Curso MC Introduccion 02

Mecnica Computacional: Anlisis, Control y Aplicaciones a Problemas de Vibraciones Mecnicas

1. Fundamentos

1.1 Introduccin general En Mecnica el concepto de movimiento es el cambio en la disposicin recproca de los cuerpos en el espacio con respecto al tiempo. La interaccin mecnica se relaciona con variables o parmetros como:

Movimientos: posicin, desplazamiento, velocidad, aceleracin, Fuerzas: fuerzas puntuales, superficiales, de cuerpo (gravedad),... Masa o inercia. Dimensiones: forma, tamao, deformacin,...

1.1 Introduccin general La Mecnica es la ciencia que estudia las leyes generales del movimiento o del equilibrio de los cuerpos materiales y de las interacciones que se manifiestan entre los mismos. La mecnica puede subdividirse en tres grandes categoras:

MECNICA

Mecnica Terica

Mecnica Aplicada

Mecnica Computacional

1.1 Introduccin general Mecnica terica: Leyes fundamentales del movimiento y las fuerzas que lo producen, obtenidas por su valor intrnsecamente cientfico. Mecnica aplicada: Transferencia del conocimiento generado por la Mecnica Terica a disciplinas tcnicas dedicadas al diseo de dispositivos, mecanismos, mquinas o elementos, especialmente en lo que se refiere a la construccin y anlisis de modelos de sistemas fsicos. Mecnica computacional: Resuelve problemas especficos mediante la simulacin por mtodos numricos desarrollados en programas de computadora.

1.1 Introduccin general Dentro de la Mecnica Computacional se pueden distinguir varias ramas, de acuerdo a la escala fsica en que se trabaja:

1.1 Introduccin general Nanomecnica. Estudia los fenmenos a nivel molecular y atmico de la materia.

Micromecnica. Considera fundamentalmente los fenmenos a nivel cristalogrfico y granular de la materia.

Mecnica del medio continuo. Estudia los cuerpos a nivel macroscpico, utilizando modelos continuos donde la microestructura se supone homognea o fenmenos promedio. Todos los problemas se pueden subdividir en Esttica y Dinmica, dependiendo de la importancia de los efectos inerciales o movimiento de los cuerpos. Dos reas de reas de aplicacin son la mecnica de slidos (slidos y estructuras) y la mecnica de fluidos (fluidos y gases).

1.1 Introduccin general La multi-fsica es ms reciente e incluye los sistemas mecnicos que trascienden las fronteras clsicas de la mecnica de slidos y fluidos, interactuando a su vez slidos, estructuras, fluidos, etc. (e.g., sistemas mecnicos, de control y electromagnticos). Sistemas. Aqu se identifican los objetos mecnicos, naturales o artificiales, que realizan una funcin. Por ejemplo, automviles, aviones, edificios, puentes, motores, robots, microchips, MEMS, etc. Tambin se incluyen los sistemas biolgicos, siempre que se analicen desde el punto de vista de la biomecnica.

1.1 Introduccin general Ciencia de computadoras vs Ciencia computacional?

Ciencia de computadoras se refiere a la ciencia y tecnologa relacionada con la computadora, como un dispositivo computacional con el que se realizan clculos (herramienta).

Ciencia computacional trata con el desarrollo de tcnicas de modelacin, algoritmos y su aplicacin en la solucin de problemas especficos de la ciencia e ingeniera.

1.1 Introduccin general La Mecnica Computacional es parte fundamental

de las ciencias e ingenieras de la computacin, enfocada al uso de mtodos y tcnicas computacionales para caracterizar, predecir y simular fenmenos y sistemas fsicos que se modelan mediante las leyes de la Mecnica. La Mecnica Computacional se enfoca en reas

que involucran y enriquecen la aplicacin racional de la mecnica, matemticas y mtodos numricos en la prctica de la ingeniera moderna.

1.1 Introduccin general La Mecnica Computacional se basa en tres

pilares fundamentales: Matemticas:

Ecuaciones diferenciales parciales. lgebra lineal. Anlisis numrico (elemento finito, diferencias finitas, elemento

frontera, etc.).

Ciencias de la computacin: Programacin. Algoritmos.

