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CURSO PARA INGENIEROS: Introducción a MATLAB y

SIMULINK

Por: Ing° José S. Orbegoso López

CONTENIDOS:

1. Generalidades. 2. Manipulación de matrices. 3. Gráficas en 2D y 3D. 4. Programación. 5. Métodos numéricos. 6. Matemáticas simbólicas. 7. Simulink.

Huacho, Abril de 2013

Facultad de Ingeniería Química y Metalurgia

MANUAL DE MATLAB BASICO I MATLAB VER 7.12.0.635 (R2011a) ING. JOSE SAUL ORBEGOSO LOPEZ

2

1. Generalidades

Desarrollado a finales de los setenta en las Universidades de New Mexico y Stanford. En la

actualidad ampliamente difundido en diversas Universidades e Industrias. Núcleo básico del

programa: Cálculo numérico basado en matrices. Matlab= Matrix Laboratory. Módulos

adicionales. Simulink, MatLab Symbolic Toolbox (núcleo del programa Maple), etc. La versión

última es R2013a.

Operadores


3

Tipos de datos: MATLAB es un programa preparado para trabajar con vectores y matrices.

Como caso particular también trabaja con variables escalares (matrices de dimensión 1). MATLAB

trabaja siempre en doble precisión, es decir guardando cada dato en 8 bytes, con unas 15 cifras

decimales exactas. Ya se verá más adelante que también puede trabajar con cadenas de caracteres

(strings) y, desde la versión 5.0, también con otros tipos de datos: Matrices de más dos

dimensiones, matrices dispersas, vectores y matrices de celdas, estructuras y clases y objetos. Otras formas de definir matrices: Existen en MATLAB varias funciones orientadas a

definir con gran facilidad matrices de tipos particulares. Algunas de estas funciones son las

siguientes:

eye (4) forma la matriz unidad de tamaño (4x4)

zeros(3,5) forma una matriz de ceros de tamaño (3x5)

zeros(4) ídem de tamaño (4x4)

ones(3)forma una matriz de unos de tamaño (3x3)

ones(2,4) ídem de tamaño (2x4)

linspace(x1,x2,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre x1 y x2-

logspace(d1,d2,n) genera un vector con n valores espaciados logarítmicamente entre10^d1

y 10^d2. Si d2 es pi6, los puntos se generan entre 10^d1y pi

rand(3)forma una matriz de números aleatorios entre 0 y 1,con distribución uniforme, de

tamaño (3x3)

rand(2,5) ídem de tamaño (2x5)

randn(4)forma una matriz de números aleatorios de tamaño(4x4), con distribución normal,

de valor medio 0 y varianza

magic(4)crea una matriz (4x4) con los números 1, 2, ... 4*4, con la propiedad de que todas

las filas y columnas suman lo mismo

hilb(5)crea una matriz de Hilbert de tamaño (5x5). La matriz de Hilbert es una matriz cuyos

elementos (i, j) responden a la expresión (1/(i+j-1)). Esta es una matriz especialmente difícil

de manejar por los grandes errores numéricos a los que conduce.

Formación de una matriz a partir de otras A continuación se describen algunas de las funciones que crean una nueva matriz a partir de otra o

de otras, comenzando por dos funciones auxiliares:

[m,n]=size(A) devuelve el número de filas y de columnas de la matriz A.


4

Si la matriz es cuadrada basta recoger el primer valor de retorno

N=length(x)calcula el número de elementos de un vector x

zeros(size(A))forma una matriz de ceros del mismo tamaño que una matriz A previamente

creada.

ones(size(A))ídem con unos.

A=diag(x)forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son los elementos de un

vector ya existente x

x=diag(A)forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de una matriz ya

existente A

diag(diag(A))crea una matriz diagonal a partir de la diagonal de la matriz A.

blkdiag(A,B)crea una matriz diagonal de submatrices a partir de las matrices que se le

pasan como argumentos.

triu(A)forma una matriz triangular superior a partir de una matriz A (no tiene por qué ser

cuadrada).

tril(A)ídem con una matriz triangular inferior

OPERADOR DOS PUNTOS (:) Defínase un vector x con el siguiente comando:

>> x=1:10

x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En cierta forma se podría decir que el operador (:) representa un rango: en este caso, los números

enteros entre el 1 y el 10.

Por defecto el incremento es 1, pero este operador puede también utilizarse con otros valores

enteros y reales, positivos o negativos. En este caso el incremento va entre el valor inferior y el

superior.

>> x=1:2:10

x =

1 3 5 7 9

>> x=10:-1:1

x =

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


5

OPERADORES RELACIONALES

OPERADORES LOGICOS

FUNCIONES MATEMÁTICAS ELEMENTALES QUE OPERAN DE MODO

ESCALAR


6


7

FUNCIONES QUE ACTÚAN SOBRE LOS VECTORES

FUNCIONES QUE ACTUAN SOBRE MATRICES


8

Tabla de códigos ASCII - Formato de caracteres estándares

ASCII

Hex

Símbolo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS

TAB LF VT FF CR SO SI

ASCII

Hex

Símbolo

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F

DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US

ASCII

Hex

Símbolo

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F

(espacio) ! " # $ % & ' ( ) * + , - . /

ASCII

Hex

Símbolo

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?

ASCII

Hex

Símbolo

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F

@ A B C D E F G H I J K L M N O

ASCII

Hex

Símbolo

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 5F

P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _

ASCII

Hex

Símbolo

96 97 98 99

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F

` a b c d e f g h i j k l

m n o

ASCII

Hex

Símbolo

112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 7E 7F

p q r s t u v w x y z { | } ~ •


9

En caso de que el teclado se desconfigure se puede recurrir a ésta tabla, digitando: ALT + NUMERO DE LA COLUMNA ASCII, para obtener el carácter necesario. Ejemplo:

ALT + 92 va a dar \ ALT + 91 va a dar [ ALT + 93 va a dar ] ALT + 94 va a dar ^ ALT + 58 va a dar : ALT + 59 va a dar ; Etc.

GUIA DE LA CLASE1

Ambiente de trabajo de MatLab. Workspace, Windows y Help.


10

Fig 1: Ventana Inicial de Matlab 7.12.0.635(R2011a)

En la ventana inicial se sugieren ya algunos comandos para el usuario inexperto que quiere echar un

vistazo a la aplicación. En dicha ventana aparece también el prompt característico de MATLAB (»).

Esto quiere decir que el programa está preparado para recibir instrucciones. Puede hacerse que

aparezca un saludo inicial personalizado por medio de un fichero de comandos personal que se

ejecuta cada vez que se entra en el programa.

Una vez que el programa comienza, se visualizan tres pequeñas ventanas: Command, Wokspace y

Command History. Estas son 3 de las ocho diferentes ventanas en Matlab. El listado de las

ventanas y sus propósitos se muestran en la tabla 1.

Tabla 1 : Ventanas de Matlab

Ventana Propósitos

Command Window Ventana principal, variables enteras, corre programas.

Figure Window Contiene información para controles gráficos.

Editor Window Crea y elimina escritos y archivos de funciones.

Help Window Proporciona información de ayuda

Launch Pad Window Provee acceso a herramientas, demostraciones y documentación.


11

Ventana Command: Esta ventana es la ventana principal y se abre cuando comienza Matlab. Es

conveniente tener la ventana command como la única ventana visible y esto puede hacerse cerrando

todas las otras ventanas.

Ventana Figure: La ventana figure se abre automáticamente cuando ejecutamos los comandos

gráficos y contienen gráficos creados por estos comandos. Un ejemplo de la ventana Figure es

mostrada en la figura 2.

{ Puede usted ingresar lo siguiente, utilizando una hoja de editor:

>> x = [0:0.1:16];

>> y = x.^ (1.4).*cos(x)

>> plot(x,y)

>> title('Gráfica de la función y = x.^1^.^4.*cos(x)') }

FIGURA 2 : GRÁFICO DE LA FUNCIÓN COSENO(X)

Command History Window Introduce los controles principales en la ventana de control .

Workspace Window Proporciona información de las variables que son usadas.

Current Directory Window Muestra los archivos actuales en el directorio.


