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CURSO

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN PÚBLICA

ANÁLISIS DE RIESGO

SANTIAGO DE CHILE

CLAUDIA NERINA [email protected]

[email protected] 2011

Análise de Risco• Consideración del riesgo en la evaluación de proyectos.• Riesgos asegurables.•Evaluación determinística.• Métodos que no consideran la probabilidad de ocurrencia de cada evento: variables críticas, análisis de sensibilidad y análisis de escenarios. • Métodos que consideran la probabilidad de ocurrencia de cada evento: método de simulación de Monte Carlo. • Uso de herramientas informáticas para el análisis de riesgo. • Anexo de herramientas estadísticas para análisis de riesgo.

Prof. Claudia Nerina Botteon

RIESGO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS



¿Por qué se debe considerar el riesgo de un proyecto?

Hasta este momento, se ha supuesto que se conocen con certeza los valores futuros de las variables relevantes.

Al momento de hacer la evaluación, suele existir desconocimiento sobre muchos aspectos relacionados con el proyecto, como por ejemplo: • La evolución de la economía local, nacional e internacional.• Los tiempos y el monto a invertir en el proyecto. • La obsolescencia de la tecnología.• Las modificaciones en la moda.• Los factores climáticos que afectan las cosechas.• Los cambios en las regulaciones y/o en las políticas de la actividad.• Etc.

Todo ello puede afectar el valor de los indicadores de rentabilidad.

Se hace necesario considerar el riesgo en la evaluación de proyectos.

EL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS

ProyectoCosto de inversión efectivo como %

del estimado

Demanda como % de la demanda estimada

Puente Humber (UK) 175 % 25 %

Túnel del Canal de la Mancha 80 % 18 %

Metro de Baltimore 60 % 40 %

Tyne and Wear Metro (UK) 55 % 50 %

Metro de Portland (USA) 55 % 45 %

Metro de Bufallo (USA) 50 % 30 %

Metro de Miami 35 % 15 %

TGV Paris Nord 25 % 25 %


Fuente: Extraído de una diapositiva del profesor Eduardo Aldunate.



Proyecto Sobre-costo

Canal de Suez 1.900 %

Opera de Sydney 1.400 %

Concorde 1.100 %

Canal de Panamá 200 %

Puente de Brooklyn 100 %

Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg



Ferrovias+45%

Puentes, túneles+ 34 %

Rodovias+20 %

ERRORES DE ESTIMACIÓN DE INVERSIÓN

• EN 9 de cada 10 proyectos de transporte se subestimaron los costos (tamaño de la muestra: 258).

• Este fenómeno fue observado en 20 países de los 5 continentes.

• La diferencia es mayor en países en desarrollo.

• Los errores de la estimación no se redujeron con el paso de los años.

• No existe justificación técnica. Son errores estratégicos.

Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg con base en el estudio”Economic Appraisal of Large-ScaleTransport Infrastructure Investments” de Mette K. Skamris.



Proyecto Tránsito actual como % del proyectado

Metro de Calcutta 5 %Túnel del Canal de La

Mancha 18 %

Metro de Miami 15 %TGV Paris Nord 25 %

Puente Humber (UK) 25 %Metro de Ciudad de

México 50 %Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg




ERRORES DE ESTIMACIÓN DE DEMANDA

• Modelos inadecuados.

• Falta de datos.

• Cambios de comportamiento.

• Cambios no previstos en factores exógenos.

• Sesgo de los consultores.

• Sesgo del evaluador.

Fonte: Megaprojects and Risk, Bent Flybjerg con base en el estudio”Economic Appraisal of Large-ScaleTransport Infrastructure Investments” de Mette K. Skamris.

Ferrovias-39 %

Carreteras+9 %




Variables que inciden en los indicadores de

rentabilidad:

Ciertas o no aleatorias: Su valor se conoce con certidumbre en el momento de tomar la decisión acerca de la conveniencia de la ejecución del proyecto.

Aleatorias: Su valor no es conocido con exactitud.

Son las que dan origen al riesgo asociado a un proyecto.


¿Qué es el riesgo desde el punto de vista de un proyecto?

Es la variabilidad de su rentabilidad medida a través de alguno de sus indicadores (VAN, TIR, etc..)

A mayor variabilidad mayor riesgo



¿Cómo puede medirse el riesgo?