Mecnica: Mecnica de slidos/estructuras, vibraciones, acstica, fluidos,

transferencia de calor, electromagnetismo, etc.

1.1 Introduccin general Algunas de las reas importantes de la Mecnica Computacional

son: Mecnica de slidos y estructuras, sistemas dinmicos con

mltiples cuerpos. Modelos constitutivos de la materia. Teoras elsticas e inelsticas (no lineales). Control estructural. Mecnica de fluidos y su interaccin con estructuras. Biomecnica. Aerodinmica y aeroelasticidad. Mecnica de fractura, fenmenos de transporte. Transferencia de calor, etc.

1.1 Introduccin general Se recomienda leer el siguiente documento:

RESEARCH DIRECTIONS IN COMPUTATIONAL

MECHANICS A Report of the United States National Committee on Theoretical and Applied Mechanics September 2000 http://www.usacm.org

Algunos casos de sistemas mecnicos complejos y sus problemas

El puente de Tacoma Narrows El puente de 1810 m, entre las fronteras de EUA y Canad, fue inaugurado el 1 de julio de 1940, despus de trabajos durante 2 aos. El diseo fue basado en dos grandes torres y suspensin con cables para soportar la estructura del puente.

El puente de Tacoma Narrows Despus de 4 meses funcionando, durante una tormenta y vientos de alrededor de 67 km/hr el puente experiment oscilaciones resonantes (laterales y de tornillo) y se colaps dramticamente el 7 de noviembre de 1940.

El puente de Tacoma Narrows

El actual puente de Tacoma Narrows

El puente Kororbabeldaob de las Islas Palau

El moderno Puente del Milenio en Londres Se deseaba construir un puente peatonal que uniera al distrito

financiero y la catedral, sobre el ro Tmesis (Londres, Inglaterra) basado en diseos minimalistas y sin afectar el entorno visual.

Se convoc a un concurso internacional, el cual fue ganado por la famosa compaa ARUP, con equipos de 200 ingenieros, arquitectos y cientficos.

La inauguracin fue el 10 de junio de 2000, con gran entusiasmo la multitudes de gente caminaron el puente que experiment grandes oscilaciones laterales. Como consecuencia, el 12 de junio del ao 2000 fue cerrado para corregir las fallas.

En octubre del mismo ao fue re-abierto, utilizando sistemas con amortiguadores laterales y verticales para disminuir las vibraciones.

El Moderno Puente del Milenio en Londres

Automvil del futuro

Motor con mayor potencia y eficiencia Control y monitoreo por computadora Peso, volumen, confort Frenos Suspensin activa en ruedas y cuerpo (ABS, TCS, ESP, ABC). Direccin por cables Confort

Automvil del futuro

Suspensin activa de Cadillac con amortiguador MR Delphi

26

1.1.3 Dinmica y Vibraciones El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos

repetitivos u oscilatorios de los cuerpos y sus fuerzas asociadas. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son

susceptibles de vibrar. La rapidez con que ocurren los ciclos de vibracin determina la

llamada frecuencia de la seal. Las vibraciones mecnicas constituyen un problema frecuente en

numerosas aplicaciones de la ingeniera. Por ejemplo, en automviles, servomecanismos, robots, estructuras mecnicas y civiles, etc.

Generalmente este tipo de seales externas son el resultado de acoplamientos entre varios sistemas dinmicos o, simplemente, por la accin de fuerzas dinmicas exgenas (externas) o endgenas (internas).

Ejemplos de sistemas vibratorios Algunos ejemplos comunes de sistemas mecnicos vibratorios son: Las oscilaciones de un pndulo. El movimiento de un resorte liberando su tensin/compresin. El movimiento de las cuerdas en un instrumento musical. El movimiento de las alas de un avin. Las vibraciones en la suspensin de un vehculo (automvil,

motocicleta, bicicleta, etc.). El vaivn o tambaleo de los grandes edificios/puentes por el efecto

del viento o la accin de sismos/terremotos. El desbalance en la tubomaquinaria, generadores de vapor,

compresores, reactores, etc. Etc.