12

Ventana Editor: La ventana editor es usada para escribir y editar, crear y modificar programas,

tanto como ejecutarlos paso a paso para ver si contienen errores (proceso de depuración). El editor

muestra con diferentes colores los diferentes tipos o elementos de los comandos (en verde, para los

comentarios; en rojo, las cadenas de caracteres, etc.). El editor se preocupa de que las comillas o

paréntesis que se abren, no se queden sin cerrar. Figura 3

Figura 3: Ventana Editor

Ventana Help

MATLAB 7.12.0.635 (R2011a) dispone de un excelente Help con el que se puede encontrar la

información que se desee. La Figura 4 muestra las distintas opciones que aparecen en el menú Help.

1. Help Window, Se abre la ventana de la Figura 4, en la que se puede buscar ayuda sobre la

función o el concepto que se desee.

2. Help Tips. Ofrece ideas prácticas para utilizar la ayuda.

3. Help Desk. Se abre un browser de Internet (Netscape Communicator, en el caso de la Figura 5)

que permite acceder a toda la información sobre MATLAB en formato HTML. Esta información es

equivalente a los manuales impresos del programa. Desde la parte inferior de esta página, mediante

el enlace Online Manuals (in PDF) se puede acceder a la versión *.pdf (PortableDocument

Format) de los manuales de MATLAB.


13

FIGURA 4: VENTANA HELP


14

Este formato es menos adecuado para consultar que el HTML, pero mucho más adecuado

para imprimir y revisar luego sobre papel. El formato *.pdf requiere del programa gratuito

Adobe Acrobat Reader 5.0 o una versión superior.

4. Examples and Demos. Se abre una ventana que da acceso a un buen número de ejemplos

resueltos con MATLAB, cuyos resultados se presentan gráficamente de diversas formas. Es

bastante interesante recorrer estos ejemplos para hacerse idea de las posibilidades del

programa.

FIG 5: VENTANA DEMOS DE HELP WINDOW. FIG 6 : VENTANA TOOLBOX DE HELP

DESK


15

Además, se puede también recurrir al Help desde la línea de comandos. Se aconseja hacer

prácticas al respecto. Por ejemplo, obsérvese la respuesta a los siguientes usos del comando

help:

» help

» help lang

El comando helpwin seguido de un nombre de comando muestra la información

correspondiente a ese comando en la ventana Help Window (ver Figura 5), incluyendo

también comandos similares sobre los que se ofrece ayuda.

El comando doc seguido de un nombre de comando muestra la información correspondiente a

ese comando a través de Netscape Navigator o Internet Explorer, en formato HTML.

El Debugger es un programa enormemente útil para detectar y corregir errores, que hay que

conocer muy bien. Para ello lo mejor es practicar. De hecho, al realizar operaciones con el

Debugger gráfico van a apareciendo las correspondientes instrucciones en la línea de

comandos.

VISITE:

VENTANA WORKSPACE

El espacio de trabajo consiste en el sistema de variables acumuladas durante una sesión de

usar el software de MATLAB y almacenadas en memoria. Usted agrega variables al espacio

de trabajo usando las funciones, M-archivos corrientes, y cargando espacios de trabajo

ahorrados. Por ejemplo, si usted funciona estas declaraciones,

A = magic(4)

R = randn(3,4,5)

El espacio de trabajo incluye dos variables, A y R.

Usted puede realizar workspace y operaciones relacionadas usando el browser del workspace.

Cuando están disponibles, las funciones equivalentes se documentan con cada característica

del browser del espacio de trabajo. Si usted tiene una conexión activa del Internet, usted

puede mirar el Workspace browser video demo para una descripción de la funcionalidad

principal:

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab_env/rmvd_matlablink__9.html


16

Matemáticas escalares. Funciones matemáticas básicas.

2. Operaciones con Vectores y Matrices

>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

La respuesta del programa es la siguiente:

A = 1 2 3

4 5 6

7 8 9

Una sencilla operación con A es hallar su matriz traspuesta. En MATLAB el apóstrofe (')

es el símbolo de trasposición matricial.

Para calcular A' (traspuesta de A) basta teclear lo siguiente:

>> A'

ans =

14 7

2 5 8

3 6 9

La variable ans puede ser utilizada como operando en la siguiente expresión que se

introduzca. También podría haberse asignado el resultado a otra matriz llamada B:

>> B = A'


17

B =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Ahora ya están definidas las matrices A y B, y es posible seguir operando con ellas. Por

ejemplo, se puede hacer el producto B*A (deberá resultar una matriz simétrica):

>> B*A

ans =

66 78 90

78 93 108

90 108 126

En MATLAB se accede a los elementos de un vector poniendo el índice entre paréntesis

(por ejemplo x(3) ó x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dos

índices entre paréntesis, separados por una coma (por ejemplo A(1,2) ó A(i,j)). Las

matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho

antes), y teniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elemento de una matriz con

un sólo subíndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo valor

escribiendo A(1,2) que escribiendo A(4).

Invertir una matriz es tan fácil como transponerla.

A continuación se va a definir una nueva matriz A – no singular-en la forma:

>> A = [1 4 -3; 2 1 5; -2 5 3]

A =

1 4 -3

2 1 5

-2 5 3

Ahora se va a calcular la inversa de A y el resultado se asignará a B. Para ello basta hacer

uso de la función inv ( )

>> B = inv(A)

B =

0.1803 0.2213 -0.1885

0.1311 0.0246 0.0902

-0.0984 0.1066 0.0574

Para comprobar que este resultado es correcto basta con multiplicar A por B

>> B*A

ans =


18

1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000

De forma análoga a las matrices, es posible definir un vector fila x en la forma siguiente

(silos tres números están separados por blancos o comas, el resultado será un vector fila):

>> x=[10 20 30] % vector fila

x =

10 20 30

MATLAB considera comentarios todo lo que va desde el carácter tanto por ciento (%)

hasta el final de la línea.

Si los números están separados por intros o puntos y coma (;) se obtendrá un vector

columna:

>> y=[11; 12; 13] % vector columna

y =

11

12

13

MATLAB tiene en cuenta la diferencia entre vectores fila y vectores columna. Por ejemplo,

si se intenta sumar los vectores x e y se obtendrá el siguiente mensaje de error:

>> x+y

??? Error using ==> +

Matrix dimensions must agree. (Deben estar de acuerdo las dimensiones de la matriz).

Estas dificultades desaparecen si se suma x con el vector transpuesto de y:

>> x + y'

ans =

21 32 43

EJERCICIOS UTILIZANDO MATLAB

1. Transferencia de Calor:

Un objeto con una temperatura inicial de T0 es colocado al tiempo t = 0 dentro de una

cámara que tiene una temperatura constante de Ts experimentará un cambio de

temperatura de acuerdo a la ecuación:

T = Ts + (T0 – Ts) e-kt

Donde:T = Temperatura del objeto al tiempo.


19

k = constante.

Una soda a una temperatura de 120ºF es ubicada dentro de un refrigerador donde la

temperatura es 38ºF. Determine la temperatura alcanzada después de 3 horas. Asumir

k=0.45. Primero define todas las variables y entonces calcula la temperatura usando un

comando Matlab.

Solución

>> Ts= 38; T0 = 120; k = 0.45; t = 3;

>>T = round (Ts +(T0 – Ts) *exp(-k*t))

T = 59

2. Identidad Trigonométrica:

Una identidad trigonométrica está dado por:

x

xxx

tan2

sintan

2cos2

Verificar que la identidad es correcta calculando en cada lado de la ecuación y

sustituyendo x = ∏/5.

Solución

>> x = pi/5;

>>LHS = cos(x/2)^2

LHS =

0.9045

>>RHS = (tan(x) +sin(x))/(2*tan(x))

RHS =

0.9045

3. La presión de vapor de agua

Escribir una función¸ en MATLAB, para el cálculo de la presión de vapor del agua.

Use una función¸ es decir, s para calcular la presión de vapor de agua para las

temperaturas de 30, 60 y 90°C.

Resolución: La presión de vapor de agua, pv [bar] es función de la temperatura T [K]

y puede ser calculado por la expresión:

ln𝑝𝑣

𝑃𝑐=

𝑎𝑇𝑟 + 𝑏 𝑇𝑟1,5 + 𝑐 𝑇𝑟

3 + 𝑑 𝑇𝑟6

1 − 𝑇𝑟

Donde:


20

𝑇𝑟 = 1 − 𝑇

𝑇𝐶

Los coeficientes¸ a, b, c, d¸ con valores -7,76451, 1,45838, -2,7758 respectivamente -

1,23303. En estas relaciones Tc¸ es una temperatura crítica y Pc la presión crítica del

agua. Esta tiene los valores de 647,3 y 221,2K¸bar. De esta relación se puede expresar

la presión de vapor:

esta ecuación se utiliza para escribir la función MATLAB¸ necesario. Esta función

llama un argumento que tiene en cuenta el valor de la temperatura y valor de retorno

actual correspondiente presión de vapor.