MÉTODOS QUE PERMITEN “EXPLICITAR” EL RIESGO Y TENERLO EN CUENTA EN LA DECISIÓN

Como ninguno de los métodos es perfectosuelen utilizarse en forma complementaria

NO LO ELIMINAN, LO PONEN DE MANIFIESTONO SON PERFECTOS (usan información histórica)



EVALUACIÓN DETERMINÍSTICA


¿En qué consiste la evaluación determinística?

Considera: EL VALOR “ESPERADO” DE CADA VARIABLE

¿Qué resulta de esta evaluación?

Los INDICADORES DE RENTABILIDAD sonVALORES ESPERADOS

Ej.: precio del bien X está entre $ 40 y $ 50, pero su valor más probable es $ 46.

En la evaluación se considera $ 46



Ejemplo sencillo

Flujo de beneficios y costos del proyecto

VAN esperado del proyecto = $ 8.750,30


Concepto Valores Unidades Duración fase de inversión 1 año Inversión total a valores sociales: 50.000 $ En momento 0 60% En momento 1 40% Duración fase de operación 3 años Costos sociales fijos 12.000 $/año vencido Costos sociales variables 2 $/unidad, vencido Cantidad de unidades 9.000 unidades anuales Precio social del bien generado 6 $/unidad, vencido Tasa social de descuento 8% anual

Concepto 0 1 2 3 4

Costo social de la inversión -30.000 -20.000 Costo social fijo -12.000 -12.000 -12.000 Costo social de los insumos -18.000 -18.000 -18.000 Valor social de la producción 54.000 54.000 54.000

Beneficios netos -30.000 -20.000 24.000 24.000 24.000


¿Cuándo es poco recomendable el uso de esta metodología?

- Aún de existir un único valor más probable, en muchos casos es muy difícil poder estimarlo con un grado de exactitud adecuado.

- Aún cuando pueda estimarse correctamente el valor más Probable, esto no implica que sea el que va a adoptar la variable en cuestión.

- No necesariamente la variable va a tener un solo valor más probable.

Incluso podría ocurrir el caso de que todos los valores probables tuviesen lamisma probabilidad de ocurrencia.



¿Cuáles son los métodos que permiten incorporar el riesgo más usados?

Complementarios entre sí

Según si incorporan o no la probabilidad de

ocurrencia

No la incorporan:

•Determinación de las variables críticas•Punto de nivelación•Análisis de sensibilidad•Análisis de escenarios

Sí la incorporan:

•Método de simulación de Monte Carlo

Claudia Nerina Botteon


MÉTODOS QUE NO CONSIDERAN LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA


• Determinación de las variables críticas

• Punto de nivelación

• Análisis de sensibilidad

• Análisis de escenarios

¿Cuáles son los métodos que no consideran la probabilidad de ocurrencia más usados?

NO CONSIDERAN PROBABILIDAD


Para cada una de las variables que inciden en el VAN se estima:

• La elasticidad del VAN respecto de cada variable.• La variabilidad de esa variable.• El indicador de variable crítica.

Determinación de las variables críticas



La elasticidad del VAN respecto de la variable Y

YY

VANVAN

E Y,VAN Δ

Δ

=

• La elasticidad del VAN respecto de cada variable.• La variabilidad de esa variable.

• El indicador de variable crítica.




EVAN,Y indica:

Cuán sensible es el VAN a los cambios en esa variable

3

YY

VANVAN

E Y,VAN =Δ

Δ

=




Si Y es la cantidad del bieny se incrementa en un 1%, el VAN lo hará en un 3%.



Cálculo: Elasticidad del VAN respecto de la inversión inicialInversión considerada en evaluación es de $ 50.000

VAN = $ 8.750,30

Si ocurriera un aumento del 10% de la inversiónInversión aumenta a $ 55.000

Nuevo VAN = $ 3.898,45

54,5

000.50000.50000.55

30,750.830,750.845,898.3

II

VANVAN

E Inversión,VAN −=−

−

=Δ

Δ

=



Determinación de las variables críticasNO CONSIDERAN PROBABILIDAD


Elasticidad del VAN respecto de la inversión inicial

54,5

II

VANVAN

E Inversión,VAN −=Δ

Δ

=

Es negativa, dado que la inversión es un costo: si aumenta, el VAN disminuye.