Utilidad/Dao ocasionado por las vibraciones Las vibraciones pueden ser benficas: Nos permiten or, hablar, respirar, caminar, etc. Se inducen electromecnicamente en los conos de las bocinas para producir

sonido o msica. Sirven para la criba o separacin de material. Se utilizan en las taladradoras o perforadoras de concreto.

Tambin pueden ser dainas: Perjudican los equipos, maquinaria, puentes, edificios, aviones, turbinas,

compresores, etc. Cuando la frecuencia de la excitacin coincide con la frecuencia del

movimiento natural o libre (frecuencia natural), los sistemas respondern con amplitudes de movimiento crecientes e inestables. Esta condicin catastrfica se conoce como resonancia y la frecuencia asociada se denomina frecuencia resonante.

Utilidad/Dao ocasionado por las vibraciones

Las vibraciones mecnicas pueden ocasionar deformaciones, desgaste, fatiga o destruccin de los componentes mecnicos. Tambin pueden generar ruido o transmitir fuerzas indeseables a los soportes, estructuras, instrumentacin o elementos de mquinas.

As pues, una vibracin es el movimiento repetitivo de objetos con relacin a un marco de referencia estacionario (estructura) o posicin nominal (equilibrio).

Sin embargo, es muy conveniente sealar que

Las estructuras tambin se mueven!

Utilidad/Dao ocasionado por las vibraciones

Las estructuras son comunes en edificios, puentes, gras, barcos, mquinas, transportadores, vehculos, etc.

La mayora de las mquinas y las estructuras experimentan vibraciones, hasta cierto grado, y, generalmente, su diseo requiere de un estudio de sus propiedades oscilatorias.

En estos casos las vibraciones son un problema porque provocan movimientos indeseables, ruido y esfuerzos dinmicos que pueden producir fatiga y falla de la estructura o mquina, y tambin porque implican grandes prdidas de energa y reduccin en su desempeo.

Soluciones de la ingeniera y tecnologa En los ltimos aos en ingeniera se ha desarrollado y

aprovechado la idea de que el desempeo de los sistemas y estructuras mecnicas se puede mejorar de diversas formas:

Mediante la aplicacin de criterios de diseo adecuados

(dinmica, diseo mecnico, vibratorio, modal, estructural, etc.),

El cumplimiento de normas y cdigos de seguridad, o La aplicacin de mtodos de control pasivo, activo o semi-

activo. En esencia, el control pasivo mejora el desempeo de una

estructura mediante el uso de materiales o dispositivos que modifican las propiedades de la masa, la rigidez y el amortiguamiento de la estructura.

Soluciones de la ingeniera y tecnologa En cambio el control activo permite disear estructuras ms ligeras

que aqullas que no lo utilizan. El resultado de emplear el control activo es que las caractersticas de desempeo deseadas se pueden conseguir con el uso del control retroalimentado y/o prealimentado, esto es, los actuadores ejercen fuerzas a la estructura de acuerdo a la informacin obtenida de sensores y una ley de control.

La arquitectura general de una estructura moderna con control activo, algunas veces denominadas estructuras inteligentes, se compone de lo siguiente:

Soluciones de la ingeniera y tecnologa Estructura mecnica. Dispositivos de medicin: acelermetros, sensores

piezolctricos, galgas extensiomtricas, etc. Dispositivos de actuacin: generadores de vibraciones,

materiales magneto-reolgicos o electro-reolgicos, materiales ferroelctricos y piezoelctricos, dispositivos electromagnticos, etc.

Sistema de monitoreo y control.

Actualmente existe la tendencia para emplear sensores, actuadores y controladores muy sofisticados y costosos. Es comn que estos dispositivos se utilicen directamente sobre la estructura sometida a vibraciones. Sin embargo, tambin es posible agregar ms grados de libertad actuados para resolver el problema de control de vibraciones.

