Curso Propedeutico 2013 Calculo Ok

CURSO PROPEDEUTICO

b. Integración por sustitución c. Integración por partes d. Teorema fundamental del cálculo e. Integral definida

DERIVADASTEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS

Teorema 1. La derivada de una función constante es cero

Ejemplo:

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

Teorema 2

Si entonces es derivable

sobre y

Ejemplo:

1.

2.

3.

CURSO PROPEDEUTICO CÁLCULOMDN. EDNA EDITH SOLANO MENESES JULIO 2013 Página 1

Teorema 3

Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien

definida, entonces es derivable en y

Ejemplo:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.

5.

6.

7.

1 1 51

4 4 41 1

( )4 4xD x x x

8.

Teorema 4

Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la

función para la que es derivable sobre , además .

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.


5.

Teorema 5

Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función es derivable

sobre y además , para .

donde son funciones derivables sobre un intervalo .

Ejemplos:

1.

2.

3.

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre ,

y además para cualquier se tiene que

Ejemplos:

1.

2.


Teorema 6

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es

derivable sobre , y además para cualquier se tiene que

Ejemplos:

1.

2.

3.

, con a, b, c, k constantes.

4.

Teorema 7

Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo

entonces la función es derivable sobre , y además para

cualquier y se tiene que


Ejemplos:

1.

con

2.

con


3.

con

OPERACIONES DE FUNCIONES

Función Suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma está dada por

( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:

( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1

( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.


Solución: La función f + g se define como (f + g) (x) = f(x) + g(x) = 3x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3. (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,

Función Diferencia

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia está dada por

( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces:

( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2

( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2

Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Solución:


Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Función Producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto está dada por

( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y h (x) = x - 2 entonces:

( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2

( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75

Resolución:

Función Cociente

Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente está dada por

( fg )( x )=

f ( x )g( x )

donde g( x )≠0


Ejemplo Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x 2 entonces:

1.( g

f )( x )=g( x )f ( x )

= x2

2 x+1donde 2 x+1≠0

Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Solución:

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y

después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función

definida por

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.


Solución:

Ejemplo

Sea f ( x )=3 x−1 y g( x )=x+5 , entonces:

f ∘g( x )=f ( g (x ))=f ( x+5)=3( x+5)−1=3 x+15+1=3 x+16g∘f ( x )=g ( f (x ))=g(3 x−1 )=3 x−1+5=3 x+4

Ejercicios

Sea f ( x )= 1 - x , g ( x )=(x + 1)2 , h ( x )=√ x-1 , j( x )=x2+1 , halla las funciones indicadas e identifica el Dominio de cada una de ellas.


1. ( f + g ) (x)

2. ( g – f ) ( x ) (x=2)

3. (j·f )(x) ( x= -1 )

4. (g/f)(x)

5. (f/j(x))

6. j°f(x))

7. h°(j(x))

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS


Ejercicios

1) f(x) = ln (2x2 + 4).

2) f(x) = ln (x2 + 6)

3) g(x) = ln x2


6) h(x) = ln (x2 + 3)

7) y = ln x4

8) y = (ln x)4

9) y = x ln x

Ejercicios

1) y = log10 (3x + 1)

2) y = log2 (x2 + 1)

3) y = log10 (x4 + 13)

5) f(x) = log2 (x3 + 1).

6) y = log3 x

7) y = log10 2x

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la

base y por la derivada del exponente

f(x)= au

f´(x)= u´ au In a


DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE E


La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del

exponente

f(x)=e u

f´ (x) = u´e u

f(x)=e3-x2

f´ (x) = -2xe 3 - x 2

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1) f(x) = e2x

2 ) y=e−2 x+ x2

3) y=e√x

4) g(x) = (e –x + e x)3

5) y = x2 e-x

6) y = x2 ex – 2x ex + 2 ex

7) f(x) = 4x

8) g(x) = 5 x – 2

9) h(x) = 2e x + 1

10) f(x) = 4 –x + !

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN

Calcula la 3ª derivada de las siguientes funciones:

1)f(x) = x 6 -3x 2 +4x +1

f ' (x) = 6x 5 - 6x +4

f '' (x) = 30x 4-6


f ''' (x) = 120 x

2. f(x) = x 4+ 2x 3-3x 2 + 4x -10

f'(x) = 4x 3+6x 2 -6x + 4

f '' (x) = 12x 2 + 12x + 6

f'''(x) = 24x + 12

f''''(x) = 24

f'''''(x) = 0

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

DERIVADAS IMPLÍCITAS

Ejemplo:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;


.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica

la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación

claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

Ejercicios:


x2+y2=1

x3-3x2y+2xy2=12

x2+y2=25

xy2+x2y=3

x2y+xy2=3x

4x2y+3y=x3-1

X2+5y3=x+9

x2 y3+2 xy−3+5 x+3 y+11=0

x3 y−2+3 x−3 y+3=0

4 xy3−x2 y+x3−5x+6=0

5 x2−xy−4 y2=0

DIFERENCIAL

Sea una función y = f (x).

Se define como la diferencial de la variable independiente a: dx = Δx

Se define como la diferencial de la variable dependiente a: dy = f '(x)× dx

Esto significa que la diferencial de la variable x es por definición igual al incremento que experimenta,

sin embargo, la diferencial de la variable y no es igual su incremento:

dx = Δx

dy≠ Δy

Ejemplo.

Obtener la diferencial dy de la función y = 4x2 - 6x + 5.


Solución:

dy = (8x - 6)dx

Ejemplo.

Sea y = x2

Obteniendo la diferencial de y : dy = 2x ×dx

Para efectuar el cálculo de la diferencial general dy de una función y f x, basta con aplicar las

fórmulas de derivación y después multiplicar el resultado por dx.

Ejemplos.

Obtener la diferencial dy de las siguientes funciones:

1) y = -4 x3 + 10x2 - 5x +7

dy= (- 12x2+ 20X-5)dx

2) y= 9/x3

y=9x-3

dy=-27x-4 dx

3) y =( 5x)( 4x) = 20x2

dy=40xdx

TEOREMA PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Teorema 1.

"La antiderivación proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada.


El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe donde

y

En la igualdad

x es la variable de integración,

es el integrando y la expresión

recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f.

Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean también es el conjunto de todas las funciones

Teorema 2.

Teorema 3.

donde a es una constante.

Teorema 4.

Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces

Teorema 5.


Si las funciones están definidas en el mismo intervalo, entonces

donde son constantes.

Teorema 6.

Si n es un número racional, entonces

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

2) Calcule

Solución.


3) Determine

Solución.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante

al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son

deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se

presentan tales teoremas.

Teorema 7.

Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.


Teorema 11.

Teorema 12.

Ejercicios

1. ʃ5x-5

2. ʃ-3x5+4x2-4x+3

3. ʃx2-5x-2

4. ʃ√2x3 +7x2+9

5. ʃ7x4

6. ʃ 1/x2

7. ʃ√x

8. ʃ3√5x2

9. ʃ3√x +√5x3 / 3x

10. ʃ√5x3/ 3√3x

11. ʃx4-5x2+3x-4 /x

12. ʃx4-5x2+3x-4 /x+1

13. ʃx4-5x2+3x-4 /x2+1

14. ʃ x3 /x-2


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