Su valor indica que si la inversión total aumenta en un 1%, el VAN disminuye en un 5,54%.

• La elasticidad del VAN respecto de cada variable.• La variabilidad de esa variable.• El indicador de variable crítica.



Variabilidad de la variable Y

• Rango de variación de la variable o recorrido, en términos porcentuales

• La elasticidad del VAN respecto de cada variable.

• La variabilidad de esa variable.• El indicador de variable crítica.


Existen varias formas de medir la variabilidad de una variable aleatoria Y:

• Coeficiente de variación (CVY), definido como la desviación estándar (σY) sobre la media (Y)



• Rango de variación de la variable o recorrido, en términos porcentuales:

Ejemplo, si el precio esperado de Y es $ 100 y puede variar entre $ 90 y $ 110, entonces:

El precio es $ 100 más/menos 10%

El rango de variación es del 10% del valor medio.





Variabilidad de la variable Y• El coeficiente de variación (CVY), definido como la desviación estándar (σY) sobre la media (Y):

Yi son los valores que puede asumir la variable YAi es la probabilidad de ocurrencia correspondiente al valor Yi




YCV Y

Yσ

=

i

m

1ii AYY ⋅= ∑

=i

2m

1iiY A)YY( ⋅−=σ ∑

=


• El coeficiente de variación

Si la variable Y se distribuye como normal

El 68,27% de los valores que asume Y están incluidos dentro del intervalo: Media ± σ.

Si el CV = 0,2, el 68,27% de los valores de la variable cae en el intervalo Media ± 20% sobre la Media.





YCV Y

Yσ

=


Variable ElasticidadRango de

variación (%) Indicador de

variable crítica Orden Inversión social (I*) -5,545 0,01% -0,06% 5 Costos sociales fijos (CF*) -3,272 10,00% -32,72% 3 Costos sociales variables unitarios (cv*) -4,909 5,00% -24,54% 4 Precio social del bien (P*) 14,726 8,00% 117,81% 2 Cantidad de unidades (X) 9,817 15,00% 147,26% 1

Interpretación con respecto de la cantidad (X):

El indicador refleja el cambio porcentual máximodel VAN debido a la variación de X.


• La variabilidad de esa variable.



Indicador = EVAN,Y · Medida de la variabilidad de Y


Indicador de variable crítica (utilizando el Coeficiente de Variación)

Hay que conocer:

• la distribución de probabilidades de la variable o

• los parámetros que definen la distribución.












Xi Ai

8.000 0,1 8.500 0,2 9.000 0,4 9.500 0,2

10.000 0,1




Interpretación:

La variación del VAN debido a variaciones en X será del 59,75% en el 68,27% de los casos.

Concepto Valor

Media 9.000 Desviación estándar 547,72 Coeficiente de variación (CV) 6,09% Indicador de variable crítica 59,75%






Supóngase que existe la posibilidad de negociar los valores de dos variables: tamaño del local y porcentaje de las ventas a pagar a la empresa concedente.

Es preferible lograr una reducción del 1% en el porcentaje a pagar (con el cual se logra un aumento del VAN en 20%), que una reducción del 10% en el tamaño del local (con lo cual se logra un aumento del VAN en 5%).

Determinación de las variables críticasAPLICACIÓN

La empresa concedente de una franquicia normalmente impone un conjunto de condiciones: tamaño mínimo del local de ventas, la cantidad de bienes en existencia, el porcentaje de comercialización, el porcentaje del ingreso por ventas a cobrar, etc. Algunas condiciones pueden ser negociables por el concesionario.

Variable Elasticidad Rango de variación

Indicador de variable crítica

Tamaño del local -0,5 10% 0,05 Porcentaje a pagar (sobre el ingreso por ventas) - 20 1% 0,20


Para cada una de las variables se puede determinar su:

• Valor mínimo (en caso que incidan en forma positiva).

• Valor máximo (en caso que incidan en forma negativa).

Punto de nivelación de una variable



VAN = 0

Precio mínimo = $ 5,59Cantidad mínima = 8.083

Suponen que el resto de las variables asumen sus valores medios.


Punto de nivelación de una variable


• Este análisis suele ser útil es cuando se está estudiando el proyecto a nivel de idea o de perfil y no se ha hecho el estudio de mercado, por lo cual no se dispone de estimaciones del precio de venta del bien a producir.

