Por simetra, repitiendo el proceso, obtenemos las otras tres ramas.

Con una regla ms larga y mayor longitud del hilo, aumentamos la longitud de la curva. El punto O es el centro de la hiprbola y los puntos A1 y A2 son los vrtices de la hiprbola.

d,2) Construccin Hiprbola (2)

Otra forma rpida de trazar la hiprbola consiste en dibujar un rec-tngulo cuyos ejes de simetra van a ser los ejes de simetra de la hiprbola.

El punto de corte de los ejes con uno de los lados verticales marca la posicin de los vrtices A1 y A2.

Trazamos ahora las diagonales del rectngulo y las prolongamos (se cortan en el centro O). Las diagonales son las asntotas de la hiprbola.

Con la ayuda de los ejes, del centro, las asntotas y los vrtices, es fa-cilsimo y rpido el trazado aproximado de una hiprbola.

Si en vez de un rectngulo hubisemos empleado un cuadrado, el re-sultado hubiera sido una hiprbola equiltera tal como se observa en la figura adjunta.

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10.- Aplicaciones de las cnicas. Mecnica celeste.

El problema de situar un cuerpo en rbita alrededor de la Tie-rra ya fue estudiado por Newton segn se observa en el dibujo ad-junto. Si deseamos una rbita circular entonces tendremos que co-municarle al objeto una velocidad tangencial (perpendicular al ra-

dio), tal que se compense la cada gravitacional con el avance recto. De forma que mantenga

siempre la misma distancia sobre la superficie terrestre.

Sabemos que un cuerpo cae 4,9 metros cada segundo. Debemos lanzar pues, con una velocidad tal que en 1 segundo el cuerpo siga estando a R me-tros del centro de la Tierra.

La distancia AB debe ser. AB2 = (R + 4,9)2 R2

AB2 = 9,8R + 4,92

AB = 7.906 m

v = 7,9 km/seg

A esta velocidad la llamaremos velocidad circular.

Esta velocidad disminuye, aunque muy poco al aumentar la altura R de lanzamiento.

La rbita descrita por el satlite depender pues, de la velocidad de lanzamiento.

R = 6.378 km

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Cuando v < vcircular el cuerpo describe una rbita elptica de foco lejano el centro de gravedad de la Tierra (punto de lanzamiento en el apogeo), que corta a la superficie terrestre y por tanto despus de un breve vuelo vuelve a caer a la Tierra.

Si v = vcircular la rbita es circular y con-cntrica con la Tierra.

Si v > vcircular y v < vescape el satlite des-cribe una elipse de foco prximo (punto de lanzamiento en el perigeo) en el centro de gravedad de la Tierra.

Cuando v = vescape el satlite describe una parbola cuyas dos ramas se alejan hacia el infinito, aumentando paulatinamente la velocidad

del satlite mientras se va alejando.

Para v > vescape el satlite describe una rbita hiperblica y su velocidad mantiene un valor constante mientras se aleja.

En concreto, para situar un satlite en rbita en torno a la Tierra necesitamos, en primer lugar,

elevar la altura de lanzamiento hasta alcanzar el punto de su trayectoria (elipse) ms prximo a la Tierra (perigeo) y una vez situado en dicho punto comunicarle una velocidad, perpendicular a R, de valor menor que la velocidad de escape (11,2 km/seg) y mayor que la velocidad circular (7,9 km/seg), aproximadamente de unos 8 km/seg.

11.- Las curvas trigonomtricas 1) Seno

Las funciones senoidales son particu-larmente tiles para representar movimientos

peridicos, que van repitindose constante-mente cada cierto tiempo. Por ejemplo, la po-sicin de un pndulo oscilante, los movimien-tos ondulatorios en general, estudio de las co-rrientes alternas, etc.

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2) Coseno

3) Tangente

4) Cosecante

5) Secante

6) Cotangente

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12.- Funciones exponenciales, logartmicas e hiperblicas

1) Campana de Gauss

2x 2

e21y

pi=

2) Funcin Exponencial y = ex

Las funciones exponenciales aparecen en las situaciones

donde el ritmo de crecimiento o decrecimiento, de la funcin es proporcional al valor de la variable.

Por ejemplo en el ritmo de crecimiento de una poblacin, en el pago de las amortizaciones de una deuda bancaria, en construccin para dar lige-reza sin perder resistencia, en la tasa de desintegracin de un material ra-diactivo

3) Funcin logartmica y = ln x

Es la inversa de la funcin exponencial.

4) Catenaria Es la curva que adopta una cadena o un cable con peso propio (cable de alta tensin)

cuando cuelga libremente de sus extremos.

( )[ ]1xahcosa

1y =

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Una catenaria invertida es un elemento arquitectnico (arco) empleado entre otros por An-tonio Gaud.

