Curso de simulacion de nanomateriales

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II Escuela Andina de Espectroscopía2-6 de marzo de 2009

CURSO:“Propiedades eléctricas y mecánicas de nanohilos metálicos y otros sistemas de

baja dimensionalidad”

Dr. Pedro A. SerenaDr. Pedro A. SerenaInstituto de Ciencia de Materiales de MadridInstituto de Ciencia de Materiales de Madrid

Consejo Superior de Investigaciones CientíficasConsejo Superior de Investigaciones CientíficasEE--mail: mail: [email protected]@icmm.csic.es

09/07/2007 2

Instituto de Ciencias de Materiales de Madrid(ICMM-CSIC)

Campus de la Universidad Autónoma de MadridCantoblanco, 28049-Madrid

Carretera de Colmenar km. 14,5 / Tren Cercanias / Bus: Plaza de Castilla

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Esquema del “nanoEsquema del “nano--curso”curso”••NanocienciaNanociencia y nanotecnologíay nanotecnología••Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido. Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido. ••Modelos clásicos y Modelos clásicos y semiclásicossemiclásicos de transporte de transporte electrónico.electrónico.••Modelos cuánticos de transporte electrónico.Modelos cuánticos de transporte electrónico.••Transporte en Transporte en nanotubosnanotubos de carbono y en de carbono y en materiales materiales nanoestructuradosnanoestructurados..••Transporte en Transporte en nanocontactosnanocontactos metálicos.metálicos.

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NanocienciaNanociencia y nanotecnología.y nanotecnología.

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Razones para empezar a conocer lo que es Nanotecnología

Creciente impacto científico: Evolución de publicaciones y patentes.

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Nanotecnología: “Investigación y desarrollo tecnológico a nivel atómico, molecular y supramolecular destinados a proporcionar entendimiento fundamental de los fenómenos y los materiales en la nanoescala (1-100 nm) y poder así, crear y usar estructuras, dispositivos y sistemas que presenten nuevas propiedades y funciones debido a su tamaño pequeño o intermedio.”

(M. Roco, NSF – NNI, EE.UU., http://www.nano.gov)

El término “Nanotecnología” fue acuñado en 1974 por el Prof. NorioTaniguchi (Universidad de Tokio) dentro del contexto de la futura fabricación de componentes electrónicos con gran precisión.

¿Qué entendemos por Nanociencia y Nanotecnología?

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La ley de Moore (1965): aproximadamente cada 18 meses se dobla la capacidad de integración.

•1997: Pentium II (7.5 millones de transistores)

•1997: 250 nm de ancho de línea

•2000: Se usan líneas de 180 nm

•2002: Se usan elementos de 130 nm de tamaño

•2004: Intel Prescott con tecnología de 90nm (55 millones de transistores en el chip).

•2005: IBM, Sony y Toshiba presentan el procesador Cell 65nm (234 millones de transistores en 221 milímetros cuadrados, multinúcleo, y 256 Gflops).•2006: Litografía EUV (Extreme Ultraviolet Lithography). INFINEON (Alemania) anuncia la fabricación de chips de telefonía móvil de 65 nm.•2006: SAMSUNG anuncia la fabricación de memoria Flash NAND de 32 Gbytes de 40 nm (36000 fotos o 40 películas). • 2006: Intel anuncia memorias Flash de tecnología de 50 nm.

•2007: Intel lanza al mercado Itanium 2 que contiene 410 millones de transistores con un tamaño promedio de 45 nm, en un chip de 3 cm2.

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La ley de Moore (1965): el camino hacia la nada.El uso de semiconductores para elaborar circuitos integrados tiene sus propias limitaciones físicas. La densidad típica de portadores en semiconductores es de 1015 a 1019 portadores/cm3. Típicamente 10x10x10=1000 nm3 de material semiconductor dopado contienen entre 0,001 (¡!) y 10 electrones: EMPIEZAN LOS PROBLEMAS PARA LA CONDUCCIÓN ELECTRÓNICA (SIN ELECTRONES... NO HAY ELECTRÓNICA).

La transición de la Microelectrónica a la Nanoelectrónica implica una revolución tecnológica. Y esta se hará de la mano de la NANOTECNOLOGIA.

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El salto hacia la Nanotecnología:

El planteamiento de una posibilidad fascinante.

Richard P. Feynman (Premio Nobel en 1965) There's Plenty of Room at the Bottom29 de diciembre de 1959(Publicada en 1960, Caltech Science and Technology)“The principles of Physics, as far as I can see, do not speakagainst the possibility of maneuvering things atom by atom. It is not an attempt to violate any laws; it issomething, in principle, that can be done; but in practice, it has not been done because we are too big”.

http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html

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H. Rohrer y G. Binnig desarrollan a principios de los años 80 una herramienta que cambia la ‘metodología’ y la forma de abordar elestudio de los sistemas nanométricos: el Microscopio de Barrido Túnel (STM). Ambos recibieron el Premio Nobel de Física en 1986.

Del ‘nanocontrol’ han surgido poderosas herramientas como el Microscopio de Fuerzas Atómicas (AFM) (1985, Binnig, Quate, Gerber).

STM: haciendo realidad la posibilidad planteada por R. Feynman.

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STM: Una herramienta con la que ‘ver’ átomos

Silicio

Au(110)

Grafito

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AFM: El microscopio de fuerzas atómicas.

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Imagen de DNA sobre mica

AFM: El microscopio de fuerzas atómicas.

Virus MVM (diminuto del ratón)

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La respuesta es sí, podemos modificar a pequeña escala algunas superficies, haciendo marcas hacer marcas a voluntad.

Formación de 2 marcas sobre un substrato de oro.Obsérvese que las marcas creadas evolucionan con el tiempo.

La montaña tiene 20 nm de diámetro

¿Es posible usar estas máquinas para modificar a escala atómica?

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Usando un STM como una “pinza”.

D. Eigler y K. SchweizerAlmaden IBM Research Lab.

(1990)

¿Es posible usar estas máquinas para hacer modificaciones a escala atómica?

http://www.almaden.ibm.com

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Aspectos fundamentales de la Nanotecnología

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Aspectos fundamentales:

La Nanotecnología es multidisciplinar

Proteínas, Biomoléculas,Bioestructuras

NanoestructurasNanopartículasSistemas porosos

SuperfíciesSupercomputación

DispositivosSensores

NANOTECNOLOGIANANOTECNOLOGIA

FISICA

QUÍMICA

INGENIERIA

MODELIZACION

BIOLOGIA

Moléculas

Polímeross

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Aspectos fundamentales: Efectos de tamaño.

Efectos de tamaño debidos al cambio superficie/volumen: A medida que un material se presenta en forma de grano, polvo, nanopolvo, etc se modifican ciertas propiedades por el hecho de aumentar su ratio superficie/volumen. Por ejemplo, la superficieefectiva de absorción, reactividad, etc.

Efectos de tamaño de origen cuántico: Cuando el tamaño del material se hace muy pequeño de forma que las funciones de onda “sienten” las paredes, se empiezan a modificar sus propiedades. Sistemas aislantes dejan de serlo, cambios oscilatorios de la función de trabajo, desarrollo de propiedadesópticas y magnéticas nuevas.

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Aspectos fundamentales: Dos formas de trabajo.

Arribaabajo versus abajoarriba

0,1 nm 1 nm 10 nm 100 nm 1 m 10 m 100 m 1 mm

“BOTTOM-UP”• La visión del químico.• La visión del físico que trabaja con STM, AFM, etc.

“TOP-DOWN”• La visión de ingenieros de materiales.• La visión desde la litografía electrónica.

NANOTECNOLOGIA

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Fascinante comportamiento de la materia

tiza calcita

En ambos casos se usa la misma sustancia (carbonato cálcico) pero con ordenación diferente de las unidades de CaCO3.

Contiene cristales de carbonato de calcio del tipo calcita, de forma prismática y moléculas proteicas. La estratificación oblicua de los prismas de carbonato de calcio le da mayor firmeza a la concha.

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Un repaso a las cosas que hoy sabemos hacer.

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“Top-Down”: MBE + Litografía + FIB NANOFABRICACIÓN….

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SAM (self-assembly molecules, moléculas autoensambladas).Las moléculas siguen un patrón de ensamblado y el material crece de una forma concreta. Se puede dar una utilidad funcional a las moléculas y construir dispositivos con aplicaciones específicas.

“Bottom-Up”: Control a escala molecular

8.1nm

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“Bottom-Up”: Diseño de partículas con propiedades a medida.