Diagrama esquemtico de un sistema de control activo de vibraciones

Sistema o Estructura Respuesta Excitacin

Actuadores

Sistema de monitoreo y control

Sensores Sensores

1512.5107.552.50

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

x

y

x

y

1512.5107.552.50

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

Los edificios ms altos del mundo

36

Burj Dubai: 828 m, 163 pisos

37

Freedom Tower (One World Trade Center), NY

541 m, 104 pisos

Ejemplo: Edificio con sistema de compensacin activa contra sismos

Yokohama Landmark Tower Lugar: Yokohama City, Japn Construccin: 1993 Altura: 296 m Pisos: 70-74 Peso: 260 610 ton Dispositivo activo: 2 Hybrid Mass Dampers (Multi-Step Pendulum Absorbers) = 2 Tuned Mass Dampers (340 ton) + Servomotors

Ejemplo: Edificio con sistema de compensacin activa para sismos

Ejemplo: Torre Mayor de la Ciudad de Mxico Construccin terminada en 2003. Altura de 225 m. 50 pisos. 252 pilotes en la cimentacin a una

profundidad de 60m. 98 amortiguadores ssmicos del tipo

electrohidrulico. Diseada para soportar vientos hasta

de 256 km/hr. Sismos de hasta 8.5 grados Richter

producen oscilaciones equivalentes a vientos de 35 km/hr.

1.2 Elementos de un sistema vibratorio Un sistema mecnico vibratorio consta de los siguientes elementos bsicos:

Masa o inercia. Es un elemento que almacena energa cintica del sistema.

Rigidez (resortes). Es un elemento que almacena la energa potencial en el sistema.

Amortiguamiento o friccin. Es un elemento disipador de la energa en el sistema.

Fuente de energa (interna/externa). El medio que excita la dinmica natural o forzada del sistema vibratorio.

A pesar de la simplicidad aparente, cualquier sistema o componente mecnico contiene estos elementos, inclusive los planetas o los tomos.

1.2 Elementos de un sistema vibratorio

Significado fsico de las vibraciones El fenmeno de las vibraciones es una manifestacin del comportamiento oscilatorio de los sistemas mecnicos, resultado de la intercambio de energa potencial y energa cintica entre los componentes del sistema. Especficamente,

Un sistema vibratorio tiene un elemento que almacena energa potencial y la transfiere o libera como energa cintica en la forma de movimiento o vibracin de una masa. El movimiento de la masa almacena energa cintica y la transfiere luego al elemento que almacena la energa potencial.

Significado fsico de las vibraciones Por supuesto, el movimiento oscilatorio no es exclusivo de los sistemas puramente mecnicos y se produce tambin en sistemas elctricos, hidrulicos, trmicos, etc. Aunque el fenmeno se produce por el intercambio repetitivo de dos tipos de energa entre los componentes del sistema. En la mayora de los casos las energas no son completamente reversibles, debido a la presencia de algn mecanismo de disipacin de energa (e.g., amortiguamiento o friccin en los sistemas mecnicos, la resistencia en los sistemas elctricos o las prdidas de calor en un sistema trmico). Cuando dicho mecanismo de disipacin es dominante se pueden inhibir las vibraciones. No obstante, cualquier sistema es capaz de vibrar por el efecto de alguna fuente de energa externa (exgena) o interna (endgena), en cuyo caso se denominan vibraciones forzadas.

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Considere un sistema masa-resorte sin amortiguamiento (c=0), como se ilustra en la figura: Se trata de un simple sistema mecnico de un grado de libertad, cuyo movimiento se puede describir mediante el desplazamiento x(t) de la masa m, con respecto a su posicin de equilibrio x=0 (esttico). Los parmetros del sistema son la masa m y la rigidez del resorte k, suponiendo que es un resorte con funcin de rigidez lineal (i.e., se comporta de acuerdo a la Ley de Hooke F=kx).

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento

Observe que: Energa potencial almacenada por el resorte:

Energa cintica almacenada por la masa:

Energa total en el sistema:

)(21 2 tkxEpot =

)(21 2 txmEcin =

)(21)(

21 22 txmtkx

EEE cinpotTotal

+=

+=

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Para obtener la ecuacin de movimiento del sistema se utiliza el diagrama de cuerpo libre: Aplicando la segunda Ley de Newton (condicin de equilibrio dinmico) resulta la ecuacin de movimiento