Se calcula entonces el mínimo precio al cual debe venderse cada unidad para que sea conveniente ejecutar el proyecto. Si el precio mínimo resultante es indudablemente mayor que el esperado, se puede afirmar que no es conveniente la ejecución del proyecto.

Punto de nivelación de una variableAPLICACIÓN

• Este procedimiento se suele utilizar cuando el valor de una variable importante para el proyecto es desconocido.

Por ejemplo, hace algunos años la Municipalidad de la Ciudad de Mendoza se planteó la conveniencia de privatizar el servicio público de recolección de residuos, y no se disponía de ninguna información sobre el precio que podría cobrar una empresa para prestar el servicio. Entonces se estimó el máximo canon mensual que haría de la privatización un buen negocio para la Municipalidad.


Análisis de sensibilidad

Efectos que producen sobre el VAN las variaciones en los valores de las variables

Para elegir las variables con las cuales se hará el análisis de sensibilidad es útil determinar previamente cuáles son las más

críticas para el proyecto.

Una de las variables muy utilizada en este tipo de análisis es la tasa de descuento, debido principalmente a las dificultades en la

determinación de su valor.





Es necesario elegir rangos de variación “razonables” para cada variable, acordes con la

información disponible.

Si, como se supuso en el análisis de las variables críticas, el coeficiente de variación de la cantidad (X) es igual a 0,0608, se sabe que el 68,27% de los casos estará entre Media ± σ : 8.453 y 9.547 unidades.

Dado que esto no abarca la totalidad de los casos, a continuación se realiza el análisis de sensibilidad para cantidades entre 8.000 y 10.000 unidades anuales.





Cantidad VAN 8.000 -794,50 8.200 1.114,46 8.400 3.023,42 8.600 4.932,38 8.800 6.841,34 9.000 8.750,30 9.200 10.659,26 9.400 12.568,22 9.600 14.477,19 9.800 16.386,15

10.000 18.295,11

PARA UNA VARIABLE (X)

Sensibilidad del VAN a la cantidad anual vendida

-1000

4000

9000

14000

19000

8000 8400 8800 9200 9600 10000

Cantidad anual vendida

VAN



Cantidad Precio de venta 5 5,5 6 6,5 7

8.000 -19.884,11 -10.339,30 -794,50 8.750,30 18.295,11 8.200 -18.452,39 -8.668,96 1.114,46 10.897,88 20.681,31 8.400 -17.020,67 -6.998,62 3.023,42 13.045,47 23.067,51 8.600 -15.588,95 -5.328,28 4.932,38 15.193,05 25.453,71 8.800 -14.157,23 -3.657,94 6.841,34 17.340,63 27.839,91 9.000 -12.725,50 -1.987,60 8.750,30 19.488,21 30.226,11 9.200 -11.293,78 -317,26 10.659,26 21.635,79 32.612,31 9.400 -9.862,06 1.353,08 12.568,22 23.783,37 34.998,51 9.600 -8.430,34 3.023,42 14.477,19 25.930,95 37.384,71 9.800 -6.998,62 4.693,76 16.386,15 28.078,53 39.770,92

10.000 -5.566,90 6.364,10 18.295,11 30.226,11 42.157,12


PARA DOS VARIABLES

Sensibilidad del VAN a la cantidad y al precio



Tasa de descuento VAN

5% 13.198,05 6% 11.653,10 7% 10.171,57 8% 8.750,30 9% 7.386,30

10% 6.076,77 11% 4.819,06 12% 3.610,67 13% 2.449,26 14% 1.332,60 15% 258,61 16% -774,70 17% -1.769,20 18% -2.726,65


Sensibilidad del VAN a la tasa de descuento

Sensi bi l i dad de l VAN a l a tasa de descuento

-5.000

0

5.000

10.000

15.000

5% 7% 9% 11% 13% 15% 17%

Tasa de descuento

VAN

TIR =15,25%




Sensibilidad del VAN a la duración de la fase de inversión

Momento Situación base Nueva situación

0 60% 40% 1 40% 30% 2 30%

VAN = $ 8.750,30

TIR = 15,25%

VAN = $ 6.277,72

TIR = 12,48%

La disminución en el VAN es de un 28,26% en relación con el originalmente calculado



Análisis de sensibilidadAPLICACIÓN

Si lo que se quiere es determinar la rentabilidad de un proyecto que consiste en plantar trigo y se conocen los niveles de producción de los últimos 6 años, los cuales están directamente relacionados con los niveles de lluvia, se puede calcular los VAN correspondientes a los ingresos obtenidos con esas producciones.