Nanopartículas de CdSe

ORO: Las nanopartículas redondas son rojas, pero si tienen forma de palito son azules. PLATA: Las NP redondas son amarillas y las triangulares son azules o verdes.

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“Bottom-Up”: Uso de nanopartículas para diagnosis y tratamiento de cáncer.

X. Gao et al., Nature Biotechnology 22 (2004) 969

NP (d: 5nm) núcleo-corteza CdSe-ZnS

Detección cancer de próstata15 nm

Nanopartículas funcionalizadas

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C. Mirkin (NU, EE.UU.)http://www.chem.northwestern.edu/~mkngrp/pictmenu.htm

“Bottom-Up”: Ensamblado de nanopartículas

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C. Dekker, T.U. Delft, NLhttp://vortex.tn.tudelft.nl/grdekker/grdekker.html

Los Nanotubos de Carbono son rectificadores o conductores en función de su diámetro y forma de enrollamiento.

“Bottom-Up”: Contactando nanotubos

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E. Meyer, et al. Science, Vol. 288, Number 5464, April 14, 2000.J. Fritz, M. Baller, H.P. Lang, Proyecto conjunto U. Basilea – IBM (Zurich)

Sensores biológicos

Otros dispositivos de ámbito “nano”

“Narices” y “lenguas” electrónicas.

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El abanico de aplicaciones de la Nanotecnología.

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Agrupando las líneas de investigación en Nanotecnología

Liberación de fármacos

Liberación de fármacos Ingeniería de

tejidos

Ingeniería de tejidos

Síntesis de fármacos

Síntesis de fármacos

DiagnosisDiagnosis Agentes para imagen

Agentes para imagen

ImplantesImplantes

BiomimetismoBiomimetismo

NANOBIOTECNOLOGÍA /NANOMEDICINA

NANOBIOTECNOLOGÍA /NANOMEDICINA

DefensaAeronaútica

DefensaAeronaútica CosméticaCosmética

Bienes de consumo

Bienes de consumo

CatalizadoresCatalizadores

ConstrucciónConstrucción AutomociónAutomoción

Impresión / Empaquetado

Impresión / Empaquetado

EnergíaEnergía

NANOMATERIALESNANOMATERIALES

Computación Cuántica

Computación Cuántica Almacenamien

to de datos

Almacenamiento de datos

EspintrónicaEspintrónica

Nanohilos y Nnaotubos

Nanohilos y Nnaotubos

Paneles Solares

Paneles Solares PantallasPantallas

FotónicaFotónica

Dispositivos de un solo electrón

Dispositivos de un solo electrón

NANOELECTRÓNICANANOELECTRÓNICA

PoluciónPolución Dispositivos médicos

Dispositivos médicosAutomóvilesAutomóviles

Dimensión crítica

Dimensión crítica Análisis

Químico

Análisis Químico Control de

calidad

Control de calidad

Electrónica de consumo

Electrónica de consumo

Medidas de espesor

Medidas de espesor

SENSORES Y ACTUADORESSENSORES Y

ACTUADORES

INSTRUMENTACION Y METROLOGÍA

INSTRUMENTACION Y METROLOGÍA

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Nanotecnología: La actitud de las Administraciones Públicas.

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Iniciativas en la Unión Europea: Centros y Redes

FRANCIA: Minatec (Grenoble)Fusión de CEA-Léti e INP Grenoble3500 Ingenieros más personal de apoyo.Presupuesto (2000-2005): 400 M€Áreas: Microelectrónica, Nanociencia, Biología, Software.Se inagurará en 2006.http://www.minatec.com

09/07/2007 34

2000 2010 2020 2030 2040 2050

Control sobre la fabricación de nanopartículas, de nanomateriales.

La industria basada en la aproximación “top-down” sigue

predominando.

Las tecnologías “bottom-up” conviven con las tecnologías “top-down”. Las nanopartículas dejan paso a sistemas nanométricos de

mayor complejidad.

Predominio de las técnicas “bottom-up” en la industria. Los nanosistemas se convierten en complejos nanodispositivos.

AÑO

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Del laboratorio a los escaparates...

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Nanotecnología: Principio de precaución

IMPACTO ECOLÓGICOIMPACTO

ECOLÓGICO

NORMATIVANORMATIVA NANO-METROLOGÍA

NANO-METROLOGÍA

SEGURIDADLABORAL

SEGURIDADLABORAL

SALUDSALUD

NANO-ECO-

TOXICOLOGÍA

NANO-ECO-

TOXICOLOGÍA

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Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido. Un breve repaso a Física Cuántica y Estado Sólido. Modelos clásicos y Modelos clásicos y semiclásicossemiclásicos de transporte de transporte

electrónicoelectrónico..

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Newton SchrödingerDada la fuerza, se encuentra Dado el potencial, se encuentrala trayectoría la función de onda.

F = ma = m (d2r/dt2) (- (h2 / 2m) 2 + V) i h (d /dt)solución: r = f(t) solución: = f(r,t)

De Newton a Schrödinger

Conocido el potencial se procede a calcular (de forma muy costosa, eso sí) la función de onda (ecuación diferencial en derivadas parciales con condiciones de contorno adecuadas)... Según la forma de V(r,t) el proceso puede ser sencillo (rara vez), costoso o inalcanzable (la mayoría de las veces)... Ahora supongamos que lo logramos...

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Simplificando la vida... Modelos de fácil resolución.

Los físicos suelen simplificar muchas interacciones reales a situaciones (a ser posibles unidimensionales y estacionarias) enlas que los potenciales sean “asequibles”, de fácil tratamiento dentro de la MC. He aquí algunos de ellos...

Potencial plano (partícula libre)

Escalón de potencial (interfase)

Escalón de potencial (interfase)

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Barrera de potencial (interfase doble)

Pozo de potencial (átomo, cavidad)

Pozo de potencial de paredes de alturainfinita (átomo, cavidad)

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Potencial periódico: barreras periódicas de potencial (cristal, interfases múltiples)

Barrera doble de potencial (sistema confinado con posibilidad de escape, sistemas radiativos)

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IMPLICACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA(Unos sencillos ejemplos resolubles en 1D)

09/07/2007 43

Potencial plano (partícula libre)

La ecuación de Schrödinger es -(2 /m)2 (r) =E (r)

que tiene como solución general (r) = A e ikr+

A es la amplitud de la onda, el momento es p= k, y es una fase. La energía de una onda plana sería E= 2k2/(2m)=p 2/(2m)= mv2/2

Esto es por lo que en Mecánica Cuántica una partícula libre es análoga a una onda plana.

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Para definir la barrera de potencial se asume que tenemos el problema dividido en tres zonas:

-potencial es igual a 0 si x<0 (zona I) y x>L (zona III), -y es igual a la cantidad V para 0<x<L (zona II).

La solución de la ecuación de Schrödinger es una función que consiste en la conexión adecuada de las tres soluciones para cada región. La solución tiene una forma sencilla (donde aparecen funciones seno, coseno y exponenciales). Sin embargo lo más importante es que una vez encontrada la solución se puede calcular el llamado coeficiente de transmisión T, probabilidad de que una partícula que incide desde la izquierda –zona I- en la barrera aparezca en la derecha –zona III.

Barrera de potencialde altura V y ancho L

I II III

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Barrera de potencialde altura V y ancho L I II III

)1/)(/(4)1/2(sin1

12

VEVEVEq

T

)/1)(/(4)/12(sinh1

12

VEVEVEq

T

2

22

mVLq

Caso E>V

Caso E<V

Lo más importante es que T no es 0 en el caso E<V. Esto es el efecto túnel. Además se tienen efectos divertidos como que T no es siempre 1 si E>V (efectos de resonancia).

09/07/2007 46

La función de onda sólo puede definirse dentro de la cavidad ya que fuera de ella toma valores nulos. A la hora de encontrar la solución nos encontramos que (x) sólo puede existir para ciertos valores de la energía. Es decir, de forma natural aparecen niveles de energía. Las otras energías están prohibidas.

A medida que la caja se estrecha los niveles aumentan su energía.

Pozo de ancho L y paredes de altura infinita.

2

222

2 Ln

mEn

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Pozo de ancho L y paredes de altura infinita.

n=1

n=2

n=3

n=1

n=2

n=3

¿Qué sucede con los niveles a medida que cambia el ancho L?