10.- Otras curvas interesantes

1) Lemniscatas Es el lugar geomtrico de los puntos del plano, tal que el producto p de las distancias de

esos puntos a dos fijos F1 y F2 llamados focos, permanece constante.

La distancia OF1 = OF2 = 2c

Consideremos primero el caso en que el producto constante 4cp

2

=

Obtenemos la curva de la derecha. La interseccin de la curva con el eje

horizontal produce los puntos A1 y A2. A1A2 = x

Se demuestra que. c2x =

Existe una relacin entre la lemniscata y la hiprbola equiltera.

Si el producto p es distinto de 4c2

la lemniscata adopta otras formas.

Cuando, 4cp

2

< la lemniscata tiene forma de dos

valos separados, cada uno de ellos contiene a uno de los focos.

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Cuando, 4cp

4c 22

>> la lemniscata tiene una forma de

bizcocho.

En la figura adjunta aparece una familia de lemniscatas para distintos valores de p.

2) Tractriz Es la trayectoria de un punto arrastrado por otro que se

mueve en lnea recta.

+

+=x

x11lnx1y2

2

Y en forma paramtrica.

ttanhtytcosh

1x

=

=

Tambin se la llama la curva "del perro perezoso", inicialmente en su caseta P y el dueo A, con la correa AP lo saca a pasear tirando hori-zontalmente de la correa en la direccin de la flecha, pero el perro NO quiere abandonar la caseta y se resiste. De la composicin de ambas fuerzas, aparece la tractriz como la curva que describe las sucesivas po-siciones de ese "perro perezoso".

3) Loxodroma Es la trayectoria que describe un vehculo; avin, barco, que viaja con rumbo constante

desde el ecuador hacia los polos, interceptando a los meridianos bajo un ngulo constante. Nave-gar de esa forma es ms sencillo pero el viaje es ms largo. Sobre todo cuando nos acercamos a los polos, entonces la trayectoria se va curvando en forma de una espiral.

Curvas maravillosas


Sobre un planisferio, la loxodroma es una lnea recta, pero sobre un globo terrqueo forma una lnea espiral logartmica.

4) Clotoide

La clotoide, tambin denominada espiral de Corn en honor

de Marie Alfred Cornu, es una curva cuyo radio de curvatura va-ra gradualmente de manera inversamente proporcional a la distan-cia s recorrida sobre la curva.

La expresin matemtica usual es:

Cs)s( =

siendo: .. el radio de curvatura

s .. la distancia o arco recorrido sobre la curva

C .. la constante de la clotoide

En forma paramtrica, la clotoide se expresa como.

)t(cos)t(sen)t('s)t('C 22 +=+

La espiral de Cornu tiene la propiedad de su curvatura en cualquier punto es proporcional a

la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. Esta propiedad hace que sea til como curva de transicin en el trazado de autopistas o ferrocarriles, puesto que un vehculo que siga di-

cha curva a velocidad constante tendr una aceleracin angular constante. As dicha curva se uti-liza en trazados de carreteras y, especialmente, ferroviarios, con el fin de evitar discontinuidades

en la aceleracin centrfuga de los vehculos.

Curvas maravillosas


Se utiliza como curva de transicin entre un tramo recto y otro circular. De esta manera el tipo de curva ms usual en carreteras es: "Tramo recto - Clo-toide - Circular - Clotoide - Tramo recto".

Igualmente las secciones de esta espiral clotoide son usadas comnmente en montaas rusas por lo que algunas vueltas completas se conocen como loops "clotoides".

Permiten una variacin gradual del radio de curvatura de la trayectoria con el propsito de suavizar el encuentro de una recta con una curva circular de un radio determinado.

La fuerza centrifuga es nula en una recta. Al entrar en una curva adquiere un valor determi-nado lo cual hace que un vehiculo corra el riesgo de salirse a la entrada de una curva si no reduce la velocidad, con lo cual disminuir el valor de la fuerza centrifuga. Una curva de transicin al te-ner una variacin gradual, uniforme de su radio, la fuerza centrfuga tambin vara de una forma gradual, uniforme. As se pueden evitar los accidentes debidos a variaciones bruscas en el radio de curvatura y consecuentemente en la fuerza centrfuga.

Ventajas:

Permiten una marcha regular y cmoda, la adaptacin al paisaje es excelente, reduce los movi-mientos de tierra con respecto a un trazado clsico de rectas y crculos y de este modo su im-pacto ambiental es menor.

Mejora la perspectiva desde el punto de vista del conductor. Las curvas de transicin permiten una visin a mayor distancia y le dan al conductor la sensacin de un camino perfectamente regulado.

Los tipos de curvas de transicin ms utilizadas son: La clotoide, la lemmniscata y la par-bola cbica.

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