)(x), x(tFtkxtxctxm 00 ),()()()(

=++

)(),(),( txtxtx

)(tkx0)( txc

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Cuando el amortiguamiento es despreciable (c0) y no existe ninguna fuerza externa (F(t)0) la ecuacin se simplifica como

la cual tambin puede normalizarse como Esta es la ecuacin de un oscilador armnico (lineal) que permite describir el movimiento libre del sistema. Ahora se aplica la transformada de Laplace, resultando

)(x), x(tkxtxm 00 ,0)()(

=+

)(x),x(mk txtx nn 00, ,0)()(

2

==+

( )22

22

)0()0()(

)0()0()(

n

n

sxsxsX

xsxsXs

++

=

+=+

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Por lo tanto, regresando al dominio del tiempo se obtiene la respuesta del sistema bajo la perturbacin en condiciones iniciales: En particular, cuando la respuesta est caracterizada por En este caso las energas potencial y cintica en el sistema son

0 ,sin)0(cos)0()( += ttxtxtx nn

n

0)0( =x

0 ,sin)0()(0 ,cos)0()(

=

=

ttxtxttxtx

nn

n

tkxtxmtxmE

tkxtkxE

nnncin

npot

222222

222

sin)0(21sin)0(

21)(

21

cos)0(21)(

21

===

==

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento La energa total en el sistema es entonces Esto equivale a que este sistema es conservativo, pues no hay ninguna fuente de disipacin de energa.

( ) ( )

constante)0(21

,sin)0(21cos)0(

21

sin)0(21cos)0(

21

)(21)(

21

2

22222

22

22

==

=+=

+=

+=

+=

kx

mktmxtkx

txmtxk

txmtkx

EEE

nnnn

nnn

cinpotTotal

Sistema masa-resorte-amortiguador

1s

x2

Mux

x1 & F

1

wn^2

1s

dx2

Fuerza

Mux

Epot &EcinEtotal

Energas

1*u^2/2

Energa Potencial

1*u^2/2

Energa Cintica

Desplazamiento

-K-

2*zeta*wn

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Programa para simulacin en Simulink (descripcin en espacio de estado):

)(21 ),(

21

)()()(2)(

22

22

txmEtkxE

tFtxtxtx

cinpot

nnn

==

=++ n == wn,zeta


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Hz2832.61

2

rad/s 1

10)0(1)0(

=

=

=

=

==

=

=

nn

n

f

mk

kmxx


rad/s 1

10)0(1)0(

=

=

==

=

=

mk

kmxx

n

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

Ene

rgia

s

Etotal Epot Ecin

Ejemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamiento Una forma rpida de verificar que el sistema sea conservativo consiste en derivar la energa total con respecto al tiempo y reemplazar la ecuacin de movimiento: De aqu es posible construir las herramientas para el modelado y anlisis de estabilidad (e.g., Lyapunov) en sistemas mecnicos.

constante0

)(21)(

21 22

==

+=

+=

+=

+=

Total

Total

cinpotTotal

Exmkxmxkx

xxmxkxdt

dE

txmtkx

EEE

Ejemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamiento Cuando el amortiguamiento est presente (c>0) y no existe ninguna fuerza externa (F(t)0) la ecuacin de movimiento es

la cual tambin puede normalizarse como donde En este caso el sistema posee amortiguamiento viscoso, que constituye una fuente de disipacin de energa y se denomina sistema disipativo. Por lo tanto, la respuesta libre del sistema tender a ser frenada.

)(x), x(tkxtxctxm 00 ,0)()()(

=++

nn

nn

mc

mk

)(x),x( txtxtx

2 ,

00, ,0)()(2)( 2

==

=++

Ejemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamiento

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

2.02

4.0rad/s 1

10)0(1)0(

==

==

=

====

n

n

mc

c

mk

kmxx

Ejemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamiento

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

Ene

rgia

s

EpotEcinEtotal

2.02

4.0rad/s 1

10)0(1)0(

==

==

=

====

n

n

mc

c

mk

kmxx

Ejemplo: Pndulo simple sin amortiguamiento Ahora considere un pndulo simple sin amortiguamiento (c=0): La coordenada de inters es el desplazamiento angular del pndulo . Los parmetros de este sistema son la masa m, el momento de inercia con respecto al pivote J=ml2 y la rigidez proporcionada por el efecto de la gravedad g.

lg

n =

Ejemplo: Pndulo simple sin amortiguamiento Entonces, el pndulo sin friccin es un sistema conservativo. Adems, las energas potencial y cintica adquieren sus valores mximos en las posiciones (1,3) y (2), respectivamente.