La función se presenta a continuación:

function pv = pvapH2O(T);

% Función para calcular la presión de vapor del agua

%%

Mod de llamar:

% PV = PVAPH2O(T)

% donde: PV - presión de vapor, [bar]

% T - temperatura, [K]

Tc = 647.3; % temperatura critica, [K]

Pc = 221.2; % presión critica, [bar]

a = -7.76451;

b = 1.45838;

c = -2.7758;

d = -1.23303;

Tr = 1 - T./Tc;

pv = exp((a*Tr+b*Tr.^(1.5)+c*Tr.^3+d*Tr.^6)./(1-Tr)).*Pc;

% end function pvapH2O

Llamado esta función puede obtener un escalar.

>> pv = pvaph2o(303.15)

pv =

0.0425

O a través de un vector matriz.

>> pv = pvaph2o(273.15+[30 60 90])

pv =

0.0425 0.1994 0.7015

OTROS EJERCICIOS:

Polinomios:


21

Coeficientes del polinomio completo y ordenado decrecientemente:

𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 2 𝑥2 + 3 x + 4

>>A=[1 2 3 4]

Comandos:

roots: nos da las raíces

>>raíces = roots(A)

poly: nos da los coeficientes del polinomio que originan esas raíces.

>>poly (raíces)

>>r=[1 1+j 1-j 2];

>>poly(r)

1 -5 10 -10 4 (𝑥4 − 5 𝑥3 + 10 𝑥2 − 10 𝑥 + 4 = 0)

conv: nos da el product de polinomios

>>pp=[1 2 3 4 ];

>>qq=[1 0 0 2 3];

>>producto=conv(pp, qq)

deconv: nos da el cociente y el residuo de una división de polinomios

>>[co, re]=deconv(qq,pp)

co=

1 -2

re=

0 0 1 4 11

polyval: evalá el polinomio P(x) en un valor xo, es decir P(xo)

>>A=[1 2 3 4];

>>p=polyval(A,[1 2 3 ])

pl =

26

polyder: nos da los coeficientes de la derivada del polinomio

>>D=polyder(A)


22

FUNCIÓN input

>>n = input(„teclee el numero de ecuaciones‟);

>>nombre=input(„¿Cómo te llamas?‟, „s‟)

(en este caso, la respuesta se lee y se devuelve sin evaluar, con lo que se almacena en la

cadena nombre).

FUNCION disp: Siempre imprime en pantalla un mensaje de texto o el valor de una

matriz, pero sin imprimir su nombre

>>disp(„EL programa ha terminado‟)

>>A=rand(4)

>>disp(A)

FUNCIONES

Definición: function [lista de valores de retorno]=name (lista de argumentos)

Ejm: Se creará una función que evalúe el numerador, denominador y la división de:

P(x,y)=𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥∗𝑦 − 𝑥

𝑥2+ 𝑦3

function[num, den, c]=division(x,y)

num=x.^y + sin(x.*y) – x;

den=x.^2 + y.^3;

c=num./den;

Guardar el archivo como division. m y lo ejecutamos

GUIA DE CLASE 2:


23

Recuerde: Los paréntesis cuadrados “[” y “]” son empleados para matrices, mientras que los

paréntesis “(” y “)” se emplean para funciones. El carácter coma “,” para separar elementos

[1,2,3,4] y el punto y como “;” para separar filas en las matrices. [ 1 2; 3 4]. El carácter dos

puntos “:” indica números consecutivos entre dos valores, [2:5] es equivalente a [2 3 4 5].

Gráficas de funciones

MATLAB tiene un gran potencial de herramientas gráficas. Se pueden dibujar los valores de

un vector frente a otro (de la misma longitud):

>>x=pi*(-1:0.1:1);

>>y=x.*sin(x);

>>plot(x,y) % Por defecto une los puntos (x(i),y(i)) mediante una poligonal.

Como se ve, con pocos puntos la gráfica tiene un aspecto demasiado lineal a trozos. Para

"engañar" al ojo, basta tomar más puntos.

>>x=pi*(-1:0.01:1);

>>y=x.*sin(x);

>>plot(x,y)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


24

>>hold on % Mantiene en la ventana gráfica los dibujos anteriores

>>plot(x,cos(x)) % Dibuja sobre la gráfica anterior la función cos(x)

>>hold off % Con esto olvida los dibujos anteriores % y dibuja en una ventana nueva El

mismo gráfico de la figura superior puede obtenerse con una única orden, dibujándose cada

curva de un color distinto:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


25

>>plot(x,cos(x),x,y)

Además se puede especificar el color de cada curva, el tipo de línea y el marcador, según la

tabla:

Otros comandos muy útiles a la hora de realizar gráficas son:

title: le ponemos un título a la gráfica

xlabel: le ponemos una etiqueta al eje x

ylabel: le ponemos una etiqueta al eje y

legend: incluimos una legenda en la gráfica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


26

Por ejemplo

>> plot(x,cos(x),'ro-',x,y,'bp:')

>> xlabel('tiempo')

>> ylabel('valor')

>> legend('coseno','y')

>> title('grafico de ejemplo')

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


27

También se pueden realizar gráficas logarítmicas con las instrucciones: semilogx (eje x

logarítmico), semilogy (eje x logarítmico) y loglog (ejes x e y logarítmicos). Además de

gráficas en 3D con las instrucciones: mesh, surf, plot3...

Ejercicio:

Representar simultáneamente dos funciones sinusoidales de frecuencia 50 Hz desfasadas 90 º (π/2

rad) de amplitud 10 y 20, respectivamente. Siendo la primera de ellas en color verde a puntos y la

segunda en azul continua y con asteriscos. Incorporar además: nombre eje x: “tiempo” nombre eje y:

“señal” título gráfica: “onda seno” legenda: “onda1” y “onda 2”

Función sinusoidal:

A: amplitud, k: factor multiplicativo del argumento, que se denomina pulsación en el caso de que la

variable sea independiente del tiempo; el desfasaje

>>y = 10*sin(x +pi/2);

>> plot(x,y)

>> hold on

>> y = 20*sin(x +pi/2);

>> plot(x,y)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo

valo

r

grafico de ejemplo

coseno

y

siny A kx


28

>>xlabel('tiempo');ylabel('señal'); title('onda seno'); legend('onda1','onda2');

POLINOMIOS Y ECUACIONES

Para resolver un polinomio, se formula el vector de los coeficientes del mismo, en forma

completa y ordenado decrecientemente, siendo el objetivo aquí es la determinación de las

raíces.

Ejemplo:

𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 4

>>A=[1 2 3 4]

A =

1 2 3 4

RAICES: se emplea el comando roots que al digitarlo en la ventana de comando nos da las

raíces del polinomio.

>> raices=roots(A)

raices =

-1.6506

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

tiempo

señal

onda seno

onda1

onda2


29

-0.1747 + 1.5469i

-0.1747 - 1.5469i

poly: da los coeficientes del polinomio que origina esas raíces.

>> poly(raices)

ans =

1.0000 2.0000 3.0000 4.0000

>> r=[1 1+j 1-j 2];

>> poly(r)

ans =

1 -5 10 -10 4

Producto de polinomios: conocidos los polinomios, ´se pueden multiplicar utilizando el

comando conv:

>> pp=[1 2 3 4];

>> qq=[1 0 0 2 3];

>> producto=conv(pp,qq)

producto =

1 2 3 6 7 12 17 12

El Cociente y Residuo de una división de polinomios: se obtiene empleando el comando

deconv:

>> [co,re]=deconv(qq,pp)

co =

1 -2

re =

0 0 1 4 11

Polyval: evalúa un polinomioP(x) en un valor xo, es decir P(xo)

>> A=[1 2 3 4];

>> p=polyval(A,2)


30

p =

26

>> p1=polyval(A,[1 2 3])

p1 =

10 26 58

Polyder: nos da los coeficientes de la derivada del polinomio

>> D=polyder(A)

D =

3 4 3

FUNCION INPUT

Permite imprimir un mensaje en la línea de comandos de MatLab y recuperar como valor de

retorno un valor numérico o el resultado de una expresión tecleada por el usuario. Después de

imprimir el mensaje, el programa espera que el usuario teclee el valor numérico o la

expresión. El usuario puede teclear un vector o una matriz. En cualquier caso, la expresión

introducida es evaluada cono los valores actuales de las variables de MATLAB y el resultado

se devuelve como valor de retorno.