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Efectos de la cuantización de los niveles

(asociada al tamaño)

Nanopartículas de CdSe

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EFECTOS CUÁNTICOS DE TAMAÑO

09/07/2007 50

Schrödinger equation

ba

L

a

LL

a

a’

)()()()(2

2

rErrVrm fe

boxfe VrrV 0)(

boxfe VrrV )(Vbox represents the set of points inside the nanowire (box)

09/07/2007 51

Wavefunctions and eigenvalues in simple systems

ba

L

)()()exp()( yb

nsinx

ansinzikNr yx

z n

z

mkE

2

22

2

2

2

222

, 2 bn

an

myx

nnn yx

ab

n1 n2 n12+ n2

2 deg G/G0 (si abierto) 1 1 2 1 1 1 2 5 2 3 2 1 5 2 2 8 1 4 1 3 10 2 6 3 1 10 2 3 13 2 8 3 2 13 1 4 17 2 10 4 1 17 3 3 18 1 11 2 4 20 2 13 4 2 20 3 4 25 2 15 4 3 25 1 5 26 2 17 5 1 26

2

22

2

22

, 2 y

xnnnn

nmayx

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Wavefunctions and eigenvalues in simple systems

b

a

L

2

22

2

22

2

2

2

222

, 22 y

xyx

nnnn

nmab

nan

myx

ab

0 5 10 15 20 25 30

02468

101214161820222426

a=1 nm b= 1 nm a=2 nm b= 0.5 nm a=3 nm b= 1/3 nm a=4 nm b= 1/4 nm

Ener

gy (e

V)

Level index

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Energy 1D subbands

n

n EDED )()(

)(212)( 22 Evh

LE

mLEDin

n

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

EF

kz

E

7

4

3

6

5

2

1

Ener

gy (a

rb. u

nits

)

kz

mkkE zz

2

nz

mkE

2

22

09/07/2007 54

Density of states. Square nanowires.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.0

1.0x1029

2.0x1029

3.0x1029

4.0x1029

5.0x1029

bulk DOSa=b= 1 nm

g(E)

: den

sity

of s

tate

s pe

r uni

t len

gth

(ele

ctro

ns J

-1 m

-1)

EF (eV)

E

n nn n

nn EmLEDEgEg

12/)()()( 22

09/07/2007 55

Linear electron density

n

nFnF EEmLN )()(22 2/1

22

n

nFnF EEmLN )()(22 2/122

Kinetic energy

n

ntot

kin EDEdELEDEdELE )()(

nnFnnFnF

totkin EEEmLE 2/12/3

22 )()(31)(22

09/07/2007 56

Open systems: Grand canonical potential

)1ln()(),( /)( TkEB

BeEDdETkT

NEET Ftotkin )0,(

dLdELEm

dLdF n

nFnFn

2/12/322 )(2)(

342

22

22

, 2y

xnnnn

nLmVyx

Forces in free-electron nanowires

Square cross-section

nnFnFn

EEmdLdF

2/12/3

22 )(2)(342

09/07/2007 57

Elongation of a square nanowire

b

a

L

ab •Constant volume•Constant ratio b/awtll 0

Fyx EnnmV

wtL

)(2

)( 22022 LaLbaV 2

constantLaLbaV 2

09/07/2007 58

0 10 200

10

20Au rs=3.01 auV0=3 nm3

a0=b0=l0=(V0)1/3=1.4422 nm

Con

duct

ance

G/G

0

l (nm)0 10 20

0

25

50

75

100

125

150Au rs=3.10 auV0=3 nm3

a0=b0=l0=(V0)1/3=1.4422 nm

Tota

l cha

rge

(ele

ctro

ns)

l (nm)

0 10 200.0

5.0x1021

1.0x1022 Au rs=3.01 au

V0=3 nm3

a0=b

0=l

0=(V

0)1/3=1.4422 nm

Tota

l DO

S (e

lect

rons

/J)

l (nm)0 10 20

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

Etotkin

Au rs=3.01 auV0=3 nm3

a0=b0=l0=(V0)1/3=1.4422 nm

Tota

l ene

rgy,

them

odyn

amic

pot

entia

l (eV

)

l (nm)

0 10 20-8

-6

-4

-2

0

-d /dl

Au rs=3.01 auV0=3 nm 3

a0=b0=l0=(V0)1/3=1.4422 nm

Forc

e (n

N)

l (nm)

Free-electron model for mesoscopic force fluctuations in nanowiresS. Blom et al., PRB 57, 8830 (1998)

09/07/2007 59

LA AGITADA VIDA DE UN ELECTRON EN UN METAL

MODELOS DE DRUDE y DRUDE-SOMMERFELD

09/07/2007 60

La “piscina” electrónicaPrincipio de exclusión de Pauli. En cada nivel podemos poner dos electrones (uno con spin “up” y otro con spin “down”). El número total de electrones del cristal lo determina el tipo de material. Por ejemplo, el oro cede un electrón por átomo, mientras que el aluminio cede tres.

¿Cómo se describe un metal en términos de la Mecánica Cuántica?

Niveles vacíos

Niveles llenos

Función de trabajo

Energía de Fermi

09/07/2007 61

Algunos datos técnicos:Densidad electrónica n (número de electrones por unidad de volumen) Momento de Fermi kF= (32n)1/3

Velocidad de Fermi vF=kF/mEnergía de Fermi EF= 2kF

2/(2m)

Algunos ejemplos:Sodio(Na) Oro (Au) Aluminio(Al)

N (e/cm3) 2,65 1022 5,90 1022 18,1 1022

kF (m-1) 9,22 107 1,20 108 1,65 108

vF (m/s) 1,07 106 1,39 106 2,03 106

EF (electronvolt) 3,24 5,53 11,67


09/07/2007 62


colisiónSin campo eléctrico

con campo eléctrico

E

09/07/2007 63

El juego de las colisiones...Una colisión implica que un electrón cambia de estado.Una colisión sólo está permitida si el estado final del electrónestá vacío.


ColisiónColisión

Si el estado final ya lo ocupa un electrón con igual momento (p=mv) dicha colisión está prohibida.

09/07/2007 64

El juego de las colisiones...Sólo los electrones situados cerca del nivel de Fermi pueden colisionar. La región energética involucrada tiene un ancho kBT. Se puede asumir que sólo los electrones de energía EF juegan...


Niveles vacíos

Niveles llenos

Función de trabajo

Energía de Fermi

Región donde hay colisiones

09/07/2007 65


Distribución de Fermi-Dirac

)exp(1

1),(

TkEEf

B

FD

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

potencial químico=1 eV

f FD(E

)

E (eV)

KBT=0.01 eV KBT=0.03 eV KBT=0.05 eV KBT=0.07 eV KBT=0.09 eV

09/07/2007 66


l3

l1

l2l5

l4

l6

l7 l10

l9

l11

l13

l12

l8

l14 l15

Recorrido libre medio (l). Es la distancia promedio que un electrón recorre entre dos colisiones. (p.ej. l= (l1+l2...+l15)/15).Tiempo medio entre colisiones (). Es el tiempo promedio entre dos colisiones consecutivas. (p.ej. = (1+ 2...+ 15)/15).

¿Cuánto vale la velocidad típica que se alcanza entre dos colisiones?

09/07/2007 67


Eetpav

)(

Emetvav

)(

09/07/2007 68


Calculando la conductividad...• La ley de Ohm dice J=E (donde J es la densidad de corriente, es la conductividad (inversa de la resistividad =-1) y E es el campo eléctrico aplicado.• Por otro lado se puede calcular J=nev, a partir de la densidad de portadores (electrones), la carga del electrón, e, y del aumento neto de velocidad, v, que sufren los electrones en presencia de campo E.• Pero es fácil ver que en promedio v=a =(F/m) = (eE/m) .• Luego J=ne(eE/m) =(ne2 /m)E => = ne2 /m.• Esta expresión es la conductividad de Drude.

09/07/2007 69


= ne2 /m¿Cómo calcular el recorrido libre medio?De la medida experimental de a diversas temperaturas podemos estimar el valor de l=v .

¿Qué valor tiene la velocidad? Sólo los electrones con energía cercana a la energía de Fermi intervienen en el transporte electrónico. Por lo tanto se debe asumir que los electrones se desplazan con la velocidad de Fermi.