Si bien el proyecto es “en promedio” rentable, un nivel de precipitaciones como el del año 2004 haría incurrir en una pérdida

Año VAN

2001 2500 2002 2600 2003 2700 2004 -100 2005 3500 2006 2800



Análisis de sensibilidadVENTAJAS

El análisis de sensibilidad permite visualizar la forma en que cada variable incide en el VAN del proyecto y se dispone de más información sobre los probables resultados del proyecto.

Por ejemplo, si se sensibiliza el VAN respecto de la cantidad producida anualmente y del precio de venta del bien, se pueden identificar los rangos de combinaciones de valores de esas variables que permiten obtener VAN positivos. Si se piensa que esas combinaciones son razonables, puede concluirse que la ejecución del proyecto es conveniente, mientras que si no es así, se plantean dudas sobre su conveniencia.



Análisis de sensibilidadLIMITACIONES

• Pueden presentarse dificultades al definir los rangos dentro de los cuales puede variar cada variable. Si previamente se han determinado las variables críticas, esos rangos deberán ser coherentes con el indicador de variabilidad de cada variable.

• En algunos proyectos existen relaciones entre las variablesque influyen en los indicadores de rentabilidad. Por ejemplo, la cantidad de agua disponible para riego afecta la producción de uva, pero si se cosecha poca uva su precio puede ser más alto. En estos casos, es necesario considerar las posibles relaciones entre esas variables.



Análisis de escenarios

CONJUNTO DE SITUACIONES POSIBLES

Combinan en forma coherente las variables más críticas



Análisis de escenarios

• Escenario Optimista• Escenario Pesimista• Escenario Original (Promedio)


Escenario Cantidad Precio VAN

Optimista 9.400 6,20 17.054,28 Promedio 9.000 6,00 8.750,30 Pesimista 8.600 5,80 828,12


Análisis de escenariosAPLICACION

Este método suele ser muy útil cuando se plantea originalmente un escenario, pero el evaluador no estáseguro sobre su certeza.

Unos años atrás se utilizó al evaluar el proyecto de pasar el Casino de Mendoza, que estaba bajo la órbita estatal, a manos de los empleados. En ese momento se estaba instalando en la Provincia otro casino, con lo cual el estatal pasaba a tener competencia, y no se conocía en qué medida esto podría afectar sus ventas. Se supusieron escenarios alternativos con relación al porcentaje de disminución de las ventas.



MÉTODOS QUE CONSIDERAN LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA


¿Por qué surgen los métodos que consideran la probabilidad de ocurrencia?

Escenario VAN

Optimista 1000 Promedio 0 Pesimista -1000

Sino se conoce la PROBABILIDAD DE OCURRENCIA es muy difícil

decidir.

CONSIDERAN PROBABILIDAD

Los métodos que no la consideran sólo agregan información sobre resultados alternativos del

proyecto, pero no indicanCUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

DE CADA UNO DE ELLOS


Si todas las variables que influyen en el VAN son ciertas, el resultado es único.

Si al menos una variable es aleatoria, existe una distribución de probabilidades del VAN.

Distribución de probabilidades de una variable no aleatoria

0

0,5

1

1,5

1200

Beneficio neto del año 1

Pro

babi

lidad

Distribución de probabilidades de una variable aleatoria

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

800 1000 1200 1400 1600

Beneficio neto del año 1

Pro

babi

lidad

El BN del año 1 más probable en ambos es de $ 1.200, pero la segunda propuesta es más riesgosa.

En la mayoría de los casos quien debe decidir sobre la ejecución de un proyecto no es indiferente entre uno que le permite obtener un determinado VAN con

certeza y otro que tiene el mismo VAN esperado, pero sujeto a una cierta distribución. Si tiene aversión al riesgo, preferirá el primer proyecto.



Modelo de simulación Monte Carlo

¿Cuáles es el método que considera la probabilidad de ocurrencia más usados?

Requieren de los resultados de los métodos

que no consideran la probabilidad



¿Qué ventaja tiene el método de simulación con el modelo MONTE CARLO?