>> n=input('Teclee el numero de ecuaciones')

Teclee el numero de ecuaciones 4

n =

4

Otra forma: obsérvese el parámetro „s‟:

>> nombre=input('¿Cómo te llamas?', 's')

¿Cómo te llamas? José

nombre =

José

En este caso el texto tecleado como respuesta se lee y se devuelve sin evaluar, con lo que se

almacena en la cadena nombre. Así, pues, en este caso, si se teclear una fórmula, se almacena

como texto sin evaluarse.

FUNCION DISP


31

Permite imprimir en pantalla un mensaje de texto o el valor de una matriz, pero sim imprimir

su nombre. En realidad, disp. Siempre imprime vectores y/o matrices: las cadenas de

caracteres son un caso particular de vectores.

>> disp('El programa ha terminado')

El programa ha terminado

>> A=rand(4)

A =

0.9501 0.8913 0.8214 0.9218

0.2311 0.7621 0.4447 0.7382

0.6068 0.4565 0.6154 0.1763

0.4860 0.0185 0.7919 0.4057

>> disp(A)

0.9501 0.8913 0.8214 0.9218

0.2311 0.7621 0.4447 0.7382

0.6068 0.4565 0.6154 0.1763

0.4860 0.0185 0.7919 0.4057

Programación con MATLAB

Para escribir un programa o fichero de comandos con MATLAB habrá que crear un fichero

que tenga extensión .m y contenga las instrucciones. Esto se puede hacer con cualquier editor

de textos, pero tiene algunas ventajas usar el editor propio de MATLAB llamándolo desde la

barra de herramientas con los menús FILE > NEW > M-FILE. Una vez estamos en el editor

de funciones se puede ejecutar el código escrito con el menú DEBUG>RUN o pulsando la

tecla F5, o bien escribiendo en el Command Windows el nombre de la función.

MATLAB trabaja con memoria dinámica, por lo que no es necesario declarar las variables

que se van a usar. Por esta misma razón, habrá que tener especial cuidado y cerciorarse de que

entre las variables del espacio de trabajo no hay ninguna que se llame igual que las de nuestro

programa (proveniente, por ejemplo, de un programa previamente ejecutado en la misma

sesión), porque esto podría provocar conflictos.

FICHEROS *.m

Los ficheros con extensión (.m) son ficheros de texto sin formato (ficheros ASCII) que

constituye el centro de la programación en MATLAB. Existen dos tipos de ficheros *.m, los

ficheros de comandos (llamados scripts en inglés) y las funciones. Los primeros contienen

simplemente un conjunto de comandos que se ejecutan sucesivamente cuando se teclea el

nombre del fichero en la línea de comandos de MATLAB.


32

Las funciones permiten definir funciones enteramente análogas a las de MATLAB, con su

nombre, sus argumentos y sus valores de retorno. Los ficheros *.m que definen funciones que

permiten extender las posibilidades de MatLab: de hecho existen bibliotecas de ficheros *.m

que se venden (toolkits) o se distribuyen gratuitamente ( a través de internet). Las funciones

definidas en ficheros *.m se caracterizan por que la primera línea (que no sea comentario)

comienza por la palabra función, seguida por los valores de retorno (entre corchetes [ ] y

separados por comas, si hay más de uno), el signo igual ( = ) y el nombre de la función,

seguido de los argumentos (entre paréntesis y separados por comas).

DEFINICION DE FUNCIONES:

La primera línea de un fichero llamado name.m que define una función tiene la forma:

function [lista de valores de retorno] = name (lista de argumentos)

donde name es el nombre de la función. Entre corchetes y separados por comas van los

valores de retorno (siempre que haya más de uno) y entre paréntesis también separados por

comas los argumentos. Recuerde que los argumentos son los datos de la función y los valores

de retorno sus resultados. Si no hay valores de retorno se omiten los corchetes y el signo igual

( = ); si solo hay un valor de retorno no hace falta poner corchetes. Tampoco hace falta poner

paréntesis si hay argumentos.

Ejemplo: Se creará una función que nos evalúe el numerador, denominador y la división de:

𝑃 𝑥, 𝑦 =𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∗ 𝑦 − 𝑥

𝑥2 + 𝑦3

Observamos que depende de 2 entradas x e y , además tiene tres salidas: num, den y la

división num/den.

>> [a,b,c]=division(2,3)

a =

5.7206

b =

31

c =

0.1845

Ejemplo: Crear una función de Newton („fnewton‟) que resuelva una ecuación no – lineal de

una sola variable, abriendo una ventana de programación y teclear el siguiente contenido:

% Función que resuelve Ecuaciones No - Lineales de una sola variable


33

% empleando el método de Newton - Raphson

% _________________________________________________________________

%

% [xn]=fnewton(f,xo,to1)

% xn es el valor que satisface la ec. no - lineal (respuesta)

% f es el nombre de la función donde se guardó la ecuación a resolver

% xo es un valor inicial

% to1 es el error menor a cuanto por ejemplo 0.000001

function [xn]=fnewton(f,xo,to1)

x=xo;

h=0.0001;

error=1000;

while (error>to1)

y=feval(f,x);

f_deriv=(feval(f,x+h)-feval(f,x))/h;

xn=x-(y/f_deriv);

error=abs(xn-x);

x=xn;

end

Para correr la función („fnewton‟) necesitamos abrir uan ventana de programa y creamos una

función donde guardaremos la ecuación a resolver, por ejemplo x=cos(x), y se guarda con el

nombre „calcular‟:

function y=calcular(x)

y=x-cos(x);

Y, desde el command window ejecutamos:

>> x=fnewton('calcular',0,0.00001)

x =

0.7391

Un programa escrito en MATLAB admite la mayoría de las estructuras de programación al

uso y su sintaxis es bastante estándar. En los siguientes apartados se muestra la sintaxis de

algunas de estas estructuras (if, for, while,...).

La condiciones “if” y “switch”

IF


34

Una de las operaciones más habituales en programación es la ejecución de unos determinados

comandos si se cumple una determinada condición lógica, es lo que se conoce como

bifurcaciones. Para ello se emplea la orden “if...end” de la siguiente forma:

if condición

comandos

end

Si la bifurcación es múltiple entonces podemos combinar con los comandos else y elseif

If condicion

comandos

elseif condicion

comandos

elseif condicion

comandos

else

comandos

end

Por ejemplo, crear el fichero “prueba_condicion.m” y ejecutar el siguiente código:

A = 1; B = 2;

if A + B == 3

disp('el resultado es 3')

elseif A+B > 5

disp('el resultado es mayor que 5 ')

else

disp('el resultado ni es 3 ni mayor que 5 ')

end

(la orden “disp” se utiliza para visualizar texto en la orden de comandos)

Para ejecutar la función realizada se pulsa F5 se estamos en el editor de funciones, o se

escribe su nombre en la Command Window:

>>prueba_condicion

el resultado es 3

También se puede llamar la función recién descrita desde otra función sin más que escribir su

nombre.

SWITCH

La sentencia switch realiza una función análoga a un conjunto de if...elseif concatenados. Su

forma general es la siguiente:


35

switch expresion

case case_expr1

comandos

case case_expr2

comandos

...

otherwise % opción por defecto

comandos

end

Por ejemplo si queremos realizar acciones distintas en función del valor de una variable entera

podemos escribir:

A = 1; B = 2;

switch A + B

case 3

disp('el resultado es 3')

case 5

disp('el resultado es 5 ')

otherwise

disp('el resultado ni es tres ni cinco')

end

Los bucles for y while

FOR...END

Cuando queremos ejecutar un conjunto de comandos un número predeterminado de veces

utilizamos la función “for...end”, cuya forma general es:

for contador = [vector de valores]

comandos

end

A modo de ejemplo si queremos sumar los cuadrados de los números enteros impares del 1 al

11 podemos escribir:

suma = 0

for k = 1:2:11

suma = suma + k^2;

end

suma

Aunque produciría el mismo resultado la instrucción:

>> suma = sum([1:2:11].^2)

Ejercicio:


36

Crear un fichero llamado “primos.m” (FILE>NEW>M-FILE) para calcular la suma de los

100 primeros términos de la sucesión 1, 2x, 3x2, 4x3, ...