2/1/2 mEvl FF

09/07/2007 70


Resistividad del oro

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,0 200,0 400,0 600,0 800,0 1000,0

Temperatura (K)

Res

isiti

vida

d (1

0-8

Ohm

m)

El caso del oro en el rango de 1 a 900 K

= ne2/ml=vF

09/07/2007 71


El caso del oro en el rango de 1 a 900 K

Recorrido Libre Medio en Au

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

0 200 400 600 800 1000

Temperatura (K)

Reco

rrid

o Li

bre

Med

io

(nm

)

= ne2/ml=vF

A temperatura ambiente (300K) un electrón en el oro tiene recorridos libres medios de más de 35 nm

09/07/2007 72

EL EFECTO DE LA RED PERIODICA

09/07/2007 73

a

-2π/a π/a 0 π/a 2π/a

Red recíproca 1D

Red periódica 1D (espacio real)

09/07/2007 74

)()()()(2

22

rErrVrm

Ecuación de

Schrödinger

)()( rErH )(2

22

rVm

H

Potencial periódico )()( RrVrV

Red periódica332211 amamamR

enterosnúmerossonmmmunidadceldaladefinenquevectoressonaaa

),,(),,(

321

321

09/07/2007 75

Teorema de Bloch

recíprocoespacioelenvectorunesk

cristalinomomentoeldefinequeetiquetaunaesk

)()()( rkErH kk

)()( RrVrV

dispersiónderelaciónlaeskE )(

Partícula libre

)exp()exp()exp()( zikyikxikNr zyxk

mk

mk

mk

m

kkE zyx

2222)(

22222222

)()( reRr rki

09/07/2007 76

Teorema de Bloch. Funciones de onda tipo Bloch.

)()()( ,, rkErH knnkn

)()( RrVrV

dispersiónderelaciónlaeskEn )(

kkEr

imr

rvrkv

nknkn

knknn

)(1)()(

)()()(

,,

,,

09/07/2007 77

Ejemplo de relación de dispersión en caso 1D

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

E(k)

k*a/pi

Bandas prohibidas

09/07/2007 78

Relación de dispersión en un caso 3D: GaAs

)(kEn

09/07/2007 79

EL MODELO SEMICLASICO DEL TRANSPORTE

09/07/2007 80

Tensor de conductividad en el modelo semiclásico

Ej

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

n

n )(

)(

32)( )()()())((

4 kEE

FDnnn

n

nE

EfkvkvkEkde

kkEkv n

n

)(1)(

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,60

5

10

15

20

25

potencial químico=1 eV-(

dfFD

(E) /

dE

)

E (eV)

KBT=0.01 eV K

BT=0.03 eV

KBT=0.05 eV

KBT=0.07 eV

KBT=0.09 eV

09/07/2007 81


Inelastic events= ne2i/mli=vFi

Las colisiones electrón-fonón son eventos inelásticos en los que el electrón puede gana o perder energía. En dicha colisión el electrón suele perder su comportamiento cuántico en el sentido de perder su fase cuántica. Sin embargo entre dos eventos inelásticos podemos decir que el electrón conserva su descripción cuántica.

09/07/2007 82

Tem

pera

tura

dec

reci

ente

09/07/2007 83

DISMINUYENDO EL TAMAÑO DE LOS CIRCUITOS

09/07/2007 84

¿Qué sucede con el transporte a través de un sistema de dimensiones nanométricas?

La resistencia total de este sistema es la suma de las resistencias de los tres cilindros. Rtot=R1+R2+R3, donde Ri=i Li / (ai

2). Se ha aplicado la Ley de Ohm que rige en el mundo macroscópico.

L1 L2 L3

a1a2

a312

3

09/07/2007 85


A medida que el cilindro central se hace más corto y estrecho laresistencia total está determinada esencialmente por la resistencia central (la mayor de las tres), es decir R2=2 L2 / (a2

2).

L1 L2 L3

a1 a2a31 3

09/07/2007 86


¿Qué sucede si el cilindro central se llega a hacer tan pequeño que sus dimensiones estén por debajo del recorrido libre medio?

L2

a2

l

Ocurre que en ese caso la probabilidad de colisión con la red enmovimiento se hace muy pequeña y el electrón pasa por la constricción de forma BALÍSTICA. Es decir, EL CONCEPTO DE RESISTIVIDAD MACROSCÓPICA NO TIENE SENTIDO.

09/07/2007 87

¡¡¡¡¡NECESITAMOS UNA DESCRIPCION ALTERNATIVA!!!

09/07/2007 88

-(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión 3D

Región de interacciónOnda plana incidente

Onda emergente

)()( iirkiii eAr

)(ro

09/07/2007 89

-(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión 3D

Onda plana incidente

Onda emergente en campo lejano

)()( iirkiii eAr

))'('()'(')( krkioo ekAkdr

Región de interacción

La información sobre el efecto dispersivo de la región de interacción está contenida en las amplitudes Ao(k’) y los desfasajes δ(k’).

09/07/2007 90

Dirección transversal Dirección longitudinal

-(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión cuasi-1D

09/07/2007 91

EVENTOS ELÁSTICOS: Conservan la energía total.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

E

EF

e7

e4

e3

e6

e5

e2

e1

Ener

gy (a

rb. u

nits

)

kz

-(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Dispersión cuasi-1D

09/07/2007 92

-(2 /m)2 (r) +V(r) (r) =E (r) => Matriz Scattering

Scattering Matrix

i

d

i

d

d

i

´ˆ´ˆ

DI

rttr

DI

DI

S

SS 1

, , , diid DIDIAmplitudes de las ondas entrantes y salientes.

09/07/2007 93

i

d

i

d

d

i

´ˆ´ˆ

DI

rttr

DI

DI

S

2,,

2

,, jij

ijiji

j

iji r

vvRt

vvT

2,,

2

,, '~ '~ji

j

ijiji

j

iji r

vvRt

vvT

Probabilidades de transmisión y reflexión

))()()()((2

** rrrrmi

j

j

jii TT , j

jii RR , j

jii TT ,~~

jjii RR ,

~~

09/07/2007 94

Situaciones no elásticas y no descritas en la matriz S

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

e7

e4

e3

e6

e5

e2

e1

Ener

gy (a

rb. u

nits

)

kz

09/07/2007 95

FORMALISMO DE LANDAUER-BÜTTIKER

09/07/2007 96

µ1 µ2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.0

1.0x1029

2.0x1029

3.0x1029

4.0x1029

5.0x1029

bulk DOSa=b= 1 nm

g(E)

: den

sity

of s

tate

s pe

r uni

t len

gth

(ele

ctro

ns J

-1 m

-1)

EF (eV)

)(212)( 22 EvhE

mEgin

i

09/07/2007 97

j jjijii

ii EREfETEfEgEvedEI 1)(~)()()()()( ,2,1

µ1 µ2

jjiii

ii

jjiii

ERdEEfEgEve

EdEfEgEve

ETdEEfEgEvedI

)(~)()()(

)()()(

)()()()()(

,2

2

,1

dEintervaloelenyicanalelenderechoelectrodoelenmedido

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

e7

e4

e3

e6

e5

e2

e1

Ener

gy (a

rb. u

nits

)

kz

09/07/2007 98

µ1 µ2

j jjiji EREfETEfdE

heI 1)(~)()()(2

,2,1

i jji ETEfEfdE

heI )()()(2

,21

1)~( ,, jijij

RT

09/07/2007 99

µ1 µ2

eV 21

)exp(1

1),()(1

11

TkEEfEf

B

FD

)exp(1

1),()(2

22

TkEEfEf

B

FD

eVEEfeVEfEfEfEfEfEf FDFDFDFD

)()()()()()()( 1

112121

09/07/2007 100

µ1 µ2

i jji ETEfEfdE

heI )()()(2

,21

ji

ji ETEEfdEV

heI

,,

12

)()(2

eVEEfEfEf

)()()( 1

21

09/07/2007 101

µ1 µ2

ji

ji ETEEfdE

he

VIG

,,

12

)()(2

ji

Fjiji

Fji ETGETheG

,,0

,,

2

)()(2

)()(0 1FEE

EEfT

09/07/2007 102

129001

00 G

R

jFjii

ii

ETTandheGwhere

TGG

)(2,

2

0

0

09/07/2007 103

Sistemas de altas transmitividades

• El valor G0 es 7,747 10-5 -1 y se conoce como “cuanto de la conductancia”. La resistencia asociada a dicho valor es de 12906 y se conoce como “cuanto de resistencia”.

0

2

)(2 GETheG F

¿Que ocurre en un sistema que es muy estrecho y por el que sólo es posible poseer un canal de conducción que además casi no siente los defectos (es decir T1 es aproximadamente 1)?

• El valor G0 es 7,747 10-5 -1 y se conoce como “cuanto de la conductancia”. La resistencia asociada a dicho valor es de 12906 y se conoce como “cuanto de resistencia”.