Permite obtener una distribución probabilística del VAN, a través de la selección aleatoria de valores

de las distintas variables que en él inciden, acorde con la distribución de probabilidades de cada una.

Se puede trabajar con muchas variables aleatorias



Modelo MONTE CARLO

Pasos a seguir:

• Definir variable dependiente: VAN.• Identificar variables independientes: precio del bien, etc.• Definir las interrelaciones existentes entre variables.• Clasificar las variables en ciertas y aleatorias.• Identificar la distribución de probabilidades de los valores

de cada variable: normal, uniforme, triangular, etc. (en base a la información disponible y/o a la experiencia).

• Generar k números aleatorios para cada una de las variables aleatorias a partir de su respectiva distribución de probabilidades.

• Calcular el conjunto de VAN



UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DEL VAN

• VAN Esperado

• Desviación estándar

• Coeficiente de variación

• Tabla de frecuencias• Histograma• Cantidad de VAN superiores e inferiores a determinado valor

¿Qué permite lograr su aplicación?Modelo MONTECARLO

m

VANVANe

m

1ii∑

==

∑=

−⋅−

=σm

1i

2iVAN )VANeVAN(

)1m(1

VANeCV VAN

VANσ

=

,

,

donde los VANi son los m valores del VAN obtenidos.



Cantidades anuales

Valor social de la

producción

Costos sociales anuales

Beneficios netos sociales anuales VAN*

X

P* . X (1)

cv* . X + CF*(2) (1) – (2)

8.835,55 53.013,33 29.671,11 23.342,22 7.180,70 8.300,18 49.801,07 28.600,36 21.200,71 2.070,64 9.133,79 54.802,72 30.267,57 24.535,15 10.027,27 9.699,16 58.194,96 31.398,32 26.796,64 15.423,65 9.656,37 57.938,22 31.312,74 26.625,48 15.015,22 9.949,28 59.695,71 31.898,57 27.797,14 17.811,04 7.803,99 46.823,93 27.607,98 19.215,96 -2.665,39 8.871,73 53.230,39 29.743,46 23.486,93 7.526,02

... ... ... ... ...

Una variable aleatoria: cantidad anual vendidaDistribución normal con los mismos parámetros utilizados

en la determinación de variables críticas:

72,547;000.9Y =σ=

Se generaron 300 números aleatorios. Se presentan los primeros 8 valores obtenidos.


Modelo MONTECARLO

Concepto Valores Porcentaje del total de casos

Valor medio del VAN* 9.065,19 Desviación estándar 5.384,73 Coeficiente de variación 0,59 VAN* negativos 16 5,33% VAN* inferiores a $ 3.000 41 13,67% VAN* inferiores a $ 5.000 71 23,67%

VAN Frecuencia

-6.000 0 -3.000 3

0 13 3.000 25 6.000 49 9.000 53

12.000 68 15.000 44 18.000 31 21.000 11 24.000 3

y mayor... 0

Histograma

01020304050607080

-6000 -3000 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000 ymayor...

VAN

Frec

uenc

ia


Modelo MONTECARLO

Cantidades anuales Precio social

Valor social de la

producción

Costos sociales anuales

Beneficios netos

sociales anuales

VAN*

X P P* . X (1)

cv* . X + CF*(2) (1) – (2)

8.835,55 6,23 55.062,00 29.671,11 25.390,89 12.069,24 8.300,18 5,94 49.285,87 28.600,36 20.685,51 841,27 9.133,79 5,51 50.336,95 30.267,57 20.069,38 -628,94 9.699,16 6,64 64.419,82 31.398,32 33.021,50 30.277,42 9.656,37 6,22 60.044,50 31.312,74 28.731,76 20.041,24 9.949,28 6,49 64.549,02 31.898,57 32.650,45 29.392,02 7.803,99 6,01 46.902,30 27.607,98 19.294,32 -2.478,38 8.871,73 6,37 56.504,51 29.743,46 26.761,04 15.338,71

... ... ... ... ... ...

Dos variables aleatorias: cantidad y precio socialDistribución normal:

72,547;000.9Y =σ=

Se generaron 300 números aleatorios. Se presentan los primeros 8 valores obtenidos.

3,0;6P =σ=


Modelo MONTECARLO

Histograma

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

50

-6000 -3000 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000y mayor...