WHILE...END

A diferencia del comando for, el comando while se utiliza cuando el número de veces que se

ejecuta un determinado conjunto de sentencias depende de una determinada condición lógica.

Su utilización genérica es la que sigue:

while condicion

comandos

end

Por ejemplo si queremos sumar el cuadrado de números pares mientras no se supere un

determinado valor, por ejemplo, 500, entonces:

suma = 0; num = 2;

while suma < 500

suma = suma + num^2;

num = num + 2;

end

suma

Una instrucción muy útil es el comando “break” que se utiliza para salir de un bucle. Por

ejemplo, si desea salir del bucle en el caso de que alguna suma parcial sea exactamente igual a

100, entonces:

suma = 0; num = 2;

while suma < 500

suma = suma + num^2;

num = num + 2;

if suma == 100

break

end

end

suma

Ejercicio:

Dada la función y = e-x calcular el valor x que haga que se cumpla la igualdad x = e-x con un

error de 10-6. Tomar como valor inicial 0.5. Poner una condición que limite a 10 el número

de iteraciones para llegar a la solución (utilizar break). Además, probar el programa realizado

suponiendo como condición inicial x=10.


37

Ejercicio:

Se desea programar una función que calcule, mediante el algoritmo de Euclides, el máximo

común divisor de dos números naturales, basta escribir un fichero euclides.m cuyo contenido

sea:

function m=euclides(a,b)

% Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales

% mediante el algoritmo de Euclides

if a<b

c=b;

b=a;

a=c;

end

while b>0

c=rem(a,b);

a=b;

b=c;

end

m=a;

Si, una vez escrito el fichero anterior, en el espacio de trabajo o en un programa se escribe la

instrucción

mcd=euclides(33,121)

en la variable mcd se almacenará el valor 11.

Las variables de una función son siempre locales. Por tanto, aunque en el seno de la función

se modifiquen los argumentos de entrada, el valor de las variables correspondientes queda

inalterado.

Por ejemplo, en la función euclides.m se modifica el valor de los argumentos de entrada, pero,

sin embargo:

>>x=15;

>>mcd=euclides(x,3);

>>x

x =

15

Si se pretende que las modificaciones de un argumento de entrada afecten a la variable

correspondiente, deberá situarse dicho argumento, además, en la lista de argumentos de

salida.


38

Ejercicio:

Crear una función llamada “miexp” que dado un valor de x devuelva como los dos resultados

de las ecuaciones:

𝑌1 = 𝑥 + 𝑒−𝑥

𝑌2 = 𝑒−𝑥

Utilizar dicha función para resolver la ecuación no lineal 𝑥 = 𝑥 + 𝑒− 𝑥 mediante Newton-

Raphson con un error de 10− 6 limitando el número de iteraciones a 10.

GUIA DE CLASE N° 3:

GRAFICOS BI Y TRIDIMENSIONALES:

Para realizar gráficos 2 – D hay cuatro funciones básicas:

PLOT( ): permite crear un gráfico a partir de vectores y/o columnas de matrices con

escalas lineales sobre ambos ejes (x e y).

Loglog( ): igual que el anterior, pero con escala logarítmica.

Semilogx( ): igual que el primero con escala lineal en el eje de las ordenadas y

logarítmica en el eje de las abscisas.

Semilogy( ): igual que el primero con escala lineal en el eje de las abscisas y

logarítmica en el eje de las ordenadas.

Se toma como referencia la primera y las demás, como consecuencia.

Para agregar títulos, nombres a cada eje, cuadrículas, textos, etc., existen otras funciones:

title (‘Gráfica P vs T’) añade un título al gráfico

xlabel(‘Temp(°C)’) añade etiqueta al eje x (con xlabel off desaparece).

ylabel(Presión(KPa)’) añade etiqueta al eje y (con ylabel off desaparece).

text (x,y,’texto’) introduce „texto‟ en el lugar especificado por las coordenadas

x e y Si x e y son vectores, el texto se repite pro cada par de

elementos. Si el texto es también un vector d cadenas de texto

de la misma dimensión, cada elemento se escribe en las

coordenadas correspondientes.

gtext(„texto‟) introduce texto con ayuda del ratón: el cursor cambia de

forma y se espera un clic para introducir el texto en esa

posición.

legend ( ) define rótulos para las distintas líneas o ejes usados en la

figura.


39

grid on activa la inclusión de una cuadrícula en el dibujo. Con grid

off desaparece la cuadrícula.

Ejemplo: Realizar una gráfica de un coseno multiplicado por una función exponencial

Recordar dar espaciamiento entre puntos pequeños (0.01 o 0.00 son suficientes) y que los

productos o divisiones se tienen que hacer elemento a elementos (.* ./ ).

>> x= -5: 0.01:5;

>> y= cos(x).*exp(-0.05* x);

>>h=figure(1);

>>plot(x,y,‟r‟); % grafica x vs y de color rojo.

>>xlabel(„Eje X‟); %etiqueta del eje x

>>yalbel(„Eje Y‟); % etiqueta del eje y

>>title(„COSENO EXPONENCIAL‟); % título

>>text(1.5, 0.75,‟cos(x)*exp(-0,05 * x)‟); % texto en la posición x,y,

>>grid on; % rejilla

>>legend(„Coseno Exponencial‟); %rótulo

>>figure (gcf); % para que la figura pase a primer plano.

COMANDOS hold on y hold off:

Se usan en las gráficas para ciertas condiciones. El primero de ellos hace que los gráficos

sucesivos respeten los ya dibujados en la figura.

Es posible que haya modificación en la escala de los ejes.

El comando hold off deshace el efecto de hold on

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Eje X

Eje

Y

COSENO EXPONENCIAL

cos(x)*exp(-0,05 * x)

Coseno Exponencial


40

GUIA DE CLASE N° 4:

SISTEMAS DE ECUACIONES Y FUNCIONES

TRIDIMENSIONALES.

Interpretación Gráfica:

Una ecuación lineal con dos variables, como 2x – y =3, define una recta (y=mx+b). Se puede

escribir como y=2x -3. Si hay dos ecuaciones, estas pueden ser lineales y cruzarse o no. Si

una ecuación tiene tres variables, x, y, z, representan un plano en un espacio tridimensional.

Si hay dos ecuaciones con tres variables, pueden representar dos planos que se cruzan o no,

etc..

Hiperplano: es el conjunto de puntos definido por una ecuación con más de tres variables. Y

en general, un conjunto de M ecuaciones lineales con N incógnitas, donde cada ecuación

define un hiperplano único que no es idéntico a ninguno otro del sistema. Si M<N, el sistema

está subespecificado y no existe una solución única. Si M=N, existirá una solución única si

ningún par de ecuaciones representa hiperplanos paralelos. Si M>N, el sistema está sobre

especificado y no existe solución única. El conjunto de ecuaciones también se denomina

sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones con una solución única es no singular, y

uno que no tiene solución única se llama singular.

Ejemplo:

Para el sistema: x+y=2; 2x –y = 1; x + 2y = 3;

M=3>N=2, de modo que la única solución es x =1, y=1. Si M>N el sistema puede no tener

solución, tener solución única o infinidad de soluciones.

Ejercicio: considere el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

3x + 2y – z =10

x + 3y + 2 z = 5

x - y - z = -1

Utilizando matrices, se puede escribir:

𝐴 = 3 2 − 1 −1 3 2 1 − 1 − 1

; 𝑋 = 𝑥𝑦𝑧 ; 𝐵 =

10 5−1

La forma matricial:


41

A X = B

Se puede multiplicar y se obtiene el sistema original

Pero, si se tiene más de tres variables, la notación se puede hacer torpe, x1, x2, x3, etc. El

conjunto de ecuaciones se representa como vectores fila B y X:

Ejemplo:

3 𝑥1 + 2 𝑥2 − 𝑥3 = 10

− 𝑥1 + 3 𝑥2 + 2 𝑥3 = 5

𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = −1

X=[ x1 x2 x3] 𝐴 =

3 − 1 1 2 3 − 1−1 2 − 1

B=[ 10 5 -1]t

PROGRAMACION BASICA:

Limitaciones computacionales. Opciones de exhibición. Exactitud y

precisión.