0

2

2)(2 GETheG F

¿Que ocurre si el sistema es un poco más ancho y ahora es posible introducir dos canales de transporte (que son buenos conductores, es decir T1 T2 1)?

kR 9,12

kR 45,6

09/07/2007 104

Landauer formalism

i

i ETEEfdE

heG )()(2 2

SA

V

I

SA

V

I

Vab

a b

?VI¿ab

abG

2 terminals

4 terminals

jFjiFi

Fi

i

ETETandheG

ETGGT

)()(2

)(0

,

2

0

0

abVI

abG

VI

G

09/07/2007 105

Landauer formalism

SA

V

I

Vab

a b

bab GG

a

21

))()(1()(

1)(

)(1)(2)()(

0

ETEREvE

EfdE

EvEEfdEET

EEfdE

GG

iii i

i iii

ab

09/07/2007 106

UN EJEMPLO: SISTEMAS DE FUNCIONES DELTA EN UN HILO 1D

09/07/2007 107

delta-function potential

reservoir

Distribución de defectos sobre una recta

reservoir

L

09/07/2007 108

)(1

pxxikea

)(1

pxxikeb

)(2

pxxikeb

)(2

pxxikea

)(),( 0 pp xxUxxV 20

kmU

)(1

)(11 ),( pp xxikxxik

p ebeaxx )(

2)(

22 ),( pp xxikxxikp eaebxx

Resolviendo la ecuación de Schrödinger

09/07/2007 109

)(1

pxxikea

)(1

pxxikeb

)(2

pxxikeb

)(2

pxxikea

)(),( 0 pp xxUxxV 20

kmU

2

1

2

1

''

aa

rttr

bb

ii

i

iii

rttr

S

111

11

1''

i

d

i

d

d

i

´ˆ´ˆ

DI

rttr

DI

DI

S

Obteniendo la matriz de scattering para un defecto

09/07/2007 110

)(1 )( pxxikepa

)(1 )( pxxikepb

)(2 )( pxxikepb

)(2 )( pxxikepa

)(),( 0 pp xxUxxV

Combinando dos matrices de Scattering

)(),( 0 qq xxUxxV

)(1 )( qxxikeqa

)(1 )( qxxikeqb

)(2 )( qxxikeqb

)(2 )( qxxikeqa

)()(

''

)()(

2

1

2

1

papa

rttr

pbpb

)()(

''

)()(

2

1

2

1

qaqa

rttr

qbqb

)(12

)(1

)(2 )()()()( qpqp xxikxxikxxik eqapbeqaepb

)(12

)(1

)(2 )()()()( qpqp xxikxxikxxik eqbpaeqbepa

09/07/2007 111

)(1 )( pxxikepa

)(1 )( pxxikepb

)(),( 0 pp xxUxxV )(),( 0 qq xxUxxV

)(2 )( qxxikeqb

)(2 )( qxxikeqa

)()(

),('),(),('),(

)()(

2

1

2

1

qapa

qprqptqptqpr

qbpb

Combinando dos matrices de Scattering

)(1 )( pxxikepa

)(1 )( pxxikepb

)(2 )( qxxikeqb

)(2 )( qxxikeqa

09/07/2007 112

reservoir reservoir

S1S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

10

1

10...110...1

10...110...1

10

1

''

aa

rttr

bb

An example: 10 defects in the wire

ikxea 1

ikxeb 1

ikxeb 10

ikxea 10

210...1

22 theG

Combinando varias matrices de scattering

09/07/2007 113

reservoir reservoir

S1S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

NNN

NN

N aa

rttr

bb 1

...1...1

...1...11

''

An example: N defects in the wire

ikxea 1

ikxeb 1

ikxNeb

ikxNea

210...1

22 theG

Situación de electrodo móvil: barriendo la línea

ikxNeb

ikxNea

09/07/2007 114

We study 6 different (random) defects configuration withinthe ensemble characterized with 5000 sites, 25 defects (having ε=0.5 y T=0.8)

0 500 1000 1500 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 Def. conc. = 0.5% T=0.8

Gel

-tip

(G0)

Lel-tip (nm)

09/07/2007 115

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 a=4.17 A E=5.53 eVDefect concentration = 0.5%=0.5 T=0.8

Nsamples=1000,500,200,100,50,25,10<G

(Lel

-tip

)>/G

0

Lel-tip (nm)

Promedios estadísticos: ¿Por qué?

09/07/2007 116

0 500 1000 1500 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0a=4.17 A E=5.53 eVL=5000 sitesNdef=10,25,50,75,100,150,200,250=0.5 T=0.8

<G(L

el-t

ip)>

/G0

Lel-tip (nm)

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.100

200

400

600

800

1000

1200

L=5000 sitesNdef=10,25,50,75,100,150,200,250T=0.8

prop. 1/Ndef

(n

m)

1/Ndef

tipel

tipelL

GLG 1/)( 0

defN/1

Dependencia de la concentración de defectos

09/07/2007 117

UN EJEMPLO: SISTEMA QUASI 1D CON DESORDEN (TRATAMIENTO TIGHT-BINDING)

09/07/2007 118

Modelo Tight-binding (TB) en hilos quasi 1D

En la posición de la malla (m,n) el orbital s tiene una amplitud (peso) denotada como Am,n

Orbital atómico de tipo s (esférico) centrado en un nodo (m,n) de la malla cuadrada 2D con posición genérica Rm,n y con energía ε.

09/07/2007 119


)()( ,,

, nmsnm

nm RrAr

Función de onda tipo LCAO (pero ubicados en posiciones diferentes)

Términos del Hamiltoniano expresados en la base de orbitales s localizados en los puntos (m,n)

','~,',';, mnEHmnH nmnm

Orbital atómico de tipo s (esférico) centrado en un nodo (m,n) de la malla cuadrada 2D con posición genérica Rm,n y con energía ε.

EH

09/07/2007 120


EH nmnm ,;,

1'' si01'' si

',';, mmnnmmnnV

H nmnm

Términos del Hamiltoniano expresados en la base de orbitales s localizados en los puntos (m,n).AUTOENERGÍAS E INTERACCIÓN A PRIMEROS VECINOS.

09/07/2007 121


0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

p1 p2 p3 p4 p5p6 p7 p8 p9 p10

E -

(V)

kj/

jj kp coscosV2ε-E

N=10Open channels51053

1

Njpj

RELACIÓN DE DISPERSIÓN TB

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7 NS=7, L=10 (one sample) W=0, =0 W=2, =0 W=0, =0.1

G/G

0

EF

09/07/2007 122

',',,

',',,,

, .).',',(,,mnmn

mnmnmn

mn ccmnmnhmnmnH


adesordenad zona la en )(

ordenada zona la en )(

,,;, E

EH

nmnmnm

1'' si01'' si

',';, mmnnmmnnV

H nmnm

09/07/2007 123


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7 NS=7, L=10 (one sample) W=0, =0 W=2, =0 W=0, =0.1

G/G

0

EF

09/07/2007 124


SE OBSERVA QUE LA CONDUCTANCIA PROMEDIO SE DEGRADA EN PRESENCIA DE DESORDEN PARA HILOS CORTOS.

02468

10121416

W=0.0 W=0.2 W=0.4 W=0.6 W=0.8 W=1.0

G(G

0)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

EF

G

(G0)

Anderson Model TB (N=15,L=10)

09/07/2007 125

REGIMEN BALÍSTICO

RMT, <G>

0

11

path freemean electron (Balistic)

L

c LG

GN

LGNG c 1

L Regime Ballistic

0

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.365 G 0

UCF

l

G

(G0)

L/

0.1

1

10

<G> exp<ln G>

G (G

0)

0

2

4

6

8

10N=10, W =1.0, E F=0.0

G (G

0)

09/07/2007 126

REGIMEN DIFUSIVO

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.365 G 0

UCF

l

G

(G0)

L/

0.1

1

10

<G> exp<ln G>

G (G

0)

0

2

4

6

8

10N=10, W =1.0, E F=0.0

G (G

0)

RMT, <G>

(UCF) 152 ,

/1

NL Regime Diffusive

0

c

GLGNG c

09/07/2007 127

REGIMEN LOCALIZADO

0 5 10 15 20 25 300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.365 G 0

UCF

l

G

(G0)

L/

0.1

1

10

<G> exp<ln G>

G (G

0)

0

2

4

6

8

10N=10, W =1.0, E F=0.0

G (G

0)

RMT, <G>

LGln

21

length on Localizati

1

/expL Regimeon LocalizatiLG

09/07/2007 128

Transporte en Transporte en nanotubosnanotubos de carbono y en de carbono y en materiales materiales nanoestructuradosnanoestructurados..