VAN

Frec

uenc

iaVAN Frecuencia

-6.000 13 -3.000 11

0 22 3.000 27 6.000 36 9.000 39

12.000 46 15.000 31 18.000 30 21.000 23 24.000 14

y mayor... 8

Concepto Valores Porcentaje del total de casos

Valor medio del VAN 8.915,18 Desviación estándar 8.505,23 Coeficiente de variación 0,9540 VAN negativos 46 15,33% VAN inferiores a 3.000 73 24,33% VAN inferiores a 5.000 99 33,00%


Modelo MONTECARLO

Modelo MONTECARLOAPLICACIONES

En la evaluación de un proyecto hidroeléctrico en la Provincia de Mendoza, en el cual uno de los problemas era estimar la serie de caudales futuros del río, puesto que se trataba de una variable fundamental en la determinación de la cantidad de energía producida. Se conocían los caudales mensuales históricos desde principios del siglo XX.

En primer lugar se hizo una evaluación determinística del proyecto utilizando los caudales medios para cada uno de los meses del año.

Sin embargo, la variabilidad de esos caudales mensuales podía hacer cambiar significativamente el VAN.

A partir de la serie histórica de caudales, se generaron series de caudales hipotéticos para un horizonte de 50 años, coincidente con la duración de la fase de operación del proyecto.

Luego se calculó el VAN del proyecto para cada una de las series.

Para la gran mayoría de las series el proyecto resultó aceptable.



Modelo MONTECARLOAPLICACIONES

En la determinación de las provisiones presupuestarias para enfrentar pasivos contingentes.

En la concesión de ciertos proyectos viales se puede optar por garantizar un nivel de ingreso mínimo (volumen de tráfico x peaje).

Las simulaciones de Monte Carlo se aplican para determinar la demanda futura de las diferentes autopistas, de manera de poder estimar los pagos que se deberán hacer por efecto de la Garantía de Ingreso Mínimo.

Sobre la base de información histórica se generan números aleatorios concerniente a los ingresos anuales y se identifican los casos en que hay un desvío negativo respecto de lo garantizado.

Ese desvío anual constituye el pago que el estado debe hacer al concesionario. La media de esos desvíos constituyen el valor esperado de la provisión anual y sirve de base para armar el presupuesto.



ANEXO DE HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS NECESARIAS PARA ANÁLISIS DE RIESGO


ESTADÍSTICA

RECOPILACIÓN Y SISMATIZACIÓN/ORDENAMIENTO

DE DATOS

TRATAMIENTO DE DATOS

MuestreoDistribución de frecuencias

Histograma

Medidas o indicadores

Si existen fallas en el proceso, las conclusiones serán erradas


HERRAMIENTAS ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Trata de resumir las observaciones en 3 ó 4 números que muestren con claridad la manera de comportarse del grupo.

Esos números son las ESTADÍSTICAS.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE DISPERSION




Describen el comportamiento de la variable en la zona central de la distribución.

En este grupo están la media (valor promedio) y las medidas de posición(mediana, modo, cuartiles, etc.).

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Indican en qué forma están diseminados los datos a lo largo del recorridode la variable.

Pertenecen a este grupo la dispersión, la varianza y el coeficiente de variación.


ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIA ARITMÉTICA

Si se disponen los valores de todas las variables.

∑=

⋅=n

1iiX

n1X

∑=

⋅⋅=n

1iii fX

n1X

Si se disponen las frecuencias (fi) correspondiente a cada valor.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN, el cual no es necesariamente la mitad.



Media = 672 / 210 = 3,2

Xi fi Xi . fi 1 9 9 2 60 120 3 70 210 4 34 136 5 25 125 6 12 72

Suma 210 672




Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por valores extremos: valores muy altos tienden a aumentarla

mientras que valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implicaque puede dejar de ser representativa de la población.

La media de todas las notas de una

persona, si es que tiene todos 6, es 6.

La media de todas las notas de una persona, si es que tiene la

mitad de ellas igual a 2 y la otra igual a 10, también es 6.




Es el valor ubicado de manera tal que:- el 50% de los valores resultan menores que él y;- el 50% restante mayores que él.

Rendimiento físico

EdadProf. Claudia Nerina Botteon

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIANA


Principales propiedades

- Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último número, deja a la mediana inalterada.

- No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media aritmética cuando la población es bastante heterogénea.Suele darse esta circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.




Principales inconvenientes

No se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.