Administración de archivos. Ficheros M-Files. Errores y

depuración. Rutas de búsqueda y arranque en Matlab.

• Ejemplos prácticos (visión general)

Reacción de primer orden

Raíz de una función usando un m-file y fzero

Usando fzero desde el Command Window

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Integración numérica y simbólica

Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias


42

Reacciones múltiples

CLASE N° 5:

APLICACIONES DE MATLAB A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

DE INGENIERÍA

TRADUCIR CON GOOGLE. DE RUMANO A ESPAÑOL

Resolver:

"En cálculos de Ingeniería, el calor específico de una solución de NaOH (expresado en [J /(kg * K)]), la

Cp, de la solución se calcula a un valor aproximado:

Cp, sol= 4190 • (1 − xNaOH) + Cp, NaOH • xNaOH

donde Cp, NaOH representa el calor específico del hidróxido de sodio anhidro y xNaOH es la fracción de la

masa del hidróxido en solución. El error respecto al verdadero valor de soluto concentrado local es válido

para una concentración (xNaOH > 0.2). La solución inorgánica diluida en (xNaOH 6-0, 2) se toma

mediante la relación:

Cp, sol = 4190 • (1 − xNaOH)

El Calor específico del hidróxido de sodio anhidro (expresada en [J /(kg * K)]) como trabajo, es decir

temperatura, se calcula con la relación:

CpNAOH = 0,1835 + 3.125 T + 0,347 T2

La función en MATLAB que puede calcular el calor específico del NaOH es:

function cp = cpSuelo(x, T) % función para calcular el calor específico de una solución de NaOH % % Modo de aplicarse: % CP = CPSOL(X,T) % donde: CP – calor específico de un soluto, [J/(kg.K)] % X - fracción masica del NaOH en la solución % T - temperatura, [K] if x<=0.2 cpSol = 4190*(1 - x); else cpNaOH = 0.1835 + 3.125*T + 0.347/T.^2; cp = 4190*(1 - x) + cpNaOH*x; end % end function cpSol Para calcular el calor específico de una solución de Na OH a una fracción másica de 0,25, la temperatura de 50°C =323,15°K,el comando necesario es: >> cpSol(0.25,323.15)

ans = 3.3950e+003

Densidad de una mezcla de gases:

Ejercicio:

Se desea escribir una función en MatLab para determinar la densidad de una mezcla de gases (CO2, H2 y

CO). Utilice una función que determine la densidad de la mezcla expresada en porcentajes molares: 25%

de CO2, 60% de H2, y 15% de CO, a la temperatura de 150°C y una presión de 20 bar

Solución:

La densidad de una mezcla de gases reales, mez, se calculas mediante la expresión: mez = Mmez P Zmez RT Donde:

Mmez representa la masa molecular de la mezcla, Zmez es el coeficiente de compresibilidad de la mezcla, T es la

temperatura en [°K] y R es la constante universal de los gases igual a 8,3143 [J/(mol·K)].

La Masa molecular de la mezcla se calcula por la expresión:

Mmez = 𝑀𝑖𝑋𝑖𝑛𝑗=1 y los coeficienes de comprensibilidad mediante la relación:


43

Zam = 𝑍𝑖𝑋𝑖𝑛𝑖=1

Para el caso en que la mezcla se compone de n componentes la relación de representación de una maza

molecular con el coeficiente de compresibilidad Zi, y xi representa una fracción molar de cada componente en la

mezcla tomada.

Los datos necesarios para los calculos son presentados en una tabla:.

Tabla. Datos de los componentes de la mezcla de gases

Componente Masa Coeficiente

Molecular de compresibilidad

CO2 44,010 0,274

H2 2,016 0,303

CO 28,010 0,295

La función en MATLAB está diseñada para medir los tres argumentos siendo el primero un vector de tres

componentes para determinar el contenido de CO2, H2 ¸y CO en fracciones molares, y la temperatura en °K, la

presión, en bar, aplicada a la mezcla de gases.

Tenemos la siguiente función en MATLAB: function ro = densMez(x,T,P)

%Función para calcular la densidad de una mezcla de CO2 H2 y CO

%%

Modo de aplicarse:

% RO = DENSMEZ(X,T,P)

% donde: RO – densidad de mezcla, [kg/mc]

% X - composición en fracción másica en orden CO2 H2 CO

% T - temperatura, [K]

% P - presión, [bar]

R = 8.3143; % const.univ. de los gases, [J/(mol.K)]

% masa molecular

% CO2 H2 CO

M = [44.01 2.016 28.01];

% coeficiente de compresibilidad

% CO2 H2 CO

z = [0.274 0.303 0.295];

Zmez = sum(x.*z);

Mmez = sum(M./x);

ro = Mmez.*P./(Zmez.*T.*R);

% end function densMez

Llamando a la función con nuestros datos: >> densMez([0.25 0.6 0.15],423,20)

ans =

7.0688

Calcular el grosor de un cilindro

Un recipiente cilíndrico es utilizado para almacenar un líquido corrosivo de una densidad media de 1.200 kg/m3.

El vaso ha sido construido para trabajar con una presión máxima de 8 bar ¸y una temperatura de 60°C con un

diámetro de 1.100 mm ¸y una altura de 2.100 mm, con fondo y tapa plana. Construir un programa en MATLAB

para calcular el grosor del cilindro

Solución:

El grosor de la pared de un tanque en mm se calcula de la relación:

_p = + cex + cr donde _0 es el espesor de la resistencia de la pared¸˘el elemento, cex está agregado para Llevar a Condit¸

establecido operativo y cr representan el redondeo aplicado ˘ ˘ para llevar el valor de espesor diseñar un espesor

normalizado ˘ un Espesor resistente ¸ ˘ un _0 en [mm] para un elemento cilíndrico se da un tiempo relativamente

¸ ˘ tomar:

_0 = pc · D

2 ' _ta

− pc

(10.10)

unde: pc este presiunea de calcul a recipientului ˆın [MPa], D este diametrul recipientului

ˆın [mm], _ta


44

este rezistent¸a admisibil˘a a materialului de construct¸ie al vasului

la temperatura de calcul exprimat˘a ˆın [MPa] iar ' este coeficientul de rezistent¸˘a al

ˆımbin˘arilor sudate.

Adaosul pentru condit¸iile de exploatare, cex ˆın [mm] este grosimea suplimentar˘a

care se adaug˘a la grosimea de rezistent¸˘a a peretelui vasului ce este susceptibil de a se

subt¸ia datorit˘a coroziunii/eroziunii ˆın a¸sa fel ˆıncˆat s˘a asigure funct¸ionarea sigur˘a pe

durata de funct¸ionare a vasului. Acest adaos este dat de relat¸ia:

cex = (vce + vci + ve) · _ (10.11)

unde: vce este viteza de coroziune pe fat¸a exterioar˘a a vasului ˆın [mm/an], vci este

viteza de coroziune pe fat¸a interioar˘a a vasului, ˆın [mm/an], ve este viteza de eroziune

ˆın [mm/an] iar _ reprezint˘a durata de funct¸ionare a aparatului exprimat˘a ˆın [ani].

Ultima component˘a a calculului grosimii de proiectare este rotunjirea cr, care t¸ine

seama de valoarea grosimii standardizate imediat superioare sumei _0+cex a tablei din

care se confect¸ioneaz˘a vasul ¸si de abaterea negativ˘a la grosime, cab, care se stabile¸ste

din standarde funct¸ie de grosimea standardizat˘a.

Calcul de rezistent¸˘a prezentat este valabil doar pentru vase cu peret¸i subt¸iri,

condit¸ia care se cere a fi ˆındeplinit˘a pentru aceasta fiind: __

0D

6 0,1 (10.12) unde __

0 = _p − cex − cab este grosimea de rezistent¸˘a efectiv˘a.