09/07/2007 129

Material

NanotubeNanocontact Molecules DNAQuantum Wires

Geometry

Scale

Length

Wiring

Fabrication

Conduction Mechanism

atomic

easy

? ? ???

mechanicalcontact

quasiballistictransport

ballistictransport

arc discharge,laser lithography test tubetest tube

easy difficultdifficultdifficult

nanometers nanometers nanometers1-2 microns 1-2 microns

undefined tubular 2D, planar double helixdefined bychemistry

Au, Cu, Ag,.. C C, N, O,... Au

1-40nm 1nm some nm 1nm

09/07/2007 130

A carbon nanotube is a graphene layer rolled up forming a tube of nanometer size. A nanotube is specified by the ‘chiral’ vector: C = n a + m b,where a and b are the hexagonal vectors defining the graphite lattice.

Due to the shape exhibited by the carbon bonds the direction (n, 0) is known as zig-zag direction and (n,n) is known as armchair.

ESTRUCTURA DE LOS NANOTUBOS DE CARBONO

S.Ijima, Nature 354, 51(1991)

09/07/2007 131

(10,10) “armchair” nanotube

CNTs TIPO “ARMCHAIR”

09/07/2007 132

(10,0) “zigzag” nanotube

CNTs TIPO “ZIGZAG”

09/07/2007 133

ESTRUCTURA DE BANDAS DE CNTsModelo Tight-binding (TB) en hilos quasi 1D

09/07/2007 134

ESTRUCTURA DE BANDAS DE CNTsModelo Tight-binding (TB) en hilos quasi 1D

09/07/2007 135

Density of States 0 at U=0 metallic

Density of States 0 at U=0 semiconducting

ESTRUCTURA DE BANDAS DE CNTsL. Chico et al. Phys. Rev. Lett. 76, 971 (1996); Phys. Rev. B 54, 2600 (1996).

MODELO TIPO TIGHT-BINDING

09/07/2007 136

MWNTsSWNTs

~ 20-100 nm

~ 10-20 nm~ 40-500 nm

~ 1 nm In addition both types of tubes are usually found as bundles.

NANOTUBOS DE CAPA SENCILLA Y MULTIPLE

09/07/2007 137

Electric arc-discharge method with Ni/Y as catalyst

C. Journet et al. Nature 388, 756 (1997)

Double pulsed laser-furnace configuration

A. Thess et al. Science 273, 483 (1996)

CO2-laser ablation technique

W.K. Maser et al. Chem. Phys. Lett. 292, 587 (1998)

M. Burghard et al. Adv. Mater. 10, 584 (1998)

METODOS DE FABRICACIÓN DE CNTs

09/07/2007 138

Durante el proceso de fabricación se dan nanotubos de tamaño finito cuyocierre se hace formando estructuras de tipo fullereno o en otra ocasiones no se cierran (terminales abiertos).

En ocasiones los nanotubos forman estructuras en T.

En otras ocasiones se producen estrechamientos o ensanchamientos del CNT.

Por otro lado los CNTs no son perfectos y en ocasiones incorporan en la red algunos de los metales usados como catalizadores. En otras ocasionesdesaparecen átomos dando lugar a la formación de monovacantes o divacantes.

METODOS DE FABRICACIÓN DE CNTs

09/07/2007 139

Usually the nanotubes are deposited on the electrodes.This method provides high contact resistances.Further improvement has been achieved by electron irradiation.

H. Dai et al. Science 272, 523 (1996).A. Bezryadin et al. Phys. Rev. Lett. 80, 4036 (1998).Z. Yao et al., Phys. Rev. Lett. 84, 2941 (2000).

MEDIDAS DE CORRIENTE: CONTACTANDO CNTs

09/07/2007 140

insulating substrate (SiO2)

drop with molecules (NT)

evaporation of Au(15-50 nm thick)

remove wire

cover with wire (7 m)

shadow masking wire over ample.


09/07/2007 141

some “molecular wires” may connect

the electrodes

macroscopic Au electrodes

“molecular wires” partially covered by Au Nanotubes on

SiO2, 10x10mm2

SFM image in non-contact mode:


09/07/2007 142

AFM: TOPOGRAFÍA Y CORRIENTE

• Imaging in non-contact SFM

09/07/2007 143


• Imaging in non-contact SFM• Select Spot

09/07/2007 144

Fn


• Imaging in non-contact SFM• Select Spot• Electrical measurement:

– simultaneous force vs. distance and current vs. distance curves

09/07/2007 145

Fn I




09/07/2007 146

Fn




• I/V plot at maximum extension

09/07/2007 147

AVRtip-NT

Relectrode-NT

RNT

Rtotal=RNT+Relectrode-NT+Rtip-NT

CNTs: RESISTENCIA VS. LONGITUD

09/07/2007 148

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

A B

Cur

rent

(A

)

Bias (mV)

250nm

AB

-3000 -2000 -1000 0 1000

-2

0

2

4

6

A B C

C

urr

en

t (

A)

Bias (mV)

ABC

CNTs SEMICONDUCTORES

09/07/2007 149-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-60

-40

-20

0

20

40

60

10.20 K (A) 10.86 K (B)

I (A

)

Bias (V)

A

A

B

B

250 nm

Example of metallic CNT.

Resistance of 10 k, approaching to the theoretical limit 6.5 k corresponding to a perfect metallic SWNT with two conduction channels.

Low contact resistances.

CNTs METÁLICOS

09/07/2007 150

AVRtip-NT

Relectrode-NT

RNT


AVRtip-NT

Relectrode-NT

RNT

09/07/2007 151

200 400 600 800 1000 12006080

100120140160180200220240260

R (k

)

L (nm)

290nm

-3 -2 -1 0 1 2 3-40-30-20-10

010203040

Cur

rent

(A

)

Bias (V)

SWNT of 1.5 nm diameter


09/07/2007 152

gold

tip

L nanotube

L el-tip

Defects

UN REPASO AL TRANSPORTE A TRAVÉS DE UN SISTEMA DE FUNCIONES DELTA

09/07/2007 153

0 500 1000 1500 2000104

105

106

107

108

Def. conc. = 0.5% T=0.8R

el-t

ip (

)

Lel-tip (nm)

We study 6 different (random) defects configuration withinthe ensemble characterized with 5000 sites, 25 defects (having T=0.8)

LARGERESISTANCE DISPERSION

SISTEMA DE FUNCIONES DELTA: R(L)

09/07/2007 154

Convergence of the average conductance as a functions of thenumber of simulated wires used in the conductance average.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 a=4.17 A E=5.53 eVDefect concentration = 0.5%=0.5 T=0.8

Nsamples=1000,500,200,100,50,25,10

<G(L

el-t

ip)>

/G0

Lel-tip (nm)

MEJORANDO LA ESTADÍSTICA

09/07/2007 155

Materiales nanoestructurados

Nanomateriales

Materiales nanoparticulados

Materiales Nanocompuestos (nanocomposites)

09/07/2007 156

Dependencia del transporte con la temperatura:Coeficiente térmico de la resistividad

Resistividad del oro

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,0 200,0 400,0 600,0 800,0 1000,0

Temperatura (K)

Res

isiti

vida

d (1

0-8

Ohm

m)

0)1(

1)(

1)()(

1;1

2

2

BTlBTTlT

TlTlne

mvT

Drude

FDrude

Un sistema tiene carácter metálico cuando el coeficiente térmico de la resistividad es positivo.

09/07/2007 157

Materiales nanoestructurados

Cluster de cobre Material nanoestructuradomostrando regiones con distinto tamaño de grano.

Un grano suele tener estructura superficial más compleja y menosfaceteada que un cluster.

09/07/2007 158

Transporte electrónico en materiales nanoestructurados

A altas temperaturas tenemos que el recorrido libre medio inelástico mucho menor que el tamaño promedio de grano (l<<d)

d

09/07/2007 159


Se disminuye la temperatura de forma que el recorrido libre empieza a crecer (l<d)

d

09/07/2007 160


A medida que bajamos la temperaturas tenemos que el recorrido libre medio inelástico crece. En este caso particular l es similar a d.

d

09/07/2007 161


A bajas temperaturas tenemos que el recorrido libre medio inelástico mucho mayor que el tamaño de promedio de grano (l>>d)

d

09/07/2007 162


A bajas temperaturas tenemos que el recorrido libre medio inelástico mucho mayor que el tamaño de promedio de grano (l>>d)

d

09/07/2007 163


En el transporte del electrón surgen dos impedimentos....Unos asociados a fonones ... separados lY otros asociados a paredes de dominio... Separados d

d

09/07/2007 164


W contiene el efecto del paso del electrón a través de una seriede barreras cuánticas similares caracterizadas por un coeficiente de transmisión T*.