Es el valor de la variable que presenta la frecuencia absoluta máxima.

En el caso de los las edades de los empleados de una empresa el intervalo 36-38.

Frecuencia absoluta

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

34-36

36-38

38-40

40-42

42-44

44-46

46-48

48-50

50-52

52-54

54-56

56-58

Edad (en años)

Núm

ero

de e

mpl

eado

s


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMODO, MODA O VALOR MODAL


Comparación entre la media, mediana y modo

Modo < Media < Mediana

Edades

Rendimiento físico

Mo Me Mn




Modo > Media > Mediana

Edades

Ingresos

Mn Me Mo





Modo = Media = Mediana

Empleados

Edades

Mo = Me =Mn





Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de

la MEDIA.

Dan una idea de la forma en que se encuentran diseminados los datos a lo largo del recorrido (o rango de variación) de la variable.

Cuanto mayor es el valor de esa medida, mayor es la variabilidad.

Cuanto menor, más similares son los valores de la variable a la MEDIA.




Valores de la variable X Frecuencia

20 0 50 1 70 3 90 1

110 0

Valores de la variable Y Frecuencia

0 0 30 0,5 50 1,5 70 2 90 1,5 110 0,5 130 0

Las medidas de tendencia central deben acompañarse de otras que muestren la dispersión de los valores: X está menos diseminada que Y.

Las dos distribuciones tienen la misma media (70), la misma mediana (70) y el mismo modo (70), sin embargo, los datos

están diseminados en forma diferente.




Variable X

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

20 50 70 90 110

Variable Y

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 30 50 70 90 110 130

Las medidas de dispersión de la variable X son

mayores que las de Y.




Si X toma n valores: x1, x2, …, xn, la media resulta ser igual a:

nx....xx

x n21 +++=

Se pueden calcular los desvíos de cada valor que asume la variable respecto de la media:

)xx();....;xx();xx( n21 −−−

La varianza si se conocen los valores de todas las variables es:

∑=

−⋅=−++−+−

=σn

1i

2i

2n

22

212 )xx(

n1

n)xx(....)xx()xx(

MEDIDAS DE DISPERSIÓNVARIANZA Y DISPERSIÓN



La fórmula de la varianza si se conocen las frecuencias de cada uno de los valores es la siguiente:

i

n

1i

2i

2 f)xx(n1

⋅−⋅=σ ∑=

La dispersión es igual a la raíz cuadrada de la varianza:

2σ=σProf. Claudia Nerina Botteon

MEDIDAS DE DISPERSIÓNVARIANZA Y DISPERSIÓN


Empleados

Edades

Me – disp Me Me + disp

Si se toma una muestra de 100 valores de la variable, aproximadamente el 69 asumirían valores iguales a los comprendidos en el rango

(media –dispersión) y (media +dispersión).

La zona sombreada representa el 68,27% de la superficie total de la

curva.

MEDIDAS DE DISPERSIÓNDISTRIBUCIÓN NORMAL



Es el cociente entre la dispersión y la media

xCV σ

=

Se usa para eliminar el problema de escala en la comparación de dos distribuciones de frecuencias diferentes.

Distribución

A Distribución

B media 20 200dispersión 4 40 CV 0,2 0,2

MEDIDAS DE DISPERSIÓNCOEFICIENTE DE VARIACIÓN



FERRA, Coloma y BOTTEON, Claudia, Evaluación privada de proyectos, (Mendoza, Facultad de Ciencias Económicas-Universidad Nacional de Cuyo, 2007).

FONTAINE, Ernesto, Evaluación social de proyectos, 12a. ed. (México, Alfaomega, 1999).

GABRIELLI, Adolfo, Evaluación privada de proyectos (La Paz, Bolivia, 1990), mimeografiado.

JANSSON MOLINA, Axel, Formulación y evaluación de proyectos de inversión (Santiago de Chile, Universidad Tecnológica Metropolitana, 2000).

RODRIGUEZ, J., Análisis de riesgo en proyectos de perforación exploratoria. Técnicas de simulación. Método de Monte Carlo (Mendoza, 1981), mimeografiado.

SAPAG CHAIN, Nassir y SAPAG CHAIN, Reinaldo, Preparación y evaluación de proyectos, 4ª. ed. (Santiago, Mc Graw Hill, 2000).

PRINCIPAL BIBLIOGRAFÍA


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