Presiunea de calcul, pc este egal˘a cu presiunea maxim˘a admisibil˘a de lucru a

vasului, pm la care se adaug˘a presiunea hidrostatic˘a a coloanei de lichid din vas:

pc = pm + ph (10.13)

Presiunea hidrostatic˘a, ph reprezint˘a presiunea datorat˘a coloanei de lichid din recipient ¸si se calculeaz˘a cu relat¸ia:

ph = 9,81 · 10−9 hl · _ (10.14)

unde hl reprezint˘a ˆın˘alt¸imea coloanei de lichid iar _ densitatea lichidului.

Presiunea de ˆıncercare hidraulic˘a a recipientului pph este dat˘a de relat¸ia:

pph = 1,25 · pm · _20

a

_ta

(10.15)

unde _20

a este rezistent¸a admisibil˘a a materialului de construct¸ie al vasului la temperatura

de 20°C. Presiunea de ˆıncercare hidraulic˘a calculat˘a, pphc este dat˘a de relat¸ia:

pphc = pph + pha (10.16)

unde pha este presiunea hidrostatic˘a a lichidului de ˆıncercare care este apa.

Rezistent¸a admisibil˘a a materialului _20

a ¸si _ta

se calculeaz˘a prin relat¸iile:

_20

a = min

__20

c

1,5 ; _20

r

2,4

_ (10.17)

_ta

= min

_ _tc

1,5; _tr

2,4


45

_ (10.18)

unde: _c ¸si _r reprezint˘a limita de curgere respectiv rezistent¸a la rupere la tract¸iune

ˆın [MPa].

Rezistent¸a efectiv˘a a peretelui vasului la ˆıncercarea de presiune hidraulic˘a se calculeaz

˘a cu relat¸ia:

_ef = pphc(D + s_

0)

2 ' __

0

(10.19)

Verificarea vasului la presiune hidraulic˘a implic˘a respectarea condit¸iei:

_ef 6 0,9 _20

c (10.20)

Calculul de rezistent¸˘a al peretelui unui vas cilindric implic˘a parcurgerea urm˘atorului

algoritm:

1. se calculeaz˘a grosimea de rezistent¸˘a _0 cu relat¸ia 10.10;

2. se calculeaz˘a adaosul pentru condit¸iile de exploatare, cex cu relat¸ia 10.11; 3. se identific˘a valoare rotunjirii cr prin alegerea grosimii standardizate imediat

superioare valorii calculate _0 + cex;

4. se verific˘a dac˘a vasul este cu peret¸i subt¸iri conform condit¸iei 10.12. Dac˘a acest

lucru nu se verific˘a, algoritmul este abandonat;

5. se calculeaz˘a rezistent¸˘a efectiv˘a cu relat¸ia 10.19;

6. se verific˘a condit¸ia 10.20. Dac˘a aceast˘a condit¸ie se verific˘a grosimea de proiectare

a peretelui vasului, _p este corect˘a ¸si algoritmul furnizeaz˘a aceast˘a valoare.

Dac˘a condit¸ia nu de respect˘a se incrementeaz˘a cu 1 mm grosimea de rezistent¸˘a

efectiv˘a a vasului, __

0 ¸si se revine la pasul 2 al algoritmului.

Caracteristicile materialului de construct¸ie al vasului sunt ar˘atate ˆın tabelul 10.2.

Tabelul 10.2. Caracteristici OL42 (conform SR EN 10207/95).

Caracteristici Valoare

_20

c , [MPa] 260

_tc

, [MPa]

la 100°C 225

la 150°C 216 la 200°C 206

la 250°C 186

_20

r , [MPa] 410

_tr

, [MPa]

la 100°C 395

la 150°C 380

la 200°C 360

la 250°C 300

grosime tabl˘a, [mm] 4, 5 (abatere la grosime: −0,5 mm)

6, 7 (abatere la grosime: −0,6 mm)

8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25

(abatere la grosime: −0,8 mm)

28, 30 (abatere la grosime: −0,9 mm)

32, 35, 38, 40 (abatere la grosime: −1,0 mm)

Utilizˆand toate aceste informat¸ii, se scrie urm˘atorul program MATLAB: %Program de calcul al grosimii de proiectare

% pentru un vas cilindric vertical


46

clear all;clc

false = 0;

true = 1;

p_m = 0.8; % presiunea maxima admisibila, [MPa]

D = 1100; % diametrul vasului, [mm]

H = 2100; % inaltimea vasului, [mm]

t = 60; % temperatura maxima de lucru, [grd.C]

ro = 1200; % densitatea lichid stocat, [kg/mc]

an = 10; % durata de exploatare, [ani]

v_ex = 0.1; % viteza procesului de coroziune externa, [mm/an]

v_in = 0; % viteza procesului de coroziune interna, [mm/an]

v_e = 0.01; % viteza procesului de eroziune, [mm/an]

fi = 0.9; % coef. suduri

ro_apa = 1000; % densitate lichid de incercare, [kg/mc]

% caracteristici material

sig_c_20 = 260;

sig_r_20 = 410;

t_date = [100 150 200 250];

sig_c = [225 216 206 186];

sig_r = [395 380 360 300];

% grosime si abatere standard a tablei

ds = [4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 ...

18 20 22 25 28 30 32 35 38 40];

ab = -[0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 ...

0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 1 1 1 1];

% calcul rezistenta material

sig_a_20 = min([sig_c_20/1.5 sig_r_20/2.4]);

sig_c_t = interp1([20 t_date],[sig_c_20 sig_c],t);

sig_r_t = interp1([20 t_date],[sig_r_20 sig_r],t);

sig_a_t = min([sig_c_t/1.5 sig_r_t/2.4]);

% presiunea hidrostatica, [MPa]

p_h = 9.81e-8*H*ro;

% presiunea de calcul, [MPa]

p_c = p_m + p_h;

% grosimea de rezistenta, [mm]

d0 = p_c*D / (2*fi*sig_a_t - p_c);

% adaos de exploatare, [mm]

c_ex = (v_ex + v_in + v_e)*an;

% grosimea de rezistenta calculata, [mm]

d0c = d0 + c_ex;

test = false;

while ~test

% grosimea standardizata, [mm]

i = 1;

while (d0c-ab(i))>ds(i)

i = i + 1;

end

c_r = ds(i) - (d0 + c_ex - ab(i));

d_p = d0 + c_ex + c_r - ab(i);

% presiunea de incercare hidraulica, [MPa]

p_ph = 1.25*p_m*sig_a_20/sig_a_t;

% presiunea hidrostatica apa, [MPa]

p_ha = 9.81e-8*H*ro_apa;

% presiunea de incercare hidraulica calculata, [MPa]

p_phc = p_ph + p_ha;

if (d0c/D)>0.1

error(’Vasul este cu pereti grosi!!!’);

end


47

sig_ef = p_phc*(D + d0c)/(2*fi*d0c);

test = sig_ef<=(0.9*sig_c_t);

if ~test d0c = d0c + 1; end

end;

% raport

disp(’ Calculul grosimii de proiectare’);

disp(’ =========================================’);

disp(sprintf(’ diametrul, [mm] %4d’,D));

disp(sprintf(’ inaltimea, [mm] %4d’,H));

disp(sprintf(’ presiunea, [MPa] %5.1f’,p_m));

disp(sprintf(’ temperatura, [grd.C] %3d’,t));

disp(’ -----------------------------------------’);

disp(sprintf(’ rezistenta mat. 20C, [MPa] %5.1f’,sig_a_20));

disp(sprintf(’ rezistenta mat.%3dC, [MPa] %5.1f’,t,sig_a_t));

disp(’ -----------------------------------------’);

disp(sprintf(’ presiunea de calcul, [MPa] %7.3f’,p_c));

disp(sprintf(’ pres.de incercare hidr., [MPa] %7.3f’,p_phc));

disp(’ -----------------------------------------’);

disp(sprintf(’ grosimea de proiectare, [mm] %2d’,d_p));

disp(’ =========================================’);

% end script

Dup˘a rularea programului obt¸inem urm˘atorul raport: Calculul grosimii de proiectare

=========================================

diametrul, [mm] 1100

inaltimea, [mm] 2100

presiunea, [MPa] 0.8

temperatura, [grd.C] 60

-----------------------------------------

rezistenta mat. 20C, [MPa] 170.8

rezistenta mat. 60C, [MPa] 161.7

-----------------------------------------

presiunea de calcul, [MPa] 1.047

pres.de incercare hidr., [MPa] 1.263

-----------------------------------------

grosimea de proiectare, [mm] 6

=========================================

10.2.2. Calculul puterii necesare la antrenarea unui amestec˘ator

Exercit¸iul 10.5. Se cunosc urm˘atoarele informat¸ii despre un reactor prev˘azut

cu un sistem de amestecare cu elice:

• presiunea maxim˘a de lucru din vas: 0,8 MPa;

• densitatea mediului de lucru: 1.200 kg/m3;

• vˆascozitatea dinamic˘a a mediului de lucru: 5,5 cP;

• diametrul elicei: 0,4 m;

• turat¸ia: 300 min−1;

• diametrul arborelui: 60 mm;

• l˘at¸imea unui inel de etan¸sare: 20 mm.