E

Inelastic colisionGrain Boundary colision

09/07/2007 165


Por lo tanto tenemos que la conductividad total se escribe como el producto de la conductividad del material policristalino (Drude) y un nuevo factor W que contiene el efecto del paso del electrón a través de una serie de barreras cuánticas similares caracterizadas por un coeficiente de transmisión T*. La nueva función W contiene información del recorrido libre medio, el tamaño de grano, la transmisión de la barrera...

),),(()(

),),((

*2

*

TdTlWTlmvne

TdTlW

F

Drudetot

09/07/2007 166


La expresión más sencilla para W es:

dTl

FFtot TTl

mvneTdlWTl

mvne /)(*

2*

2

))((),,()(

dTlF

tottot TTlne

mv/)(*2 ))((

11

dlnn TTTTTTdlW /*

121* )(...),,(

Paredes de grano: barreras de potencial (cada una con un coef. T*)

E

l

d1 d2 d3 d4 d5

d: Tamaño promedio

09/07/2007 167


0 100 200 300 400 500 600 7000,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30 Caso de la Plata Nanoestructuradal(T)=-4.6+17012/T (nm)

T*=0.99 (muy buena transmisión por barrera)Fa

ctor

r

Temperatura, T (K)

d(nm) 5000 1000 500 100 50 30 20 10 5

09/07/2007 168


09/07/2007 169

Transporte en Transporte en nanocontactosnanocontactos metálicosmetálicos

09/07/2007 170

GENERAL PROPERTIES OF METALLIC NANOCONTACTS

NANOWIRES OR NANOCONTACTS?

It does not matter from the theoretical point of view: both require the

same conceptual framework.

The difference is important for experimentalists. Nanocontacts

fabrication requires less sophisticated approaches. Nanowire creation

involves more complicated synthesis/writing steps.

The study of nanocontacts is important to determine the coupling of the

external world (reservoirs / electrodes) to mesoscopic systems.

09/07/2007 171

GENERAL PROPERTIES OF METALLIC NANOCONTACTS

Geometry not well defined. Size: nm or less.

High electron density Electron wavelength is similar to the characteristic

transversal dimension of the nanocontact Quantum effects become

evident For instance: conductance quantization, scattering due to

impurities, defects or/and nanowire shape plays an important role, etc.

Ballistic transport (typical nanocontact sizes below the electron mean free

path):

Non-dissipative connectors.

Coherent transport among logical devices.

Ballistic Magnetoresistance

09/07/2007 172

FORMING NANOCONTACTS/NANOWIRES:

electronic lithographyElectron lithography allows to made 5 nm width nanowires. Typical thickness is of the order of 2-10 nm.

6nm lines exposed in HSQ resist at 10 keV

09/07/2007 173

FORMING NANOCONTACTS/NANOWIRES: STM writing

The STM tip remove the hydrogen atoms from the dangling bond of the Si surface. By further evaporation/deposition of metallic atoms only surface-metal bonds selectively form. Final removal of non bonded metal atoms gives rise to lines or other motifs.

09/07/2007 174

FORMING NANOCONTACTS: STM-like approach• J.I. Pascual et al. , Phys. Rev. Lett. 71, 1852 (1993).

• N. Agraït et al., Phys. Rev. B 48, 8499 (1993).

• L. Olesen et al., Phys. Rev. Lett. 72, 2251 (1994).

V

Gold tip

Gold sample

Indentation & Retraction

09/07/2007 175

FORMING NANOCONTACTS: MCBJ approach• C.J. Muller et al., Phys. Rev. Lett. 69, 140 (1992).

• J.M. Krans et al., Phys. Rev. B 48, 14721 (1993).

09/07/2007 176

MONOATOMIC CHAINSA.I. Yanson, PhD Thesis (Leiden University, Netherlands, 2001).

09/07/2007 177

J.L. Costa-Krämer et al., Surf. Sci.342, L1144 (1995).

FORMING NANOCONTACTS: table-top experiments

OSCILOSCOPIO

CONVERTIDOR IV

MESA

NANOHILO

CABLES MACROSCÓPICOS

PILA

09/07/2007 178

FORMING NANOCONTACTS/NANOWIRES: inside a HRTEM• Y. Kondo and K. Takayanagi, Physical Review Letters 79, 3455-3458

(1997)

• H. Ohnishi, Y. Kondo and K. Takayanagi, Nature (London) 395, 780-783 (1998)

• V. Rodrigues, T. Fuhrer, and D. Ugarte, Physical Review Letters 85, 4124-4127 (2000)

09/07/2007 179

Small is different: Weird/Helical wires.Ohnishi et al., Nature 395, 780 (1998); Kondo and Takayanagi, Science 289, 606 (2000)

Cuando la sección de un nanohilo infinito decrece, el hilo deja de tener unaestructura basada en la geometría de partida (fcc, bcc, hcp). La necesidad de aumentar la coordinación de cada átomo hace que aparezcan geometríasextrañas de tipo helicoidal (Reconstrucción del nanohilo debido al aumentode la relación superficie/volumen).

09/07/2007 180

FORMING NANOCONTACTS: electrochemical methods

• C.Z. Li and N. J. Tao, Appl. Phys. Lett. 72, 894 (1998).• H. X. He et al., J. Electroan. Chem. 522, 167 (2002).

09/07/2007 181

FORMING NANOWIRES: VIRUS ENABLED SYNTHESIS

09/07/2007 182

STANDARD APPROACH TO STUDY METALLIC NANOCONTACTS: Conductance (G=I/V) versus elongation during nanocontact stretching.

Al

M. Díaz et al., Nanotech. 12, 118 (2001).

09/07/2007 183

Formulación de Landauer y formulación semiclásica

V(r)

V(r)

EF

EF

V

V

z

(a)

(b)

)( 20FF

SPAGG

Sección del

nanocontacto

Conductancia G/G0

1234

)()(2...1

0...1

2

FN

FN

ETGETheG

CC

heG

2

02

Transporte está asociado a scattering:Cada canal i tiene su propio coeficiente de transmisión (Ti)Si Ti=0 el canal está cerrado (no conduce).Si Ti=1 el canal número i está totalmente abierto

Nc es el número de canales abiertos

Aproximación semiclásica

09/07/2007 184

MORE SOPHISTICATED APPROACHES TO STUDY METALLIC NANOCONTACTS: Forces & Conductance versus elongation.

Au

G. Rubio et al., Phys. Rev. Lett. 76, 2302 (1996)

09/07/2007 185

CONDUCTANCE HISTOGRAMS: Massive production of nanocontacts allows to accumulate data in order to determine the distribution of conductance values.

09/07/2007 186

AU CONDUCTANCE HISTOGRAMS

J.L. Costa-Krämer, Phys. Rev. B 55, 4875 (1997).

1 2 3 40

2x105

4x105

6x105

8x105

1x106

Conductance (2e2/h)

Cou

nts

12000 consecutive curves 9000 " " 6000 " " 3000 " "

09/07/2007 187

A.I. Yanson, Ph.D. Thesis (Leiden University, Netherlands, 2001).

CU, AU, AG CONDUCTANCE HISTOGRAMS

09/07/2007 188

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10G/G 0

0

2

4

6

8

H(G

)

Al at UHV at 300K (two realizations )

M.Díaz et al.Nanotech. 12 (2001)

A.Y. Yanson & J.M.v. Ruitenbeek, PRL 79,2157 (1997)

Halbritter et al., PRB 65, 045413 (2002)

AL CONDUCTANCE HISTOGRAMS

09/07/2007 189

• Interpretation of conductance histograms H(G) is a difficult task because they reflect the interplay between electronic and mechanical properties.

•However they are used in many different studies: the role of impurities or adsorbed species, changes due to temperature, magnetic fields, applied bias, electrochemical environment, etc.

•See the excellent review “Quantum Properties of atomic-sezed conductors” by N. Agraït, A. Levy-Yeyati, and J.M. van Ruitenbeek.

CONDUCTANCE HISTOGRAMS???

09/07/2007 190

UNDERSTANDING H(G): SEVERAL APPROACHES TO CALCULATE H(G).

• Simple models. Electron transport problem is solved for 2D systems or 3D systems with axial symmetry. The evolution of the nanocontact is governed by ad-hoc rules.

• Classical Molecular Dynamics + Quantum Calculation of Electron Transport. Conductance is determined using quantum transport theory (mapping the calculated geometry onto simple and affordable geometries).

• Classical Molecular Dynamics + Semiclassical Calculation of Electron Transport. Conductance is determined using the Sharvin approach for the minimum nanocontact cross-section.

• Quantum molecular dynamics and full solution to the transport problem. High computational cost. Not affordable for representing the time evolution of ~103 atoms.