Posicin Energa Potencial Energa Cintica

1 0

2 0

3 0

)cos1( mgl

)cos1( mgl

22

21 ml

0)0(,0)0( ,0 ,cos)0()(

sin0

=

ttlgt

Pndulo simple

Mux

x & theta

theta2

1s

theta

9.81*sin(u)

g*sin(theta)

1s

dtheta

-K-

c/(m*len^2)

Torque aplicado

0

Punto de pivoteodel pndulo

Mux

Epot &EcinEtotal

Energas

f(u)

Energa Potencial

f(u)

Energa Cintica

Animacin1/0.5

1/len

-K-

1/(m*len^2)

Ejemplo: Pndulo simple sin amortiguamiento Programa para simulacin en Simulink (descripcin en espacio de estado):

[ ] )(21 ,)(cos1

2 , ),(1)(sin)(2)(

22

22

tmlEtmglE

mlc

lgt

mlt

lgtt

cinpot

nnn

==

===++

Ejemplo: Pndulo simple sin amortiguamiento

02

0rad/s 429.4

5.0,10)0(rad1)0(

2 ==

==

=

===

=

n

n

mlc

c

lg

mlm

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

-0.5

0

0.5

1

t

thet

a(t)

Ejemplo: Pndulo simple sin amortiguamiento

02

0rad/s 429.4

5.0,10)0(rad1)0(

2 ==

==

=

===

=

n

n

mlc

c

lg

mlm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

t

Ene

rgia

s

EpotEcinEtotal

Ejemplo: Pndulo simple con amortiguamiento

09.02

Nm/(rad/s) 2.0rad/s 429.4

m5.0,10)0(

rad 1)0(

2 ==

==

=

===

=

n

n

mlc

c

lg

lm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t

thet

a(t)

Caso amortiguado

Ejemplo: Pndulo simple con amortiguamiento

09.02

Nm/(rad/s) 2.0rad/s 429.4

m5.0,10)0(

rad 1)0(

2 ==

==

=

===

=

n

n

mlc

c

lg

lm

Caso amortiguado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

t

Ene

rgia

s

EpotEcinEtotal

Mecnica Computacional: Anlisis, Control y Aplicaciones a Problemas de Vibraciones Mecnicas1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin general1.1 Introduccin generalAlgunos casos de sistemas mecnicos complejos y sus problemasEl puente de Tacoma NarrowsEl puente de Tacoma NarrowsEl puente de Tacoma NarrowsEl puente de Tacoma NarrowsEl actual puente de Tacoma NarrowsEl puente Kororbabeldaob de las Islas PalauEl moderno Puente del Milenio en LondresEl Moderno Puente del Milenio en LondresEl Moderno Puente del Milenio en LondresSlide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Suspensin activa de Cadillac con amortiguador MR Delphi1.1.3 Dinmica y VibracionesEjemplos de sistemas vibratoriosUtilidad/Dao ocasionado por las vibracionesUtilidad/Dao ocasionado por las vibracionesUtilidad/Dao ocasionado por las vibracionesSoluciones de la ingeniera y tecnologa Soluciones de la ingeniera y tecnologaSoluciones de la ingeniera y tecnologaDiagrama esquemtico de un sistema de control activo de vibracionesLos edificios ms altos del mundoBurj Dubai: 828 m, 163 pisosEjemplo: Edificio con sistema de compensacin activa contra sismosEjemplo: Edificio con sistema de compensacin activa para sismosEjemplo: Torre Mayor de la Ciudad de Mxico1.2 Elementos de un sistema vibratorio1.2 Elementos de un sistema vibratorioSignificado fsico de las vibracionesSignificado fsico de las vibracionesEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte sin amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamientoEjemplo: Sistema masa-resorte con amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple sin amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple sin amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple sin amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple sin amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple sin amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple con amortiguamientoEjemplo: Pndulo simple con amortiguamiento

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