S˘a se scrie un program MATLAB pentru calculul puterii electromotorului

de act¸ionare al sistemului de amestecare.

Rezolvare: Puterea efectiv˘a de act¸ionare a unui amestec˘ator, N, se stabile¸ste funct¸ie

de mai multe elemente: puterea necesar˘a amestec˘arii, Nam, care exprim˘a puterea efectiv

˘a transmis˘a mediului de lucru, puterea pierdut˘a prin frecare ˆın cutia de etan¸sare,

Nf ¸si puterea pierdut˘a ˆın vas datorit˘a amenaj˘arilor interioare (teac˘a de m˘asurare a

temperaturii, serpentin˘a, sp˘arg˘ator de vˆartej, rugozitatea peret¸ilor, ¸s.a.m.d.). Relat¸ia

de calcul utilizat˘a este [20]:


48

N = k

_t

· h Nam

_ 1 +

X 'i

_ + Nf

i (10.21)

unde: k reprezint˘a coeficientul de majorare a puterii care t¸ine seama de suprasarcinile

care apar la pornire, umplere sau alimentare, _t este randamentul total al sistemului

de act¸ionare iar 'i reprezint˘a factori de majorare datorate prezent¸ei unor amenaj˘ari

interioare. În cazul P'i = 0,4. nostru, valorile acestor coeficien¸ti sunt: k = 1,25, _t = 0,95 ¸si Puterea necesar˘a amestec˘arii, ˆın [kW], pentru alte amestec˘atoare decât cele de

tipul impeller, se calculeaz˘a cu relat¸ia:

Nam = np

_ n

60

_3

d5 · _ · 10−3 (10.22)

unde: np este num˘arul caracteristic de putere, n reprezint˘a turat¸ia amestec˘atorului

[min−1], d este diametrul amestec˘atorului, [m], iar _ este densitatea lichidului antrenat.

Num˘arul caracteristic de putere, np, se stabile¸ste funct¸ie de criteriul Reynolds

conform datelor prezentate ˆın tabelul 10.3. Valoarea criteriului Re se calculeaz˘a cu

expresia:

Re = 16,25 · n · d2 · _

_ (10.23)

unde _ reprezint˘a vâscozitatea mediului de lucru, ˆın [cP].

Tabelul 10.3. Num˘arul caracteristic de

putere pentru amestec˘atoare cu elice. Valoarea Num˘arul caracteristic

criteriului Re de putere, np

102 1

103 0,5

104 0,3

105 0,27

106 0,22

Puterea consumat˘a prin frecare ˆın cutia de etan¸sare a sistemului de amestecare,

Nf ˆın [kW], se calculeaz˘a cu relat¸ia:

Nf = 2,255 · 10−7 · d2

a · m · b · μ · pm · n (10.24)

unde: da este diametrul arborelui amestec˘atorului ˆın dreptul cutiei de etan¸sare, ˆın

[mm], m reprezint˘a num˘arul de inele de etan¸sare, b esteˆın˘alt¸imea unui inel de etan¸sare,

ˆın [mm], μ este coeficientul de frecare ¸si pm reprezint˘a presiunea maxim˘a admisibil˘a

de lucru ˆın vas, [MPa]. Valorile utilizate ˆın acest caz sunt: m = 4, b = 20 [mm] ¸si

μ = 0,075.

Puterea calculat˘a a electromotorului, conform relat¸iei 10.21, este folosit˘a pentru

alegerea puterii electromotorului dintr-o list˘a de puteri disponibile. Puterile electromotoarelor

disponibile pe piat¸˘a formeaz˘a urm˘atorul ¸sir de valori, ˆın [kW]: 0,8; 1,1;

1,5; 2,2; 3; 4; 5,5; 7,5; 10; 13; 17; 22; 30; 40; 55; 70. Utilizând aceste informat¸ii, se construie¸ste urm˘atorul program MATLAB: %Program de calcul al puterii electromotorului


49

% de antrenare al unui amestecator cu elice

clear all;clc

false = 0;

true = 1;

p_m = 0.8; % presiunea maxima admisibila, [MPa]

d = 0.4; % diametrul elicei, [mm]

d_a = 60; % diametrul arbore, [mm]

n = 300; % turatia elicei, [1/min]

ro = 1200; % densitatea mediului de lucru, [kg/mc]

eta = 5.5; % vascozitatea mediului de lucru, [cP]

k = 1.25; % coef. majorare putere

rt = 0.95; % randament totalal sistemului de actionare

sfi = 0.4; % suma amenajari interioare

m = 4; % numar inele de etansare

b = 20; % inaltimea inelului de etansare, [mm]

c_f = 0.075; % coeficient de frecare

Re_t = [1e2 1e3 1e4 1e5 1e6];

np_t = [1 0.5 0.3 0.27 0.22];

P_disp = [0.8 1.1 1.5 2.2 3 4 5.5 7.5 ...

10 13 17 22 30 40 55 70];

% calculul coeficientului de putere

Re = 16.25*n*d^2*ro/eta;

np = interp1(log(Re_t), np_t, log(Re));

% calculul puterii necesare pentru amestecare

N_am = np * (n/60)^3 * d^5 * ro * 1e-3;

% calculul puterii consumate prin frecare

N_f = 2.255e-7 * d_a^2 * m * b * c_f * p_m * n;

% calcul puterii efective de actionare

N = k/rt*(N_am*(1 + sfi) + N_f);

disp(sprintf(’Puterea efectiva %6.2f kW’,N));

% alegerea puterii electromotorului

i = 1;

while N>P_disp(i)

i = i + 1;

end;

P = P_disp(i);

disp(sprintf(’Putere electromotor %6.2f kW’,P));

% end script

Apelˆand acest program, obt¸inem urm˘atorul rezultat: Puterea efectiva 2.27 kW

Putere electromotor 3.00 Kw

FUNCION plot3( )

La función plot3 es análoga a su homóloga bidimensional plot. Su forma más sencilla es la

siguiente:

>> plot3(x,y,z)

que dibuja una línea que une los puntos (x(1), y(1), z(1)), (x(2), y(2), z(2)), etc. y la proyecta

sobre un plano para poderla representar en la pantalla.

Ejemplo:


50

x=cost(t);

y=cost(t);

z=t;

DIBUJO DE MALLADOS:

FUNCIONES meshgrid(), mesh(), surf()

Meshgrid


51


52


53

DIBUJO DE CURVAS DE NIVEL:

FUNCIONES contour, contour3, surf.

Siguiendo con el ejemplo anterior:


54


55

Otros tipos de ploteos tridimensionales de Funciones: La table de abajo mestra todas la variedad de graficaciones de funciones y volúmenes 3D. Inclusive funciones que generan data 3-D (cilindro, elipsoide, esfera), ademas otros arreglos de data o funciones. Para

informaciónacerca de los ejemplos del uso de funciones gráficas 3-D, ver “Creación de Grafics 3 – D en la

documentación Visualización 3 – D.

GRAFICOS DE:

Líneas mallas áreas superficies direcciones volumétricos


56

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Comando fsolve()

mifuncion.m


57

En la ventana de comandos:

Integración

quad(@f, a, b)Integra por cuadraturas la función f, desde ahasta b.

Diferenciación numérica:

diff(x)

Si x = [x(1) x(2) …x(n)] entonces

diff(x) = [x(2)-x(1) x(3)-x(2) …x(n)-x(n-1)]

EDOs de primer orden


58

Límites


59

Derivación e integración


60


61


62


63

Series de Taylor


64

Ecuaciones diferenciales ordinarias


65

Simulación de un reactor no isotérmico


66


67


68


69


70


71

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