09/07/2007 191

Molecular dynamics has been extensively used to understand nanocontacts properties:

“Atomistic mechanism and dynamics of adhesion, nanoindentation and fracture”U. Landman et al., Science 248, 454 (1990).

“Conditions for conductance quantization in realistic models of atomic-scale metallic contacts”, A.M. Bratkovsky et al., Phys. Rev. B 52, 5036 (1995); “Force and conductance jumps in atomic-scale metallic contacts” ,T.N. Todorov and A.P. Sutton, Phys. Rev. B 54, R14234 (1996).

“Mechanical deformation of atomic-scale metallic contacts: structure and mechanisms”, M.R. Sorensen, M. Brandbyge, and. K.W. Jacobsen, Phys. Rev. B 57, 3283 (1998).

09/07/2007 192

Our approach: Embedded atom method (EAM).

i

iiij

ijtot FVE )(21

Potentials were obtained from:Au: M.I. Haftel, Phys. Rev. B 48, 2611 (1993).Al,Ni: Y. Mishin et al., Phys. Rev. B 59, 393 (1999).

In this approach the overall electron density in a metal is assumed to be a linear-superposition of the contribution of each atom. It is mainly affected by the contribution of the atom of reference whence one approximates the other atoms by a constant term. The total energy can then be written as:

In this equation F(i) stands for the energy due to the background electronic density i at atom i. The second term represents the Coulombic repulsion between the cores. The electronic density i is computed from the atomic densities i

a(Rij) as folllows:

ij

ijaii R )(

09/07/2007 193

MOLECULAR DYNAMICS STAGES

III - Streching stage: Frozed slabs are moved in oppositedirections at 2x10-4 Å per t (2 m/s, much faster than in experiments!).

z

x

y

I - Relaxation stage: 2000 MD iterations (steps) of t = 10-14

sec (20 ps) with periodic boundary conditions (PBC) in ‘x’, ‘y’and ‘z’ for the whole block.

II - Relaxation stage: Two bilayers are frozen at the top andthe bottom. PBC only for slabs in ‘x’ and ‘y’. relaxation isperformed for 30 ps

Start : FCC parallelepiped of NL (ijk) layers; velocities at random (Maxwell distribution).

Stop: when Sm=0, i.e., when nanowire breaks.

09/07/2007 194

(i)(ii)

(iii) (iv) (v)

Snapshots of a Al nanowire stretching and breakage from its initial parallelepiped fcc structure (at T=4 K). The stretching direction is parallel to the [111] direction.

09/07/2007 195

DETERMINING THE CONDUCTANCE EVOLUTION DURING STRETCHING.

Following the previous works of:Bratkovsky et al., PRB 52 (1995).Gülseren et al., PRL 80 (1998).SN: Minimum Cross Section

zN

F

atom

F

SAAGG

220

09/07/2007 196

Al nanocontacts at T=4KAl nanocontacts at T=4K

DETERMINING THE CONDUCTANCE EVOLUTION DURING STRETCHING.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

Al, T= 4KSN (t=0) = 54

S N (a

tom

s)

Elongation (Ang.)

09/07/2007 1970.3 0.4 0.5 0.6 0.702468

10121402468

10121416

b) Al 300K

S m

(ato

mic

sec

tion)

time(ns)

a) Al 4K

Al nanowires. Minimum cross section Sm evolution Different breakages at 4 K and 300 K

• Marked Sm jumps correspond with atomic rearragments of the nanowire.• Sm jumps are correlated with jumps in the force acting on the slabs.

09/07/2007 198

Section Histograms for Al at low conductance values.

E. Medina, A. Hasmy and P.A. Serena, Phys. Rev. Lett. 86, 5574 (2001).

T = 4KS N

H(S

N)

09/07/2007 199

11 )(ˆˆˆˆˆˆˆˆ)(ˆ rr HSIIiHSIG

H

G

P

FE

rGdP )(ˆ1ˆ

Bethe lattice selfenergy

Density functional calculation(Gaussian98)

aR

rL GGTr

heT

heG

22

Quantum calculation of conductance

J. J. Palacios et al. PRB 64, 115411 (2001)

J. J. Palacios et al. Nanotechnology 12, 160 (2001)

09/07/2007 200

Computational Conductance histograms.

09/07/2007 201

Computational Conductance histograms.

09/07/2007 202

Section Histograms for Al at low conductance values.

E. Medina, A. Hasmy and P.A. Serena, Phys. Rev. Lett. 86, 5574 (2001).

T = 4KS N

H(S

N)

A. Hasmy et al., Phys. Rev. B 72, 245405/1-245405/5 (2005).

09/07/2007 203

RESULTADOSInterpretación de histogramas de

conductancia (Ni)

09/07/2007 204

Costa-Krämer (1997)

Untiedt et al (2004)

RT

4K

Oshima et al (1998) RT & HT Ono et al (1999) RT

Comprendiendo el origen de los picos de conductancia en Ni.

09/07/2007 205time

[111]

[110]

[100]

dimmer

monomer

Complexstructures

[111]

[110]

[100]

dimmer

monomer

Complexstructures

Formas de ruptura: mónomeros, dímeros y otros

09/07/2007 206

Histogramas de sección mínima en Ni

2 temperaturas, 5 secciones, 3 orientaciones

09/07/2007 207

Probabilidad de encontrar dímeros, monómeros, etc.

09/07/2007 208

Entornos locales de monómeros y dímeros

09/07/2007 209

Disorder in the nanowire. The role of the orientation.

09/07/2007 210

RESULTADOSFabricando nuevos tipos de

nanohilos…

P. García-Mochales, et al. Nanotechnology 19, 225704 (2008);Journal of Nanomaterials 361464 (2008); Phys. Stat. Sol. (a) 205, 1317 (2008).

Cu Al

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0 2 4 6 8 10 12 14 160.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

6.0x103

4 K

Cu 111, 1008 atoms

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

125

K

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

175

K

23

5 K

Coun

ts

300

K

36

5 K

430

K

550

K

Sm (atomic section)

680

K0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0 2 4 6 8 10 12 14 160.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

6.0x103

4 K

Cu 100, 1029 atoms

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

125

K

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

175

K

235

K

Coun

ts

300

K

36

5 K

430

K

550

K

Sm (atomic section)

680

K

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0 2 4 6 8 10 12 14 160.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

4 K

Cu 110, 1015 atoms

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

125

K

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

175

K

235

K

Coun

ts

300

K

36

5 K

430

K

550

K

Sm (atomic section)

680

K

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0 2 4 6 8 10 12 14 160.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

1.0x104

4 K

Al 100, 1029 atoms

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

87 K

0.0

2.0x103

4.0x103

6.0x103

8.0x103

120

K

160

K

Cou

nts

200

K

25

0 K

300

K

375

K

Sm (atomic section)

465

K

4 K

125 K

175 K

235 K

300 K

365 K

430 K

550 K

680 K

(111) (100) (110) (100)4 K

125 K

175 K

235 K

300 K

365 K

430 K

550 K

680 K

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.0

5.0x102

1.0x103

1.5x103

2.0x103

2.5x103

3.0x103

3.5x103

300 K

Cou

nts

Sm (atomic section)

Ni[1

10],

1015

ato

ms

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

6.0x103

7.0x103

300 K

Cou

nts

Sm (atomic section)

Ni[1

00],

1029

ato

ms

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.0

1.0x103

2.0x103

3.0x103

4.0x103

5.0x103

6.0x103

7.0x103

300 K

Cou

nts

Sm (atomic section)

Ni[1

11],

1008

ato

ms

Pico en Sm=5 => Hilos pentagonales

Surface Science 156 (1985) 370-378 Cluster models made of double icosahedron unitsJ. Farces et al.

Russ. Chem. Bull. 50, 1-19 (2001)

09/07/2007 214

Small is different: Weird/Helical wires.Tosatti & Prestipino, Science 289, 561 (2000); Tosatti et al., Science 291, 288 (2001)

CRECE RADIO DEL NANOHILO

Radios grandes:El hilo regular

presenta mayor estabilidad

Radios pequeños:El hilo helicoidal

presenta mayor estabilidad

09/07/2007 215

RESULTADOSPropiedades elásticas a medida

216

Vista transversal (plano x-y) de las familias de nanohilos generadas.

Propiedades elásticas a medida

09/07/2007 217

L

L+LF

F

A

A

=L/L

E=(F/A)/(L/L)=/

k=EA/L

Uel=(1/2)(A*L)E*2 2

2

0

0

dLEd

AL=E c

Módulo de Young en nanohilos

218

R

R

L

Módulo de Young en nanohilos

09/07/2007 219

Nanotecnología: La situación en España.

Curso de simulacion de nanomateriales

Technology

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